Qarışıq ədədlərin adi kəsirlərinin vurulması qaydası. Kəsrləri tam ədədlərə vurma qaydası

Vurma adi fraksiyalar Bir neçə mümkün varianta baxaq.

Kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

üçün kəsri kəsrə vurmaq, zəruri:

• birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurun və hasilini yeni kəsrin payına yazın;
• birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə vurur və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazır;

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı xeyli asanlaşdıracaq.



Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsrə ilə çoxaltmaq natural ədəd kəsrin payını bu ədədə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Çarpmanın nəticəsi düzgün olmayan bir kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi unutmayın, yəni tam hissəni seçin.



Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.



Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablamalarda adi bir kəsri ədədə vurmaq üçün fərqli bir üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.



Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci natural ədədə qalıqsız bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsrlərlə hərəkətlər

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:

• Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
• Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:



Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:



Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Tapşırığın sonu gəlirsə, o zaman düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:



İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .



Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

1. Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli, məxrəci isə eyni qoymalısınız;
2. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.

Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci əlavə əmsal alınır. Onlar ikinci fraksiya ilə də eyni şeyi edirlər - NOC ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə amili onun üstünə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə də ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:

İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:



Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:



Beləliklə, nümunə bitir. Əlavə etmək üçün belə çıxır.

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).



Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz orada tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.

Qeyd edək ki, biz rəsm çəkmişik nümunə verilmişdirçox təfərrüatlı. AT təhsil müəssisələri belə təfərrüatlı şəkildə yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:



Amma sikkənin digər tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

3. Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
4. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
5. Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
6. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
7. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıdakı diaqramdan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrlərin məxrəcləri üçün LCM-i tapın

Hər iki fraksiyanın məxrəcləri üçün LCM-i tapırıq. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir. Bu ədədlər üçün LCM-i tapmalısınız:

Addım 2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmidir, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölün, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alarıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

Addım 3. Kəsrin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun

Biz əlavə amillərlə say və məxrəcləri vururuq:

Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:



Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və əvvəlində bərabər işarəsi (=) qoymaq lazımdır. yeni sətir. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun tam hissəsini seçin

Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:



Cavab aldım

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması

Kəsirin çıxmasının iki növü var:

8. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
9. Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Əvvəlcə eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə eyni saxlamaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2İfadənin qiymətini tapın.

Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci eyni olaraq buraxın:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Nümunə tamdırsa, o zaman düzgün olmayan fraksiyadan xilas olmaq adətdir. Cavabda səhv kəsrdən xilas olaq. Bunu etmək üçün onun bütün hissəsini seçin:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Amma kəsrdən kəsri çıxmaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc fərqli məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın:

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi fraksiyalara qayıdın və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üçlü yazırıq:

İndi hamımız çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Cavab aldım

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrlərin və ortaq məxrəcə qədər azaldılması da bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə 6 əmsalı alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu daha sadə və estetik cəhətdən cəlbedici etməliyik. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz. Yada salaq ki, kəsrin kiçilməsi payın və məxrəcin ən böyüyə bölünməsidir. ortaq bölən say və məxrəc.

Kəsri düzgün şəkildə azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə (GCD) bölmək lazımdır.

GCD-ni NOC ilə qarışdırmayın. Bir çox yeni başlayanların etdiyi ən ümumi səhv. GCD ən böyük ümumi böləndir. Biz onu fraksiyaların azalması üçün tapırıq.

Və LCM ən az ümumi çoxluqdur. Onu kəsrləri eyni (ortaq) məxrəcə gətirmək üçün tapırıq.

İndi biz 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini (gcd) tapacağıq.

Beləliklə, 20 və 30 nömrələri üçün GCD-ni tapırıq:

GCD (20 və 30) = 10

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini 10-a bölürük:

Gözəl cavab aldım

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmalı və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsrin payını 4-ə vurun

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.

Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Kəsrlərin vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldım. azaldılması arzu edilir verilmiş kəsr. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün onu pay və məxrəcin gcd-yə bölmək lazımdır. Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:

(105 və 150) üçün GCD 15-dir

İndi GCD-yə verdiyimiz cavabın payını və məxrəcini bölürük:

Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan, beşlik mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir:

Əks nömrələr

İndi tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinə a ilə vurulduqda olan ədəddir a vahid verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulduqda olan ədəddir 5 vahid verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədəd tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, edə bilərsiniz. Beşi kəsr kimi təqdim edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri yalnız tərsinə vuraraq özünə vurun:

Bunun nəticəsi nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi ədəddir, çünki 5-i birə vuranda bir alınır.

Qarşılıq hər hansı digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

• 3-ün əksi kəsirdir
• 4-ün əksi kəsirdir

Siz həmçinin hər hansı digər fraksiya üçün əksi tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün onu çevirmək kifayətdir.

Tam ədədi kəsrə vurmaq sadə bir işdir. Amma elə incəliklər var ki, onları yəqin ki, məktəbdə başa düşdün, amma sonradan unutmusan.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar - bir neçə şərt

Əgər payın və məxrəcin nə olduğunu və düzgün kəsrin qeyri-münasibdən necə fərqləndiyini xatırlayırsınızsa, bu paraqrafı keçin. Nəzəriyyəni tamamilə unudanlar üçündür.

Hesablayıcıdır üst hissəsi kəsrlər böldüklərimizdir. Məxrəc aşağı olandır. Paylaşdığımız budur.
Düzgün kəsr, payı məxrəcdən kiçik olan kəsrdir. Düzgün olmayan kəsr, payı məxrəcə bərabər və ya böyük olan kəsrdir.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar

Tam ədədi kəsrə vurma qaydası çox sadədir - biz payı tam ədədə vururuq və məxrəcə toxunmuruq. Məsələn: iki beşdə birinə vuruldu - biz beşdə iki alırıq. Dörd dəfə üç on altı on iki on altıdır.

Azaldılması

İkinci misalda nəticədə kəsr azaldıla bilər.
Bunun mənası nədi? Qeyd edək ki, bu kəsrin həm payı, həm də məxrəci dördə bölünür. Hər iki ədədi ortaq bölənə bölmək kəsri azaltmaq adlanır. Dörddə üçü alırıq.

Səhv fraksiyalar

Ancaq tutaq ki, dörd dəfə beşdə ikiyə çarpırıq. Səkkiz beşdə aldı. Bu səhv fraksiyadır.
Onu gətirmək lazımdır düzgün forma. Bunu etmək üçün ondan bütöv bir hissə seçmək lazımdır.
Burada qalanla bölmədən istifadə etməlisiniz. Qalanda bir və üç alırıq.
Bir tam və beşdə üç bizim uyğun kəsrimizdir.

Otuz beş səkkizləri düzəltmək bir qədər çətindir.Səkkizə bölünən otuz yeddiyə ən yaxın ədəd otuz ikidir. Bölündükdə dörd alırıq. Otuz beşdən otuz ikini çıxarırıq - üçü alırıq. Nəticə: dörd tam və üç səkkiz.

Hissənin və məxrəcin bərabərliyi. Və burada hər şey çox sadə və gözəldir. Paylayıcı və məxrəc bərabər olduqda, nəticə yalnız birdir.

Bu yazıda təhlil edəcəyik qarışıq ədədlərin vurulması. Əvvəlcə qarışıq ədədlərin vurulması qaydasını səsləndirəcəyik və nümunələri həll edərkən bu qaydanın tətbiqini nəzərdən keçirəcəyik. Sonra, qarışıq ədədin və natural ədədin vurulmasından danışacağıq. Nəhayət, qarışıq ədədi və adi kəsri necə vurmağı öyrənəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Qarışıq ədədlərin vurulması.

Qarışıq ədədlərin vurulması adi fraksiyaların çarpılmasına qədər azaldıla bilər. Bunun üçün qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək kifayətdir.

Gəlin yazaq qarışıq ədədlər üçün vurma qaydası:

• Birincisi, vurulacaq qarışıq ədədlər düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz edilməlidir;
• İkincisi, bir kəsri kəsrə vurma qaydasından istifadə etməlisiniz.

Qarışıq ədədi qarışıq ədədə vurarkən bu qaydanın tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirin.

Qarışıq ədədlərin vurulmasını yerinə yetirin və .

Birincisi, çarpılan qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlər kimi təqdim edirik: və . İndi qarışıq ədədlərin vurulmasını adi fraksiyaların vurulması ilə əvəz edə bilərik: . Kəsrlərin vurulması qaydasını tətbiq edərək, əldə edirik . Alınan kəsr azalmazdır (bax, azaldıla bilən və azalmayan kəsrlər), lakin səhvdir (bax nizamlı və natamam fraksiyalar), buna görə də yekun cavabı almaq üçün düzgün olmayan kəsrdən tam hissəni çıxarmaq qalır: .

Bütün həlli bir sətirdə yazaq: .

.

Qarışıq ədədləri vurma bacarıqlarını möhkəmləndirmək üçün başqa bir nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Çoxalmanı edin.

Gülməli nömrələr və müvafiq olaraq 13/5 və 10/9 fraksiyalarına bərabərdir. Sonra . Bu mərhələdə kəsrin azaldılmasını xatırlamağın vaxtı gəldi: fraksiyadakı bütün rəqəmləri onların genişlənməsi ilə əvəz edək. əsas amillər, və eyni amillərin azaldılmasını həyata keçirin.

Qarışıq ədədin və natural ədədin vurulması

Qarışıq nömrəni əvəz etdikdən sonra, düzgün fraksiya, qarışıq ədədi və natural ədədi vurmaq adi kəsrin və natural ədədin vurulmasına qədər azaldılır.

Qarışıq ədədi və natural ədədi 45-ə vurun.

