proizašla iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom a definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).
Iz ove formulacije proizlazi da je izračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednadžbe ax=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki s. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom stepena broja.
S logaritmima, kao i sa svim brojevima, možete izvesti operacije zbrajanja, oduzimanja i transformirati na svaki mogući način. Ali s obzirom na činjenicu da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.
Zbrajanje i oduzimanje logaritama.
Uzmimo dva logaritma iste osnove: log x i log a y. Zatim uklonite moguće je izvršiti operacije zbrajanja i oduzimanja:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.
Iz teoremi kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Poznato je da je log a 1= 0, dakle,
zapisnik a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.
Dakle, postoji jednakost:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmi dvaju međusobno recipročnih brojeva po istoj osnovi će se međusobno razlikovati samo po znaku. Tako:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera odjednom, na temelju kojih ćemo naučiti rješavati najviše jednostavni zadaci, koji se zovu protozoa.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Dopustite mi da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:
log a f(x) = b
Važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f(x). A brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kojem slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.
Osnovne metode rješenja
Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina učitelja u školi predlaže ovaj način: Odmah izrazite funkciju f ( x ) pomoću formule f( x ) = a b . To jest, kada upoznate najjednostavniju konstrukciju, možete odmah prijeći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.
Da, naravno, odluka će se pokazati ispravnom. Međutim, problem s ovom formulom je što većina učenika ne razumijem, odakle dolazi i zašto točno dižemo slovo a na slovo b.
Kao rezultat toga, često primjećujem vrlo uvredljive pogreške, kada se, na primjer, ta slova izmjenjuju. Ovu formulu treba ili razumjeti ili zapamtiti, a druga metoda dovodi do grešaka u najneprikladnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.
Zato predlažem svim svojim učenicima da napuste standardnu školsku formulu i koriste je za rješavanje logaritamske jednadžbe drugi pristup, koji se, kao što ste mogli pretpostaviti iz imena, zove kanonski oblik.
Ideja kanonskog oblika je jednostavna. Pogledajmo opet naš zadatak: s lijeve strane imamo log a , dok slovo a označava točno broj, a ni u kojem slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Stoga ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:
1 ≠ a > 0
S druge strane, iz iste jednadžbe vidimo da logaritam mora biti jednak je broju b , a ovom slovu nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).
I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da se bilo koji broj b može predstaviti kao logaritam u bazi a od a do stepena b:
b = log a a b
Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:
b = b 1 = b log a a
Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. A sada upotrijebimo osnovno svojstvo logaritma, i upišimo faktor b kao stepen a. dobivamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Kao rezultat toga, izvorna jednadžba će biti prepisana u sljedećem obliku:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i rješava se standardnim algebarskim tehnikama.
Naravno, netko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smišljati nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka, ako je bilo moguće odmah prijeći s izvorne konstrukcije na konačnu formulu? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i zbog toga redovito griješe prilikom njezine primjene.
Ali takav slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućuje rješavanje izvorne logaritamske jednadžbe, čak i ako ne razumijete odakle dolazi ta konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:
log a f(x) = log a a b
Pogodnost kanonskog oblika također leži u činjenici da se njime može riješiti vrlo široka klasa logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.
Primjeri rješenja
A sada razmotrimo stvarni primjeri. Pa da odlučimo:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Prepišimo to ovako:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz izvornog problema. I doista, kada ste već dobro osposobljeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvesti ovaj korak.
Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako ne biste napravili uvredljive pogreške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:
3x - 1 = 0,5 -3
Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna jednadžba s obzirom na varijablu x. Da bismo ga riješili, najprije se pozabavimo brojem 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
svi decimale pretvoriti u normalu kada riješite logaritamsku jednadžbu.
Prepisujemo i dobivamo:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Sve što smo dobili odgovor. Prvi zadatak je riješen.
Drugi zadatak
Prijeđimo na drugi zadatak:
Kao što vidite, ova jednadžba više nije najjednostavnija. Ako samo zato što je razlika lijevo, a niti jedan logaritam u jednoj bazi.
Stoga se morate nekako riješiti ove razlike. NA ovaj slučaj sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: s lijeve strane je broj ispod korijena:
Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeđite na funkcije moći, jednostavno zato što se eksponenti tih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma, a u konačnici takav zapis uvelike pojednostavljuje i ubrzava izračune. Napišimo to ovako:
Sada se prisjećamo izvanrednog svojstva logaritma: iz argumenta, kao i iz baze, možete izvaditi stupnjeve. U slučaju baza događa se sljedeće:
log a k b = 1/k loga b
Drugim riječima, broj koji je stajao u stupnju baze pomiče se naprijed i istovremeno se okreće, tj. postaje obrnuti broj. U našem slučaju postojao je stupanj baze s pokazateljem od 1/2. Stoga ga možemo izvaditi kao 2/1. dobivamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Imajte na umu: ni u kojem slučaju se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Prisjetite se matematike 4-5 razreda i redoslijeda operacija: prvo se izvodi množenje, a tek onda zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju od 10 elemenata oduzimamo jedan od istih elemenata:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Sada naša jednadžba izgleda kako bi trebala. Ovo je najjednostavniji dizajn, a rješavamo ga kanonskim oblikom:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
To je sve. Drugi problem je riješen.
Treći primjer
Prijeđimo na treći zadatak:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Prisjetite se sljedeće formule:
log b = log 10 b
Ako ste iz nekog razloga zbunjeni pisanjem lg b , onda kada radite sve izračune, možete jednostavno napisati log 10 b . S decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i s ostalima: izvadite potencije, zbrojite i predstavite bilo koji broj kao lg 10.
Upravo ova svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.
Za početak, imajte na umu da se faktor 2 prije lg 5 može umetnuti i postaje potencija baze 5. Osim toga, slobodni član 3 također se može predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.
Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao zapisnik na bazu 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepišimo izvorni problem uzimajući u obzir primljene promjene:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga zaobilazeći fazu transformacija, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba kod nas nije nigdje došla.
To je ono o čemu sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik omogućuje rješavanje šire klase problema od standardnog. školska formula daje većina školskih učitelja.
To je sve, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Svi! Problem riješen.
Napomena o opsegu
Ovdje bih htio donijeti važna nota o opsegu. Zasigurno sada ima učenika i nastavnika koji će reći: "Kada rješavamo izraze logaritmima, neophodno je zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!" S tim u vezi nameće se logično pitanje: zašto ni u jednom od razmatranih problema nismo zahtijevali da ta nejednakost bude zadovoljena?
Ne brini. U tim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućuje da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ili bolje rečeno, u jednom i jedinom argumentu jednog jedinog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju ne varijabla x, onda upišite domenu nije potrebno jer će se pokrenuti automatski.
Procijenite sami: u prvoj jednadžbi dobili smo da je 3x - 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x - 1 biti veće od nule.
S istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x mora biti jednak 5 2, tj. sigurno je veći od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25 000, tj. opet, očito veće od nule. Drugim riječima, opseg je automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.
To je sve što trebate znati za rješavanje jednostavnih problema. Samo ovo pravilo, zajedno s pravilima transformacije, omogućit će vam rješavanje vrlo široke klase problema.
Ali budimo iskreni: da bismo konačno razumjeli ovu tehniku, kako bismo naučili primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Stoga, odmah preuzmite opcije za samostalno rješenje koje su priložene ovom video tutorialu i počnite rješavati barem jedan od ova dva samostalna rada.
Trebat će vam samo nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će puno veći u usporedbi s onim da ste upravo pogledali ovaj video tutorial.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći razumjeti logaritamske jednadžbe. Primijenite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih zadataka. I to je sve što imam za danas.
Razmatranje opsega
Sada razgovarajmo o domeni logaritamske funkcije, kao io tome kako to utječe na rješenje logaritamskih jednadžbi. Razmotrimo konstrukciju obrasca
log a f(x) = b
Takav izraz naziva se najjednostavnijim – ima samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kojem slučaju nisu funkcija koja ovisi o varijabli x. Riješava se vrlo jednostavno. Samo trebate koristiti formulu:
b = log a a b
Ova formula je jedna od ključna svojstva logaritam, a zamjenom u naš izvorni izraz dobivamo sljedeće:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
To je već poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerojatno imati pitanje: budući da je funkcija f ( x ) u izvornom izrazu ispod log znaka, nametnuta su joj sljedeća ograničenja:
f(x) > 0
Ovo ograničenje se primjenjuje jer je logaritam od negativni brojevi ne postoji. Dakle, možda bi zbog ovog ograničenja trebali uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba zamijeniti u izvoru?
Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama dodatna provjera nije potrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:
f(x) = a b
Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju nema ograničenja na broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na koji stupanj podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo i dalje dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 ispunjava se automatski.
Ono što zaista vrijedi provjeriti je opseg funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složeni dizajni, a u procesu njihovog rješavanja svakako ih morate slijediti. Idemo pogledati.
Prvi zadatak:
Prvi korak: pretvoriti razlomak s desne strane. dobivamo:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednadžbu:
Od dobivenih korijena odgovara nam samo prvi, budući da je drugi korijen manje od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne nikakve dodatne provjere da je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer ne samo da je veći od 0, već je prema uvjetu jednadžbe jednak 2. Stoga je zahtjev "veći od nule" automatski ispunjeno.
Prijeđimo na drugi zadatak:
Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo iracionalnu jednadžbu:
Oba dijela kvadriramo, uzimajući u obzir ograničenja, i dobivamo:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Rezultirajuću jednadžbu rješavamo preko diskriminanta:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamijenimo u našu nejednakost, dobivamo:
−6 + 4 = −2 < 0
U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedini odgovor u našem slučaju je x = −1. To je sve rješenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.
Glavni zaključak iz ove lekcije je da nije potrebno provjeravati granice za funkciju u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama. Budući da se u procesu rješavanja sva ograničenja izvršavaju automatski.
Međutim, to nikako ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.
Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako u svađi ima korijena.
Logaritamske jednadžbe s različitim bazama
Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i analizirati još dva prilično zanimljiva trika s kojima je moderno riješiti više složene strukture. Ali prvo, sjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji zadaci:
log a f(x) = b
U ovom zapisu, a i b su samo brojevi, a u funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, odnosno x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Za ovo napominjemo da
b = log a a b
A b je samo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:
log a f(x) = log a a b
Upravo to pokušavamo postići, da i s lijeve i s desne strane bude logaritam bazi a. U ovom slučaju možemo, slikovito rečeno, precrtati znakove log, a sa stajališta matematike možemo reći da argumente jednostavno izjednačavamo:
f(x) = a b
Kao rezultat, dobivamo novi izraz koji će se puno lakše riješiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje zadatke.
Dakle, prvi dizajn:
Prije svega, napominjem da se s desne strane nalazi razlomak čiji je nazivnik log. Kada vidite ovakav izraz, vrijedi se prisjetiti predivnog svojstva logaritama:
Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma s bilo kojom bazom c. Naravno, 0< с ≠ 1.
Dakle: ova formula ima jednu divnu poseban slučaj kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobivamo konstrukciju oblika:
Upravo tu konstrukciju promatramo iz znaka s desne strane u našoj jednadžbi. Zamijenimo ovu konstrukciju s log a b , dobivamo:
Drugim riječima, u usporedbi s izvornim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo preokrenuti razlomak.
Podsjećamo da se bilo koji stupanj može izvaditi iz baze prema sljedećem pravilu:
Drugim riječima, koeficijent k, koji je stupanj baze, uzima se kao obrnuti razlomak. Izvadimo to kao obrnuti razlomak:
Faktor razlomka ne može se ostaviti ispred, jer u ovom slučaju ovaj unos nećemo moći predstaviti kao kanonski oblik (uostalom, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora ispred drugog logaritma). Stoga, stavimo razlomak 1/4 u argument kao stepen:
Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a zaista imamo iste baze) i zapisujemo:
x + 5 = 1
x = −4
To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednadžbu. Obratite pažnju: u izvornom problemu varijabla x se pojavljuje samo u jednom dnevniku, i to u njegovom argumentu. Stoga nema potrebe provjeravati domenu, a naš broj x = −4 je doista odgovor.
Sada prijeđimo na drugi izraz:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Ovdje ćemo, osim uobičajenih logaritama, morati raditi i s lg f (x). Kako riješiti takvu jednadžbu? Nespremnom studentu može se činiti da je ovo nekakva limena, ali zapravo je sve riješeno elementarno.
Pogledajte pomno pojam lg 2 log 2 7. Što možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, a to bi trebalo dati neke naznake. Sjetimo se još jednom kako se stupnjevi vade ispod znaka logaritma:
log a b n = n log a b
Drugim riječima, ono što je bila snaga broja b u argumentu postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Nemojte se bojati lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati ovako:
Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može uvesti u snagu argumenta. Idemo pisati:
Učenici vrlo često ne vide ovu radnju, jer nije dobro ulaziti u jedan dnevnik pod znakom drugog. Zapravo, u tome nema ničeg kriminalnog. Štoviše, dobivamo formulu koju je lako izračunati ako se sjećate važnog pravila:
Ova formula se može smatrati i definicijom i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako pretvarate logaritamsku jednadžbu, trebali biste znati ovu formulu na isti način kao i prikaz bilo kojeg broja u obliku log.
Vraćamo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti jednostavno biti jednak lg 7. Imamo:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Pomaknimo lg 7 ulijevo, dobićemo:
lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)
Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu bazu:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Pogledajmo sada pobliže jednadžbu koju imamo. To je praktički kanonski oblik, ali s desne strane je faktor −3. Stavimo to u pravi lg argument:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa prekrižimo predznake lg i izjednačimo argumente:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To je sve! Riješili smo drugu logaritamsku jednadžbu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u izvornom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.
opet ću navesti ključne točke ovu lekciju.
Glavna formula koja se proučava u svim lekcijama na ovoj stranici posvećenim rješavanju logaritamskih jednadžbi je kanonski oblik. I neka vas ne obuzda činjenica da vas većina školskih udžbenika uči kako drugačije riješiti ovakve probleme. Ovaj alat radi vrlo učinkovito i omogućuje vam rješavanje puno šire klase problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.
Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. Naime:
- Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada okrećemo dnevnik (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom zadatku);
- Formula za unošenje i uzimanje potencija ispod znaka logaritma. Ovdje mnogi studenti zapnu i ne vide izravno da oduzeta i dovedena snaga može sama sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan dnevnik prema predznaku drugog i ujedno značajno pojednostaviti rješenje zadatka, što uočavamo u drugom slučaju.
Zaključno, želio bih dodati da nije potrebno provjeravati opseg u svakom od ovih slučajeva, jer je svugdje varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a ujedno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi domene se ispunjavaju automatski.
Problemi s varijabilnom bazom
Danas ćemo razmotriti logaritamske jednadžbe, koje se mnogim studentima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima koji se ne temelje na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve ćemo konstrukcije rješavati našom standardnom tehnikom, naime, kroz kanonski oblik.
Za početak, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi koji se temelje na običnim brojevima. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove
log a f(x) = b
Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:
b = log a a b
Prepisujemo naš izvorni izraz i dobivamo:
log a f(x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:
f(x) = a b
Tako se rješavamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni u rješenju bit će korijeni izvorne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis, kada su i lijevi i desni na istom logaritmu s istom bazom, naziva se kanonski oblik. Upravo na taj rekord pokušat ćemo svesti današnje gradnje. Pa, idemo.
Prvi zadatak:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zamijeni 1 s log x − 2 (x − 2) 1 . Stupanj koji promatramo u argumentu je, zapravo, broj b, koji je bio desno od znaka jednakosti. Pa prepišimo naš izraz. dobivamo:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Što vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. dobivamo:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Ali rješenje tu ne završava, jer ova jednadžba nije ekvivalentna izvornoj. Uostalom, rezultirajuća konstrukcija sastoji se od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj liniji, a naši izvorni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.
Stoga moramo posebno zapisati domenu definicije. Nemojmo biti mudriji i prvo zapišimo sve zahtjeve:
Prvo, argument svakog logaritma mora biti veći od 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:
x − 2 ≠ 1
Kao rezultat, dobivamo sustav:
Ali nemojte se uznemiriti: prilikom obrade logaritamskih jednadžbi takav se sustav može uvelike pojednostaviti.
Prosudite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena s određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.
U ovom slučaju, ako zahtijevamo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo sigurno prekrižiti nejednakost koja sadrži kvadratna funkcija. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sustavu smanjiti na tri.
Naravno, mogli bismo i precrtati linearna nejednakost, tj. precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali morate se složiti da je mnogo brže i lakše riješiti najjednostavniju linearnu nejednakost nego ovim sustavom dobivamo iste korijene.
Općenito, pokušajte optimizirati izračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednadžbi prekrižite najteže nejednadžbe.
Prepišimo naš sustav:
Evo takvog sustava od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već shvatili. Napišimo odvojeno kvadratna jednadžba i riješi to:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Pred nama je reduciran kvadratni trinom i, stoga, možemo koristiti Vietine formule. dobivamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Sada, da se vratimo na naš sustav, nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer moramo imati x striktno veći od 2.
Ali x \u003d 5 nam sasvim dobro odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje ovog sustava biti x \u003d 5.
Sve, zadatak je riješen, uključujući i uzimajući u obzir ODZ. Prijeđimo na drugu jednadžbu. Ovdje čekamo zanimljivije i smislenije izračune:
Prvi korak: kao i prošli put, sve ovo poslovanje dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:
Baza s korijenom ne može se dirati, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. Idemo pisati:
Dopustite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednadžbu, već da odmah izjednačim argumente:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred nama je opet reducirani kvadratni trinom, koristit ćemo Vietine formule i napisati:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Dakle, dobili smo korijene, ali nam nitko nije jamčio da će odgovarati izvornoj logaritamskoj jednadžbi. Uostalom, log znakovi nameću dodatna ograničenja (ovdje bismo morali zapisati sustav, ali zbog glomaznosti cijele konstrukcije odlučio sam zasebno izračunati domenu definicije).
Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, odnosno:
To su zahtjevi koje nameće domena definicije.
Odmah napominjemo da, budući da prva dva izraza sustava izjednačavamo jedan s drugim, možemo prekrižiti bilo koji od njih. Prekrižimo prvu jer izgleda prijeteće od druge.
Osim toga, imajte na umu da će rješenja druge i treće nejednadžbe biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam taj broj veći od nule; slično s korijenom trećeg stupnja - ove nejednadžbe su potpuno sličan, pa jedan od njih možemo prekrižiti).
Ali s trećom nejednakošću to neće uspjeti. Riješimo se predznaka radikala s lijeve strane, za koji oba dijela podižemo na kocku. dobivamo:
Tako dobivamo sljedeće zahtjeve:
−2 ≠ x > −3
Koji od naših korijena: x 1 = -3 ili x 2 = -1 ispunjava ove zahtjeve? Očito, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (jer je naša nejednakost stroga). Ukupno, vraćajući se na naš problem, dobivamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem riješen.
Još jednom, ključne točke ovog zadatka:
- Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takav zapis, umjesto da idu izravno s izvornog problema na konstrukciju kao što je log a f (x ) = b , dopuštaju mnogo manje grešaka nego oni koji se nekamo žure, preskačući međukorake proračuna;
- Čim se u logaritmu pojavi promjenjiva baza, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domeni definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.
Posljednje zahtjeve konačnim odgovorima možete nametnuti na različite načine. Na primjer, moguće je riješiti cijeli sustav koji sadrži sve zahtjeve domene. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim se sjetiti domene definicije, razraditi ga zasebno u obliku sustava i primijeniti na dobivene korijene.
Koji način odabrati prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe ovisi o vama. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.
Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i dati demonstraciju primjeri rješenja.
Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:
Sada, na temelju ovih formula (svojstava), prikazujemo primjeri rješavanja logaritama.
Primjeri rješavanja logaritama na temelju formula.
Logaritam pozitivan broj b na bazi a (označeno log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, s b > 0, a > 0 i 1.
Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, dakle log a a x = x.
Logaritmi, primjeri:
log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8
log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.
log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100
prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali već s bazom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionalan broj). Naveden kao ln.
Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Razradimo svaku formulu ponovno s primjerima.
- Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Svojstva stupnja logaritamskog broja i baze logaritma
Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b
Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ako je m = n, dobivamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prijelaz na novi temelj
log a b = log c b / log c a,ako je c = b, dobivamo log b b = 1
tada je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplicirane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!
Ako imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.
Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inozemstvu.
Logaritamski izrazi, rješenje primjera. U ovom članku ćemo razmotriti probleme vezane uz rješavanje logaritama. Zadaci postavljaju pitanje nalaženja vrijednosti izraza. Treba napomenuti da se pojam logaritma koristi u mnogim zadacima te je iznimno važno razumjeti njegovo značenje. Što se tiče USE, logaritam se koristi pri rješavanju jednadžbi, u primijenjeni zadaci, također u zadacima vezanim uz proučavanje funkcija.
Evo primjera za razumijevanje samog značenja logaritma:
Osnovni logaritamski identitet:
Svojstva logaritama koje morate uvijek zapamtiti:
*Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.
* * *
* Logaritam kvocijenta (razlomka) jednak je razlici logaritama faktora.
* * *
* Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.
* * *
*Prijelaz u novu bazu
* * *
Više nekretnina:
* * *
Izračunavanje logaritama usko je povezano s korištenjem svojstava eksponenata.
Navodimo neke od njih:
esencija dato vlasništvo je da se pri prijenosu brojnika na nazivnik i obrnuto predznak eksponenta mijenja u suprotan. Na primjer:
Posljedica ovog svojstva:
* * *
Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.
* * *
Kao što vidite, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa, koja daje određenu vještinu. Svakako je poznavanje formula obavezno. Ako se ne formira vještina transformacije elementarnih logaritama, tada pri rješavanju jednostavni zadaci lako je pogriješiti.
Vježbajte, riješite prvo najjednostavnije primjere iz kolegija matematike, a zatim prijeđite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju “ružni” logaritmi, takvih neće biti na ispitu, ali su zanimljivi, nemojte propustiti!
To je sve! Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.
Logaritam broja N razumom a naziva se eksponent x , na koju trebate podići a da dobijem broj N
Pod uvjetom da 
,
,
Iz definicije logaritma proizlazi da 
, tj.
- ova jednakost je osnovni logaritamski identitet.
Logaritmi na bazu 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto 
pisati 
.
osnovni logaritmi e
nazivaju se prirodnim i denotiranim 
.
Osnovna svojstva logaritama.
Logaritam jedinice za bilo koju bazu je nula
Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.
3) Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
Faktor 
naziva se modul prijelaza iz logaritama u bazi a
na logaritme u osnovi b
.
Koristeći svojstva 2-5, često je moguće svesti logaritam složenog izraza na rezultat jednostavnih aritmetičkih operacija nad logaritmima.
Na primjer, 
Takve transformacije logaritma nazivaju se logaritmi. Transformacije recipročne od logaritama nazivaju se potenciranje.
Poglavlje 2. Elementi više matematike.
1. Ograničenja
granica funkcije 
je konačan broj A ako, kada se teži xx
0
za svaku unaprijed određenu 
, postoji broj 
da čim 
, onda 
.
Funkcija koja ima ograničenje razlikuje se od nje za beskonačno mali iznos: 
, gdje je - b.m.w., t.j. 
.
Primjer. Razmotrite funkciju 
.
Kada se nastoji 
, funkcija y
ide na nulu: 
1.1. Osnovni teoremi o granicama.
Granica konstantne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti
.
Granica zbroja (razlike) konačnog broja funkcija jednaka je zbroju (razlici) granica tih funkcija.
Granica umnoška konačnog broja funkcija jednaka je umnošku granica tih funkcija.
Granica kvocijenta dviju funkcija jednaka je kvocijentu granica tih funkcija ako granica nazivnika nije jednaka nuli.
Izvanredne granice
,
, gdje 
1.2. Primjeri izračuna ograničenja
Međutim, nisu sve granice izračunate tako jednostavno. Češće se izračun ograničenja svodi na otkrivanje nesigurnosti tipa: 
ili .
.
2. Derivat funkcije
Neka imamo funkciju 
, kontinuirano na segmentu 
.
Argument 
dobio neki poticaj 
. Tada će se funkcija povećati 
.
Vrijednost argumenta 
odgovara vrijednosti funkcije 
.
Vrijednost argumenta 
odgovara vrijednosti funkcije .
