Nerovnosti a sústavy nerovníc sú jednou z tém, ktoré sa na strednej škole vyučujú v algebre. Z hľadiska náročnosti nie je najťažšia, pretože má jednoduché pravidlá (o nich trochu neskôr). Riešenie sústav nerovníc sa školáci učia spravidla pomerne ľahko. Je to dané aj tým, že učitelia svojich žiakov na túto tému jednoducho „vyškolia“. A nemôžu to urobiť, pretože sa to študuje v budúcnosti s použitím iných matematických veličín a tiež sa kontroluje pre OGE a jednotnú štátnu skúšku. V školských učebniciach je téma nerovností a sústav nerovníc spracovaná veľmi podrobne, takže ak sa ju chystáte študovať, potom je najlepšie uchýliť sa k nim. Tento článok prerozpráva iba veľké materiály a môžu v ňom byť nejaké opomenutia.
Koncept systému nerovností
Ak sa obrátime na vedecký jazyk, môžeme definovať pojem „systém nerovností“. Ide o taký matematický model, ktorý predstavuje niekoľko nerovností. Tento model si samozrejme vyžaduje riešenie a bude všeobecnou odpoveďou na všetky nerovnosti systému navrhnutého v úlohe (zvyčajne je v ňom napísané napr.: „Vyriešte sústavu nerovníc 4 x + 1 > 2 a 30 - x > 6..."). Predtým, ako prejdeme k typom a metódam riešenia, však musíte pochopiť niečo iné.
Sústavy nerovníc a sústavy rovníc
V procese učenia sa novej témy často vznikajú nedorozumenia. Na jednej strane je všetko jasné a najradšej by som začal riešiť úlohy, no na druhej strane niektoré momenty ostávajú v „tieni“, nie sú dobre pochopené. Taktiež niektoré prvky už nadobudnutých vedomostí sa môžu prelínať s novými. V dôsledku tohto „prekrytia“ sa často vyskytujú chyby.
Preto predtým, ako pristúpime k analýze našej témy, mali by sme si pripomenúť rozdiely medzi rovnicami a nerovnicami, ich sústavami. Aby ste to dosiahli, musíte ešte raz vysvetliť, čo sú tieto matematické pojmy. Rovnica je vždy rovnosť a vždy sa niečomu rovná (v matematike sa toto slovo označuje znakom "="). Nerovnosť je model, v ktorom je jedna hodnota väčšia alebo menšia ako iná, alebo obsahuje tvrdenie, že nie sú rovnaké. V prvom prípade je teda vhodné hovoriť o rovnosti a v druhom, akokoľvek to môže znieť zo samotného názvu, o nerovnosti počiatočných údajov. Sústavy rovníc a nerovníc sa od seba prakticky nelíšia a spôsoby ich riešenia sú rovnaké. Jediný rozdiel je v tom, že prvý používa rovnosti, zatiaľ čo druhý používa nerovnosti.
Druhy nerovností
Existujú dva typy nerovností: numerické a s neznámou premennou. Prvým typom sú hodnoty (čísla), ktoré sa navzájom nerovnajú, napríklad 8 > 10. Druhým typom sú nerovnosti obsahujúce neznámu premennú (označené nejakým písmenom latinskej abecedy, najčastejšie X). Túto premennú je potrebné nájsť. Podľa toho, koľko ich je, matematický model rozlišuje nerovnosti s jednou (tvoria sústavu nerovností s jednou premennou) alebo viacerými premennými (tvoria sústavu nerovností s viacerými premennými).
Posledné dva typy sa podľa stupňa ich konštrukcie a úrovne zložitosti riešenia delia na jednoduché a zložité. Jednoduché sa nazývajú aj lineárne nerovnosti. Tie sa zase delia na prísne a neprísne. Striktne špecificky „povedzte“, že jedna hodnota musí byť nevyhnutne buď menej alebo viac, takže ide o čistú nerovnosť. Príkladov je niekoľko: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 atď. Medzi neprísne patrí aj rovnosť. To znamená, že jedna hodnota môže byť väčšia alebo rovná inej hodnote (znamienko "≥") alebo menšia alebo rovná inej hodnote (znamienko "≤"). Ani pri lineárnych nerovnostiach premenná nestojí v koreni, štvorci, nie je ničím deliteľná, preto sa nazývajú „jednoduché“. Medzi komplexné patria neznáme premenné, ktorých nájdenie si vyžaduje viac matematických operácií. Často sú v štvorci, kocke alebo pod odmocninou, môžu byť modulárne, logaritmické, zlomkové atď. Ale keďže našou úlohou je porozumieť riešeniu sústav nerovníc, budeme hovoriť o sústave lineárnych nerovníc. Ešte predtým však treba povedať pár slov o ich vlastnostiach.
Vlastnosti nerovností
Vlastnosti nerovností zahŕňajú tieto ustanovenia:
- Znamienko nerovnosti sa obráti, ak sa použije operácia zmeny poradia strán (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 2 ≥ t 1).
- Obe časti nerovnosti vám umožňujú pridať k sebe rovnaké číslo (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 1 + číslo ≤ t 2 + číslo).
- Dve alebo viac nerovností, ktoré majú znamienko rovnakého smeru, vám umožňujú pridať ich ľavú a pravú časť (napríklad ak t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, potom t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
- Obe časti nerovnosti sa dajú vynásobiť alebo vydeliť rovnakým kladným číslom (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo t 1 ≥ číslo t 2).
- Dve alebo viac nerovností, ktoré majú kladné členy a znamienko rovnakého smeru, sa môžu navzájom vynásobiť (napríklad ak t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0, potom t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
- Obidve časti nerovnosti sa dajú vynásobiť alebo vydeliť rovnakým záporným číslom, ale znamienko nerovnosti sa zmení (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo t 1 ≥ číslo t 2).
- Všetky nerovnosti majú vlastnosť tranzitivity (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a t 2 ≤ t 3, potom t 1 ≤ t 3).
Teraz, po preštudovaní hlavných ustanovení teórie týkajúcich sa nerovností, môžeme pristúpiť priamo k úvahám o pravidlách riešenia ich systémov.
Riešenie sústav nerovníc. Všeobecné informácie. Riešenia
Ako už bolo spomenuté vyššie, riešením sú hodnoty premennej, ktoré vyhovujú všetkým nerovnostiam daného systému. Riešenie sústav nerovníc je realizáciou matematických operácií, ktoré v konečnom dôsledku vedú k riešeniu celého systému alebo dokazujú, že nemá riešenia. V tomto prípade sa hovorí, že premenná odkazuje na prázdnu číselnú množinu (napísanú takto: písmeno označujúce premennú∈ (znak "patrí") ø (znak "prázdna množina"), napríklad x ∈ ø (znie: "Premenná "x" patrí do prázdnej množiny"). Existuje niekoľko spôsobov riešenia sústav nerovníc: grafická, algebraická, substitučná metóda. Stojí za zmienku, že sa týkajú tých matematických modelov, ktoré majú niekoľko neznámych premenných. V prípade, že je len jeden, je vhodná intervalová metóda.
Grafický spôsob
Umožňuje vyriešiť systém nerovností s niekoľkými neznámymi (od dvoch alebo viacerých). Vďaka tejto metóde je sústava lineárnych nerovností riešená pomerne jednoducho a rýchlo, preto je to najrozšírenejšia metóda. Vykresľovanie totiž znižuje množstvo zapisovaných matematických operácií. Je obzvlášť príjemné urobiť si malú prestávku od pera, vziať ceruzku s pravítkom a pokračovať v ďalších činnostiach s ich pomocou, keď sa urobilo veľa práce a chcete trochu rozmanitosti. Niektorí však túto metódu nemajú radi kvôli tomu, že sa musíte odtrhnúť od úlohy a prepnúť duševnú aktivitu na kreslenie. Je to však veľmi efektívny spôsob.
Pre riešenie sústavy nerovníc pomocou grafickej metódy je potrebné preniesť všetky členy každej nerovnosti na ich ľavú stranu. Znamienka sa obrátia, napravo treba napísať nulu, potom každú nerovnosť napísať samostatne. V dôsledku toho budú funkcie získané z nerovností. Potom môžete získať ceruzku a pravítko: teraz musíte nakresliť graf každej získanej funkcie. Celá množina čísel, ktoré budú v intervale ich priesečníka, bude riešením sústavy nerovníc.
Algebraický spôsob
Umožňuje vyriešiť systém nerovníc s dvoma neznámymi premennými. Rovnaké znamienko nerovnosti musia mať aj nerovnosti (tzn. musia obsahovať buď len znamienko „väčšie ako“, alebo len znamienko „menej ako“ atď.) Napriek svojim obmedzeniam je táto metóda aj zložitejšia. Aplikuje sa v dvoch fázach.
Prvá obsahuje akcie na zbavenie sa jednej z neznámych premenných. Najprv ju musíte vybrať a potom skontrolovať prítomnosť čísel pred touto premennou. Ak tam žiadne nie sú (premenná bude vyzerať ako jedno písmeno), tak nič nemeníme, ak áno (typ premennej bude napr. 5y alebo 12y), tak je potrebné sa uistiť, že v každej nerovnosti je číslo pred vybranou premennou rovnaké. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen nerovností spoločným faktorom, napríklad ak je v prvej nerovnosti napísané 3y a v druhej 5y, potom musíte vynásobiť všetky členy prvej nerovnosti. o 5 a druhý o 3. Vyjde to na 15 a 15 rokov.
Druhá fáza rozhodnutia. Je potrebné preniesť ľavú časť každej nerovnosti na ich pravé časti so zmenou znamienka každého člena na opačnú, napísať nulu vpravo. Potom prichádza zábavná časť: zbavenie sa vybranej premennej (inak známej ako „zníženie“) pri sčítaní nerovností. Dostanete nerovnosť s jednou premennou, ktorú je potrebné vyriešiť. Potom by ste mali urobiť to isté, len s inou neznámou premennou. Získané výsledky budú riešením systému.
Substitučná metóda
Umožňuje vyriešiť systém nerovností, keď je možné zaviesť novú premennú. Zvyčajne sa táto metóda používa, keď sa neznáma premenná v jednom člene nerovnosti zvýši na štvrtú mocninu a v druhom člene sa umocní na druhú. Táto metóda je teda zameraná na zníženie miery nerovností v systéme. Vzorová nerovnosť x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 sa rieši takto. Zavádza sa nová premenná, napríklad t. Napíšu: „Nech t = x 2“, potom sa model prepíše do novej podoby. V našom prípade dostaneme t 2 - t - 1 ≤0. Túto nerovnosť je potrebné vyriešiť intervalovou metódou (o tom trochu neskôr), potom sa vrátiť späť k premennej X a potom urobiť to isté s ďalšou nerovnosťou. O prijatých odpovediach rozhodne systém.
Metóda rozstupu
Toto je najjednoduchší spôsob riešenia systémov nerovností a zároveň je univerzálny a rozšírený. Používa sa na strednej škole a dokonca aj na strednej škole. Jeho podstata spočíva v tom, že žiak hľadá intervaly nerovnosti na číselnej osi, ktorá je nakreslená v zošite (toto nie je graf, ale len obyčajná priamka s číslami). Tam, kde sa pretínajú intervaly nerovníc, sa nájde riešenie sústavy. Ak chcete použiť metódu medzier, musíte postupovať podľa týchto krokov:
- Všetky členy každej nerovnosti sa prenesú na ľavú stranu so zmenou znamienka na opačnú (napravo je napísaná nula).
- Nerovnice sa vypisujú samostatne, určuje sa riešenie každej z nich.
- Nájdeme priesečníky nerovností na skutočnej čiare. Riešením budú všetky čísla na týchto križovatkách.
Aký spôsob použiť?
Očividne ten, ktorý sa zdá byť najjednoduchší a najpohodlnejší, ale sú chvíle, keď úlohy vyžadujú určitú metódu. Najčastejšie hovoria, že musíte riešiť buď pomocou grafu, alebo pomocou intervalovej metódy. Algebraická metóda a substitúcia sa používajú veľmi zriedkavo alebo vôbec, pretože sú dosť zložité a mätúce a okrem toho sa používajú skôr na riešenie systémov rovníc ako nerovníc, takže by ste sa mali uchýliť k kresleniu grafov a intervalov. Prinášajú prehľad, ktorý môže prispieť k efektívnemu a rýchlemu vykonávaniu matematických operácií.
Ak niečo nefunguje
Počas štúdia konkrétnej témy v algebre sa samozrejme môžu vyskytnúť problémy s jej pochopením. A to je normálne, pretože náš mozog je navrhnutý tak, že nie je schopný porozumieť zložitým materiálom na jeden záťah. Často si potrebujete prečítať odsek, využiť pomoc učiteľa alebo si precvičiť riešenie typických problémov. V našom prípade vyzerajú napríklad takto: "Vyriešte sústavu nerovníc 3 x + 1 ≥ 0 a 2 x - 1 > 3". Osobné úsilie, pomoc tretích strán a prax teda pomáhajú pochopiť akúkoľvek komplexnú tému.
Reshebnik?
A kniha riešení je tiež veľmi vhodná, ale nie na podvádzanie domácich úloh, ale na svojpomoc. Môžete nájsť sústavy nerovností s riešením v nich, pozrieť sa na ne (ako vzory), pokúsiť sa pochopiť, ako presne sa autor riešenia s úlohou vyrovnal, a potom sa o to pokúsiť po svojom.
závery
Algebra je jedným z najťažších predmetov v škole. No, čo môžeš robiť? Matematika bola vždy taká: pre niektorých to ide ľahko a pre iných je to ťažké. V každom prípade však treba pamätať na to, že všeobecný vzdelávací program je navrhnutý tak, aby ho zvládol každý študent. Okrem toho musíte mať na pamäti obrovské množstvo asistentov. Niektoré z nich boli spomenuté vyššie.
Tento článok zhromaždil počiatočné informácie o systémoch nerovností. Tu uvádzame definíciu systému nerovností a definíciu riešenia systému nerovností. Sú tam uvedené aj hlavné typy systémov, s ktorými musíte na hodinách algebry v škole najčastejšie pracovať, a uvedené sú aj príklady.
Navigácia na stránke.
Čo je to systém nerovností?
Systémy nerovníc je vhodné definovať rovnakým spôsobom, ako sme zaviedli definíciu sústavy rovníc, teda podľa typu záznamu a významu v ňom obsiahnutého.
Definícia.
Systém nerovností je záznam predstavujúci určitý počet nerovností zapísaných pod sebou, spojených vľavo zloženou zátvorkou a označujúci množinu všetkých riešení, ktoré sú súčasne riešením každej nerovnosti systému.
Uveďme príklad systému nerovností. Vezmite dve ľubovoľné, napríklad 2 x−3>0 a 5−x≥4 x−11, napíšte ich pod seba
2x−3>0 ,
5-x≥4 x-11
a spojíme sa so znakom systému - kučeravou zátvorkou, výsledkom je systém nerovností nasledujúceho tvaru:
Podobne je predstava o systémoch nerovností v školských učebniciach. Stojí za zmienku, že definície v nich sú uvedené užšie: pre nerovnosti s jednou premennou alebo s dvoma premennými.
Hlavné typy systémov nerovností
Je jasné, že existuje nekonečne veľa rôznych systémov nerovností. Aby ste sa v tejto rozmanitosti nestratili, je vhodné ich zvážiť v skupinách, ktoré majú svoje vlastné charakteristické črty. Všetky systémy nerovností možno rozdeliť do skupín podľa nasledujúcich kritérií:
- počtom nerovností v systéme;
- podľa počtu premenných zahrnutých do zaznamenávania;
- podľa povahy nerovností.
Podľa počtu nerovností zahrnutých v zázname sa rozlišujú systémy dva, tri, štyri atď. nerovnosti. V predchádzajúcom odseku sme uviedli príklad systému, ktorý je systémom dvoch nerovností. Ukážme si ďalší príklad systému štyroch nerovností 
.
Samostatne hovoríme, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej nerovnosti, v tomto prípade v skutočnosti hovoríme o nerovnosti samotnej, a nie o systéme.
Ak sa pozriete na počet premenných, potom existujú systémy nerovností s jednou, dvoma, tromi atď. premenné (alebo, ako sa hovorí, neznáme). Pozrite sa na posledný systém nerovností napísaný o dva odseky vyššie. Ide o systém s tromi premennými x , y a z . Všimnite si, že jej prvé dve nerovnosti neobsahujú všetky tri premenné, ale iba jednu z nich. V kontexte tohto systému ich treba chápať ako nerovnosti s tromi premennými v tvare x+0 y+0 z≥−2 a 0 x+y+0 z≤5. Všimnite si, že škola sa zameriava na nerovnosti s jednou premennou.
Zostáva diskutovať o tom, aké typy nerovností sú zahrnuté v systémoch písania. V škole uvažujú najmä o sústavách dvoch nerovníc (menej často - troch, ešte zriedkavejšie - štyroch a viacerých) s jednou alebo dvoma premennými a samotné nerovnosti sú zvyčajne celočíselných nerovností prvý alebo druhý stupeň (zriedkavo - vyššie stupne alebo čiastočne racionálne). Nebuďte však prekvapení, ak v materiáloch na prípravu na OGE narazíte na sústavy nerovností obsahujúce iracionálne, logaritmické, exponenciálne a iné nerovnosti. Ako príklad uvádzame systém nerovností 
, je prevzaté z .
Aké je riešenie systému nerovností?
Zavádzame ďalšiu definíciu súvisiacu so sústavami nerovností - definíciu riešenia sústavy nerovností:
Definícia.
Riešenie sústavy nerovníc s jednou premennou nazýva sa taká hodnota premennej, ktorá premení každú z nerovností systému na pravdivú, inými slovami, je riešením každej nerovnosti systému.
Vysvetlíme si to na príklade. Zoberme si systém dvoch nerovníc s jednou premennou . Zoberme si hodnotu premennej x rovnú 8, je to z definície riešenie našej sústavy nerovníc, keďže jej dosadením do nerovníc sústavy vzniknú dve správne číselné nerovnosti 8>7 a 2−3 8≤0 . Naopak, jednotka nie je riešením systému, pretože pri jej dosadení za premennú x sa prvá nerovnosť zmení na nesprávnu číselnú nerovnosť 1>7 .
Podobne môžeme zaviesť definíciu riešenia systému nerovností s dvomi, tromi alebo viacerými premennými:
Definícia.
Riešenie sústavy nerovníc s dvojkou, trojkou atď. premenné nazývaný pár, trojica atď. hodnoty týchto premenných, čo je súčasne riešením každej nerovnosti systému, to znamená, že každú nerovnosť systému premení na skutočnú číselnú nerovnosť.
Napríklad dvojica hodnôt x=1, y=2 alebo v inom zápise (1, 2) je riešením systému nerovností s dvoma premennými, keďže 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Systémy nerovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Často sa hovorí o súbore riešení systému nerovností. Keď systém nemá žiadne riešenia, potom existuje prázdna množina jeho riešení. Keď existuje konečný počet riešení, potom množina riešení obsahuje konečný počet prvkov, a keď existuje nekonečne veľa riešení, potom množina riešení pozostáva z nekonečného počtu prvkov.
Niektoré zdroje uvádzajú definície konkrétneho a všeobecného riešenia systému nerovností, ako napríklad v Mordkovichových učebniciach. Pod konkrétne riešenie systému nerovností pochopiť jeho jediné riešenie. Vo svojom poradí všeobecné riešenie sústavy nerovností- to všetko sú jej súkromné rozhodnutia. Tieto pojmy však dávajú zmysel len vtedy, keď je potrebné zdôrazniť, o akom riešení sa diskutuje, ale zvyčajne je to jasné už z kontextu, takže je oveľa bežnejšie jednoducho povedať „riešenie systému nerovností“.
Z definícií sústavy nerovníc a jej riešení uvedených v tomto článku vyplýva, že riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení všetkých nerovníc tejto sústavy.
Bibliografia.
- Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
- POUŽÍVAŤ-2013. Matematika: typické možnosti skúšania: 30 možností / ed. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Vydavateľstvo "Národné školstvo", 2012. - 192 s. - (USE-2013. FIPI - škola).
Lekcia a prezentácia na tému: "Systémy nerovností. Príklady riešení"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Interaktívna študijná príručka pre 9. ročník „Pravidlá a cvičenia z geometrie“
Elektronická učebnica "Zrozumiteľná geometria" pre ročníky 7-9
Systém nerovností
Chlapci, študovali ste lineárne a kvadratické nerovnosti, naučili ste sa riešiť problémy na tieto témy. Teraz prejdime k novému pojmu v matematike – systému nerovností. Systém nerovníc je podobný systému rovníc. Pamätáte si sústavy rovníc? V siedmom ročníku ste sa učili sústavy rovníc, skúste si spomenúť, ako ste ich riešili.Uveďme si definíciu systému nerovností.
Niekoľko nerovníc s nejakou premennou x tvorí systém nerovností, ak potrebujete nájsť všetky hodnoty x, pre ktoré každá z nerovností tvorí skutočný číselný výraz.
Akákoľvek hodnota x taká, že každá nerovnosť sa vyhodnotí ako platný číselný výraz, je riešením nerovnosti. Dá sa to nazvať aj súkromným riešením.
Čo je súkromné riešenie? Napríklad v odpovedi sme dostali výraz x>7. Potom x=8 alebo x=123 alebo nejaké iné číslo väčšie ako sedem je konkrétne riešenie a výraz x>7 je všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je tvorené súborom partikulárnych riešení.
Ako sme skombinovali sústavu rovníc? Správne, kučeravá ortéza, takže to isté robia s nerovnosťami. Pozrime sa na príklad systému nerovností: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ak systém nerovníc pozostáva z rovnakých výrazov, napríklad $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Čo teda znamená nájsť riešenie systému nerovností?
Riešenie nerovnosti je množina čiastkových riešení nerovnosti, ktorá spĺňa obe nerovnosti sústavy naraz.
Všeobecný tvar sústavy nerovností zapíšeme ako $\začiatok(prípady)f(x)>0\\g(x)>0\koniec(prípady)$
Nech $X_1$ označuje všeobecné riešenie nerovnosti f(x)>0.
$X_2$ je všeobecné riešenie nerovnosti g(x)>0.
$X_1$ a $X_2$ sú súborom konkrétnych riešení.
Riešením sústavy nerovníc budú čísla patriace $X_1$ aj $X_2$.
Pozrime sa na operácie na súpravách. Ako nájdeme prvky množiny, ktoré patria do oboch množín naraz? Správne, existuje na to križovatková prevádzka. Takže riešením našej nerovnosti bude množina $A= X_1∩ X_2$.
Príklady riešení systémov nerovností
Pozrime sa na príklady riešenia sústav nerovníc.Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x-1>2\\5x-10 b) $\začiatok(prípady)2x-4≤6\\-x-4
Riešenie.
a) Riešte každú nerovnosť samostatne.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x > 1 $.
5 x 10 dolárov
Naše intervaly označíme na jednej súradnicovej čiare.
Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený.
Odpoveď: (1; 3).
B) Každú nerovnicu riešime aj samostatne.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $. 
Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Druhá nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený vľavo.
Odpoveď: (-5; 5].
Zhrňme si, čo sme sa naučili.
Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém nerovností: $\začiatok(prípady)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\koniec (prípady)$.
Potom je interval ($x_1; x_2$) riešením prvej nerovnosti.
Interval ($y_1; y_2$) je riešením druhej nerovnosti.
Riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom riešení každej nerovnosti. 
Systémy nerovností môžu pozostávať z nerovností nielen prvého rádu, ale aj z akýchkoľvek iných typov nerovností.
Dôležité pravidlá riešenia sústav nerovníc.
Ak jedna z nerovností systému nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Ak je jedna z nerovností splnená pre ľubovoľné hodnoty premennej, potom riešením systému bude riešenie druhej nerovnosti.
Príklady.
Vyriešte systém nerovností: $\začiatok(prípady)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \koniec(prípady)$
Riešenie.
Riešime každú nerovnosť samostatne.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.
Vyriešme druhú nerovnosť.
$x^2-8x+12≤0 $.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Riešením nerovnosti je medzera. 
Nakreslíme oba intervaly na jednu priamku a nájdeme priesečník. 
Priesečníkom intervalov je segment (4; 6].
Odpoveď: (4;6].
Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\koniec (prípady) )$.
Riešenie.
a) Prvá nerovnica má riešenie x>1.
Nájdime diskriminant pre druhú nerovnosť.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Pripomeňme si pravidlo, že keď jedna z nerovností nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.
B) Prvá nerovnica má riešenie x>1.
Druhá nerovnosť je väčšia ako nula pre všetky x. Potom sa riešenie sústavy zhoduje s riešením prvej nerovnosti.
Odpoveď: x>1.
Úlohy na sústavách nerovníc na samostatné riešenie
Riešenie systémov nerovností:a) $\začiatok(prípady)4x-5>11\\2x-12 b) $\začiatok(prípady)-3x+1>5\\3x-11 c) $\začiatok (prípady)x^2-25 d) $\začiatok(prípady)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \koniec(prípady)$
e) $\začiatok(prípady)x^2+36
Článok odhaľuje tému nerovností, rozumie definíciám systémov a ich riešeniam. Uvažuje sa o bežných príkladoch riešenia sústav rovníc v škole v algebre.
Definícia systému nerovností
Systémy nerovníc sú určené definíciami sústav rovníc, čo znamená, že osobitná pozornosť sa venuje záznamom a významu samotnej rovnice.
Definícia 1
Systém nerovností nazvite záznam rovníc spojených zloženou zátvorkou so súborom riešení súčasne pre všetky nerovnosti zahrnuté v systéme.
Nasledujú príklady nerovností. Dané sú dve nerovnosti 2 · x − 3 > 0 a 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Je potrebné napísať jednu rovnicu pod druhú, potom skombinujeme pomocou zloženej zátvorky:
2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11
Rovnakým spôsobom sa definícia systémov nerovností uvádza v školských učebniciach ako pre jednu premennú, tak aj pre dve.
Hlavné typy systému nerovností
Existuje kompilácia nekonečnej množiny systémov nerovností. Sú zaradené do skupín, ktoré sa líšia v určitých vlastnostiach. Nerovnosti sú rozdelené podľa kritérií:
- počet systémových nerovností;
- počet premenných záznamov;
- druh nerovnosti.
Počet vstupných nerovností môže byť dva alebo viac. V predchádzajúcom odseku bol uvažovaný príklad riešenia systému s dvoma nerovnicami.
2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11
Uvažujme o riešení sústavy so štyrmi nerovnosťami.
x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2
Samostatné riešenie nerovnosti nehovorí o riešení systému ako celku. Na vyriešenie systému je potrebné využiť všetky dostupné nerovnosti.
Takéto systémy nerovností môžu mať jednu, dve, tri alebo viac premenných. V poslednom vyobrazenom systéme je to dobre viditeľné, máme tam tri premenné: x, y, z. Rovnice môžu obsahovať jednu premennú, ako v príklade, alebo niekoľko. Na základe príkladov sa nerovnosť x + 0 y + 0 z ≥ − 2 a 0 x + y + 0 z ≤ 5 nepovažujú za ekvivalentné. Školské vzdelávacie programy venujú pozornosť riešeniu nerovností s jednou premennou.
Pri písaní systému môžu byť zahrnuté rovnice rôznych typov a s rôznym počtom premenných. Najčastejšie celočíselné nerovnosti rôzne stupne. Pri príprave na skúšky môžu existovať systémy s iracionálnymi, logaritmickými, exponenciálnymi rovnicami vo forme:
544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1
Takýto systém zahŕňa exponenciálnu a logaritmickú rovnicu.
Riešenie systému nerovností
Definícia 2Uvažujme o príklade riešenia sústav rovníc s jednou premennou.
x > 7, 2 - 3 x ≤ 0
Ak je hodnota x = 8, potom je riešenie sústavy zrejmé, keďže 8 > 7 a 2 − 3 · 8 ≤ 0 sú splnené. Pri x = 1 sa systém nevyrieši, keďže prvá číselná nerovnosť v čase dosadzovania má 1 > 7 . Rovnakým spôsobom je riešený systém s dvoma alebo viacerými premennými.
Definícia 3
Riešenie sústavy nerovníc s dvoma alebo viacerými premennými pomenujte hodnoty, ktoré sú riešením všetkých nerovností, keď sa každá zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.
Ak x = 1 a y = 2 bude riešením nerovnosti x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .
Pri riešení sústav nerovníc môžu dať určitý počet odpovedí, alebo môžu byť nekonečné. Existuje mnoho riešení pre takýto systém. Ak neexistujú žiadne riešenia, potom sa hovorí, že má prázdnu množinu riešení. Ak má riešenie určitý počet, potom množina riešení má konečný počet prvkov. Ak existuje veľa riešení, potom množina riešení obsahuje nekonečný počet čísel.
Niektoré učebnice definujú konkrétne riešenie sústavy nerovností, ktoré sa chápe ako jediné riešenie. A za všeobecné riešenie sústavy nerovností sa považujú všetky jej partikulárne riešenia. Táto definícia sa používa zriedka, preto sa hovorí „riešenie systému nerovností“.
Tieto definície systémov nerovností a riešení sú považované za priesečníky množín riešení všetkých nerovností systému. Osobitná pozornosť by sa mala venovať časti o ekvivalentných nerovnostiach.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
V tejto lekcii budeme pokračovať v úvahách o racionálnych nerovnicách a ich systémoch, konkrétne: o systéme lineárnych a kvadratických nerovností. Najprv si pripomeňme, čo je to systém dvoch lineárnych nerovností s jednou premennou. Ďalej uvažujeme o systéme kvadratických nerovníc a metóde ich riešenia na príklade konkrétnych problémov. Pozrime sa bližšie na takzvanú strešnú metódu. Rozoberieme typické riešenia sústav a na konci hodiny zvážime riešenie sústavy s lineárnymi a kvadratickými nerovnosťami.
2. Elektronický vzdelávací a metodický komplex na prípravu ročníkov 10-11 na prijímacie skúšky z informatiky, matematiky, ruského jazyka ().
3. Vzdelávacie centrum „Technológia vzdelávania“ ().
4. Časť College.ru o matematike ().
1. Mordkovich A.G. a kol Algebra 9. ročník: Zošit úloh pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a kol - 4. vydanie. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor. Č. 58 (a, c); 62; 63.
