Logaritmi s istom bazom. Jednadžbe i nejednakosti. Što je logaritam

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednak 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj, što nije jednako 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobivamo broj 4, ali to ne znači da je logaritam baze -2 od 4 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da su područja definiranja desnog i lijevog dijela ove formule različita. Lijeva strana definirana je samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna je definirana za bilo koje b i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene DPV-a.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, kada broj a povisimo na prvi stepen, dobijemo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen, dobijemo jedan.

Logaritam umnoška i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce na nepromišljenu upotrebu ovih formula pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Kada se koriste "s lijeva na desno", ODZ se sužava, a pri prelasku sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) definiran je u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su obje funkcije f(x) i g(x) manje od nule.

Transformirajući ovaj izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x) , prisiljeni smo se ograničiti samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja područja dopuštene vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može izvaditi iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrimo sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Uzimajući snagu iz logaritma, ponovno sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dopuštenih vrijednosti. Sve ove primjedbe ne odnose se samo na potenciju 2, već i na bilo koju parnu potenciju.

Formula za prelazak u novu bazu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Onaj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom pretvorbe. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je savršeno sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važnu poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1 Izračunajte: lg2 + lg50.
Odluka. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbroj logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Odluka. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu baznog prijelaza (8).

Tablica formula vezanih uz logaritme

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) je jednako snazi ​​\(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:		\(\log_(5)(25)=2\)		jer \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		jer \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovoj razini, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet prema osnovici od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stupnja treba podići bazu da biste dobili argument?

na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba povisiti \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugi. Tako:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji stepen treba povisiti \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? I koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji se stepen \(\sqrt(7)\) treba povisiti da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba povisiti \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomak, što znači Korijen je stupanj \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Odluka :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica lijevo desno\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stupnjeva: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo to razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Koliko je jednako x? To je poanta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer kad bismo to htjeli napisati u obliku decimalni razlomak, tada bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Odluka :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jednog \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se pojavljuju tako često da je s njima izmišljen poseban kratki zapis za logaritme:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

tj. \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

tj. \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno slijedi iz definicije. Pogledajmo kako se točno pojavila ova formula.

Prisjetimo se kratke definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formulu \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritma možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Odluka :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Također vrijedi i obrnuto: bilo koji broj može se napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ dnevnik_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo to dvoje napisati kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo napišite kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje upisujemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ dnevnik_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ dnevnik_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Odluka :

Odgovor : \(1\)

Kao što znate, kada se množe izrazi s potencijama, njihovi se eksponenti uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen je stvorio tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno zbrajanje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" po njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", tako da na kraju dobijemo vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što ste u mislima napravili neke izračune, dobili smo broj 3! I to s pravom, jer 2 na stepen 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri određene vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b prema bazi a>1.

Svaki od njih je odlučen na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Za dobivanje ispravnih vrijednosti ​​​logaritama treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, ne možete podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće uzeti paran korijen negativni brojevi. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada a b > 0, ispada da "c" mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, s obzirom na zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu podižući broj deset na koji dobivamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma sve se radnje praktički konvergiraju u pronalaženje stupnja do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba vam tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji uopće ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se zapisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu uspoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe koriste oba raspona od prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo analizirajmo svako svojstvo detaljnije.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednak jedan, a B veći od nule.
2. Logaritam proizvoda može se predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Štoviše, preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stupnja logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Podignete li oba dijela na stepen m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila mogu se primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći pogled. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Kod rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje svodi se na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodni logaritmi mora se primijeniti logaritamski identitet ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliku važnost brojeve b u jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stupnja logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Na prijemnim ispitima često se nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši probni dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadan log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ta pravila se moraju znati – bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati i:

1. zapisnik a x+log a y= log a (x · y);
2. zapisnik a x−log a y= log a (x : y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Bilješka: ključni trenutak ovdje - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne funkcioniraju!

Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se ne razmatraju njegovi pojedinačni dijelovi (vidi lekciju „Što je logaritam“). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice, mnogi ispitni radovi. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - praktički bez promjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, t.j. u sam logaritam možete unijeti brojeve ispred predznaka logaritma. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Naslov slike]

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

[Naslov slike]

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri kata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti na brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima za zbrajanje i oduzimanje logaritma, posebno sam naglasio da rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka logaritam logira a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, jednakost je istinita:

[Naslov slike]

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

[Naslov slike]

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju se cijeli izraz „preokreće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule rijetko se nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je ocijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim preseljenjem u novi temelj. Razmotrimo nekoliko ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

[Naslov slike]

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim odgonetnuli logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su točni potenci. Zapišimo to i riješimo se pokazatelja:

[Naslov slike]

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

[Naslov slike]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na zadanu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent argumenta. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se osnovni logaritamski identitet.

Doista, što će se dogoditi ako broj b povisiti na potenciju tako da b u ovoj mjeri daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Još jednom pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi "vise" na njemu.

Kao i nove formule za pretvorbu baze, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Naslov slike]

Imajte na umu da log 25 64 = log 5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija s istom bazom, dobivamo:

[Naslov slike]

Ako netko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak s ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

1. zapisnik a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam na bilo koju bazu a iz ove baze sama je jednaka jedan.
2. zapisnik a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, isprintajte ga i riješite probleme.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunom logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno zadane vrijednosti ostalih logaritama. Konačno, naučimo se koristiti tablicama logaritama. Cijela teorija opskrbljena je primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i jednostavno izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova je bit predstaviti broj b u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračun logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na podatke iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan nekim stupnjem baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo primjere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , a također izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Odluka.

Definicija logaritma omogućuje nam da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Doista, broj pod znakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije zadan kao snaga baze logaritma, onda morate pažljivo razmisliti je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz sasvim očit, pogotovo kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Odluka.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , to vam omogućuje da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunom drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). Stoga, .

Prepišimo treći logaritam sljedeći obrazac. Sada to možete vidjeti , odakle zaključujemo da . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

Odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kada se pod predznakom logaritma nalazi dovoljno velika vrijednost prirodni broj, onda ga ne škodi razložiti na primarni čimbenici. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neka potencija baze logaritma, a samim tim i izračuna ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Odluka.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi 0, odnosno 1.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Odluka.

Budući da , proizlazi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru broj 10 pod predznakom logaritma poklapa se s njegovom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

Odgovor:

I lg10=1.

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom odlomku) podrazumijeva korištenje log a a p =p jednakosti, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao potencija nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Odluka.

Odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u izračunu, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim odlomcima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom izračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje izvornog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako biste izračunali izvorni logaritam u smislu zadanih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Odluka.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma stupnja, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Pogledajmo sada kako se log 60 3 može izraziti poznatim logaritmima. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stoga, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Zasebno, vrijedno je spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz izvornog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje omogućuju izračunavanje njihovih vrijednosti ​​​​točnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približan izračun vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, prikladno je koristiti tablicu logaritama za bazu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje, s točnošću od jedne desettisućinke, pronalaženje vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta). Načelo pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama analizirat će se u konkretan primjer- toliko jasnije. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi preglednosti). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem retku lijevo od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi brojevi su istaknuti naranča). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrti lik iza zareza, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće, koristeći gornju tablicu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo morate napisati broj u standardna forma : 102,76332=1,0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 prema tablici decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za prijelaz na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Tako, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).