Nejednakosti i sustavi nejednakosti jedna su od tema koje se uče u srednjoj školi iz algebre. Što se tiče težine, nije najteže, jer ima jednostavna pravila (o njima malo kasnije). U pravilu, školarci vrlo lako uče rješavanje sustava nejednakosti. Tome je zaslužna i činjenica da učitelji svoje učenike naprosto „obučavaju“ o ovoj temi. I to ne mogu ne učiniti, jer se u budućnosti proučava uz korištenje drugih matematičkih veličina, a također se provjerava za OGE i Jedinstveni državni ispit. U školskim udžbenicima tema nejednakosti i sustava nejednakosti je vrlo detaljno obrađena, pa ako ćete je proučavati, onda je najbolje pribjeći njima. Ovaj članak prepričava samo velike materijale, a u njemu može biti nekih propusta.
Pojam sustava nejednakosti
Ako se okrenemo znanstvenom jeziku, možemo definirati pojam "sustava nejednakosti". Ovo je takav matematički model, koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Ovaj model, naravno, zahtijeva rješenje, a ono će biti opći odgovor za sve nejednakosti sustava predloženog u zadatku (obično u njemu piše, na primjer: "Riješi sustav nejednadžbi 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6..."). Međutim, prije nego što prijeđete na vrste i metode rješenja, morate razumjeti nešto drugo.
Sustavi nejednačina i sustavi jednadžbi
U procesu učenja nove teme često dolazi do nesporazuma. S jedne strane sve je jasno i radije bih krenuo u rješavanje zadataka, ali s druge strane neki momenti ostaju u “sjeni”, nisu dobro shvaćeni. Također, neki elementi već stečenog znanja mogu se ispreplitati s novima. Kao rezultat ovog "preklapanja" često se javljaju greške.
Stoga, prije nego što pređemo na analizu naše teme, trebamo se prisjetiti razlika između jednadžbi i nejednakosti, njihovih sustava. Da biste to učinili, morate još jednom objasniti koji su to matematički koncepti. Jednadžba je uvijek jednakost, i uvijek je nečemu jednaka (u matematici se ova riječ označava znakom "="). Nejednakost je model u kojem je jedna vrijednost ili veća ili manja od druge, ili sadrži tvrdnju da nisu iste. Tako je u prvom slučaju primjereno govoriti o jednakosti, a u drugom, koliko god očito zvučalo iz samog naziva, o nejednakosti početnih podataka. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi praktički se međusobno ne razlikuju, a metode za njihovo rješavanje su iste. Jedina razlika je u tome što prvi koristi jednakosti, dok drugi koristi nejednakosti.
Vrste nejednakosti
Postoje dvije vrste nejednakosti: numeričke i s nepoznatom varijablom. Prvi tip daje vrijednosti (brojeve) koje su međusobno nejednake, na primjer, 8 > 10. Drugi su nejednakosti koje sadrže nepoznatu varijablu (označene nekim slovom latinične abecede, najčešće X). Ovu varijablu treba pronaći. Ovisno o tome koliko ih ima, matematički model razlikuje nejednakosti s jednom (one čine sustav nejednakosti s jednom varijablom) ili više varijabli (oni čine sustav nejednakosti s više varijabli).
Posljednje dvije vrste, prema stupnju njihove konstrukcije i stupnju složenosti rješenja, dijele se na jednostavne i složene. Jednostavne se također nazivaju linearnim nejednakostima. Oni se, pak, dijele na stroge i nestroge. Strogi posebno "recite" da jedna vrijednost mora biti ili manja ili više, pa je to čista nejednakost. Postoji nekoliko primjera: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, itd. Nestrogi također uključuju jednakost. Odnosno, jedna vrijednost može biti veća ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≥") ili manja ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≤"). Čak ni u linearnim nejednadžbama varijabla ne stoji u korijenu, kvadratu, nije djeljiva ni s čim, zbog čega se nazivaju "jednostavnima". Složene uključuju nepoznate varijable, čije pronalaženje zahtijeva više matematičkih operacija. Često su u kvadratu, kocki ili ispod korijena, mogu biti modularni, logaritamski, frakcijski itd. No budući da je naš zadatak razumjeti rješenje sustava nejednakosti, govorit ćemo o sustavu linearnih nejednadžbi. Međutim, prije toga treba reći nekoliko riječi o njihovim svojstvima.
Svojstva nejednakosti
Svojstva nejednakosti uključuju sljedeće odredbe:
- Predznak nejednakosti je obrnut ako se primijeni operacija promjene slijeda stranica (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2, tada t 2 ≥ t 1).
- Oba dijela nejednakosti omogućuju vam da sebi dodate isti broj (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2, tada t 1 + broj ≤ t 2 + broj).
- Dvije ili više nejednakosti koje imaju predznak istog smjera omogućuju vam da dodate njihove lijevi i desni dio (na primjer, ako je t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tada t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
- Oba dijela nejednakosti dopuštaju se množenjem ili dijeljenjem s istim pozitivnim brojem (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, tada je broj t 1 ≥ broj t 2).
- Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne članove i znak istog smjera dopuštaju da se međusobno množe (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 zatim t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
- Oba dijela nejednakosti dopuštaju se množenjem ili dijeljenjem s istim negativnim brojem, ali se predznak nejednakosti mijenja (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, tada je broj t 1 ≥ broj t 2).
- Sve nejednakosti imaju svojstvo tranzitivnosti (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, tada je t 1 ≤ t 3).
Sada, nakon proučavanja glavnih odredbi teorije vezanih uz nejednakosti, možemo izravno prijeći na razmatranje pravila za rješavanje njihovih sustava.
Rješenje sustava nejednačina. Opće informacije. Rješenja
Kao što je gore spomenuto, rješenje su vrijednosti varijable koje odgovaraju svim nejednakostima danog sustava. Rješenje sustava nejednakosti je provedba matematičkih operacija koje u konačnici dovode do rješenja cijelog sustava ili dokazuju da on nema rješenja. U ovom slučaju se kaže da se varijabla odnosi na prazan numerički skup (napisan ovako: slovo koje označava varijablu∈ (znak "pripada") ø (znak "prazan skup"), na primjer, x ∈ ø (glasi: "Varijabla "x" pripada praznom skupu"). Postoji nekoliko načina rješavanja sustava nejednakosti: grafički, algebarski, supstitucijska metoda. Vrijedi napomenuti da se oni odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju kada postoji samo jedan, prikladna je intervalna metoda.
Grafički način
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s nekoliko nepoznanica (od dvije ili više). Zahvaljujući ovoj metodi, sustav linearnih nejednakosti rješava se prilično lako i brzo, pa je to najčešća metoda. To je zato što crtanje smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Postaje posebno ugodno malo se odmoriti od olovke, uzeti olovku s ravnalom i uz njihovu pomoć nastaviti s daljnjim radnjama kada je puno posla obavljeno i želite malo raznolikosti. Međutim, nekima se ova metoda ne sviđa zbog činjenice da se morate odvojiti od zadatka i svoju mentalnu aktivnost prebaciti na crtanje. Međutim, to je vrlo učinkovit način.
Za rješavanje sustava nejednadžbi grafičkom metodom potrebno je sve članove svake nejednadžbe prenijeti na njihovu lijevu stranu. Znakovi će biti obrnuti, nula treba biti napisana s desne strane, zatim svaka nejednakost treba biti napisana zasebno. Kao rezultat, funkcije će se dobiti iz nejednakosti. Nakon toga možete dobiti olovku i ravnalo: sada morate nacrtati graf svake dobivene funkcije. Cijeli skup brojeva koji će biti u intervalu njihova presjeka bit će rješenje sustava nejednadžbi.
Algebarski način
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s dvije nepoznate varijable. Također, nejednakosti moraju imati isti predznak nejednakosti (tj. moraju sadržavati ili samo znak "veće od" ili samo znak "manje od" itd.) Unatoč svojim ograničenjima, ova metoda je također kompliciranija. Primjenjuje se u dvije faze.
Prvi uključuje radnje za uklanjanje jedne od nepoznatih varijabli. Prvo ga trebate odabrati, a zatim provjeriti prisutnost brojeva ispred ove varijable. Ako ih nema (tada će varijabla izgledati kao jedno slovo), onda ništa ne mijenjamo, ako postoji (tip varijable će biti npr. 5y ili 12y), onda je potrebno osigurati da je u svakoj nejednadžbi broj ispred odabrane varijable isti. Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član nejednakosti zajedničkim faktorom, na primjer, ako je u prvoj nejednadžbi napisano 3y, a u drugoj 5y, tada morate pomnožiti sve članove prve nejednadžbe za 5, a drugi za 3. Ispast će 15y i 15y, respektivno.
Druga faza odluke. Potrebno je prenijeti lijevu stranu svake nejednadžbe na njihove desne strane s promjenom predznaka svakog člana na suprotno, napišite nulu na desnoj strani. Zatim dolazi zabavni dio: rješavanje odabrane varijable (inače poznate kao "redukcija") uz zbrajanje nejednakosti. Dobit ćete nejednakost s jednom varijablom koju treba riješiti. Nakon toga, trebali biste učiniti isto, samo s drugom nepoznatom varijablom. Dobiveni rezultati bit će rješenje sustava.
Metoda zamjene
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti kada je moguće uvesti novu varijablu. Obično se ova metoda koristi kada se nepoznata varijabla u jednom članu nejednadžbe povisi na četvrti stepen, a u drugom se kvadrira. Stoga je ova metoda usmjerena na smanjenje stupnja nejednakosti u sustavu. Nejednakost uzorka x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 rješava se na sljedeći način. Uvodi se nova varijabla, na primjer t. Oni pišu: "Neka je t = x 2", a zatim se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju dobivamo t 2 - t - 1 ≤0. Ovu nejednakost treba riješiti intervalnom metodom (o tome malo kasnije), zatim se vratiti na varijablu X, a zatim učiniti isto s drugom nejednakošću. Dobiveni odgovori bit će odluka sustava.
Metoda razmaka
Ovo je najlakši način za rješavanje sustava nejednakosti, a ujedno je univerzalan i raširen. Koristi se u srednjoj školi, pa čak i u srednjoj školi. Njegova je bit u tome da učenik traži intervale nejednakosti na brojevnoj liniji, koja je ucrtana u bilježnicu (ovo nije graf, već samo obična ravna crta s brojevima). Gdje se sijeku intervali nejednadžbi, nalazi se rješenje sustava. Da biste koristili metodu razmaka, morate slijediti ove korake:
- Svi članovi svake nejednadžbe prenose se na lijevu stranu s promjenom predznaka u suprotni (na desnoj strani se upisuje nula).
- Nejednadžbe se ispisuju zasebno, određuje se rješenje svake od njih.
- Nalaze se sjecišta nejednadžbi na realnoj liniji. Svi brojevi na tim raskrižjima bit će rješenje.
Koji način koristiti?
Očito onaj koji se čini najlakšim i najprikladnijim, ali postoje slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće kažu da morate riješiti ili pomoću grafa ili metodom intervala. Algebarska metoda i supstitucija se koriste iznimno rijetko ili se uopće ne koriste, budući da su prilično složene i zbunjujuće, a osim toga, više se koriste za rješavanje sustava jednadžbi, a ne nejednakosti, pa treba pribjeći crtanju grafova i intervala. Oni donose vidljivost, što ne može ne pridonijeti učinkovitom i brzom izvođenju matematičkih operacija.
Ako nešto ne uspije
Tijekom proučavanja određene teme iz algebre, naravno, mogu se pojaviti problemi s njezinim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran na način da nije u stanju razumjeti složeno gradivo u jednom potezu. Često trebate ponovno pročitati odlomak, potražiti pomoć učitelja ili vježbati rješavanje tipičnih problema. U našem slučaju izgledaju, na primjer, ovako: "Riješi sustav nejednadžbi 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1 > 3". Dakle, osobna nastojanja, pomoć trećih osoba i praksa pomažu u razumijevanju bilo koje složene teme.
Reshebnik?
I knjiga rješenja je također vrlo prikladna, ali ne za varanje domaće zadaće, već za samopomoć. Možete pronaći sustave nejednakosti s rješenjem u njima, promatrati ih (kao uzorke), pokušati razumjeti kako se točno autor rješenja nosio sa zadatkom, a zatim pokušajte to učiniti sami.
nalazima
Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, što možeš učiniti? Matematika je oduvijek bila takva: nekima je lako, a drugima teško. Ali u svakom slučaju, treba imati na umu da je općeobrazovni program osmišljen na način da se svaki učenik može nositi s njim. Osim toga, morate imati na umu ogroman broj pomoćnika. Neki od njih su gore spomenuti.
U ovom su članku prikupljene početne informacije o sustavima nejednakosti. Ovdje dajemo definiciju sustava nejednakosti i definiciju rješenja sustava nejednakosti. Također navodi glavne vrste sustava s kojima najčešće morate raditi na satovima algebre u školi, a navedeni su i primjeri.
Navigacija po stranici.
Što je sustav nejednakosti?
Zgodno je definirati sustave nejednakosti na isti način kao što smo uveli definiciju sustava jednadžbi, odnosno prema vrsti zapisa i značenju koje je u njega ugrađeno.
Definicija.
Sustav nejednakosti je zapis koji predstavlja određeni broj nejednadžbi zapisanih jedna ispod druge, s lijeve strane ujedinjenih vitičastom zagradom, a označava skup svih rješenja koja su istovremeno rješenja svake nejednadžbe sustava.
Navedimo primjer sustava nejednakosti. Uzmimo dva proizvoljna, na primjer, 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, napiši ih jedno ispod drugog
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i sjediniti se sa znakom sustava - vitičastom zagradom, kao rezultat dobivamo sustav nejednakosti sljedećeg oblika:
Slično se daje ideja o sustavima nejednakosti u školskim udžbenicima. Vrijedi napomenuti da su definicije u njima dane uže: za nejednakosti s jednom varijablom ili s dvije varijable.
Glavne vrste sustava nejednakosti
Jasno je da postoji beskonačno mnogo različitih sustava nejednakosti. Kako se ne biste izgubili u ovoj raznolikosti, preporučljivo je razmotriti ih u skupinama koje imaju svoje osebujne značajke. Svi sustavi nejednakosti mogu se podijeliti u grupe prema sljedećim kriterijima:
- po broju nejednakosti u sustavu;
- prema broju varijabli uključenih u snimanje;
- po prirodi nejednakosti.
Prema broju nejednakosti uključenih u zapis, razlikuju se sustavi dva, tri, četiri itd. nejednakosti. U prethodnom odlomku dali smo primjer sustava koji je sustav dviju nejednakosti. Pokažimo još jedan primjer sustava od četiri nejednakosti 
.
Zasebno kažemo da nema smisla govoriti o sustavu jedne nejednakosti, u ovom slučaju, zapravo, govorimo o samoj nejednakosti, a ne o sustavu.
Ako pogledate broj varijabli, onda postoje sustavi nejednakosti s jednom, dvije, tri itd. varijable (ili, kako kažu, nepoznanice). Pogledajte posljednji sustav nejednakosti napisan u dva odlomka iznad. Ovo je sustav s tri varijable x, y i z. Imajte na umu da njezine prve dvije nejednakosti ne sadrže sve tri varijable, već samo jednu od njih. U kontekstu ovog sustava treba ih shvatiti kao nejednakosti s tri varijable oblika x+0 y+0 z≥−2 odnosno 0 x+y+0 z≤5. Napominjemo da se škola fokusira na nejednakosti s jednom varijablom.
Ostaje raspraviti koje su vrste nejednakosti uključene u sustave pisanja. U školi uglavnom razmatraju sustave dviju nejednakosti (rjeđe - tri, još rjeđe - četiri ili više) s jednom ili dvije varijable, a same nejednakosti su najčešće cjelobrojne nejednakosti prvi ili drugi stupanj (rjeđe - viši stupnjevi ili frakcijski racionalni). No nemojte se iznenaditi ako u pripremnim materijalima za OGE naiđete na sustave nejednakosti koji sadrže iracionalne, logaritamske, eksponencijalne i druge nejednakosti. Kao primjer predstavljamo sustav nejednakosti 
, preuzeto je iz .
Koje je rješenje sustava nejednakosti?
Uvodimo još jednu definiciju vezanu za sustave nejednakosti - definiciju rješenja sustava nejednačina:
Definicija.
Rješavanje sustava nejednadžbi s jednom varijablom naziva se takva vrijednost varijable koja svaku od nejednakosti sustava pretvara u istinitu, drugim riječima, rješenje je svake nejednakosti sustava.
Objasnimo na primjeru. Uzmimo sustav dviju nejednakosti s jednom varijablom. Uzmimo vrijednost varijable x jednaku 8, ona je rješenje našeg sustava nejednadžbi po definiciji, budući da njezina zamjena u nejednadžbe sustava daje dvije točne numeričke nejednadžbe 8>7 i 2−3 8≤0 . Naprotiv, jedinica nije rješenje sustava, jer kada se njome zamijeni varijabla x, prva nejednadžba će se pretvoriti u netočnu brojčanu nejednakost 1>7 .
Slično, možemo uvesti definiciju rješenja u sustav nejednakosti s dvije, tri ili više varijabli:
Definicija.
Rješavanje sustava nejednačina s dva, tri itd. varijable naziva se par, trojka itd. vrijednosti ovih varijabli, što je istovremeno rješenje svake nejednakosti sustava, odnosno pretvara svaku nejednakost sustava u pravu numeričku nejednakost.
Na primjer, par vrijednosti x=1, y=2 ili u drugom zapisu (1, 2) rješenje je sustava nejednakosti s dvije varijable, budući da je 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Sustavi nejednadžbi možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja ili mogu imati beskonačno mnogo rješenja. Često se govori o skupu rješenja za sustav nejednakosti. Kada sustav nema rješenja, tada postoji prazan skup njegovih rješenja. Kada postoji konačan broj rješenja, tada skup rješenja sadrži konačan broj elemenata, a kada postoji beskonačno mnogo rješenja, tada se skup rješenja sastoji od beskonačnog broja elemenata.
Neki izvori uvode definicije posebnog i općeg rješenja sustava nejednakosti, kao, na primjer, u Mordkovichevim udžbenicima. Pod, ispod određeno rješenje sustava nejednakosti razumjeti njegovo jedno jedino rješenje. Zauzvrat opće rješenje sustava nejednačina- sve su to njezine privatne odluke. Međutim, ovi pojmovi imaju smisla samo kada je potrebno naglasiti o kojem se rješenju raspravlja, ali to je obično već jasno iz konteksta, pa je puno češće jednostavno reći “rješenje sustava nejednakosti”.
Iz definicija sustava nejednadžbi i njegovih rješenja iznesenih u ovom članku proizlazi da je rješenje sustava nejednadžbi presjek skupova rješenja svih nejednadžbi ovog sustava.
Bibliografija.
- Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. razred: udžbenik. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova (profilna razina) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
- KORISTITI-2013. Matematika: tipične ispitne mogućnosti: 30 opcija / ur. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Izdavačka kuća "Narodno obrazovanje", 2012. - 192 str. - (USE-2013. FIPI - škola).
Sat i prezentacija na temu: "Sustavi nejednakosti. Primjeri rješenja"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 9. razred
Interaktivni vodič za učenje za 9. razred "Pravila i vježbe iz geometrije"
Elektronički udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7.-9. razred
Sustav nejednakosti
Dečki, proučavali ste linearne i kvadratne nejednakosti, naučili rješavati probleme na ove teme. Prijeđimo sada na novi koncept u matematici – sustav nejednakosti. Sustav nejednadžbi sličan je sustavu jednadžbi. Sjećate li se sustava jednadžbi? Učili ste sustave jednadžbi u sedmom razredu, pokušajte se sjetiti kako ste ih rješavali.Uvedimo definiciju sustava nejednakosti.
Nekoliko nejednadžbi s nekom varijablom x tvori sustav nejednakosti ako trebate pronaći sve vrijednosti x za koje svaka od nejednadžbi tvori pravi numerički izraz.
Bilo koja vrijednost x takva da se svaka nejednakost daje valjanom numeričkom izrazu rješenje je nejednakosti. Može se nazvati i privatnim rješenjem.
Što je privatno rješenje? Na primjer, u odgovoru smo dobili izraz x>7. Tada je x=8, ili x=123, ili neki drugi broj veći od sedam posebno rješenje, a izraz x>7 je opće rješenje. Opće rješenje formira se skupom posebnih rješenja.
Kako smo kombinirali sustav jednadžbi? Tako je, vitičasta zagrada, tako da rade isto s nejednakostima. Pogledajmo primjer sustava nejednakosti: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ako se sustav nejednakosti sastoji od identičnih izraza, na primjer, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Dakle, što znači pronaći rješenje za sustav nejednakosti?
Rješenje nejednadžbe je skup parcijalnih rješenja nejednadžbe koji istovremeno zadovoljava obje nejednakosti sustava.
Opći oblik sustava nejednakosti zapisujemo kao $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$
Neka je $X_1$ opće rješenje nejednadžbe f(x)>0.
$X_2$ je opće rješenje nejednadžbe g(x)>0.
$X_1$ i $X_2$ skup su određenih rješenja.
Rješenje sustava nejednakosti bit će brojevi koji pripadaju i $X_1$ i $X_2$.
Pogledajmo operacije nad skupovima. Kako možemo pronaći elemente skupa koji pripadaju oba skupa odjednom? Tako je, za ovo postoji operacija raskrižja. Dakle, rješenje naše nejednakosti bit će skup $A= X_1∩ X_2$.
Primjeri rješenja sustava nejednakosti
Pogledajmo primjere rješavanja sustava nejednačina.Riješite sustav nejednačina.
a) $\begin(slučajevi)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(slučajevi)2x-4≤6\\-x-4
Odluka.
a) Riješite svaku nejednadžbu posebno.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 USD
Naše intervale označavamo na jednoj koordinatnoj liniji.
Rješenje sustava bit će segment presjeka naših intervala. Nejednakost je stroga, tada će segment biti otvoren.
Odgovor: (1;3).
B) Svaka nejednadžba također rješavamo posebno.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $. 
Rješenje sustava bit će segment presjeka naših intervala. Druga nejednakost je stroga, tada će segment biti otvoren s lijeve strane.
Odgovor: (-5; 5).
Sumirajmo što smo naučili.
Pretpostavimo da trebamo riješiti sustav nejednakosti: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Tada je interval ($x_1; x_2$) rješenje prve nejednadžbe.
Interval ($y_1; y_2$) rješenje je druge nejednadžbe.
Rješenje sustava nejednadžbi je presjek rješenja svake nejednadžbe. 
Sustavi nejednakosti mogu se sastojati od nejednakosti ne samo prvog reda, već i od bilo koje druge vrste nejednakosti.
Važna pravila za rješavanje sustava nejednakosti.
Ako jedna od nejednakosti sustava nema rješenja, onda cijeli sustav nema rješenja.
Ako je jedna od nejednakosti zadovoljena za bilo koju vrijednost varijable, tada će rješenje sustava biti rješenje druge nejednadžbe.
Primjeri.
Riješite sustav nejednačina:$\početak(slučajevi)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(slučajevi)$
Odluka.
Riješimo svaku nejednakost posebno.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Riješimo drugu nejednakost.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Rješenje nejednakosti je jaz. 
Nacrtajmo oba intervala na jednoj ravnoj crti i pronađimo sjecište. 
Sjecište intervala je segment (4; 6).
Odgovor: (4;6).
Riješite sustav nejednačina.
a) $\begin(slučajevi)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(slučajevi)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(slučajevi )$.
Odluka.
a) Prva nejednadžba ima rješenje x>1.
Nađimo diskriminant za drugu nejednakost.
$D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Prisjetimo se pravila, kada jedna od nejednadžbi nema rješenja, onda cijeli sustav nema rješenja.
Odgovor: Ne postoje rješenja.
B) Prva nejednadžba ima rješenje x>1.
Druga nejednadžba je veća od nule za sve x. Tada se rješenje sustava poklapa s rješenjem prve nejednadžbe.
Odgovor: x>1.
Zadaci o sustavima nejednačina za neovisno rješenje
Riješite sustave nejednačina:a) $\begin(slučajevi)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(slučajevi)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(slučajevi)x^2-25 d) $\begin(slučajevi)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(slučajevi)$
e) $\begin(cases)x^2+36
Članak otkriva temu nejednakosti, razumije definicije sustava i njihova rješenja. Razmatrat će se česti primjeri rješavanja sustava jednadžbi u školi iz algebre.
Definicija sustava nejednakosti
Sustavi nejednakosti određeni su definicijama sustava jednadžbi, što znači da se posebna pažnja posvećuje zapisima i značenju same jednadžbe.
Definicija 1
Sustav nejednakosti nazvati zapis jednadžbi ujedinjenih vitičastom zagradom sa skupom rješenja istovremeno za sve nejednadžbe uključene u sustav.
Slijede primjeri nejednakosti. Zadane su dvije nejednadžbe 2 · x − 3 > 0 i 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Potrebno je napisati jednu jednadžbu ispod druge, nakon čega kombiniramo pomoću vitičaste zagrade:
2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11
Na isti je način u školskim udžbenicima prikazana definicija sustava nejednakosti i za korištenje jedne i dvije varijable.
Glavne vrste sustava nejednakosti
Postoji kompilacija beskonačnog skupa sustava nejednakosti. Razvrstani su u skupine koje se razlikuju po određenim karakteristikama. Nejednakosti se dijele prema kriterijima:
- broj nejednakosti sustava;
- broj varijabli zapisa;
- vrsta nejednakosti.
Broj ulaznih nejednakosti može biti dvije ili više. U prethodnom odlomku razmatran je primjer rješavanja sustava s dvije nejednadžbe.
2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11
Razmotrimo rješenje sustava s četiri nejednadžbe.
x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2
Rješenje nejednadžbe zasebno ne govori o rješenju sustava u cjelini. Za rješavanje sustava potrebno je koristiti sve raspoložive nejednadžbe.
Takvi sustavi nejednakosti mogu imati jednu, dvije, tri ili više varijabli. U zadnjem sustavu na slici to je jasno vidljivo, tamo imamo tri varijable: x, y, z. Jednadžbe mogu sadržavati jednu varijablu, kao u primjeru, ili nekoliko. Na temelju primjera, nejednakost x + 0 y + 0 z ≥ − 2 i 0 x + y + 0 z ≤ 5 ne smatra se ekvivalentnom. Školski nastavni planovi i programi obraćaju pažnju na rješavanje nejednakosti s jednom varijablom.
Prilikom pisanja sustava mogu se uključiti jednadžbe različitih vrsta i s različitim brojem varijabli. Najčešće cjelobrojne nejednakosti različitih stupnjeva. Prilikom pripreme za ispite mogu postojati sustavi s iracionalnim, logaritamskim, eksponencijalnim jednadžbama oblika:
544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1
Takav sustav uključuje eksponencijalnu i logaritamsku jednadžbu.
Rješavanje sustava nejednačina
Definicija 2Razmotrimo primjer rješavanja sustava jednadžbi s jednom varijablom.
x > 7 , 2 - 3 x ≤ 0
Ako je vrijednost x = 8, tada je rješenje sustava očito, jer su 8 > 7 i 2 − 3 · 8 ≤ 0 zadovoljeni. Kod x = 1 sustav neće biti riješen, jer prva brojčana nejednadžba u trenutku zamjene ima 1 > 7 . Na isti način rješava se sustav s dvije ili više varijabli.
Definicija 3
Rješavanje sustava nejednadžbi s dvije ili više varijabli imenovati vrijednosti koje su rješenje svih nejednakosti kada se svaka pretvori u pravu brojčanu nejednakost.
Ako je x = 1 i y = 2 bit će rješenje nejednakosti x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .
Prilikom rješavanja sustava nejednakosti mogu dati određeni broj odgovora, a mogu biti i beskonačni. Postoji mnogo rješenja za takav sustav. Ako nema rješenja, onda se kaže da ima prazan skup rješenja. Ako rješenje ima određeni broj, tada skup rješenja ima konačan broj elemenata. Ako postoji mnogo rješenja, tada skup rješenja sadrži beskonačan broj brojeva.
Neki udžbenici definiraju određeno rješenje sustava nejednakosti, koje se shvaća kao jedno rješenje. A općim rješenjem sustava nejednakosti smatraju se sva njegova posebna rješenja. Ova se definicija rijetko koristi, pa kažu "rješenje sustava nejednakosti".
Ove definicije sustava nejednakosti i rješenja smatraju se sjecištima skupova rješenja svih nejednakosti sustava. Posebnu pozornost treba posvetiti odjeljku o ekvivalentnim nejednakostima.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U ovoj lekciji nastavit ćemo s razmatranjem racionalnih nejednakosti i njihovih sustava, odnosno: sustava linearnih i kvadratnih nejednakosti. Prisjetimo se najprije što je sustav dviju linearnih nejednakosti s jednom varijablom. Zatim ćemo razmotriti sustav kvadratnih nejednakosti i metodu za njihovo rješavanje na primjeru specifičnih problema. Pogledajmo pobliže takozvanu krovnu metodu. Analizirat ćemo tipična rješenja sustava i na kraju lekcije razmotriti rješenje sustava s linearnim i kvadratnim nejednadžbama.
2. Elektronički obrazovni i metodički kompleks za pripremu 10-11 razreda za prijemne ispite iz informatike, matematike, ruskog jezika ().
3. Obrazovni centar "Tehnologija obrazovanja" ().
4. College.ru odjeljak o matematici ().
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. br. 58 (a, c); 62; 63.
