Onluqların tam ədədə bölünməsi nümunələri. Tənliklər sisteminin qurulması

Ondalıkların toplanması tam ədədlərin toplanması ilə eyni şəkildə edilir. Buna misallarla baxaq.

1) 0,132 + 2,354. Şərtləri bir-birinin altında imzalayaq.

Burada 2 mində 4 mində əlavə edildikdən 6 mində bir alındı;
3 yüzdə 5 yüzdə əlavə edildikdən 8 yüzdə biri çıxdı;
1 onda 3 ilə onda əlavə etməkdən -4 onda və
2 tam ilə 0 tam ədəd əlavə etməkdən - 2 tam ədəd.

2) 5,065 + 7,83.

İkinci müddətdə mində bir hissə yoxdur, buna görə də bir-birinin altındakı şərtləri imzalayarkən səhv etməmək vacibdir.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Burada mində birləri toplayanda 21 mində bir alınır; mində birlərin altına 1 yazdıq, yüzlüklərə isə 2 əlavə etdik, ona görə də yüzüncü yerdə aşağıdakı şərtləri aldıq: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; cəmlə 19 sot verirlər, yüzdə 9-a imza atdıq, 1-i onda sayıldı və s.

Beləliklə, onluq kəsrləri əlavə edərkən, müşahidə edilməlidir növbəti sifariş: kəsrləri bir-birinin altında işarələyin ki, bütün şərtlərdə eyni rəqəmlər bir-birinin altında olsun və bütün vergüllər eyni şaquli sütunda olsun; bəzi terminlərin onluq yerlərinin sağına, heç olmasa zehni olaraq o qədər sıfır verirlər ki, ondalık nöqtədən sonrakı bütün terminlər olsun. eyni nömrə rəqəmlər. Sonra sağ tərəfdən başlayaraq rəqəmlərlə əlavə edilir və nəticədə bu şərtlərdə olduğu kimi eyni şaquli sütuna vergül qoyulur.

§ 108. Onluq kəsrlərin çıxılması.

Onluqların çıxılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə aparılır. Bunu misallarla göstərək.

1) 9,87 - 7,32. Eyni rəqəmin vahidləri bir-birinin altında olması üçün minuendin altındakı çıxarmaya imza alaq:

2) 16.29 - 4.75. Birinci misalda olduğu kimi, minuendin altındakı çıxma işarəsini imzalayaq:

Onları çıxmaq üçün 6-dan bir bütöv vahid götürüb onda birlərə bölmək lazım idi.

3) 14.0213-5.350712. Minuend altındakı çıxarışı imzalayaq:

Çıxma aşağıdakı kimi həyata keçirildi: 0-dan 2 milyonda biri çıxa bilmədiyimiz üçün sola ən yaxın rəqəmə, yəni yüz mində bir rəqəmə müraciət etməliyik, lakin yüz mində bir yerdə sıfır da var, ona görə də 1-i götürürük. 3-dən on mində biri və onu yüz minə bölsək, 10 yüz minlik əldə edirik ki, ondan 9 yüz mində biri yüz minlik kateqoriyasında qalır, 1 yüz mində biri isə milyonda əzilir, 10 milyonda alırıq. Beləliklə, in son üçəldə etdiyimiz rəqəmlər: milyonda 10, yüz mində 9, on mində 2. Daha aydınlıq və rahatlıq üçün (unutmaq olmaz) bu ədədlər kiçildilmişlərin müvafiq kəsr rəqəmlərinin üzərinə yazılır. İndi çıxmağa başlaya bilərik. 10 milyonda birdən 2 milyonda birini çıxarırıq, 8 milyonda bir alırıq; 9 yüz minlikdən 1 yüz minliyi çıxarsaq, 8 yüz minlik əldə edirik və s.

Beləliklə, onluq kəsrlər çıxılarkən aşağıdakı ardıcıllığa əməl olunur: çıxarma kiçildənin altında imzalanır ki, eyni rəqəmlər biri digərinin altında olsun və bütün vergüllər eyni şaquli sütunda olsun; sağda, ən azı zehni olaraq, azaldılmış və ya çıxılan çoxlu sıfırlara aid edirlər ki, eyni sayda rəqəmə sahib olsunlar, sonra sağ tərəfdən başlayaraq rəqəmlərlə çıxarın və nəticədə olan fərqdə vergül qoyun. azaldılmış və çıxılmış vəziyyətdə yerləşdiyi eyni şaquli sütun.

§ 109. Onluq kəsrlərin vurulması.

Onluq kəsrlərin çoxaldılmasına dair bir neçə nümunəyə nəzər salın.

Bu ədədlərin hasilini tapmaq üçün aşağıdakı kimi düşünə bilərik: əmsal 10 dəfə artırılsa, onda hər iki amil tam ədədlər olacaq və sonra onları tam ədədləri vurma qaydalarına uyğun olaraq vura bilərik. Amma bilirik ki, amillərdən biri dəfələrlə artırıldıqda məhsul eyni miqdarda artır. Bu o deməkdir ki, tam əmsalların, yəni 28-in 23-ə vurulması nəticəsində yaranan rəqəm həqiqi hasildən 10 dəfə böyükdür və həqiqi məhsulu əldə etmək üçün tapılan məhsulu 10 dəfə azaltmaq lazımdır. Buna görə də burada bir dəfə 10-a vurma, 10-a bölməni bir dəfə yerinə yetirməlisən, lakin 10-a vurma və bölmə vergülü bir işarə ilə sağa və sola köçürməklə həyata keçirilir. Buna görə də bunu etməlisiniz: çarpanda vergülü bir işarə ilə sağa köçürün, bundan 23-ə bərabər olacaq, sonra nəticədə alınan tam ədədləri vurmalısınız:

Bu məhsul həqiqi məhsuldan 10 dəfə böyükdür. Buna görə də, 10 dəfə azaldılmalıdır, bunun üçün vergülü bir simvol sola keçirik. Beləliklə, alırıq

28 2,3 = 64,4.

Yoxlama məqsədləri üçün siz məxrəclə onluq kəsr yaza və adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun hərəkət edə bilərsiniz, yəni.

2) 12,27 0,021.

Bu nümunə ilə əvvəlki arasında fərq ondadır ki, burada hər iki amil onluq kəsrlərlə təmsil olunur. Amma burada vurma prosesində vergüllərə fikir verməyəcəyik, yəni çarpanı müvəqqəti olaraq 100 dəfə, çarpanı isə 1000 dəfə artıracağıq ki, bu da hasilatı 100 000 dəfə artıracaq. Beləliklə, 1227-ni 21-ə vuraraq, əldə edirik:

1 227 21 = 25 767.

Nəzərə alsaq ki, alınan məhsul həqiqi olandan 100 000 dəfə böyükdür, indi ona düzgün vergül qoyaraq onu 100 000 dəfə azaltmalıyıq, onda alırıq:

32,27 0,021 = 0,25767.

yoxlayaq:

Beləliklə, iki onluq kəsri çoxaltmaq üçün vergüllərə fikir vermədən, onları tam ədədlərə vurmaq və hasildə vurmada və ondalıq hissədə olduğu qədər sağ tərəfdə vergüllə ayırmaq kifayətdir. amil birlikdə.

Sonuncu misalda nəticə beş onluq yerdən ibarət məhsuldur. Belə daha yüksək dəqiqlik tələb olunmursa, yuvarlaqlaşdırma aparılır. onluq kəsr. Yuvarlaqlaşdırarkən, tam ədədlər üçün göstərilən eyni qaydadan istifadə etməlisiniz.

§ 110. Cədvəllərdən istifadə edərək vurma.

Ondalıkların vurulması bəzən cədvəllərdən istifadə etməklə edilə bilər. Bu məqsədlə, məsələn, həmin vurma cədvəllərindən istifadə edə bilərsiniz ikirəqəmli ədədlər, təsviri daha əvvəl verilmişdir.

1) 53-ü 1,5-ə vurun.

53-ü 15-ə vuracağıq. Cədvəldə bu məhsul 795-ə bərabərdir. 53-ün hasilini 15-ə tapdıq, amma ikinci amilimiz 10 dəfə az idi, yəni məhsulu 10 dəfə azaltmaq lazımdır, yəni.

53 1,5 = 79,5.

2) 5,3-ü 4,7-yə vurun.

Əvvəlcə cədvəldə 53-ün 47-yə hasilini tapaq, bu, 2491 olacaq. Amma çarpanı və vuranı cəmi 100 dəfə artırdığımıza görə, nəticədə alınan hasil olması lazım olandan 100 dəfə böyükdür; buna görə də bu məhsulu 100 dəfə azaltmalıyıq:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53-ü 7,4-ə vurun.

Əvvəlcə cədvəldə 53-ün 74-ə hasilini tapırıq; bu 3922 olacaq.Amma biz çarpanı 100 dəfə, çarpanı 10 dəfə artırdığımızdan hasil 1000 dəfə artıb; ona görə də indi onu 1000 dəfə azaltmalıyıq:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Onluqların bölünməsi.

Bu ardıcıllıqla onluq bölməyə baxacağıq:

1. Ondalığa bölmə tam,

1. Onluq kəsrin tam ədədə bölünməsi.

1) 2.46-nı 2-yə bölün.

Əvvəlcə 2 tam ədədə, sonra onda birə və nəhayət yüzdə birə böldük.

2) 32,46-nı 3-ə bölün.

32,46: 3 = 10,82.

3 onluğu 3-ə böldük, sonra 2 vahidi 3-ə bölməyə başladıq; dividend vahidlərinin sayından (2) daha az bölən(3), onda mən bölgüyə 0 qoymalı oldum; daha sonra qalana 4 ondalığı sökdük və 24 ondalığı 3-ə böldük; özəl olaraq 8 onda aldı və nəhayət 6 yüzə bölündü.

3) 1.2345-i 5-ə bölün.

1,2345: 5 = 0,2469.

Burada ilk növbədə hissədə sıfır tam ədədlər çıxdı, çünki bir tam ədəd 5-ə bölünmür.

4) 13,58-i 4-ə bölün.

Bu misalın özəlliyi ondan ibarətdir ki, biz təkbaşına 9 yüzlük alanda, sonra 2 yüzdə bərabər qalıq tapıldı, bu qalığı mində bölüb, 20 mində aldıq və bölgünü sona çatdırdıq.

Qayda. Onluq kəsrin tam ədədə bölünməsi tam ədədlərin bölünməsi ilə eyni şəkildə həyata keçirilir və nəticədə yaranan qalıqlar getdikcə daha kiçik olan onluq kəsrlərə çevrilir; Bölmə qalıq sıfır olana qədər davam edir.

2. Onluq kəsrin onluq kəsrə bölünməsi.

1) 2,46-nı 0,2-yə bölün.

Onluq kəsri tam ədədə necə bölmək lazım olduğunu artıq bilirik. Gəlin fikirləşək ki, bu yeni bölgü halını da əvvəlki vəziyyətə salmaq olarmı? Bir vaxtlar bölmənin diqqətəlayiq xüsusiyyətini nəzərdən keçirdik, bu da dividend və bölücünü eyni sayda artırarkən və ya azaltarkən dəyişməz qalmasından ibarətdir. Əgər bölən tam ədəd olsaydı, bizə təklif olunan ədədlərin bölünməsini asanlıqla yerinə yetirərdik. Bunun üçün onu 10 dəfə artırmaq kifayətdir, düzgün əmsal əldə etmək üçün isə dividendləri eyni sayda, yəni 10 dəfə artırmaq lazımdır. Sonra bu ədədlərin bölgüsü belə ədədlərin bölünməsi ilə əvəz olunacaq:

və özəl olaraq heç bir düzəliş etməyə ehtiyac yoxdur.

Gəlin bu bölgü aparaq:

Beləliklə, 2,46: 0,2 = 12,3.

2) 1,25-i 1,6-ya bölün.

Bölücü (1.6) 10 dəfə artırırıq; əmsalın dəyişməməsi üçün dividendləri 10 dəfə artırırıq; 12 tam ədəd 16-ya bölünmür, ona görə də 0 bölməsində yazıb 125 ondalığı 16-ya bölürük, 7 onda bir hissə alırıq, qalan isə 13. Sıfır təyin etməklə 13 onda biri yüzə bölünür və 130 yüzdə biri 16-ya bölünür və s. Aşağıdakılara diqqət yetirin:

a) hissədə tam ədədlər alınmadıqda, onların yerinə sıfır tam ədədlər yazılır;

b) divident rəqəmini qalığa götürdükdən sonra bölücüyə bölünməyən ədəd alındıqda, hissədə sıfır yazılır;

c) dividendlərin sonuncu rəqəmi çıxarıldıqdan sonra bölgü bitmədikdə, qalanlara sıfırlar təyin edilərək bölgü davam etdirilir;

d) dividend tam ədəddirsə, onda onu onluq kəsrə bölərkən onun artırılması ona sıfırların verilməsi ilə həyata keçirilir.

Beləliklə, bir ədədi onluq kəsrə bölmək üçün böləndə vergülü atmalı, sonra vergül atılan zaman bölən artdıqca dividendləri dəfələrlə artırmalı və sonra bölməyə uyğun olaraq bölməni yerinə yetirməlisiniz. onluq kəsri tam ədədə bölmə qaydası.

§ 112. Təxmini nisbət.

Əvvəlki paraqrafda biz onluq kəsrlərin bölünməsini nəzərdən keçirdik və həll etdiyimiz bütün nümunələrdə bölmə sona çatdırıldı, yəni dəqiq bir hissə alındı. Bununla belə, əksər hallarda bölməni nə qədər uzadsaq da, dəqiq nisbət əldə edilə bilməz. Belə hallardan biri belədir: 53-ü 101-ə bölün.

Artıq bölgüdə beş rəqəm almışıq, lakin bölgü hələ bitməyib və onun bitəcəyinə ümid yoxdur, çünki əvvəllər rastlaşdığımız rəqəmlər qalan hissədə görünməyə başlayır. Nömrələr də hissədə təkrarlanacaq: aydındır ki, 7 rəqəmindən sonra 5 rəqəmi, sonra 2 və s. Belə hallarda bölmə kəsilir və bölmənin ilk bir neçə rəqəmi ilə məhdudlaşır. Bu özəl adlanır təxmini. Bu vəziyyətdə bölməni necə həyata keçirmək olar, biz nümunələrlə göstərəcəyik.

25-i 3-ə bölmək tələb olunsun. Aydındır ki, tam və ya onluq kəsrlə ifadə olunan dəqiq hissəni belə bölmədən almaq mümkün deyil. Beləliklə, təxmini bir nisbət axtaracağıq:

25: 3 = 8 və qalan 1

Təxmini nisbət 8-dir; o, təbii ki, dəqiq hissədən azdır, çünki 1-in qalığı var. Dəqiq hissəni əldə etmək üçün tapılan təxmini hissəyə, yəni qalığın bölünməsi nəticəsində yaranan kəsri 8-ə əlavə etmək lazımdır. , 1-ə bərabər, 3-ə; 1/3 hissəsi olacaq. Bu o deməkdir ki, dəqiq hissə 8 1/3 qarışıq rəqəmlə ifadə olunacaq. 1/3 olduğu üçün düzgün fraksiya, yəni kəsr, birdən azdır, sonra, onu ataraq, güman edirik səhv, hansı birdən azdır . Şəxsi 8 iradə dezavantajlı birinə qədər təxmini əmsal. 8 əvəzinə 9 götürsək, birdən az olan bir xətaya da icazə veririk, çünki bütün vahidi deyil, 2/3 əlavə edəcəyik. Belə bir şəxsi iradə təqribi hissə artıq olan birə qədər.

İndi başqa bir nümunə götürək. 27-ni 8-ə bölmək tələb olunsun. Burada tam ədəd kimi ifadə olunan dəqiq hissəni əldə etməyəcəyimiz üçün təxmini hissə axtaracağıq:

27: 8 = 3 və qalan 3.

Burada xəta 3/8-dir, birdən azdır, yəni təxmini əmsalın (3) çatışmazlıq olan birinə qədər tapılması deməkdir. Bölməyə davam edirik: qalan 3-ü onda bölürük, 30 onda alırıq; Onları 8-ə bölək.

Biz onluq 3-də, yerdə qalan b onda birində təkbətək olduq. Xüsusilə 3.3 rəqəmi ilə məhdudlaşsaq və qalan 6-dan imtina etsək, onda birdən az səhvə yol verəcəyik. Niyə? Çünki 6 ondalığın 8-ə bölünməsinin nəticəsini 3.3-ə əlavə etdikdə dəqiq hissə alınacaqdı; bu bölgüdən 6/80 olardı ki, bu da onda birdən azdır. (Yoxlayın!) Beləliklə, əgər biz hissədə onda biri ilə məhdudlaşsaq, onda deyə bilərik ki, biz hissəni tapmışıq. onda birinə qədər dəqiqdir(mənfi cəhəti ilə).

Daha bir onluq yer tapmaq üçün bölməyə davam edək. Bunun üçün biz 6 onda bir hissəni yüzdə bölüb 60 yüzdə bir alırıq; Onları 8-ə bölək.

Fərdilərdə üçüncü yerdə 7, yerdə qalanda 4 yüz; onları atsaq, onda yüzdə birdən az səhvə yol veririk, çünki 8-ə bölünən 4 yüzdə yüzdə birdən azdır. Belə hallarda əmsalın tapıldığı deyilir. yüzdə birinə qədər dəqiqdir(mənfi cəhəti ilə).

İndi nəzərdən keçirdiyimiz nümunədə ondalıq kəsr kimi ifadə olunan dəqiq hissəni əldə edə bilərsiniz. Bunun üçün axırıncı qalığı 4 yüzdə biri mində bölüb 8-ə bölmək kifayətdir.

Bununla belə, əksər hallarda dəqiq əmsal əldə etmək mümkün olmur və onun təxmini dəyərləri ilə məhdudlaşmaq lazımdır. İndi belə bir nümunəni nəzərdən keçirəcəyik:

40: 7 = 5,71428571...

Rəqəmin sonundakı nöqtələr bölmənin tamamlanmadığını, yəni bərabərliyin təqribi olduğunu bildirir. Adətən təxmini bərabərlik belə yazılır:

40: 7 = 5,71428571.

Biz hissəni səkkiz onluq yerlə götürdük. Amma belə böyük dəqiqlik tələb olunmursa, kəsimin bütün hissəsi ilə, yəni 5 (daha doğrusu, 6) rəqəmi ilə məhdudlaşa bilər; daha yüksək dəqiqlik üçün onda birliklər nəzərə alına bilər və əmsal 5,7-yə bərabər götürülə bilər; əgər nədənsə bu dəqiqlik yetərli deyilsə, onda yüzdə dayanıb 5,71 və s. götürə bilərik. Gəlin ayrı-ayrı əmsalları yazaq və onları adlandıraq.

Birə qədər ilk təxmini əmsal 6.

İkinci » » » onda birinə 5.7.

Üçüncü » » » yüzdə birinə qədər 5.71.

Dördüncü » » » 5.714-ün mində birinə qədər.

Beləliklə, bəzilərinə qədər, məsələn, 3-cü onluq yerə (yəni, mində birə qədər) təxmini nisbət tapmaq üçün bu işarə tapılan kimi bölmə dayandırılır. Bu halda, § 40-da göstərilən qaydanı xatırlamaq lazımdır.

§ 113. Maraq üçün ən sadə məsələlər.

Onluq kəsrləri öyrəndikdən sonra daha bir neçə faiz məsələsini həll edəcəyik.

Bu məsələlər adi kəsrlər bölməsində həll etdiyimiz məsələlərə bənzəyir; lakin indi yüzdə birini onluq kəsrlər şəklində, yəni açıq şəkildə təyin olunmuş məxrəc olmadan yazacağıq.

Əvvəla, siz adi kəsrdən məxrəci 100 olan onluq kəsrə asanlıqla keçə bilməlisiniz.Bunun üçün payı məxrəcə bölmək lazımdır:

Aşağıdakı cədvəl % (faiz) simvolu olan ədədin məxrəci 100 olan onluq ilə necə əvəz edildiyini göstərir:

İndi bir neçə problemi nəzərdən keçirək.

1. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması.

Tapşırıq 1. Bir kənddə cəmi 1600 nəfər yaşayır. Məktəbyaşlı uşaqların sayı isə 25%-dir ümumi sayı sakinləri. Bu kənddə neçə məktəb yaşlı uşaq var?

Bu məsələdə 1600-ün 25%-ni və ya 0,25-ni tapmaq lazımdır. Məsələ çarpmaqla həll olunur:

1,600 0,25 = 400 (uşaqlar).

Deməli, 1600-ün 25%-i 400-dür.

Bu vəzifəni aydın başa düşmək üçün xatırlamaq yerinə düşər ki, əhalinin hər yüz nəfərinə 25 məktəbyaşlı uşaq düşür. Buna görə də bütün məktəb yaşlı uşaqların sayını tapmaq üçün əvvəlcə 1600 (16) sayında neçə yüzlük olduğunu öyrənə, sonra isə 25-i yüzlərin sayına (25 x 16 = 400) vura bilərsiniz. Beləliklə, həllin etibarlılığını yoxlaya bilərsiniz.

Tapşırıq 2.Əmanət kassaları hər il əmanətçilərə gəlirin 2 faizini verir. Əmanət qoyan əmanətçi ildə nə qədər gəlir əldə edəcək: a) 200 rubl? b) 500 rubl? c) 750 rubl? d) 1000 rubl?

Bütün dörd halda, problemi həll etmək üçün göstərilən məbləğlərin 0,02-ni hesablamaq lazımdır, yəni bu rəqəmlərin hər birini 0,02-yə vurmaq lazımdır. Gəl edək:

a) 200 0,02 = 4 (rubl),

b) 500 0,02 = 10 (rubl),

c) 750 0,02 = 15 (rubl),

d) 1000 0,02 = 20 (rubl).

Bu halların hər biri aşağıdakı mülahizələrlə təsdiqlənə bilər. Əmanət kassaları əmanətçilərə gəlirin 2 faizini, yəni əmanətlərə qoyulan məbləğin 0,02 faizini verir. Məbləğ 100 rubl olsaydı, onun 0,02-si 2 rubl olardı. Bu o deməkdir ki, hər yüz əmanətçiyə 2 rubl gətirir. gəlir. Buna görə də, nəzərdən keçirilən halların hər birində müəyyən bir sayda yüzlərin neçə olduğunu anlamaq və bu yüzlərlə 2 rublu çoxaltmaq kifayətdir. Məsələn, a) yüzlərlə 2, belə

2 2 \u003d 4 (rubl).

Məsələn d) yüzlər 10-dur, yəni

2 10 \u003d 20 (rubl).

2. Ədədin faizinə görə tapılması.

Tapşırıq 1. Yazda məktəbi 54 şagird bitirib ki, bu da ümumi şagirdlərin 6%-ni təşkil edir. Keçmişdə məktəbdə nə qədər şagird var idi tədris ili?

Əvvəlcə bu problemin mənasını aydınlaşdıraq. Məktəbi 54 şagird bitirib ki, bu da ümumi şagird sayının 6 faizini, başqa sözlə, məktəbdəki bütün şagirdlərin 6 yüzdə birini (0,06) təşkil edir. Bu o deməkdir ki, şagirdlərin (54) rəqəmi və kəsr (0,06) ilə ifadə olunan hissəsini bilirik və bu kəsrdən tam ədədi tapmalıyıq. Beləliklə, qarşımızda ədədi kəsrinə görə tapmaq üçün adi məsələ durur (§ 90 s. 6). Bu tip problemlər bölmə ilə həll olunur:

Bu o deməkdir ki, məktəbdə 900 şagird var idi.

Bu cür məsələləri tərs məsələni həll etməklə yoxlamaq faydalıdır, yəni məsələni həll etdikdən sonra, heç olmasa, fikrinizdə, birinci növ məsələni həll etməlisiniz (verilmiş ədədin faizini tapmaq): tapılan ədədi götürün ( 900) verildiyi kimi və ondan həll olunan məsələdə göstərilən faizi tapın, yəni:

900 0,06 = 54.

Tapşırıq 2. Ailə ay ərzində yeməyə 780 rubl xərcləyir ki, bu da atanın aylıq gəlirinin 65%-ni təşkil edir. Onun aylıq gəlirini müəyyənləşdirin.

Bu tapşırıq əvvəlki ilə eyni məna daşıyır. O, rublla ifadə olunan aylıq qazancın bir hissəsini verir (780 rubl) və bu hissənin ümumi qazancın 65% və ya 0,65-ni təşkil etdiyini göstərir. Və arzu olunan bütün qazancdır:

780: 0,65 = 1 200.

Buna görə də arzu olunan qazanc 1200 rubl təşkil edir.

3. Rəqəmlərin faizini tapmaq.

Tapşırıq 1. Məktəbin kitabxanasında ümumilikdə 6000 kitab var. Onların arasında riyaziyyat üzrə 1200 kitab var. Riyaziyyat kitablarının neçə faizi kitabxanadakı kitabların ümumi sayını təşkil edir?

Biz artıq (§97) bu cür məsələni nəzərdən keçirdik və belə nəticəyə gəldik ki, iki ədədin faizini hesablamaq üçün bu ədədlərin nisbətini tapmaq və onu 100-ə vurmaq lazımdır.

Tapşırığımızda 1200 və 6000 ədədlərinin faizini tapmalıyıq.

Əvvəlcə onların nisbətini tapırıq və sonra 100-ə vururuq:

Beləliklə, 1200 və 6000 rəqəmlərinin faizi 20-dir. Yəni riyaziyyat kitabları bütün kitabların ümumi sayının 20%-ni təşkil edir.

Yoxlamaq üçün tərs məsələni həll edirik: 6000-in 20%-ni tapın:

6 000 0,2 = 1 200.

Tapşırıq 2. Zavod 200 ton kömür qəbul etməlidir. Artıq 80 ton tədarük olunub, zavoda kömürün neçə faizi təhvil verilib?

Bu problem bir ədədin (80) digərinin (200) neçə faiz olduğunu soruşur. Bu rəqəmlərin nisbəti 80/200 olacaq. Onu 100-ə vuraq:

Bu o deməkdir ki, kömürün 40 faizi təhvil verilib.

Bu yazıda bölmə kimi onluq kəsrlərlə belə vacib bir hərəkəti təhlil edəcəyik. Əvvəlcə formalaşdırırıq ümumi prinsiplər, onda biz onluq kəsrləri bir sütunla həm digər kəsrlərə, həm də natural ədədlərə necə düzgün bölməyi təhlil edəcəyik. Bundan sonra adi kəsrlərin ondalığa və əksinə bölünməsini təhlil edəcəyik və sonunda 0, 1, 0, 01, 100, 10 və s. ilə bitən kəsrlərin düzgün bölünməsini görəcəyik.

Burada yalnız müsbət fraksiyaları olan halları götürürük. Kəsrin qarşısında bir mənfi varsa, onunla hərəkət etmək üçün rasional və həqiqi ədədlərin bölünməsinə dair materialı öyrənməlisiniz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İstər sonlu, istərsə də dövri kəsrlərin hamısı adi kəsrlərin yazılmasının xüsusi formasıdır. Buna görə də, onlara uyğun olan adi fraksiyalar üçün eyni prinsiplər tətbiq olunur. Beləliklə, biz onluq fraksiyaların bölünməsi prosesini onları adi olanlarla əvəz etmək üçün azaldırıq, ardınca artıq bizə məlum olan üsullarla hesablama aparırıq. Konkret misal götürək.

Misal 1

1,2-ni 0,48-ə bölün.

Qərar

Onluq kəsrləri adi kəsrlər şəklində yazırıq. Biz bacaracağıq:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Beləliklə, 6 5-i 12 25-ə bölmək lazımdır. Biz inanırıq:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Nəticədən düzgün olmayan fraksiya bütün hissəni seçib əldə edə bilərsiniz qarışıq nömrə 2 1 2 və ya onu onluq kəsr kimi təqdim edə bilərsiniz ki, o, orijinal ədədlərə uyğun olsun: 5 2 \u003d 2, 5. Bunu necə etmək olar, əvvəllər yazdıq.

Cavab: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Misal 2

Neçənin 0 , (504) 0 , 56 olacağını hesablayın.

Qərar

Əvvəlcə dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirməliyik.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Bundan sonra, son onluq kəsri də başqa bir forma çevirəcəyik: 0, 56 = 56 100. İndi lazımi hesablamaları aparmağımız asan olacaq iki nömrəmiz var:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Ondalığa çevirə biləcəyimiz bir nəticəmiz var. Bunu etmək üçün sütun metodundan istifadə edərək payı məxrəcə bölün:

Cavab: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Bölmə nümunəsində dövri olmayan onluq kəsrlərə rast gəldiksə, bir az fərqli hərəkət edəcəyik. Onları adi adi kəsrlərə çatdıra bilmərik, buna görə də bölərkən əvvəlcə onları müəyyən bir rəqəmə yuvarlaqlaşdırmalıyıq. Bu hərəkət həm dividendlə, həm də bölənlə yerinə yetirilməlidir: biz də dəqiqlik baxımından mövcud sonlu və ya dövri kəsri yuvarlaqlaşdıracağıq.

Misal 3

0, 779 ... / 1, 5602 nə qədər olacağını tapın.

Qərar

Əvvəlcə hər iki kəsri yüzdə bir hissəyə yuvarlaqlaşdırırıq. Sonsuz təkrarlanmayan kəsrlərdən sonlu onluqlara belə keçirik:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Hesablamaları davam etdirib təxmini nəticə əldə edə bilərik: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.

Nəticənin düzgünlüyü yuvarlaqlaşdırma dərəcəsindən asılı olacaq.

Cavab: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Natural ədədi ondalığa və əksinə bölmək olar

Bu vəziyyətdə bölməyə yanaşma demək olar ki, eynidir: sonlu və dövri fraksiyaları adi olanlarla əvəz edirik və sonsuz dövri olmayanları yuvarlaqlaşdırırıq. Natural ədəd və onluq kəsrlə bölmə nümunəsindən başlayaq.

Misal 4

2,5-i 45-ə bölün.

Qərar

2, 5-i adi bir kəsr formasına gətirək: 255 10 \u003d 51 2. Sonra, sadəcə onu bölmək lazımdır natural ədəd. Bunu necə edəcəyimizi artıq bilirik:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Nəticəni onluq qeydlərə çevirsək, onda 0 , 5 (6) alırıq.

Cavab: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Sütunla bölmə üsulu təkcə natural ədədlər üçün yaxşı deyil. Bənzətmə ilə, biz onu kəsrlər üçün də istifadə edə bilərik. Aşağıda bunun üçün yerinə yetirilməli olan hərəkətlərin ardıcıllığını göstərəcəyik.

Tərif 1

Onluq kəsrlərin sütununu natural ədədlərə bölmək üçün aşağıdakıları etməlisiniz:

1. Sağdakı onluq kəsrə bir neçə sıfır əlavə edin (bölmə üçün onlardan bizə lazım olan istənilən sayda əlavə edə bilərik).

2. Alqoritmdən istifadə edərək onluq kəsri natural ədədə bölün. Kəsrin tam hissəsinin bölünməsi başa çatdıqda, alınan hissəyə vergül qoyuruq və daha da sayırıq.

Belə bölmənin nəticəsi sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr ola bilər. Qalandan asılıdır: sıfırdırsa, nəticə sonlu olacaq və qalıqlar təkrarlanmağa başlasa, cavab dövri kəsr olacaq.

Nümunə olaraq bir neçə tapşırığı götürək və bu addımları konkret rəqəmlərlə tamamlamağa çalışaq.

Misal 5

65, 14 4 nə qədər olacağını hesablayın.

Qərar

Sütun metodundan istifadə edirik. Bunu etmək üçün kəsrə iki sıfır əlavə edin və orijinala bərabər olacaq onluq kəsr 65, 1400 alın. İndi 4-ə bölmək üçün bir sütun yazırıq:

Alınan ədəd bizə lazım olan tam hissənin bölünməsinin nəticəsi olacaq. Onu ayıraraq vergül qoyuruq və davam edirik:

Sıfır qalığa çatdıq, buna görə də bölmə prosesi tamamlandı.

Cavab: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Misal 6

164,5-i 27-yə bölün.

Qərar

Əvvəlcə kəsr hissəsini bölürük və alırıq:

Yaranan rəqəmi vergüllə ayırırıq və bölməyə davam edirik:

Görürük ki, qalıqlar vaxtaşırı təkrarlanmağa başladı və doqquz, iki və beş rəqəmləri hissədə bir-birini əvəz etməyə başladı. Biz orada dayanıb cavabı dövri kəsr kimi yazacağıq 6, 0 (925) .

Cavab: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Belə bir bölmə yuxarıda təsvir edilmiş xüsusi onluq kəsr və natural ədəd tapmaq prosesinə endirilə bilər. Bunun üçün dividend və bölücü 10, 100 və s. vurmalıyıq ki, bölən natural ədədə çevrilsin. Sonra yuxarıdakı hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetiririk. Bu yanaşma bölmə və vurma xüsusiyyətlərinə görə mümkündür. Hərfi formada bunları belə yazdıq:

a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) və s.

Qaydanı formalaşdıraq:

Tərif 2

Bir son onluq kəsri digərinə bölmək üçün aşağıdakıları etməlisiniz:

1. Bölücü natural ədədə çevirmək üçün lazım olan simvolların sayına görə dividend və böləndə vergülü sağa köçürün. Dividenddə kifayət qədər işarə yoxdursa, sağ tərəfə sıfırları əlavə edirik.

2. Bundan sonra kəsri çıxan natural ədədə görə sütuna bölürük.

Gəlin konkret problemə nəzər salaq.

Misal 7

7, 287-ni 2, 1-ə bölün.

Həlli: Bölücü natural ədəd etmək üçün vergülü bir simvol sağa köçürməliyik. Beləliklə, biz 72, 87 onluq kəsri 21-ə bölməyə keçdik. Alınan ədədləri bir sütuna yazaq və hesablayaq

Cavab: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Misal 8

16, 3 0, 021 hesablayın.

Qərar

Vergülü üç rəqəmə köçürməli olacağıq. Bunun üçün bölücüdə kifayət qədər rəqəmlər yoxdur, ona görə də istifadə etməlisiniz əlavə sıfırlar. Son nəticənin belə olacağını düşünürük:

4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 qalıqlarının dövri təkrarlanmasını görürük. Bölmə 1, 9, 0, 4, 7 və 5-i təkrarlayır. Sonra nəticəmiz dövri onluq 776 , (190476) olur.

Cavab: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Bizim təsvir etdiyimiz üsul bunun əksini etməyə, yəni natural ədədi son onluq kəsrə bölməyə imkan verir. Bunun necə edildiyini görək.

Misal 9

Neçənin 3 5, 4 olacağını hesablayın.

Qərar

Aydındır ki, vergülü bir simvolla sağa köçürməli olacağıq. Bundan sonra 30, 0-ı 54-ə bölməyə başlaya bilərik. Verilənləri sütuna yazaq və nəticəni hesablayaq:

Qalanı təkrarlamaq bizə dövri onluq olan 0 , (5) rəqəmini verir.

Cavab: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Onluqları 1000, 100, 10 və s.-ə necə bölmək olar.

Artıq öyrənilmiş adi kəsrlərin bölünməsi qaydalarına görə, kəsri onluğa, yüzlərə, minlərə bölmək onu 1/1000, 1/100, 1/10 və s.-ə vurmağa bənzəyir... Məlum olur ki, bölməni yerinə yetirmək üçün , bu halda vergülü daşımaq kifayətdir düzgün məbləğ rəqəmlər. Əgər köçürmək üçün nömrədə kifayət qədər dəyər yoxdursa, lazımi sayda sıfır əlavə etməlisiniz.

Misal 10

Beləliklə, 56, 21: 10 = 5, 621 və 0, 32: 100,000 = 0, 0000032.

Sonsuz onluqlar vəziyyətində biz də eyni şeyi edirik.

Misal 11

Məsələn, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) və 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

Onluqları 0,001, 0,01, 0,1 və s.-ə necə bölmək olar.

Eyni qaydadan istifadə edərək, kəsrləri müəyyən edilmiş qiymətlərlə də bölmək olar. Bu hərəkət müvafiq olaraq 1000 , 100 , 10 ilə çarpmağa bənzəyəcək. Bunun üçün problemin şərtlərindən asılı olaraq vergülü bir, iki və ya üç rəqəmə köçürür, ədəddə rəqəmlər kifayət deyilsə, sıfırları əlavə edirik.

Misal 12

Məsələn, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 və 0, 21: 0, 00001 = 21.000.

Bu qayda sonsuz onluqlara da aiddir. Biz sizə yalnız cavabda əldə edilən kəsrin müddəti ilə diqqətli olmağı məsləhət görürük.

Beləliklə, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , çünki biz ondalık qeyddə vergülü köçürdükdən sonra 7 , 5716716716 ... iki rəqəmi sağa köçürdükdən sonra 757 , 167167 ... aldıq.

Nümunədə dövri olmayan kəsrlərimiz varsa, onda hər şey daha sadədir: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

Qarışıq ədədi və ya ümumi kəsri ondalığa və əksinə bölmək olar

Bu hərəkəti adi kəsrlərlə əməliyyatlara da endirdik. Bunu etmək üçün dəyişdirmək lazımdır ondalık ədədlər uyğun adi kəsrləri yazın və qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsr kimi yazın.

Əgər dövri olmayan kəsri adi və ya qarışıq ədədə bölsək, əksini yerinə yetirməliyik. ümumi kəsr və ya onlara uyğun onluq kəsr ilə qarışıq ədəd.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bölmənin birinci rəqəmini tapın (bölmənin nəticəsi). Bunu etmək üçün dividendlərin birinci rəqəmini bölücüyə bölün. Nəticəni bölmənin altına yazın.

• Bizim nümunəmizdə dividendlərin birinci rəqəmi 3-dür. 3-ü 12-yə bölün. 3 12-dən kiçik olduğu üçün bölmənin nəticəsi 0 olacaq. Bölənin altına 0 yazın - bu bölmənin birinci rəqəmidir.

Bu işıqda onluq hissələrin bölünməsi nümunələrinə nəzər salın.

Misal.

Onluq 1.2-ni onluq 0.48-ə bölün.

Qərar.

Cavab:

1,2:0,48=2,5 .

Misal.

Dövri onluq 0.(504) nüsxəsini 0,56-ya bölün.

Qərar.

Dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirək:. Biz də 0,56 son onluq kəsri adi birinə tərcümə edirik, bizdə 0,56 \u003d 56/100 var. İndi biz ilkin onluq hissələrin bölünməsindən adi kəsirlərin bölünməsinə keçə və hesablamaları bitirə bilərik: .

Gəlin əldə olunan adi kəsri sütundakı payı məxrəcə bölməklə onluq kəsrə çevirək:

Cavab:

0,(504):0,56=0,(900) .

Sonsuz dövri olmayan onluq kəsrlərin bölünməsi prinsipi təkrar olunmayan onluq kəsrləri adi kəsrlərə çevirmək mümkün olmadığı üçün sonlu və dövri onluq kəsrlərin bölünməsi prinsipindən fərqlənir. Sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlərin bölünməsi sonlu onluq kəsrlərin bölünməsinə endirilir, bunun üçün həyata keçirilir. yuvarlaqlaşdırma nömrələri müəyyən səviyyəyə qədər. Üstəlik, bölmənin aparıldığı nömrələrdən biri son və ya dövri onluq kəsrdirsə, o da dövri olmayan onluq kəsrlə eyni rəqəmə yuvarlaqlaşdırılır.

Misal.

Sonsuz təkrarolunmaz onluq 0,779... son onluq 1,5602-yə bölün.

Qərar.

Birincisi, sonsuz təkrarlanmayan onluq kəsri bölməkdən sonlu onluq kəsrləri bölməyə keçmək üçün onluq kəsrləri yuvarlaqlaşdırmalısınız. Biz yüzdə bir qədər yuvarlaqlaşdıra bilərik: 0,779…≈0,78 və 1,5602≈1,56. Beləliklə, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Cavab:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Natural ədədin onluq kəsrə və əksinə bölünməsi

Natural ədədin onluq kəsrə bölünməsinə və onluq kəsrin natural ədədə bölünməsinə yanaşmanın mahiyyəti onluq kəsrlərin bölünməsinin mahiyyətindən fərqlənmir. Yəni sonlu və dövri kəsrlər adi kəsrlərlə əvəz olunur, sonsuz qeyri-dövri kəsrlər isə yuvarlaqlaşdırılır.

Nümunə etmək üçün onluq kəsri natural ədədə bölmək nümunəsini nəzərdən keçirək.

Misal.

25.5 onluq kəsri 45 natural ədədinə bölün.

Qərar.

25.5 onluq kəsri 255/10=51/2 adi kəsrlə əvəz edərək, bölmə adi kəsri natural ədədə bölməyə qədər azalır: . Onluq qeyddə nəticələnən kəsr 0,5(6)-dır.

Cavab:

25,5:45=0,5(6) .

Onluq kəsrin natural ədədə sütunla bölünməsi

Sonlu onluq kəsrlərin natural ədədlərə bölünməsi rahat şəkildə natural ədədlərin sütununa bölmə ilə bənzətmə ilə sütunla həyata keçirilir. Bölmə qaydası budur.

üçün ondalığı natural ədədə sütunla bölmək, zəruri:

• bölünən onluq kəsrdə sağa bir neçə rəqəm əlavə edin 0, (bölmə zamanı lazım olduqda istənilən sayda sıfır əlavə edə bilərsiniz, lakin bu sıfırlara ehtiyac olmaya bilər);
• natural ədədlər sütununa bölmək üçün bütün qaydalara uyğun olaraq onluq kəsrin bir sütunu ilə natural ədədə bölünməsini həyata keçirin, lakin ondalık kəsrin tam hissəsinin bölünməsi tamamlandıqda, özəl hissədə etməlisiniz. vergül qoyun və bölməyə davam edin.

Dərhal deyək ki, sonlu onluq kəsri natural ədədə bölmək nəticəsində ya son onluq kəsr, ya da sonsuz dövri onluq kəsr əldə etmək olar. Həqiqətən, 0-dan başqa bölünən kəsrin bütün onluq yerlərini böldükdən sonra ya 0 qalığını ala bilərik və son onluq kəsr alacağıq, ya da qalan hissəsi dövri olaraq təkrarlanmağa başlayacaq və dövri onluq kəsr alacağıq. kəsir.

Nümunələrin həlli zamanı bir sütunla onluq kəsrlərin natural ədədlərə bölünməsinin bütün incəlikləri ilə məşğul olaq.

Misal.

Onluq 65.14-ü 4-ə bölün.

Qərar.

Onluq kəsrin natural ədədə bölünməsini sütunla yerinə yetirək. Gəlin 65.14 kəsrinin qeydində sağa bir cüt sıfır əlavə edək, ona bərabər olan onluq kəsr isə 65.1400 (bərabər və qeyri-bərabər onluq kəsrlərə bax). İndi 65.1400 onluq kəsrinin tam hissəsini sütunla 4 natural rəqəminə bölməyə başlaya bilərsiniz:

Bu, onluq kəsrin tam hissəsinin bölünməsini tamamlayır. Burada özəl olaraq ondalık nöqtə qoymalı və bölməyə davam etməlisiniz:

Biz 0-ın qalığına gəldik, bu mərhələdə sütunla bölmə başa çatır. Nəticədə bizdə 65.14:4=16.285 olur.

Cavab:

65,14:4=16,285 .

Misal.

164,5-i 27-yə bölün.

Qərar.

Onluq kəsri natural ədədə sütunla bölək. Tam hissəni böldükdən sonra aşağıdakı şəkli alırıq:

İndi özəl olaraq vergül qoyuruq və bölməni sütunla davam etdiririk:

İndi aydın görünür ki, 25, 7 və 16 qalıqları təkrarlanmağa başlayıb, 9, 2 və 5 ədədləri isə hissədə təkrarlanır. Beləliklə, 164.5-i 27-yə bölmək bizə dövri onluq 6.0(925) verir.

Cavab:

164,5:27=6,0(925) .

Onluq kəsrlərin sütuna bölünməsi

Onluq kəsrin onluq kəsrə bölünməsi, ondalık kəsrin natural ədədə sütunla bölünməsinə qədər azaldıla bilər. Bunun üçün dividend və bölən belə 10, yaxud 100, yaxud 1000 və s.-ə vurulmalıdır ki, bölən natural ədədə çevrilsin, sonra isə natural ədədə sütunla bölün. Bunu bölmə və vurma xüsusiyyətlərinə görə edə bilərik, çünki a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) və s.

Başqa sözlə, bitən ondalığı bitən ondalığa bölmək, lazımdır:

• dividenddə və böləndə vergülü böləndə onluq nöqtədən sonra olduğu qədər simvolla sağa köçürün, əgər eyni zamanda dividenddə vergülü köçürmək üçün kifayət qədər simvol yoxdursa, onda siz əlavə etməlisiniz tələb olunan məbləğ sağda sıfırlar;
• bundan sonra natural ədədlə onluq kəsr sütununa bölməni həyata keçirin.

Nümunəni həll edərkən, ondalık kəsrə bölmək üçün bu qaydanın tətbiqini nəzərdən keçirin.

Misal.

7.287 sütununu 2.1-ə bölün.

Qərar.

Gəlin bu onluq kəsrlərdə vergülü bir rəqəm sağa keçirək, bu, 7.287 onluq kəsri 2.1 onluq kəsrinə bölməkdən 72.87 onluq kəsri 21 natural ədədinə bölməyə keçməyə imkan verəcək. Sütunla bölünək:

Cavab:

7,287:2,1=3,47 .

Misal.

Onluq 16.3-ü onluq 0.021-ə bölün.

Qərar.

Dividend və böləndə vergülü 3 rəqəmlə sağa köçürün. Aydındır ki, böləndə vergülü daşımaq üçün kifayət qədər rəqəm yoxdur, ona görə də lazımi sayda sıfırları sağa əlavə edək. İndi 16300.0 kəsirinin sütununu 21 natural ədədinə bölək:

Bu andan etibarən 4, 19, 1, 10, 16 və 13 qalıqları təkrarlanmağa başlayır, yəni hissədəki 1, 9, 0, 4, 7 və 6 rəqəmləri də təkrarlanacaq. Nəticədə dövri onluq kəsr alırıq 776,(190476) .

Cavab:

16,3:0,021=776,(190476) .

Qeyd edək ki, səsli qayda natural ədədi son onluq kəsrə sütunla bölməyə imkan verir.

Misal.

3 natural ədədini onluq kəsrə bölün 5.4.

Qərar.

Vergül 1 rəqəmini sağa köçürdükdən sonra 30.0 rəqəmini 54-ə bölməyə gəlirik. Sütunla bölünək:
.

Bu qayda sonsuz onluq kəsrləri 10, 100, ...-ə bölərkən də tətbiq oluna bilər. Məsələn, 3,(56):1000=0,003(56) və 593,374…:100=5,93374… .

Onluqların 0,1, 0,01, 0,001-ə bölünməsi və s.

0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100 və s. olduğundan, adi bir kəsrə bölmə qaydasından belə çıxır ki, onluq kəsri 0,1, 0,01, 0,001 və s. bu verilmiş ondalığı 10 , 100 , 1000 və s.-ə vurmaq kimidir. müvafiq olaraq.

Başqa sözlə, ondalıq kəsri 0.1, 0.01, ...-ə bölmək üçün vergülü sağa 1, 2, 3, ... rəqəmlərinə köçürmək lazımdır və ondalıq kəsrdə kifayət qədər rəqəm yoxdursa vergülü köçürün, sonra lazımi nömrəni sağ sıfırlara əlavə etməlisiniz.

Məsələn, 5,739:0,1=57,39 və 0,21:0,00001=21,000 .

Eyni qayda sonsuz onluqları 0,1, 0,01, 0,001 və s.-ə bölərkən də tətbiq oluna bilər. Bu zaman bölgü nəticəsində alınan kəsrin dövrü ilə səhv salmamaq üçün dövri kəsrlərin bölünməsində çox diqqətli olmalısınız. Məsələn, 7.5(716):0.01=757,(167) , 7.5716716716 onluq kəsrdə vergülü köçürdükdən sonra 7.5716716716 ... iki rəqəm sağa keçdiyi üçün bizdə 757.167167 ... . Sonsuz dövri olmayan onluqlarla hər şey daha sadədir: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Kəsirin və ya qarışıq ədədin ondalığa və əksinə bölünməsi

Adi kəsrin və ya qarışıq ədədin sonlu və ya dövri onluq kəsrə bölünməsi, eləcə də sonlu və ya dövri onluq kəsrin adi kəsrə və ya qarışıq ədədə bölünməsi adi kəsrlərin bölünməsinə endirilir. Bunun üçün onluq kəsrlər müvafiq adi kəsrlərlə əvəz olunur və qarışıq ədəd düzgün olmayan kəsr kimi göstərilir.

Sonsuz qeyri-dövri onluq kəsri adi kəsrə və ya qarışıq ədədə və ya əksinə bölərkən, adi kəsr və ya qarışıq ədədi müvafiq onluq kəsrlə əvəz edərək onluq kəsrlərin bölünməsinə davam etmək lazımdır.

Biblioqrafiya.

• Riyaziyyat: təhsil. 5 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / N. Ya. Vilenkin, V. İ. Joxov, A. S. Çesnokov, S. İ. Şvartsburd. - 21-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: xəstə. ISBN 5-346-00699-0.
• Riyaziyyat. 6-cı sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar / [N. Ya.Vilenkin və başqaları]. - 22-ci nəşr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-00897-2.
• cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

Keçən dərsdə biz onluq kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik ("Onluq kəsrlərin əlavə edilməsi və çıxılması" dərsinə baxın). Eyni zamanda, adi "iki mərtəbəli" fraksiyalarla müqayisədə hesablamaların nə qədər sadələşdirildiyini təxmin etdilər.

Təəssüf ki, onluq kəsrlərin vurulması və bölünməsi ilə bu təsir baş vermir. Bəzi hallarda onluq qeydlər hətta bu əməliyyatları çətinləşdirir.

Əvvəlcə yeni bir tərif təqdim edək. Biz onunla çox tez-tez görüşəcəyik və təkcə bu dərsdə deyil.

Nömrənin əhəmiyyətli hissəsi qoşqular da daxil olmaqla birinci və sonuncu sıfırdan fərqli rəqəmlər arasındakı hər şeydir. Söhbət yalnız rəqəmlərdən gedir, ondalık nöqtə nəzərə alınmır.

Ədədin əhəmiyyətli hissəsinə daxil olan rəqəmlərə əhəmiyyətli rəqəmlər deyilir. Onlar təkrarlana bilər və hətta sıfıra bərabər ola bilər.

Məsələn, bir neçə onluq kəsri nəzərdən keçirin və onların müvafiq əhəmiyyətli hissələrini yazın:

1. 91,25 → 9125 (əhəmiyyətli rəqəmlər: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (əhəmiyyətli rəqəmlər: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (əhəmiyyətli rəqəmlər: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (əhəmiyyətli rəqəmlər: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (əhəmiyyətli rəqəm yalnız bir: 3).

Diqqət edin: nömrənin əhəmiyyətli hissəsinin içindəki sıfırlar heç yerə getmir. Onluq kəsrləri adi kəsrlərə çevirməyi öyrənəndə artıq oxşar bir şeylə qarşılaşdıq (“Ondalıq kəsrlər” dərsinə baxın).

Bu məqam o qədər vacibdir və burada tez-tez səhvlərə yol verilir ki, yaxın gələcəkdə bu mövzuda test dərc edəcəyəm. Məşq etməyinizə əmin olun! Və biz əhəmiyyətli bir hissə anlayışı ilə silahlanaraq, əslində dərsin mövzusuna keçəcəyik.

Ondalıq vurma

Çarpma əməliyyatı üç ardıcıl addımdan ibarətdir:

1. Hər kəsr üçün əhəmiyyətli hissəni yazın. Siz iki adi tam ədəd alacaqsınız - heç bir məxrəc və onluq nöqtələr olmadan;
2. Bu rəqəmləri istənilən rəqəmlə çarpın rahat yol. Birbaşa, rəqəmlər kiçikdirsə və ya bir sütunda. İstədiyiniz fraksiyanın əhəmiyyətli hissəsini alırıq;
3. Müvafiq əhəmiyyətli hissəni əldə etmək üçün onluq nöqtənin ilkin fraksiyalarda harada və neçə rəqəmlə köçürüldüyünü tapın. Əvvəlki addımda əldə edilən əhəmiyyətli hissədə tərs sürüşmələri həyata keçirin.

Bir daha xatırladıram ki, əhəmiyyətli hissənin tərəflərindəki sıfırlar heç vaxt nəzərə alınmır. Bu qaydaya məhəl qoymamaq səhvlərə yol açır.

1. 0,28 12,5;
2. 6.3 1.08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5.25 10.000.

Birinci ifadə ilə işləyirik: 0,28 12,5.

1. Bu ifadədən gələn ədədlər üçün əhəmiyyətli hissələri yazaq: 28 və 125;
2. Onların məhsulu: 28 125 = 3500;
3. Birinci çarpanda decimal nöqtəsi 2 rəqəm sağa (0,28 → 28), ikincidə isə başqa 1 rəqəmə köçürülür. Ümumilikdə üç rəqəmlə sola sürüşmə lazımdır: 3500 → 3.500 = 3.5.

İndi 6.3 1.08 ifadəsi ilə məşğul olaq.

1. Əhəmiyyətli hissələri yazaq: 63 və 108;
2. Onların məhsulu: 63 108 = 6804;
3. Yenə sağa iki sürüşmə: müvafiq olaraq 2 və 1 rəqəmlə. Ümumilikdə - yenə sağa 3 rəqəm, beləliklə tərs sürüşmə sola 3 rəqəm olacaq: 6804 → 6.804. Bu dəfə sonunda sıfır yoxdur.

Üçüncü ifadəyə gəldik: 132.5 0.0034.

1. Əhəmiyyətli hissələr: 1325 və 34;
2. Onların məhsulu: 1325 34 = 45.050;
3. Birinci kəsrdə onluq nöqtə sağa 1 rəqəm, ikincidə isə 4-ə qədər gedir. Cəmi: 5 sağa. Biz 5 sola sürüşmə həyata keçiririk: 45050 → .45050 = 0.4505. Sonda sıfır çıxarıldı və "çılpaq" onluq nöqtəni buraxmamaq üçün ön tərəfə əlavə edildi.

Aşağıdakı ifadə: 0,0108 1600,5.

1. Əhəmiyyətli hissələri yazırıq: 108 və 16 005;
2. Onları çoxaldırıq: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Onluq nöqtəsindən sonra rəqəmləri hesablayırıq: birinci nömrədə 4, ikincidə - 1. Ümumilikdə - yenidən 5. Bizdə: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Sonda "əlavə" sıfır silindi.

Nəhayət, son ifadə: 5.25 10.000.

1. Əhəmiyyətli hissələr: 525 və 1;
2. Onları çoxaldırıq: 525 1 = 525;
3. Birinci fraksiya 2 rəqəm sağa, ikinci fraksiya isə 4 rəqəm sola sürüşdürülür (10.000 → 1.0000 = 1). Cəmi 4 − 2 = sola 2 rəqəm. Sağa 2 rəqəmli tərs sürüşmə həyata keçiririk: 525, → 52 500 (sıfırlar əlavə etməli olduq).

Sonuncu misala diqqət yetirin: ondalık nöqtə daşındığından müxtəlif istiqamətlər, ümumi yerdəyişmə fərq vasitəsilə tapılır. Bu çox vacib məqam! Budur başqa bir nümunə:

1,5 və 12,500 rəqəmlərini nəzərdən keçirək: 1,5 → 15 (1 sağa sürüşdürün); 12 500 → 125 (2-ni sola sürüşdürün). 1 rəqəmi sağa, sonra 2 rəqəmi sola "addım" edirik. Nəticədə 2 − 1 = 1 rəqəmi sola addımladıq.

Ondalığa bölmə

Bölmə bəlkə də ən çox olanıdır mürəkkəb əməliyyat. Əlbəttə ki, burada vurma ilə bənzətmə ilə hərəkət edə bilərsiniz: əhəmiyyətli hissələri bölün, sonra onluq nöqtəni "hərəkət edin". Ancaq bu vəziyyətdə, potensial qənaətləri inkar edən bir çox incəliklər var.

Beləliklə, bir az daha uzun, lakin daha etibarlı olan ümumi alqoritmə baxaq:

1. Bütün onluqları ümumi kəsrlərə çevirin. Bir az təcrübə ilə bu addım sizə bir neçə saniyə çəkəcək;
2. Yaranan fraksiyaları bölün klassik yol. Başqa sözlə, birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" saniyəyə çarpın (" Ədədi fraksiyaların vurulması və bölünməsi" dərsinə baxın);
3. Mümkünsə, nəticəni onluq kimi qaytarın. Bu addım da sürətlidir, çünki çox vaxt məxrəcin on gücü var.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Birinci ifadəni nəzərdən keçiririk. Əvvəlcə obi fraksiyalarını ondalığa çevirək:

İkinci ifadə ilə də eyni şeyi edirik. Birinci fraksiyanın payı yenidən amillərə bölünür:

Üçüncü və dördüncü misallarda vacib bir məqam var: onluq işarədən qurtulduqdan sonra ləğv edilə bilən kəsrlər meydana çıxır. Lakin biz bu azalmanı həyata keçirməyəcəyik.

Sonuncu misal maraqlıdır, çünki ikinci kəsrin payı sadə ədəddir. Burada faktorizasiya üçün sadəcə heç nə yoxdur, ona görə də biz bunu “boş” hesab edirik:

Bəzən bölmə tam ədədlə nəticələnir (son nümunədən danışıram). Bu halda üçüncü addım ümumiyyətlə yerinə yetirilmir.

Bundan əlavə, bölmə zamanı tez-tez ondalığa çevrilə bilməyən "çirkin" fraksiyalar görünür. Bölmənin vurmadan fərqləndiyi yer budur, burada nəticələr həmişə onluq formada ifadə edilir. Təbii ki, bu halda sonuncu addım yenə yerinə yetirilmir.

3-cü və 4-cü misallara da diqqət yetirin. Onlarda biz qəsdən onluqlardan alınan adi kəsrləri azaltmırıq. Əks halda, bu, tərs məsələni çətinləşdirəcək - son cavabı yenidən onluq formada təmsil edəcək.

Unutmayın: kəsrin əsas xüsusiyyəti (riyaziyyatda hər hansı digər qayda kimi) özlüyündə onun hər yerdə və həmişə, hər fürsətdə tətbiq edilməsi demək deyil.