Kəsrlər və tam ədədlərlə bütün qaydalar. Onluqlar nə qədər faydalıdır. Onluq kəsrlər üzərində arifmetik əməliyyatlar

Fraksiya kalkulyatoruüçün yaradılmışdır sürətli hesablama kəsrlərlə əməliyyatlar, kəsrləri asanlıqla əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək və ya çıxmaqda sizə kömək edəcək.

Müasir məktəblilər artıq 5-ci sinifdə fraksiyaları öyrənməyə başlayırlar və hər il onlarla məşqlər daha da mürəkkəbləşir. Məktəbdə öyrəndiyimiz riyazi terminlər və kəmiyyətlər yetkinlik dövründə bizim üçün nadir hallarda faydalı olur. Bununla belə, kəsrlər, loqarifmlərdən və dərəcələrdən fərqli olaraq, gündəlik həyatda kifayət qədər yaygındır (məsafənin ölçülməsi, malların çəkilməsi və s.). Kalkulyatorumuz fraksiyalarla sürətli əməliyyatlar üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Əvvəlcə fraksiyaların nə olduğunu və nə olduğunu müəyyən edək. Kəsrlər bir ədədin digərinə nisbətidir; bu vahidin tam sayda kəsrindən ibarət olan ədəddir.

Fraksiya növləri:

Adi siravi
Ondalıklar
qarışıq

Misal adi fraksiyalar:

Üst dəyər pay, aşağı isə məxrəcdir. Tire yuxarıdakı nömrənin aşağı rəqəmə bölündüyünü göstərir. Bənzər bir yazı formatı əvəzinə, tire üfüqi olduqda, fərqli yaza bilərsiniz. Maili bir xətt qoya bilərsiniz, məsələn:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Ondalıklar fraksiyaların ən məşhur növüdür. Onlar vergüllə ayrılmış tam hissədən və kəsr hissədən ibarətdir.

Ondalıq misal:

0,2 və ya 6,71 və ya 0,125

Tam və kəsr hissədən ibarətdir. Bu kəsrin qiymətini tapmaq üçün tam ədədi və kəsri əlavə etmək lazımdır.

Qarışıq fraksiyaların nümunəsi:

Veb saytımızdakı kəsr kalkulyatoru onlayn olaraq kəsrlərlə istənilən riyazi əməliyyatları tez yerinə yetirə bilir:

Əlavə
Çıxarma
Vurma
Bölmə

Hesablamanı həyata keçirmək üçün sahələrə nömrələri daxil etməli və hərəkəti seçməlisiniz. Kəsrlər üçün pay və məxrəci doldurmaq lazımdır, tam ədəd yazıla bilməz (əgər kəsr adidirsə). "Bərabər" düyməsini sıxmağı unutmayın.

Kalkulyatorun sadəcə hazır cavabı deyil, fraksiyalarla nümunənin həlli prosesini dərhal təqdim etməsi rahatdır. Məhz müfəssəl həll yolu sayəsində siz bu materialdan məktəb problemlərinin həllində və keçilən materialı daha yaxşı mənimsəmək üçün istifadə edə bilərsiniz.

Məsələni hesablamaq lazımdır:

Göstəriciləri forma sahələrinə daxil etdikdən sonra əldə edirik:

Müstəqil hesablama aparmaq üçün məlumatları forma daxil edin.

Fraksiya kalkulyatoru

İki fraksiya daxil edin:

		+ - * :

əlaqəli bölmələr.

Kəsrə aid nümunələr riyaziyyatın əsas elementlərindən biridir. Çox var fərqli növlər kəsrli tənliklər. Aşağıdadır ətraflı təlimatlar bu tipli misalları həll etməklə.

Kəsrlərlə nümunələri necə həll etmək olar - ümumi qaydalar

İstənilən növ fraksiyaları olan misalları həll etmək üçün, istər toplama, çıxarma, vurma və ya bölmə olsun, əsas qaydaları bilməlisiniz:

Eyni məxrəcli kəsr ifadələrini əlavə etmək üçün (məxrəc kəsrin altındakı ədəddir, pay yuxarıdadır) onların paylarını toplamaq, məxrəci isə eyni saxlamaq lazımdır.
Bir kəsrli ifadədən ikincini (eyni məxrəclə) çıxarmaq üçün onların paylarını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.
İlə kəsr ifadələri əlavə etmək və ya çıxmaq üçün müxtəlif məxrəclər, ən kiçik ortaq məxrəci tapmalıyıq.
Kəsr hasilini tapmaq üçün sayları və məxrəcləri çoxaltmaq, mümkünsə azaltmaq lazımdır.
Kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsri tərs ikinciyə vurmaq lazımdır.

Nümunələri kəsrlərlə necə həll etmək olar - məşq

Qayda 1, nümunə 1:

3/4 +1/4 hesablayın.

1-ci Qaydaya əsasən, əgər iki (və ya daha çox) kəsr eyni məxrəcə malikdirsə, sadəcə onların saylarını əlavə etmək lazımdır. Alırıq: 3/4 + 1/4 = 4/4. Əgər kəsrin payı və məxrəci eynidirsə, kəsr 1 olacaq.

Cavab: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Qayda 2, nümunə 1:

Hesablayın: 3/4 - 1/4

2 nömrəli qaydadan istifadə edərək, bu tənliyi həll etmək üçün 3-dən 1-i çıxarmalı və məxrəci eyni şəkildə qoymalısınız. 2/4 alırıq. İki 2 və 4 azaldıla biləcəyi üçün azaldıb 1/2 alırıq.

Cavab: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Qayda 3, Nümunə 1

Hesablayın: 3/4 + 1/6

Həlli: 3-cü qaydadan istifadə edərək ən kiçik ortaq məxrəci tapırıq. Ən kiçik ümumi məxrəc misaldakı bütün kəsr ifadələrinin məxrəclərinə bölünən ədəddir. Beləliklə, həm 4-ə, həm də 6-ya bölünəcək belə bir minimum ədəd tapmaq lazımdır. Bu ədəd 12-dir. Məxrəc olaraq 12 yazırıq. 12-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük, 3-ü alırıq, çarpırıq. 3, *3 və + işarəsinə 3 yazırıq. 12-ni ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük, 2 alırıq, 2-ni 1-ə vururuq, paya 2 * 1 yazırıq. Beləliklə, məxrəci 12-yə, payı isə 3*3+2*1=11-ə bərabər olan yeni kəsr aldıq. 11/12.

Cavab: 11/12

Qayda 3, Nümunə 2:

3/4 - 1/6 hesablayın. Bu nümunə əvvəlkinə çox bənzəyir. Biz bütün eyni hərəkətləri edirik, lakin + işarəsi əvəzinə paylayıcıda mənfi işarəni yazırıq. Alırıq: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Cavab: 7/12

Qayda 4, Nümunə 1:

Hesablayın: 3/4 * 1/4

Dördüncü qaydadan istifadə edərək birinci kəsrin məxrəcini ikincinin məxrəcinə, birinci kəsrin payını ikincinin payına vururuq. 3*1/4*4 = 3/16.

Cavab: 3/16

Qayda 4, Nümunə 2:

2/5 * 10/4 hesablayın.

Bu fraksiya azaldıla bilər. Hasilin halında birinci kəsrin payı və ikincinin məxrəci, ikinci kəsrin payı və birincinin məxrəci azaldılır.

2 4-dən azalır. 10-dan 5-dən azalır. 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1 alırıq.

Cavab: 2/5 * 10/4 = 1

Qayda 5, Nümunə 1:

Hesablayın: 3/4: 5/6

5-ci qaydadan istifadə edərək əldə edirik: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Əvvəlki nümunənin prinsipinə uyğun olaraq kəsri azaldır və 9/10 alırıq.

Cavab: 9/10.

Kəsr Nümunələri Necə Həll Etməli - Kəsr Tənlikləri

Fraksiyalı tənliklər məxrəcdə naməlumun olduğu nümunələrdir. Belə bir tənliyi həll etmək üçün müəyyən qaydalardan istifadə etməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək:

15/3x+5 = 3 tənliyini həll edin

Xatırladaq ki, siz sıfıra bölmək olmaz, yəni. məxrəcin qiyməti sıfır olmamalıdır. Bu cür nümunələri həll edərkən bunu göstərmək lazımdır. Bunun üçün ODZ (məqbul dəyərlər diapazonu) var.

Beləliklə, 3x+5 ≠ 0.
Beləliklə: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3 üçün tənliyin sadəcə həlli yoxdur.

ODZ-ni təyin etməklə, mümkün olan ən yaxşı şəkildə Bu tənliyi həll etmək kəsrlərdən xilas olacaq. Bunun üçün biz ilk növbədə bütün qeyri-kəsr dəyərləri kəsr kimi təqdim edirik, bu halda 3 rəqəmi. Alırıq: 15/(3x+5) = 3/1. Kəsrlərdən xilas olmaq üçün onların hər birini ən kiçik ortaq məxrəcə vurmaq lazımdır. Bu halda, (3x+5)*1 olardı. Sıralama:

15/(3x+5)-i (3x+5)*1 = 15*(3x+5)-ə vurun.
Mötərizələri genişləndirin: 15*(3x+5) = 45x + 75.
Eyni şeyi tənliyin sağ tərəfi ilə edirik: 3*(3x+5) = 9x + 15.
Sol və sağ tərəfləri bərabərləşdirin: 45x + 75 = 9x +15
X-ləri sola, rəqəmləri sağa köçürün: 36x = -50
X tapın: x = -50/36.
Azalırıq: -50/36 = -25/18

Cavab: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kəsrlərlə misalları necə həll etmək olar - kəsr bərabərsizlikləri

(3x-5)/(2-x)≥0 tipli kəsr bərabərsizlikləri ədədi oxundan istifadə etməklə həll edilir. düşünün nümunə verilmişdir.

Sıralama:

Say və məxrəci sıfıra bərabərləşdirin: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Rəqəmsal bir ox çəkirik, üzərinə çıxan dəyərləri rəngləyirik.
Dəyərin altında bir dairə çəkin. Dairə iki növdür - dolu və boş. Doldurulmuş dairə bu dəyərin həllər diapazonuna daxil olduğunu bildirir. Boş dairə bu dəyərin həllər diapazonuna daxil olmadığını göstərir.
Məxrəc sıfır ola bilmədiyi üçün 2-nin altında boş dairə olacaq.

İşarələri müəyyən etmək üçün tənlikdə ikidən çox istənilən rəqəmi əvəz edirik, məsələn 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. dəyər mənfidir, ona görə də ikilikdən sonra sahəyə mənfi yazırıq. Sonra x əvəzinə 5/3-dən 2-yə qədər intervalın istənilən qiymətini əvəz edirik, məsələn 1. Qiymət yenə mənfidir. Mənfi yazırıq. Eyni şeyi 5/3-ə qədər sahə ilə təkrar edirik. 5/3-dən kiçik istənilən ədədi əvəz edirik, məsələn 1. Yenə mənfi.

İfadənin 0-dan böyük və ya bərabər olacağı x dəyərləri ilə maraqlandığımızdan və belə dəyərlər olmadığından (hər yerdə mənfi cəhətlər), bu bərabərsizliyin həlli yoxdur, yəni x = Ø (boş çoxluq).

Cavab: x = Ø

Məqalədə biz göstərəcəyik kəsrləri necə həll etmək olar sadə aydın nümunələrlə. Gəlin kəsrin nə olduğunu anlayaq və nəzərdən keçirək fraksiyaların həlli!

anlayış fraksiyalar orta məktəbin 6-cı sinfindən başlayaraq riyaziyyat kursuna daxil edilir.

Kəsrlər belə görünür: ±X / Y, burada Y məxrəcdir, bütövün neçə hissəyə bölündüyünü, X isə paylayıcıdır, neçə belə hissənin alındığını bildirir. Aydınlıq üçün tort ilə bir nümunə götürək:

Birinci halda, tort bərabər şəkildə kəsildi və yarısı götürüldü, yəni. 1/2. İkinci halda, tort 7 hissəyə kəsildi, onlardan 4 hissə alındı, yəni. 4/7.

Bir ədədi digərinə bölmək hissəsi tam ədəd deyilsə, kəsr kimi yazılır.

Məsələn, 4:2 \u003d 2 ifadəsi tam ədəd verir, lakin 4:7 tam bölünmür, ona görə də bu ifadə 4/7 kəsr kimi yazılır.

Başqa sözlə kəsir iki ədədin və ya ifadənin bölünməsini bildirən və kəsik işarəsi ilə yazılan ifadədir.

Əgər pay məxrəcdən kiçikdirsə, kəsr düzgündür, əksinədirsə, səhvdir. Kəsirin tərkibində tam ədəd ola bilər.

Məsələn, 5 tam 3/4.

Bu giriş o deməkdir ki, bütün 6-nı əldə etmək üçün dördün bir hissəsi kifayət deyil.

Xatırlamaq istəyirsənsə 6-cı sinif üçün kəsrləri necə həll etmək olar bunu başa düşmək lazımdır fraksiyaların həlliəsasən bir neçə sadə şeyi başa düşmək üçün gəlir.

Kəsr mahiyyətcə kəsr üçün ifadədir. Yəni verilmiş dəyərin bir tamdan hansı hissəyə aid olduğunun ədədi ifadəsi. Məsələn, 3/5 kəsri ifadə edir ki, əgər bütöv bir şeyi 5 hissəyə bölsək və bu tamın hissələrinin və ya hissələrinin sayı üçdür.
Kəsr 1-dən az ola bilər, məsələn 1/2 (və ya mahiyyətcə yarısı), onda düzgündür. Əgər kəsr 1-dən böyükdürsə, məsələn, 3/2 (üç yarım və ya bir yarım), o zaman səhvdir və həlli sadələşdirmək üçün 3/2= 1 tam 1 hissəsini seçmək daha yaxşıdır. /2.
Kəsrlər 1, 3, 10 və hətta 100 ilə eyni ədədlərdir, yalnız ədədlər tam deyil, kəsrdir. Onların köməyi ilə siz nömrələrlə eyni əməliyyatları yerinə yetirə bilərsiniz. Kəsrləri saymaq daha çətin deyil, daha da davam edir konkret misallar göstərəcəyik.

Kəsrləri necə həll etmək olar. Nümunələr.

Kəsrlərə müxtəlif arifmetik əməliyyatlar tətbiq olunur.

Kəsirin ortaq məxrəcə gətirilməsi

Məsələn, 3/4 və 4/5 kəsrlərini müqayisə etməlisiniz.

Problemi həll etmək üçün əvvəlcə ən aşağı ortaq məxrəci tapırıq, yəni. ən kiçik ədəd kəsrlərin məxrəclərinin hər birinə qalıqsız bölünən

Ən kiçik ortaq məxrəc(4.5) = 20

Sonra hər iki kəsrin məxrəci ən aşağı ortaq məxrəcə endirilir

Cavab: 15/20

Kəsrlərin toplanması və çıxılması

Əgər iki fraksiyanın cəmini hesablamaq lazımdırsa, onlar əvvəlcə ortaq məxrəcə gətirilir, sonra paylar əlavə edilir, məxrəc isə dəyişməz qalır. Kəsrlərin fərqinə oxşar şəkildə baxılır, yeganə fərq sayların çıxılmasıdır.

Məsələn, 1/2 və 1/3 kəsrlərin cəmini tapmaq lazımdır

İndi 1/2 və 1/4 kəsrləri arasındakı fərqi tapın

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Burada fraksiyaların həlli sadədir, burada hər şey olduqca sadədir:

Vurma - kəsrlərin sayları və məxrəcləri öz aralarında vurulur;
Bölmə - əvvəlcə bir kəsr alırıq, ikinci fraksiyanın əksi, yəni. onun payını və məxrəcini dəyişdirin, bundan sonra yaranan kəsrləri çoxaldırıq.

Misal üçün:

Bu barədə kəsrləri necə həll etmək olar, hamısı. Haqqında hər hansı bir sualınız varsa kəsrlərin həlli, bir şey aydın deyil, o zaman şərhlərdə yazın və sizə cavab verəcəyik.

Əgər müəllimsinizsə, təqdimatı yükləmək mümkündür orta məktəb(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) faydalı olacaq.

Dərsin məzmunu

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .

Cavab çıxdı yox düzgün fraksiya. Tapşırığın sonu gəlirsə, o zaman düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:

İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli, məxrəci isə dəyişməz qoymalısınız;

Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.

Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər iki fraksiyanın məxrəclərinin birincisi (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci əlavə əmsal alınır. Onlar ikinci fraksiya ilə eyni şeyi edirlər - LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə amili onun üstünə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə də ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:

İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Beləliklə, nümunə bitir. Əlavə etmək üçün belə çıxır.

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).

Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz orada tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.

Qeyd edək ki, biz bu nümunəni çox təfərrüatlı şəkildə çəkmişik. AT təhsil müəssisələri belə təfərrüatlı şəkildə yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:

Amma sikkənin digər tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıdakı təlimatlardan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın

Hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir

Addım 2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmidir, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölün, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölürük, 4-ü alırıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

Addım 3. Kəsrin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun

Biz əlavə amillərlə say və məxrəcləri vururuq:

Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:

Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və əvvəlində bərabər işarəsi (=) qoymaq lazımdır. yeni xətt. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçin

Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:

Cavab aldım

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması

Kəsirin çıxmasının iki növü var:

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Əvvəlcə eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə dəyişməz qoymaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2İfadənin qiymətini tapın.

Yenə də birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci dəyişməz qoyun:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Amma kəsrdən kəsri çıxmaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc fərqli məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın:

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi fraksiyalara qayıdın və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmidir, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üçqat yazın:

İndi hamımız çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Cavab aldım

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrlərin və ortaq məxrəcə qədər azaldılması da bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə 6 əmsalı alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu asanlaşdırmalıyıq. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz.

Kəsiri azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini (gcd) 20 və 30 rəqəmlərinə bölmək lazımdır.

Beləliklə, 20 və 30 rəqəmlərinin GCD-ni tapırıq:

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini tapılan GCD-yə, yəni 10-a bölürük.

Cavab aldım

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmalı və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsrin payını 4-ə vurun

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.

Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Kəsrlərin vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldım. azaldılması arzu edilir verilmiş kəsr. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini ən böyüyə bölmək lazımdır ortaq bölən(gcd) 105 və 450 nömrələri.

Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:

İndi tapdığımız GCD-yə cavabımızın payını və məxrəcini, yəni 15-ə bölürük.

Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan, beşlik mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir: