§ 87. Zbrajanje razlomaka.
Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.
Razmotrit ćemo redom tri slučaja:
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer: 1 / 5 + 2 / 5 .
Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 odsječka AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.
Iz crteža se vidi da ako uzmemo odsječak AD, onda će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenata AC i CD. Dakle, možemo napisati:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uzimajući u obzir te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.
Odavde dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.
Razmotrimo primjer:
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:
Međuveza 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.
Dakle, da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na najmanji zajednički nazivnik, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.
Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprije dovedemo razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišemo:
Sada dodajte cijeli broj i razlomak u nizu:
§ 88. Oduzimanje razlomaka.
Oduzimanje razlomaka definira se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. To je radnja kojom se, s obzirom na zbroj dvaju i jednog od njih, pronalazi drugi pojam. Razmotrimo redom tri slučaja:
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer:
13 / 15 - 4 / 15
Uzmimo odsječak AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 od AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.
Od 13/15 trebamo oduzeti 4/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako možemo napisati:
Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.
Stoga, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik oduzetog od brojnika minusa i ostaviti isti nazivnik.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer. 3/4 - 5/8
Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
Međuveza 6 / 8 - 5 / 8 ovdje je napisana radi jasnoće, ali se može preskočiti u budućnosti.
Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik oduzetog i potpisati zajednički nazivnik pod njihovom razlikom.
Razmotrimo primjer:
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
Primjer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Dovedemo razlomke minuenda i oduzetog na najmanji zajednički nazivnik:
Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio subtrahenda veći od razlomka minuenda. U takvim slučajevima trebate uzeti jednu jedinicu iz cjelobrojnog dijela minuenda, podijeliti je na one dijelove u kojima je izražen razlomak i dodati razlomku minuenda. A onda će se oduzimanje izvesti na isti način kao u prethodnom primjeru:
§ 89. Množenje razlomaka.
Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka s razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam interesa.
7. Pronalaženje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih uzastopno.
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množitelja) cijelim brojem (množitelj) znači sastavljanje zbroja identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.
Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:
Lako smo dobili rezultat, budući da se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Stoga,
Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju tog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegova brojnika
ili smanjenjem njegovog nazivnika 
, tada brojnik možemo ili pomnožiti cijelim brojem, ili nazivnik podijeliti s njim, ako je takva podjela moguća.
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, trebate pomnožiti brojnik s ovim cijelim brojem i ostaviti nazivnik isti, ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s ovim brojem, a brojnik ostane nepromijenjen.
Prilikom množenja moguće su kratice, na primjer:
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Mnogo je zadataka u kojima morate pronaći ili izračunati dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo navesti primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.
Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca potrošio sam na kupnju knjiga. Koliko su knjige koštale?
Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?
Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko kuće od cigle?
Ovdje su neki od mnogih problema s kojima se moramo nositi da bismo pronašli djelić zadanog broja. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje djelića zadanog broja.
Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:
Rješenje problema 2. Značenje problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunaj prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni količnik, odnosno pomnožiti s 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, kojih je 3/4 od 400. Najprije pronađimo 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Za izračunavanje tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent se mora utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:
Da biste pronašli vrijednost razlomka određenog broja, trebate ovaj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
Ranije (§ 26) utvrđeno je da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). U ovom stavku (stav 1.) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji je jednak ovom razlomku.
U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbroja identičnih članova.
Sada prelazimo na množenje cijelog broja s razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.
Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti tu radnju.
Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.
Naime, množenje 9 s 2/3 znači pronaći 2/3 od devet jedinica. U prethodnom paragrafu takvi problemi su riješeni; pa je lako shvatiti da smo na kraju sa 6.
Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto baš na prvi pogled razne aktivnosti kako pronaći zbroj jednaki brojevi i pronalaženje razlomka broja, u aritmetici se nazivaju istom riječju "množenje"?
To se događa jer prethodna radnja (ponavljanje broja s pojmovima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.
Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?
Ovaj se problem rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalji).
Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?
Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).
Brojeve u njemu također možete mijenjati nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.
Budući da ti zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju – množenje.
Kako se cijeli broj množi s razlomkom?
Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:
Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 od 50 je .
Stoga.
Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?
1/8 od 12 je 12/8,
5/8 broja 12 je .
Stoga,
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste cijeli broj pomnožili s razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Ovo pravilo pišemo slovima:
Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno usporediti pronađeno pravilo s pravilom množenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38.
Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, Na primjer:
4. Množenje razlomka s razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, trebate pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množitelja).
Naime, množenje 3/4 s 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.
Kako množite razlomak s razlomkom?
Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7
1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:
5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:
Tako,
Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.
1/9 od 5/8 je ,
4/9 brojevi 5/8 su .
Tako, 
Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi umnožak nazivnikom proizvoda.
Ovo je pravilo u opći pogled može se napisati ovako:
Prilikom množenja potrebno je napraviti (ako je moguće) redukcije. Razmotrimo primjere:
5. Množenje mješovitih brojeva. Kao mješoviti brojevi može se lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da se u onim slučajevima kada su množitelj, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, oni se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvaramo u nepravilan razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom:
Pravilo. Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom.
Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvesti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:
6. Pojam interesa. Pri rješavanju zadataka i pri izvođenju raznih praktičnih proračuna koristimo se sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne priznaju bilo kakve, već prirodne podrazdjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stotine su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički doniraju Nemojte uzeti, na primjer, 2/7 rubalja jer rublja nije podijeljena na sedmine.
Jedinica mjerenja težine, odnosno kilogram, dopušta, prije svega, decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve frakcije kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1 /13 su neuobičajeni.
Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalne podjele.
Međutim, treba napomenuti da je iznimno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (jednoličnu) metodu podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je tako opravdana podjela podjela na "stotke". Razmotrimo nekoliko primjera vezanih uz najrazličitija područja ljudske prakse.
1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.
Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.
2. Štedionice tijekom godine isplaćuju štedišama 2/100 iznosa koji se stavlja na štednju.
Primjer. 500 rubalja stavlja se u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.
PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, od kojih je 60 završilo školu.
Stoti dio broja naziva se postotak..
Riječ "postotak" posuđena je iz latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači "za stotinu". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari Rim kamate je bio novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svakih sto". Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).
Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom proteklog mjeseca. Umjesto da kažemo: pogon je proizveo 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: pogon je premašio plan za 4 posto.
Gornji primjeri mogu se drugačije izraziti:
1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.
2. Štedionice plaćaju štedišama 2 posto godišnje od iznosa uloženog u štednju.
3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5 posto od broja svih učenika u školi.
Kako bismo skratili slovo, uobičajeno je umjesto riječi "postotak" pisati znak %.
Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.
Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:
Suprotno tome, trebate se naviknuti pisati cijeli broj s naznačenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:
7. Pronalaženje postotaka zadanog broja.
Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog drveta?
Smisao ovog problema je da je brezovo ogrjev samo dio ogrjevnog drva koje je dostavljeno školi, a taj dio se izražava kao razlomak 30/100. Dakle, pred nama je zadatak da pronađemo djelić broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti s 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja s razlomkom.).
Dakle, 30% od 200 jednako je 60.
Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom zadatku može se smanjiti za 10. Ovu redukciju bilo bi moguće izvesti od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.
Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djeca od 11 godina bila su 21%, djeca od 12 godina bila su 61% i konačno 13-godišnjaci bili su 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?
U ovom zadatku trebate izvesti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.
Dakle, ovdje će biti potrebno pronaći razlomak broja tri puta. Učinimo to:
1) Koliko je djece imalo 11 godina?
2) Koliko je djece imalo 12 godina?
3) Koliko je djece imalo 13 godina?
Nakon rješavanja zadatka, korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Također treba obratiti pažnju na činjenicu da je zbroj postotaka navedenih u stanju problema 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ovo sugerira da ukupni broj djeca koja su bila u kampu uzeta je kao 100%.
3 a da cha 3. Radnik je primao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u zadatku?
Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.
1) Koliko se novca troši na hranu? Zadatak kaže da je ovaj trošak 65% svih zarada, tj. 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:
2) Koliko je novca plaćeno za stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedeće računice:
3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?
4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?
5) Koliko je novca radnik uštedio?
Za provjeru je korisno dodati brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u opisu problema.
Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su se ti zadaci odnosili na različite stvari (dostava drva za ogrjev za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto zadanih brojeva.
§ 90. Dijeljenje razlomaka.
Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja po postotku.
Razmotrimo ih uzastopno.
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u činjenici da se, s obzirom na umnožak dvaju čimbenika (dividenda) i jednog od tih čimbenika (djelitelj), pronađe drugi faktor.
Dijeljenje cijelog broja cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tamo smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka ili "u potpunosti" (150:10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100:9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva mogućim (isključuje se samo dijeljenje s nulom).
Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronaći broj čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.
Dakle, da biste cijeli broj podijelili cijelim brojem, trebate napraviti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik je djelitelj.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.
Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani proizvod 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio smanjiti razlomak 6/7 za 3 puta.
Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:
U ovom slučaju brojnik 6 je djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.
Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da ćete nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:
Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka s tim brojem, ostavljajući isti brojnik.
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 5 s 1 / 2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja s 1 / 2, dati umnožak 5. Očito, ovaj broj mora biti veći od 5, budući da je 1 / 2 pravi razlomak, a kod množenja broja s pravim razlomkom umnožak mora biti manji od množitelja. Da bi bilo jasnije, napišimo naše radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1 / 2 \u003d 5.
Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznati datum x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.
Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Provjerimo: 
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo najprije pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).
sl.19
Nacrtajte odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, i svaku jedinicu podijelite na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinicama 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Stoga,
Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo izračune? Argumentirati ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2 / 3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko puta je 2 / 3 sadržano u 6. Najprije otkrijmo: koliko je puta 1 / 3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo 6 pomnožiti s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9. Stoga, kada smo dijelili 6 sa 2/3 učinili smo sljedeće:
Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja s razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, trebate ovaj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom danog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.
Pravilo pišemo slovima:
Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.
Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 3/4 sa 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).
Uzmite segment AB, uzmite ga kao jedinicu, podijelite ga na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta s lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da je segment jednak 3/8 sadržan u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:
Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja s 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 nepoznati broj x čine 15/16
1/32 nepoznati broj x je ,
32 / 32 brojeva x šminka .
Stoga,
Dakle, da biste razlomak podijelili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti brojnikom drugog i prvi proizvod učiniti brojnikom i drugo nazivnik.
Napišimo pravilo pomoću slova:
Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva najprije ih je potrebno pretvoriti u nepravilne razlomke, a potom dobivene razlomke podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Razmotrimo primjer:
Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Sada podijelimo:
Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
Među razne zadatke na razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je zadan broj i trebalo je pronaći neki djelić tog broja, ovdje je zadan djelić broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.
Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?
Odluka. Problem kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, t.j.
Kuća je imala 150 prozora.
Zadatak 2. U trgovini je prodano 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna u trgovini. Koja je bila početna zaliha brašna u trgovini?
Odluka. Iz stanja zadatka se vidi da prodanih 1500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 za 3 puta:
1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionice).
Očito će cijela zaliha biti 8 puta veća. Stoga,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Početna zaliha brašna u trgovini iznosila je 4.000 kg.
Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.
Da biste pronašli broj po zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti nazivnikom razlomka.
Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja s obzirom na njegov razlomak. Takvi se problemi, kako se to posebno dobro vidi iz zadnjeg, rješavaju s dvije radnje: dijeljenjem (kada se pronađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).
Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, navedeni problemi se mogu riješiti jednom radnjom, a to je: dijeljenje razlomkom.
Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti u jednoj radnji ovako:
U budućnosti ćemo rješavati problem pronalaženja broja po razlomku u jednoj radnji – dijeljenju.
7. Pronalaženje broja po postotku.
U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, poznavajući nekoliko posto tog broja.
Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio u štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)
Smisao problema je u tome što sam određenu svotu novca stavio u štedionicu i tamo je ležao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?
Stoga, poznavajući dio tog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći zadaci:
Dakle, 3000 rubalja uloženo je u štedionicu.
Zadatak 2. Ribari su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64%, pripremivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?
Iz stanja problema doznaje se da su ribari odradili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje zadatka sastojat će se u pronalaženju ovog broja.
Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:
Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.
Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika upitao je konduktera u prolazu koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Koja je udaljenost od Rige do Moskve?
Iz stanja zadatka se vidi da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Trebamo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:
§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.
Uzmimo razlomak 2/3 i presložimo brojnik na mjesto nazivnika, dobivamo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovog.
Da biste dobili razlomak recipročan zadanom, trebate staviti njegov brojnik na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:
3/4, obrnuto 4/3; 5/6, obrnuto 6/5
Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvog nazivnik drugog, a nazivnik prvog brojnik drugog naziva se međusobno inverzne.
Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izoliran; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:
1 / 3, inverzno 3; 1/5, obrnuto 5
Budući da smo se pri traženju recipročnih vrijednosti susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim vrijednostima, već o recipročnim vrijednostima.
Hajde da shvatimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke to se rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročan broj i za cijeli broj, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Dakle, recipročna vrijednost od 7 će biti 1 / 7, jer je 7 \u003d 7 / 1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1
Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan s zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj koji je recipročan razlomku 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.
Istaknimo sada jednu imovine međusobno recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:
Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći recipročne vrijednosti na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost 8.
Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1 / 8 . Nađimo drugi broj, obrnut od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .
Ovdje smo uveli pojam recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o podjeli razlomaka.
Kada broj 6 podijelimo s 3/5, radimo sljedeće:
Platiti Posebna pažnja na izraz i usporedi ga sa zadanim: .
Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako da možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende s recipročnom vrijednosti djelitelja.
Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.
Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje razlomka s razlomkom.
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)
Razmotrimo primjer:
Brojnik prvog razlomka množimo s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka također množimo s nazivnikom drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.
Množenje razlomka brojem.
Počnimo s pravilom bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Koristimo ovo pravilo za množenje.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) je pretvoreno u miješana frakcija.
Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom i ostavite nazivnik nepromijenjen. Primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Za množenje mješovitih razlomaka, najprije morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi sa nazivnikom.
Primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \puts 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzni razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni. Umnožak recipročnih razlomaka je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak miješanih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako množiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno jesu li nazivnici razlomaka isti ili različiti, množenje se događa prema pravilu za pronalaženje umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.
Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.
Kako pomnožiti broj s razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj s brojnikom, a nazivnik ostavimo istim.
Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Odluka:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)
Odluka:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte umnožak dvaju recipročnih razlomaka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)
Odluka:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) prirodni brojevi u isto vrijeme?
Odluka:
a) Uzmimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je točan, njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac(3)(2)\) – nepravilan razlomak. Odgovor: ne.
b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije zadovoljen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uvjet da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilni razlomak je \(\frac(3)(3)\) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac(3)(3)\). Dobivamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima, kada su brojnik i nazivnik jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Broj 1 prirodni broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.
Primjer #6:
Izvedite umnožak miješanih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puts 3\frac(2)(7)\ )
Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti istovremeno mješoviti brojevi?
Pogledajmo primjer. Uzmite mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađite ga recipročan, za to ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.
Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka na nekoliko mogućih načina.
Množenje razlomka s razlomkom
Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.
Do pomnožiti razlomak s razlomkom, potrebno:
- pomnoži brojnik prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i upiše njihov umnožak u brojnik novog razlomka;
- pomnoži nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka i njihov umnožak upiše u nazivnik novog razlomka;
- Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
- Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima
Prije množenja brojnika i nazivnika provjerite mogu li se razlomci smanjiti. Smanjenje razlomaka u izračunima uvelike će olakšati vaše izračune.
Množenje razlomka prirodnim brojem
Na razlomke pomnožiti prirodnim brojem trebate pomnožiti brojnik razlomka s ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.
Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.
Množenje mješovitih brojeva
Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem
Ponekad je pri izračunavanju prikladnije koristiti drugu metodu množenja obični razlomak na broj.
Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, nazivnik razlomka trebate podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti istim.
Kao što se može vidjeti iz primjera, prikladnije je koristiti ovu verziju pravila ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.
Radnje s razlomcima
Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje razlomaka je dvije vrste:
Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjen:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:
Primjer 2 Dodajte razlomke i .
Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:
Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatku, onda iz ne pravilni razlomci prihvatio da se riješi. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena s dva jednako je jedan:
Ovaj primjer može se lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:
Primjer 3. Dodajte razlomke i .
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobit ćete pizze:
Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Moraju se dodati brojnici, a nazivnik ostati nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.
Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti istim;
- Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.
- Nađi LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
- Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
- Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
- Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;
- Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
- Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.
Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.
Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina za smanjenje razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.
Bit ove metode je da se najprije traži najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - NOC se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.
Primjer 1. Dodajte razlomke i
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i iznad nje zapišemo pronađeni dodatni faktor:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:
Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima:
Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:
Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestinu pizze:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika bit će što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).
Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).
Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljan. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i nazivnici. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama studija matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo gornji dijagram.
Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka
Nalazimo LCM za nazivnike oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve trebate pronaći LCM:
Korak 2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak
LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada LCM dijelimo nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima
Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Zbrojiti:
Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.
Korak 5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli broj
Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:
Dobio odgovor
Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti. Napravimo to:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.
Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:
Odgovor je nepravilan razlomak. Ako je primjer potpun, uobičajeno je da se riješite nepravilnog razlomka. Riješimo se pogrešnog razlomka u odgovoru. Da biste to učinili, odaberite cijeli njegov dio:
Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:
Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobijemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Napišemo trojku preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:
Dobio odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze.
Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ti će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):
Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.
Nađite LCM nazivnika tih razlomaka.
Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik tih brojeva je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 s 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:
Odgovor se pokazao točnim razlomkom, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali bismo ga učiniti jednostavnijim i estetski ugodnijim. Što može biti učinjeno? Ovu frakciju možete smanjiti. Podsjetimo da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika najvećim zajednički djelitelj brojnik i nazivnik.
Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.
Nemojte brkati GCD s NOC. Najčešća pogreška koju čine mnogi početnici. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo ga za smanjenje frakcija.
A LCM je najmanji zajednički višekratnik. Nalazimo ga kako bismo razlomke doveli na isti (zajednički) nazivnik.
Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (gcd) brojeva 20 i 30.
Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:
GCD (20 i 30) = 10
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s 10:
Dobio si lijep odgovor
Množenje razlomka brojem
Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.
Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.
Pomnožite brojnik razlomka brojem 1
Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu
Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj izmijene, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet, funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojnik razlomka sa 4
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.
A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.
Dobio odgovor. Poželjno je smanjiti zadani razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:
Kako uzeti dvije trećine od ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Dobit ćemo pizzu. Zapamtite kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:
Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:
Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza
Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, mora se podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:
GCD za (105 i 150) je 15
Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD:
Predstavljanje cijelog broja kao razlomka
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:
Obrnuti brojevi
Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".
Definicija. Obrnuto na broj a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedinicu.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.
Je li moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo obrnuto:
Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:
To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.
Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
- recipročna vrijednost 3 je razlomak
- recipročna vrijednost 4 je razlomak
Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). tj.:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:
U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz s desne strane):
Osjeti razliku? 4 i 1/9!
Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:
zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!
I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:
Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.
To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Bilješka praktični savjeti, a njih (greške) će biti manje!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! To nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.
2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - prijeđite na obične razlomke.
3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.
4. Razlomačke izraze na više razina svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).
5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.
Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.
Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Samo nakon pogledaj odgovore.
Izračunati:
Jeste li se odlučili?
Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni proračuni s razlomcima - nije vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
