Domov

Ako vyriešiť USE úlohu č. 13 pre exponenciálne a logaritmické rovnice | 1C: Tútor

Čo potrebujete vedieť o exponenciálnych a logaritmických rovniciach na riešenie problémov USE v matematike?

Po prvé, úloha č.13 variantu KIM USE, síce ojedinele, ale predsa len niekedy je to práve taká rovnica, ktorú je potrebné nielen vyriešiť, ale aj (podobne ako pri úlohe z trigonometrie) vybrať korene rovnice, ktoré vyhovujú ľubovoľnému stav.

Jedna z možností na rok 2017 teda zahŕňala nasledujúcu úlohu:

a) Vyriešte rovnicu 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Označte korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

odpoveď: a) 2; log 2 7 a b) log 2 7.

V inej verzii bola takáto úloha:

a) Vyriešte rovnicu 6log 8 2 X– 5 denníkov 8 X + 1 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

odpoveď: a) 2 a 2√ 2 ; b) 2.

Bolo tam aj toto:

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2cos X) – 5 log 3 (2kos X) + 2 = 0.

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu [π; 5π/2].

odpoveď: a) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) a b) 11π/6; 13π/6.

Po druhéŠtúdium metód na riešenie exponenciálnych a logaritmických rovníc je dobré, pretože základné metódy riešenia rovníc a nerovníc v skutočnosti používajú rovnaké matematické myšlienky.

Hlavné metódy riešenia exponenciálnych a logaritmických rovníc sú ľahko zapamätateľné, je ich len päť: redukcia na najjednoduchšiu rovnicu, použitie ekvivalentných prechodov, zavedenie nových neznámych, logaritmus a faktorizácia. Samostatne existuje metóda využitia vlastností exponenciálnych, logaritmických a iných funkcií pri riešení problémov: niekedy je kľúčom k riešeniu rovnice doména definície, rozsah hodnôt, nezápornosť, ohraničenosť, rovnomernosť zahrnutých funkcií. v ňom.

V úlohe č. 13 sú spravidla rovnice, ktoré vyžadujú použitie piatich hlavných metód uvedených vyššie. Každá z týchto metód má svoje vlastné charakteristiky, ktoré musíte poznať, pretože práve ich neznalosť vedie k chybám pri riešení problémov.

Aké najčastejšie chyby robia skúšajúci?

Študenti často pri riešení rovníc obsahujúcich exponenciálnu mocninnú funkciu zabudnú zvážiť jeden z prípadov, keď je rovnosť splnená. Ako je známe, rovnice tohto tvaru sú ekvivalentné množine dvoch systémov podmienok (pozri nižšie), hovoríme o prípade, keď a( X) = 1

Táto chyba je spôsobená tým, že pri riešení rovnice skúšaný formálne používa definíciu exponenciálnej funkcie (y= sekera, a>0, a ≠ 1): at a ≤ 0 exponenciálna funkcia nie je skutočne definovaná,

Ale pri a = 1 je definovaná, ale nie je exponenciálna, pretože jednotka v akejkoľvek skutočnej mocnine je identicky rovná sama sebe. To znamená, že ak v uvažovanej rovnici pri a(X) = 1 existuje skutočná číselná rovnosť, potom zodpovedajúce hodnoty premennej budú koreňmi rovnice.

Ďalšou chybou je použitie vlastností logaritmov bez zohľadnenia rozsahu prijateľných hodnôt. Napríklad známa vlastnosť „logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmov“ má zovšeobecnenie:
log a( f(X)g(X)) = log a │ f(X)│ + log a │g( X)│, o f(X)g(X) > 0, a > 0, a ≠ 1

Na definovanie výrazu na ľavej strane tejto rovnosti totiž stačí, aby súčin funkcií f a g bola kladná, ale samotné funkcie môžu byť zároveň väčšie aj menšie ako nula, preto pri aplikácii tejto vlastnosti je potrebné použiť koncept modulu.

A takých príkladov je veľa. Pre efektívny vývoj metód na riešenie exponenciálnych a logaritmických rovníc je preto najlepšie využiť služby, ktoré budú vedieť o takýchto „úskaliach“ rozprávať na príkladoch riešenia príslušných skúšobných problémov.

Pravidelne precvičujte riešenie problémov

Na začatie štúdia na portáli 1C: Tutor to stačí.
Môžeš:

Všetky kurzy pozostávajú z metodicky správnej postupnosti teórie a praxe potrebnej pre úspešné riešenie problémov. Zahŕňajú teóriu vo forme textov, diapozitívov a videí, úlohy s riešením, interaktívne simulátory, modely a testy.

Máte nejaké otázky? Zavolajte nám na číslo 8 800 551-50-78 alebo napíšte online chat.

Tu sú kľúčové frázy, aby vyhľadávacie roboty lepšie našli naše tipy:
Ako vyriešiť úlohu 13 na skúške USE, úlohy na logaritmy, Kim USE 2017, príprava na USE profil matematiky, Matematický profil, riešenie rovníc a logaritmov, riešenie úloh pre exponenciálne rovnice USE, výpočet vlastností logaritmov, exponenciály -mocninová funkcia, úlohy na úrovni matematického profilu, aplikácia vlastností logaritmov, riešenie úloh pre odmocniny, úlohy Jednotnej štátnej skúšky 2017 pomocou exponenciálnych rovníc, príprava na skúšku pre absolventov 11. ročníka v roku 2018 nastupujúcich na technickú univerzitu.

