Logaritmi: primjeri i rješenja. Logaritamski izrazi. primjeri

Logaritam broja N razumom a naziva se eksponent x , na koju trebate podići a da dobijem broj N

Pod uvjetom da
,
,

Iz definicije logaritma proizlazi da
, tj.
- ova jednakost je osnovni logaritamski identitet.

Logaritmi na bazu 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto
pisati
.

osnovni logaritmi e nazivaju se prirodnim i denotiranim
.

Osnovna svojstva logaritama.

Logaritam jedinice za bilo koju bazu je nula

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

3) Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama

Faktor
naziva se modul prijelaza iz logaritama u bazi a na logaritme u osnovi b .

Koristeći svojstva 2-5, često je moguće svesti logaritam složenog izraza na rezultat jednostavnih aritmetičkih operacija nad logaritmima.

Na primjer,

Takve transformacije logaritma nazivaju se logaritmi. Transformacije recipročne od logaritama nazivaju se potenciranje.

Poglavlje 2. Elementi više matematike.

1. Ograničenja

granica funkcije
je konačan broj A ako, kada se teži xx 0 za svaku unaprijed određenu
, postoji broj
da čim
, onda
.

Funkcija koja ima ograničenje razlikuje se od nje za beskonačno mali iznos:
, gdje je - b.m.w., t.j.
.

Primjer. Razmotrite funkciju
.

Kada se nastoji
, funkcija y ide na nulu:

1.1. Osnovni teoremi o granicama.

Granica konstantne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti

.

Granica zbroja (razlike) konačnog broja funkcija jednaka je zbroju (razlici) granica tih funkcija.

Granica umnoška konačnog broja funkcija jednaka je umnošku granica tih funkcija.

Granica kvocijenta dviju funkcija jednaka je kvocijentu granica tih funkcija ako granica nazivnika nije jednaka nuli.

Izvanredne granice

,
, gdje

1.2. Primjeri izračuna ograničenja

Međutim, nisu sve granice izračunate tako lako. Češće se izračun ograničenja svodi na otkrivanje nesigurnosti tipa: ili .

.

2. Derivat funkcije

Neka imamo funkciju
, kontinuirano na segmentu
.

Argument dobio neki poticaj
. Tada će se funkcija povećati
.

Vrijednost argumenta odgovara vrijednosti funkcije
.

Vrijednost argumenta
odgovara vrijednosti funkcije .

Stoga, .

Nađimo granicu ove relacije na
. Ako ova granica postoji, onda se zove derivacija zadane funkcije.

Definicija 3derivacije zadane funkcije
argumentacijom naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada inkrement argumenta proizvoljno teži nuli.

Derivat funkcije
može se označiti na sljedeći način:

; ; ; .

Definicija 4 Operacija pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.

2.1. Mehaničko značenje izvedenice.

Razmotrimo pravocrtno gibanje nekog krutog tijela ili materijalne točke.

Neka u nekom trenutku pokretna točka
bio na udaljenosti iz početne pozicije
.

Nakon nekog vremena
odmaknula se
. Stav =- Prosječna brzina materijalna točka
. Nađimo granicu ovog omjera, uzimajući to u obzir
.

Posljedično, određivanje trenutne brzine materijalne točke svodi se na pronalaženje derivacije puta s obzirom na vrijeme.

2.2. Geometrijska vrijednost derivacije

Pretpostavimo da imamo grafički definiranu neku funkciju
.

Riža. 1. Geometrijsko značenje izvedenice

Ako je a
, zatim točka
, kretat će se duž krivulje, približavajući se točki
.

Stoga
, tj. vrijednost derivacije s obzirom na vrijednost argumenta brojčano je jednak tangentu kuta koji formira tangenta u danoj točki s pozitivnim smjerom osi
.

2.3. Tablica osnovnih formula diferencijacije.

Funkcija snage

Eksponencijalna funkcija

logaritamska funkcija

trigonometrijska funkcija

Inverzna trigonometrijska funkcija

2.4. Pravila diferencijacije.

Derivat od

Derivat zbroja (razlike) funkcija

Derivat umnoška dviju funkcija

Derivat kvocijenta dviju funkcija

2.5. Derivat od složena funkcija.

Neka funkcija
takav da se može predstaviti kao

i
, gdje je varijabla onda je međuargument

Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije zadane funkcije s obzirom na međuargument na derivaciju međuargumenata s obzirom na x.

Primjer 1.

Primjer 2.

3. Funkcijski diferencijal.

Neka bude
, diferencibilan na nekom intervalu
Pusti to na ova funkcija ima derivaciju

,

onda možeš pisati

(1),

gdje - beskonačno mala količina,

jer kod

Množenje svih uvjeta jednakosti (1) sa
imamo:

Gdje
- b.m.v. višeg reda.