Qarışıq ədəd kəsrdir, onda . Gəlin yaranan kəsrdəki ədədləri onların genişlənmələri ilə sadə amillərə əvəz edək, azalma aparaq, bundan sonra tam hissəni seçirik: .

.

Qarışıq və natural ədədin vurulması bəzən toplama ilə bağlı vurmanın paylayıcı xassəsindən istifadə etməklə rahat şəkildə həyata keçirilir. Bu halda qarışıq ədədlə natural ədədin hasili verilmiş natural ədədlə tam hissənin, verilmiş natural ədədlə kəsr hissəsinin hasillərinin cəminə bərabərdir, yəni. .

Məhsulu hesablayın.

Qarışıq ədədi tam və kəsr hissələrinin cəmi ilə əvəz edirik, bundan sonra vurmanın paylayıcı xassəsini tətbiq edirik: .

Qarışıq ədədi və ümumi kəsri vurmaqçarpılmış qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsr kimi təmsil edən adi fraksiyaların çarpımına endirmək ən əlverişlidir.

Qarışıq ədədi ümumi kəsrə 4/15 çarpın.

Qarışıq ədədi kəsrlə əvəz edərək, alırıq .

www.cleverstudents.ru

Kəsr ədədlərin vurulması

§ 140. Anlayışlar. 1) Kəsr ədədin tam ədədə vurulması tam ədədlərin vurulması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir, yəni: bəzi ədədi (vurğacı) tam ədədə (vurğana) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini çıxarmaq deməkdir.

Beləliklə, 5-ə vurmaq cəmini tapmaq deməkdir:
2) Bəzi ədədi (çoxalanı) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, vuranın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Beləliklə, əvvəllər nəzərdən keçirdiyimiz bir ədədin bir hissəsini taparaq, indi kəsrə vurma adlandıracağıq.

3) Bəzi ədədi (çoxalmanı) qarışıq ədədə (əmsal) vurmaq, çarpanı əvvəlcə amilin tamına, sonra amilin kəsirinə vurmaq və bu iki vurmanın nəticələrini birlikdə toplamaq deməkdir.

Misal üçün:

Çarpmadan sonra alınan nömrə bütün bu hallarda deyilir iş, yəni tam ədədləri vurarkən olduğu kimi.

Bu təriflərdən aydın olur ki, kəsr ədədlərinin vurulması həmişə mümkün olan və həmişə birmənalı olmayan hərəkətdir.

§ 141. Bu təriflərin məqsədəuyğunluğu. Vurmanın son iki tərifinin hesaba daxil edilməsinin məqsədəuyğunluğunu başa düşmək üçün aşağıdakı məsələni götürək:

Tapşırıq. Bərabər hərəkət edən qatar saatda 40 km yol gedir; Bu qatarın müəyyən bir saatda neçə kilometr getəcəyini necə tapmaq olar?

Əgər tam ədədlərin arifmetikasında (bərabər şərtlərin toplanması) göstərilən vurmanın bir tərifi ilə qalsaydıq, problemimizin üç fərqli həlli olardı, yəni:

Əgər verilmiş saatların sayı tam ədəddirsə (məsələn, 5 saat), onda məsələni həll etmək üçün 40 km-i bu saat sayına vurmaq lazımdır.

Verilmiş saat sayı kəsr kimi ifadə edilirsə (məsələn, saatlar), onda siz bu kəsrin qiymətini 40 km-dən tapmalı olacaqsınız.

Nəhayət, əgər verilmiş saatların sayı qarışdırılıbsa (məsələn, saatlar), onda 40 km-ni qarışıq ədəddə olan tam ədədə vurmaq və nəticəyə 40 km-dən belə bir kəsi əlavə etmək lazımdır. qarışıq nömrə.

Verdiyimiz təriflər bütün bu mümkün hallara bir ümumi cavab verməyə imkan verir:

40 km, nə olursa olsun, verilən saat sayına vurulmalıdır.

Beləliklə, əgər tapşırıq təqdim olunursa ümumi görünüş Belə ki:

Düzgün hərəkət edən bir qatar saatda v km qət edir. Qatar t saatda neçə kilometr qət edəcək?

onda v və t rəqəmləri nə olursa olsun, bir cavabı ifadə edə bilərik: istədiyiniz ədəd v · t düsturu ilə ifadə edilir.

Qeyd. Verilmiş ədədin bəzi hissəsinin tapılması, bizim tərifimizə görə, verilmiş ədədi bu kəsrə vurmaqla eyni şey deməkdir; buna görə də, məsələn, verilmiş ədədin 5%-ni (yəni beş yüzdə birini) tapmaq, verilmiş ədədi və ya ona vurmaqla eyni deməkdir; verilmiş ədədin 125%-ni tapmaq həmin ədədi ilə və ya ilə vurmaqla eynidir və s.

§ 142. Ədədin nə vaxt artdığı və vurma nəticəsində azaldığı barədə qeyd.

