Dom

Kako riješiti USE problem br. 13 za eksponencijalne i logaritamske jednadžbe | 1C: Učitelj

Što trebate znati o eksponencijalnim i logaritamskim jednadžbama za rješavanje USE zadataka u matematici?

Kao prvo, zadatak br. 13 varijante KIM USE, doduše rijetko, ali ipak ponekad je upravo takva jednadžba koju trebate ne samo riješiti, već i (slično zadatku trigonometrije) odabrati korijene jednadžbe koji zadovoljavaju bilo koju stanje.

Dakle, jedna od opcija za 2017. uključivala je sljedeći zadatak:

a) Riješite jednadžbu 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

b) Navedite korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu.

Odgovor: a) 2; log 2 7 i b) log 2 7.

U drugoj verziji postojao je takav zadatak:

a) Riješite jednadžbu 6log 8 2 x– 5 dnevnik 8 x + 1 = 0

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu.

Odgovor: a) 2 i 2√ 2 ; b) 2.

Bilo je i ovo:

a) Riješite jednadžbu 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0.

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu [π; 5π/2].

Odgovor: a) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) i b) 11π/6; 13π/6.

Drugo, proučavanje metoda za rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi je dobro, budući da osnovne metode za rješavanje i jednadžbi i nejednadžbi zapravo koriste iste matematičke ideje.

Glavne metode rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi lako se pamte, samo ih je pet: svođenje na najjednostavniju jednadžbu, korištenje ekvivalentnih prijelaza, uvođenje novih nepoznanica, logaritam i faktorizacija. Zasebno, postoji metoda korištenja svojstava eksponencijalnih, logaritamskih i drugih funkcija u rješavanju problema: ponekad je ključ za rješavanje jednadžbe domena definicije, raspon vrijednosti, nenegativnost, ograničenost, ravnomjernost uključenih funkcija. u tome.

U pravilu, u zadatku br. 13 postoje jednadžbe koje zahtijevaju korištenje pet gore navedenih glavnih metoda. Svaka od ovih metoda ima svoje karakteristike koje morate znati, jer upravo njihovo neznanje dovodi do pogrešaka u rješavanju problema.

Koje su uobičajene pogreške ispitivača?

Često, prilikom rješavanja jednadžbi koje sadrže funkciju eksponencijalne snage, učenici zaborave uzeti u obzir jedan od slučajeva u kojima je jednakost zadovoljena. Kao što je poznato, jednadžbe ovog oblika su ekvivalentne skupu dvaju sustava uvjeta (vidi dolje), govorimo o slučaju kada a( x) = 1

Ova pogreška nastaje zbog činjenice da ispitanik pri rješavanju jednadžbe formalno koristi definiciju eksponencijalne funkcije (y= sjekira, a>0, a ≠ 1): at a ≤ 0 eksponencijalna funkcija nije stvarno definirana,

Ali kod a = 1 je definirana, ali nije eksponencijalna, budući da je jedinica u bilo kojoj realnoj snazi ​​identično jednaka samoj sebi. To znači da ako u razmatranoj jednadžbi na a(x) = 1 postoji prava numerička jednakost, tada će odgovarajuće vrijednosti varijable biti korijeni jednadžbe.

Druga pogreška je primjena svojstava logaritama bez uzimanja u obzir raspona prihvatljivih vrijednosti. Na primjer, pokazalo se da dobro poznato svojstvo "logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama" ima generalizaciju:
log a( f(x)g(x)) = log a │ f(x)│ + log a │g( x)│, u f(x)g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1

Doista, da bi se izraz na lijevoj strani ove jednakosti mogao definirati, dovoljno je da umnožak funkcija f i g bio pozitivan, ali same funkcije mogu biti i veće i manje od nule u isto vrijeme, stoga je pri primjeni ovog svojstva potrebno koristiti koncept modula.

A takvih je primjera mnogo. Stoga je za učinkovit razvoj metoda rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi najbolje koristiti servise koji će na primjerima rješavanja odgovarajućih ispitnih zadataka moći govoriti o takvim "zamkama".

Redovito vježbajte rješavanje problema

Za početak učenja na portalu 1C: Tutor, dovoljno je.
Možeš:

Svi tečajevi se sastoje od metodički ispravnog slijeda teorije i prakse nužne za uspješno rješavanje problema. Uključuju teoriju u obliku tekstova, slajdova i videa, zadatke s rješenjima, interaktivne simulatore, modele i testove.

Imate li kakvih pitanja? Nazovite nas na 8 800 551-50-78 ili pišite na online chat.

Evo ključnih fraza kako bi roboti za pretraživanje mogli bolje pronaći naše savjete:
Kako riješiti zadatak 13 na USE ispitu, zadaci za logaritme, Kim USE 2017, priprema za USE profil matematike, Matematički profil, rješavanje jednadžbi i logaritama, rješavanje zadataka za eksponencijalne jednadžbe USE, izračunavanje svojstava logaritama, eksponencijalno -funkcija snage, zadaci na razini matematičkog profila, primjena svojstava logaritama, rješavanje zadataka za korijene, zadaci Jedinstvenog državnog ispita 2017. korištenjem eksponencijalnih jednadžbi, priprema za ispit za maturante 11. razreda 2018. za upis na tehničko sveučilište.

U zadatku 13 profilne razine VSE iz matematike potrebno je riješiti jednadžbu, ali povećane razine složenosti, budući da zadaci prijašnje razine C počinju od zadatka 13, a ovaj zadatak se može nazvati C1. Prijeđimo na razmatranje primjera tipičnih zadataka.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 13 UPOTREBA iz matematike na razini profila

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018.)

a) Riješite jednadžbu cos2x = 1-cos(p/2-x)

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu [-5p/2;-p].

Algoritam rješenja:

1. t
2. Izvodimo inverznu supstituciju i rješavamo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

1. Gradimo brojevnu liniju.
2. Stavili smo korijenje na to.
3. Označite krajeve segmenta.
4. Odabiremo one vrijednosti koje se nalaze unutar intervala.
5. Zapisujemo odgovor.

Odluka:

1. Pretvorite desnu stranu jednakosti pomoću formule redukcije cos( π/ 2−x)=grijeh x. Imamo:

cos2x = 1 - sin x.

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe koristeći kosinusnu formulu dvostrukog argumenta, koristeći sinus:

cos(2x)=1−2sin 2 x

Dobivamo sljedeću jednadžbu: 1−sin 2 x=1−grijeh x

Sada postoji samo jedna trigonometrijska funkcija sin u jednadžbi x.

2. Predstavljamo zamjenu: t= grijeh x. Rješavamo rezultirajuću kvadratnu jednadžbu:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 ili -2t + 1 = 0,

t 1 \u003d 0 t 2 \u003d 1/2.

3. Izrada obrnute zamjene:

grijeh x= 0 ili sin x = ½

Rješavamo ove jednadžbe:

grijeh x =0↔x=πn, nÊZ

grijeh( x)=1/2↔x= (-1)n ∙( π/6)+πn, nÊZ.

Stoga dobivamo dvije obitelji rješenja.

1. U prethodnom paragrafu dobivene su dvije obitelji od kojih svaka ima beskonačno mnogo rješenja. Potrebno je saznati koji se od njih nalaze u zadanom intervalu. Da bismo to učinili, gradimo brojevnu liniju.

2. Na njega stavljamo korijene obiju obitelji, označavajući ih zelenom (prva) i plavom (druga).

3. Označite krajeve praznine crvenom bojom.

4. U naznačenom intervalu nalaze se tri korijena koji su tri korijena: −2 π ;−11π/ 6 i -7 π/ 6.

a) πn, nÊZ;(-1)n ∙( π/6)+πn, nÊZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

Druga verzija zadatka (od Yaschenka, br. 1)

Algoritam rješenja:

1. Ovu funkciju zamjenjujemo varijablom t i riješi rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
2. Napravimo inverznu supstituciju i rješavamo najjednostavnije eksponencijalne, zatim trigonometrijske jednadžbe.

1. Na njoj gradimo koordinatnu ravninu i kružnicu jediničnog polumjera.
2. Označavamo točke koje su krajevi segmenta.
3. Odabiremo one vrijednosti koje se nalaze unutar segmenta.
4. Zapisujemo odgovor.

Odluka:

1. Uvodimo zamjenu t = 4 cos x. tada će jednadžba poprimiti oblik:

Kvadratnu jednadžbu rješavamo korištenjem diskriminanta i formule korijena:

D \u003d b 2 - c \u003d 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 \u003d 49,

t 1 = (9 - 7) / 8 \u003d ¼, t 2 = (9 + 7) / 8 \u003d 2.

3. Vraćamo se na varijablu x:

1. Na njoj gradimo koordinatnu ravninu i kružnicu jediničnog polumjera.

2. Označavamo točke koje su krajevi segmenta.

3. Odaberite one vrijednosti koje se nalaze unutar segmenta..

Ovo su korijeni. Ima ih dvoje.

a)

b)

Treća verzija zadatka (od Yaschenka, br. 6)

Algoritam rješenja:

1. Koristeći trigonometrijske formule, svodimo jednadžbu na oblik koji sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.
2. Ovu funkciju zamjenjujemo varijablom t i riješi rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
3. Izvodimo inverznu supstituciju i rješavamo najjednostavnije eksponencijalne, a zatim trigonometrijske jednadžbe.

1. Za svaki slučaj rješavamo nejednakosti.
2. Zapisujemo odgovor.

Odluka:

1. Redukcionim formulama .

2. Tada će ova jednadžba poprimiti oblik:

3. Uvodimo zamjenu . dobivamo:

Uobičajenu kvadratnu jednadžbu rješavamo koristeći formule diskriminanta i korijena: