odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu a definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).
Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.
S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.
Sčítanie a odčítanie logaritmov.
Zoberme si dva logaritmy rovnaké dôvody: log x a prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.
Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda
log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.
Existuje teda rovnosť:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.
Týmto videom začínam dlhú sériu lekcií o logaritmických rovniciach. Teraz máte tri príklady naraz, na základe ktorých sa naučíme riešiť najviac jednoduché úlohy, ktoré sú tzv prvoky.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšia logaritmická rovnica je nasledujúca:
log a f(x) = b
Dôležité je, že premenná x je prítomná iba vo vnútri argumentu, teda iba vo funkcii f(x). A čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade to nie sú funkcie obsahujúce premennú x.
Základné metódy riešenia
Existuje mnoho spôsobov riešenia takýchto štruktúr. Napríklad väčšina učiteľov v škole navrhuje tento spôsob: Okamžite vyjadrite funkciu f ( x ) pomocou vzorca f( x) = a b . To znamená, že keď sa stretnete s najjednoduchšou konštrukciou, môžete okamžite pristúpiť k riešeniu bez dodatočných akcií a konštrukcií.
Áno, samozrejme, rozhodnutie sa ukáže ako správne. Problémom tohto vzorca je však väčšina študentov nerozumiem, odkiaľ pochádza a prečo práve zdvíhame písmeno a na písmeno b.
V dôsledku toho často pozorujem veľmi urážlivé chyby, keď sa napríklad tieto písmená zamieňajú. Tento vzorec je potrebné buď pochopiť, alebo si ho zapamätať, a druhá metóda vedie k chybám v tých najnevhodnejších a najdôležitejších momentoch: pri skúškach, testoch atď.
Preto všetkým svojim študentom navrhujem, aby opustili štandardný školský vzorec a použili ho na riešenie logaritmické rovnice druhý prístup, ktorý, ako ste už z názvu mohli uhádnuť, sa nazýva kanonická forma.
Myšlienka kanonickej formy je jednoduchá. Pozrime sa ešte raz na našu úlohu: vľavo máme log a , pričom písmeno a znamená presne to číslo a v žiadnom prípade nie funkciu obsahujúcu premennú x. Preto tento list podlieha všetkým obmedzeniam, ktoré sú uložené na základe logaritmu. menovite:
1 ≠ a > 0
Na druhej strane z tej istej rovnice vidíme, že logaritmus musí byť sa rovná číslu b , a na tento list sa nevzťahujú žiadne obmedzenia, pretože môže mať akúkoľvek hodnotu - pozitívnu aj negatívnu. Všetko závisí od toho, aké hodnoty má funkcia f(x).
A tu si pamätáme naše úžasné pravidlo, že akékoľvek číslo b môže byť reprezentované ako logaritmus v základe a od a po mocninu b:
b = log a a b
Ako si zapamätať tento vzorec? Áno, veľmi jednoduché. Napíšme nasledujúcu konštrukciu:
b = b 1 = b log a a
Samozrejme, v tomto prípade vznikajú všetky obmedzenia, ktoré sme si spísali na začiatku. A teraz použijeme základnú vlastnosť logaritmu a zadáme faktor b ako mocninu a. Dostaneme:
b = b 1 = b log a a = log a a b
V dôsledku toho sa pôvodná rovnica prepíše do nasledujúceho tvaru:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je všetko. Nová funkcia už neobsahuje logaritmus a je riešená štandardnými algebraickými technikami.
Samozrejme, teraz niekto namietne: prečo bolo vôbec potrebné vymýšľať nejaký druh kanonického vzorca, prečo robiť dva zbytočné kroky navyše, ak bolo možné okamžite prejsť od pôvodnej konštrukcie ku konečnému vzorcu? Áno, už len preto, že väčšina študentov nerozumie, odkiaľ tento vzorec pochádza, a v dôsledku toho pravidelne robia chyby pri jeho aplikácii.
Takáto postupnosť akcií, pozostávajúca z troch krokov, vám však umožňuje vyriešiť pôvodnú logaritmickú rovnicu, aj keď nerozumiete, odkiaľ tento konečný vzorec pochádza. Mimochodom, tento záznam sa nazýva kanonický vzorec:
log a f(x) = log a a b
Pohodlie kanonickej formy spočíva aj v tom, že ju možno použiť na riešenie veľmi širokej triedy logaritmických rovníc, a nie len tých najjednoduchších, o ktorých dnes uvažujeme.
Príklady riešení
A teraz uvažujme skutočné príklady. Tak sa rozhodnime:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Prepíšme to takto:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnohí študenti sa ponáhľajú a snažia sa okamžite zvýšiť číslo 0,5 na moc, ktorá nám prišla z pôvodného problému. A skutočne, keď ste už dobre vyškolení v riešení takýchto problémov, môžete tento krok okamžite vykonať.
Ak však práve začínate študovať túto tému, je lepšie sa nikam neponáhľať, aby ste neurobili útočné chyby. Takže máme kánonickú formu. Máme:
3x - 1 = 0,5 -3
Toto už nie je logaritmická rovnica, ale lineárna vzhľadom na premennú x. Aby sme to vyriešili, poďme sa najprv zaoberať číslom 0,5 na mocninu −3. Všimnite si, že 0,5 je 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Všetky desatinné miesta previesť do normálu, keď riešite logaritmickú rovnicu.
Prepíšeme a dostaneme:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Všetko, čo sme dostali odpoveď. Prvá úloha je vyriešená.
Druhá úloha
Prejdime k druhej úlohe:
Ako vidíte, táto rovnica už nie je najjednoduchšia. Už len preto, že rozdiel je vľavo a nie jeden logaritmus v jednej základni.
Preto sa musíte nejako zbaviť tohto rozdielu. AT tento prípad všetko je veľmi jednoduché. Pozrime sa bližšie na základy: vľavo je číslo pod koreňom:
Všeobecné odporúčanie: vo všetkých logaritmických rovniciach sa snažte zbaviť radikálov, t.j. položiek s koreňmi, a prejdite na mocenské funkcie, jednoducho preto, že exponenty týchto mocnín sú ľahko vyňaté zo znamienka logaritmu a v konečnom dôsledku takýto zápis značne zjednodušuje a urýchľuje výpočty. Napíšme to takto:
Teraz si pripomíname pozoruhodnú vlastnosť logaritmu: z argumentu, ako aj zo základne, môžete odobrať stupne. V prípade základov sa stane toto:
log a k b = 1/k loga b
Inými slovami, číslo, ktoré stálo v stupni základne, sa posunie dopredu a zároveň sa prevráti, t.j. spätné číslo. V našom prípade to bol stupeň základne s ukazovateľom 1/2. Preto to môžeme vziať ako 2/1. Dostaneme:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Poznámka: v žiadnom prípade by ste sa v tomto kroku nemali zbaviť logaritmov. Spomeňte si na matematiku 4. – 5. ročníka a poradie operácií: najskôr sa vykoná násobenie a až potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade odčítame jeden z tých istých prvkov od 10 prvkov:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Teraz naša rovnica vyzerá tak, ako by mala. Toto je najjednoduchší dizajn, a riešime to v kanonickom tvare:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
To je všetko. Druhý problém je vyriešený.
Tretí príklad
Prejdime k tretej úlohe:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Spomeňte si na nasledujúci vzorec:
log b = log 10 b
Ak ste z nejakého dôvodu zmätení písaním lg b , potom pri vykonávaní všetkých výpočtov môžete jednoducho napísať log 10 b . S desiatkovými logaritmami môžete pracovať rovnakým spôsobom ako s ostatnými: odoberte mocniny, sčítajte a reprezentujte ľubovoľné číslo ako lg 10.
Práve tieto vlastnosti teraz využijeme pri riešení úlohy, keďže to nie je tá najjednoduchšia, ktorú sme si zapísali na samom začiatku našej hodiny.
Na začiatok si všimnite, že faktor 2 pred lg 5 je možné vložiť a stane sa mocninou so základom 5. Okrem toho, voľný člen 3 môže byť reprezentovaný aj ako logaritmus - to je veľmi ľahké zistiť z nášho zápisu.
Posúďte sami: akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako log k základni 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepíšme pôvodný problém s prihliadnutím na prijaté zmeny:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg
Pred nami je opäť kanonický tvar a ten sme získali obídením štádia transformácií, t. j. najjednoduchšia logaritmická rovnica u nás nikde neprišla.
To je to, o čom som hovoril na samom začiatku hodiny. Kanonická forma umožňuje riešiť širšiu triedu problémov ako štandardná. školská formula dáva väčšina učiteľov školy.
To je všetko, zbavíme sa znamienka desiatkového logaritmu a získame jednoduchú lineárnu konštrukciu:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Všetky! Problém je vyriešený.
Poznámka o rozsahu
Tu by som chcel priniesť dôležitá poznámka o rozsahu. Určite sa teraz nájdu študenti a učitelia, ktorí povedia: „Keď riešime výrazy pomocou logaritmov, je nevyhnutné mať na pamäti, že argument f (x) musí byť väčší ako nula! V tejto súvislosti vyvstáva logická otázka: prečo sme v žiadnom z uvažovaných problémov nepožadovali, aby bola táto nerovnosť uspokojená?
Neboj sa. V týchto prípadoch sa neobjavia žiadne extra korene. A to je ďalší skvelý trik, ktorý vám umožní urýchliť riešenie. Len vedzte, že ak sa v úlohe premenná x vyskytuje iba na jednom mieste (alebo skôr v jedinom argumente jediného logaritmu) a nikde inde sa v našom prípade premenná x nevyskytuje, potom napíšte doménu nie je potrebné pretože sa spustí automaticky.
Posúďte sami: v prvej rovnici sme dostali, že 3x - 1, teda argument by sa mal rovnať 8. To automaticky znamená, že 3x - 1 bude väčšie ako nula.
S rovnakým úspechom môžeme napísať, že v druhom prípade sa x musí rovnať 5 2, t.j. určite je väčšie ako nula. A v treťom prípade, kde x + 3 = 25 000, teda opäť zjavne väčšie ako nula. Inými slovami, rozsah je automatický, ale iba ak sa x vyskytuje iba v argumente iba jedného logaritmu.
To je všetko, čo potrebujete vedieť na riešenie jednoduchých problémov. Samotné toto pravidlo spolu s pravidlami transformácie vám umožní vyriešiť veľmi širokú triedu problémov.
Ale povedzme si úprimne: na to, aby sme konečne pochopili túto techniku, aby sme sa naučili aplikovať kanonickú formu logaritmickej rovnice, nestačí si len pozrieť jednu video lekciu. Preto si práve teraz stiahnite možnosti nezávislého riešenia, ktoré sú priložené k tomuto videonávodu a začnite riešiť aspoň jedno z týchto dvoch nezávislých diel.
Zaberie vám to len pár minút. Ale efekt takéhoto tréningu bude oveľa vyšší v porovnaní s tým, keby ste si práve pozreli tento videonávod.
Dúfam, že vám táto lekcia pomôže pochopiť logaritmické rovnice. Použite kanonickú formu, zjednodušte výrazy pomocou pravidiel pre prácu s logaritmami - a nebudete sa báť žiadnych úloh. A to je všetko, čo mám na dnes.
Zváženie rozsahu
Teraz si povedzme o doméne logaritmickej funkcie, ako aj o tom, ako to ovplyvňuje riešenie logaritmických rovníc. Zvážte konštrukciu formulára
log a f(x) = b
Takýto výraz sa nazýva najjednoduchší - má iba jednu funkciu a čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade nie sú funkciou, ktorá závisí od premennej x. Je to riešené veľmi jednoducho. Stačí použiť vzorec:
b = log a a b
Tento vzorec je jedným z kľúčové vlastnosti logaritmus a pri dosadení do nášho pôvodného výrazu dostaneme nasledovné:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Toto je už známy vzorec zo školských učebníc. Mnohí študenti budú mať pravdepodobne otázku: keďže funkcia f ( x ) v pôvodnom výraze je pod znakom log, platia pre ňu nasledujúce obmedzenia:
f(x) > 0
Toto obmedzenie platí, pretože logaritmus záporné čísla neexistuje. Takže možno kvôli tomuto obmedzeniu by ste mali zaviesť kontrolu odpovedí? Možno ich treba nahradiť v zdroji?
Nie, v najjednoduchších logaritmických rovniciach nie je potrebná dodatočná kontrola. A preto. Pozrite sa na náš konečný vzorec:
f(x) = a b
Faktom je, že číslo a je v každom prípade väčšie ako 0 - túto požiadavku vyžaduje aj logaritmus. Číslo a je základ. V tomto prípade sa na počet b nevzťahujú žiadne obmedzenia. Ale to nevadí, pretože bez ohľadu na to, o aký stupeň zdvihneme kladné číslo, na výstupe stále dostaneme kladné číslo. Požiadavka f (x) > 0 je teda splnená automaticky.
Čo sa naozaj oplatí skontrolovať, je rozsah funkcie pod znakom log. Môžu existovať pomerne zložité návrhy a v procese ich riešenia ich musíte určite dodržiavať. Poďme sa pozrieť.
Prvá úloha:
Prvý krok: preveďte zlomok vpravo. Dostaneme:
Zbavíme sa znamienka logaritmu a dostaneme obvyklú iracionálnu rovnicu:
Zo získaných koreňov nám vyhovuje iba prvý, keďže druhý koreň menej ako nula. Jedinou odpoveďou bude číslo 9. To je všetko, problém je vyriešený. Nevyžadujú sa žiadne dodatočné kontroly, či výraz pod logaritmickým znamienkom je väčší ako 0, pretože nie je len väčší ako 0, ale podľa podmienky rovnice je rovný 2. Preto je automaticky požiadavka „väčší ako nula“ spokojný.
Prejdime k druhej úlohe:
Tu je všetko po starom. Prepíšeme konštrukciu a nahradíme trojicu:
Zbavíme sa znakov logaritmu a dostaneme iracionálnu rovnicu:
Utvoríme obe časti, berúc do úvahy obmedzenia, a dostaneme:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Výslednú rovnicu riešime cez diskriminant:
D \u003d 49 – 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Ale x = −6 nám nevyhovuje, pretože ak toto číslo dosadíme do našej nerovnosti, dostaneme:
−6 + 4 = −2 < 0
V našom prípade sa vyžaduje, aby bol väčší ako 0 alebo v extrémnych prípadoch rovný. Ale x = −1 nám vyhovuje:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedinou odpoveďou v našom prípade je x = −1. To je celé riešenie. Vráťme sa na úplný začiatok našich výpočtov.
Hlavným záverom tejto lekcie je, že nie je potrebné kontrolovať limity funkcie v najjednoduchších logaritmických rovniciach. Pretože v procese riešenia sa všetky obmedzenia vykonávajú automaticky.
To však v žiadnom prípade neznamená, že na overenie môžete úplne zabudnúť. V procese práce na logaritmickej rovnici sa môže dobre zmeniť na iracionálnu, ktorá bude mať svoje vlastné obmedzenia a požiadavky na pravú stranu, čo sme dnes videli na dvoch rôznych príkladoch.
Pokojne riešte takéto problémy a buďte obzvlášť opatrní, ak je v hádke koreň.
Logaritmické rovnice s rôznymi základmi
Pokračujeme v štúdiu logaritmických rovníc a analyzujeme ďalšie dva zaujímavé triky, s ktorými je módne riešiť viac zložité štruktúry. Najprv si však pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie úlohy:
log a f(x) = b
V tomto zápise sú a a b len čísla a vo funkcii f (x) musí byť prítomná premenná x a len tam, teda x musí byť iba v argumente. Takéto logaritmické rovnice transformujeme pomocou kanonického tvaru. Na tento účel poznamenávame
b = log a a b
A b je len argument. Prepíšme tento výraz takto:
log a f(x) = log a a b
To je presne to, čo sa snažíme dosiahnuť, aby vľavo aj vpravo bol logaritmus k základu a. V tomto prípade môžeme, obrazne povedané, prečiarknuť znamienka loga a z pohľadu matematiky môžeme povedať, že argumenty jednoducho srovnáme:
f(x) = a b
V dôsledku toho dostaneme nový výraz, ktorý sa bude riešiť oveľa jednoduchšie. Aplikujme toto pravidlo na naše dnešné úlohy.
Takže prvý dizajn:
V prvom rade podotýkam, že vpravo je zlomok, ktorého menovateľom je log. Keď uvidíte takýto výraz, stojí za to si spomenúť na úžasnú vlastnosť logaritmov:
Preložené do ruštiny to znamená, že každý logaritmus môže byť reprezentovaný ako podiel dvoch logaritmov s ľubovoľným základom c. Samozrejme, 0< с ≠ 1.
Takže: tento vzorec má jeden úžasný špeciálny prípad keď sa premenná c rovná premennej b. V tomto prípade dostaneme konštrukciu formulára:
Práve túto konštrukciu pozorujeme zo znamienka vpravo v našej rovnici. Nahradíme túto konštrukciu log a b , dostaneme:
Inými slovami, v porovnaní s pôvodnou úlohou sme vymenili argument a základ logaritmu. Namiesto toho sme museli zlomok obrátiť.
Pripomíname, že akýkoľvek stupeň možno odobrať zo základne podľa nasledujúceho pravidla:
Inými slovami, koeficient k, ktorý je stupňom bázy, sa vyberie ako prevrátený zlomok. Zoberme si to ako prevrátený zlomok:
Zlomkový faktor nemôže byť ponechaný vpredu, pretože v tomto prípade nebudeme môcť reprezentovať tento záznam ako kanonickú formu (napokon, v kanonickej forme nie je pred druhým logaritmom žiadny ďalší faktor). Preto dajme zlomok 1/4 v argumente ako mocninu:
Teraz prirovnáme argumenty, ktorých základy sú rovnaké (a naozaj máme rovnaké základy) a napíšeme:
x + 5 = 1
x = -4
To je všetko. Dostali sme odpoveď na prvú logaritmickú rovnicu. Pozor: v pôvodnom probléme sa premenná x vyskytuje iba v jednom logu a je v jeho argumente. Preto nie je potrebné kontrolovať doménu a naše číslo x = −4 je skutočne odpoveďou.
Teraz prejdime k druhému výrazu:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Tu budeme musieť okrem bežných logaritmov pracovať s lg f (x). Ako vyriešiť takúto rovnicu? Nepripravenému študentovi sa môže zdať, že ide o nejaký plecháč, no v skutočnosti je všetko vyriešené elementárne.
Pozrite sa pozorne na výraz lg 2 log 2 7. Čo o ňom môžeme povedať? Základy a argumenty log a lg sú rovnaké, a to by malo poskytnúť určité vodítko. Pripomeňme si ešte raz, ako sa stupne odoberajú pod znakom logaritmu:
log a b n = nlog a b
Inými slovami, aká bola mocnosť čísla b v argumente sa stáva faktorom pred samotným log. Aplikujme tento vzorec na výraz lg 2 log 2 7. Nebojte sa lg 2 – toto je najbežnejší výraz. Môžete to prepísať takto:
Pre neho platia všetky pravidlá, ktoré platia pre akýkoľvek iný logaritmus. Predovšetkým faktor vpredu môže byť vložený do sily argumentu. Píšme:
Študenti veľmi často túto akciu nevidia, pretože nie je dobré zadávať jeden denník pod znakom druhého. V skutočnosti v tom nie je nič trestné. Okrem toho získame vzorec, ktorý sa dá ľahko vypočítať, ak si pamätáte dôležité pravidlo:
Tento vzorec možno považovať za definíciu aj za jednu z jeho vlastností. V každom prípade, ak konvertujete logaritmickú rovnicu, mali by ste tento vzorec poznať rovnakým spôsobom ako vyjadrenie ľubovoľného čísla vo forme log.
Vraciame sa k našej úlohe. Prepíšeme ho s ohľadom na skutočnosť, že prvý člen napravo od znamienka rovnosti sa bude jednoducho rovnať lg 7. Máme:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
Posuňme lg 7 doľava, dostaneme:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
Odčítame výrazy vľavo, pretože majú rovnaký základ:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
Teraz sa pozrime bližšie na rovnicu, ktorú máme. Je to prakticky kanonická forma, ale vpravo je faktor -3. Dajme to do správneho argumentu lg:
lg8 = lg (x + 4) -3
Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice, takže prečiarkneme znamienka lg a zrovnáme argumenty:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To je všetko! Vyriešili sme druhú logaritmickú rovnicu. V tomto prípade nie sú potrebné žiadne ďalšie kontroly, pretože v pôvodnom probléme bolo x prítomné iba v jednom argumente.
uvediem znova Kľúčové body túto lekciu.
Hlavným vzorcom, ktorý sa študuje vo všetkých lekciách na tejto stránke venovaných riešeniu logaritmických rovníc, je kanonická forma. A nenechajte sa odradiť tým, že väčšina školských učebníc vás naučí, ako riešiť tento druh problémov inak. Tento nástroj funguje veľmi efektívne a umožňuje vám vyriešiť oveľa širšiu triedu problémov ako tie najjednoduchšie, ktoré sme študovali na samom začiatku našej lekcie.
Okrem toho na riešenie logaritmických rovníc bude užitočné poznať základné vlastnosti. menovite:
- Vzorec na prechod na jednu základňu a špeciálny prípad, keď preklopíme denník (toto sa nám veľmi hodilo v prvej úlohe);
- Vzorec na privádzanie a odoberanie síl pod znakom logaritmu. Tu sa veľa študentov zasekne a nevidia prázdnu, že odobratá a privedená energia môže sama o sebe obsahovať log f (x). Nie je na tom nič zlé. Môžeme zaviesť jeden log podľa znamenia druhého a zároveň výrazne zjednodušiť riešenie úlohy, čo pozorujeme v druhom prípade.
Na záver by som rád dodal, že nie je potrebné kontrolovať rozsah v každom z týchto prípadov, pretože všade je premenná x prítomná len v jednom znaku log a zároveň je vo svojom argumente. V dôsledku toho sú všetky požiadavky na doménu splnené automaticky.
Problémy s variabilnou základňou
Dnes sa budeme zaoberať logaritmickými rovnicami, ktoré sa mnohým študentom zdajú neštandardné, ak nie úplne neriešiteľné. Hovoríme o výrazoch, ktoré nie sú založené na číslach, ale na premenných a dokonca aj na funkciách. Takéto konštrukcie budeme riešiť našou štandardnou technikou, a to cez kanonickú formu.
Na začiatok si pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie problémy, ktoré sú založené na obyčajných číslach. Takže najjednoduchšia konštrukcia je tzv
log a f(x) = b
Na vyriešenie takýchto problémov môžeme použiť nasledujúci vzorec:
b = log a a b
Prepíšeme náš pôvodný výraz a dostaneme:
log a f(x) = log a a b
Potom zrovnáme argumenty, t.j. napíšeme:
f(x) = a b
Tým sa zbavíme loga a vyriešime obvyklý problém. V tomto prípade budú korene získané v riešení koreňmi pôvodnej logaritmickej rovnice. Okrem toho záznam, keď sú ľavá aj pravá strana na rovnakom logaritme s rovnakým základom, sa nazýva kanonická forma. Práve na takýto zápis sa pokúsime zredukovať dnešné konštrukcie. Tak, poďme.
Prvá úloha:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Nahraďte 1 logom x − 2 (x − 2) 1 . Stupeň, ktorý pozorujeme v argumente, je v skutočnosti číslo b , ktoré bolo napravo od znamienka rovnosti. Prepíšme teda náš výraz. Dostaneme:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
čo vidíme? Pred nami je kanonická forma logaritmickej rovnice, takže môžeme bezpečne porovnávať argumenty. Dostaneme:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Tým sa ale riešenie nekončí, pretože táto rovnica nie je ekvivalentná tej pôvodnej. Výsledná konštrukcia sa totiž skladá z funkcií, ktoré sú definované na celej číselnej osi a naše pôvodné logaritmy nie sú definované všade a nie vždy.
Preto musíme doménu definície zapísať oddelene. Nebuďme múdrejší a najprv si napíšme všetky požiadavky:
Po prvé, argument každého z logaritmov musí byť väčší ako 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
Po druhé, základňa musí byť nielen väčšia ako 0, ale aj odlišná od 1:
x − 2 ≠ 1
V dôsledku toho dostaneme systém:
Ale nezľaknite sa: pri spracovaní logaritmických rovníc je možné takýto systém výrazne zjednodušiť.
Posúďte sami: na jednej strane sa od nás vyžaduje, aby bola kvadratická funkcia väčšia ako nula, a na druhej strane sa táto kvadratická funkcia rovná určitému lineárnemu výrazu, ktorý sa tiež vyžaduje, aby bola väčšia ako nula.
V tomto prípade, ak požadujeme, aby x − 2 > 0, tak automaticky bude splnená požiadavka 2x 2 − 13x + 18 > 0. Preto môžeme pokojne preškrtnúť nerovnosť obsahujúcu kvadratickej funkcie. Tým sa počet výrazov obsiahnutých v našom systéme zníži na tri.
Samozrejme, môžeme aj prečiarknuť lineárna nerovnosť, teda prečiarknite x − 2 > 0 a požadujte, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Musíte však súhlasiť s tým, že je oveľa rýchlejšie a jednoduchšie vyriešiť najjednoduchšiu lineárnu nerovnicu, než v tomto systéme dostaneme rovnaké korene.
Vo všeobecnosti sa snažte optimalizovať výpočty vždy, keď je to možné. A v prípade logaritmických rovníc prečiarknite najťažšie nerovnosti.
Prepíšme náš systém:
Tu je taký systém troch výrazov, z ktorých dva sme už v skutočnosti zistili. Píšme oddelene kvadratická rovnica a vyriešiť to:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Pred nami je zmenšená štvorcová trojčlenka, a preto môžeme použiť vzorce Vieta. Dostaneme:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Teraz, späť k nášmu systému, zistíme, že x = 2 nám nevyhovuje, pretože sa od nás vyžaduje, aby bolo x striktne väčšie ako 2.
Ale x \u003d 5 nám celkom vyhovuje: číslo 5 je väčšie ako 2 a zároveň 5 sa nerovná 3. Preto jediným riešením tohto systému bude x \u003d 5.
Všetko, úloha je vyriešená, vrátane zohľadnenia ODZ. Prejdime k druhej rovnici. Tu čakáme na zaujímavejšie a zmysluplnejšie výpočty:
Prvý krok: rovnako ako naposledy, prinášame celý tento obchod do kanonickej podoby. Aby sme to dosiahli, môžeme zapísať číslo 9 takto:
Základňa s koreňom sa nedá dotknúť, ale je lepšie transformovať argument. Prejdime od koreňa k mocnine s racionálnym exponentom. Píšme:
Dovoľte mi, aby som neprepísal celú našu veľkú logaritmickú rovnicu, ale hneď dal rovnítko medzi argumenty:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4 x + 3 = 0
Pred nami je opäť zmenšená štvorcová trojčlenka, použijeme vzorce Vieta a napíšeme:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Takže máme korene, ale nikto nám nezaručil, že budú zodpovedať pôvodnej logaritmickej rovnici. Logové značky totiž ukladajú ďalšie obmedzenia (tu by sme si systém museli zapísať, ale pre ťažkopádnosť celej konštrukcie som sa rozhodol doménu definície vypočítať samostatne).
Najprv si pamätajte, že argumenty musia byť väčšie ako 0, konkrétne:
Toto sú požiadavky stanovené doménou definície.
Hneď si všimneme, že keďže dávame na roveň prvé dva výrazy sústavy, môžeme ktorýkoľvek z nich prečiarknuť. Prvú preškrtneme, pretože vyzerá hrozivejšie ako tá druhá.
