Kəsrləri tam ilə necə çoxaltmaq olar. Qarşılıqlı kəsrlərin və ədədlərin vurulması. Çoxalma necə işləyir?

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Bu əməliyyat toplama-çıxma əməliyyatından daha gözəldir! Çünki daha asandır. Xatırladıram: bir kəsri kəsrə vurmaq üçün sayları (bu nəticənin payı olacaq) və məxrəcləri (bu məxrəc olacaq) çoxaltmaq lazımdır. yəni:

Misal üçün:

Hər şey son dərəcə sadədir. Və xahiş edirəm ortaq məxrəc axtarmayın! Burda lazım deyil...

Kəsiri kəsrə bölmək üçün çevirmək lazımdır ikinci(bu vacibdir!) kəsr və onları çoxalt, yəni:

Misal üçün:

Tam və kəsrlərlə vurma və ya bölmə tutuldusa, eybi yoxdur. Əlavədə olduğu kimi, məxrəcdə vahid olan tam ədəddən kəsir düzəldirik - və gedin! Misal üçün:

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya hətta dörd mərtəbəli!) fraksiyalarla məşğul olmalısan. Misal üçün:

Bu fraksiyanı layiqli formaya necə gətirmək olar? Bəli, çox asan! İki nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Ancaq bölmə qaydasını unutma! Çoxalmadan fərqli olaraq, burada bu çox vacibdir! Təbii ki, 4:2 və ya 2:4-ü qarışdırmayacağıq. Ancaq üç mərtəbəli bir hissədə səhv etmək asandır. Qeyd edək ki, məsələn:

Birinci halda (solda ifadə):

İkincidə (sağdakı ifadə):

Fərqi hiss edirsiniz? 4 və 1/9!

Bölünmə qaydası nədir? Və ya mötərizələr və ya (burada olduğu kimi) üfüqi tirelərin uzunluğu. Göz inkişaf etdirin. Mötərizələr və tire yoxdursa, məsələn:

sonra bölmək-çoxalmaq sıra ilə, soldan sağa!

Və başqa bir çox sadə və vacib hiylə. Dərəcələri olan hərəkətlərdə bu sizin üçün faydalı olacaq! Vahidi istənilən kəsrə, məsələn, 13/15-ə bölmək:

Atış çevrildi! Və həmişə olur. 1-i hər hansı kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olur, yalnız tərs olur.

Fraksiyalarla edilən bütün hərəkətlər budur. İş olduqca sadədir, lakin kifayət qədər səhvlər verir. Praktik məsləhətlərə diqqət yetirin və onlardan (səhvlər) daha az olacaq!

Praktik məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir! Bunlar ümumi sözlər deyil, xoş arzular deyil! Bu ciddi ehtiyacdır! İmtahandakı bütün hesablamaları konsentrasiya və aydınlıqla tam hüquqlu bir tapşırıq kimi aparın. Bir qaralamada iki əlavə sətir yazmaq, başınızda hesablaşarkən qarışdırmaqdan daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli misallarda - adi kəsrlərə keçin.

3. Bütün fraksiyaları son nöqtəyə qədər azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini iki nöqtə vasitəsilə bölmədən istifadə edərək adi olanlara endiririk (bölmə ardıcıllığına əməl edirik!).

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Budur tamamlamalı olduğunuz tapşırıqlar. Bütün tapşırıqlardan sonra cavablar verilir. Bu mövzunun materiallarından və praktiki məsləhətlərdən istifadə edin. Neçə nümunəni düzgün həll edə biləcəyinizi təxmin edin. İlk dəfə! Kalkulyator olmadan! Və düzgün nəticə çıxarın...

Düzgün cavabı yadda saxla ikinci (xüsusilə üçüncü) vaxtdan əldə edilir - sayılmır! Ağır həyat belədir.

Belə ki, imtahan rejimində həll edin ! Yeri gəlmişkən, bu imtahana hazırlıqdır. Məsələni həll edirik, yoxlayırıq, aşağıdakıları həll edirik. Hər şeyə qərar verdik - birincidən sonuncuya qədər yenidən yoxladıq. Yalnız sonra cavablara baxın.

Hesablayın:

Siz qərar verdiniz?

Sizə uyğun cavablar axtarırsınız. Mən onları xüsusi bir qarışıqlıqda, şirnikləndiricilərdən uzaq, belə demək mümkünsə, yazdım ... Budur, cavablar nöqtəli vergüllə yazılmışdır.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Və indi nəticə çıxarırıq. Hər şey düzəldisə - sizin üçün xoşbəxtəm! Kəsrlərlə elementar hesablamalar sizin probleminiz deyil! Daha ciddi işlərlə məşğul ola bilərsiniz. Əgər olmasa...

Beləliklə, iki problemdən biri var. Və ya hər ikisi birdən.) Bilik çatışmazlığı və (və ya) diqqətsizlik. Amma bu həll oluna bilən Problemlər.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Keçən dəfə biz kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik ("Kəsrlərin toplanması və çıxılması" dərsinə baxın). Həmin hərəkətlərdə ən çətin məqam kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha asandır. Başlamaq üçün, fərqlənən tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirin.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Təyinat:

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmağa qədər azalır. Kəsri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə mütləq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən az ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq çoxaldılmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

Artı dəfə minus mənfi verir;
İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən xilas olmaq tələb olunduğu zaman rast gəlinirdi. Bir məhsul üçün eyni anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq vəziyyətdə, bir mənfi sağ qala bilər - uyğunluğu tapmayan;
Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Cüt tapmadığı üçün sonuncu mənfi xətt çəkilməyibsə, onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırlatmaq istərdim ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki misala aiddir).

Mənfi ədədlərə də diqqət yetirin: vurulduqda onlar mötərizədə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Vurma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və deməli, kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda, çarpanlar tamamilə azaldıldı. Bölmələr öz yerində qaldı, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Fraksiyaları azaltmaq üçün sadəcə başqa səbəb yoxdur, buna görə də əvvəlki problemin düzgün həlli belə görünür:

Düzgün həll:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

) və məxrəci məxrəcə görə (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsirin çoxaldılması düsturu:

Misal üçün:

Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
kəsrlərin saylarını və məxrəclərini vurmaq;
fraksiyanı azaldır;
düzgün olmayan kəsr alsaq, onda natamam kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmağın ikinci üsulundan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişmədən saxlamaq lazımdır.

Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri vurmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalara qarışmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli tapşırıqlarda - adi kəsrlərin növünə keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə gətiririk.

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Eramızdan əvvəl V əsrdə qədim yunan filosofu Eleyalı Zenon özünün məşhur aporiyalarını tərtib etmişdir ki, bunlardan ən məşhuru “Axilles və tısbağa” aporiyasıdır. Bu necə səslənir:

Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Axilles bu məsafəni qət etdiyi müddətdə tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünəcək və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyalarını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... hazırda müzakirələr davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməyib ... məsələnin öyrənilməsinə riyazi analiz, çoxluqlar nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar cəlb edilib. ; onların heç biri problemin hamı tərəfindən qəbul edilmiş həlli olmadı..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nə olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Zenon öz aporiyasında dəyərdən qiymətə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirmişdir. Bu keçid sabitlərin yerinə tətbiq etməyi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərinin tətbiqi üçün riyazi aparat ya hələ işlənib hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizin tətbiqi bizi tələyə salır. Biz, təfəkkür ətaləti ilə, qarşılıqlı zamanın sabit vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda zamanın tam dayandığı kimi görünür. Zaman dayansa, Axilles daha tısbağanı keçə bilməz.

Adət etdiyimiz məntiqi döndərsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, o zaman “Axilles sonsuz sürətlə tısbağanı keçəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı dəyərlərə keçməyin. Zenon dili ilə desək, belə görünür:

Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Növbəti vaxt intervalında birinciyə bərabər olan Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Lakin bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin keçilməzliyi ilə bağlı dediyi Zenonun “Axilles və tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Bu problemi hələ öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası da uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an dincəldiyi üçün həmişə sükunətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət faktını müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən müxtəlif vaxtlarda çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin məsafəni müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilməz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün eyni vaxtda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (təbii ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumatlar lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir). Xüsusilə qeyd etmək istədiyim odur ki, iki zaman nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtə iki fərqli şeydir, çünki kəşfiyyat üçün fərqli imkanlar təmin edirlər.

Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il

Çox yaxşı dəst və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada təsvir edilmişdir. baxırıq.

Gördüyünüz kimi, "çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir ki, burada ağıl "tamamilə" sözündən məhrumdur. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.

Bir vaxtlar körpünü inşa edən mühəndislər körpünün sınaqları zamanı körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.

Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla qırılmaz şəkildə bağlayan bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluq nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.

Riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq, indi də kassada oturub maaş veririk. Burada bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və masamıza eyni nominalda əskinaslar qoyduğumuz müxtəlif yığınlara qoyuruq. Sonra hər qalaqdan bir veksel götürüb riyaziyyatçıya onun “riyazi maaş dəstini” veririk. Biz riyaziyyatı izah edirik ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalıqları alacaq. Əyləncə burada başlayır.

İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “siz bunu başqalarına tətbiq edə bilərsiniz, mənə yox!”. Bundan əlavə, eyni nominallı əskinasların üzərində müxtəlif əskinas nömrələrinin olması ilə bağlı təminatlar başlayacaq ki, bu da onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşı sikkələrlə hesablayırıq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlayacaq: müxtəlif sikkələrin müxtəlif miqdarda çirkləri var, kristal quruluşu və hər bir sikkə üçün atomların düzülüşü unikaldır ...

İndi isə məndə ən maraqlı sual var: multisetin elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi sərhəd haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, burada elm yaxın deyil.

Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahəsi eynidir, yəni bizim multisetimiz var. Amma eyni stadionların adlarını nəzərə alsaq, adları fərqli olduğu üçün çox şey əldə edirik. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti eyni zamanda həm çoxluq, həm də multisetdir. Necə doğru? Və burada riyaziyyatçı-şaman-şuller qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.

Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" olmadan göstərəcəyəm.

Bazar günü, 18 mart 2018-ci il

Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, lakin onlar bunun üçün şamandırlar, öz nəslinə öz bacarıqlarını, hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.

Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapa biləcəyiniz düstur yoxdur. Axı rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: “İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın”. Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu elementar şəkildə edə bilərlər.

Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, tutaq ki, bizdə 12345 rəqəmi var. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.

1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi rəqəmin qrafik simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.

2. Alınan bir şəkli ayrı-ayrı nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.

3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.

4. Yaranan ədədləri toplayın. İndi bu riyaziyyatdır.

12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdiyi şamanlardan olan “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Deməli, müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt işarə kimi göstərilir. Çox sayda 12345 ilə başımı aldatmaq istəmirəm, məqalədəki 26 nömrəsini düşünün. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər bir addımı mikroskop altında nəzərdən keçirməyəcəyik, biz bunu artıq etmişik. Nəticəyə baxaq.

Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin edərkən tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəyinizlə eynidir.

Bütün say sistemlərində sıfır eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu faktın lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılara sual: ədəd olmayan riyaziyyatda necə işarələnir? Riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Şamanlar üçün buna icazə verə bilərəm, elm adamları üçün isə yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.

Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlərin ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz ədədləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Əgər eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər onları müqayisə etdikdən sonra fərqli nəticələrə gətirib çıxarırsa, bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.

Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi hərəkətin nəticəsinin rəqəmin dəyərindən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.

Qapıya yazın Qapını açıb deyir:

vay! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, göyə qalxarkən ruhların qeyri-müəyyən müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Nimbus yuxarıda və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?

Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.

Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün önündə belə bir dizayn sənətiniz varsa,

Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:

Şəxsən mən öz üzərimdə çalışıram ki, nəcis edən adamda mənfi dörd dərəcə görüm (bir şəkil) (bir neçə şəklin tərkibi: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Mən isə bu qızı fizika bilməyən axmaq hesab etmirəm. O, sadəcə olaraq qrafik təsvirlərin qavranılmasının qövs stereotipinə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.

1A "mənfi dörd dərəcə" və ya "bir a" deyil. Bu, onaltılıq say sistemində "pooping man" və ya "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.

Adi kəsrlərin vurulması

Məsələni nəzərdən keçirək.

Boşqabda almanın $\frac(1)(3)$ hissəsi olsun. Biz bunun $\frac(1)(2)$ hissəsini tapmalıyıq. Tələb olunan hissə $\frac(1)(3)$ və $\frac(1)(2)$ kəsrlərinin vurulmasının nəticəsidir. İki ümumi kəsrin vurulmasının nəticəsi ümumi kəsrdir.

İki ümumi fraksiyanın vurulması

Adi kəsrləri vurma qaydası:

Kəsirin kəsrlə vurulmasının nəticəsi, payı vurulan kəsrlərin saylarının hasilinə, məxrəci isə məxrəclərin hasilinə bərabər olan kəsirdir:

Misal 1

$\frac(3)(7)$ və $\frac(5)(11)$ adi fraksiyaları çoxaldın.

Qərar.

Adi kəsrlərin vurulması qaydasından istifadə edək:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Cavab:$\frac(15)(77)$

Əgər kəsrlərin vurulması nəticəsində ləğv edilə bilən və ya düzgün olmayan kəsr alınırsa, onu sadələşdirmək lazımdır.

Misal 2

$\frac(3)(8)$ və $\frac(1)(9)$ kəsrlərini çoxaldın.

Qərar.

Adi fraksiyaları çoxaltmaq üçün qaydadan istifadə edirik:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Nəticədə, azalan kəsr əldə etdik ($3$-a bölmə əsasında. Kesrin payını və məxrəcini $3$-a bölün, alırıq:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Qısa həll:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Cavab:$\frac(1)(24).$

Kəsrləri vurarkən, onların hasilini tapmaq üçün say və məxrəcləri azalda bilərsiniz. Bu zaman kəsrin payı və məxrəci sadə amillərə parçalanır, bundan sonra təkrarlanan amillər azaldılır və nəticə tapılır.

Misal 3

$\frac(6)(75)$ və $\frac(15)(24)$ kəsrlərinin hasilini hesablayın.

Qərar.

Adi fraksiyaları vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Aydındır ki, pay və məxrəcdə $2$, $3$ və $5$ rəqəmləri ilə cüt-cüt azaldıla bilən ədədlər var. Biz payı və məxrəci sadə amillərə parçalayırıq və azalmanı edirik:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Cavab:$\frac(1)(20).$

Kəsrləri vurarkən kommutativ qanun tətbiq oluna bilər:

Kəsirin natural ədədə vurulması

Adi kəsri natural ədədə vurma qaydası:

Kəsirin natural ədədə vurulmasının nəticəsi, kəsrin çarpılan kəsrin payının natural ədədlə hasilinə, məxrəc isə vurulan kəsrin məxrəcinə bərabər olduğu kəsrdir:

burada $\frac(a)(b)$ adi kəsr, $n$ natural ədəddir.

Misal 4

$\frac(3)(17)$ kəsrini $4$-a vurun.

Qərar.

Adi kəsri natural ədədə vurma qaydasından istifadə edək:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Cavab:$\frac(12)(17).$

Çoxalmanın nəticəsini bir kəsrin daralma qabiliyyətinə və ya düzgün olmayan bir fraksiyaya görə yoxlamağı unutmayın.

Misal 5

$\frac(7)(15)$ kəsrini $3$-a vurun.

Qərar.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ rəqəminə bölmə meyarı ilə nəticədə kəsrin azaldıla biləcəyini müəyyən etmək olar:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Nəticə düzgün olmayan fraksiyadır. Bütün hissəni götürək:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Qısa həll:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Hissədə və məxrəcdə olan ədədləri onların genişlənmələri ilə əsas amillərə çevirməklə kəsrləri azaltmaq da mümkün idi. Bu vəziyyətdə həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Cavab:$1\frac(2)(5).$

Kəsiri natural ədədə vurarkən kommutativ qanundan istifadə edə bilərsiniz: