Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vynesieme hodnoty argumentu na vodorovnú os X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x).
Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.
Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).
Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 a y \u003d x 2 – 2x.
Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj tak spravidla nie celého grafu, ale iba jeho časti umiestnenej v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.
Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom vyhľadajte číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).
Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.
Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1.
Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.
Tabuľka vyzerá takto:
Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).
Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti zostáva správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi extrémnymi bodmi neznáme.
Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:
Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.
Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.
Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu
.
Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané v tabuľke vyššie. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.
Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto na vykreslenie danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.
Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr, ale teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.
Graf funkcie y = |f(x)|.
Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definíciou absolútnej hodnoty čísla možno písať
To znamená, že graf funkcie y=|f(x)| možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého súradnice nie sú záporné, by sa malo ponechať nezmenené; ďalej namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).
Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.
Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu kedy X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).
Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.
Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2 ) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu odráža symetricky okolo osi x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x
Graf funkcie y = f(x) + g(x)
Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) a y = g(x).
Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných oblastí, funkcií f(x) ) a g(x).
Nechajte body (x 0, y 1) a (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) a y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). a y = g(x) nahradením každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x).
Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) a y = g(x)
Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx.
Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, a g(x) = sinx. Na vytvorenie funkčného grafu vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.
Konštrukcia grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko vykresliť aj tie zdanlivo zložité funkcie. Pozrime sa, aké sú tieto algoritmy.
1. Vykreslenie funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené úplne v hornej polrovine.
Vykreslenie funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Starostlivo a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body grafu, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Časť grafu, ktorá leží pod osou 0x, zobrazte symetricky okolo osi 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 - 4x + 3|
1) Zostavíme graf funkcie y \u003d x 2 - 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 - 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Parabola teda pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v \u003d - (-4/2) \u003d 2, y v \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou prijatých údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, znázornené bodkovanou čiarou).
2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite funkciu y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v odseku (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2 , potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná takto: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. A teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavujeme graf funkcie y \u003d x 2 - 4 x + 3 (pozri tiež ryža. jeden).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte pravú stranu grafu symetricky k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Nakreslíme funkciu y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda umiestnené úplne v hornej polrovine.
Na vykreslenie funkcie y = |f(|x|)| potrebujete:
1) Zostrojte úhľadný graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x by mala byť zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. Preto namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - jeden
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sú rovnaké.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslíme funkciu y \u003d -x 2 + 2x - 1 (obr. 6).
b) Necháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Zobrazte výslednú časť grafu symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite funkciu y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimnite si, že táto funkcia je lineárna zlomková a jej graf je hyperbola. Ak chcete vytvoriť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne - y \u003d 2/1 (pomer koeficientov v x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne - x \u003d -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x, zostane nezmenená.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (obr. 11).
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Zostavte funkciu
Dávame do pozornosti službu vykresľovania funkčných grafov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno grafu, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.
Výhody online grafov
- Vizuálne zobrazenie predstavených funkcií
- Vytváranie veľmi zložitých grafov
- Vykresľovanie implicitne definovaných grafov (napr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Schopnosť ukladať grafy a získať na ne odkaz, ktorý bude dostupný pre každého na internete
- Ovládanie mierky, farba čiary
- Schopnosť vykresľovať grafy podľa bodov, použitie konštánt
- Konštrukcia viacerých grafov funkcií súčasne
- Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))
S nami je jednoduché vytvárať online grafy rôznej zložitosti. Stavba je hotová okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov pre ich ďalší prenos do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov, na analýzu behaviorálnych vlastností grafov funkcií. Najlepší prehliadač na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Pri použití iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.
Funkčný graf je vizuálna reprezentácia správania sa nejakej funkcie v rovine súradníc. Grafy pomáhajú pochopiť rôzne aspekty funkcie, ktoré nemožno určiť z funkcie samotnej. Môžete zostaviť grafy mnohých funkcií a každá z nich bude daná špecifickým vzorcom. Graf akejkoľvek funkcie je zostavený podľa určitého algoritmu (ak ste zabudli na presný postup vykresľovania grafu konkrétnej funkcie).
Kroky
Vykreslenie lineárnej funkcie
- Ak je sklon záporný, funkcia klesá.
-
Z bodu, kde sa čiara pretína s osou Y, nakreslite druhý bod pomocou zvislých a vodorovných vzdialeností. Lineárnu funkciu je možné vykresliť pomocou dvoch bodov. V našom príklade má priesečník s osou Y súradnice (0,5); z tohto bodu sa posuňte o 2 polia nahor a potom o 1 pole doprava. Označte bod; bude mať súradnice (1,7). Teraz môžete nakresliť priamku.
Pomocou pravítka nakreslite priamku cez dva body. Aby ste sa vyhli chybám, nájdite tretí bod, no vo väčšine prípadov je možné graf zostaviť pomocou dvoch bodov. Takto ste nakreslili lineárnu funkciu.
Kreslenie bodov v súradnicovej rovine
-
Definujte funkciu. Funkciu označujeme ako f(x). Všetky možné hodnoty premennej "y" sa nazývajú rozsah funkcie a všetky možné hodnoty premennej "x" sa nazývajú doména funkcie. Uvažujme napríklad funkciu y = x+2, konkrétne f(x) = x+2.
Nakreslite dve pretínajúce sa kolmé čiary. Vodorovná čiara je os X. Zvislá čiara je os Y.
Označte súradnicové osi. Rozdeľte každú os na rovnaké segmenty a očíslujte ich. Priesečník osí je 0. Pre os X: kladné čísla sú vynesené vpravo (od 0) a záporné čísla vľavo. Pre os Y: kladné čísla sú vynesené hore (od 0) a záporné čísla dole.
Nájdite hodnoty "y" z hodnôt "x". V našom príklade f(x) = x+2. Nahradením určitých hodnôt „x“ do tohto vzorca vypočítate zodpovedajúce hodnoty „y“. Ak je zadaná komplexná funkcia, zjednodušte ju izoláciou "y" na jednej strane rovnice.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Nakreslite body v rovine súradníc. Pre každý pár súradníc vykonajte nasledovné: nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi x a nakreslite zvislú čiaru (bodkovaná čiara); nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi y a nakreslite vodorovnú čiaru (bodkovaná čiara). Označte priesečník dvoch bodkovaných čiar; tým ste nakreslili bod grafu.
Vymažte bodkované čiary. Urobte to po vynesení všetkých bodov grafu do súradnicovej roviny. Poznámka: graf funkcie f(x) = x je priamka prechádzajúca stredom súradníc [bod so súradnicami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je priamka rovnobežná s priamkou f(x) = x, ale posunutá nahor o dve jednotky a teda prechádzajúca bodom so súradnicami (0,2) (pretože konštanta je 2) .
Vykreslenie komplexnej funkcie
Nájdite nuly funkcie. Nuly funkcie sú hodnoty premennej „x“, pri ktorej y = 0, to znamená, že ide o priesečníky grafu s osou x. Majte na pamäti, že nie všetky funkcie majú nuly, ale toto je prvý krok v procese vykresľovania akejkoľvek funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, nastavte ju na nulu. Napríklad:
Nájdite a označte horizontálne asymptoty. Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie približuje, no nikdy ju nepretína (to znamená, že funkcia nie je v tejto oblasti definovaná, napr. pri delení 0). Označte asymptotu bodkovanou čiarou. Ak je premenná "x" v menovateli zlomku (napr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte menovateľa na nulu a nájdite "x". V získaných hodnotách premennej "x" funkcia nie je definovaná (v našom príklade nakreslite prerušované čiary cez x = 2 a x = -2), pretože nemôžete deliť 0. Ale asymptoty existujú nielen v prípadoch, keď funkcia obsahuje zlomkový výraz. Preto sa odporúča používať zdravý rozum:
-
Zistite, či je funkcia lineárna. Lineárna funkcia je daná vzorcom tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) alebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(napríklad ) a jeho graf je priamka. Vzorec teda obsahuje jednu premennú a jednu konštantu (konštantu) bez akýchkoľvek exponentov, koreňových znamienok a podobne. Vzhľadom na funkciu podobného tvaru je vykreslenie takejto funkcie celkom jednoduché. Tu sú ďalšie príklady lineárnych funkcií:
Na označenie bodu na osi y použite konštantu. Konštanta (b) je súradnicou „y“ priesečníka grafu s osou Y. To znamená, že ide o bod, ktorého súradnica „x“ je 0. Ak teda x = 0 dosadíme do vzorca , potom y = b (konštanta). V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konštanta je 5, to znamená, že priesečník s osou Y má súradnice (0,5). Nakreslite tento bod na rovinu súradníc.
Nájdite sklon čiary. Rovná sa násobiteľu premennej. V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s premennou "x" je koeficient 2; sklon je teda 2. Sklon určuje uhol sklonu priamky k osi X, to znamená, že čím väčší je sklon, tým rýchlejšie sa funkcia zvyšuje alebo znižuje.
Napíšte sklon ako zlomok. Sklon sa rovná dotyčnici uhla sklonu, to znamená pomeru vertikálnej vzdialenosti (medzi dvoma bodmi na priamke) k horizontálnej vzdialenosti (medzi rovnakými bodmi). V našom príklade je sklon 2, takže môžeme povedať, že vertikálna vzdialenosť je 2 a horizontálna vzdialenosť je 1. Napíšte to zlomkom: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Zostrojte krivku danú parametrickými rovnicami \
Najprv si preštudujme grafy funkcií \(x\left(t \right)\) a \(x\left(t \right)\). Obe funkcie sú kubické polynómy, ktoré sú definované pre všetky \(x \in \mathbb(R).\) Nájdite deriváciu \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ vpravo) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Riešenie rovnice \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definujte stacionárne body funkcie \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcia \(x\left(t \right)\) dosiahne maximum rovné \ a v bode \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) má minimum rovná sa \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Zvážte deriváciu \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Nájdite stacionárne body funkcie \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Šípka doprava (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Tu podobne funkcia \(y\left(t \right)\) dosiahne svoje maximum v bode \(t = -2:\) \ a svoje minimum v bode \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \righ t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafy funkcií \(x\left(t) \ right)\), \(y\left(t \right)\) sú schematicky znázornené na obrázku \(15a.\)
Obr.15a |
Obr. 15b |
Obr.15c |
Všimnite si, že keďže \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] potom krivka \(y\left(x \right)\) nemá ani vertikálu, žiadne horizontálne asymptoty. Navyše, keďže \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (modrá)(t^3)) + \farba(červená)(2(t^2)) - \farba(zelená)(4t) - \zrušiť(\farba(modrá)(t^3)) - \ farba (red)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] potom krivka \(y\left(x \right)\) tiež nemá žiadne šikmé asymptoty.
Určme priesečníky grafu \(y\vľavo(x \vpravo)\) so súradnicovými osami. Priesečník s osou x sa vyskytuje v nasledujúcich bodoch: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\šípka doprava D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \vpravo) = 20,)\;\; (\ Šípka doprava (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5.) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\šípka doprava D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \vpravo) = 5,)\;\; (\ Šípka doprava (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normálna veľkosť.) \)
V druhom intervale \(\left(( - 2, - 1) \right)\) sa premenná \(x\) zvyšuje z \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) na \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) a premenná \(y\) klesá z \(y\left(( - 2) \right) = 8\) na \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Tu máme úsek klesajúcej krivky \(y\left(x \right).\) Pretína os y v bode \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \vpravo).\)
Na treťom intervale \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) obe premenné klesajú. \(x\) sa zmení z \(x\left(( - 1) \right) = 1\) na \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) V súlade s tým sa \(y\) znižuje z \(y\left(( - 1) \right) = 5\) na \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Krivka \(y\left(x \right)\ ) sa pretína pôvod súradníc.
Na štvrtom intervale \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) sa premenná \(x\) zvyšuje od \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) až \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) a premenná \(y\) klesá z \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) do \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) V tejto sekcii krivka \(y\left(x \right)\) pretína os y v bode \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Nakoniec na poslednom intervale \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) obe funkcie \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) zvýšiť. Krivka \(y\vľavo(x \vpravo)\) pretína os x v bode \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \cca 2,18.\)
Na spresnenie tvaru krivky \(y\left(x \right)\) vypočítame maximálny a minimálny bod. Derivát \(y"\left(x \right)\) je vyjadrený ako \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t)))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\zrušiť(3)\vľavo((t + 2) \vpravo)\vľavo((t - \frac(2)(3))) \ vpravo)))((\zrušiť(3)\vľavo((t + 1) \vpravo)\vľavo((t - \frac(1)(3)) \vpravo))) ) = (\frac(( \ vľavo((t + 2) \vpravo)\vľavo((t - \frac(2)(3)) \vpravo)))((\vľavo((t + 1) \vpravo)\vľavo((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Zmena znamienka derivácie \(y"\left(x \right)\) je znázornená na obrázku \(15c.\) Je vidieť, že v bode \(t = - 2,\) t.j. na hranici \(I\)-tého a \(II\)-tého intervalu má krivka maximum a pre \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (na hranici \(IV\)-tý a \(V\)-tý interval) je minimum. Pri prechode bodom \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) derivacia tiez zmeni znamienko z plus na minus, ale v tejto oblasti krivka \(y\left(x \right)\ ) nie je jednoznačná funkcia. Naznačený bod teda nie je extrém.
Tiež skúmame konvexnosť tejto krivky. Druhá derivácia\(y""\left(x \right)\) má tvar: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \vpravo))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \vpravo))^\prvočíslo )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ vpravo ))^\primer ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \vpravo)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \vpravo))^3))) = \ frac((\zrušiť(\farba(modrá)(18(t^3))) + \farba(červená)(24(t^2)) + \farba(zelená)(2t) - \farba(gaštanová) ( 4) - \cancel(\color(modrá)(18(t^3))) - \color(červená)(30(t^2)) + \color(zelená)(16t) + \color(gaštanová) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(zelená)(18t) + \color(gaštanová)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1)) \vpravo))^3))). \] V dôsledku toho druhá derivácia zmení svoje znamienko na opačné pri prechode cez nasledujúce body (obr.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \vpravo ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \približne 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \približne 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \cca 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \cca 40,8.) \] Preto sú tieto body inflexnými bodmi krivky \(y\left (x \vpravo).\)
Schematický graf krivky \(y\left(x \right)\) je zobrazený vyššie na obrázku \(15b.\)
