Formula za izračun matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable. Svojstva matematičkog očekivanja. Matematička očekivanja pri igranju pokera

Poglavlje 6

Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Matematičko očekivanje i njegova svojstva

Za rješavanje mnogih praktičnih problema nije uvijek potrebno znati sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerojatnosti. Štoviše, ponekad je zakon distribucije slučajne varijable koja se proučava jednostavno nepoznat. Međutim, potrebno je istaknuti neke značajke ove slučajne varijable, drugim riječima, numeričke karakteristike.

Brojčane karakteristike- to su neki brojevi koji karakteriziraju određena svojstva, karakteristične značajke slučajne varijable.

Na primjer, prosječna vrijednost slučajne varijable, prosječno širenje svih vrijednosti slučajne varijable oko njenog prosjeka, itd. Glavna svrha numeričkih karakteristika je da se u sažetom obliku izraze najvažnije značajke distribucije slučajne varijable koja se proučava. Numeričke karakteristike u teoriji vjerojatnosti igraju veliku ulogu. Oni pomažu riješiti, čak i bez poznavanja zakona o distribuciji, mnoge važne praktične probleme.

Među svim brojčanim karakteristikama, prije svega izdvajamo karakteristike položaja. To su karakteristike koje fiksiraju položaj slučajne varijable na brojevnoj osi, t.j. određenu prosječnu vrijednost, oko koje se grupiraju preostale vrijednosti slučajne varijable.

Od karakteristika pozicije, matematičko očekivanje igra najveću ulogu u teoriji vjerojatnosti.

Očekivana vrijednost ponekad se naziva jednostavno kao srednja vrijednost slučajne varijable. To je svojevrsni distribucijski centar.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Razmotrimo prvo koncept matematičkog očekivanja za diskretnu slučajnu varijablu.

Prije uvođenja formalne definicije rješavamo sljedeći jednostavan problem.

Primjer 6.1. Pretpostavimo da strijelac ispali 100 hitaca u metu. Kao rezultat, dobivena je sljedeća slika: 50 hitaca - pogađanje "osmice", 20 udaraca - pogađanje "devetke" i 30 - pogađanje "desetke". Koliki je prosječni rezultat po udarcu.

Odluka ovog problema je očit i svodi se na pronalaženje prosječne vrijednosti 100 brojeva, odnosno bodova.

Razlomak transformiramo dijeljenjem brojnika s nazivnikom član po član i predstavljamo prosječnu vrijednost u obliku sljedeće formule:

Pretpostavimo sada da je broj bodova u jednom kadru vrijednost neke diskretne slučajne varijable x. Iz stanja problema je jasno da x 1 =8; x 2 =9; x 3=10. Poznate su relativne frekvencije pojavljivanja ovih vrijednosti, koje su, kao što je poznato, približno jednake vjerojatnosti odgovarajućih vrijednosti za veliki broj testova, tj. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Dakle, . Vrijednost na desnoj strani matematičko je očekivanje diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable x je zbroj proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i vjerojatnosti tih vrijednosti.

Neka je diskretna slučajna varijabla x dano svojim distribucijskim nizom:

Zatim matematičko očekivanje M(x) diskretne slučajne varijable određuje se sljedećom formulom:

Ako diskretna slučajna varijabla poprimi beskonačan prebrojiv skup vrijednosti, tada se matematičko očekivanje izražava formulom:

,

štoviše, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.

Primjer 6.2 . Pronađite matematičko očekivanje pobjede x pod uvjetima primjera 5.1.

Odluka . Podsjetimo da je serija distribucije x ima sljedeći oblik:

Dobiti M(x)=0∙0.7+10∙0.2+50∙0.1=7. Očito, 7 rubalja je poštena cijena ulaznice u ovoj lutriji, bez raznih troškova, na primjer, povezanih s distribucijom ili proizvodnjom ulaznica. ■

Primjer 6.3 . Neka je slučajna varijabla x je broj pojavljivanja nekog događaja ALI u jednom testu. Vjerojatnost ovog događaja je R. Pronaći M(x).

Odluka. Očito, moguće vrijednosti slučajne varijable su: x 1 =0 - događaj ALI nije se pojavio i x 2 =1 – događaj ALI pojavio. Distribucijski niz ima oblik:

Zatim M(x) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom testu jednako je vjerojatnosti tog događaja.

Na početku odlomka dat je konkretan problem gdje je naznačen odnos između matematičkog očekivanja i prosječne vrijednosti slučajne varijable. Objasnimo ovo na opći način.

Neka se proizvede k testovi u kojima je slučajna varijabla x prihvaćeno k 1 vremenska vrijednost x 1 ; k 2 puta vrijednost x 2 itd. i konačno k n puta vrijednost x n . Očito je da k 1 +k 2 +…+k n = k. Nađimo aritmetičku sredinu svih ovih vrijednosti, koje imamo

Imajte na umu da je razlomak relativna učestalost pojavljivanja vrijednosti x i u k testovi. Kod velikog broja pokusa relativna je učestalost približno jednaka vjerojatnosti, t.j. . Otuda slijedi da

.

Dakle, matematičko očekivanje je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable, a što je točnije to je veći broj pokušaja - to je vjerojatnostno značenje matematičkog očekivanja.

Matematičko očekivanje se ponekad naziva centar distribucija slučajne varijable, budući da je očito da se moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze na numeričkoj osi lijevo i desno od njezina matematičkog očekivanja.

Okrenimo se sada konceptu matematičkog očekivanja za kontinuiranu slučajnu varijablu.

Nasumična varijabla naziva se varijabla koja kao rezultat svakog testa poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim uzrocima. Slučajne varijable se označavaju velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Po svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretna i stalan.

Diskretna slučajna varijabla- ovo je takva slučajna varijabla čije vrijednosti ne mogu biti više od prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Prebrojivost znači da se vrijednosti slučajne varijable mogu nabrojati.

Primjer 1 . Navedimo primjere diskretnih slučajnih varijabli:

a) broj pogodaka u metu s $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) broj grbova koji su ispali pri bacanju novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) broj brodova koji su stigli na brod (prebrojiv skup vrijednosti).

d) broj poziva koji pristižu na centralu (brojivi skup vrijednosti).

1. Zakon distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ s vjerojatnostima $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable. U pravilu se ova korespondencija navodi pomoću tablice, u čijem su prvom retku navedene vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$, a u drugom retku vjerojatnosti koje odgovaraju tim vrijednostima su $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(niz)$

Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih bodova kada se baci kocka. Takva slučajna varijabla $X$ može poprimiti sljedeće vrijednosti $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerojatnosti svih ovih vrijednosti jednake su $1/6$. Zatim zakon raspodjele vjerojatnosti za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(niz)$

Komentar. Budući da događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ čine potpunu grupu događaja u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$, zbroj vjerojatnosti mora biti jednak jedan, tj. $\sum( p_i)=1$.

2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje slučajne varijable specificira njegovu "centralnu" vrijednost. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbroj proizvoda vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$ i vjerojatnosti $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju tim vrijednostima, tj.: $M\lijevo(X\desno)=\zbroj ^n_(i=1)(p_ix_i)$. U engleskoj literaturi koristi se druga oznaka $E\left(X\right)$.

Svojstva očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:

1. $M\left(X\right)$ je između najmanje i najveće vrijednosti slučajne varijable $X$.
2. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, t.j. $M\lijevo(C\desno)=C$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Primjer 3 . Pronađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$M\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\preko (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\cdot (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3,5.$$

Možemo primijetiti da je $M\left(X\right)$ između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.

Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.

Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.

Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Primjerice, u dvije grupe studenata prosječna ocjena na ispitu iz teorije vjerojatnosti ispala je 4, ali u jednoj skupini svi su se pokazali dobrim, a u drugoj samo studenti C i odlični učenici. Stoga postoji potreba za takvom numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Disperzija diskretne slučajne varijable$X$ je:

$$D\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2).\ $$

U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijanca $D\left(X\right)$ izračunava po formuli $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) lijevo(X \desno)\desno))^2$.

Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:

1. Disperzija je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\lijevo(X\desno)\ge 0$.
2. Disperzija iz konstante jednaka je nuli, t.j. $D\lijevo(C\desno)=0$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije, pod uvjetom da se kvadrira, t.j. $D\lijevo(CX\desno)=C^2D\lijevo(X\desno)$.
4. Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijacija, t.j. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
5. Varijanca razlike neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijacija, t.j. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.

Primjer 6 . Izračunajmo varijancu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$D\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2)=((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(1-3,5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(2-3,5\desno))^2+ \točke +((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(6-3,5\desno))^2=((35)\preko (12))\cca 2,92.$$

Primjer 7 . Poznato je da je varijanca slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijancu slučajne varijable $4X+1$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primjer 8 . Poznato je da je varijanca $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijancu slučajne varijable $3-2X$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distribucijskog niza nije jedina, a što je najvažnije, nije univerzalna, budući da se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distribucijskog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.

funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\lijevo(X< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

1. $0\le F\lijevo(x\desno)\le 1$.
2. Vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ uzme vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog intervala : $P\lijevo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\lijevo(x\desno)$ - neopadajuće.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 9 . Nađimo funkciju distribucije $F\left(x\right)$ za zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$

Ako je $x\le 1$, onda je očito $F\left(x\right)=0$ (uključujući $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ako 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako 2 dolara< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako 4 dolara< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako 5 dolara< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $x > 6$ onda $F\lijevo(x\desno)=P\lijevo(X=1\desno)+P\lijevo(X=2\desno)+P\lijevo(X=3\desno) + P\lijevo(X=4\desno)+P\lijevo(X=5\desno)+P\lijevo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Dakle, $F(x)=\lijevo\(\begin(matrica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, na \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ na\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ na \ 4< x\le 5,\\
1,\ za \ x > 6.
\end(matrica)\desno.$

Koncept matematičkog očekivanja može se razmotriti na primjeru bacanja kocke. Svakim bacanjem bilježe se izbačeni bodovi. Za njihovo izražavanje koriste se prirodne vrijednosti u rasponu od 1 do 6.

Nakon određenog broja bacanja, jednostavnim izračunima, možete pronaći aritmetičku sredinu bodova koji su pali.

Uz ispuštanje bilo koje vrijednosti raspona, ova će vrijednost biti nasumična.

A ako povećate broj bacanja nekoliko puta? S velikim brojem bacanja, aritmetička srednja vrijednost bodova približit će se određenom broju, koji se u teoriji vjerojatnosti naziva matematičko očekivanje.

Dakle, matematičko očekivanje se shvaća kao prosječna vrijednost slučajne varijable. Ovaj se pokazatelj također može predstaviti kao ponderirani zbroj vjerojatnih vrijednosti.

Ovaj koncept ima nekoliko sinonima:

• znači;
• Prosječna vrijednost;
• središnji indikator trenda;
• prvi trenutak.

Drugim riječima, to nije ništa više od broja oko kojeg su raspoređene vrijednosti slučajne varijable.

U različitim sferama ljudske djelatnosti, pristupi razumijevanju matematičkog očekivanja bit će nešto drugačiji.

Može se promatrati kao:

• prosječnu korist ostvarenu donošenjem odluke, u slučaju kada se takva odluka razmatra sa stajališta teorije velikih brojeva;
• mogući iznos dobitka ili gubitka (teorija kockanja), izračunat u prosjeku za svaku od oklada. U slengu zvuče kao "prednost igrača" (pozitivno za igrača) ili "prednost u kasinu" (negativno za igrača);
• postotak dobiti dobivene od dobitaka.

Matematičko očekivanje nije obvezno za apsolutno sve slučajne varijable. Nedostaje za one koji imaju odstupanje u odgovarajućem zbroju ili integralu.

Svojstva očekivanja

Kao i svaki statistički parametar, matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva:

Osnovne formule za matematičko očekivanje

Izračun matematičkog očekivanja može se izvesti i za slučajne varijable koje karakterizira i kontinuitet (formula A) i diskretnost (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdje su xi vrijednosti slučajne varijable, pi su vjerojatnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdje je f(x) zadana gustoća vjerojatnosti.

Primjeri izračunavanja matematičkog očekivanja

Primjer A.

Je li moguće saznati prosječnu visinu patuljaka u bajci o Snjeguljici. Poznato je da je svaki od 7 patulja imao određenu visinu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.

Algoritam izračuna je prilično jednostavan:

• pronađite zbroj svih vrijednosti pokazatelja rasta (slučajna varijabla):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Dobiveni iznos podijeljen je s brojem patuljaka:
  6,31:7=0,90.

Dakle, prosječna visina patulja u bajci iznosi 90 cm. Drugim riječima, ovo je matematičko očekivanje rasta patulja.

Radna formula - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktična implementacija matematičkog očekivanja

Izračun statističkog pokazatelja matematičkog očekivanja pribjegava se u raznim područjima praktične djelatnosti. Prije svega, govorimo o komercijalnoj sferi. Uostalom, uvođenje ovog pokazatelja od strane Huygensa povezano je s određivanjem šansi koje mogu biti povoljne, ili, naprotiv, nepovoljne za neki događaj.

Ovaj parametar se naširoko koristi za procjenu rizika, posebno kada su u pitanju financijska ulaganja.
Dakle, u poslovanju izračun matematičkih očekivanja djeluje kao metoda za procjenu rizika pri izračunu cijena.

Također, ovaj se pokazatelj može koristiti pri izračunu učinkovitosti određenih mjera, na primjer, o zaštiti rada. Zahvaljujući njemu možete izračunati vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Drugo područje primjene ovog parametra je upravljanje. Također se može izračunati tijekom kontrole kvalitete proizvoda. Na primjer, pomoću mat. očekivanja, možete izračunati mogući broj proizvodnih neispravnih dijelova.

Matematičko očekivanje također je neophodno prilikom statističke obrade rezultata dobivenih tijekom znanstvenog istraživanja. Također vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti željenog ili nepoželjnog ishoda eksperimenta ili studije, ovisno o razini postizanja cilja. Uostalom, njegovo postizanje može se povezati s dobitkom i dobiti, a njegovo nepostizanje - kao gubitak ili gubitak.

Korištenje matematičkog očekivanja na Forexu

Praktična primjena ovog statističkog parametra moguća je pri obavljanju transakcija na deviznom tržištu. Može se koristiti za analizu uspješnosti trgovinskih transakcija. Štoviše, povećanje vrijednosti očekivanja ukazuje na povećanje njihovog uspjeha.

Također je važno zapamtiti da se matematičko očekivanje ne smije smatrati jedinim statističkim parametrom koji se koristi za analizu uspješnosti trgovca. Korištenje nekoliko statističkih parametara zajedno s prosječnom vrijednošću ponekad povećava točnost analize.

Ovaj se parametar dobro pokazao u praćenju promatranja trgovačkih računa. Zahvaljujući njemu, vrši se brza procjena obavljenog posla na depozitnom računu. U slučajevima kada je aktivnost trgovca uspješna i izbjegava gubitke, ne preporuča se koristiti samo izračun matematičkog očekivanja. U tim slučajevima rizici se ne uzimaju u obzir, što smanjuje učinkovitost analize.

Provedene studije taktike trgovaca pokazuju da:

• najučinkovitije su taktike temeljene na slučajnom unosu;
• najmanje učinkovite su taktike temeljene na strukturiranim ulazima.

Za postizanje pozitivnih rezultata jednako je važno:

• taktike upravljanja novcem;
• izlazne strategije.

Koristeći takav pokazatelj kao što je matematičko očekivanje, možemo pretpostaviti kolika će biti dobit ili gubitak pri ulaganju 1 dolara. Poznato je da ovaj pokazatelj, izračunat za sve igre koje se prakticiraju u kockarnici, ide u prilog instituciji. To je ono što vam omogućuje da zaradite novac. U slučaju dugog niza igara, vjerojatnost gubitka novca od strane klijenta značajno se povećava.

Igre profesionalnih igrača ograničene su na mala vremenska razdoblja, što povećava šanse za pobjedu i smanjuje rizik od gubitka. Isti obrazac se uočava i u obavljanju investicijskih operacija.

Investitor može zaraditi značajan iznos s pozitivnim očekivanjima i velikim brojem transakcija u kratkom vremenskom razdoblju.

Očekivanje se može zamisliti kao razlika između postotka dobiti (PW) puta prosječne dobiti (AW) i vjerojatnosti gubitka (PL) puta prosječnog gubitka (AL).

Kao primjer, razmotrite sljedeće: pozicija - 12,5 tisuća dolara, portfelj - 100 tisuća dolara, rizik po depozitu - 1%. Profitabilnost transakcija je 40% slučajeva uz prosječnu dobit od 20%. U slučaju gubitka prosječni gubitak je 5%. Izračunavanje matematičkog očekivanja za trgovinu daje vrijednost od 625 USD.

Odluka:

6.1.2 Svojstva očekivanja

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti.

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja.

3. Matematičko očekivanje umnoška dviju neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja.

Ovo svojstvo vrijedi za proizvoljan broj slučajnih varijabli.

4. Matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja pojmova.

Ovo svojstvo vrijedi i za proizvoljan broj slučajnih varijabli.

Primjer: M(X) = 5, MOJ)= 2. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z, primjenjujući svojstva matematičkog očekivanja, ako je to poznato Z=2X + 3Y.

Odluka: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) matematičko očekivanje zbroja jednako je zbroju matematičkih očekivanja

2) konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja

Neka se izvede n neovisnih pokušaja, pri čemu je vjerojatnost pojave događaja A jednaka p. Tada vrijedi sljedeći teorem:

Teorema. Matematičko očekivanje M(X) broja pojavljivanja događaja A u n neovisnih pokusa jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojave događaja u svakom pokusu.

6.1.3 Disperzija diskretne slučajne varijable

Matematičko očekivanje ne može u potpunosti okarakterizirati slučajni proces. Uz matematičko očekivanje potrebno je uvesti vrijednost koja karakterizira odstupanje vrijednosti slučajne varijable od matematičkog očekivanja.

Ovo odstupanje je jednako razlici između slučajne varijable i njezinog matematičkog očekivanja. U ovom slučaju, matematičko očekivanje odstupanja je nula. To se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, druga negativna, a kao rezultat njihovog međusobnog poništavanja dobiva se nula.

disperzija (raspršenje) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njezina matematičkog očekivanja.

U praksi je ova metoda izračunavanja varijance nezgodna, jer dovodi do glomaznih izračuna za veliki broj vrijednosti slučajne varijable.

Stoga se koristi druga metoda.

Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja.

Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje M (X) i kvadrat matematičkog očekivanja M 2 (X) konstantne vrijednosti, možemo zapisati:

Primjer. Pronađite varijancu diskretne slučajne varijable zadane zakonom distribucije.

Odluka: .

6.1.4 Svojstva disperzije

1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula. .

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije tako da ga kvadrira. .

3. Varijanca zbroja dviju neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijansi tih varijabli. .

4. Varijanca razlike dviju neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijansi tih varijabli. .

Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n neovisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerojatnost p pojave događaja konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojave i nepojave događaja u svakom suđenju.

Primjer: Pronađite varijancu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u 2 nezavisna pokusa, ako je vjerojatnost pojave događaja u tim pokusima ista i poznato je da je M(X) = 1,2.

Primjenjujemo teorem iz odjeljka 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Nađi str:

1,2 = 2∙str

str = 1,2/2

q = 1 – str = 1 – 0,6 = 0,4

Nađimo disperziju po formuli:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Standardna devijacija diskretne slučajne varijable

Standardna devijacija slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijance.

(25)

Teorema. Standardna devijacija zbroja konačnog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata standardnih devijacija tih varijabli.

6.1.6 Mod i medijan diskretne slučajne varijable

Modni M o DSV naziva se najvjerojatnija vrijednost slučajne varijable (tj. vrijednost koja ima najveću vjerojatnost)

Medijan M e DSW je vrijednost slučajne varijable koja dijeli distribucijski niz na pola. Ako je broj vrijednosti slučajne varijable paran, tada se medijan nalazi kao aritmetička sredina dvije srednje vrijednosti.

Primjer: Pronađite način i medijan DSW-a x:

Mi = = 5,5

Radni proces

1. Upoznati se s teorijskim dijelom ovog rada (predavanja, udžbenik).

2. Dovrši zadatak prema svom izboru.

3. Sastaviti izvješće o radu.

4. Zaštitite svoj rad.

2. Svrha rada.

3. Napredak rada.

4. Odluka o vašoj mogućnosti.

6.4 Varijante zadataka za samostalan rad

Opcija broj 1

1. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju, mod i medijan DSV X-a dano zakonom distribucije.

2. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z, ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Pronađite varijancu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisna pokusa, ako su vjerojatnosti pojave događaja u tim pokusima jednake i poznato je da je M (X) = 1.

4. Dat je popis mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable x: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, a poznata su i matematička očekivanja ove veličine i njezinog kvadrata: , . Pronađite vjerojatnosti , , , koje odgovaraju mogućim vrijednostima , , i nacrtajte zakon raspodjele DSW-a.

Opcija broj 2

2. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Pronađite varijancu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u tri nezavisna pokusa, ako su vjerojatnosti pojave događaja u tim pokusima jednake i poznato je da je M (X) = 0,9.

4. Dat je popis mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, a poznata su i matematička očekivanja ove veličine i njezinog kvadrata: , . Pronađite vjerojatnosti , , , koje odgovaraju mogućim vrijednostima , , i nacrtajte zakon raspodjele DSW-a.

Opcija broj 3

1. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju DSV X-a dano zakonom distribucije.

2. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z, ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Naći varijancu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u četiri nezavisna pokusa, ako su vjerojatnosti pojave događaja u tim pokusima jednake i poznato je da je M (x) = 1,2.

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti M(S)=S .
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja: M(CX)=CM(X)
3. Matematičko očekivanje umnoška dviju neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Matematičko očekivanje zbroja dvije slučajne varijable jednako je zbroju matematičkih očekivanja pojmova: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. Matematičko očekivanje M(x) broja pojavljivanja događaja A u n neovisnih pokusa jednako je umnošku ovih pokusa s vjerojatnošću pojave događaja u svakom pokusu: M(x) = np.

Neka bude x je slučajna varijabla i M(X) je njegovo matematičko očekivanje. Razliku razmotrite kao novu slučajnu varijablu X - M(X).

Devijacija je razlika između slučajne varijable i njezinog matematičkog očekivanja.

Odstupanje ima sljedeći zakon raspodjele:

Rješenje: Pronađite matematičko očekivanje:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Napišimo zakon distribucije kvadratne devijacije:

Rješenje: Pronađite očekivanje M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Napišimo zakon raspodjele slučajne varijable X 2

Nađimo matematičko očekivanje M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Željena disperzija D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 = 1,05

Svojstva disperzije:

1. Disperzija konstantne vrijednosti S jednako nuli: D(C)=0
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije tako da ga kvadrira. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijansi tih varijabli. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojave i nepojave događaja u jednom pokusu D(X)=npq

Za procjenu disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, osim varijance, služe i neke druge karakteristike. Među njima je i standardna devijacija.

Standardna devijacija slučajne varijable x zove se kvadratni korijen varijance:

σ(X) = √D(X) (4)

Primjer. Slučajna varijabla X dana je zakonom raspodjele

Pronađite standardnu ​​devijaciju σ(x)

Rješenje: Nađite matematičko očekivanje X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Nađimo matematičko očekivanje za X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Pronađite disperziju: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Željena standardna devijacija σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Teorema. Standardna devijacija zbroja konačnog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata standardnih devijacija ovih varijabli:

Primjer. Na polici od 6 knjiga nalaze se 3 knjige iz matematike i 3 iz fizike. Tri knjige su odabrane nasumično. Pronađite zakon raspodjele broja knjiga iz matematike među odabranim knjigama. Pronađite matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable.

D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 = 0,45