V priebehu štúdia algebry sme sa stretli s pojmami polynóm (napríklad ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ atď.) a algebraický zlomok (napríklad $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ atď.) Podobnosť týchto pojmov spočíva v tom, že v polynómoch aj v algebraických zlomkoch existuje sú premenné a číselné hodnoty, aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie. Rozdiel medzi týmito konceptmi je v tom, že delenie premennou sa nevykonáva v polynómoch, zatiaľ čo delenie premennou sa môže vykonávať v algebraických zlomkoch.
Polynómy aj algebraické zlomky sa v matematike nazývajú racionálne algebraické výrazy. Ale polynómy sú celočíselné racionálne výrazy a algebraické zlomkové výrazy sú zlomkové racionálne výrazy.
Z zlomkovo racionálneho výrazu je možné pomocou identickej transformácie získať celý algebraický výraz, ktorý bude v tomto prípade hlavnou vlastnosťou zlomku – redukciou zlomkov. Poďme si to overiť v praxi:
Príklad 1
Transformácia: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
rozhodnutie: Túto zlomkovo-racionálnu rovnicu možno transformovať použitím základnej vlastnosti zlomku-zrušenie, t.j. delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom alebo výrazom iným ako $0$.
Hneď daný zlomok nemožno zmenšiť, treba prepočítať čitateľa.
Transformujeme výraz v čitateli zlomku, na to použijeme vzorec pre druhú mocninu rozdielu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Zlomok má tvar
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)\]
Teraz vidíme, že v čitateli a menovateli je spoločný činiteľ - toto je výraz $x-2$, na ktorom zlomok zmenšíme
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)=x-2\]
Po redukcii sme dostali, že z pôvodného zlomkovo-racionálneho výrazu $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ sa stal polynóm $x-2$, t.j. celý racionálny.
Teraz venujme pozornosť skutočnosti, že výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2\ $ možno považovať za identické nie pre všetky hodnoty premennej, pretože aby existoval zlomkovo-racionálny výraz a bola možná redukcia o polynóm $x-2$, menovateľ zlomku nesmie byť rovný $0$ (rovnako ako faktor, ktorým redukujeme. V tento príklad menovateľ a násobiteľ sú rovnaké, ale nie vždy to tak je).
Premenné hodnoty, pre ktoré bude existovať algebraický zlomok, sa nazývajú platné premenné hodnoty.
Na menovateľ zlomku dáme podmienku: $x-2≠0$, potom $x≠2$.
Takže výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2$ sú rovnaké pre všetky hodnoty premennej okrem $2$.
Definícia 1
identicky rovnaké výrazy sú tie, ktoré sú rovnaké pre všetky možné hodnoty premennej.
Identická transformácia je každé nahradenie pôvodného výrazu identicky rovnakým. Takéto transformácie zahŕňajú tieto akcie: sčítanie, odčítanie, násobenie, zátvorky algebraické zlomky na spoločného menovateľa, redukcia algebraických zlomkov, redukcia podobných členov atď. Je potrebné vziať do úvahy, že množstvo transformácií, ako je zníženie, zníženie podobných výrazov, môže zmeniť prípustné hodnoty premennej.
Techniky používané na preukazovanie totožnosti
Preveďte ľavú stranu identity na pravú stranu alebo naopak pomocou transformácií identity
Zredukujte obe časti na rovnaký výraz pomocou rovnakých transformácií
Preneste výrazy v jednej časti výrazu do druhej a dokážte, že výsledný rozdiel sa rovná $0$
Ktorý z vyššie uvedených spôsobov na preukázanie danej identity použiť, závisí od pôvodnej identity.
Príklad 2
Dokážte totožnosť $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
rozhodnutie: Na preukázanie tejto identity používame prvú z vyššie uvedených metód, a to transformovať ľavú stranu identity, kým sa nebude rovnať pravej strane.