Vrijednost
naziva se diferencijal funkcije
i označena

.

3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.

Neka funkcija
.

sl.2. Geometrijsko značenje diferencijala.

.

Očito, diferencijal funkcije
jednak je prirastu ordinate tangente u danoj točki.

3.2. Derivati ​​i diferencijali raznih redova.

Ako postoji
, onda
naziva se prvim derivatom.

Derivat prvog izvoda naziva se derivacija drugog reda i piše se
.

Derivat n-tog reda funkcije
naziva se derivacija reda (n-1) i piše se:

.

Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.

.

.

3.3 Rješavanje bioloških problema pomoću diferencijacije.

Zadatak1. Istraživanja su pokazala da je rast kolonije mikroorganizama u skladu sa zakonom
, gdje N – broj mikroorganizama (u tisućama), t – vrijeme (dani).

b) Hoće li se populacija kolonije povećati ili smanjiti tijekom tog razdoblja?

Odgovor. Kolonija će rasti.

Zadatak 2. Voda u jezeru se povremeno ispituje radi kontrole sadržaja patogenih bakterija. Kroz t dana nakon testiranja, koncentracija bakterija se određuje omjerom

.

Kada će u jezero doći minimalna koncentracija bakterija i kada će se u njemu moći kupati?

Rješenje Funkcija doseže max ili min kada je njezin izvod nula.

,

Odredimo max ili min će biti za 6 dana. Da bismo to učinili, uzimamo drugu izvedenicu.

Odgovor: Nakon 6 dana bit će minimalna koncentracija bakterija.

Kao što znate, kada se množe izrazi s potencijama, njihovi se eksponenti uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen je stvorio tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno zbrajanje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" po njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", tako da na kraju dobijemo vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što ste u mislima napravili neke izračune, dobili smo broj 3! I to s pravom, jer 2 na stepen 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri određene vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b prema bazi a>1.

Svaki od njih je odlučen na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i slijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, ne možete podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće uzeti paran korijen negativni brojevi. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada a b > 0, ispada da "c" mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, s obzirom na zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu podižući broj deset na koji dobivamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma sve se radnje praktički konvergiraju u pronalaženje stupnja do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba vam tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji uopće ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se zapisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu uspoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (npr. logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbi definiraju kao površina dopuštene vrijednosti, i točke diskontinuiteta ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo analizirajmo svako svojstvo detaljnije.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednak jedan, a B veći od nule.
2. Logaritam proizvoda može se predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Štoviše, preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stupnja logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Podignete li oba dijela na stepen m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila mogu se primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći pogled. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi Možete, ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom odlučivanja logaritamske jednadžbe, potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje svodi se na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodni logaritmi mora se primijeniti logaritamski identitet ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno razložiti veliku važnost brojeve b u jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stupnja logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Na prijemnim ispitima često se nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši probni dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadan log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

Razvojem društva, složenošću proizvodnje razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog prema složenom. Od uobičajene računovodstvene metode zbrajanja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli su do pojma množenja i dijeljenja. Smanjenje višestruko ponovljene operacije postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tablice ovisnosti brojeva o bazi i broju eksponencijalnosti sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasena. Od njih možete izbrojati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Povijesni nacrt

Preporod Europe u 16. stoljeću također je potaknuo razvoj mehanike. T zahtijevala veliku količinu računanja vezano za množenje i dijeljenje višeznamenkasti brojevi. Drevni stolovi učinili su veliku uslugu. Dopustili su zamjenu složene operacije na jednostavnije - zbrajanje i oduzimanje. veliki korak naprijed je bilo djelo matematičara Michaela Stiefela, objavljeno 1544., u kojem je realizirao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obrascu primarni brojevi, ali i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614., Škot John Napier, razvijajući ove ideje, prvi je predstavio novi termin"logaritam broja". Sastavljene su nove složene tablice za izračun logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je uvelike smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati ​​nove tablice koje su znanstvenici uspješno koristili tri stoljeća. Prije je trebalo dosta vremena nova operacija u algebri dobio svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, s pojavom kalkulatora i računala, čovječanstvo je napustilo drevne stolove koji su uspješno djelovali kroz 13. stoljeće.

Danas logaritam od b na bazi a nazivamo brojem x, što je potencija a, da bismo dobili broj b. To je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) bit će jednak 2. To je očito ako slijedite definiciju. Ako povisimo 3 na stepen 2, dobivamo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija naziva se realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koji stepen je 1.

Realna vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u području matematike igraj logaritme, koji će se imenovati ovisno o vrijednosti njihove baze:

Pravila i ograničenja

Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam umnoška jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave, bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocijentna funkcija jednaka je razlici funkcija.

Iz prethodna dva pravila je lako vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nemojte napraviti uobičajenu pogrešku - logaritam zbroja nije jednak zbroju logaritama.

Dugi niz stoljeća operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije širenja u polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, što određuje točnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teorema o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma umnoška.

Budući da je ova metoda vrlo naporna i pri rješavanju praktičnih problema teški za implementaciju, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cjelokupni rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su davali manju točnost, ali značajno ubrzavali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a(x), izgrađena na nekoliko točaka, omogućuje korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Dugo vremena inženjeri su u te svrhe koristili tzv.

U 17. stoljeću pojavili su se prvi uvjeti pomoćnog analognog računanja, koji bi XIX stoljeća dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj nazvan je kliznim pravilom. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računala učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.

Jednadžbe i nejednakosti

Sljedeće formule koriste se za rješavanje različitih jednadžbi i nejednadžbi pomoću logaritama:

• Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kao posljedica prethodne verzije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma bit će pozitivna samo ako su baza i argument veći od ili manje od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako je logaritamska funkcija primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednadžbe, a baza logaritma je veća od jedan, onda je predznak nejednakosti sačuvan; inače se mijenja.

Primjeri zadataka

Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri s rješavanjem jednadžbi:

Razmotrimo mogućnost postavljanja logaritma u stupanj:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rješenje: u uvjetima zadatka, zapis je sličan sljedećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se zapisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritma, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, čini se da je daleko od toga stvaran život da je logaritam odjednom dobio veliku važnost u opisivanju predmeta stvarnom svijetu. Teško je naći znanost u kojoj se ne koristi. To se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanistička područja znanja.

Logaritamske ovisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika oduvijek su se razvijale korištenjem metoda matematičkog istraživanja, a istodobno su bile poticaj razvoju matematike, uključujući logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizikalnih zakona pomoću logaritma.

Problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete moguće je riješiti pomoću formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:

V = I * ln(M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina zrakoplova.
• I je specifični impuls motora.
• M 1 je početna masa rakete.
• M 2 - konačna masa.

Još jedan važan primjer- to je uporaba formule drugog velikog znanstvenika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S je termodinamičko svojstvo.
• k je Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

Kemija

Manje očita bila bi upotreba formula u kemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, uvjet redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
• Izračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Pokazalo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer vrijednosti intenziteta podražaja prema nižoj vrijednosti intenziteta.

Nakon navedenih primjera, više ne čudi što je tema logaritama također naširoko korištena u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se napisati cijeli svesci.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s tom funkcijom, a ona upravlja svim zakonima. Pogotovo kada su povezani zakoni prirode geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Popis bi mogao biti beskonačan. Nakon što ste savladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunom logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno zadane vrijednosti ostalih logaritama. Konačno, naučimo se koristiti tablicama logaritama. Cijela teorija opskrbljena je primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i jednostavno izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova je bit predstaviti broj b u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračun logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na podatke iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan nekim stupnjem baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo primjere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , a također izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Odluka.

Definicija logaritma omogućuje nam da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Doista, broj pod znakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije zadan kao snaga baze logaritma, onda morate pažljivo razmisliti je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz sasvim očit, pogotovo kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Odluka.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , to vam omogućuje da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunom drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). Stoga, .

Prepišimo treći logaritam sljedeći obrazac. Sada to možete vidjeti , odakle zaključujemo da . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

Odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kada je dovoljno veliki prirodan broj pod znakom logaritma, onda ga ne škodi razložiti na primarni čimbenici. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neka snaga baze logaritma, i stoga, izračunati ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Odluka.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi 0, odnosno 1.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Odluka.

Budući da , proizlazi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru broj 10 pod predznakom logaritma poklapa se s njegovom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

Odgovor:

I lg10=1.

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom odlomku) podrazumijeva korištenje log a a p =p jednakosti, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao potencija nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Odluka.

Odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u izračunu, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim odlomcima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom izračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje izvornog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako biste izračunali izvorni logaritam u smislu zadanih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Odluka.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma stupnja, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Pogledajmo sada kako se log 60 3 može izraziti poznatim logaritmima. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stoga, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Zasebno, vrijedno je spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz izvornog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje omogućuju izračunavanje njihovih vrijednosti ​​​​točnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približan izračun vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, prikladno je koristiti tablicu logaritama za bazu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje, s točnošću od jedne desettisućinke, pronalaženje vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta). Načelo pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama analizirat će se u konkretan primjer- toliko jasnije. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi preglednosti). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem retku lijevo od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi brojevi su istaknuti naranča). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrti znak iza zareza, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće, koristeći gornju tablicu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo morate napisati broj u standardna forma : 102,76332=1,0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 prema tablici decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za prijelaz na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Tako, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

Počnimo s svojstva logaritma jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dokaz je jednostavan: budući da je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uvjete a>0 i a≠1, tada dokazana jednakost log a 1=0 odmah slijedi iz definicije logaritma.

Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0 , lg1=0 i .

Prijeđimo na sljedeće svojstvo: logaritam broja jednakog bazi jednak je jedinici, tj. log a a=1 za a>0, a≠1. Doista, budući da je a 1 =a za bilo koji a , onda prema definiciji logaritma log a a=1 .

Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su log 5 5=1, log 5.6 5.6 i lne=1.

Na primjer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

Logaritam umnoška dva pozitivni brojevi x i y jednak je umnošku logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma umnoška. Zbog svojstava stupnja a log a x+log a y =a log a x a log a y, a budući da je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y , onda je log a x a log a y =x y . Dakle, log a x+log a y =x y , odakle tražena jednakost slijedi iz definicije logaritma.

Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma proizvoda: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Svojstvo logaritma proizvoda može se generalizirati na umnožak konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ova se jednakost lako dokazuje.

Na primjer, prirodni logaritam proizvoda može se zamijeniti zbrojem tri prirodna logaritma brojeva 4 , e i .

Logaritam kvocijenta dva pozitivna broja x i y jednaka je razlici logaritama tih brojeva. Svojstvo kvocijentnog logaritma odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se poput formule za logaritam umnoška: budući da , zatim po definiciji logaritma .

Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: .

Idemo dalje na svojstvo logaritma stupnja. Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma modula baze ovog stupnja. Ovo svojstvo logaritma stupnja zapisujemo u obliku formule: log a b p =p log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stupanj b p ima smisla i b p >0.

Prvo dokazujemo ovo svojstvo za pozitivno b . Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , zatim b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, zbog svojstva snage, jednak je a p log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p log a b , iz koje, po definiciji logaritma, zaključujemo da je log a b p =p log a b .

Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativan b . Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativan b ima smisla samo za parne eksponente p (budući da vrijednost stupnja b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), a u ovom slučaju b p =|b| str. Zatim b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odakle log a b p =p log a |b| .

Na primjer, i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Iz prethodnog svojstva proizlazi svojstvo logaritma iz korijena: logaritam korijena n-tog stupnja jednak je umnošku razlomka 1/n i logaritma korijenskog izraza, tj. , gdje je a>0, a≠1, n prirodni broj veći od jedan, b>0.

Dokaz se temelji na jednakosti (vidi ), koja vrijedi za bilo koji pozitivan b , i svojstvu logaritma stupnja: .

Evo primjera korištenja ovog svojstva: .

Sada dokažimo formulu pretvorbe u novu bazu logaritma ljubazan . Za to je dovoljno dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b log c a . Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , zatim log c b=log c a log a b . Ostaje koristiti svojstvo logaritma stupnja: log c a log a b = log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b log c a, što znači da je dokazana i formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Pokažimo nekoliko primjera primjene ovog svojstva logaritama: i .

Formula za prelazak na novu bazu omogućuje vam da prijeđete na rad s logaritmima koji imaju "prikladnu" bazu. Na primjer, može se koristiti za prelazak na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prijelaz na novu bazu logaritma također u nekim slučajevima omogućuje pronalaženje vrijednosti zadanog logaritma, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.

Često se koristi poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritma za c=b oblika . Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . Na primjer, .

Također se često koristi formula , što je korisno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se pomoću njega izračunava vrijednost logaritma obrasca. Imamo . Za dokazivanje formule dovoljno je koristiti formulu prijelaza na novu bazu logaritma a: .

Ostaje dokazati svojstva usporedbe logaritama.

Dokažimo da za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2 , b 1 log a b 2 , a za a>1, nejednakost log a b 1

Konačno, ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritma. Ograničavamo se na dokazivanje njegovog prvog dijela, odnosno dokazujemo da ako je a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 je istinit log a 1 b>log a 2 b . Preostale tvrdnje ovog svojstva logaritama dokazuju se sličnim principom.

Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da za 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je istina. Prema svojstvima logaritama, ove se nejednakosti mogu prepisati kao i odnosno log b a 1 ≤log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2, redom. Tada, prema svojstvima potencija s istim bazama, moraju biti zadovoljene jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Dakle, došli smo do kontradikcije uvjeta a 1

Bibliografija.