V úlohe 13 na úrovni profilu USE v matematike je potrebné vyriešiť rovnicu, ale so zvýšenou úrovňou zložitosti, pretože úlohy predchádzajúcej úrovne C začínajú úlohou 13 a túto úlohu možno nazvať C1. Prejdime k zvažovaniu príkladov typických úloh.

Analýza typických možností pre zadanie č. 13 VYUŽITIE v matematike na úrovni profilu

Prvá verzia úlohy (demo verzia 2018)

a) Vyriešte rovnicu cos2x = 1-cos(p/2-x)

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do intervalu [-5p/2;-p].

Algoritmus riešenia:

1. t
2. Robíme inverznú substitúciu a riešime najjednoduchšie goniometrické rovnice.

1. Vytvárame číselný rad.
2. Založíme naň korienky.
3. Označte konce segmentu.
4. Vyberáme tie hodnoty, ktoré ležia vo vnútri intervalu.
5. Odpoveď zapíšeme.

rozhodnutie:

1. Transformujte pravú stranu rovnosti pomocou redukčného vzorca cos( π/ 2−X)=hriech X. Máme:

cos2x = 1 - hriech X.

Transformujme ľavú stranu rovnice pomocou vzorca s dvojitým argumentom kosínus pomocou sínusu:

cos(2x)=1−2sin 2x

Dostaneme nasledujúcu rovnicu: 1-sin 2 X= 1 – hriech X

Teraz je v rovnici iba jedna goniometrická funkcia sin X.

2. Predstavujeme náhradu: t= hriech X. Vyriešime výslednú kvadratickú rovnicu:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 alebo -2t + 1 = 0,

t 1 \u003d 0 t 2 \u003d 1/2.

3. Vykonanie spätnej výmeny:

hriech X= 0 alebo hriech X = ½

Riešime tieto rovnice:

hriech X =0↔X=πn, nЄZ

hriech( X)=1/2↔X= (-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Preto získame dve rodiny riešení.

1. V predchádzajúcom odseku boli získané dve rodiny, z ktorých každá má nekonečne veľa riešení. Je potrebné zistiť, ktoré z nich sú v danom intervale. Aby sme to dosiahli, zostavíme číselnú os.

2. Vložíme naň korene oboch rodín, pričom ich označíme zelenou (prvá) a modrou (druhá).

3. Označte konce medzery červenou farbou.

4. V uvedenom intervale sú tri korene, ktoré sú tromi koreňmi: −2 π ;−11π/ 6 a -7 π/ 6.

a) πn, nЄZ;(-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) -2 π ;−11π 6;−7π 6

Druhá verzia úlohy (od Yaschenka, č. 1)

Algoritmus riešenia:

1. Túto funkciu nahradíme premennou t a vyriešiť výslednú kvadratickú rovnicu.
2. Urobíme inverznú substitúciu a vyriešime najjednoduchšie exponenciálne, potom trigonometrické rovnice.

1. Postavíme súradnicovú rovinu a na nej kružnicu s jednotkovým polomerom.
2. Označujeme body, ktoré sú koncami segmentu.
3. Vyberáme tie hodnoty, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
4. Odpoveď zapíšeme.

rozhodnutie:

1. Zavedieme náhradu t = 4 cos x. potom bude mať rovnica tvar:

Kvadratickú rovnicu riešime pomocou diskriminačných a koreňových vzorcov:

D \u003d b 2 - c \u003d 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 \u003d 49,

t 1 \u003d (9 - 7) / 8 \u003d ¼, t 2 \u003d (9 + 7) / 8 \u003d 2.

3. Vrátime sa k premennej x:

1. Zostrojíme na ňu súradnicovú rovinu a kružnicu s jednotkovým polomerom.

2. Označíme body, ktoré sú koncami segmentu.

3. Vyberte hodnoty, ktoré ležia vo vnútri segmentu.

Toto sú korene. Sú dve.

a)

b)

Tretia verzia úlohy (od Yaschenka, č. 6)

Algoritmus riešenia:

1. Pomocou goniometrických vzorcov zredukujeme rovnicu do tvaru obsahujúceho iba jednu goniometrickú funkciu.
2. Túto funkciu nahradíme premennou t a vyriešiť výslednú kvadratickú rovnicu.
3. Urobíme inverznú substitúciu a vyriešime najjednoduchšie exponenciálne a potom trigonometrické rovnice.

1. Nerovnosti riešime pre každý prípad.
2. Odpoveď zapíšeme.

rozhodnutie:

1. Redukčnými vzorcami .

2. Potom bude mať táto rovnica tvar:

3. Zavádzame náhradu . Dostaneme:

Obvyklú kvadratickú rovnicu riešime pomocou diskriminačných a koreňových vzorcov: