Düyünlər və qovşaqlar necə bağlıdır? Evklid alqoritmi və əsas faktorizasiyadan istifadə edərək GCD-nin tapılması

İki və ya daha çox ədədin ən böyük ümumi bölənini necə tapmağı öyrənmək üçün təbii, sadə və mürəkkəb ədədlərin nə olduğunu başa düşməlisiniz.

Natural ədəd tam ədədləri saymaq üçün istifadə olunan istənilən ədəddir.

Əgər natural ədədi yalnız özünə və birə bölmək olarsa, o, sadə adlanır.

Bütün natural ədədləri özünə və birinə bölmək olar, lakin yeganə cüt sadə ədəd 2-dir, bütün digər sadə ədədləri ikiyə bölmək olar. Buna görə də yalnız tək ədədlər sadə ola bilər.

Həddindən artıq sadə ədədlər tam siyahı onlar mövcud deyil. GCD-ni tapmaq üçün belə nömrələri olan xüsusi cədvəllərdən istifadə etmək rahatdır.

Əksəriyyət natural ədədlər yalnız birinə, özlərinə deyil, digər ədədlərə də bölünə bilər. Beləliklə, məsələn, 15 rəqəmini 3 və 5-ə bölmək olar. Onların hamısına 15 rəqəminin bölənləri deyilir.

Beləliklə, hər hansı bir A-nın bölməsi onun qalıqsız bölünə biləcəyi ədəddir. Bir ədədin ikidən çox təbii bölənləri varsa, ona kompozit adlanır.

30 rəqəminin 1, 3, 5, 6, 15, 30 kimi bölənləri var.

15 və 30-un eyni bölənləri 1, 3, 5, 15 olduğunu görə bilərsiniz. Bu iki ədədin ən böyük ortaq bölməsi 15-dir.

Beləliklə, A və B ədədlərinin ümumi bölücü onları tamamilə bölmək olar. Maksimum maksimum hesab edilə bilər ümumi sayı hansılara bölmək olar.

Problemləri həll etmək üçün aşağıdakı qısaldılmış yazıdan istifadə olunur:

GCD (A; B).

Məsələn, GCD (15; 30) = 30.

Natural ədədin bütün bölənlərini yazmaq üçün qeyddən istifadə olunur:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

AT bu misal Natural ədədlərin yalnız bir ümumi böləni var. Müvafiq olaraq, onlara coprime deyilir, vahid onların ən böyük ümumi bölənidir.

Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini necə tapmaq olar

Bir neçə nömrənin GCD-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:

Hər natural ədədin bütün bölənlərini ayrı-ayrılıqda tapın, yəni onları amillərə (əsas ədədlərə) parçalayın;

Verilmiş nömrələr üçün eyni amilləri seçin;

Onları birlikdə çoxaldın.

Məsələn, 30 və 56-nın ən böyük ortaq bölənini hesablamaq üçün aşağıdakıları yazmalısınız:

ilə səhv salmamaq üçün şaquli sütunlardan istifadə edərək çarpanları yazmaq rahatdır. Xəttin sol tərəfində dividend, sağda isə bölücü yerləşdirmək lazımdır. Dividendin altında, nəticədə yaranan nisbəti göstərməlisiniz.

Beləliklə, sağ sütunda həll üçün lazım olan bütün amillər olacaq.

Rahatlıq üçün eyni bölücülərin (tapılan faktorların) altını çəkmək olar. Onlar yenidən yazılmalı və vurulmalı və ən böyük ortaq bölən yazılmalıdır.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapmaq həqiqətən də sadədir. Bir az məşq edərək, demək olar ki, avtomatik edə bilərsiniz.

Çoxlu bölənlər

Aşağıdakı məsələyə baxaq: 140 ədədinin bölənini tapın. Aydındır ki, 140 ədədinin bir deyil, bir neçə bölən var. Belə hallarda vəzifəsi olduğu deyilir bir dəstə həllər. Gəlin onların hamısını tapaq. Əvvəlcə bu rəqəmi parçalayaq əsas amillər:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

İndi bütün bölənləri asanlıqla yaza bilərik. Sadə bölücülərdən, yəni yuxarıdakı genişlənmədə mövcud olanlardan başlayaq:

Sonra baş bölənlərin cüt-cüt vurulması ilə əldə edilənləri yazırıq:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Sonra - üç sadə bölən olanlar:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Nəhayət, vahidi və parçalana bilən ədədi unutmayaq:

Bizim tapdığımız bütün bölənlər əmələ gəlir bir dəstə qıvrım mötərizələrdən istifadə edərək yazılan 140 rəqəminin bölənləri:

140 ədədinin bölənlər çoxluğu =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Qavranın rahatlığı üçün burada bölənləri yazdıq ( elementləri təyin edin) artan qaydada, lakin ümumiyyətlə desək, bu lazım deyil. Bundan əlavə, bir abreviatura təqdim edirik. "140 ədədinin bölənlər çoxluğu" yerinə "D (140)" yazacağıq. Beləliklə,

Eynilə, hər hansı digər natural ədəd üçün bölənlər çoxluğunu tapmaq olar. Məsələn, genişlənmədən

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

alırıq:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Bütün bölənlər çoxluğundan müvafiq olaraq 140 və 105 ədədləri üçün bərabər olan baş bölənlər çoxluğunu ayırmaq lazımdır:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Vurğulamaq lazımdır ki, 140 rəqəminin sadə amillərə parçalanması zamanı iki dəfə iki dəfə olur, PD(140) çoxluğunda isə yalnız birdir. PD(140) çoxluğu, mahiyyət etibarilə, məsələnin bütün cavablarıdır: “140 ədədinin əsas amilini tapın”. Aydındır ki, eyni cavab bir dəfədən artıq təkrarlanmamalıdır.

Fraksiyanın azalması. Ən Böyük Ümumi Bölən

Bir kəsr düşünün

Biz bilirik ki, bu kəsr həm payın (105), həm də məxrəcin (140) bölməsi olan bir ədədlə azaldıla bilər. D(105) və D(140) çoxluqlarına baxaq və onların ümumi elementlərini yazaq.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

D(105) və D(140) çoxluqlarının ümumi elementləri =

Son bərabərlik daha qısa yazıla bilər, yəni:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Burada "∩" ("deşik aşağı olan çanta") xüsusi işarəsi sadəcə olaraq aşağıdakılara uyğun yazılmış iki dəstdən işarə edir. müxtəlif tərəflər ondan yalnız ümumi elementləri seçməlisiniz. "D (105) ∩ D (140)" girişində " kəsişmə 105-dən Te və 140-dan Te dəstləri.

[Yol boyu qeyd edin ki, siz az qala rəqəmlərlə olduğu kimi çoxluqlarla müxtəlif ikili əməliyyatlar edə bilərsiniz. Digər ümumi ikili əməliyyatdır birlik, bu "∪" işarəsi ilə göstərilir ("deşik yuxarı olan çanta"). İki çoxluğun birləşməsinə hər iki çoxluğun bütün elementləri daxildir:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Beləliklə, kəsr olduğunu öyrəndik

çoxluğa aid olan hər hansı ədədə endirilə bilər

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

və heç bir başqa natural ədədlə azaldıla bilməz. Hamısı budur mümkün yollar endirimlər (maraqsız bir azalma istisna olmaqla):

Aydındır ki, kəsri bir sıra, mümkünsə, daha böyük bir rəqəmlə azaltmaq ən praktikdir. Bu vəziyyətdə, olduğu deyilən 35 rəqəmidir ən böyük ortaq bölən (GCD) rəqəmləri 105 və 140. Bu kimi yazılır

gcd(105, 140) = 35.

Bununla belə, praktikada bizə iki ədəd verilmişdirsə və onların ən böyük ortaq bölənini tapmaq lazımdırsa, ümumiyyətlə, heç bir çoxluq qurmaq məcburiyyətində deyilik. Sadəcə olaraq hər iki rəqəmi əsas amillərə ayırmaq və bu amillərin hər iki faktorizasiya üçün ümumi olanlarını vurğulamaq kifayətdir, məsələn:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Altını çizilmiş nömrələri (genişlənmələrdən hər hansı birində) vuraraq, əldə edirik:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Əlbəttə ki, ikidən çox vurğulanan amilin olması mümkündür:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Buradan aydın olur ki

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ümumi faktorların ümumiyyətlə olmadığı və vurğulanacaq bir şeyin olmadığı vəziyyəti xüsusi qeyd etmək lazımdır, məsələn:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Bu halda,

gcd(42, 55) = 1.

gcd birə bərabər olan iki natural ədəd çağırılır coprime. Bu cür ədədlərdən kəsr etsəniz, məsələn,

onda belə bir kəsr olur azalmaz.

Ümumiyyətlə, kəsrlərin azaldılması qaydası aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Burada belə güman edilir a və b natural ədədlərdir və bütün kəsrlər müsbətdir. İndi bu bərabərliyin hər iki tərəfinə mənfi işarə qoysaq, mənfi kəsrlər üçün müvafiq qaydanı alırıq.

Kəsrlərin toplanması və çıxılması. Ən kiçik ümumi çoxluq

Tutaq ki, siz iki fraksiyanın cəmini hesablamaq istəyirsiniz:

Məxrəclərin əsas amillərə necə parçalandığını artıq bilirik:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Bu parçalanmadan dərhal belə nəticə çıxır ki, kəsrləri ortaq məxrəcə çatdırmaq üçün birinci kəsrin payını və məxrəcini 2 ∙ 2-yə (ikinci məxrəcin vurğulanmamış sadə amillərinin hasili) vurmaq kifayətdir və ikinci kəsrin payı və məxrəci 3 (“məhsul” birinci məxrəcin altı çəkilməmiş əsas əmsalları). Nəticədə hər iki kəsrin məxrəcləri aşağıdakı kimi göstərilə bilən ədədə bərabər olacaq:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Hər iki ilkin məxrəcin (həm 105, həm də 140) 420 rəqəminin bölənləri olduğunu və 420 rəqəminin də öz növbəsində hər iki məxrəcin qatlı olduğunu görmək asandır - və sadəcə çoxluq deyil, ən az ümumi çoxluq (NOC) rəqəmləri 105 və 140. Bu belə yazılır:

LCM(105, 140) = 420.

105 və 140 rəqəmlərinin genişlənməsinə daha yaxından baxdıqda bunu görürük

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Eynilə, ixtiyari natural ədədlər üçün b və d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

İndi fraksiyalarımızın cəmini tamamlayaq:

Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə bərabər bölünür.

misal üçün:

12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;

36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.

Ədədin bölündüyü ədədlər (12 üçün 1, 2, 3, 4, 6 və 12-dir) adlanır. ədəd bölənlər. Natural ədədin bölməsi a verilmiş ədədi bölən natural ədəddir a izsiz. İki amildən çox olan natural ədədə deyilir kompozit. Qeyd edək ki, 12 və 36 ədədlərinin ortaq bölənləri var. Bu ədədlərdir: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük bölməsi 12-dir.

Verilmiş iki ədədin ortaq bölməsi a və b verilmiş hər iki ədədin qalıqsız bölündüyü ədəddir a və b. Çoxsaylı Rəqəmlərin Ortaq Bölməsi (GCD) onların hər biri üçün bölən funksiyasını yerinə yetirən ədəddir.

Qısaca ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi a və b belə yazılır:

Misal: gcd (12; 36) = 12.

Həllin qeydində ədədlərin bölənləri işarə edir böyük hərf"D".

Misal:

gcd (7; 9) = 1

7 və 9 ədədlərinin yalnız bir ümumi bölücü var - rəqəm 1. Belə nömrələr adlanır coprimechi slam.

Müqayisəli ədədlər yalnız bir ümumi böləni olan natural ədədlərdir - 1 ədədi. Onların gcd-si 1-dir.

Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD), xassələri.

• Əsas xüsusiyyət: ən böyük ümumi bölən m və n bu ədədlərin istənilən ortaq böləninə bölünür. Misal: 12 və 18 ədədləri üçün ən böyük ortaq bölən 6-dır; bu ədədlərin bütün ümumi bölənlərinə bölünür: 1, 2, 3, 6.
• Nəticə 1: ümumi bölənlər çoxluğu m və n gcd bölənlər çoxluğu ilə üst-üstə düşür ( m, n).
• Nəticə 2: ümumi qatlar toplusu m və nçoxlu LCM dəsti ilə üst-üstə düşür ( m, n).

Bu o deməkdir ki, xüsusən də kəsri azalmayan formaya endirmək üçün onun payını və məxrəcini gcd-yə bölmək lazımdır.

• Ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi m və n bütün xətti birləşmələrinin çoxluğunun ən kiçik müsbət elementi kimi müəyyən edilə bilər:

və buna görə də ədədlərin xətti kombinasiyası kimi təmsil olunur m və n:

Bu nisbət deyilir Bezout nisbəti, və əmsallar u və v — bezout əmsalları. Bezout əmsalları genişləndirilmiş Evklid alqoritmi ilə səmərəli şəkildə hesablanır. Bu ifadə natural ədədlər çoxluqları üçün ümumiləşdirilmişdir - onun mənası odur ki, çoxluq tərəfindən yaradılan qrupun alt qrupu dövridir və bir element tərəfindən yaradılır: gcd ( a 1 , a 2 , … , a n).

Ən böyük ortaq bölənin (gcd) hesablanması.

İki ədədin gcd-ni hesablamaq üçün effektiv yollar Evklid alqoritmi və ikilialqoritm. Bundan əlavə, GCD dəyəri ( m,n) ədədlərin kanonik genişlənməsi məlum olduqda asanlıqla hesablana bilər m və nəsas amillər üçün:

burada fərqli sadə ədədlər və və qeyri-mənfi tam ədədlərdir (müvafiq sadə genişlənmədə deyilsə, onlar sıfır ola bilər). Sonra gcd ( m,n) və LCM ( m,n) düsturlarla ifadə olunur:

Əgər iki ədəddən çox olarsa: , onların GCD-si aşağıdakı alqoritmə uyğun olaraq tapılır:

- bu arzu olunan GCD-dir.

Həm də tapmaq üçün ən böyük ortaq bölən, verilmiş ədədlərin hər birini sadə amillərə ayıra bilərsiniz. Sonra yalnız bütün verilmiş nömrələrə daxil olan amilləri ayrıca yazın. Sonra öz aralarında yazılmış ədədləri çoxaldırıq - vurmanın nəticəsi ən böyük ümumi böləndir .

Ən böyük ortaq bölənin hesablanmasını addım-addım təhlil edək:

1. Ədədlərin bölənlərini sadə amillərə ayırın:

Hesablamalar şaquli çubuqdan istifadə etməklə rahat şəkildə yazılır. Xəttin solunda əvvəlcə divident, sağda isə bölücü yazın. Daha sonra sol sütunda özəl dəyərləri yazırıq. Dərhal bir nümunə ilə izah edək. Gəlin 28 və 64 rəqəmlərini sadə amillərə ayıraq.

2. Hər iki ədəddə eyni sadə amillərin altını çəkirik:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Eyni sadə amillərin hasilini tapırıq və cavabını yazırıq:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Cavab: GCD (28; 64) = 4

GCD-nin yerini iki şəkildə təşkil edə bilərsiniz: bir sütunda (yuxarıda edildiyi kimi) və ya "sətirdə".

GCD yazmağın ilk yolu:

GCD 48 və 36-nı tapın.

GCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

GCD yazmağın ikinci yolu:

İndi GCD axtarış həllini sətirdə yazaq. GCD 10 və 15-i tapın.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Bu məqalə ən böyük ümumi böləni tapmaq kimi bir suala həsr edilmişdir. Əvvəlcə bunun nə olduğunu izah edəcəyik və bəzi nümunələr verəcəyik, 2, 3 və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq böləninin təriflərini təqdim edəcəyik, bundan sonra ümumi xassələri üzərində dayanacağıq. bu konsepsiya və onları sübut edin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ümumi bölənlər nədir

Ən böyük ortaq bölənin nə olduğunu başa düşmək üçün əvvəlcə tam ədədlər üçün ümumi bölənin nə olduğunu formalaşdırırıq.

Verilənlər və bölənlər haqqında məqalədə dedik ki, tam ədədin həmişə çoxlu bölənləri olur. Burada bizi bir anda müəyyən sayda tam ədədlərin, xüsusən də hamı üçün ümumi (eyni) bölənlər maraqlandırır. Əsas tərifi yazaq.

Tərif 1

Bir neçə tam ədədin ortaq bölməsi müəyyən edilmiş çoxluqdan hər bir ədədin bölməsi ola bilən ədəd olacaqdır.

Misal 1

Belə bölücüyə misallar: 9 = 3 · 3 və − 12 = 3 · (− 4) bərabərlikləri doğru olduğu üçün üçlük 12 və 9 ədədləri üçün ümumi bölən olacaq. 3 və - 12 rəqəmlərinin 1, - 1 və - 3 kimi digər ümumi bölənləri də var. Başqa bir misal götürək. Dörd tam ədəd 3 , − 11 , − 8 və 19 iki ümumi bölən olacaq: 1 və - 1 .

Bölünmənin xassələrini bilməklə deyə bilərik ki, istənilən tam ədədi birinə və mənfi birə bölmək olar, bu isə o deməkdir ki, istənilən tam ədədlər çoxluğunda artıq ən azı iki ümumi bölən olacaq.

Onu da qeyd edək ki, əgər bir neçə ədəd üçün ümumi bölən b varsa, o zaman eyni ədədləri aşağıdakılara bölmək olar. əks nömrə, yəni on - b . Prinsipcə, biz yalnız müsbət bölənlər götürə bilərik, onda bütün ümumi bölənlər də 0-dan böyük olacaqdır. Bu yanaşma da istifadə edilə bilər, lakin tamamilə nəzərə alınmır mənfi ədədlər bunu etmə.

Ən böyük ortaq bölən nədir (gcd)

Bölünmənin xassələrinə görə, əgər b 0-a bərabər olmayan a tamının bölənidirsə, b-nin modulu a-nın modulundan böyük ola bilməz, deməli, 0-a bərabər olmayan istənilən ədədin sonlu sayda bölənləri var. . Bu o deməkdir ki, ən azı biri sıfırdan fərqli olan bir neçə tam ədədin ümumi bölənlərinin sayı da sonlu olacaq və onların bütün dəstindən biz həmişə ən çoxunu seçə bilərik. böyük rəqəm(Daha əvvəl biz ən böyük və ən kiçik tam ədəd anlayışı haqqında danışdıq, bu materialı təkrar etməyi məsləhət görürük).

Sonrakı mülahizələrdə, ən böyük ortaq bölən tapmaq üçün lazım olan ədədlər dəstindən ən azı birinin 0-dan fərqli olacağını güman edəcəyik. Əgər onların hamısı 0-a bərabərdirsə, onda onların bölənləri istənilən tam ədəd ola bilər və onların sonsuz çoxu olduğuna görə ən böyüyünü seçə bilmərik. Başqa sözlə, 0-a bərabər olan ədədlər çoxluğu üçün ən böyük ortaq bölən tapmaq mümkün deyil.

Əsas tərifin tərtibinə keçirik.

Tərif 2

Çoxsaylı ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi bütün bu ədədləri bölən ən böyük tam ədəddir.

Yazıda ən böyük ümumi bölən ən çox GCD abbreviaturası ilə işarələnir. İki ədəd üçün gcd (a, b) kimi yazıla bilər.

Misal 2

İki tam ədəd üçün GCD nümunəsi nədir? Məsələn, 6 və - 15 üçün 3 olardı. Gəlin bunu əsaslandıraq. Əvvəlcə altının bütün bölənlərini yazırıq: ± 6, ± 3, ± 1, sonra isə on beşin bütün bölənləri: ± 15, ± 5, ± 3 və ± 1. Bundan sonra ümumi olanları seçirik: bunlar − 3 , − 1 , 1 və 3 . Bunlardan ən böyük rəqəmi seçmək lazımdır. Bu 3 olacaq.

Üç və ya daha çox ədəd üçün ən böyük ümumi bölənin tərifi təxminən eyni olacaq.

Tərif 3

Üç və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq bölməsi bütün bu ədədləri eyni anda bölən ən böyük tam ədəddir.

a 1 , a 2 , … , a n ədədləri üçün bölən rahat şəkildə GCD kimi işarələnir (a 1 , a 2 , … , a n ). Bölən dəyərinin özü GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b kimi yazılır.

Misal 3

Burada bir neçə tam ədədin ən böyük ortaq böləninə dair nümunələr verilmişdir: 12 , - 8 , 52 , 16 . Bu dördə bərabər olacaq, yəni gcd (12, - 8, 52, 16) = 4 olduğunu yaza bilərik.

Bu ədədlərin bütün bölənlərini yazaraq və sonra onlardan ən böyüyünü seçməklə bu ifadənin düzgünlüyünü yoxlaya bilərsiniz.

Təcrübədə ən böyük ortaq bölənin ədədlərdən birinə bərabər olduğu hallar tez-tez olur. Bu, bütün digər nömrələri verilmiş bir ədədə bölmək mümkün olduqda baş verir (məqalənin birinci bəndində bu ifadənin sübutunu verdik).

Misal 4

Deməli, 60, 15 və - 45 ədədlərinin ən böyük ortaq bölməsi 15-dir, çünki on beş yalnız 60 və - 45-ə deyil, həm də özünə bölünür və bütün bu ədədlər üçün daha böyük bölən yoxdur.

Kobud ədədlər xüsusi bir haldır. Onlar ən böyük ortaq bölən 1 olan tam ədədlərdir.

GCD və Evklid alqoritminin əsas xassələri

Ən böyük ortaq bölən bəzi xarakterik xüsusiyyətlərə malikdir. Onları teoremlər şəklində tərtib edirik və hər birini sübut edirik.

Qeyd edək ki, bu xassələr sıfırdan böyük tam ədədlər üçün tərtib edilir və biz yalnız müsbət bölənləri hesab edirik.

Tərif 4

a və b ədədləri b və a üçün gcd-ə bərabər ən böyük ümumi bölücüyə malikdir, yəni gcd (a , b) = gcd (b , a) . Rəqəmlərin yerlərinin dəyişdirilməsi yekun nəticəyə təsir göstərmir.

Bu xüsusiyyət GCD-nin tərifindən irəli gəlir və sübuta ehtiyac yoxdur.

Tərif 5

Əgər a ədədini b ədədinə bölmək olarsa, onda bu iki ədədin ümumi bölənlər çoxluğu b ədədinin bölənlər çoxluğuna bənzəyəcək, yəni gcd (a, b) = b.

Gəlin bu ifadəni sübut edək.

Sübut 1

Əgər a və b ədədlərinin ortaq bölənləri varsa, onda onlardan hər hansı birini onlara bölmək olar. Eyni zamanda, əgər a b-nin qatıdırsa, o zaman b-nin hər hansı bölanı da a-nın bölməsi olacaq, çünki bölünmənin keçid qabiliyyəti var. Beləliklə, hər hansı b bölən a və b ədədləri üçün ortaq olacaqdır. Bu sübut edir ki, a-nı b-yə bölmək olarsa, onda hər iki ədədin bütün bölənləri çoxluğu bir ədədin b bölənləri çoxluğu ilə üst-üstə düşür. Və hər hansı bir ədədin ən böyük bölməsi ədədin özü olduğundan, a və b ədədlərinin ən böyük ortaq bölməsi də b-yə bərabər olacaqdır, yəni. gcd(a, b) = b. Əgər a = b , onda gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b, məsələn, gcd (132 , 132) = 132 .

