Odaberemo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i iscrtamo vrijednosti argumenta na osi apscise x, a na y-osi - vrijednosti funkcije y = f(x).
Grafikon funkcije y = f(x) poziva se skup svih točaka za koje apscise pripadaju domeni funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
Drugim riječima, graf funkcije y \u003d f (x) je skup svih točaka u ravnini, koordinata X, na koji zadovoljavaju odnos y = f(x).
Na sl. 45 i 46 su grafovi funkcija y = 2x + 1 i y \u003d x 2 - 2x.
Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je točna matematička definicija data gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo manje ili više točnu skicu grafa (a čak i tada, u pravilu, ne cijelog grafa, već samo njegovog dijela koji se nalazi u završnim dijelovima ravnine). Međutim, u onome što slijedi obično ćemo se pozivati na "grafikon", a ne na "skicu grafikona".
Pomoću grafa možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u opseg funkcije y = f(x), zatim da biste pronašli broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebao bi to učiniti. Treba kroz točku s apscisom x = a nacrtati ravnu liniju paralelnu s y-osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke bit će, na temelju definicije grafa, jednaka fa)(slika 47).
Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (slika 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, itd.
Funkcijski graf vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y \u003d x 2 - 2x uzima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i na x > 2, negativan - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x prihvaća na x = 1.
Za crtanje funkcije f(x) trebate pronaći sve točke ravnine, koordinate x,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavnija je metoda crtanja u više točaka. Sastoji se u tome da argument x dajte konačan broj vrijednosti - recimo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i napravite tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.
Tablica izgleda ovako:
Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).
Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja u više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između označenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.
Primjer 1. Za crtanje funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:
Odgovarajućih pet točaka prikazano je na Sl. 48.
Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48. prikazana točkastom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako nema dodatnih razmatranja u prilog ovom zaključku, teško se može smatrati pouzdanim. pouzdan.
Da bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju
.
Proračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 upravo opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna crta (prikazano je na slici 49). Drugi primjer je funkcija y = x + l + sinx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.
Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja u više točaka nepouzdana. Stoga, za crtanje zadane funkcije, u pravilu, postupite na sljedeći način. Najprije se proučavaju svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih je moguće konstruirati skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o zadanim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I, konačno, kroz izgrađene točke se crta krivulja koristeći svojstva ove funkcije.
Kasnije ćemo razmotriti neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo analizirati neke najčešće korištene metode za crtanje grafova.
Grafikon funkcije y = |f(x)|.
Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - zadanu funkciju. Prisjetite se kako se to radi. Po definiciji apsolutne vrijednosti broja, može se pisati
To znači da je graf funkcije y=|f(x)| može se dobiti iz grafa, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke grafa funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x), s negativnim koordinatama, treba konstruirati odgovarajuće točke grafa funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba reflektirati simetrično oko osi x).
Primjer 2 Nacrtajte funkciju y = |x|.
Uzimamo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona kada x< 0 (leži ispod osi x) se simetrično reflektira oko osi x. Kao rezultat, dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).
Primjer 3. Nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.
Prvo crtamo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe os apscise u točkama 0 i 2. Na intervalu (0; 2 ) funkcija poprima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafa odražava simetrično oko osi x. Slika 51 prikazuje graf funkcije y \u003d |x 2 -2x |, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x
Grafikon funkcije y = f(x) + g(x)
Razmotrimo problem crtanja funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafovi funkcija y = f(x) i y = g(x).
Imajte na umu da je domena funkcije y = |f(x) + g(h)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ovo područje definicije je sjecište domena definicije, funkcija f(x) ) i g(x).
Pustite bodove (x 0, y 1) i (x 0, y 2) pripadaju grafovima funkcija y = f(x) i y = g(x), tj. g 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. i bilo koja točka grafa funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Dakle, graf funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). i y = g(x) zamjenom svake točke ( x n, y 1) funkcionalna grafika y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 \u003d g (x n). U ovom slučaju razmatraju se samo takve točke. x n za koji su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x).
Ova metoda crtanja grafa funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanjem grafova funkcija y = f(x) i y = g(x)
Primjer 4. Na slici se metodom zbrajanja grafova konstruira graf funkcije
y = x + sinx.
Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx pretpostavili smo da f(x) = x, a g(x) = sinx. Za izgradnju grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx izračunat ćemo na odabranim točkama i rezultate smjestiti u tablicu.
Konstrukcija grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće školarcima. Međutim, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema, a lako možete nacrtati čak i naizgled najsloženiju funkciju. Pogledajmo koji su to algoritmi.
1. Ucrtavanje funkcije y = |f(x)|
Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze potpuno u gornjoj poluravni.
Ucrtavanje funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.
1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).
2) Ostavite nepromijenjene sve točke grafa koje su iznad ili na osi 0x.
3) Dio grafikona koji leži ispod osi 0x, prikazati simetrično oko osi 0x.
Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 - 4x + 3|
1) Gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4x + 3. Očito je da je graf ove funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka presjeka parabole s koordinatnim osi i koordinate vrha parabole.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Stoga parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Stoga parabola siječe os 0y u točki (0, 3).
Koordinate vrha parabole:
x u \u003d - (-4/2) \u003d 2, y u \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Prema tome, točka (2, -1) je vrh ove parabole.
Nacrtajte parabolu koristeći primljene podatke (Sl. 1)
2) Dio grafa koji leži ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na os 0x.
3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazana točkastom linijom).
2. Iscrtavanje funkcije y = f(|x|)
Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.
Iscrtavanje funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.
1) Nacrtaj funkciju y = f(x).
2) Ostavite onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikažite dio grafa naveden u stavku (2) simetrično na os 0y.
4) Kao konačni grafikon odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3
Budući da je x 2 = |x| 2 , onda se izvorna funkcija može prepisati na sljedeći način: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. A sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.
1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4 x + 3 (vidi također riža. jedan).
2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikaži desnu stranu grafa simetrično na os 0y.
(slika 3).
Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|
Primjenjujemo gornju shemu.
1) Grafikon funkcije y = log 2 x (slika 4).
3. Ucrtavanje funkcije y = |f(|x|)|
Imajte na umu da funkcije oblika y = |f(|x|)| također su čak. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su im grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija nalaze se potpuno u gornjoj poluravnini.
Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:
1) Konstruirajte uredan graf funkcije y = f(|x|).
2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na osi 0x.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x trebao bi biti prikazan simetrično u odnosu na os 0x.
4) Kao konačni grafikon odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Imajte na umu da je x 2 = |x| 2. Dakle, umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - jedan
možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, budući da su im grafovi isti.
Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za to koristimo algoritam 2.
a) Nacrtamo funkciju y \u003d -x 2 + 2x - 1 (slika 6).
b) Ostavljamo onaj dio grafa, koji se nalazi u desnoj poluravni.
c) Dobiveni dio grafa prikazati simetrično na os 0y.
d) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (slika 7).
2) Nema točaka iznad osi 0x, ostavljamo točke na osi 0x nepromijenjene.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.
4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (slika 8).
Primjer 5. Grafikon funkcije y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Prvo morate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na algoritam 2.
a) Pažljivo nacrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (slika 9).
Imajte na umu da je ova funkcija linearno-frakcijska i da je njen graf hiperbola. Da biste izgradili krivulju, prvo morate pronaći asimptote grafa. Horizontalno - y \u003d 2/1 (omjer koeficijenata na x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito - x \u003d -3.
2) Dio grafikona koji je iznad ili na osi 0x ostat će nepromijenjen.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.
4) Konačni grafikon je prikazan na slici (slika 11).
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
Izgradite funkciju
Predstavljamo Vam uslugu za online iscrtavanje funkcionalnih grafova na koju sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor grafikona, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja
- Vizualni prikaz uvedenih funkcija
- Izrada vrlo složenih grafova
- Iscrtavanje implicitno definiranih grafova (npr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i dobivanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola skale, boja linije
- Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenje konstanti
- Konstrukcija više grafova funkcija u isto vrijeme
- Ucrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je lako izgraditi grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja je gotova trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikaz grafova za njihov daljnji prijenos u Word dokument kao ilustracije za rješavanje problema, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Najbolji preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici stranice je Google Chrome. Kada koristite druge preglednike, ispravan rad nije zajamčen.
Funkcijski graf vizualni je prikaz ponašanja neke funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafički prikazi pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete graditi grafove mnogih funkcija, a svaka od njih bit će zadana određenom formulom. Graf bilo koje funkcije se gradi prema određenom algoritmu (ako ste zaboravili točan proces crtanja grafa određene funkcije).
Koraci
Crtanje linearne funkcije
- Ako je nagib negativan, funkcija se smanjuje.
-
Od točke gdje se pravac siječe s Y osi, nacrtajte drugu točku koristeći vertikalne i horizontalne udaljenosti. Linearna funkcija može se nacrtati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka presjeka s Y-osi ima koordinate (0,5); od ove točke pomaknite se za 2 mjesta gore, a zatim 1 razmak udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.
Pomoću ravnala povucite ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva graf se može izgraditi pomoću dvije točke. Dakle, nacrtali ste linearnu funkciju.
Crtanje točaka na koordinatnoj ravnini
-
Definirajte funkciju. Funkcija je označena kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivaju se rasponom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivaju se domenom funkcije. Na primjer, razmotrite funkciju y = x+2, naime f(x) = x+2.
Nacrtajte dvije okomite linije koje se sijeku. Horizontalna linija je os X. Okomita linija je Y-os.
Označite koordinatne osi. Svaku os razbijte na jednake segmente i numerirajte ih. Točka presjeka osi je 0. Za os X: s desne strane (od 0) ucrtani su pozitivni brojevi, a lijevo negativni brojevi. Za Y-os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.
Pronađite "y" vrijednosti od "x" vrijednosti. U našem primjeru f(x) = x+2. Zamijenite određene vrijednosti "x" u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće vrijednosti "y". Ako je data složena funkcija, pojednostavite je izolacijom "y" na jednoj strani jednadžbe.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Nacrtajte točke na koordinatnoj ravnini. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na osi x i nacrtajte okomitu liniju (isprekidana crta); pronađite odgovarajuću vrijednost na y-osi i nacrtajte vodoravnu crtu (isprekidanu). Označite točku sjecišta dviju točkastih linija; dakle, nacrtali ste točku grafa.
Izbrišite točkaste linije. Učinite to nakon što nacrtate sve točke grafa na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je ravna crta koja prolazi središtem koordinata [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .
Iscrtavanje složene funkcije
Pronađite nule funkcije. Funkcije nule su vrijednosti varijable "x" na kojima je y = 0, odnosno to su točke presjeka grafa s osom x. Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali ovo je prvi korak u procesu crtanja bilo kojeg grafa funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, postavite je na nulu. Na primjer:
Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je pravac kojoj se graf funkcije približava, ali nikad ne prelazi (to jest, funkcija nije definirana u ovom području, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu isprekidanom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), namjestite nazivnik na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru nacrtajte isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete podijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:
-
Odrediti je li funkcija linearna. Linearna funkcija je data formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez eksponenata, predznaka korijena i slično. S obzirom na funkciju sličnog oblika, crtanje takve funkcije je prilično jednostavno. Evo drugih primjera linearnih funkcija:
Koristite konstantu da označite točku na y-osi. Konstanta (b) je koordinata “y” točke presjeka grafa s Y-osom. To jest, to je točka čija je “x” koordinata 0. Dakle, ako je x = 0 zamijenjeno u formulu , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je 5, odnosno točka presjeka s Y-osi ima koordinate (0,5). Ucrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.
Pronađite nagib linije. Jednaka je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s varijablom "x" je faktor 2; dakle, nagib je 2. Nagib određuje kut nagiba ravne na os X, odnosno što je veći nagib, funkcija se brže povećava ili smanjuje.
Zapiši nagib kao razlomak. Nagib je jednak tangentu kuta nagiba, odnosno omjeru okomite udaljenosti (između dvije točke na ravnoj crti) i vodoravne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, pa možemo reći da je okomita udaljenost 2, a horizontalna 1. Napišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Konstruirajte krivulju zadanu parametarskim jednadžbama \
Proučimo prvo grafove funkcija \(x\left(t \right)\) i \(x\left(t \right)\). Obje funkcije su kubični polinomi koji su definirani za sve \(x \in \mathbb(R).\) Pronađite derivaciju \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ desno) = (\lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Rješavanje jednadžbe \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definira stacionarne točke funkcije \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Strelica desno 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcija \(x\left(t \right)\) doseže maksimum jednak \ i u točki \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) ima minimum jednako \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \desno)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Razmotrimo derivaciju \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ lijevo(t \desno) = (\lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Pronađite stacionarne točke funkcije \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Ovdje, na sličan način, funkcija \(y\left(t \right)\) doseže svoj maksimum u točki \(t = -2:\) \ i svoj minimum u točki \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \desno t)^3) + 2(\lijevo((\frac(2)(3)) \desno)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafovi funkcija \(x\left(t \ desno)\), \(y\lijevo(t \desno)\) shematski su prikazani na slici \(15a.\)
sl.15a |
sl.15b |
sl.15c |
Imajte na umu da budući da je \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] tada krivulja \(y\left(x \right)\) nema ni okomite, nema horizontalnih asimptota. Štoviše, budući da je \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right)))) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (plava)(t^3)) + \color(crvena)(2(t^2)) - \color(zelena)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ boja (crveno)(t^2) + \color(zelena)(t)) \desno) ) = (\lim\limits_(t \do \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] tada krivulja \(y\left(x \right)\) također nema kosih asimptota.
Odredimo presječne točke grafa \(y\lijevo(x \desno)\) s koordinatnim osi. Sjecište s osi x događa se u sljedećim točkama: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Strelica desno t\lijevo(((t^2) + 2t - 4) \desno) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Strelica desno D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \desno) = 5,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
U drugom intervalu \(\left(( - 2, - 1) \desno)\) varijabla \(x\) raste od \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) do \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) i varijabla \(y\) smanjuje se s \(y\left(( - 2) \right) = 8\) na \(y\left (( - 1) \desno) = 5.\) Ovdje imamo dio opadajuće krivulje \(y\left(x \right).\) On siječe y-os u točki \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \desno).\)
Na trećem intervalu \(\lijevo(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno)\) obje varijable se smanjuju. \(x\) se mijenja iz \(x\left(( - 1) \desno) = 1\) u \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Prema tome, \(y\) se smanjuje s \(y\left(( - 1) \right) = 5\) na \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Krivulja \(y\left(x \right)\ ) se siječe ishodište koordinata.
U četvrtom intervalu \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) varijabla \(x\) raste od \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) do \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) i varijabla \(y\) smanjuje se od \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \desno) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) do \(y\left((\large\frac(2)(2) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) U ovom odjeljku, krivulja \(y\left(x \right)\) siječe y-os u točki \(\lijevo( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \desno).\)
Konačno, na posljednjem intervalu \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) obje funkcije \(x\left(t \right)\), \ ( y\lijevo(t \desno)\) povećanje. Krivulja \(y\left(x \right)\) siječe x-os u točki \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18.\)
Da bismo precizirali oblik krivulje \(y\left(x \right)\), izračunavamo maksimalnu i minimalnu točku. Derivat \(y"\left(x \right)\) izražava se kao \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno))^\prime )))((( ( \levo(((t^3) + (t^2) - t) \desno))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ desno)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ lijevo((t + 2) \desno)\lijevo((t - \frac(2)(3)) \desno)))((\lijevo((t + 1) \desno)\lijevo((t - \ frac(1)(3)) \desno))).) \] Promjena predznaka derivacije \(y"\left(x \right)\) prikazana je na slici \(15c.\) Vidi se da u točki \(t = - 2,\) t.j. na granici \(I\)th i \(II\)th intervala, krivulja ima maksimum, a za \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (na granici \(IV\) th i \(V\)th intervali) postoji minimum. Prilikom prolaska kroz točku \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) derivacija također mijenja predznak s plusa na minus, ali u ovom području krivulja \(y\left(x \right)\ ) nije jednoznačna funkcija. Dakle, navedena točka nije ekstrem.
Također istražujemo konveksnost ove krivulje. Druga izvedenica\(y""\left(x \right)\) ima oblik: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \desno))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \desno))^\prime )))((((\lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \ desno ))^\prime ))) = \frac((\lijevo((6t + 4) \desno)\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno) - \lijevo((3( t ^2) + 4t - 4) \desno)\lijevo((6t + 2) \desno)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^)) 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \desno)))(((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \ frac((\cancel(\color(plava)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \cancel(\color(plava)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon) ( 8)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) ) + \color(zelena)(18t) + \color(kestenjasta)(4)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1)) \desno))^3))). \] Posljedično, drugi izvod mijenja svoj predznak u suprotan kada prolazi kroz sljedeće točke (sl.\(15s\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\lijevo(( - 1 ) \desno ) = 1,)\;\; (y\lijevo(( - 1) \desno) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,24;)\;\; (y\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,8.) \] Dakle, ove točke su točke pregiba krivulje \(y\lijevo (x \desno).\)
Shematski prikaz krivulje \(y\lijevo(x \desno)\) prikazan je iznad na slici \(15b.\)
