Pravilni i nepravilni razlomci. Nepravilan razlomak

Obični razlomci se dijele na \textit (pravilne) i \textit (nepravilne) razlomke. Ova se podjela temelji na usporedbi brojnika i nazivnika.

Pravilni razlomci

Ispravan razlomak pozvao obični razlomak$\frac(m)(n)$, čiji je brojnik manji od nazivnika, tj. milijuna dolara

Primjer 1

Na primjer, razlomci $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ su pravilni , pa kako je u svakom od njih brojnik manji od nazivnika, što odgovara definiciji pravilnog razlomka.

Postoji definicija pravilnog razlomka, koja se temelji na usporedbi razlomka s jedinicom.

ispravan, Ako ona manje od jedan:

Primjer 2

Na primjer, obični razlomak $\frac(6)(13)$ je pravilan jer uvjet $\frac(6)(13)

Nepravilni razlomci

Nepravilan razlomak je običan razlomak $\frac(m)(n)$ čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku, tj. $m\ge n$.

Primjer 3

Na primjer, razlomci $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ su nepravilni , pa kako je u svakom od njih brojnik veći ili jednak nazivniku, što odgovara definiciji nepravilnog razlomka.

Dajmo definiciju nepravilnog razlomka, koja se temelji na njegovoj usporedbi s jedinicom.

Obični razlomak $\frac(m)(n)$ je krivo ako je jednak ili veći od jedan:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Primjer 4

Na primjer, obični razlomak $\frac(21)(4)$ je nepravilan jer uvjet $\frac(21)(4) >1$ je zadovoljen;

obični razlomak $\frac(8)(8)$ je nepravilan jer uvjet $\frac(8)(8)=1$ je zadovoljen.

Razmotrimo detaljnije koncept nepravilnog razlomka.

Uzmimo $\frac(7)(7)$ kao primjer. Vrijednost ovog razlomka uzima se kao sedam dijelova objekta, koji je podijeljen na sedam jednakih dijelova. Dakle, od sedam dostupnih dionica možete sastaviti cijelu temu. Oni. nepravilan razlomak$\frac(7)(7)$ opisuje cijelu stavku i $\frac(7)(7)=1$. Zato nemojte pravilni razlomci, čiji je brojnik jednak nazivniku, opisuju jedan cijeli objekt i takav se razlomak može zamijeniti prirodnim brojem $1$.

$\frac(5)(2)$ -- prilično je očito da ovih pet drugih dijelova može napraviti $2$ cijelih predmeta (jedna cijela stavka će činiti $2$ dijelova, a da biste napravili dvije cijele stavke trebate $2+2=4$ dionica) a jedna druga dionica ostaje. To jest, nepravilni razlomak $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ stavke i $\frac(1)(2)$ te stavke.

$\frac(21)(7)$ -- dvadeset i jedna sedmina može napraviti $3$ cijelih stavki ($3$ stavke sa $7$ dionica svaka). Oni. razlomak $\frac(21)(7)$ opisuje $3$ cijele brojeve.

Iz razmatranih primjera može se izvesti sljedeći zaključak: nepravilan razlomak može se zamijeniti prirodnim brojem ako je brojnik potpuno djeljiv nazivnikom (na primjer, $\frac(7)(7)=1$ i $\ frac(21)(7)=3$) , ili zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka ako brojnik nije ni djeljiv s nazivnikom (na primjer, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Stoga se takvi razlomci nazivaju krivo.

Definicija 1

Postupak predstavljanja nepravilnog razlomka kao zbroja prirodnog broja i pravilnog razlomka (na primjer, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) naziva se izdvajanje cijelog broja iz nepravilnog razlomka.

Pri radu s nepravilnim razlomcima postoji bliska veza između njih i mješoviti brojevi.

Nepravilan razlomak se često piše kao mješoviti broj, broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka.

Da biste napisali nepravilan razlomak kao mješoviti broj, morate brojnik podijeliti nazivnikom s ostatkom. Kvocijent će biti cijeli dio mješovitog broja, ostatak će biti brojnik razlomaka, a djelitelj će biti nazivnik razlomaka.

Primjer 5

Napiši nepravilni razlomak $\frac(37)(12)$ kao mješoviti broj.

Riješenje.

Podijelite brojnik s nazivnikom s ostatkom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ostatak\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odgovor.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Da biste mješoviti broj napisali kao nepravilan razlomak, trebate pomnožiti nazivnik s cijelim dijelom broja, dodati brojnik razlomka u proizvod koji je ispao, a dobiveni iznos upisati u brojnik razlomka. Nazivnik nepravilnog razlomka bit će jednak nazivniku razlomka mješovitog broja.

Primjer 6

Napiši mješoviti broj $5\frac(3)(7)$ kao nepravilan razlomak.

Riješenje.

Odgovor.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Zbrajanje mješovitog broja i pravilnog razlomka

Dodavanje mješovitog broja$a\frac(b)(c)$ i pravi razlomak$\frac(d)(e)$ izvodi se dodavanjem razlomka zadanog mješovitog broja danom razlomku:

Primjer 7

Dodajte pravi razlomak $\frac(4)(15)$ i mješoviti broj $3\frac(2)(5)$.

Riješenje.

Upotrijebimo formulu za zbrajanje mješovitog broja i pravilnog razlomka:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ lijevo(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( petnaest)\]

Po kriteriju dijeljenja brojem \textit(5 ) može se odrediti da je razlomak $\frac(10)(15)$ reducibilan. Izvršite redukciju i pronađite rezultat zbrajanja:

Dakle, rezultat zbrajanja pravilnog razlomka $\frac(4)(15)$ i mješovitog broja $3\frac(2)(5)$ je $3\frac(2)(3)$.

Odgovor:$3\frac(2)(3)$

Zbrajanje mješovitog broja i nepravilnog razlomka

Zbrajanje nepravilnog razlomka i mješovitog broja svesti na zbrajanje dva mješovita broja, za što je dovoljno odabrati cijeli dio iz nepravilnog razlomka.

Primjer 8

Izračunajte zbroj mješovitog broja $6\frac(2)(15)$ i nepravilnog razlomka $\frac(13)(5)$.

Riješenje.

Prvo izdvajamo cijeli broj iz nepravilnog razlomka $\frac(13)(5)$:

Odgovor:$8\frac(11)(15)$.

Na riječ "frakcije" mnoge se naježi. Jer se sjećam škole i zadataka koji su se rješavali iz matematike. To je bila dužnost koju je trebalo ispuniti. Ali što ako zadatke koji sadrže ispravne i nepravilne razlomke tretiramo kao zagonetku? Uostalom, mnogi odrasli rješavaju digitalne i japanske križaljke. Shvatite pravila i to je to. Isto ovdje. Treba samo uroniti u teoriju - i sve će doći na svoje mjesto. A primjeri će se pretvoriti u način treniranja mozga.

Koje vrste razlomaka postoje?

Krenimo od onoga što je. Razlomak je broj koji ima neki razlomak od jedan. Može se napisati u dva oblika. Prvi se naziva običnim. Odnosno onaj koji ima vodoravni ili kosi potez. Jednako je sa znakom dijeljenja.

U takvom zapisu broj iznad crtice naziva se brojnik, a ispod naziva nazivnik.

Među običnim razlomcima razlikuju se pravi i krivi razlomci. Za prvi je brojnik po modulu uvijek manji od nazivnika. Pogrešni se tako zovu jer imaju suprotno. Vrijednost pravog razlomka uvijek je manja od jedan. Dok je pogrešan uvijek veći od ovog broja.

Postoje i mješoviti brojevi, odnosno oni koji imaju cijeli broj i razlomak.

Druga vrsta zapisa je decimal. O njenom odvojenom razgovoru.

Koja je razlika između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva?

Uglavnom, ništa. To je samo drugačiji zapis istog broja. Nepravilni razlomci nakon jednostavnih operacija lako postaju mješoviti brojevi. I obrnuto.

Sve ovisi o konkretnu situaciju. Ponekad je u zadacima prikladnije koristiti nepravilan razlomak. A ponekad ga je potrebno prevesti u mješoviti broj i tada će se primjer vrlo lako riješiti. Stoga, što koristiti: nepravilni razlomci, mješoviti brojevi - ovisi o promatranju rješavača problema.

Mješoviti broj se također uspoređuje sa zbrojem cjelobrojnog dijela i razlomka. Štoviše, drugo je uvijek manje od jedinice.

Kako mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak?

Ako želite izvršiti neku radnju s nekoliko brojeva koji su upisani u različiti tipovi, onda ih trebate učiniti istim. Jedna od metoda je predstavljanje brojeva kao nepravilnih razlomaka.

U tu svrhu morat ćete slijediti sljedeći algoritam:

• pomnoži nazivnik cijelim dijelom;
• rezultatu dodajte vrijednost brojnika;
• napiši odgovor iznad crte;
• ostavite nazivnik isti.

Evo primjera kako napisati nepravilne razlomke iz mješovitih brojeva:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Kako napisati nepravilan razlomak kao mješoviti broj?

Sljedeća metoda je suprotna od gore opisane. To jest, kada se svi mješoviti brojevi zamijene nepravilnim razlomcima. Algoritam radnji bit će sljedeći:

• podijelite brojnik s nazivnikom da dobijete ostatak;
• umjesto cjelobrojnog dijela pomiješanog upiši kvocijent;
• ostatak treba staviti iznad crte;
• djelitelj će biti nazivnik.

Primjeri takve transformacije:

76/14; 76:14 = 5 s ostatkom 6; odgovor je 5 cijelih brojeva i 6/14; frakcijski dio u ovom primjeru treba smanjiti za 2, dobivate 3/7; konačni odgovor je 5 cijelih 3/7.

108/54; nakon dijeljenja dobije se kvocijent 2 bez ostatka; to znači da se svi nepravilni razlomci ne mogu predstaviti kao mješoviti broj; odgovor je cijeli broj - 2.

Kako pretvoriti cijeli broj u nepravilan razlomak?

Postoje situacije kada je takva akcija neophodna. Da biste dobili nepravilne razlomke s unaprijed određenim nazivnikom, morat ćete izvesti sljedeći algoritam:

• pomnožiti cijeli broj sa željenim nazivnikom;
• napišite ovu vrijednost iznad crte;
• ispod njega stavi nazivnik.

Najjednostavnija opcija je kada je nazivnik jednak jedan. Tada nema potrebe za množenjem. Dovoljno je samo napisati cijeli broj, koji je dat u primjeru, a ispod reda staviti jedinicu.

Primjer: Neka 5 bude nepravilan razlomak s nazivnikom 3. Nakon množenja 5 s 3, dobit ćete 15. Ovaj broj će biti nazivnik. Odgovor na zadatak je razlomak: 15/3.

Dva pristupa rješavanju zadataka s različitim brojevima

U primjeru je potrebno izračunati zbroj i razliku, kao i umnožak i kvocijent dvaju brojeva: 2 cijela broja 3/5 i 14/11.

U prvom pristupu mješoviti broj će biti predstavljen kao nepravilan razlomak.

Nakon izvođenja gore opisanih koraka, dobivate sljedeću vrijednost: 13/5.

Da biste saznali zbroj, trebate svesti razlomke na isti nazivnik. 13/5 pomnoženo s 11 postaje 143/55. A 14/11 nakon množenja s 5 poprimit će oblik: 70/55. Da biste izračunali zbroj, trebate samo zbrojiti brojnike: 143 i 70, a zatim zapisati odgovor s jednim nazivnikom. 213/55 - ovaj nepravilni razlomak je odgovor na problem.

Prilikom pronalaženja razlike oduzimaju se ti isti brojevi: 143 - 70 = 73. Odgovor je razlomak: 73/55.

Prilikom množenja 13/5 i 14/11, ne morate svesti na zajednički nazivnik. Samo pomnožite brojnike i nazivnike u parovima. Odgovor će biti: 182/55.

Isto tako i s podjelom. Za ispravna odluka trebate zamijeniti dijeljenje množenjem i okrenite djelitelj: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

U drugom pristupu Nepravilan razlomak postaje mješoviti broj.

Nakon izvođenja radnji algoritma, 14/11 će se pretvoriti u mješoviti broj s cijelim dijelom 1 i razlomkom 3/11.

Prilikom izračunavanja zbroja potrebno je zasebno zbrojiti cijeli broj i razlomak. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konačni odgovor je 3 cijela 48/55. U prvom pristupu bio je razlomak 213/55. Točnost možete provjeriti pretvaranjem u mješoviti broj. Nakon dijeljenja 213 s 55, kvocijent je 3, a ostatak je 48. Lako je vidjeti da je odgovor točan.

Prilikom oduzimanja, znak "+" zamjenjuje se "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Da biste provjerili odgovor iz prethodnog pristupa, trebate ga pretvoriti u mješoviti broj: 73 se podijeli sa 55 i dobijete kvocijent od 1 i ostatak od 18.

Za pronalaženje proizvoda i kvocijenta nezgodno je koristiti mješovite brojeve. Ovdje se uvijek preporuča prijeći na nepravilne razlomke.

Ovaj članak je o obični razlomci. Ovdje ćemo se upoznati s pojmom razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Zatim ćemo se zadržati na prihvaćenom zapisu za obične razlomke i dati primjere razlomaka, recimo o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga dat ćemo definicije točnih i nepravilnih, pozitivnih i negativnih razlomaka, a također ćemo razmotriti položaj razlomaka na koordinatni snop. U zaključku navodimo glavne radnje s razlomcima.

Navigacija po stranici.

Dionice cjeline

Prvo predstavljamo dijeliti koncept.

Pretpostavimo da imamo neki objekt sastavljen od nekoliko apsolutno identičnih (odnosno jednakih) dijelova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko jednakih dijelova, ili naranču koja se sastoji od nekoliko jednakih kriški. Svaki od tih jednakih dijelova koji čine cijeli predmet naziva se udio u cjelini ili jednostavno dionice.

Imajte na umu da su udjeli različiti. Objasnimo ovo. Recimo da imamo dvije jabuke. Prvu jabuku prerežemo na dva jednaka dijela, a drugu na 6 jednakih dijelova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke.

Ovisno o broju udjela koji čine cijeli objekt, ti udjeli imaju svoja imena. Hajdemo analizirati podijeliti imena. Ako se predmet sastoji od dva dijela, bilo koji od njih naziva se jednim drugim dijelom cijelog objekta; ako se objekt sastoji od tri dijela, onda se bilo koji od njih naziva jednim trećim dijelom i tako dalje.

Jedan drugi ritam ima poseban naziv - pola. Jedna trećina se zove treći, i jedan četverostruk - četvrtina.

Kratkoće radi, sljedeće oznake udjela. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna treća dionica - kao ili 1/3; jedna četvrtina udjela - like ili 1/4, i tako dalje. Imajte na umu da se oznaka s vodoravnom trakom češće koristi. Da bismo konsolidirali gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava sto šezdeset i sedmi dio cjeline.

Koncept udjela prirodno se proteže od objekata do veličina. Na primjer, jedna od mjera duljine je metar. Za mjerenje duljina manjih od metra mogu se koristiti razlomci metra. Tako možete koristiti, na primjer, pola metra ili desetinku ili tisućiti dio metra. Slično se primjenjuju i udjeli ostalih količina.

Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka

Za opisivanje se koristi broj dionica obični razlomci. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da pristupimo definiciji običnih razlomaka.

Neka se naranča sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele naranče, odnosno . Označimo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , i tako dalje, 12 otkucaja kao . Svaki od ovih unosa naziva se običan razlomak.

Sada dajmo generalku definicija običnih razlomaka.

Izražena definicija običnih razlomaka omogućuje nam da donesemo primjeri običnih razlomaka: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . A evo i zapisa ne odgovaraju glasnoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.

Brojnik i nazivnik

Radi praktičnosti razlikujemo u običnim razlomcima brojnik i nazivnik.

Definicija.

Brojač obični razlomak (m / n) je prirodan broj m.

Definicija.

Nazivnik obični razlomak (m / n) je prirodan broj n.

Dakle, brojnik se nalazi iznad crte razlomaka (lijevo od kose crte), a nazivnik ispod crte razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojnik ovog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.

Ostaje raspraviti značenje sadržano u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Nazivnik razlomka pokazuje od koliko se dionica sastoji jedna stavka, brojnik, pak, označava broj takvih udjela. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedan predmet sastoji od pet dijelova, a brojnik 12 znači da se uzima 12 takvih dijelova.

Prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1

Nazivnik običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju možemo pretpostaviti da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, to je nešto cjelovito. Brojnik takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih predmeta uzeto. Dakle, obični razlomak oblika m/1 ima značenje prirodnog broja m. Ovako smo potkrijepili jednakost m/1=m .

Prepišimo posljednju jednakost ovako: m=m/1 . Ova nam jednakost omogućuje da bilo koji prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103498 je razlomak 103498/1.

Tako, bilo koji prirodni broj m može se predstaviti kao obični razlomak s nazivnikom 1 kao m/1 , a svaki obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.

Razlomak kao znak dijeljenja

Prikaz izvornog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo nego podjela na n jednakih dijelova. Nakon što je stavka podijeljena na n dionica, možemo je podijeliti na n ljudi - svaki će dobiti jedan dio.

Ako u početku imamo m identičnih objekata, od kojih je svaki podijeljen na n udjela, onda možemo jednako podijeliti tih m objekata na n ljudi, dajući svakoj osobi po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica 1/n, a m dionica 1/n daje obični razlomak m/n. Dakle, obični razlomak m/n može se koristiti za predstavljanje podjele m stavki među n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (vidi opću ideju dijeljenja prirodnih brojeva). Ovaj odnos se izražava na sljedeći način: Prečka razlomka može se shvatiti kao znak dijeljenja, odnosno m/n=m:n.

Uz pomoć običnog razlomka možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodni brojevi, za koje se ne izvodi cjelobrojno dijeljenje. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka s 8 osoba može se napisati kao 5/8, odnosno svaki će dobiti pet osminki jabuke: 5:8=5/8.

Jednaki i nejednaki obični razlomci, usporedba razlomaka

Prilično prirodno djelovanje je usporedba običnih razlomaka, jer je jasno da se 1/12 naranče razlikuje od 5/12, a 1/6 jabuke je isto što i druga 1/6 ove jabuke.

Kao rezultat usporedbe dvaju običnih razlomaka, dobiva se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nisu jednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, a u drugom nejednaki obični razlomci. Dajmo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.

Definicija.

jednak, ako je jednakost a d=b c istinita.

Definicija.

Dva obična razlomka a/b i c/d nejednak, ako jednakost a d=b c nije zadovoljena.

Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, budući da je 1 4=2 2 (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je izrezana na pola, a druga - na 4 dijela. Očito je da je dvije četvrtine jabuke 1/2 dionice. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1620/1000.

A obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki, jer je 4 14=56 i 13 5=65, odnosno 4 14≠13 5. Drugi primjer nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.

Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, možda ćete morati saznati koji od ovih običnih razlomaka manje drugi, i koji više. Da bismo to saznali, koristi se pravilo za usporedbu običnih razlomaka, čija je bit dovesti uspoređene razlomke na zajednički nazivnik, a zatim usporediti brojnike. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.

Razlomci brojeva

Svaki razlomak je zapis razlomak broj. To jest, razlomak je samo "ljuska" razlomka, njegova izgled, a cjelokupno semantičko opterećenje sadržano je upravo u razlomku. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncept razlomka i razlomka se kombiniraju i jednostavno nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak – mislimo na razlomak, kažemo razlomak – mislimo na razlomak.

Razlomci na koordinatnoj gredi

Svi frakcijski brojevi koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto na , to jest, postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i točaka koordinatne zrake.

Da bismo došli do točke koja odgovara razlomku m / n na koordinatnoj zraci, potrebno je odgoditi m segmenata od ishodišta u pozitivnom smjeru, čija je duljina 1 / n jediničnog segmenta. Takvi se segmenti mogu dobiti dijeljenjem jednog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.

Na primjer, pokažimo točku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14/10. Duljina segmenta s krajevima u točki O i točki koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog segmenta. Točka s koordinatom 14/10 udaljena je od ishodišta za 14 takvih segmenata.

Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomku, odnosno jednaki razlomci su koordinate iste točke na koordinatnoj zraci. Na primjer, jedna točka odgovara koordinatama 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na koordinatnoj zraci, budući da su svi napisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od polovine jediničnog segmenta, odgođeno od ishodišta u pozitivnom smjeru).

Na horizontalnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci, točka čija je koordinata veliki razlomak nalazi se desno od točke čija je koordinata manji razlomak. Slično, točka s manjom koordinatom leži lijevo od točke s većom koordinatom.

Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri

Među običnim frakcijama ima pravilni i nepravilni razlomci. Ova podjela u osnovi ima usporedbu brojnika i nazivnika.

Dajmo definiciju pravih i nepravilnih običnih razlomaka.

Definicija.

Ispravan razlomak je običan razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika, odnosno ako je m

Definicija.

Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku, odnosno, ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan.

Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4 , , 32 765/909 003 . Doista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojnik je manji od nazivnika (ako je potrebno, pogledajte članak usporedbu prirodnih brojeva), pa su po definiciji točni.

A evo primjera nepravilnih razlomaka: 9/9, 23/4,. Doista, brojnik prvog od zapisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a u preostalim razlomcima brojnik je veći od nazivnika.

Postoje i definicije pravih i nepravilnih razlomaka temeljene na usporedbi razlomaka s jedinicom.

Definicija.

ispravan ako je manji od jedan.

Definicija.

Obični razlomak se zove krivo, ako je ili jednako jedan ili veće od 1 .

Dakle, obični razlomak 7/11 je točan, budući da je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Razmislimo o tome kako obični razlomci s brojnikom većim ili jednakim nazivniku zaslužuju takav naziv - "pogrešan".

Uzmimo za primjer nepravilni razlomak 9/9. Ovaj razlomak znači da se uzima devet dijelova predmeta koji se sastoji od devet dijelova. Odnosno, od raspoloživih devet dionica možemo sastaviti cijeli predmet. To jest, nepravilni razlomak 9/9 u biti daje cijeli objekt, to jest, 9/9=1. Općenito, nepravilni razlomci s brojnikom jednakim nazivniku označavaju jedan cijeli objekt, a takav se razlomak može zamijeniti prirodnim brojem 1.

Sada razmotrite nepravilne razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od ovih sedam trećina možemo napraviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt je 3 udjela, a za sastavljanje dva cijela objekta treba nam 3 + 3 = 6 dionica) i još će biti jedna trećina udjela. Odnosno, nepravilni razlomak 7/3 u biti znači 2 stavke, pa čak i 1/3 udjela takve stavke. A od dvanaest četvrtina možemo napraviti tri cijela predmeta (tri predmeta s po četiri dijela). To jest, razlomak 12/4 u biti znači 3 cijela objekta.

Razmatrani primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: nepravilni razlomci mogu se zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojnik u potpunosti podijeli nazivnikom (na primjer, 9/9=1 i 12/4=3), ili zbroj prirodni broj i pravi razlomak, kada brojnik nije jednako djeljiv nazivnikom (na primjer, 7/3=2+1/3). Možda je upravo to ono što nepravilni razlomci zaslužuju takvo ime - "pogrešno".

Posebno je zanimljiv prikaz nepravilnog razlomka kao zbroja prirodnog broja i pravilnog razlomka (7/3=2+1/3). Taj se proces naziva izdvajanjem cijelog broja iz nepravilnog razlomka i zaslužuje zasebno i pažljivije razmatranje.

Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo blizak odnos između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Svaki obični razlomak odgovara pozitivnom razlomku (vidi članak pozitivni i negativni brojevi). Odnosno, obični razlomci jesu pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada je potrebno naglasiti pozitivnost razlomka, tada se ispred njega stavlja znak plus, na primjer, +3/4, +72/34.

Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, tada će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju može se govoriti o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n suprotni su brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci.

Pozitivni razlomci, kao i pozitivni brojevi općenito, označavaju povećanje, prihod, promjenu neke vrijednosti naviše itd. Negativni razlomci odgovaraju trošku, dugu, promjeni bilo koje vrijednosti u smjeru smanjenja. Na primjer, negativni razlomak -3/4 može se tumačiti kao dug čija je vrijednost 3/4.

Na vodoravnoj i desnoj strani negativni razlomci nalaze se lijevo od referentne točke. Točke koordinatnog pravca čije su koordinate pozitivni ulomak m/n i negativni ulomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, ali na suprotnim stranama točke O .

Ovdje je vrijedno spomenuti razlomke oblika 0/n. Ti su razlomci jednaki broju nula, odnosno 0/n=0 .

Pozitivni razlomci, negativni razlomci i razlomci 0/n kombiniraju se da tvore racionalne brojeve.

Radnje s razlomcima

Jednu radnju s običnim razlomcima - uspoređivanje razlomaka - već smo razmotrili gore. Definirane su još četiri aritmetike operacije s razlomcima- zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Zadržimo se na svakom od njih.

Opća bit radnji s razlomcima slična je suštini odgovarajućih radnji s prirodnim brojevima. Povucimo analogiju.

Množenje razlomaka može se smatrati radnjom u kojoj se iz razlomka nalazi razlomak. Da pojasnimo, uzmimo primjer. Pretpostavimo da imamo 1/6 jabuke i da trebamo uzeti 2/3. Dio koji trebamo rezultat je množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dvaju običnih razlomaka je običan razlomak (koji je u određenom slučaju jednak prirodnom broju). Nadalje preporučamo da proučite podatke članka množenje razlomaka - pravila, primjere i rješenja.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

S razlomcima u životu susrećemo se mnogo prije nego što počnu učiti u školi. Ako cijelu jabuku prepolovite, onda ćemo dobiti komad voća - ½. Ponovno ga izrežite - bit će ¼. To su razlomci. I sve je, čini se, jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (a tu temu počinju proučavati na kraju osnovne škole) apstraktni matematički pojmovi su još uvijek zastrašujuće nerazumljivi, a učitelj mora na pristupačan način objasniti što su pravi razlomak, a što nepravilni, obični i decimalni, koje su operacije može se izvoditi s njima i, što je najvažnije, zašto je sve to potrebno.

Što su razlomci

Upoznavanje s novom temom u školi počinje običnim razlomcima. Lako ih je prepoznati po vodoravnoj crti koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Vrh se zove brojnik, dno se naziva nazivnik. Nepravilni i pravilni obični razlomci također se pišu malim slovima - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina reda ograničena i nije moguće primijeniti "dvokatni" oblik zapisa. Zašto? Da, jer je prikladnije. Malo kasnije ćemo to provjeriti.

Osim običnih, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je lako razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi vodoravna ili kosa crta, onda u drugom - zarez koji razdvaja nizove brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163,34; 1.953. Namjerno smo koristili točku i zarez kao graničnik za razgraničenje brojeva. Prvi od njih čitat će se ovako: "dva cijela, devet desetina".

Novi koncepti

Vratimo se običnim razlomcima. Oni su dvije vrste.

Definicija pravilnog razlomka je sljedeća: to je takav razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je to važno? Sad ćemo vidjeti!

Imate nekoliko jabuka izrezanih na polovice. Ukupno - 5 dijelova. Kako se kaže: imate jabuke "dvije i pol" ili "pet sekundi"? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije, a kada razgovaramo s prijateljima, koristit ćemo je. Ali ako trebate izračunati koliko će svaki dobiti voća, ako je u društvu pet ljudi, zapisat ćemo broj 5/2 i podijeliti ga s 5 - s gledišta matematike, to će biti jasnije.

Dakle, za imenovanje pravilnih i nepravilnih razlomaka vrijedi pravilo: ako se cijeli broj (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) može razlikovati u razlomku, onda je netočan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, bit će ispravno.

Osnovno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i nazivnik razlomka istovremeno pomnože ili podijele s istim brojem, njegova se vrijednost neće promijeniti. Zamislite: kolač je prerezan na 4 jednaka dijela i dali su vam jedan. Isti kolač je izrezan na osam dijelova i dao vam dva. Nije li svejedno? Uostalom, ¼ i 2/8 su ista stvar!

Smanjenje

Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često pokušavaju zbuniti učenike nudeći razlomke koje je glomazno napisati i koje se zapravo mogu smanjiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo, možemo to napisati kao ½. Broj 334 djeljiv je sa 167 bez ostatka - nakon ove operacije dobivamo 2.

mješoviti brojevi

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. To je kada se cijeli dio pomakne naprijed i napiše na razini vodoravne crte. Zapravo, izraz ima oblik zbroja: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.

Da biste izvadili cijeli dio, trebate brojnik podijeliti s nazivnikom. Ostatak dijeljenja napiši iznad, iznad crte i cijeli dio prije izraza. Tako dobivamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.

Također možete izvesti obrnutu operaciju - za to trebate pomnožiti cijeli broj s nazivnikom i dodati dobivenu vrijednost brojniku. Ništa komplicirano.

Množenje i dijeljenje

Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti vodoravnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

S dijeljenjem je sve također jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Zbrajanje razlomaka

Što ako trebate izvesti zbrajanje ili ako imaju različite brojeve u nazivniku? Neće raditi na isti način kao kod množenja - ovdje treba razumjeti definiciju pravilnog razlomka i njegovu bit. Potrebno je dovesti članove u zajednički nazivnik, odnosno na dnu oba razlomka trebaju se pojaviti isti brojevi.

Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela s istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako odabrati na koji nazivnik dovesti pojmove? Ovo mora biti najmanji višekratnik oba nazivnika: za 1/3 i 1/9 bit će 9; za ½ i 1/7 - 14, jer nema manje vrijednosti djeljive sa 2 i 7 bez ostatka.

Korištenje

Čemu služe nepravilni razlomci? Uostalom, mnogo je prikladnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i to je to! Ispada da je, ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije koristiti pogrešne.

Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Čini se da se uopće nema što rezati. Ali što ako rezultat zbrajanja u prvim zagradama zapišemo kao nepravilan razlomak? Pogledajte: (37/17) / (37/68)

Sada sve dolazi na svoje mjesto! Napišimo primjer na način da sve postane očito: (37 * 68) / (17 * 37).

Smanjimo 37 u brojniku i nazivniku i na kraju podijelimo gornji i donji dio sa 17. Sjećaš li se osnovnog pravila za prave i nepravilne razlomke? Možemo ih pomnožiti i podijeliti s bilo kojim brojem, sve dok to radimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.

Dakle, dobivamo odgovor: 4. Primjer je izgledao komplicirano, a odgovor sadrži samo jednu znamenku. To se često događa u matematici. Glavna stvar je ne bojati se i slijediti jednostavna pravila.

Uobičajene pogreške

Prilikom vježbanja učenik lako može napraviti jednu od popularnih pogrešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno deponiran u glavi.

Često zbroj brojeva u brojniku izaziva želju za smanjenjem njegovih pojedinačnih komponenti. Pretpostavimo da u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (s vodoravnom crtom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 odozgo i odozdo. Ali to se ni u kojem slučaju ne smije činiti, jer je to velika pogreška! Kada bi umjesto zbrajanja postojao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali pri zbrajanju nisu dopuštene operacije s jednim od pojmova, već samo s cijelim zbrojem.

Djeca često griješe pri dijeljenju razlomaka. Uzmimo dva pravilna nesvodljiva razlomka i podijelimo ih jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik može zbuniti i zapisati rezultirajući izraz kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, au našem slučaju sve će biti malo drugačije: (5 * 33) / (6 * 25). Smanjujemo ono što je moguće, a u odgovoru ćemo vidjeti 11/10. Dobiveni nepravilni razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.

Zagrade

Zapamtite da je u svakom matematičkom izrazu redoslijed operacija određen prioritetom znakova operacije i prisutnošću zagrada. Pod ostalim jednakim uvjetima, slijed radnji se broji s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku izračunava se strogo prema ovom pravilu.

To je rezultat dijeljenja jednog broja drugim. Ako se ne podijele u potpunosti, ispada djelić - to je sve.

Kako napisati razlomak na računalu

Budući da standardni alati ne dopuštaju uvijek stvaranje razlomka koji se sastoji od dva "sloja", studenti ponekad idu na razne trikove. Na primjer, oni kopiraju brojnike i nazivnike u uređivač Paint i lijepe ih zajedno, povlačeći vodoravnu crtu između njih. Naravno, postoji i jednostavnija opcija, koja, usput rečeno, također nudi puno dodatnih značajki koje će vam biti korisne u budućnosti.

Otvorite Microsoft Word. Jedna od ploča na vrhu zaslona zove se "Insert" - kliknite je. S desne strane, sa strane gdje se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se gumb Formula. To je upravo ono što nam treba!

Ako koristite ovu funkciju, na ekranu će se pojaviti pravokutna površina u kojoj možete koristiti sve matematičke simbole koji nisu dostupni na tipkovnici, kao i pisati razlomke u klasičnom obliku. To jest, odvajanje brojnika i nazivnika vodoravnom crtom. Možda ćete se čak i iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako zapisati.

Naučite matematiku

Ako ste u razredima 5-6, tada će uskoro biti potrebno znanje matematike (uključujući sposobnost rada s razlomcima!) u mnogim školskim predmetima. U gotovo svakom problemu u fizici, pri mjerenju mase tvari u kemiji, geometriji i trigonometriji, ne mogu se izostaviti razlomci. Uskoro ćete naučiti sve izračunati u mislima, čak i bez zapisivanja izraza na papir, ali će se pojavljivati ​​sve složeniji primjeri. Stoga, naučite što je pravi razlomak i kako s njim raditi, držite korak s nastavnim planom i programom, radite zadaću na vrijeme i tada ćete uspjeti.

326. Popunite praznine.

1) Ako je brojnik razlomka jednak nazivniku, tada je razlomak jednak 1.
2) Razlomak a/b (a i b su prirodni brojevi) naziva se točnim ako je a< b
3) Razlomak a/b (a i b su prirodni brojevi) nazivamo nepravilnim ako je a >b ili a =b.
4) 9/14 je pravi razlomak jer 9< 14.
5) 7/5 je nepravilan razlomak jer je 7 > 5.
6) 16/16 je nepravilan razlomak jer je 16=16.

327. Iz razlomaka 1/20, 16/9, 7/2, 14/28.10/10, 5/32.11/2 napiši: 1) prave razlomke; 2) nepravilni razlomci.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Smisli i zapiši: 1) 5 točnih razlomaka; 2) nepravilni razlomci.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2Yu 6/2, 7/2

329. Zapiši sve točne razlomke s nazivnikom 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Zapiši sve nepravilne razlomke brojnikom 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Dvije identične trake podijeljene su na 7 jednakih dijelova. Obojite 4/7 jedne trake i 6/7 druge.

Usporedi dobivene razlomke: 4/7< 6/7.

Formulirajte pravilo za usporedbu razlomaka s istim nazivnicima: od dva razlomka s istim nazivnicima veći je onaj s većim brojnikom.

332. Dvije identične trake podijeljene su na dijelove. Jedna traka je podijeljena na 7 jednakih dijelova, a druga na 5 jednakih dijelova. Obojite 3/7 prve trake i 3/5 druge.

Usporedi dobivene razlomke: 3/7< /5.

Formulirajte pravilo za usporedbu razlomaka s istim brojnicima: od dva razlomka s istim brojnicima veći je onaj s manjim nazivnikom.

333. Popunite praznine.

1) Svi pravi razlomci su manji od 1, a nepravilni su veći od 1 ili jednaki 1.

2) Svaki nepravilni razlomak je veći od bilo kojeg pravilnog razlomka i svaki pravi razlomak manje od bilo kojeg krivo.

3) Na koordinatnoj gredi od dva razlomka, veći razlomak se nalazi desno od manjeg.

334. Zaokruži točne tvrdnje.

335. Usporedi brojeve.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Koji je od razlomaka 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 veći od 1?

Odgovor: 16/4, 18/17, 310/303

337. Rasporedi razlomke 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Odgovor: 29/29, 17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Označi na koordinatnoj gredi sve brojeve koji su razlomci s nazivnikom 5, koji se nalaze između brojeva 0 i 3. Koji su od označenih brojeva točni, a koji netočni?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Odgovor: 1) pravi razlomci: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) nepravilni razlomci: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Pronađite sve prirodne vrijednosti x za koje je točan razlomak x/8.

Odgovor: 1,2,3,4,5,6,7

340. Nađi prirodni izrazi x za koji će razlomak 11/x biti nepravilan.

Odgovor: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) U prazne ćelije upiši brojeve tako da nastane točan razlomak.

2) Unesite brojeve u prazne ćelije tako da nastane nepravilan razlomak.

342. Konstruiraj i označi odsječak čija je duljina: 1) 9/8 duljine odsječka AB; 2) 10/8 duljine segmenta AB; 3) 7/4 duljine segmenta AB; 4) duljina odsječka AB.

Sasha je pročitala 42:6*7= 49 stranica

Odgovor: 49 stranica

344. Pronađite sve prirodne vrijednosti x za koje vrijedi nejednakost:

1) x/15<7/15;

2)10/x>10/9.

Odgovor: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Koristeći brojeve 1,4,5,7 i liniju razlomka, zapiši sve moguće prave razlomke.

Odgovor: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Nađi sve prirodne vrijednosti m za koje je točno 4m+5/17.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Odgovor: m =1; 2.

347. Nađi sve prirodne vrijednosti a za koje je razlomak 10/a nepravilan, a razlomak 7/a točan.

a≤10 i a >7, tj. 7

Odgovor: a = 8,9,10

348. Prirodni brojevi a, b, c i d takvi da a