Düzgün kəsrə vurmadan say azalır, vurmadan isə düzgün olmayan fraksiya bu düzgün olmayan kəsr birdən çox olarsa, rəqəm artır, birə bərabər olduqda isə dəyişməz qalır.
Şərh. Kəsir ədədləri, eləcə də tam ədədləri vurarkən, amillərdən hər hansı biri sıfıra bərabər olarsa, məhsul sıfıra bərabər alınır, belə ki,.

§ 143. Vurma qaydalarının çıxarılması.

1) Kəsirin tam ədədə vurulması. Kəsiri 5-ə vuraq. Bu, 5 dəfə artmaq deməkdir. Kəsiri 5 artırmaq üçün onun payını artırmaq və ya məxrəcini 5 dəfə azaltmaq kifayətdir (§ 127).

Belə ki:
Qayda 1. Kəsri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmalı və məxrəci eyni şəkildə qoymalısınız; bunun əvəzinə siz həmçinin kəsrin məxrəcini verilmiş tam ədədə bölmək olar (mümkünsə) və payı eyni şəkildə qoya bilərsiniz.

Şərh. Kəsirin və onun məxrəcinin hasili onun payına bərabərdir.

Belə ki:
Qayda 2. Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili ədədə çevirmək və verilmiş kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.
Qayda 3. Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini hasilin payına, ikincisini isə məxrəcə çevirməlisən.

Şərh. Bu qayda kəsri tam ədədə və tam ədədi kəsrə vurmaq üçün də tətbiq oluna bilər, əgər tam ədədi məxrəci bir olan kəsr kimi qəbul etsək. Belə ki:

Beləliklə, indi ifadə olunan üç qayda birində var və ümumi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
4) Qarışıq ədədlərin vurulması.

Qayda 4. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrlərin vurulması qaydalarına uyğun olaraq çoxaltmalısınız. Misal üçün:
§ 144. Vurmanın azalması. Kəsrləri vurarkən, mümkünsə, aşağıdakı nümunələrdən göründüyü kimi, ilkin azalma aparılmalıdır:

Belə bir azalma edilə bilər, çünki pay və məxrəc azaldıldığı təqdirdə kəsrin dəyəri dəyişməyəcəkdir. eyni nömrə bir dəfə.

§ 145. Faktorların dəyişməsi ilə məhsulun dəyişməsi. Faktorlar dəyişdikdə, kəsr ədədlərinin hasili tam ədədlərin hasili ilə eyni şəkildə dəyişəcək (§ 53), yəni: hər hansı bir amili bir neçə dəfə artırsanız (və ya azaldırsınızsa), onda məhsul artacaq (və ya azalacaq) eyni miqdarda.

Beləliklə, əgər nümunədə:
bir neçə kəsri vurmaq üçün onların saylarını öz aralarında, məxrəclərini isə öz aralarında vurub birinci hasilini hasili, ikincisini isə məxrəc etmək lazımdır.

Şərh. Bu qayda ədədin bəzi amillərinin tam və ya qarışıq olduğu elə məhsullara da şamil edilə bilər, əgər tam ədədi məxrəci bir olan kəsr kimi qəbul etsək və qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirsək. Misal üçün:
§ 147. Vurmanın əsas xassələri. Tam ədədlər üçün göstərdiyimiz vurmanın həmin xassələri (§ 56, 57, 59) da kəsr ədədlərinin vurulmasına aiddir. Bu xassələri dəqiqləşdirək.

1) Faktorların yerlərini dəyişməkdən məhsul dəyişmir.

Misal üçün:

Həqiqətən də, əvvəlki bəndin qaydasına görə, birinci məhsul kəsrə, ikincisi isə kəsrə bərabərdir. Amma bu kəsrlər eynidir, çünki onların şərtləri yalnız tam ədədlərin sırasına görə fərqlənir, amillərin yerləri dəyişdikdə isə tam ədədlərin hasili dəyişmir.

2) Hər hansı bir qrup faktor onların məhsulu ilə əvəz olunarsa, məhsul dəyişməyəcək.

Misal üçün:

Nəticələr eynidir.

Çoxalmanın bu xüsusiyyətindən aşağıdakı nəticəni çıxara bilərik:

hansısa ədədi hasillə çoxaltmaq üçün bu ədədi birinci amillə, nəticədə çıxan ədədi ikinciyə vurmaq və s.

Misal üçün:
3) Vurmanın paylayıcı qanunu (toplamaya münasibətdə). Cəmi hansısa ədədə vurmaq üçün hər bir termini bu ədədə ayrıca vurub nəticələri əlavə edə bilərsiniz.

Bu qanun bizim tərəfimizdən (§ 59) tam ədədlərə tətbiq edildiyi kimi izah edilmişdir. Kəsr ədədlər üçün heç bir dəyişiklik olmadan doğru olaraq qalır.

Gəlin göstərək ki, əslində bərabərlik

(a + b + c + .)m = am + bm + sm + .

(toplamaya görə vurmanın paylayıcı qanunu) hərflər kəsr ədədləri ifadə etdikdə belə doğru qalır. Gəlin üç halı nəzərdən keçirək.

1) Əvvəlcə fərz edək ki, m faktoru tam ədəddir, məsələn, m = 3 (a, b, c istənilən ədəddir). Tam ədədə vurmanın tərifinə görə, yazmaq olar (sadəlik üçün üç şərtlə məhdudlaşır):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Toplamanın assosiativ qanunu əsasında biz sağ tərəfdəki bütün mötərizələri buraxa bilərik; toplamanın kommutativ qanununu və sonra yenidən birləşmə qanununu tətbiq edərək, açıq şəkildə sağ tərəfi aşağıdakı kimi yenidən yaza bilərik:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Beləliklə, bu vəziyyətdə paylama qanunu təsdiqlənir.

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Keçən dəfə biz kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik ("Kəsrlərin əlavə edilməsi və çıxılması" dərsinə baxın). Həmin hərəkətlərdə ən çətin məqam kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha asandır. Başlamaq üçün, fərqlənən tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirin.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmağa qədər azalır. Kəsri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə mütləq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən az ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq çoxaldılmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

1. Artı dəfə minus mənfi verir;
2. İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən xilas olmaq tələb olunduğu zaman rast gəlinirdi. Bir məhsul üçün eyni anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

1. Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq vəziyyətdə, bir mənfi sağ qala bilər - uyğunluğu tapmayan;
2. Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Cüt tapmadığı üçün sonuncu mənfi xətt çəkilməyibsə, onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırlatmaq istəyirəm ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi yalnız onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Həmçinin diqqət yetirin mənfi ədədlər: Çoxaldıqda, onlar mötərizə içərisinə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Vurma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və buna görə də kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda, çarpanlar tamamilə azaldıldı. Bölmələr öz yerində qaldı, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Sadəcə olaraq fraksiyaları azaltmaq üçün başqa səbəb yoxdur düzgün həlləvvəlki tapşırıq belə görünür:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

Kəsrlərin vurulması.

Kəsri bir kəsrə və ya kəsri ədədə düzgün vurmaq üçün bilmək lazımdır sadə qaydalar. İndi bu qaydaları ətraflı təhlil edəcəyik.

Kəsri kəsrə vurmaq.

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün bu kəsrlərin paylarının hasilini və məxrəclərinin məhsulunu hesablamaq lazımdır.

Məsələni nəzərdən keçirək:
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vururuq, birinci kəsrin məxrəcini də ikinci kəsrin məxrəci ilə vururuq.

Kəsirin ədədə vurulması.

Qaydadan başlayaq istənilən ədəd kəsr kimi göstərilə bilər \(\bf n = \frac \) .

Gəlin vurma üçün bu qaydadan istifadə edək.

Düzgün olmayan fraksiya \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) çevrildi. qarışıq fraksiya.

Başqa sözlə, Ədədi kəsrə vurarkən, ədədi paya vurmaq və məxrəci dəyişmədən saxlamaq lazımdır. Misal:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Qarışıq kəsrləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə hər bir qarışıq kəsi düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etməli, sonra isə vurma qaydasından istifadə etməlisiniz. Saxlama payla vurulur, məxrəc məxrəcə vurulur.

Qarşılıqlı kəsrlərin və ədədlərin vurulması.

Əlaqədar suallar:
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: adi kəsrlərin hasili payın payla, məxrəcin məxrəcə vurulmasıdır. Qarışıq fraksiyaların məhsulunu almaq üçün onları düzgün olmayan kəsrə çevirmək və qaydalara uyğun olaraq çoxaltmaq lazımdır.

Fərqli məxrəcli kəsrləri necə çoxaltmaq olar?
Cavab: kəsrlərin məxrəclərinin eyni və ya fərqli olmasının fərqi yoxdur, vurma payın hasilini payla, məxrəci isə məxrəclə tapmaq qaydasına uyğun olaraq baş verir.

Qarışıq fraksiyaları necə çoxaltmaq olar?
Cavab: ilk növbədə qarışıq kəsri düzgün olmayan kəsrə çevirməli və sonra vurma qaydalarına uyğun hasil tapmalısınız.

Ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: Ədədi payla vururuq, məxrəci isə eyni qoyuruq.

Nümunə №1:
Məhsulu hesablayın: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Nümunə №2:
Ədədin və kəsrin hasilini hesablayın: a) \(3 \dəfə \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Nümunə №3:
\(\frac \) kəsirinin əksini yazın?
Cavab: \(\frac = 3\)

Nümunə №4:
İki əksin hasilini hesablayın: a) \(\frac \times \frac \)

Nümunə №5:
Qarşılıqlı tərs kəsrlər ola bilər:
a) hər iki uyğun kəsr;
b) eyni vaxtda düzgün olmayan kəsrlər;
c) natural ədədlər eyni zamanda?

Qərar:
a) Birinci suala cavab vermək üçün bir nümunədən istifadə edək. \(\ frac \) fraksiyası düzgündür, onun əksi \(\ frac \) - düzgün olmayan fraksiyaya bərabər olacaqdır. Cavab: yox.

b) kəsrlərin demək olar ki, bütün sadalamalarında bu şərt yerinə yetirilmir, lakin bəzi ədədlər var ki, eyni zamanda natamam kəsr olmaq şərtini yerinə yetirir. Məsələn, düzgün olmayan kəsr \(\frac \) , onun əksi \(\frac \) təşkil edir. İki düzgün olmayan fraksiya alırıq. Cavab: həmişə müəyyən şərtlər altında, say və məxrəc bərabər olduqda deyil.

c) natural ədədlər sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərdir, məsələn, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac \) ədədini götürsək, onun əksi \(\frac \) olacaqdır. \(\frac \) kəsr natural ədəd deyil. Bütün ədədləri keçsək, 1-dən başqa, əks həmişə kəsr olur. 1 rəqəmini götürsək, onun əksi \(\frac = \frac = 1\) olacaqdır. 1 rəqəmi natural ədəddir. Cavab: onlar yalnız bir halda eyni vaxtda natural ədədlər ola bilər, əgər bu ədəd 1 olarsa.

Nümunə №6:
Qarışıq fraksiyaların hasilini yerinə yetirin: a) \(4 \dəfə 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Qərar:
a) \(4 \dəfə 2\frac = \frac \dəfə \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \tax 3\frac = \frac \tat \frac = \frac = 4\frac \)

Nümunə №7:
İki qarşılıqlı ola bilər qarşılıqlı eyni zamanda qarışıq ədədlər ola bilərmi?

Bir nümunəyə baxaq. Qarışıq fraksiya götürün \(1\frac \), onu tapın qarşılıqlı, bunun üçün onu düzgün olmayan kəsrə çeviririk \(1\frac = \frac \) . Onun qarşılığı \(\frac \) bərabər olacaq. \(\frac \) kəsr uyğun kəsrdir. Cavab: Qarşılıqlı tərs iki kəsr eyni zamanda qarışıq ədəd ola bilməz.

Onluğu natural ədədə vurmaq

Dərs üçün təqdimat

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər siz maraqlanırsınızsa bu iş zəhmət olmasa tam versiyanı yükləyin.

• Əyləncəli şəkildə tələbələri onluq kəsri natural ədədə, bit vahidinə vurma qaydası və onluq kəsri faizlə ifadə etmə qaydası ilə tanış edin. Əldə edilmiş bilikləri misal və problemlərin həllində tətbiq etmək bacarığını inkişaf etdirmək.
• İnkişaf etdirin və aktivləşdirin məntiqi təfəkkür tələbələr, nümunələri müəyyən etmək və onları ümumiləşdirmək, yaddaşı gücləndirmək, əməkdaşlıq etmək, kömək göstərmək, işlərini və bir-birinin işini qiymətləndirmək bacarığı.
• Riyaziyyata maraq, fəaliyyət, hərəkətlilik, ünsiyyət qurmaq bacarığı.

Avadanlıq: interaktiv lövhə, şifrəli plakat, riyaziyyatçıların ifadələri olan plakatlar.

1. Təşkilat vaxtı.
2. Şifahi hesablama əvvəllər öyrənilmiş materialın ümumiləşdirilməsi, yeni materialın öyrənilməsinə hazırlıqdır.
3. Yeni materialın izahı.
4. Ev tapşırığı.
5. Riyazi bədən tərbiyəsi.
6. Qazanılan biliklərin kompüterin köməyi ilə oynaq üsulla ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi.
7. Qiymətləndirmə.

2. Uşaqlar, bu gün dərsimiz bir qədər qeyri-adi olacaq, çünki mən onu tək yox, dostumla keçirəcəyəm. Mənim dostum da qeyri-adidir, indi onu görəcəksən. (Ekranda cizgi filmi kompüteri görünür.) Dostumun adı var, danışa bilir. Adın nədir dostum? Kompoşa cavab verir: "Mənim adım Kompoşadır." Bu gün mənə kömək etməyə hazırsan? BƏLİ! Yaxşı, o zaman dərsə başlayaq.

Bu gün mən şifrəli bir şifrə aldım, uşaqlar, onu birlikdə həll etməli və deşifrə etməliyik. (Lövhədə poster asılır şifahi hesab ondalık kəsrlərin əlavə və çıxılması üçün, bunun nəticəsində uşaqlar aşağıdakı kodu alırlar 523914687. )

Komposha alınan kodu deşifrə etməyə kömək edir. Şifrənin açılması nəticəsində MULTIPLICATION sözü alınır. Vurma bugünkü dərsimizin mövzusunun açar sözüdür. Dərsin mövzusu monitorda göstərilir: “Onluq kəsri natural ədədə vurmaq”

Uşaqlar, biz natural ədədlərin vurulmasının necə yerinə yetirildiyini bilirik. Bu gün biz vurmağa baxacağıq. ondalık ədədlər natural ədədə. Onluq kəsrin natural ədədə vurulmasını hər biri bu onluq kəsrə, hədlərin sayı isə bu natural ədədə bərabər olan hədlərin cəmi hesab etmək olar. Məsələn: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Beləliklə, 5,21 3 = 15,63. 5.21-i natural ədədin adi kəsisi kimi təqdim edərək, alırıq

Və bu halda, biz 15.63 eyni nəticə əldə etdik. İndi vergülü nəzərə almadan 5.21 rəqəminin yerinə 521 rəqəmini götürək və verilmiş natural ədədə vuraq. Burada yadda saxlamalıyıq ki, amillərdən birində vergül iki yer sağa çəkilir. 5, 21 və 3 rəqəmlərini vurduqda 15,63-ə bərabər məhsul alırıq. İndi bu nümunədə vergülü iki rəqəmlə sola köçürəcəyik. Beləliklə, amillərdən biri neçə dəfə artırıldısa, məhsul bu qədər azaldı. Bu üsulların oxşar məqamlarına əsaslanaraq bir nəticə çıxarırıq.

Çoxalmaq onluq natural ədəd üçün sizə lazımdır:
1) vergülü nəzərə almadan, natural ədədlərin vurulmasını yerinə yetirin;
2) alınan hasildə, ondalık kəsrdə olan simvolların sayı qədər sağda vergüllə ayırın.

Kompoşa və uşaqlarla birlikdə təhlil etdiyimiz monitorda aşağıdakı nümunələr göstərilir: 5.21 3 = 15.63 və 7.624 15 = 114.34. Mən vurmağı göstərdikdən sonra dəyirmi nömrə 12,6 50 = 630. Sonra, mən onluq kəsri bit vahidinə vurmağa müraciət edirəm. Aşağıdakı nümunələri göstərirəm: 7.423 100 \u003d 742.3 və 5.2 1000 \u003d 5200. Beləliklə, ondalık kəsri bit vahidinə vurma qaydasını təqdim edirəm:

Onluq kəsri 10, 100, 1000 və s. bit vahidlərinə vurmaq üçün bu kəsrdəki vergülü bit vahidi qeydində nə qədər sıfır varsa, o qədər rəqəmlə sağa köçürmək lazımdır.

İzahı ondalıq kəsrin faizlə ifadəsi ilə bitirirəm. Qaydaya daxil oluram:

Onluğu faizlə ifadə etmək üçün onu 100-ə vurun və % işarəsini əlavə edin.

Kompüterdə misal verirəm 0,5 100 = 50 və ya 0,5 = 50%.

4. İzahatın sonunda uşaqlara verirəm ev tapşırığı, bu da kompüter monitorunda göstərilir: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Uşaqların bir az dincəlməsi, mövzunu möhkəmləndirməsi üçün Kompoşa ilə birlikdə riyazi bədən tərbiyəsi sessiyası keçiririk. Hamı ayağa qalxır, həll edilmiş nümunələri sinfə göstərir və nümunənin düzgün və ya səhv olduğuna cavab verməlidirlər. Əgər misal düzgün həll olunubsa, o zaman əllərini başlarının üzərinə qaldırıb ovuclarını çırpırlar. Nümunə düzgün həll edilmədikdə, uşaqlar qollarını yanlara uzatır və barmaqlarını yoğururlar.

6. İndi bir az dincəlin, tapşırıqları həll edə bilərsiniz. Dərsliyinizi 205-ci səhifəyə açın, № 1029. bu tapşırıqda ifadələrin dəyərini hesablamaq lazımdır:

Tapşırıqlar kompüterdə görünür. Onlar həll edildikdə, tam yığıldıqdan sonra üzən qayıq təsviri ilə bir şəkil görünür.

Bu tapşırığı kompüterdə həll edərək, raket tədricən inkişaf edir, son nümunəni həll edir, raket uçur. Müəllim şagirdlərə kiçik məlumat verir: “Hər il Qazax torpağından Baykonur kosmodromundan ulduzlara uçurlar. kosmik gəmilər. Baykonur yaxınlığında Qazaxıstan özünün tikintisini həyata keçirir yeni kosmodrom Bayterek.

Sürət olarsa, avtomobil 4 saatda nə qədər yol qət edər minik avtomobili 74,8 km/saat.

Hədiyyə sertifikatı yaxınlarınıza, dostlarınıza, işçilərinizə, qohumlarınıza nə verəcəyinizi bilmirsiniz? Xüsusi təklifimizdən yararlanın: "Blue Osoka Country Hotelin hədiyyə sertifikatı". Sertifikat […]

) və məxrəci məxrəcə görə (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsirin çoxaldılması düsturu:

Misal üçün:

Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
• kəsrlərin saylarını və məxrəclərini vurmaq;
• fraksiyanı azaldır;
• düzgün olmayan kəsr alsaq, onda natamam kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmağın ikinci üsulundan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri vurmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalara qarışmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. ilə tapşırıqlarda fərqli növlər kəsrlər - adi kəsrlər formasına keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə gətiririk.