Okrem toho si všimnite, že riešenia druhej a tretej nerovnice budú rovnaké množiny (kocka nejakého čísla je väčšia ako nula, ak je toto číslo samo väčšie ako nula; podobne ako v prípade odmocniny tretieho stupňa - tieto nerovnosti sú úplne podobné, takže jeden z nich môžeme prečiarknuť).
Ale s treťou nerovnosťou to nepôjde. Zbavme sa znaku radikála vľavo, pre ktorý obe časti zdvihneme na kocku. Dostaneme:
Takže dostaneme nasledujúce požiadavky:
−2 ≠ x > −3
Ktorý z našich koreňov: x 1 = -3 alebo x 2 = -1 spĺňa tieto požiadavky? Je zrejmé, že iba x = −1, pretože x = −3 nespĺňa prvú nerovnosť (pretože naša nerovnosť je prísna). Celkovo, keď sa vrátime k nášmu problému, dostaneme jeden koreň: x = −1. To je všetko, problém vyriešený.
Ešte raz, kľúčové body tejto úlohy:
- Neváhajte použiť a riešiť logaritmické rovnice pomocou kanonickej formy. Študenti, ktorí urobia takýto zápis, namiesto toho, aby prešli priamo od pôvodného problému ku konštrukcii ako log a f (x ) = b , umožňujú veľa menej chýb než tí, ktorí sa niekam ponáhľajú a preskakujú medzikroky výpočtov;
- Len čo sa v logaritme objaví premenná základňa, problém prestáva byť tým najjednoduchším. Preto pri jeho riešení je potrebné vziať do úvahy oblasť definície: argumenty musia byť väčšie ako nula a základy musia byť nielen väčšie ako 0, ale nesmú sa rovnať ani 1.
Posledné požiadavky na konečné odpovede môžete klásť rôznymi spôsobmi. Napríklad je možné riešiť celý systém obsahujúci všetky doménové požiadavky. Na druhej strane môžete najskôr vyriešiť samotný problém a potom si spomenúť na oblasť definície, vypracovať ju samostatne vo forme systému a aplikovať ju na získané korene.
Aký spôsob riešenia konkrétnej logaritmickej rovnice si vyberiete, je len na vás. V každom prípade bude odpoveď rovnaká.
Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dať demonštráciu príklady riešenia.
Samy o sebe implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie si najprv pripomenieme všetky vlastnosti:
Teraz, na základe týchto vzorcov (vlastností), ukážeme príklady riešenia logaritmov.
Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.
Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť a, aby sa dostalo b, pričom b > 0, a > 0 a 1.
Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.
Logaritmy, príklady:
log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8
log 7 49 = 2 pretože 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5
Desatinný logaritmus je obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.
log 10 100 = 2 pretože 102 = 100
prirodzený logaritmus- tiež obvyklý logaritmus logaritmus, ale už so základňou e (e \u003d 2,71828 ... - iracionálne číslo). Označované ako ln.
Je vhodné si zapamätať vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s príkladmi.
- Základná logaritmická identita
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
- Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Vlastnosti stupňa logaritmovateľného čísla a základu logaritmu
Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b
Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prechod na nový základ
log a b = log c b / log c a,ak c = b, dostaneme log b b = 1
potom log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Ako vidíte, logaritmické vzorce nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme zvážili príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Príklady riešenia logaritmických rovníc podrobnejšie zvážime v článku: "". Nenechajte si ujsť!
Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.
Poznámka: rozhodol som sa získať vzdelanie v inej triede štúdiom v zahraničí ako voliteľnú možnosť.
Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa budeme zaoberať problémami súvisiacimi s riešením logaritmov. Úlohy nastoľujú otázku hľadania hodnoty výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a je mimoriadne dôležité pochopiť jeho význam. Pokiaľ ide o USE, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikované úlohy, aj v úlohách spojených so štúdiom funkcií.
Tu sú príklady na pochopenie samotného významu logaritmu:
Základná logaritmická identita:
Vlastnosti logaritmov, ktoré si musíte vždy zapamätať:
*Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.
* * *
* Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovná rozdielu logaritmov faktorov.
* * *
* Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu.
* * *
*Prechod na novú základňu
* * *
Ďalšie vlastnosti:
* * *
Výpočet logaritmov úzko súvisí s využívaním vlastností exponentov.
Uvádzame niektoré z nich:
esencia daný majetok je, že pri prenose čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:
Dôsledok tejto vlastnosti:
* * *
Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.
* * *
Ako vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, že je potrebná dobrá prax, ktorá dáva určitú zručnosť. Znalosť vzorcov je určite povinná. Ak sa nevytvorí zručnosť v transformácii elementárnych logaritmov, potom pri riešení jednoduché úlohy je ľahké urobiť chybu.
Cvičte, najskôr vyriešte najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „škaredé“ logaritmy, na skúške také nebudú, ale sú zaujímavé, nenechajte si to ujsť!
To je všetko! Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Logaritmus čísla N podľa rozumu a sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť a získať číslo N
Za predpokladu, že 
,
,
Z definície logaritmu vyplýva, že 
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.
Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto 
písať 
.
základné logaritmy e
sa nazývajú prirodzené a označované 
.
Základné vlastnosti logaritmov.
Logaritmus jednoty pre akúkoľvek základňu je nula
Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.
3) Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
Faktor 
sa nazýva modul prechodu z logaritmov na báze a
na logaritmy na základni b
.
Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.
Napríklad, 
Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie recipročné voči logaritmom sa nazývajú potenciácia.
Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.
1. Limity
limit funkcie 
je konečné číslo A, ak pri snažení xx
0
pre každú vopred určenú 
, je tam číslo 
že hneď ako 
, potom 
.
Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo: 
, kde - b.m.w., t.j. 
.
Príklad. Zvážte funkciu 
.
Pri snažení 
, funkcia r
ide na nulu: 
1.1. Základné teorémy o limitách.
Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote
.
Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.
Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií.
Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limity týchto funkcií, ak sa limita menovateľa nerovná nule.
Pozoruhodné limity
,
, kde 
1.2. Príklady výpočtu limitov
Nie všetky limity sú však vypočítané tak jednoducho. Častejšie sa výpočet limitu redukuje na zverejnenie typovej neistoty: 
alebo .
.
2. Derivácia funkcie
Nech máme funkciu 
, kontinuálne na segmente 
.
Argumentovať 
dostal nejakú podporu 
. Potom sa funkcia zvýši 
.
Hodnota argumentu 
zodpovedá hodnote funkcie 
.
Hodnota argumentu 
zodpovedá hodnote funkcie .
Preto, .
Nájdime hranicu tohto vzťahu na 
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.
Definícia 3derivácie danej funkcie 
argumentom 
sa nazýva hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.
Derivácia funkcie 
možno označiť takto:
;
;
;
.
Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia.
2.1. Mechanický význam derivátu.
Zvážte priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.
Nech v určitom okamihu 
pohyblivý bod 
bol na diaľku 
z východiskovej pozície 
.
Po určitom čase 
posunula sa na diaľku 
. Postoj 
=
- priemerná rýchlosť hmotný bod 
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy 
.
V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.
2.2. Geometrická hodnota derivátu
Predpokladajme, že máme graficky definovanú nejakú funkciu 
.
Ryža. 1. Geometrický význam derivácie
Ak 
, potom bod 
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu 
.
Preto 
, t.j. hodnota derivátu daná hodnotou argumentu 
číselne sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného dotyčnicou v danom bode s kladným smerom osi 
.
2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.
Funkcia napájania
|
|
|
|
|
|
|
Exponenciálna funkcia
|
|
|
|
|
logaritmická funkcia
|
|
|
|
|
goniometrická funkcia
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Inverzná goniometrická funkcia
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Pravidlá diferenciácie.
Derivát z 
Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií
Derivácia súčinu dvoch funkcií
Derivácia podielu dvoch funkcií
2.5. Derivát z komplexná funkcia.
Nechajte funkciu 
tak, aby mohol byť reprezentovaný ako
a 
, kde je premenná 
je teda stredný argument 
Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na x.
Príklad 1. 
Príklad2. 
3. Funkčný diferenciál.
Nech je tam 
, diferencovateľné na nejakom intervale 
nechaj to tak pri
táto funkcia má deriváciu
,
potom môžeš písať
(1),
kde 
- nekonečne malé množstvo,
pretože pri 
Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o 
máme:
Kde 
- b.m.v. vyššia moc.
Hodnota 
sa nazýva diferenciál funkcie 
a označené 
.
3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.
Nechajte funkciu 
.
Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.
.
Je zrejmé, že diferenciál funkcie 
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.
3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.
Ak tu 
, potom 
sa nazýva prvý derivát.
Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a zapisuje sa 
.
Derivácia n-tého rádu funkcie 
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:
.
Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu.
.
.
3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.
Úloha1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom 
, kde N
- počet mikroorganizmov (v tisícoch), t
– čas (dni).
b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?
Odpoveď. Kolónia bude rásť vo veľkosti.
Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na kontrolu obsahu patogénnych baktérií. cez t dní po testovaní je koncentrácia baktérií určená pomerom
.
Kedy bude v jazere minimálna koncentrácia baktérií a bude sa v ňom dať plávať?
Riešenie Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nula.
,
Stanovme si, že maximum alebo minimum bude za 6 dní. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu.
Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.
