Kako dobiti broj ispod roota na internetu. Kako ručno pronaći kvadratni korijen broja

Razmotrimo ovaj algoritam na primjeru. Nađimo

1. korak. Broj ispod korijena dijelimo na dvije znamenke (s desna na lijevo):

2. korak. Izvlačimo Korijen od prvog lica, tj. od broja 65, dobivamo broj 8. Ispod prvog lica upisujemo kvadrat broja 8 i oduzimamo. Drugo lice (59) pripisujemo ostatku:

(broj 159 je prvi ostatak).

3. korak. Udvostručimo pronađeni korijen i zapišemo rezultat s lijeve strane:

4. korak. Odvojimo u ostatku (159) jednu znamenku s desne strane, s lijeve strane dobijemo broj desetica (jednako je 15). Zatim 15 podijelimo s udvostručenom prvom znamenkom korijena, odnosno sa 16, budući da 15 nije djeljivo sa 16, tada u kvocijentu dobijemo nulu koju zapisujemo kao drugu znamenku korijena. Dakle, u količniku smo dobili broj 80, koji ponovno udvostručimo i rušimo sljedeće lice

(broj 15901 je drugi ostatak).

5. korak. U drugom ostatku odvajamo jednu znamenku s desna i dobiveni broj 1590 podijelimo sa 160. Rezultat (broj 9) zapisuje se kao treća znamenka korijena i pripisuje se broju 160. Dobiveni broj 1609 množi se s 9 i nalazimo sljedeći ostatak (1420):

NA daljnje djelovanje izvode se redoslijedom navedenim u algoritmu (korijen se može izdvojiti s potrebnim stupnjem točnosti).

Komentar. Ako je korijenski izraz decimalni razlomak, tada se njegov cijeli broj dijeli na dvije znamenke s desna na lijevo, razlomak se dijeli na dvije znamenke s lijeva na desno, a korijen se izdvaja prema navedenom algoritmu.

DIDAKTIČKO GRADIVO

1. Uzmi kvadratni korijen broja: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Po mogućnosti inženjering - onaj u kojem se nalazi gumb s korijenskim znakom: "√". Obično je za izdvajanje korijena dovoljno upisati sam broj, a zatim pritisnuti gumb: “√”.

U većini modernih Mobiteli postoji aplikacija "kalkulator" s funkcijom vađenja korijena. Postupak za pronalaženje korijena broja pomoću telefonskog kalkulatora sličan je gore navedenom.
Primjer.
Pronađite od 2.
Uključujemo kalkulator (ako je isključen) i uzastopno pritišćemo gumbe sa slikom dva i korijenom (“2”, “√”). Pritiskanje tipke "=" obično nije potrebno. Kao rezultat, dobivamo broj poput 1,4142 (broj znakova i "zaokruženost" ovisi o dubini bita i postavkama kalkulatora).
Napomena: kada pokušavate pronaći korijen, kalkulator obično daje pogrešku.

Ako imate pristup računalu, pronalaženje korijena broja je vrlo jednostavno.
1. Možete koristiti aplikaciju Kalkulator dostupnu na gotovo svakom računalu. Za Windows XP ovaj se program može pokrenuti na sljedeći način:
"Start" - "Svi programi" - "Dodatna oprema" - "Kalkulator".
Bolje je postaviti pogled na "normalan". Inače, za razliku od pravog kalkulatora, gumb za vađenje korijena označen je kao "sqrt", a ne "√".

Ako ne dođete do kalkulatora na navedeni način, tada možete pokrenuti standardni kalkulator "ručno":
"Start" - "Run" - "calc".
2. Da biste pronašli korijen broja, možete koristiti i neke programe instalirane na vašem računalu. Osim toga, program ima svoj ugrađeni kalkulator.

Na primjer, za aplikaciju MS Excel možete učiniti sljedeći slijed radnji:
Pokrećemo MS Excel.

U bilo koju ćeliju upisujemo broj iz kojeg želite izdvojiti korijen.

Pomaknite pokazivač ćelije na drugo mjesto

Pritisnite tipku za odabir funkcije (fx)

Odaberite funkciju "ROOT".

Kao argument funkcije navedite ćeliju s brojem

Pritisnite "OK" ili "Enter"
Prednost ove metode je u tome što je sada dovoljno unijeti bilo koju vrijednost u ćeliju s brojem, jer se u s funkcijom odmah pojavljuje.
Bilješka.
Postoji nekoliko drugih, egzotičnijih načina za pronalaženje korijena broja. Na primjer, "ugao", koristeći klizač ili Bradisove tablice. Međutim, ove metode nisu razmatrane u ovom članku zbog svoje složenosti i praktične beskorisnosti.

Slični Videi

Izvori:

• kako pronaći korijen broja

Ponekad postoje situacije kada neke morate izvesti matematički izračuni, uključujući vađenje kvadratnog korijena i većeg korijena broja. Korijen "n" od "a" je broj n-ti stupanjšto je broj "a".

Uputa

Da biste pronašli korijen "n" od , učinite sljedeće.

Kliknite na računalu "Start" - "Svi programi" - "Dodatna oprema". Zatim uđite u pododjeljak "Uslužni programi" i odaberite "Kalkulator". To možete učiniti ručno: kliknite "Start", upišite "calk" u redak "run" i pritisnite "Enter". otvorit će se. Da biste izdvojili kvadratni korijen bilo kojeg broja, unesite ga u redak kalkulatora i pritisnite gumb s oznakom "sqrt". Kalkulator će iz unesenog broja izdvojiti korijen drugog stupnja, nazvan kvadrat.

Da biste izvukli korijen, čiji je stupanj veći od drugog, trebate koristiti drugu vrstu kalkulatora. Da biste to učinili, kliknite gumb "Prikaz" u sučelju kalkulatora i s izbornika odaberite redak "Inženjering" ili "Znanstveno". Ovaj tip kalkulatora ima sve potrebne za izračun korijen nth funkcija stupnja.

Za izdvajanje korijena trećeg stupnja (), na "inženjerskom" kalkulatoru upišite željeni broj i pritisnite gumb "3√". Da biste dobili korijen veći od 3, upišite željeni broj, pritisnite gumb s ikonom "y√x" i zatim unesite broj - eksponent. Nakon toga pritisnite znak jednakosti ("=" gumb) i dobit ćete korijen koji tražite.

Ako vaš kalkulator nema funkciju "y√x", sljedeće.

Izdvojiti kockasti korijen unesite korijenski izraz, a zatim stavite kvačicu u potvrdni okvir, koji se nalazi pored natpisa "Inv". Ovom radnjom ćete obrnuti funkcije gumba kalkulatora, tj. klikom na gumb za kocku izvući ćete korijen kocke. Na gumb koji ti

Nerijetko se pri rješavanju problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih trebamo izdvojiti Korijen. Mnogi učenici odluče da je to pogreška i počnu rješavati cijeli primjer. To se ni pod kojim uvjetima ne smije raditi! Dva su razloga za to:

1. Korijeni iz velike brojke zapravo se javljaju u zadacima. Pogotovo u tekstu;
2. Postoji algoritam po kojem se ti korijeni smatraju gotovo verbalno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari činiti neshvatljivima. Ali ako obratite pažnju na ovu lekciju, dobit ćete najmoćnije oružje protiv kvadratni korijeni .

Dakle, algoritam:

1. Ograničite željeni korijen iznad i ispod na višekratnike od 10. Dakle, smanjit ćemo raspon pretraživanja na 10 brojeva;
2. Od ovih 10 brojeva izbacite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat toga, ostat će 1-2 broja;
3. Kvadrat ovih 1-2 broja. Onaj od njih, čiji je kvadrat jednak izvornom broju, bit će korijen.

Prije nego što ovaj algoritam počne raditi u praksi, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih se brojeva nalazi naš korijen. Vrlo je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Što nam daju ovi brojevi? Jednostavno je: dobivamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. On leži između 900 i 1600. Stoga njegov korijen ne može biti manji od 30 i veći od 40:

[Naslov slike]

Isto je i sa bilo kojim drugim brojem iz kojeg možete pronaći kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobivamo vrlo specifičan raspon u kojem leži izvorni korijen. Da biste dodatno suzili opseg pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očito suvišnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Primili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da nastaviš dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata svesti na dva – i to opet bez kompliciranih kalkulacija! Dovoljno je poznavati posebno pravilo. Evo ga:

Posljednja znamenka kvadrata ovisi samo o posljednjoj znamenki izvorni broj.

Drugim riječima, dovoljno je pogledati posljednju znamenku kvadrata - i odmah ćemo shvatiti gdje završava izvorni broj.

Postoji samo 10 znamenki koje mogu biti na zadnjem mjestu. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kad se kvadriraju. Pogledajte tablicu:

Ova tablica je još jedan korak prema izračunavanju korijena. Kao što možete vidjeti, pokazali su se brojevi u drugom retku simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja znamenka je ista u oba slučaja. A to znači da, na primjer, korijen od 3364 nužno završava na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog stavka. dobivamo:

Crveni kvadrati pokazuju da ovu brojku još ne znamo. No, na kraju krajeva, korijen leži između 50 i 60, na kojem postoje samo dva broja koja završavaju na 2 i 8:

To je sve! Od svih mogućih korijena, ostavili smo samo dvije mogućnosti! A to je u najtežem slučaju, jer posljednja znamenka može biti 5 ili 0. I tada će ostati jedini kandidat za korijene!

Konačni izračuni

Dakle, ostala su nam 2 broja kandidata. Kako znaš koji je korijen? Odgovor je očit: kvadrirajte oba broja. Onaj koji je na kvadrat dat će izvorni broj i bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 pronašli smo dva broja kandidata: 52 i 58. Kvadirajmo ih:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

To je sve! Ispostavilo se da je korijen 58! Istovremeno, kako bih pojednostavio izračune, koristio sam formulu kvadrata zbroja i razlike. Zahvaljujući tome, niste morali čak ni množiti brojeve u stupcu! Ovo je još jedna razina optimizacije izračuna, ali je, naravno, potpuno neobavezna :)

Primjeri izračuna korijena

Teorija je, naravno, dobra. Ali isprobajmo to u praksi.

[Naslov slike]

Prvo, otkrijmo između kojih brojeva leži broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Pogledajmo sada zadnji broj. Jednako je 6. Kada se to događa? Samo ako korijen završava na 4 ili 6. Dobivamo dva broja:

Ostaje kvadrirati svaki broj i usporediti s izvornikom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Fino! Pokazalo se da je prvi kvadrat jednak izvornom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunaj kvadratni korijen:

[Naslov slike]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo zadnji broj:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadratirajmo:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunaj kvadratni korijen:

[Naslov slike]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo zadnji broj:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadratirajmo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunaj kvadratni korijen:

[Naslov slike]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo zadnji broj:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni korijen. No, ipak ga kvadrirajmo i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je točno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Jao, ništa bolje. Pogledajmo razloge. Dva su od njih:

• Zabranjeno je koristiti kalkulatore na bilo kojem normalnom ispitu iz matematike, bilo da se radi o GIA ili Jedinstvenom državnom ispitu. A za nošenje kalkulatora u učionicu, lako se mogu izbaciti s ispita.
• Nemojte biti kao glupi Amerikanci. Koji nisu kao korijeni - to su dva primarni brojevi ne može preklopiti. A pri pogledu na razlomke općenito postaju histerični.

Sokolov Lev Vladimirovič

Cilj: pronaći i pokazati one metode vađenja kvadratnih korijena koje se mogu koristiti bez kalkulatora pri ruci.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Regionalni znanstveno-praktični skup

studenti gradske četvrti Tugulym

Vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora

Skladatelj: Lev Sokolov

MKOU "Tugulymskaya V (C) OSH",

8. razred

Voditeljica: Sidorova Tatjana

Nikolajevna

r.p. Tugulym, 2016

Uvod 3

Poglavlje 1 primarni čimbenici 4

2. Poglavlje

Poglavlje 3 dvoznamenkasti brojevi 6

Poglavlje 4

Poglavlje 6. Kanadska metoda 7

Poglavlje 7

Poglavlje 8 Metoda ostatka neparnog broja 8

Zaključak 10

Literatura 11

Dodatak 12

Uvod

Relevantnost istraživanja,kad sam u ovome proučavao temu kvadratnih korijena akademska godina, tada me zanimalo pitanje kako izvući kvadratni korijen velikih brojeva bez kalkulatora.

Zainteresirao sam se i odlučio ovu problematiku proučiti dublje nego što je predviđeno školskim programom, te pripremiti mini-knjigu s najviše jednostavne načine vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.

Cilj: pronaći i pokazati one metode vađenja kvadratnih korijena koje se mogu koristiti bez kalkulatora pri ruci.

Zadaci:

1. Proučavajte literaturu o ovo pitanje.
2. Razmotrite značajke svake pronađene metode i njezin algoritam.
3. Pokazati praktična upotreba stečeno znanje i ocijeniti

Poteškoće u korištenju razne načine i algoritmi.

1. Napravite mini-knjigu o najzanimljivijim algoritmima.

Predmet studija:matematički simboli su kvadratni korijeni.

Predmet studija:značajke načina izvlačenja kvadratnih korijena bez kalkulatora.

Metode istraživanja:

1. Tražite metode i algoritme za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.
2. Usporedba pronađenih metoda.
3. Analiza dobivenih metoda.

Svi znaju da je uzimanje kvadratnog korijena bez kalkulatora vrlo teško.

zadatak. Kada pri ruci nema kalkulatora, počinjemo koristiti metodu odabira kako bismo pokušali zapamtiti podatke iz tablice kvadrata cijelih brojeva, ali to ne pomaže uvijek. Na primjer, tablica kvadrata cijelih brojeva ne daje odgovor na pitanja kao što su, na primjer, uzeti korijen od 75, 37,885,108,18061 i drugih čak i približno.

Također, često je zabranjeno korištenje kalkulatora na ispitima OGE-a i Jedinstvenog državnog ispita

tablice kvadrata cijelih brojeva, ali trebate uzeti korijen od 3136 ili 7056, itd.

Ali proučavajući literaturu o ovoj temi, naučio sam da iz takvih brojeva izvlačim korijene

možda bez stola i kalkulatora, ljudi su naučili mnogo prije izuma mikrokalkulatora. Istražujući ovu temu, pronašao sam nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

Poglavlje 1

Da biste izdvojili kvadratni korijen, možete rastaviti broj na proste faktore i izdvojiti kvadratni korijen iz proizvoda.

Uobičajeno je koristiti ovu metodu pri rješavanju zadataka s korijenima u školi.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Mnogi ga uspješno koriste i smatraju ga jedinim. Vađenje korijena faktoringom je naporan zadatak, koji također ne dovodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte izvući kvadratni korijen broja 209764? Dekompozicijom na osnovne faktore dobije se proizvod 2∙2∙52441. A kako dalje? Svatko se suočava s ovim problemom i mirno zapišite ostatak proširenja pod znakom korijena u odgovoru. Pokusom i pogreškom, odabirom, razlaganje se, naravno, može učiniti ako ste sigurni da ćete dobiti lijep odgovor, ali praksa pokazuje da se zadaci s potpunom razgradnjom vrlo rijetko nude. Češće vidimo da se korijen ne može u potpunosti izvući.

Stoga ova metoda samo djelomično rješava problem vađenja bez kalkulatora.

2. Poglavlje

Za izdvajanje kvadratnog korijena kutom iPogledajmo algoritam:
1. korak. Broj 8649 podijeljen je na lica s desna na lijevo; od kojih svaka mora sadržavati dvije znamenke. Dobijamo dva ruba:.
2. korak. Izvlačimo kvadratni korijen prvog lica 86, dobivamos nedostatkom. Broj 9 je prva znamenka korijena.
3. korak. Broj 9 je na kvadrat (9 2 = 81) i od prvog lica oduzmemo broj 81, dobijemo 86- 81=5. Broj 5 je prvi ostatak.
4. korak. Ostatku 5 pripisujemo drugo lice 49, dobivamo broj 549.

5. korak . Udvostručimo prvu znamenku korijena od 9 i, upisujući lijevo, dobivamo -18

Broju je potrebno pripisati tako najveću znamenku kako bi umnožak broja koji dobijemo ovom znamenkom bio jednak broju 549 ili manji od 549. To je broj 3. Nalazi se odabirom: broj desetica broja 549, odnosno broj 54 podijeljen je s 18, dobivamo 3, budući da je 183 ∙ 3 \u003d 549. Broj 3 je druga znamenka korijena.

6. korak. Nalazimo ostatak 549 - 549 = 0. Kako je ostatak nula, dobili smo točnu vrijednost korijena - 93.

Navest ću još jedan primjer: ekstrakt √212521

Poglavlje 3

O ovoj metodi sam saznao s interneta. Metoda je vrlo jednostavna i daje trenutnu ekstrakciju kvadratnog korijena bilo kojeg cijelog broja od 1 do 100 s točnošću od desetinki bez kalkulatora. Jedan od uvjeta za ovu metodu je prisutnost tablice kvadrata brojeva do 99.

(Nalazi se u svim udžbenicima algebre za 8. razred i nudi se kao referentni materijal na OGE ispitu.)

Otvorite tablicu i provjerite brzinu pronalaženja odgovora. Ali prvo, nekoliko preporuka: krajnji lijevi stupac - to će biti cijeli brojevi u odgovoru, najviši redak - to su desetine u odgovoru. A onda je sve jednostavno: zatvorite posljednje dvije znamenke broja u tablici i pronađite broj koji vam je potreban, ne prelazeći korijenski broj, a zatim slijedite pravila ove tablice.

Pogledajmo primjer. Nađimo vrijednost √87.

Zatvaramo zadnje dvije znamenke za sve brojeve u tablici i pronalazimo one bliske za 87 - postoje samo dvije 86 49 i 88 37. Ali 88 je već puno.

Dakle, ostalo je samo jedno - 8649.

Lijevi stupac daje odgovor 9 (ovo su cijeli brojevi), a gornji redak je 3 (ovo su desetine). Dakle √87≈ 9.3. Provjerimo MK √87 ≈ 9,327379.

Brzo, jednostavno, povoljno na ispitu. Ali odmah je jasno da se korijeni veći od 100 ne mogu izvući ovom metodom. Metoda je prikladna za zadatke s malim korijenima i uz prisutnost stola.

Poglavlje 4

Stari Babilonci koristili su sljedeću metodu kako bi pronašli približnu vrijednost kvadratnog korijena njihovog x broja. Predstavili su broj x kao zbroj a 2 + b, gdje je a 2 točan kvadrat prirodnog broja a (a 2 . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK 5.2915026.

Kao što možemo vidjeti, put Babilonaca daje dobru aproksimaciju točna vrijednost korijen.

Poglavlje 5

(samo za četveroznamenkaste brojeve)

Vrijedno je odmah pojasniti da je ova metoda primjenjiva samo za vađenje kvadratnog korijena iz točnog kvadrata, a algoritam pronalaženja ovisi o vrijednosti korijenskog broja.

1. Vađenje korijena do broja 75 2 = 5625

Na primjer: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Broj 3844 predstavljamo kao zbroj odabirom kvadrata 144 iz tog broja, a zatim odbacujemo odabrani kvadrat dabroj stotina prvog člana(37) uvijek dodaj 25 . Dobili smo odgovor 62.

Dakle, možete uzeti samo kvadratni korijen do broja 75 2 =5625!

2) Vađenje korijena iza broja 75 2 = 5625

Kako usmeno izvući kvadratni korijen iz brojeva većih od 75 2 =5625?

Na primjer: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Da pojasnimo, 7225 je predstavljeno kao zbroj 7000 i označenog kvadrata 225. Zatimdodajte kvadratni korijen stotinama od 225, jednako 15.

Dobili smo odgovor 85.

Ova metoda pronalaženja je vrlo zanimljiva i donekle originalna, ali sam je tijekom istraživanja susreo samo jednom u radu učiteljice iz Perma.

Možda je malo proučavan ili ima neke iznimke.

Prilično ga je teško zapamtiti zbog dualnosti algoritma i primjenjiv je samo za četveroznamenkaste brojeve točnih korijena, ali sam proradio kroz mnoge primjere i uvjerio se da je točan. Osim toga, ova metoda je dostupna onima koji su već zapamtili kvadrate brojeva od 11 do 29, jer će bez njihovog znanja biti beskorisna.

Poglavlje 6

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S) gdje je X broj za uzimanje kvadratnog korijena, a S broj najbližeg savršenog kvadrata.

Pokušajmo uzeti kvadratni korijen od 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Uz detaljno proučavanje ove metode, lako je dokazati njezinu sličnost s babilonskom i argumentirati za autorsko pravo izuma ove formule, ako postoji, u stvarnosti. Metoda je jednostavna i prikladna.

Poglavlje 7

Ova metoda se nudi studenti engleskog jezika Mathematical College London, ali svatko je u svom životu barem jednom nehotice koristio ovu metodu. Temelji se na odabiru različite vrijednosti kvadrata bliskih brojeva sužavanjem područja pretraživanja. Svatko može svladati ovu metodu, ali je malo vjerojatno da će je upotrijebiti, jer zahtijeva ponovljeno izračunavanje umnoška stupca ne uvijek točno nagađanih brojeva. Ova metoda gubi i u ljepoti rješenja i u vremenu. Algoritam je jednostavan:

Recimo da želite uzeti kvadratni korijen od 75.

Budući da je 8 2 = 64 i 9 2 = 81, znate, odgovor je negdje između.

Pokušajte postaviti 8.5 2 i dobiješ 72,25 (premalo)

Sada pokušajte 8.6 2 i dobijete 73,96 (premalo, ali sve bliže)

Sada pokušajte 8.7 2 i dobiješ 75,69 (preveliko)

Sada znate da je odgovor između 8,6 i 8,7

Pokušajte postaviti 8,65 2 i dobiješ 74,8225 (premalo)

Sada pokušajte s 8.66 2 ... i tako dalje.

Nastavite dok ne dobijete odgovor koji je dovoljno točan za vas.

Poglavlje 8 Metoda oduzimanja neparnog broja

Mnogi ljudi znaju metodu vađenja kvadratnog korijena razlaganjem broja na proste faktore. U svom radu predstavit ću još jedan način na koji možete saznati cijeli broj kvadratnog korijena broja. Metoda je vrlo jednostavna. Imajte na umu da su sljedeće jednakosti istinite za kvadrate brojeva:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 itd.

Pravilo: cjelobrojni dio kvadratnog korijena broja možete saznati tako da od njega oduzmete sve neparne brojeve redom, sve dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, te brojite broj izvršenih radnji.

Na primjer, da biste dobili kvadratni korijen od 36 i 121 je:

Ukupan broj oduzimanja = 6, dakle kvadratni korijen od 36 = 6.

Ukupno oduzimanje = 11, dakle √121 = 11.

Drugi primjer: pronađite √529

Rješenje: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Odgovor: √529 = 23

Znanstvenici ovu metodu nazivaju aritmetičkim izvlačenjem kvadratnog korijena, a iza očiju "metodom kornjače" zbog sporosti.
Nedostatak ove metode je da ako izvučeni korijen nije cijeli broj, tada možete saznati samo njegov cijeli broj, ali ne točnije. Istodobno, ova metoda je prilično dostupna djeci koja rješavaju najjednostavnije probleme. matematički problemi, što zahtijeva ekstrakciju kvadratnog korijena. Pokušajte izvući kvadratni korijen broja kao što je 5963364 na ovaj način i vidjet ćete da "radi", sigurno bez pogrešaka za točne korijene, ali vrlo, jako dugo u rješenju.

Zaključak

Metode vađenja korijena opisane u radu nalaze se u mnogim izvorima. Međutim, pokazalo se da je njihovo razvrstavanje za mene zastrašujući zadatak, što je izazvalo popriličan interes. Predstavljeni algoritmi omogućit će svima koje zanima ova tema da brzo savladaju vještine izračunavanja kvadratnog korijena, mogu se koristiti za provjeru vašeg rješenja i ne ovisiti o kalkulatoru.

Kao rezultat istraživanja došao sam do zaključka: u školskom kolegiju matematike potrebne su različite metode vađenja kvadratnog korijena bez kalkulatora kako bi se razvile računske vještine.

Teorijski značaj istraživanja – sistematizirane su glavne metode vađenja kvadratnog korijena.

Praktični značaj:u izradi mini knjige koja sadrži referentnu shemu za vađenje kvadratnih korijena na različite načine (Dodatak 1).

Literatura i internetske stranice:

1. U. Sergejev, S.N. Olechnik, S.B. Gashkov "Primjena matematike". - M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "Kako pronaći cijeli korijen?" Znanstveno-popularni časopis za fiziku i matematiku "Kvant" №2, 1980
3. Petrakov I.S. "matematički kružići od 8. do 10. razreda"; Knjiga za učitelja.

–M.: Prosvjeta, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. "Priče o primijenjenoj matematici" - M.: Nauka. Glavno izdanje fizičke i matematičke literature, 1979
2. Tkacheva M.V. Domaća matematika. Knjiga za učenike 8. razreda obrazovne ustanove. - Moskva, Prosvjeta, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referentne tablice iz matematike - M.: LLC "Izdavačka kuća" ROSMEN-PRESS ", 2004.-120 str.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://en.wikipedia.ord/wiki/theorema/

Dobar dan dragi gosti!

Zovem se Lev Sokolov, idem u 8. razred večernje škole.

Predstavljam Vašoj pozornosti rad na temu:Vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.

Prilikom proučavanja temekvadratne korijene ove akademske godine, zanimalo me pitanje kako izvući kvadratni korijen velikih brojeva bez kalkulatora i odlučio sam ga dublje proučiti, jer na slijedeće godine Moram polagati ispit iz matematike.

Svrha mog rada:pronaći i pokazati načine za izvlačenje kvadratnih korijena bez kalkulatora

Za postizanje cilja riješio sam sljedeće zadaci:

1. Proučite literaturu o ovom pitanju.

2. Razmotrite značajke svake pronađene metode i njezin algoritam.

3. Pokazati praktičnu primjenu stečenog znanja i procijeniti stupanj težine u korištenju različitih metoda i algoritama.

4. Izradite mini knjigu prema najzanimljivijim algoritmima.

Predmet mog istraživanja bio jekvadratni korijeni.

Predmet studija:načini izvlačenja kvadratnih korijena bez kalkulatora.

Metode istraživanja:

1. Tražite metode i algoritme za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.

2. Usporedba i analiza pronađenih metoda.

Pronašao sam i proučio 8 načina za vađenje kvadratnih korijena bez kalkulatora i implementirao ih u praksu. Nazivi pronađenih metoda navedeni su na slajdu.

Usredotočit ću se na one koji su mi se svidjeli.

Na primjeru ću pokazati kako je moguće izvući kvadratni korijen broja 3025 metodom dekompozicije na proste faktore.

Glavni nedostatak ove metode- potrebno je puno vremena.

Koristeći formulu starog Babilona, ​​izvući ću kvadratni korijen istog broja 3025.

Metoda je prikladna samo za male brojeve.

Iz istog broja 3025 izvlačimo kvadratni korijen s kutom.

Po meni, ovo je najviše univerzalni način, odnosi se na sve brojeve.

NA moderna znanost postoji mnogo načina za izvlačenje kvadratnog korijena bez kalkulatora, ali nisam sve proučio.

Praktični značaj mog rada:u izradi mini-knjige koja sadrži referentnu shemu za vađenje kvadratnih korijena na različite načine.

Rezultati mog rada mogu se uspješno primijeniti u nastavi matematike, fizike i drugih predmeta gdje je potrebno vađenje korijena bez kalkulatora.

Hvala na pažnji!

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora Izvođač: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V (C) OSH", 8. razred Voditelj: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategorija, učiteljica matematike r.p. Tugulym

Pravilna primjena metoda može se naučiti primjenom i korištenjem raznih primjera. G. Zeiten Svrha rada: pronaći i pokazati one metode vađenja kvadratnih korijena koje se mogu koristiti bez kalkulatora pri ruci. Zadaci: - Proučiti literaturu o ovoj problematici. - Razmotrite značajke svake pronađene metode i njezin algoritam. - Pokazati praktičnu primjenu stečenog znanja i procijeniti stupanj težine u korištenju različitih metoda i algoritama. - Napravite mini-knjigu o najzanimljivijim algoritmima.

Predmet istraživanja: kvadratni korijeni Predmet istraživanja: metode vađenja kvadratnih korijena bez kalkulatora. Metode istraživanja: Tražite metode i algoritme za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora. Usporedba pronađenih metoda. Analiza dobivenih metoda.

Metode kvadratnog korijena: 1. Metoda faktorizacije primarne vrijednosti 2. Ekstrakcija kutnog kvadratnog korijena 3. Metoda dvoznamenkastog kvadratnog korijena 4. Formula starog Babilona 5. Metoda potpunog kvadratnog odbijanja 6. Kanadska metoda 7. Metoda pogađanja 8. Metoda redukcije neparni broj

Metoda razlaganja na početne faktore Da biste izdvojili kvadratni korijen, možete rastaviti broj u proste faktore i izdvojiti kvadratni korijen proizvoda. 313622 7056640562/15/250562/30576452/2 104882229 39222229 39222229 39222229 19622 44123 9822 147213 147509764 = √2) 2 ∙ 2 ∙ 52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Nije se uvijek lako razgraditi. potpuno uklonjen, potrebno je dosta vremena.

Formula starog Babilona (babilonska metoda) Algoritam za vađenje kvadratnog korijena pomoću drevne babilonske metode. jedan . Predstavite broj c kao zbroj a ² + b, pri čemu je a ² najbliži broju c točan kvadrat prirodnog broja a (a ² ≈ c); 2. Približna vrijednost korijena izračunava se po formuli: Rezultat vađenja korijena pomoću kalkulatora je 5,292.

Vađenje kvadratnog korijena kutom Metoda je gotovo univerzalna, budući da je primjenjiva na sve brojeve, ali sastavljanje rebusa (pogađanje broja na kraju broja) zahtijeva logiku i dobre računalne vještine u stupcu.

Algoritam za vađenje kvadratnog korijena s kutom 1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64) 2. Izdvojite kvadratni korijen iz prve lijeve skupine (- broj 2). Tako dobivamo prvu znamenku broja. 3. Pronađite kvadrat prve znamenke (2 2 \u003d 4). 4. Pronađite razliku između prve skupine i kvadrata prve znamenke (5-4=1). 5. Rušimo sljedeće dvije znamenke (dobili smo broj 196). 6. Udvostručimo prvu pronađenu figuru, zapišemo je lijevo iza crte (2*2=4). 7. Sada morate pronaći drugu znamenku broja: udvostručena prva znamenka koju smo pronašli postaje znamenka desetice broja, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebate dobiti broj manji od 196 (ovo je broj 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druga znamenka &. 8. Pronađite razliku (196-176=20). 9. Rušimo sljedeću grupu (dobijemo broj 2033). 10. Udvostručimo broj 24, dobivamo 48. 11. 48 desetica u broju, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebali bismo dobiti broj manji od 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Broj jedinica koje smo pronašli (4) je treća znamenka broja. Zatim se postupak ponavlja.

Metoda oduzimanja neparnih brojeva (aritmetička metoda) Algoritam kvadratnog korijena: oduzimajte neparne brojeve redom dok ostatak ne bude manji od sljedećeg broja koji treba oduzeti ili jednak nuli. Izbrojite broj izvršenih radnji - ovaj broj je cijeli dio broja izvađenog kvadratnog korijena. Primjer 1: Izračunajte 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 koraka završena

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 ukupnih oduzimanja = 6, dakle kvadratni korijen od 36 = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117 - 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Ukupan broj oduzimanja = 11, dakle kvadratni korijen od 121 = 11. 5963364 = ??? Ruski znanstvenici "iza leđa" to nazivaju "metodom kornjače" zbog sporosti. Nezgodno je za veliki broj.

Teorijski značaj istraživanja – sistematizirane su glavne metode vađenja kvadratnog korijena. Praktični značaj: u izradi mini knjige koja sadrži referentnu shemu za vađenje kvadratnih korijena na različite načine.

Hvala na pažnji!

Pregled:

Prilikom rješavanja nekih problema morat ćete uzeti kvadratni korijen velikog broja. Kako to učiniti?

Metoda oduzimanja neparnog broja.

Metoda je vrlo jednostavna. Imajte na umu da su sljedeće jednakosti istinite za kvadrate brojeva:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 itd.

Pravilo: možete saznati cjelobrojni dio kvadratnog korijena broja oduzimanjem od njega sve neparne brojeve redom, sve dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, i brojeći broj izvršenih radnji.

Na primjer, da biste dobili kvadratni korijen od 36 i 121 je:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Ukupan broj oduzimanja = 6, dakle kvadratni korijen od 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Ukupan broj oduzimanja = 11, dakle√121 = 11.

kanadska metoda.

Ovaj brza metoda otvorili su mladi znanstvenici s jednog od vodećih kanadskih sveučilišta u 20. stoljeću. Njegova točnost nije veća od dvije ili tri decimale. Evo njihove formule:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), gdje je X broj za kvadriranje korijena, a S je broj najbližeg savršenog kvadrata.

Primjer. Uzmi kvadratni korijen od 75.

X = 75, S = 81. To znači da je √ S = 9.

Izračunajmo √75 koristeći ovu formulu: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Metoda za vađenje kvadratnog korijena s kutom.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Izvlačimo kvadratni korijen prve grupe s lijeve strane (- broj 2). Tako dobivamo prvu znamenku broja.

3. Pronađite kvadrat prve znamenke (2 2 =4).

4. Pronađite razliku između prve skupine i kvadrata prve znamenke (5-4=1).

5. Rušimo sljedeće dvije znamenke (dobili smo broj 196).

6. Udvostručimo prvu pronađenu figuru, zapišemo je lijevo iza crte (2*2=4).

7. Sada morate pronaći drugu znamenku broja: udvostručena prva znamenka koju smo pronašli postaje znamenka desetice broja, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebate dobiti broj manji od 196 (ovo je broj 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druga znamenka &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobijemo broj 2033).

10. Udvostručite broj 24, dobijemo 48.

11,48 desetica u broju, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebali bismo dobiti broj manji od 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Broj jedinica koje smo pronašli (4) je treća znamenka broja.

Akcijski ekstrakcija kvadratnog korijenasuprotno od kvadrature.

√81= 9 9 2 =81.

metoda odabira.

Primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400 i 30 2 = 900, što znači 20

Točni kvadrati prirodni brojevi završiti s 0; jedan; 4; 5; 6; devet.
Broj 6 je dan sa 4 2 i 6 2 .
Dakle, ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostalo za provjeru: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odgovor: √ 676 = 26.

Drugi primjer: √6889 .

Od 80 2 \u003d 6400 i 90 2 \u003d 8100, zatim 80 Broj 9 je zadan s 3 2 i 7 2 , tada je √6889 ili 83 ili 87.

Provjerite: 83 2 = 6889.

Odgovor: √6889 = 83.

Ako vam je teško riješiti metodom odabira, tada možete faktorizirati korijenski izraz.

Na primjer, pronađite √893025 .

Razložimo broj 893025 na faktore, zapamtite, radili ste to u šestom razredu.

Dobivamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babilonska metoda.

Korak 1. Izrazite broj x kao zbroj: x=a 2 + b, gdje je a 2 najbliži točan kvadrat prirodnog broja od a do x.

Korak 2. Koristite formulu:

Primjer. Izračunaj .

aritmetička metoda.

Od broja oduzimamo sve neparne brojeve po redu, sve dok ostatak ne bude manji od sljedećeg broja koji treba oduzeti ili jednak nuli. Nakon brojanja izvedenih radnji, određujemo cijeli broj kvadratnog korijena broja.

Primjer. Izračunaj cjelobrojni dio broja.

Odluka. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - cijeli dio broja. Dakle, .

Metoda (poznata kao Newtonova metoda)je kako slijedi.

Neka je 1 - prva aproksimacija broja(kao 1 možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - točan kvadrat koji ne prelazi .

Ova metoda vam omogućuje da izvučete kvadratni korijen od veliki broj s bilo kojom točnošću, iako sa značajnim nedostatkom: glomaznost izračuna.

Metoda ocjenjivanja.

Korak 1. Saznajte raspon u kojem se nalazi izvorni korijen (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Korak 2. Po zadnjoj znamenki odredite kojom znamenkom završava željeni broj.

Korak #3. Kvadratirajte očekivane brojeve i od njih odredite željeni broj.

Primjer 1. Izračunajte .

Odluka. 2500 50 2 2 50

= *2 ili = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Dakle, = 58.

Učenici uvijek pitaju: „Zašto ne mogu koristiti kalkulator na ispitu iz matematike? Kako izvući kvadratni korijen broja bez kalkulatora? Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje.

Kako izvući kvadratni korijen broja bez pomoći kalkulatora?

Akcijski ekstrakcija kvadratnog korijena suprotno od kvadrature.

√81= 9 9 2 =81

Ako od pozitivan broj uzmite kvadratni korijen i kvadratirajte rezultat, dobivamo isti broj.

Iz malih brojeva koji su točni kvadrati prirodnih brojeva, na primjer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadratni korijeni mogu se izvući usmeno. Obično u školi uče tablicu kvadrata prirodnih brojeva do dvadeset. Poznavajući ovu tablicu, lako je izdvojiti kvadratne korijene iz brojeva 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz brojeva većih od 400 možete izdvojiti pomoću metode odabira pomoću nekoliko savjeta. Pokušajmo na primjeru za razmatranje ove metode.

Primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400 i 30 2 = 900, što znači 20< √676 < 900.

Točni kvadrati prirodnih brojeva završavaju s 0; jedan; 4; 5; 6; devet.
Broj 6 zadan je s 4 2 i 6 2 .
Dakle, ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostaje provjeriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odgovor: √676 = 26 .

Više primjer: √6889 .

Od 80 2 = 6400 i 90 2 = 8100, onda 80< √6889 < 90.
Broj 9 zadan je s 3 2 i 7 2, tada je √6889 ili 83 ili 87.

Provjerite: 83 2 = 6889.

Odgovor: √6889 = 83 .

Ako vam je teško riješiti metodom odabira, tada možete faktorizirati korijenski izraz.

Na primjer, pronađite √893025.

Razložimo broj 893025 na faktore, zapamtite, radili ste to u šestom razredu.

Dobivamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Više primjer: √20736. Faktorizirajmo broj 20736:

Dobivamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naravno, faktoring zahtijeva poznavanje kriterija djeljivosti i vještine faktoringa.

I konačno, postoji pravilo kvadratnog korijena. Pogledajmo ovo pravilo na primjeru.

Izračunaj √279841.

Da bismo izdvojili korijen višeznamenkastog cijelog broja, podijelimo ga s desna na lijevo na lica koja sadrže po 2 znamenke (može biti jedna znamenka u lijevom krajnjem licu). Napiši ovako 27'98'41

Da bismo dobili prvu znamenku korijena (5), izdvajamo kvadratni korijen najvećeg točnog kvadrata koji se nalazi u prvom lijevom licu (27).
Tada se kvadrat prve znamenke korijena (25) oduzima od prvog lica i sljedeće lice (98) pripisuje (ruši) razlici.
Lijevo od primljenog broja 298 upisuju dvoznamenkasti korijen (10), dijele s njim broj svih desetica prethodno dobivenog broja (29/2 ≈ 2), doživljavaju kvocijent (102 ∙ 2 = 204 ne smije biti više od 298) i upišite (2) iza prve znamenke korijena.
Zatim se dobiveni kvocijent 204 oduzima od 298, a sljedeća faseta (41) se pripisuje (ruši) razlici (94).
Lijevo od rezultirajućeg broja 9441 pišu dvostruki umnožak znamenki korijena (52 ∙ 2 = 104), s tim umnoškom dijele broj svih desetica broja 9441 (944/104 ≈ 9), iskustvo kvocijent (1049 ∙ 9 = 9441) trebao bi biti 9441 i zapisati ga (9) iza druge znamenke korijena.

Dobili smo odgovor √279841 = 529.

Slično ekstrakt korijeni decimala. Samo radikalni broj mora biti podijeljen na lica tako da zarez bude između lica.

Primjer. Pronađite vrijednost √0,00956484.

Samo to morate zapamtiti ako decimal ima neparan broj decimalnih mjesta, ne uzima točno kvadratni korijen.

Dakle, sada ste vidjeli tri načina za vađenje korijena. Odaberite onaj koji vam najviše odgovara i vježbajte. Da biste naučili rješavati probleme, morate ih riješiti. A ako imate pitanja, prijavite se na moje lekcije.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.