Stoga, .
Nađimo granicu ove relacije na 
. Ako ova granica postoji, onda se zove derivacija zadane funkcije.
Definicija 3derivacije zadane funkcije 
argumentacijom 
naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada inkrement argumenta proizvoljno teži nuli.
Derivat funkcije 
može se označiti na sljedeći način:
;
;
;
.
Definicija 4 Operacija pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.
2.1. Mehaničko značenje izvedenice.
Razmotrimo pravocrtno gibanje nekog krutog tijela ili materijalne točke.
Neka u nekom trenutku 
pokretna točka 
bio na udaljenosti 
iz početne pozicije 
.
Nakon nekog vremena 
odmaknula se 
. Stav 
=
- Prosječna brzina materijalna točka 
. Nađimo granicu ovog omjera, uzimajući to u obzir 
.
Posljedično, određivanje trenutne brzine materijalne točke svodi se na pronalaženje derivacije puta s obzirom na vrijeme.
2.2. Geometrijska vrijednost derivacije
Pretpostavimo da imamo grafički definiranu neku funkciju 
.
Riža. 1. Geometrijsko značenje izvedenice
Ako je a 
, zatim točka 
, kretat će se duž krivulje, približavajući se točki 
.
Stoga 
, tj. vrijednost derivacije s obzirom na vrijednost argumenta 
brojčano je jednak tangentu kuta koji formira tangenta u danoj točki s pozitivnim smjerom osi 
.
2.3. Tablica osnovnih formula diferencijacije.
Funkcija snage
|
|
|
|
|
|
|
Eksponencijalna funkcija
|
|
|
|
|
logaritamska funkcija
|
|
|
|
|
trigonometrijska funkcija
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Inverzna trigonometrijska funkcija
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Pravila diferencijacije.
Derivat od 
Derivat zbroja (razlike) funkcija
Derivat umnoška dviju funkcija
Derivat kvocijenta dviju funkcija
2.5. Derivat od složena funkcija.
Neka funkcija 
takav da se može predstaviti kao
i 
, gdje je varijabla 
onda je međuargument 
Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije zadane funkcije s obzirom na međuargument na derivaciju međuargumenata s obzirom na x.
Primjer 1. 
Primjer 2. 
3. Funkcijski diferencijal.
Neka bude 
, diferencibilan na nekom intervalu 
Pusti to na
ova funkcija ima derivaciju
,
onda možeš pisati
(1),
gdje 
- beskonačno mala količina,
jer kod 
Množenje svih uvjeta jednakosti (1) sa 
imamo:
Gdje 
- b.m.v. višeg reda.
Vrijednost 
naziva se diferencijal funkcije 
i označena 
.
3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.
Neka funkcija 
.
sl.2. Geometrijsko značenje diferencijala.
.
Očito, diferencijal funkcije 
jednak je prirastu ordinate tangente u danoj točki.
3.2. Derivati i diferencijali raznih redova.
Ako postoji 
, onda 
naziva se prvim derivatom.
Derivat prvog izvoda naziva se derivacija drugog reda i piše se 
.
Derivat n-tog reda funkcije 
naziva se derivacija reda (n-1) i piše se:
.
Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.
.
.
3.3 Rješavanje bioloških problema pomoću diferencijacije.
Zadatak1. Istraživanja su pokazala da je rast kolonije mikroorganizama u skladu sa zakonom 
, gdje N
– broj mikroorganizama (u tisućama), t
– vrijeme (dani).
b) Hoće li se populacija kolonije povećati ili smanjiti tijekom tog razdoblja?
Odgovor. Kolonija će rasti.
Zadatak 2. Voda u jezeru se povremeno ispituje radi kontrole sadržaja patogenih bakterija. Kroz t dana nakon testiranja, koncentracija bakterija se određuje omjerom
.
Kada će u jezero doći minimalna koncentracija bakterija i kada će se u njemu moći kupati?
Rješenje Funkcija doseže max ili min kada je njezin izvod nula.
,
Odredimo max ili min će biti za 6 dana. Da bismo to učinili, uzimamo drugu izvedenicu.
Odgovor: Nakon 6 dana bit će minimalna koncentracija bakterija.
