Müxtəlif məxrəclərlə düzgün kəsrlərin vurulması. Kəsrlərlə hərəkətlər

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrlərin əlavə edilməsi tam ədədlərin əlavə edilməsi ilə bir çox oxşarlıqlara malikdir. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (həddlərin) bütün vahidləri və termin vahidlərinin kəsrlərini ehtiva edən bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir.

Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirəcəyik:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
2. İlə kəsrlərin əlavə edilməsi müxtəlif məxrəclər.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.

Bir nümunə nəzərdən keçirin: 1 / 5 + 2 / 5 .

AB seqmentini götürün (şəkil 17), onu vahid kimi götürün və 5 bərabər hissəyə bölün, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə və eyni CD seqmentinin hissəsinə bərabər olacaqdır. 2/5 AB-ə bərabər olacaq.

Rəsmdən görünür ki, AD seqmentini götürsək, onda 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan məbləği nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı şərtlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan alırıq növbəti qayda: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və eyni məxrəci tərk etməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək:

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.

Kesrləri əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməzdi; daha aydınlıq üçün burada yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırmalı, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəcə imza atmalısınız.

Bir nümunə nəzərdən keçirin (uyğun fraksiyalar üzərində əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edək: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və onları yenidən yazaq:

İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edin:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirək:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.

Məsələni nəzərdən keçirək:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsi, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15-i çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buna görə də, eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün, çıxılanın payını minuendin payından çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən kiçik ortaq məxrəcə endirək:

Aralıq keçid 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin gələcəkdə onu atlaya bilərsiniz.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə gətirməli, daha sonra azalanın payını kəsirdən çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə imza atmalısınız.

Məsələni nəzərdən keçirək:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuend və çıxarmanın kəsr hissələrini ən aşağı ortaq məxrəcə gətirək:

Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, azaldılmışın tam hissəsindən bir vahid götürməli, onu kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölməli və azaldılmışın kəsr hissəsinə əlavə etməlisiniz. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsrlərin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (çoxalmaya) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini tərtib etmək deməkdir.

Beləliklə, 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bu belə edilə bilər:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan fraksiyaların əlavə edilməsinə endirildi. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və kəsrin artması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

və ya məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bir bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsiri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmaq və eyni məxrəci tərk etmək və ya mümkünsə, məxrəci bu ədədə bölmək, payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu tapşırıqların digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən fraksiya ilə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.

Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər olan məsafəni qət etməlidir. O, artıq həmin məsafənin 2/3-ni qət edib. Bu neçə kilometrdir?

Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4 hissəsi kərpic, qalanı taxtadır. Nə qədər kərpic evlər?

Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün həll etməli olduğumuz bir çox problemdən bəziləri bunlardır. Onlara adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq üçün problemlər deyilir.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Beləliklə, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problem 2 həlli. Problemin mənası odur ki, 300 km-dən 2/3-ni tapmaq lazımdır. 300-ün ilk 1/3 hissəsini hesablayın; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (300-dən 2/3-ə bərabərdir).

Problemin həlli 3. Burada 400-dən 3/4-ə bərabər olan kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədədin kəsirinin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə əldə olunan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədin kəsrə vurulması.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması eyni şərtlərin əlavə edilməsi kimi başa düşülməlidir (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, vurma ilə görüşəcəyik: 9 2 / 3. Tamamilə aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, belə vurmanı bərabər ədədləri toplamaqla əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.

Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çarpan) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, çarpanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6-ya çatırıq.

Ancaq indi maraqlı və vacib bir sual yaranır: niyə ilk baxışdan belə müxtəlif fəaliyyətlər cəmini necə tapmaq olar bərabər ədədlər və arifmetikada ədədin kəsrini tapmaq eyni sözü "vurma" adlanır?

Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (şərtlərlə ədədi bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) bircins suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya tapşırıqların bir və eyni hərəkətlə həll olunduğu mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Eyni məsələni götürək, amma onda parça miqdarı kəsr rəqəmi ilə ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 3/4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Problemin mənasını dəyişmədən də içindəki rəqəmləri bir neçə dəfə dəyişə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-dən 3/4-ü tapmalıyıq.Əvvəl 50-nin 1/4-ünü, sonra isə 3/4-ü tapırıq.

50-nin 1/4-ü 50/4-dür;

50-nin 3/4 hissəsidir.

Beləliklə.

Başqa bir misala nəzər salaq: 12 5/8 = ?

12-dən 1/8-i 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili ədədə çevirmək və verilmiş kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazırıq:

Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. kəsiklər, Misal üçün:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni kəsri kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (vurğacı) çarpandakı kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?

Bir misal götürək: 3/4 çarpı 5/7. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapın

3/4-ün 1/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:

5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

Beləliklə,

Başqa bir misal: 5/8 dəfə 4/9.

5/8-in 1/9-u ,

4/9 rəqəmləri 5/8-dir.

Beləliklə,

Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurub birinci hasili hasil, ikinci hasilini isə hasilin məxrəci etmək lazımdır.

Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələri nəzərdən keçirin:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. kimi qarışıq nömrələr asanlıqla düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz edilə bilər, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çarpın: 2 1/2 və 3 1/5. Onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çeviririk və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldacağıq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq yadda saxlamaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyət onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölmələri qəbul edir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, "10 qəpik, ya da qəpik olacaq. Rublun dörddə birini, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) götürə bilərsiniz. Amma praktiki olaraq vermirlər. Məsələn, 2/7 rubl götürməyin, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki üçün ölçü vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q. Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/ kimi fraksiyaları 13 nadirdir.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzlüklər” bölgüsüdür. İnsan təcrübəsinin ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl təşkil edir. O, 1 rubl aşağı düşdü. 20 qəpik.

2. Əmanət kassaları il ərzində əmanətlərə qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini əmanətçilərə ödəyir.

Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbin məzunlarının sayı ümumi şagirdlərin 5/100-ünü təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird oxuyub, onlardan 60-ı məktəbi bitirib.

Ədədin yüzdə biri faiz adlanır..

"Faiz" sözü ondan götürülüb latın kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Bu ifadənin mənası ondan irəli gəlir ki, əvvəlcə in qədim roma faiz borclunun borc verənə "hər yüz üçün" ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyirlər).

Məsələn, zavodun son bir ayda istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-ni istehsal etdiyini söyləmək əvəzinə, belə deyəcəyik: zavod son bir ayda tullantıların bir faizini istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğin hər il 2 faizi həcmində vəsait ödəyir.

3. Bir məktəbin məzunlarının sayı məktəbdəki bütün şagirdlərin sayının 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % işarəsini yazmaq adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, % işarəsi adətən hesablamalarda yazılmır, o, problemin ifadəsində və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən, bu işarə ilə tam ədəd əvəzinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarəli tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən işarə ilə tam ədəd yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması.

Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunu 30% təşkil edir. Orada nə qədər ağcaqayın ağacı var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsi idi və bu hissə 30/100 nisbətində ifadə edilir. Beləliklə, biz ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşırıq. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirini tapmaq üçün tapşırıqlar ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Beləliklə, 200-ün 30% -i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı əvvəldən həyata keçirmək mümkün olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% idi. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmaq lazımdır, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmaq lazımdır.

Beləliklə, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazım gələcək. Gəl edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Məsələnin şərtində verilən faizlərin cəminin 100 olmasına da diqqət yetirməlisiniz:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu onu deməyə əsas verir ümumi sayı düşərgədə olan uşaqlar 100% qəbul edildi.

3 a da cha 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzilə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1200 ədədinin kəsirini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Gəlin bunu edək.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərclənir? Tapşırıqda deyilir ki, bu xərc bütün qazancların 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödənilib? Əvvəlki kimi mübahisə edərək, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənir?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Doğrulama üçün bu 5 sualda olan nömrələri əlavə etmək faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faizləri əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu tapşırıqlar müxtəlif məsələlərlə (məktəb üçün odun tədarükü, müxtəlif yaşlarda olan uşaqların sayı, fəhlənin xərcləri) nəzərdə tutulurdu. Bu, bütün tapşırıqlarda verilən nömrələrin bir neçə faizini tapmaq lazım olduğu üçün baş verdi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.

Tam ədədlər bölməsində qeyd edildiyi kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (dividend) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.

Tam ədədin tam ədədə bölünməsini tam ədədlər bölməsində nəzərdən keçirdik. Biz orada iki bölmə halına rast gəldik: qalıqsız bölmə və ya "bütünlüklə" (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və qalıqda 1). Buna görə də deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölən və tam ədədin məhsulu olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin hər hansı bir halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-nin 7-yə bərabər olacağı bir ədədi tapmaq deməkdir. Bu ədəd 7/12 kəsirdir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlə bərabər, məxrəci isə bölən olan kəsr etmək lazımdır.

2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsrini 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; elə ikinci amil tapmaq tələb olunur ki, onu 3-ə vuranda verilmiş məhsul 6/7 versin. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımızda duran vəzifə 6/7 fraksiyasını 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsrin kiçilməsi ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:

Bu halda, 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:

Buna əsaslanaraq qaydanı qeyd edə bilərik: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk etmək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı tərk etmək.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

5-i 1/2-ə bölmək tələb olunsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5 verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir, və ədədi uyğun kəsrə vurarkən hasil çarpandan kiçik olmalıdır. Daha aydın olması üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , belə ki, x 1/2 \u003d 5.

Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2 ilə vurulduqda, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, 1/2 naməlum nömrə X 5 və tam ədəddir X iki dəfə çox, yəni 5 2 \u003d 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunsun. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

Bəzi vahidlərin 6-sına bərabər olan AB seqmenti çəkin və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölün. Hər bir vahiddə, bütün AB seqmentində üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrin köməyi ilə 18 əldə edilən 2 seqmenti birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr b vahidində 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Aşağıdakı kimi mübahisə edəcəyik: 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunur, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab vermək tələb olunur. Əvvəlcə öyrənək: 1/3 neçə dəfədir 6-da var? Tam vahiddə - üçdə 3, 6 vahiddə - 6 dəfə çox, yəni 18 üçdə; bu ədədi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Deməli, 1/3 b vahidində 18 dəfə, 2/3 isə b-də 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9. Beləliklə, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək, onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazırıq:

Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Qeyd edək ki, orada da eyni düstur alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

3/4-ü 3/8-ə bölmək tələb olunsun. Bölmə nəticəsində əldə ediləcək ədədi nə ifadə edəcək? 3/8 kəsirinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürün, vahid kimi götürün, 4 bərabər hissəyə bölün və 3 belə hissəni qeyd edin. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd ilkin seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdiririk, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər olan seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Beləliklə, bölmənin nəticəsi belə yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 15/16-nı 3/32-ə bölmək tələb olunsun:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurulduqdan sonra 15/16-ya bərabər bir məhsul verəcək bir rəqəm tapmalıyıq. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16 təşkil edin

1/32 naməlum nömrə X ,

32/32 ədəd X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmalı və birinci hasilini pay və kəsrə çevirməlisən. ikinci məxrəc.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək, sonra isə yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölmə qaydalarına uyğun olaraq bölmək lazımdır. Məsələni nəzərdən keçirək:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq bölmək lazımdır.

6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.

arasında müxtəlif vəzifələr kəsrlərdə bəzən elələri olur ki, orada naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiyməti verilir və bu ədədi tapmaq tələb olunur. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinə tərs olacaq; orada bir ədəd verilmişdir və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunur. Bu tip problemlərin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsini təşkil edir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Qərar. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə daha çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da sexdəki ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?

Qərar. Problemin vəziyyətindən də görünür ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; bu o deməkdir ki, bu səhmin 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu, səhmin 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün ehtiyat 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 \u003d 4000 (kq).

Mağazada unun ilkin tədarükü 4000 kq olub.

Bu problemi nəzərdən keçirərək aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Ədədi kəsrinin verilmiş qiyməti ilə tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür məsələlər, xüsusilə sonuncudan yaxşı göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).

Bununla belə, kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:

Gələcəkdə biz bir hərəkətdə - bölmədə bir ədədi kəsrinə görə tapmaq məsələsini həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu tapşırıqlarda siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilməklə bir nömrə tapmalısınız.

Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət kassasından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşdum? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mənası odur ki, müəyyən məbləğdə pul mənim tərəfimdən əmanət kassasına qoyulub və bir il orada yatıb. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. gəlir, bu da qoyduğum pulun 2/100 hissəsidir. Mən nə qədər pul qoymuşam?

Buna görə də, bu pulun iki şəkildə ifadə olunan hissəsini (rubl və fraksiya ilə) bilməklə, biz hələ məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı vəzifələr həll olunur:

Beləliklə, əmanət kassasına 3000 rubl qoyuldu.

Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq hazırlayaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problemin vəziyyətindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq yığmaq lazımdır, onu da bilmirik. Problemin həlli bu rəqəmi tapmaqdan ibarət olacaq.

Bu cür vəzifələr bölmək yolu ilə həll olunur:

Belə ki, plana əsasən, 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq nə qədər yol getdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problemin vəziyyətindən də görünür ki, Riqadan Moskvaya gedən yolun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürün və payı məxrəcin yerinə uyğunlaşdırın, 3/2 alırıq. Bizdə bunun əksi olan bir kəsr var.

Verilmiş bir kəsrin əksini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla hər hansı bir kəsrin əksi olan kəsr əldə edə bilərik. Misal üçün:

3/4, tərs 4/3; 5/6 , tərs 6/5

Birincinin payının ikincinin məxrəci və birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xüsusiyyətinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Bunun əksini axtarsaq, tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlıları taparkən tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün gələcəkdə qarşılıqlılardan deyil, qarşılıqlılardan danışacağıq.

Tam ədədin əksini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll olunur: məxrəci payın yerinə qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, əldə edə bilərsiniz qarşılıqlı sayı və tam ədəd üçün, çünki hər hansı tam ədədin 1 məxrəci ola bilər. Beləliklə, 7-nin əksi 1/7 olacaq, çünki 7 \u003d 7/1; 10 nömrəsi üçün əksi 1/10-dur, çünki 10 = 10/1

Bu fikri başqa cür də ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Həqiqətən, 5/9-un əksi olan bir ədəd yazmaq istəyirsinizsə, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi birini qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:

Bu xassədən istifadə edərək, aşağıdakı şəkildə qarşılıqları tapa bilərik. 8-in əksini tapaq.

Hərflə işarə edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. Başqa bir ədəd tapaq, 7/12-nin tərsi, onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1:7 / 12 və ya X = 12 / 7 .

Biz burada kəsrlərin bölünməsi ilə bağlı məlumatları bir qədər əlavə etmək üçün qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

Ödəmək Xüsusi diqqət ifadəsinə və verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .

İfadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda nəticə eynidir. Beləliklə deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividentləri bölənin əksinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.

Kəsri bir kəsrə və ya kəsri ədədə düzgün vurmaq üçün bilmək lazımdır sadə qaydalar. İndi bu qaydaları ətraflı təhlil edəcəyik.

Kəsri kəsrə vurmaq.

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün bu kəsrlərin paylarının hasilini və məxrəclərinin məhsulunu hesablamaq lazımdır.

\(\bf \frac(a)(b) \dəfə \frac(c)(d) = \frac(a \dəfə c)(b \dəfə d)\\\)

Məsələni nəzərdən keçirək:
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vururuq, birinci kəsrin məxrəcini də ikinci kəsrin məxrəci ilə vururuq.

\(\frac(6)(7) \dəfə \frac(2)(3) = \frac(6 \dəfə 2)(7 \dəfə 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ dəfə 3)(7 \dəfə 3) = \frac(4)(7)\\\)

\(\frac(12)(21) = \frac(4 \dəfə 3)(7 \dəfə 3) = \frac(4)(7)\\\) kəsir 3 azaldılıb.

Kəsirin ədədə vurulması.

Qaydadan başlayaq istənilən ədəd kəsr kimi göstərilə bilər \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Gəlin vurma üçün bu qaydadan istifadə edək.

\(5 \dəfə \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \dəfə \frac(4)(7) = \frac(5 \dəfə 4)(1 \dəfə 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Yanlış kəsr \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\)-a çevrildi qarışıq fraksiya.

Başqa sözlə, Ədədi kəsrə vurarkən, ədədi paya vurmaq və məxrəci dəyişmədən saxlamaq lazımdır. Misal:

\(\frac(2)(5) \dəfə 3 = \frac(2 \dəfə 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \dəfə c = \frac(a \dəfə c)(b)\\\)

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Qarışıq kəsrləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə hər bir qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etməli, sonra isə vurma qaydasından istifadə etməlisiniz. Saxlama payla vurulur, məxrəc məxrəcə vurulur.

Misal:
\(2\frac(1)(4) \dəfə 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \dəfə \frac(23)(6) = \frac(9 \dəfə 23) (4 \dəfə 6) = \frac(3 \dəfə \rəng(qırmızı) (3) \dəfə 23)(4 \dəfə 2 \dəfə \rəng(qırmızı) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Qarşılıqlı kəsrlərin və ədədlərin vurulması.

\(\bf \frac(a)(b)\) kəsr a≠0,b≠0 şərti ilə \(\bf \frac(b)(a)\) kəsirinin tərsidir.
\(\bf \frac(a)(b)\) və \(\bf \frac(b)(a)\) fraksiyaları qarşılıqlı adlanır. Qarşılıqlı kəsrlərin hasili 1-dir.
\(\bf \frac(a)(b) \dəfə \frac(b)(a) = 1 \\\)

Misal:
\(\frac(5)(9) \dəfə \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Əlaqədar suallar:
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: adi kəsrlərin hasili payın payla, məxrəcin məxrəcə vurulmasıdır. Qarışıq fraksiyaların məhsulunu almaq üçün onları düzgün olmayan kəsrə çevirmək və qaydalara uyğun olaraq çoxaltmaq lazımdır.

Fərqli məxrəcli kəsrləri necə çoxaltmaq olar?
Cavab: kəsrlərin məxrəclərinin eyni və ya fərqli olmasının fərqi yoxdur, vurma payın hasilini payla, məxrəci isə məxrəclə tapmaq qaydasına uyğun olaraq baş verir.

Qarışıq fraksiyaları necə çoxaltmaq olar?
Cavab: ilk növbədə qarışıq kəsri düzgün olmayan kəsrə çevirməli və sonra vurma qaydalarına uyğun hasil tapmalısınız.

Ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: Ədədi payla vururuq, məxrəci isə eyni qoyuruq.

Nümunə №1:
Məhsulu hesablayın: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Qərar:
a) \(\frac(8)(9) \dəfə \frac(7)(11) = \frac(8 \dəfə 7)(9 \dəfə 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \dəfə \frac(10)(13) = \frac(2 \dəfə 10)(15 \dəfə 13) = \frac(2 \dəfə 2 \dəfə \rəng( qırmızı) (5))(3 \dəfə \rəng(qırmızı) (5) \dəfə 13) = \frac(4)(39)\)

Nümunə №2:
Ədədin və kəsrin hasilini hesablayın: a) \(3 \dərə \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \x11\)

Qərar:
a) \(3 \dəfə \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \dəfə \frac(17)(23) = \frac(3 \dəfə 17)(1 \dəfə 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \dəfə 11 = \frac(2)(3) \dəfə \frac(11)(1) = \frac(2 \dəfə 11)(3 \dəfə 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Nümunə №3:
\(\frac(1)(3)\) ifadəsinin əksini yazın?
Cavab: \(\frac(3)(1) = 3\)

Nümunə №4:
İki qarşılıqlı kəsrin hasilini hesablayın: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Qərar:
a) \(\frac(104)(215) \dəfə \frac(215)(104) = 1\)

Nümunə №5:
Qarşılıqlı tərs kəsrlər ola bilər:
a) hər iki uyğun kəsr;
b) eyni vaxtda düzgün olmayan kəsrlər;
c) natural ədədlər eyni zamanda?

Qərar:
a) Birinci suala cavab vermək üçün bir nümunədən istifadə edək. \(\frac(2)(3)\) kəsr düzgündür, onun əksi \(\frac(3)(2)\)-ə bərabər olacaq – düzgün olmayan fraksiya. Cavab: yox.

b) kəsrlərin demək olar ki, bütün sadalamalarında bu şərt yerinə yetirilmir, lakin bəzi ədədlər var ki, eyni zamanda natamam kəsr olmaq şərtini yerinə yetirir. Məsələn, düzgün olmayan kəsr \(\frac(3)(3)\) , onun əksi \(\frac(3)(3)\). İki düzgün olmayan fraksiya alırıq. Cavab: həmişə müəyyən şərtlər altında, say və məxrəc bərabər olduqda deyil.

c) natural ədədlər sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərdir, məsələn, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac(3)(1)\ ədədini götürsək, onun qarşılığı \(\frac(1)(3)\) olacaqdır. \(\frac(1)(3)\) kəsri natural ədəd deyil. Bütün ədədləri keçsək, 1 istisna olmaqla, əks həmişə kəsrdir. 1 rəqəmini götürsək, onun əksi \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) olacaq. = 1\). Nömrə 1 natural ədəd. Cavab: onlar yalnız bir halda eyni vaxtda natural ədədlər ola bilər, əgər bu ədəd 1 olarsa.

Nümunə №6:
Qarışıq fraksiyaların hasilini yerinə yetirin: a) \(4 \dəfə 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Qərar:
a) \(4 \dəfə 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \dəfə \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\\)
b) \(1\frac(1)(4) \dəfə 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \dəfə \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Nümunə №7:
İki qarşılıqlı ədəd eyni vaxtda qarışıq ədəd ola bilərmi?

Bir nümunəyə baxaq. Qarışıq kəsr götürün \(1\frac(1)(2)\), onu tapın qarşılıqlı, bunun üçün onu düzgün olmayan kəsrə çeviririk \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Onun qarşılığı \(\frac(2)(3)\) -ə bərabər olacaq. \(\frac(2)(3)\) kəsr uyğun kəsrdir. Cavab: Qarşılıqlı tərs iki kəsr eyni zamanda qarışıq ədəd ola bilməz.

Adi fraksiyaların vurulmasını bir neçə mümkün üsulla nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

üçün kəsri kəsrə vurmaq, zəruri:

birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurun və hasilini yeni kəsrin payına yazın;
birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə vurur və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazır;

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı xeyli asanlaşdıracaq.

Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsrə natural ədədə çarpın kəsrin payını bu rəqəmə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Çarpmanın nəticəsi düzgün olmayan bir kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi unutmayın, yəni tam hissəni seçin.

Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablayarkən fərqli bir vurma üsulundan istifadə etmək daha rahatdır ümumi kəsr nömrəyə.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.

Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci natural ədədə qalıqsız bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsrlərlə hərəkətlər

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Tapşırığın sonu gəlirsə, deməli yox düzgün fraksiyalar qurtarmaq üçün qəbul edilir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:

İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli, məxrəci isə eyni qoymalısınız;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Lakin onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.

Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci əlavə əmsal alınır. Onlar ikinci fraksiya ilə də eyni şeyi edirlər - NOC ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə amili onun üstünə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə də ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:

İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Beləliklə, nümunə başa çatır. Əlavə etmək üçün belə çıxır.

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).

Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz orada tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.

Qeyd edək ki, biz rəsm çəkmişik nümunə verilmişdirçox təfərrüatlı. AT təhsil müəssisələri belə təfərrüatlı şəkildə yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:

Amma sikkənin digər tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıdakı diaqramdan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrlərin məxrəcləri üçün LCM-i tapın

Hər iki fraksiyanın məxrəcləri üçün LCM-i tapırıq. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir. Bu ədədlər üçün LCM-i tapmalısınız:

Addım 2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmidir, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölün, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alarıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

Addım 3. Kəsrin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun

Biz əlavə amillərlə say və məxrəcləri vururuq:

Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:

Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və əvvəlində bərabər işarəsi (=) qoymaq lazımdır. yeni xətt. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun tam hissəsini seçin

Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:

Cavab aldım

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması

Kəsirin çıxmasının iki növü var:

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Əvvəlcə eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə eyni saxlamaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2İfadənin qiymətini tapın.

Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci eyni olaraq buraxın:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Nümunə tamdırsa, o zaman düzgün olmayan fraksiyadan xilas olmaq adətdir. Cavabda səhv kəsrdən xilas olaq. Bunu etmək üçün onun bütün hissəsini seçin:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır;

Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Ancaq kəsr kəsrdən kəsrə çıxa bilməz, çünki bu kəsrlərin fərqli məxrəcləri var. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın:

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi fraksiyalara qayıdın və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alarıq. İkinci kəsrin üzərinə üçlü yazırıq:

İndi hamımız çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Cavab aldım

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrlərin və ortaq məxrəcə qədər azaldılması da bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə 6 əmsalı alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu daha sadə və estetik cəhətdən cəlbedici etməliyik. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz. Yada salaq ki, kəsrin kiçilməsi payın və məxrəcin ən böyüyə bölünməsidir. ortaq bölən say və məxrəc.

Kəsri düzgün şəkildə azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə (GCD) bölmək lazımdır.

GCD-ni NOC ilə qarışdırmayın. Bir çox yeni başlayanların etdiyi ən ümumi səhv. GCD ən böyük ümumi böləndir. Biz onu fraksiyaların azalması üçün tapırıq.

Və LCM ən az ümumi çoxluqdur. Onu kəsrləri eyni (ortaq) məxrəcə gətirmək üçün tapırıq.

İndi biz 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini (gcd) tapacağıq.

Beləliklə, 20 və 30 nömrələri üçün GCD-ni tapırıq:

GCD (20 və 30) = 10

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini 10-a bölürük:

Gözəl cavab aldım

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmalı və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsrin payını 4-ə vurun

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.

Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Kəsrlərin vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldım. azaldılması arzu edilir verilmiş kəsr. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün onu pay və məxrəcin gcd-yə bölmək lazımdır. Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:

(105 və 150) üçün GCD 15-dir

İndi GCD-yə verdiyimiz cavabın payını və məxrəcini bölürük:

Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan, beş mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir:

Əks nömrələr

İndi tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinə a ilə vurulduqda olan ədəddir a vahid verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulduqda olan ədəddir 5 vahid verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədəd tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, edə bilərsiniz. Beşi kəsr kimi təqdim edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri yalnız tərsinə vuraraq özünə vurun:

Bunun nəticəsi nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi ədəddir, çünki 5-i birə vuranda bir alınır.

Qarşılıq hər hansı digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

3-ün əksi kəsirdir
4-ün əksi kəsirdir

Siz həmçinin hər hansı digər fraksiya üçün əksi tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün onu çevirmək kifayətdir.

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Bu əməliyyat toplama-çıxma əməliyyatından daha gözəldir! Çünki daha asandır. Xatırladıram: bir kəsri kəsrə vurmaq üçün sayları (bu nəticənin payı olacaq) və məxrəcləri (bu məxrəc olacaq) çoxaltmaq lazımdır. yəni:

Misal üçün:

Hər şey son dərəcə sadədir. Və xahiş edirəm ortaq məxrəc axtarmayın! Burda lazım deyil...

Kəsiri kəsrə bölmək üçün çevirmək lazımdır ikinci(bu vacibdir!) kəsr və onları çoxalt, yəni:

Misal üçün:

Tam və kəsrlərlə vurma və ya bölmə tutuldusa, eybi yoxdur. Əlavədə olduğu kimi, məxrəcdə vahid olan tam ədəddən kəsir düzəldirik - və gedin! Misal üçün:

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya hətta dörd mərtəbəli!) fraksiyalarla məşğul olmalısan. Misal üçün:

Bu fraksiyanı layiqli formaya necə gətirmək olar? Bəli, çox asan! İki nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Ancaq bölmə qaydasını unutma! Çoxalmadan fərqli olaraq, burada bu çox vacibdir! Təbii ki, 4:2 və ya 2:4-ü qarışdırmayacağıq. Ancaq üç mərtəbəli bir hissədə səhv etmək asandır. Qeyd edək ki, məsələn:

Birinci halda (solda ifadə):

İkincidə (sağdakı ifadə):

Fərqi hiss edirsiniz? 4 və 1/9!

Bölünmə qaydası nədir? Və ya mötərizələr və ya (burada olduğu kimi) üfüqi tirelərin uzunluğu. Göz inkişaf etdirin. Mötərizələr və tire yoxdursa, məsələn:

sonra bölmək-çoxalmaq sıra ilə, soldan sağa!

Və başqa bir çox sadə və vacib hiylə. Dərəcələri olan hərəkətlərdə bu sizin üçün faydalı olacaq! Vahidi istənilən kəsrə, məsələn, 13/15-ə bölmək:

Atış çevrildi! Və həmişə olur. 1-i hər hansı kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olur, yalnız tərs olur.

Fraksiyalarla edilən bütün hərəkətlər budur. İş olduqca sadədir, lakin kifayət qədər səhvlər verir. Qeyd praktiki məsləhət, və onlar (səhvlər) daha az olacaq!

Praktik məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir! Bunlar ümumi sözlər deyil, xoş arzular deyil! Bu ciddi ehtiyacdır! İmtahandakı bütün hesablamaları konsentrasiya və aydınlıqla tam hüquqlu bir tapşırıq kimi aparın. Bir qaralamada iki əlavə sətir yazmaq, başınızda hesablaşarkən qarışdırmaqdan daha yaxşıdır.

2. ilə nümunələrdə fərqli növlər fraksiyalar - adi kəsrlərə keçin.

3. Bütün fraksiyaları son nöqtəyə qədər azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini iki nöqtə vasitəsilə bölmədən istifadə edərək adi olanlara endiririk (bölmə ardıcıllığına əməl edirik!).

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Budur tamamlamalı olduğunuz tapşırıqlar. Bütün tapşırıqlardan sonra cavablar verilir. Bu mövzunun materiallarından və praktiki məsləhətlərdən istifadə edin. Neçə nümunəni düzgün həll edə biləcəyinizi təxmin edin. İlk dəfə! Kalkulyator olmadan! Və düzgün nəticə çıxarın...

Düzgün cavabı yadda saxla ikinci (xüsusilə üçüncü) vaxtdan əldə edilir - sayılmır! Ağır həyat belədir.

Belə ki, imtahan rejimində həll edin ! Yeri gəlmişkən, bu imtahana hazırlıqdır. Məsələni həll edirik, yoxlayırıq, aşağıdakıları həll edirik. Hər şeyə qərar verdik - birincidən sonuncuya qədər yenidən yoxladıq. Yalnız sonra cavablara baxın.

Hesablayın:

Siz qərar verdiniz?

Sizə uyğun cavablar axtarırsınız. Mən onları qəsdən, şirnikləndirmədən, belə demək mümkünsə, səliqə-sahmanda yazdım... Budur, cavablar nöqtəli vergüllə yazılmışdır.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Və indi nəticə çıxarırıq. Hər şey düzəldisə - sizin üçün xoşbəxtəm! Elementar hesablamalar fraksiyalarla - sizin probleminiz deyil! Daha ciddi işlərlə məşğul ola bilərsiniz. Əgər olmasa...

Beləliklə, iki problemdən biri var. Və ya hər ikisi birdən.) Bilik çatışmazlığı və (və ya) diqqətsizlik. Amma bu həll oluna bilən Problemlər.