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Adi kəsrlərin vurulması

Məsələni nəzərdən keçirək.

Boşqabda almanın $\frac(1)(3)$ hissəsi olsun. Biz bunun $\frac(1)(2)$ hissəsini tapmalıyıq. Tələb olunan hissə $\frac(1)(3)$ və $\frac(1)(2)$ kəsrlərinin vurulmasının nəticəsidir. İki ümumi kəsrin vurulmasının nəticəsi ümumi kəsrdir.

İki ümumi fraksiyanın vurulması

Adi kəsrləri vurma qaydası:

Kəsirin kəsrlə vurulmasının nəticəsi, payı vurulan kəsrlərin saylarının hasilinə, məxrəci isə məxrəclərin hasilinə bərabər olan kəsirdir:

Misal 1

$\frac(3)(7)$ və $\frac(5)(11)$ adi fraksiyaları çoxaldın.

Qərar.

Adi kəsrlərin vurulması qaydasından istifadə edək:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Cavab:$\frac(15)(77)$

Əgər kəsrlərin çoxaldılması nəticəsində ləğv edilə bilən və ya düzgün olmayan kəsr alınırsa, onu sadələşdirmək lazımdır.

Misal 2

$\frac(3)(8)$ və $\frac(1)(9)$ kəsrlərini çoxaldın.

Qərar.

Adi fraksiyaları çoxaltmaq üçün qaydadan istifadə edirik:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Nəticədə, azalan kəsr əldə etdik ($3$-a bölmə əsasında. Kesrin payını və məxrəcini $3$-a bölün, alırıq:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Qısa həll:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Cavab:$\frac(1)(24).$

Kəsrləri vurarkən, onların hasilini tapmaq üçün say və məxrəcləri azalda bilərsiniz. Bu zaman kəsrin payı və məxrəci sadə amillərə parçalanır, bundan sonra təkrarlanan amillər azaldılır və nəticə tapılır.

Misal 3

$\frac(6)(75)$ və $\frac(15)(24)$ kəsrlərinin hasilini hesablayın.

Qərar.

Adi fraksiyaları vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Aydındır ki, pay və məxrəcdə $2$, $3$ və $5$ rəqəmləri ilə cüt-cüt azaldıla bilən ədədlər var. Biz payı və məxrəci sadə amillərə parçalayırıq və azalmanı edirik:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Cavab:$\frac(1)(20).$

Kəsrləri vurarkən kommutativ qanun tətbiq oluna bilər:

Kəsirin natural ədədə vurulması

Adi kəsri natural ədədə vurma qaydası:

Kəsirin natural ədədə vurulmasının nəticəsi, kəsrin çarpılan kəsrin payının natural ədədlə hasilinə, məxrəc isə vurulan kəsrin məxrəcinə bərabər olduğu kəsrdir:

burada $\frac(a)(b)$ adi kəsr, $n$ natural ədəddir.

Misal 4

$\frac(3)(17)$ kəsrini $4$-a vurun.

Qərar.

Adi kəsri natural ədədə vurma qaydasından istifadə edək:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Cavab:$\frac(12)(17).$

Çoxalmanın nəticəsini bir kəsrin daralma qabiliyyətinə və ya düzgün olmayan bir fraksiyaya görə yoxlamağı unutmayın.

Misal 5

$\frac(7)(15)$ kəsrini $3$-a vurun.

Qərar.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ rəqəminə bölmə meyarı ilə nəticədə kəsrin azaldıla biləcəyini müəyyən etmək olar:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Nəticə düzgün olmayan fraksiyadır. Bütün hissəni götürək:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Qısa həll:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Hissədə və məxrəcdə olan ədədləri onların genişlənmələri ilə əsas amillərə çevirməklə kəsrləri azaltmaq da mümkün idi. Bu vəziyyətdə həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Cavab:$1\frac(2)(5).$

Kəsiri natural ədədə vurarkən kommutativ qanundan istifadə edə bilərsiniz:

Adi kəsrlərin bölünməsi

Bölmə əməliyyatı vurmanın tərsidir və onun nəticəsi iki fraksiyanın məlum məhsulunu əldə etmək üçün məlum kəsri vurmalı olduğunuz kəsrdir.

İki ümumi kəsrin bölünməsi

Adi kəsrlərin bölünməsi qaydası: Aydındır ki, yaranan kəsrin payı və məxrəci sadə amillərə parçalana və azalda bilər:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Nəticədə tam hissəni seçdiyimiz düzgün olmayan bir kəsr aldıq:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Cavab:$1\frac(5)(9).$