Bu xassədən istifadə edərək, əgər onlardan biri digərinə bölünə bilərsə, iki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapa bilərik. Belə bölən, ikinci ədədin bölünə biləcəyi bu iki ədəddən birinə bərabərdir. Məsələn, gcd (8, 24) = 8, çünki 24 səkkizin qatıdır.

Tərif 6 Sübut 2

Gəlin bu mülkü sübut etməyə çalışaq. Başlanğıcda a = b q + c bərabərliyinə sahibik və a və b-nin hər hansı ortaq böləni c-ni də böləcək ki, bu da müvafiq bölünmə xassəsi ilə izah olunur. Buna görə də, b və c-nin hər hansı bir ortaq bölməsi a-nı böləcəkdir. Bu o deməkdir ki, a və b ümumi bölənlər çoxluğu onların ən böyüyü də daxil olmaqla b və c bölənlər çoxluğu ilə üst-üstə düşəcək, bu o deməkdir ki, gcd (a, b) = gcd (b, c) bərabərliyi doğrudur.

Tərif 7

Aşağıdakı xassə Evklid alqoritmi adlanır. Onunla siz iki ədədin ən böyük ortaq bölənini hesablaya, həmçinin GCD-nin digər xassələrini sübut edə bilərsiniz.

Xassəni tərtib etməzdən əvvəl qalığa bölmə haqqında məqalədə sübut etdiyimiz teoremi təkrar etməyi məsləhət görürük. Buna əsasən a bölünən ədədi b q + r kimi ifadə etmək olar və burada b böləndir, q bəzi tam ədəddir (ona natamam hissə də deyilir), r isə 0 ≤ r ≤ şərtini ödəyən qalıqdır. b.

Tutaq ki, 0-dan böyük iki tam ədədimiz var, onlar üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Bu bərabərliklər r k + 1 0-a bərabər olduqda bitir. Bu, mütləq baş verəcək, çünki b > r 1 > r 2 > r 3 , … ardıcıllığı azalan tam ədədlər silsiləsi olduğundan, onlara yalnız sonlu sayda daxil ola bilər. Deməli, r k a və b -nin ən böyük ortaq bölənidir, yəni r k = gcd (a , b) .

İlk öncə sübut etməliyik ki, r k a və b ədədlərinin ortaq bölənidir, ondan sonra isə r k verilmiş iki ədədin sadəcə bölən deyil, ən böyük ortaq bölənidir.

Yuxarıdakı bərabərliklərin siyahısına aşağıdan yuxarıya baxaq. Son bərabərliyə görə,
r k − 1-i r k-ə bölmək olar. Bu fakta, eləcə də ən böyük ortaq bölənin əvvəlki sübut edilmiş xassəsinə əsaslanaraq, iddia etmək olar ki, r k − 2-ni r k ilə bölmək olar, çünki
r k − 1 r k-ə, r k isə r k-ə bölünür.

Aşağıdan üçüncü bərabərlik belə nəticəyə gəlməyə imkan verir ki, r k − 3-ü r k-ə bölmək olar və s. Aşağıdan ikincisi b-nin r k-ə bölünməsi, birincisi isə a-nın r k-ə bölünməsidir. Bütün bunlardan belə nəticəyə gəlirik ki, r k a və b-nin ortaq bölənidir.

İndi sübut edək ki, r k = gcd (a , b) . Mən nə etməliyəm? Göstərin ki, a və b-nin hər hansı ortaq bölənləri r k-ni böləcək. r 0 ilə işarə edək.

Gəlin bərabərliklərin eyni siyahısına baxaq, lakin yuxarıdan aşağıya doğru. Əvvəlki xassə əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, r 1 r 0-a bölünür, yəni ikinci bərabərliyə görə r 2 r 0-a bölünür. Bütün bərabərliklərdən keçirik və sonuncudan belə nəticəyə gəlirik ki, r k r 0-a bölünür. Buna görə də r k = gcd (a , b) .

Bu xassəni nəzərdən keçirərək belə nəticəyə gəlirik ki, a və b-nin ümumi bölənlər çoxluğu bu ədədlərin gcd-nin bölənlər çoxluğuna bənzəyir. Evklid alqoritminin nəticəsi olan bu ifadə bizə verilmiş iki ədədin bütün ortaq bölənlərini hesablamağa imkan verəcək.

Gəlin digər mülklərə keçək.

Tərif 8

Əgər a və b 0-a bərabər olmayan tam ədədlərdirsə, onda gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0 bərabərliyinin etibarlı olacağı u 0 və v 0 başqa iki tam ədəd olmalıdır.

Mülkiyyət ifadəsində verilən bərabərlik a və b-nin ən böyük ortaq böləninin xətti təsviridir. O, Bezout nisbəti, u 0 və v 0 ədədləri isə Bezout əmsalları adlanır.

Sübut 3

Gəlin bu mülkü sübut edək. Evklid alqoritminə uyğun olaraq bərabərliklərin ardıcıllığını yazırıq:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Birinci bərabərlik bizə deyir ki, r 1 = a - b · q 1 . 1 = s 1 və − q 1 = t 1 işarələyin və bu bərabərliyi r 1 = s 1 · a + t 1 · b kimi yenidən yazın. Burada s 1 və t 1 ədədləri tam ədədlər olacaqdır. İkinci bərabərlik belə nəticəyə gəlməyə imkan verir ki, r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . − s 1 q 2 = s 2 və 1 − t 1 q 2 = t 2-ni işarələyin və bərabərliyi r 2 = s 2 a + t 2 b kimi yenidən yazın, burada s 2 və t 2 də tam ədədlər olacaqdır. Çünki tam ədədlərin cəmi, hasili və fərqi də tam ədəddir. Tam eyni şəkildə üçüncü bərabərlikdən r 3 = s 3 · a + t 3 · b , aşağıdakılardan r 4 = s 4 · a + t 4 · b və s. Nəhayət, belə nəticəyə gəlirik ki, s k və t k tam ədədləri üçün r k = s k a + t k b. r k \u003d GCD (a, b) olduğundan, biz s k \u003d u 0 və t k \u003d v 0-ı qeyd edirik. Nəticədə, GCD-nin lazımi formada xətti təsvirini əldə edə bilərik: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.

Tərif 9

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) istənilən təbii qiymət m üçün.

Sübut 4

Bu əmlakı aşağıdakı kimi əsaslandırmaq olar. Evklid alqoritmində hər bir bərabərliyin hər iki tərəfini m sayına vuraraq, alırıq ki, gcd (m a , m b) = m r k , r k isə gcd (a , b) . Deməli, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Faktorlara ayırma üsulu ilə GCD taparkən istifadə olunan ən böyük ümumi bölənin bu xüsusiyyətidir.

Tərif 10

Əgər a və b ədədlərinin ümumi bölücü p varsa, onda gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b) : p . p = gcd (a , b) olduqda gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1 alırıq, buna görə də a: gcd (a , b) və b ədədləri : gcd (a , b) ümumidir.

a = p (a: p) və b = p (b: p) olduğundan, əvvəlki xassə əsaslanaraq, gcd (a , b) = gcd (p (a: p) ) şəklində bərabərliklər yarada bilərik. p (b: p)) = p GCD (a: p, b: p) , bunların arasında sübut olacaq əmlak verilmişdir. Biz verdiyimiz zaman bu iddiadan istifadə edirik adi fraksiyalar azalmaz formaya keçir.

Tərif 11

Ən böyük ortaq bölən a 1 , a 2 , … , a k, gcd (a 1, a 2) = d 2 , gcd (d 2, a 3) = d 3-ü ardıcıl olaraq hesablamaqla tapıla bilən d k ədədi olacaq. gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Bu xüsusiyyət üç və ya daha çox ədədin ən böyük ümumi bölənini tapmaq üçün faydalıdır. Bununla siz bu hərəkəti iki rəqəmlə əməliyyatlara endirə bilərsiniz. Onun əsası Evklid alqoritminin nəticəsidir: a 1 , a 2 və a 3 ümumi bölənlər çoxluğu d 2 və a 3 çoxluğu ilə üst-üstə düşürsə, o da d 3 bölənləri ilə üst-üstə düşür. a 1 , a 2 , a 3 və a 4 ədədlərinin bölənləri d 3 -ün bölənlərinə uyğun olacaq, yəni onlar da d 4-ün bölənlərinə uyğun olacaq və s. Sonda alırıq ki, a 1 , a 2 , … , a k ədədlərinin ortaq bölənləri d k-nin bölənləri ilə üst-üstə düşəcək, çünki ən böyük bölən d k rəqəmi bu ədədin özü olacaq, onda gcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Ən böyük ortaq bölənin xüsusiyyətləri haqqında danışmaq istədiyimiz budur.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu məqalə haqqındadır ən böyük ortaq bölənin tapılması (gcd) iki və daha çox nömrələri. Əvvəlcə Evklid alqoritmini nəzərdən keçirək, o, iki ədədin GCD-ni tapmağa imkan verir. Bundan sonra biz ədədlərin GCD-ni onların ümumi əsas amillərinin məhsulu kimi hesablamağa imkan verən üsul üzərində dayanacağıq. Sonra, üç və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaqla məşğul olacağıq, həmçinin mənfi ədədlərin GCD-nin hesablanmasına dair nümunələr verəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

GCD tapmaq üçün Evklidin alqoritmi

Qeyd edək ki, lap əvvəldən sadə ədədlər cədvəlinə müraciət etsəydik, 661 və 113 ədədlərinin sadə olduğunu öyrənərdik və onlardan dərhal onların ən böyük ortaq böləninin 1 olduğunu deyə bilərdik.

Cavab:

gcd(661, 113)=1 .

Nömrələri əsas faktorlara ayırmaqla GCD-nin tapılması

GCD-ni tapmağın başqa yolunu nəzərdən keçirin. Ən böyük ortaq bölən ədədləri sadə amillərə ayırmaqla tapıla bilər. Qaydanı formalaşdıraq: İki tam ədədin GCD-si müsbət ədədlər a və b, a və b ədədlərinin sadə amillərə genişlənməsində bütün ümumi sadə amillərin hasilinə bərabərdir..

GCD-nin tapılması qaydasını izah etmək üçün bir nümunə verək. 220 və 600 ədədlərinin sadə amilə çevrilmələrini bizə bildirin, onlar 220=2 2 5 11 və 600=2 2 2 3 5 5 formasına malikdir. 220 və 600 ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən ümumi əsas amillər 2, 2 və 5-dir. Buna görə də gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Beləliklə, a və b ədədlərini sadə amillərə bölsək və onların bütün ümumi amillərinin hasilini tapsaq, bu, a və b ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapacaq.

Elan edilmiş qaydaya uyğun olaraq GCD-nin tapılması nümunəsini nəzərdən keçirin.

Misal.

72 və 96-nın ən böyük ortaq bölənini tapın.

Qərar.

72 və 96 ədədlərini çarpazlara ayıraq:

Yəni 72=2 2 2 3 3 və 96=2 2 2 2 2 3 . Ümumi əsas amillər 2, 2, 2 və 3-dür. Beləliklə, gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Cavab:

gcd(72, 96)=24 .

Bu bölmənin sonunda qeyd edirik ki, gcd-nin tapılması üçün yuxarıda göstərilən qaydanın etibarlılığı ən böyük ortaq bölənin xüsusiyyətindən irəli gəlir. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), burada m istənilən müsbət tam ədəddir.

Üç və ya daha çox rəqəmin GCD tapılması

Üç və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq ardıcıl olaraq iki ədədin gcd-sini tapmaq üçün azaldıla bilər. GCD-nin xüsusiyyətlərini öyrənərkən bunu qeyd etdik. Orada biz teoremi tərtib etdik və sübut etdik: a 1 , a 2 , …, a k ədədlərinin ən böyük ortaq bölanı. ədədinə bərabərdir 1-ci ardıcıl hesablamada tapılan d k , a k)=d k.

Nümunənin həllini nəzərdən keçirərək bir neçə ədədin GCD-nin tapılması prosesinin necə göründüyünə baxaq.

Misal.

78, 294, 570 və 36 rəqəmlərinin ən böyük ortaq bölənini tapın.

Qərar.

Bu misalda a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Əvvəlcə Evklid alqoritmindən istifadə edərək ilk iki ədəd 78 və 294-ün ən böyük ümumi bölənini d 2 təyin edirik. Bölərkən 294=78 3+60 bərabərlikləri alırıq; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 və 18=6 3 . Beləliklə, d 2 =GCD(78, 294)=6 .

İndi hesablayaq d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Yenə də Evklid alqoritmini tətbiq edirik: 570=6·95 , buna görə də d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Hesablamaq qalır d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). 36 6-ya bölündüyü üçün d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Beləliklə, verilmiş dörd ədədin ən böyük ortaq bölanı d 4 =6 , yəni gcd(78, 294, 570, 36)=6-dır.

Cavab:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Ədədləri əsas amillərə ayırmaq da üç və ya daha çox ədədin GCD-ni hesablamağa imkan verir. Bu halda ən böyük ortaq bölən verilmiş ədədlərin bütün ümumi sadə amillərinin hasili kimi tapılır.

Misal.

Əvvəlki nümunədəki nömrələrin əsas faktorizasiyasından istifadə edərək GCD-ni hesablayın.

Qərar.

78 , 294 , 570 və 36 ədədlərini sadə amillərə ayırırıq, 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3 alırıq. Bütün verilmiş dörd ədədin ümumi sadə amilləri 2 və 3 ədədləridir. Beləliklə, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.