Uvažujme ľavú stranu identity: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- je to rozdiel dvoch polynómov. V tomto prípade je prvý polynóm druhou mocninou súčtu troch členov. Na odmocnenie súčtu niekoľkých členov použijeme vzorec:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Aby sme to dosiahli, musíme vynásobiť číslo polynómom. Pripomeňme si, že na to musíme vynásobiť spoločný faktor mimo zátvorky každým členom polynómu v zátvorkách. Potom dostaneme:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Teraz späť k pôvodnému polynómu, bude mať tvar:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Všimnite si, že pred zátvorkou je znak „-“, čo znamená, že keď sa zátvorky otvoria, všetky znaky, ktoré boli v zátvorkách, sa obrátia.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Ak prinesieme podobné pojmy, tak dostaneme, že monomiály $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ a $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ sa navzájom rušia, t.j. ich suma sa rovná 0 $.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Takže identickými transformáciami sme získali identický výraz na ľavej strane pôvodnej identity
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Všimnite si, že výsledný výraz ukazuje, že pôvodná identita je pravdivá.
Všimnite si, že v pôvodnej identite sú povolené všetky hodnoty premennej, čo znamená, že identitu sme dokázali pomocou identických transformácií, a to platí pre všetky povolené hodnoty premennej.
Zvážte dve rovnosti:
1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8
Táto rovnosť platí pre akúkoľvek hodnotu premennej a. oblasť povolené hodnoty pre túto rovnosť bude celá množina reálnych čísel.
2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .
Táto nerovnosť bude platiť pre všetky hodnoty premennej a, okrem hodnoty rovnej nule. Rozsah prijateľných hodnôt pre túto nerovnosť bude celá množina reálnych čísel, okrem nuly.
O každej z týchto rovníc možno tvrdiť, že to bude platiť pre všetky prípustné hodnoty premenných a. Takéto rovnice sa v matematike nazývajú identity.
Pojem identity
Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných. Ak sa do tejto rovnosti namiesto premenných dosadia akékoľvek platné hodnoty, mala by sa získať správna číselná rovnosť.
Stojí za zmienku, že skutočné číselné rovnosti sú tiež identity. Napríklad identity budú vlastnosťami akcií na číslach.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ak sú dva výrazy pre ľubovoľné prípustné premenné rovnaké, potom sa takéto výrazy volajú identicky rovnaké. Nižšie je uvedených niekoľko príkladov identicky rovnakých výrazov:
1. (a 2) 4 a a 8;
2. a*b*(-a^2*b) a -a3*b2;
3. ((x 3 * x 8)/x) a x 10 .
Vždy môžeme nahradiť jeden výraz akýmkoľvek iným výrazom zhodným s prvým. Takáto náhrada by bola transformácia identity.
Príklady identity
Príklad 1: Sú nasledujúce identity rovnosti:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nie všetky vyššie uvedené výrazy budú identity. Z týchto rovností sú iba 1, 2 a 3 rovnosti identity. Nech do nich dosadíme akékoľvek čísla, namiesto premenných a a b dostaneme stále správne číselné rovnosti.
Ale 4 rovnosť už nie je identita. Pretože nie pre všetky prípustné hodnoty bude táto rovnosť splnená. Napríklad s hodnotami a = 5 a b = 2 získate nasledujúci výsledok:
Táto rovnosť nie je pravdivá, pretože číslo 3 sa nerovná číslu -3.
Keď sme sa zaoberali konceptom identít, môžeme pristúpiť k štúdiu identicky rovnocenných výrazov. Účelom tohto článku je vysvetliť, čo to je, a na príkladoch ukázať, ktoré výrazy sa budú identicky rovnať ostatným.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rovnaké výrazy: Definícia
Pojem identicky rovnocenných výrazov sa zvyčajne študuje spolu s pojmom identita samotná v rámci kurzu školskej algebry. Tu je základná definícia prevzatá z jednej učebnice:
Definícia 1
identicky rovnaké k sebe budú existovať také výrazy, ktorých hodnoty budú rovnaké pre všetky možné hodnoty premenné v nich zahrnuté.
Také číselné výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ktoré budú zodpovedať rovnakým hodnotám.
Toto je pomerne široká definícia, ktorá bude platiť pre všetky celočíselné výrazy, ktorých význam sa pri zmene hodnôt premenných nemení. Neskôr však bude potrebné túto definíciu objasniť, pretože okrem celých čísel existujú aj iné druhy výrazov, ktoré pri určitých premenných nebudú dávať zmysel. Vzniká tak koncepcia prípustnosti a neprípustnosti určitých hodnôt premenných, ako aj potreba určiť rozsah prípustných hodnôt. Sformulujme si presnejšiu definíciu.
Definícia 2
Identické rovnaké výrazy sú výrazy, ktorých hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek platné hodnoty premenných zahrnutých v ich zložení. Číselné výrazy sa budú navzájom zhodovať rovnaké hodnoty.
Fráza „pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných“ označuje všetky tie hodnoty premenných, pre ktoré budú mať oba výrazy zmysel. Túto pozíciu vysvetlíme neskôr, keď uvedieme príklady identicky rovnakých výrazov.
Môžete tiež zadať nasledujúcu definíciu:
Definícia 3
Identické rovnaké výrazy sú výrazy nachádzajúce sa v rovnakej identite na ľavej a pravej strane.
Príklady výrazov, ktoré sú si navzájom identicky rovné
Pomocou vyššie uvedených definícií zvážte niekoľko príkladov takýchto výrazov.
Začnime s číselnými výrazmi.
Príklad 1
2 + 4 a 4 + 2 sa teda budú navzájom rovnať, pretože ich výsledky sa budú rovnať (6 a 6).
Príklad 2
Rovnakým spôsobom sú výrazy 3 a 30 identicky rovnaké: 10 , (2 2) 3 a 2 6 (na výpočet hodnoty posledný výraz musíte poznať vlastnosti stupňa).
Príklad 3
Ale výrazy 4 - 2 a 9 - 1 nebudú rovnaké, pretože ich hodnoty sú odlišné.
Prejdime na príklady doslovných výrazov. A + b a b + a budú identicky rovnaké, a to nezávisí od hodnôt premenných (rovnosť výrazov je v tomto prípade určená komutatívnou vlastnosťou sčítania).
Príklad 4
Napríklad, ak a je 4 a b je 5, výsledky budú stále rovnaké.
Ďalším príkladom identicky rovnakých výrazov s písmenami je 0 · x · y · z a 0 . Bez ohľadu na hodnoty premenných v tomto prípade, keď sa vynásobia 0, dostanú 0. Nerovnaké výrazy sú 6 x a 8 x, pretože sa nebudú rovnať žiadnemu x .
V prípade, že sa rozsahy prípustných hodnôt premenných budú zhodovať, napríklad vo výrazoch a + 6 a 6 + a alebo a b 0 a 0, alebo x 4 a x, a hodnoty výrazov samy osebe budú rovnaké pre všetky premenné, potom sa takéto výrazy považujú za identicky rovnaké. Takže a + 8 = 8 + a pre akúkoľvek hodnotu a a tiež a · b · 0 = 0, pretože vynásobením ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0. Výrazy x 4 a x budú identicky rovnaké pre ľubovoľné x z intervalu [ 0 , + ∞) .
Ale rozsah platnej hodnoty v jednom výraze sa môže líšiť od rozsahu iného.
Príklad 5
Vezmime si napríklad dva výrazy: x − 1 a x - 1 · x x . Pre prvú z nich bude rozsah prijateľných hodnôt x celá množina reálnych čísel a pre druhú množinu všetkých reálnych čísel okrem nuly, pretože potom dostaneme v menovateli 0 a takéto rozdelenie nie je definované. Tieto dva výrazy majú spoločný rozsah, ktorý je tvorený priesečníkom dvoch samostatných rozsahov. Dá sa usúdiť, že oba výrazy x - 1 · x x a x − 1 budú mať zmysel pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, okrem 0 .
Základná vlastnosť zlomku nám tiež umožňuje dospieť k záveru, že x - 1 x x a x - 1 sa budú rovnať každému x , ktoré nie je 0 . len tak ďalej všeobecná oblasť prípustné hodnoty budú tieto výrazy navzájom identicky rovné a pre žiadne reálne x nemožno hovoriť o rovnakej rovnosti.
Ak nahradíme jeden výraz iným, ktorý je mu identicky rovný, potom sa tento proces nazýva transformácia identity. Tento pojem je veľmi dôležitý a podrobne si o ňom povieme v samostatnom článku.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
§ 2. Prejavy identity, identita. Identitná transformácia výrazu. Dôkazy totožnosti
Nájdite hodnoty výrazov 2(x - 1) 2x - 2 pre dané hodnoty premennej x. Výsledky zapíšeme do tabuľky:
Dá sa konštatovať, že hodnoty výrazov 2(x - 1) 2x - 2 pre každú danú hodnotu premennej x sa navzájom rovnajú. Podľa distributívnej vlastnosti násobenia vzhľadom na odčítanie 2(x - 1) = 2x - 2. Preto pre akúkoľvek inú hodnotu premennej x bude aj hodnota výrazu 2(x - 1) 2x - 2 navzájom rovnocenné. Takéto výrazy sa nazývajú identicky rovné.
Napríklad výrazy 2x + 3x a 5x sú synonymá, pretože pre každú hodnotu premennej x tieto výrazy nadobúdajú rovnaké hodnoty (vyplýva to z distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie, keďže 2x + 3x \u003d 5x).
Zvážte teraz výrazy 3x + 2y a 5xy. Ak x \u003d 1 a b \u003d 1, potom sa zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov navzájom rovnajú:
3x + 2 roky \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Môžete však zadať hodnoty x a y, pre ktoré sa hodnoty týchto výrazov nebudú navzájom rovnať. Napríklad, ak x = 2; y = 0, potom
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
V dôsledku toho existujú také hodnoty premenných, pre ktoré sa zodpovedajúce hodnoty výrazov 3x + 2y a 5xy navzájom nerovnajú. Preto výrazy 3x + 2y a 5xy nie sú zhodné.
Na základe vyššie uvedeného sú identity najmä rovnosťami: 2(x - 1) = 2x - 2 a 2x + 3x = 5x.
Identita je každá rovnosť, ktorá zaznamenáva známe vlastnosti akcií na číslach. Napríklad,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
Existujú aj také rovnosti, ako sú identity:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Ak zmenšíme podobné výrazy vo výraze -5x + 2x - 9, dostaneme, že 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. V tomto prípade hovoria, že výraz 5x + 2x - 9 bol nahradený výrazom 7x - 9, ktorý je s ním identický.
Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú aplikáciou vlastností operácií s číslami. Najmä identické premeny s otváraním zátvoriek, konštruovaním podobných pojmov a pod.
Pri zjednodušovaní výrazu je potrebné vykonať identické transformácie, teda nahradenie nejakého výrazu výrazom, ktorý je mu identicky rovný, ktorý by mal byť kratší.
Príklad 1. Zjednodušte výraz:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.
Na dôkaz toho, že rovnosť je identita (inými slovami, na preukázanie identity sa používa identitná transformácia výrazov.
Totožnosť môžete preukázať jedným z nasledujúcich spôsobov:
- vykonávať identické transformácie jeho ľavej strany, čím ju zmenšiť do podoby pravej strany;
- vykonávať identické premeny jeho pravej strany, čím ju zmenšiť do podoby ľavej strany;
- vykonať identické transformácie oboch jeho častí, čím obe časti povýšia na rovnaké výrazy.
Príklad 2. Dokážte totožnosť:
1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;
2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);
3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.
rozvoj
1) Transformujme ľavú stranu tejto rovnosti:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.
Identickými transformáciami sa výraz na ľavej strane rovnosti zredukoval do podoby pravej strany a dokázal tak, že táto rovnosť je identitou.
2) Transformujme pravú stranu tejto rovnosti:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.
Identickými transformáciami sa pravá strana rovnosti zredukovala na ľavú stranu a dokázala tak, že táto rovnosť je identitou.
3) V tomto prípade je vhodné zjednodušiť ľavú aj pravú časť rovnosti a porovnať výsledky:
2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;
13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.
Identickými transformáciami sa ľavá a pravá časť rovnosti zredukovala na rovnakú formu: 26x - 44. Preto je táto rovnosť identitou.
Aké výrazy sa nazývajú identické? Uveďte príklad identických výrazov. Aká rovnosť sa nazýva identita? Uveďte príklad identity. Čo sa nazýva transformácia identity výrazu? Ako preukázať totožnosť?
- (Ústne) Alebo existujú výrazy identicky rovnaké:
1) 2a + a a 3a;
2) 7x + 6 a 6 + 7x;
3) x + x + x a x 3;
4) 2 (x - 2) a 2x - 4;
5) m - n a n - m;
6) 2a ∙ ra 2p ∙ a?
- Sú výrazy zhodné:
1) 7x - 2x a 5x;
2) 5a - 4 a 4 - 5a;
3) 4m + n a n + 4m;
4) a + a a a2;
5) 3(a-4) a 3a-12;
6) 5 m ∙ n a 5 m + n?
- (Verbálne) Je identita rovnosti:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7r - 1 = -1 + 7r;
3) 3 (x - y) = 3x - 5 rokov?
- Otvorené zátvorky:
- Otvorené zátvorky:
- Znížiť podobné výrazy:
- Vymenujte niekoľko výrazov, ktoré sú zhodné s výrazmi 2a + 3a.
- Zjednodušte výraz pomocou permutačných a konjunktívnych vlastností násobenia:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4p* (-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 g);
4)- x ∙<-7у).
- Zjednodušte výraz:
1) -2p ∙ 3,5;
2) 7a* (-1,2);
3) 0,2 x ∙ (-3y);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (verbálne) Zjednodušte výraz:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a ∙ (-2b).
- Znížiť podobné výrazy:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;
2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);
4) - (3 m - 5) + 2 (3 m - 7).
- Otvorte zátvorky a znížte podobné výrazy:
1) 3(8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2 (3p - 1);
3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);
4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).
1) 0,6x + 0,4(x - 20), ak x = 2,4;
2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ak a = 10;
3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ak m = -3,7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y, ak x = -1, y = 1.
- Zjednodušte výraz a nájdite jeho hodnotu:
1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ak x = -0,7;
2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ak v \u003d 20;
3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ak a = -1;
4) 5 (m - n) - 4 m + 7 n, ak m = 1,8; n = -0,9.
- Dokážte totožnosť:
1) - (2x - y) \u003d y - 2x;
2) 2 (x - 1) - 2x = -2;
3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;
4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).
- Dokážte totožnosť:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);
4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.
- Dĺžka jednej zo strán trojuholníka je cm a dĺžka každej zo zvyšných dvoch strán je o 2 cm väčšia. Napíšte obvod trojuholníka ako výraz a výraz zjednodušte.
- Šírka obdĺžnika je x cm a dĺžka je o 3 cm väčšia ako šírka. Obvod obdĺžnika napíšte ako výraz a výraz zjednodušte.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a - b) - (4a - 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Rozbaľte zátvorky a zjednodušte výraz:
1) a-(a-(3a-1));
2) 12 m - ((a - m) + 12a);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (la - lb).
- Dokážte totožnosť:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);
2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);
3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).
- Dokážte totožnosť:
1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);
2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Dokážte, že hodnota výrazu
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nezávisí od hodnoty premennej.
- Dokážte, že pre akúkoľvek hodnotu premennej je to hodnota výrazu
a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)
je rovnaké číslo.
- Dokážte, že súčet troch po sebe idúcich párnych čísel je deliteľný 6.
- Dokážte, že ak n je prirodzené číslo, potom hodnota výrazu -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) je párne číslo.
Cvičenia na opakovanie
- Zliatina s hmotnosťou 1,6 kg obsahuje 15 % medi. Koľko kg medi obsahuje táto zliatina?
- Koľko percent je číslo 20 z toho:
1) štvorcový;
- Turista 2 hodiny kráčal a 3 hodiny išiel na bicykli. Celkovo turista prešiel 56 km. Nájdite rýchlosť, ktorou išiel turista na bicykli, ak je o 12 km/h vyššia ako rýchlosť, ktorou išiel.
Zaujímavé úlohy pre lenivých žiakov
- Na mestskom futbalovom šampionáte sa zúčastňuje 11 mužstiev. Každý tím hrá jeden zápas s ostatnými. Dokážte, že v každom momente súťaže existuje mužstvo, ktoré odohralo párny počet zápasov alebo ešte nehralo žiadne.
