Exponenciálny stupeň. Exponenciálna funkcia. Čo je to exponenciálna funkcia

Koncentrácia pozornosti:

Definícia. Funkcia druh sa nazýva exponenciálna funkcia .

Komentujte. Základné vylúčenie ačísla 0; 1 a záporné hodnoty a vysvetlené nasledujúcimi okolnosťami:

Samotný analytický výraz a x v týchto prípadoch si zachováva svoj význam a možno sa s ním stretnúť pri riešení problémov. Napríklad za výraz x y bodka x = 1; r = 1 sa dostane do rozsahu prijateľných hodnôt.

Zostrojte grafy funkcií: a .

Graf exponenciálnej funkcie
y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Vlastnosti exponenciálnej funkcie	y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1
Rozsah funkcie
2. Rozsah funkčných hodnôt
3. Intervaly porovnávania s jednotkou	pri X> 0, a X > 1	pri X > 0, 0< a X < 1
	pri X < 0, 0< a X < 1	pri X < 0, a X > 1
4. Párne, nepárne.	Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná funkcia).
5. Monotónnosť.	zvyšuje monotónne o R	klesá monotónne o R
6. Extrémy.	Exponenciálna funkcia nemá žiadne extrémy.
7.Asymptota	Os O X je horizontálna asymptota.
8. Pre akékoľvek skutočné hodnoty X a r;

Keď je tabuľka naplnená, paralelne s plnením sa riešia úlohy.

Úloha číslo 1. (Nájsť doménu funkcie).

Aké hodnoty argumentov sú platné pre funkcie:

Úloha číslo 2. (Zistiť rozsah funkcie).

Na obrázku je znázornený graf funkcie. Zadajte rozsah a rozsah funkcie:

Úloha číslo 3. (Určiť intervaly porovnávania s jednotkou).

Porovnajte každú z nasledujúcich mocností s jednou:

Úloha číslo 4. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Porovnajte skutočné čísla podľa veľkosti m a n ak:

Úloha číslo 5. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Urobte záver o základe a, ak:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Aké sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

V jednej súradnicovej rovine sú vykreslené grafy funkcií:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Aké sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

číslo jedna z najdôležitejších konštánt v matematike. Podľa definície to rovná limite postupnosti s neobmedzeným zvýšenie n . Označenie e zavedené Leonhard Euler v roku 1736. Vypočítal prvých 23 číslic tohto čísla v desiatkovej sústave a samotné číslo bolo pomenované po Napierovi „číslo, ktoré nie je rovnocenné“. číslo e zohráva osobitnú úlohu v matematickej analýze. Exponenciálna funkcia so základňou e, nazývaný exponent a označené y = e x. Prvé známky čísla eľahko zapamätateľné: dva, čiarka, sedem, rok narodenia Leva Tolstého - dva krát, štyridsaťpäť, deväťdesiat, štyridsaťpäť.

Domáca úloha:

Kolmogorov s. 35; č. 445-447; 451; 453.

Zopakujte algoritmus na vytváranie grafov funkcií obsahujúcich premennú pod znakom modulu.

lekcia č.2

Téma: Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf.

Cieľ: Skontrolujte kvalitu asimilácie konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede.

Vybavenie: tabule, plagáty

Formulár lekcie: učebňa

Typ lekcie: praktická lekcia

Typ lekcie: lekcia nácviku zručností

Plán lekcie

1. Organizačný moment

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh

3. Riešenie problémov

4. Zhrnutie

5. Domáce úlohy

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment :

Ahoj. Otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu.

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh .

Cieľ: skontrolovať kvalitu asimilácie pojmu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať splnenie teoretickej časti domácej úlohy

metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum

Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Vykonávanie čísel z učebnice teraz nebudeme kontrolovať, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A k exponenciálnej funkcii treba napísať, či je rastúca alebo klesajúca.

Teraz si spoločne pripomeňme, aká funkcia sa nazýva exponenciálna?

Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.

Aký je rozsah tejto funkcie?

Všetky reálne čísla.

Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?

Všetky kladné reálne čísla.

Znižuje sa, ak je základ väčší ako nula, ale menší ako jedna.

Kedy klesá exponenciálna funkcia na svojom doméne?

Zvyšuje sa, ak je základňa väčšia ako jedna.

3. Riešenie problémov

Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie

Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť zložitá úloha: museli by sme vziať odmocninu z 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa to zvyšuje. je vo vlastnom rade znamená, že keď sa argument zvýši, hodnota funkcie sa zvýši, to znamená, že nám stačí porovnať hodnoty argumentu medzi sebou a samozrejme, že (možno demonštrovať na plagáte so zvyšujúcou sa exponenciálnou funkciou). A vždy pri riešení takýchto príkladov najskôr určte základ exponenciálnej funkcie, porovnajte s 1, určte monotónnosť a pristúpte k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: ako argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto sa pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií zmení znamienko nerovnosti. Potom riešime ústne: b)

-

AT)

-

G)

-

- č. 000. Porovnajte čísla: a) a

Preto sa funkcia zvyšuje

prečo?

Zvýšenie funkcie a

Preto funkcia klesá

Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom väčším ako jedna.

aký to má zmysel?

Vytvárame grafy:

Ktorá funkcia rastie rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie, keď sa snažíte https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistime rozsah týchto funkcií. zhodovať sa?

Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.

Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.

Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.

Určte typ monotónnosti každej z funkcií.

Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom menším ako jedna a väčším ako nula.

Aký je singulárny bod grafu exponenciálnej funkcie?

aký to má zmysel?

Bez ohľadu na základ stupňa exponenciálnej funkcie, ak je exponent 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.

Vytvárame grafy:

Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?

Ktorá funkcia sa pri úsilí znižuje rýchlejšie? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Ktorá funkcia rastie rýchlejšie, keď sa snažíte? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

Prečo majú exponenciálne funkcie s rôznymi základňami iba jeden priesečník?

Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.

Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a). Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na konci daného intervalu. A ak sa funkcia zvyšuje, jej najväčšia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenšia na ľavom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) , v) d) riešte zošity svojpomocne, skontrolujeme ústne.

Žiaci riešia úlohu vo svojom zošite

- № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) . Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale tu nie je daný segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , t.j. na lúči má funkcia v tendenciu k 0, ale nemá svoju najmenšiu hodnotu, ale má najväčšiu hodnotu v bode . Body b) , v) , G) Vyriešte si vlastné zošity, skontrolujeme to ústne.

Exponenciálna funkcia je zovšeobecnenie súčinu n čísel rovných a:
r (n) = a n = a a a a,
na množinu reálnych čísel x :
r (x) = x.
Tu a je pevné reálne číslo, ktoré sa nazýva základ exponenciálnej funkcie.
Nazýva sa aj exponenciálna funkcia so základom a exponenciálny k základu a.

Zovšeobecnenie sa uskutočňuje nasledovne.
Pre prirodzené x = 1, 2, 3,... , exponenciálna funkcia je súčinom x faktorov:
.
Okrem toho má vlastnosti (1,5-8) (), ktoré vyplývajú z pravidiel pre násobenie čísel. Pri nulových a záporných hodnotách celých čísel je exponenciálna funkcia určená vzorcami (1,9-10). Pre zlomkové hodnoty x = m/n racionálnych čísel, sa určuje podľa vzorca (1.11). V skutočnosti je exponenciálna funkcia definovaná ako limit postupnosti:
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel konvergujúcich k x : .
Pomocou tejto definície je exponenciálna funkcia definovaná pre všetky , a spĺňa vlastnosti (1.5-8), ako aj pre prirodzené x .

Dôkladná matematická formulácia definície exponenciálnej funkcie a dôkaz jej vlastností je uvedený na stránke "Definícia a dôkaz vlastností exponenciálnej funkcie".

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel () nasledujúce vlastnosti:
(1.1) je definovaný a spojitý, pre , pre všetkých ;
(1.2) keď a ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s inou mocninou:

Pre b = e dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie z hľadiska exponentu:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = x
pre štyri hodnoty stupňa základov:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidieť, že pre > 1 exponenciálna funkcia monotónne rastie. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. o 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Stúpajúci klesajúci

Exponenciálna funkcia at je prísne monotónna, takže nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota exponenciálnej funkcie so základom stupňa a je logaritmus k základu a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo pre derivovanie komplexnej funkcie.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Na tento účel zavedieme premennú

Potom

Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z ):
.
Keďže je konštanta, derivácia z vzhľadom na x je
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivácia exponenciálnej funkcie

.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Príklad diferenciácie exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y= 35 x

rozhodnutie

Základ exponenciálnej funkcie vyjadrujeme číslom e.
3 = e log 3
Potom
.
Zavádzame premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pokiaľ ide o 5ln 3 je konštanta, potom derivácia z vzhľadom na x je:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy v komplexných číslach

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Komplexnú konštantu a vyjadríme pomocou modulu r a argumentu φ :
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 pn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) je tiež nejednoznačný. Často sa považuje za jeho hlavný význam
.

Rozšírenie v sérii

.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.