Bu dərs toplama və çıxma işlərini əhatə edəcək. cəbri kəsrlər ilə müxtəlif məxrəclər. Biz artıq müxtəlif məxrəcləri olan ümumi kəsrləri necə toplamaq və çıxmaq lazım olduğunu bilirik. Bunun üçün kəsrləri ortaq məxrəcə endirmək lazımdır. Belə çıxır ki, cəbri kəsrlər eyni qaydalara əməl edirlər. Eyni zamanda, cəbri kəsrləri ortaq məxrəcə necə azaltmağı artıq bilirik. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması ən vacib və ən vacib məsələlərdən biridir çətin mövzular 8-ci sinif kursunda. Eyni zamanda bu mövzu gələcəkdə öyrənəcəyiniz bir çox cəbr kursu mövzularında görünəcək. Dərsin bir hissəsi olaraq biz müxtəlif məxrəcləri olan cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını öyrənəcək, həmçinin bir sıra tipik nümunələri təhlil edəcəyik.
Gəlin nəzərdən keçirək ən sadə misalüçün adi fraksiyalar.
Misal 1. Kəsrlər əlavə edin: .
Həlli:
Kəsrlərin əlavə edilməsi qaydasını xatırlayaq. Başlamaq üçün kəsrləri ümumi məxrəcə endirmək lazımdır. Adi kəsrlərin ortaq məxrəci belədir ən az ümumi çoxluq(LCM) orijinal məxrəclərin.
Tərif
Ən azı natural ədəd və ədədlərinə eyni vaxtda bölünən .
LCM-i tapmaq üçün məxrəcləri parçalamaq lazımdır əsas amillər, və sonra hər iki məxrəcin genişlənməsində görünən bütün əsas amilləri seçin.
; . Onda ədədlərin LCM-i iki iki və iki üçlükdən ibarət olmalıdır: .
Ümumi məxrəci tapdıqdan sonra hər kəsr üçün əlavə əmsal tapmaq lazımdır (əslində ümumi məxrəci müvafiq kəsrin məxrəcinə bölmək).
Sonra hər bir fraksiya yaranan əlavə əmsala vurulur. Əvvəlki dərslərdə toplama və çıxarmağı öyrəndiyimiz eyni məxrəcli kəsrləri alırıq.
Biz əldə edirik: 
.
Cavab:.
İndi müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin əlavə edilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə məxrəcləri ədədlər olan kəsrlərə baxaq.
Misal 2. Kəsrlər əlavə edin: .
Həlli:
Həll alqoritmi əvvəlki nümunəyə tamamilə bənzəyir. Bu kəsrlərin ümumi məxrəcini tapmaq asandır: və onların hər biri üçün əlavə amillər.
.
Cavab:.
Beləliklə, formalaşdıraq müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin əlavə və çıxılması alqoritmi:
1. Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.
2. Kəsirin hər biri üçün əlavə əmsalları tapın (ümumi məxrəci verilmiş kəsrin məxrəcinə bölməklə).
3. Sayları müvafiq əlavə amillərlə çarpın.
4. Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarından istifadə edərək kəsrləri əlavə edin və ya çıxın.
İndi məxrəcində hərf ifadələri olan kəsrlərin nümunəsini nəzərdən keçirək.
Misal 3. Kəsrlər əlavə edin: .
Həlli:
Hər iki məxrəcdəki hərf ifadələri eyni olduğundan, rəqəmlər üçün ortaq məxrəc tapmalısınız. Son ortaq məxrəc belə görünəcək: . Beləliklə, bu nümunənin həlli belə görünür:.
Cavab:.
Misal 4. Kəsrləri çıxarın: .
Həlli:
Əgər ümumi məxrəci seçərkən “aldada” bilmirsinizsə (onu faktorlara ayıra və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edə bilməzsiniz), onda ümumi məxrəc kimi hər iki fraksiyanın məxrəclərinin hasilini götürməlisiniz.
Cavab:.
Ümumiyyətlə, qərar verərkən oxşar nümunələr, ən çətin iş ortaq məxrəci tapmaqdır.
Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.
Misal 5. Sadələşdirin: .
Həlli:
Ortaq məxrəci taparkən ilk növbədə ilkin fraksiyaların məxrəclərini (ortaq məxrəci sadələşdirmək üçün) faktorlara ayırmağa çalışmaq lazımdır.
Bu xüsusi halda:
Onda ortaq məxrəci müəyyən etmək asandır: 
.
Əlavə amilləri müəyyənləşdirin və həll edin bu misal:
Cavab:.
İndi isə müxtəlif məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını təyin edək.
Misal 6. Sadələşdirin: .
Həlli:
Cavab:.
Misal 7. Sadələşdirin: .
Həlli:
.
Cavab:.
İndi iki deyil, üç fraksiyanın əlavə edildiyi bir nümunəyə baxaq (hər şeydən sonra, toplama və çıxma qaydaları daha çox kəsrlər eyni qalır).
Misal 8. Sadələşdirin: .
Dərsin məzmunuBənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Fraksiyaların əlavə edilməsinin iki növü var:
- Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
- Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Əvvəlcə məxrəcləri oxşar olan kəsrlərin əlavə edilməsini öyrənək. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:
Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:
Misal 2. Kəsrləri əlavə edin və .
Cavabın düzgün olmayan kəsr olduğu ortaya çıxdı. Tapşırığın sonu gəldikdə, düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan xilas olmaq üçün onun bütün hissəsini seçmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə bütün hissə asanlıqla təcrid olunur - ikiyə bölünən ikiyə bərabərdir:
İki hissəyə bölünmüş pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:
Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .
Yenə də sayları toplayır və məxrəci dəyişməz qoyuruq:
Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:
Misal 4.İfadənin qiymətini tapın 
Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:
Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzaya pizza əlavə edib daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 bütöv pizza və daha bir pizza alırsınız.
Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsində mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:
- Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etmək və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
İndi fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənək. Kəsrləri toplayanda kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.
Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.
Lakin kəsrləri dərhal əlavə etmək olmaz, çünki bu fraksiyaların məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün biz onlardan yalnız birinə baxacağıq, çünki digər üsullar yeni başlayanlar üçün mürəkkəb görünə bilər.
Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-si axtarılır. Sonra LCM birinci əlavə əmsalı əldə etmək üçün birinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür. Onlar ikinci fraksiya ilə eyni şeyi edirlər - LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil əldə edilir.
Sonra kəsrlərin sayları və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi bilirik.
Misal 1. və kəsrləri əlavə edək
Hər şeydən əvvəl hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.
LCM (2 və 3) = 6
İndi isə kəsrlərə qayıdaq və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölün və ilk əlavə əmsalı alın. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.
Nəticədə alınan 2 rəqəmi ilk əlavə çarpandır. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün kəsr üzərində kiçik bir əyri xətt çəkin və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazın:
İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.
Nəticədə alınan 3 rəqəmi ikinci əlavə çarpandır. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə də ikinci fraksiya üzərində kiçik bir əyri xətt çəkirik və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazırıq:
İndi əlavə etmək üçün hər şey hazırdır. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:
Bu nümunəni tamamlayır. Əlavə etmək üçün çıxır.
Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:
Kəsrlərin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə endirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza parçaları ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).
Birinci rəsm kəsri (altıdan dörd ədəd), ikinci rəsm isə kəsri (altıdan üç ədəd) təmsil edir. Bu parçaları əlavə edərək əldə edirik (altıdan yeddi ədəd). Bu fraksiya düzgün deyil, ona görə də onun bütün hissəsini vurğuladıq. Nəticədə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) əldə etdik.
Nəzərə alın ki, biz bu nümunəni çox ətraflı təsvir etmişik. IN təhsil müəssisələri Bu qədər təfərrüatlı yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin tapılan əlavə amilləri say və məxrəclərinizə sürətlə vurmalısınız. Məktəbdə olsaydıq, bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:
Ancaq sikkənin başqa bir tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparmasanız, bu cür suallar görünməyə başlayır. “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.
Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:
- Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
- LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın;
- Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
- Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
- Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;
Misal 2.İfadənin qiymətini tapın 
.
Yuxarıda verilmiş təlimatlardan istifadə edək.
Addım 1. Kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın
Hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 ədədləridir
Addım 2. LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın
LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölsək, 6-nı alırıq. İlk əlavə əmsalı 6 aldıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:
İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alırıq. İkinci əlavə əmsal 4-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi LCM-ni üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alarıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:
Addım 3. Kəsrin saylarını və məxrəclərini onların əlavə amillərinə vurun
Numeratorları və məxrəcləri əlavə amillərlə çarpırıq:
Addım 4. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edin
Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Yalnız bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:
Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və əvvəlində bərabər işarəsi (=) qoymaq lazımdır. yeni xətt. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.
Addım 5. Cavabın düzgün olmayan kəsr olduğu ortaya çıxarsa, onun bütün hissəsini vurğulayın
Cavabımız düzgün olmayan kəsr oldu. Onun bütöv bir hissəsini vurğulamalıyıq. Biz vurğulayırıq:
Cavab aldıq
Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması
Kəsrlərin çıxarılmasının iki növü var:
- Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması
- Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması
Birincisi, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci fraksiyanın payından ikinci fraksiyanın payını çıxarmaq lazımdır, lakin məxrəci eyni şəkildə buraxmaq lazımdır.
Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu nümunəni həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır. Gəlin bunu edək:
Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:
Misal 2.İfadənin qiymətini tapın.
Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci dəyişməz qoyun:
Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:
Misal 3.İfadənin qiymətini tapın 
Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:
Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:
- Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
- Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması
Məsələn, kəsrdən kəsri çıxara bilərsiniz, çünki kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Ancaq kəsrdən kəsri çıxa bilməzsiniz, çünki bu kəsrlərin fərqli məxrəcləri var. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Ümumi məxrəc, fərqli məxrəcli kəsrləri əlavə edərkən istifadə etdiyimiz eyni prinsipdən istifadə etməklə tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üstündə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin yuxarısına yazılan ikinci əlavə amil alınır.
Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.
Misal 1.İfadənin mənasını tapın:
Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.
LCM (3 və 4) = 12
İndi isə fraksiyalara qayıdaq və
Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunu etmək üçün LCM-ni birinci fraksiyanın məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Birinci kəsrin üzərinə dörd yazın:
İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üç yazın:
İndi biz çıxmağa hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:
Cavab aldıq
Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız
Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olsaydıq, bu misalı daha qısa həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:
Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi də bir şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə endirərək və kəsrləri əldə etdik. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):
Birinci şəkildə kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.
Misal 2.İfadənin qiymətini tapın 
Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapaq.
Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunu etmək üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün.
Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, birinci əlavə əmsal 3-ü alırıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:
İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. Onu ikinci kəsrin yuxarısına yazırıq:
İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə amil 6-nı alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:
İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.
Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:
Cavab adi bir kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu daha sadə etməliyik. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı qısalda bilərsiniz.
Kəsri azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 rəqəmlərindən (GCD) bölmək lazımdır.
Beləliklə, 20 və 30 rəqəmlərinin gcd-sini tapırıq:
İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini tapılan gcd-ə, yəni 10-a bölürük.
Cavab aldıq
Kəsirin ədədə vurulması
Kəsri ədədə vurmaq üçün kəsrin payını həmin ədədə vurmalı və məxrəci eyni olaraq qoymalısınız.
Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.
Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun
Səsyazma 1 dəfənin yarısı kimi başa düşülə bilər. Məsələn, bir dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız
Vurma qanunlarından bilirik ki, vurma və amil dəyişdirilərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam ədədi və kəsri vurma qaydası işləyir:
Bu qeydi birinin yarısını almaq kimi başa düşmək olar. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və onun yarısını alırıqsa, pizzamız olacaq:
Misal 2. İfadənin qiymətini tapın
Kəsrin payını 4-ə vurun
Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Onun bütün hissəsini vurğulayaq:
İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 pizza götürsəniz, iki tam pizza alacaqsınız
Əgər çarpanı və çarpanı dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:
Fraksiyaların vurulması
Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.
Misal 1.İfadənin qiymətini tapın.
Cavab aldıq. azaltmaq məsləhətdir verilmiş kəsr. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:
İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:
Və bu üç hissədən ikisini götürün:
Pizza hazırlayacağıq. Üç hissəyə bölündükdə pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:
Bu pizzanın bir parçası və götürdüyümüz iki parça eyni ölçülərə sahib olacaq:
Başqa sözlə, söhbət eyni ölçülü pizzadan gedir. Buna görə ifadənin dəyəri belədir
Misal 2. İfadənin qiymətini tapın
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:
Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Onun bütün hissəsini vurğulayaq:
Misal 3.İfadənin qiymətini tapın
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:
Cavab adi kəsr oldu, amma qısalsa yaxşı olardı. Bu kəsri azaltmaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini ən böyüyə bölmək lazımdır ortaq bölən(GCD) 105 və 450 nömrələri.
Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin gcd-sini tapaq:
İndi cavabımızın payını və məxrəcini indi tapdığımız gcd-ə, yəni 15-ə bölürük.
Tam ədədi kəsr kimi təmsil edir
İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bu, beşin mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyimiz kimi, beşə bərabərdir:
Qarşılıqlı nömrələr
İndi çox tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.
Tərif. Nömrəyə tərsinəa ilə vurulan ədəddira birini verir.
Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:
Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulan ədəddir 5 birini verir.
5-ə vurulduqda bir verən ədədi tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, mümkündür. Gəlin beşi kəsr kimi təsəvvür edək:
Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri yalnız tərsinə vuraq:
Bunun nəticəsində nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:
Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi rəqəmdir, çünki 5-i vurduqda bir əldə edirsən.
Ədədin əksi istənilən digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.
İstənilən digər kəsrin əksini də tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün sadəcə çevirin.
Kəsirin ədədə bölünməsi
Deyək ki, yarım pizzamız var:
Gəlin onu ikiyə bərabər bölək. Hər adam nə qədər pizza alacaq?
Görünür ki, pizzanın yarısını böldükdən sonra hər biri bir pizza təşkil edən iki bərabər hissə əldə edilmişdir. Beləliklə, hamı pizza alır.
Kəsrlərin bölünməsi qarşılıqlardan istifadə etməklə həyata keçirilir. Qarşılıqlı ədədlər bölməni vurma ilə əvəz etməyə imkan verir.
Kəsri ədədə bölmək üçün kəsri bölənin tərsinə vurmaq lazımdır.
Bu qaydadan istifadə edərək, pizzamızın yarısının iki yerə bölünməsini yazacağıq.
Beləliklə, kəsri 2 rəqəminə bölmək lazımdır. Burada dividend kəsr, bölən isə 2 rəqəmidir.
Kəsiri 2 rəqəminə bölmək üçün bu kəsri 2-ci bölənin əksinə vurmaq lazımdır. 2-ci bölənin əksi kəsirdir. Beləliklə, çoxalmaq lazımdır
§ 87. Kəsrlərin toplanması.
Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (şərtlərin) bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir, bu da termin vahidlərinin bütün vahidlərini və kəsrlərini ehtiva edir.
Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik:
1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.
Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5.
AB seqmentini götürək (şəkil 17), onu bir kimi götürüb 5 bərabər hissəyə bölək, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni CD seqmentinin hissəsi isə bərabər olacaq. 2/5 AB.
Rəsmdən aydın olur ki, AD seqmentini götürsək, 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti məhz AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu şərtləri və yaranan cəmini nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı həddlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.
Buradan alırıq növbəti qayda: Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə edib eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.
Bir misala baxaq:
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
Fraksiyaları əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:
Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməz; aydınlıq üçün burada yazdıq.
Beləliklə, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirməli, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəci işarələməlisiniz.
Məsələni nəzərdən keçirək (uyğun fraksiyaların üstündə əlavə amillər yazacağıq):
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.
Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və onları yenidən yazaq:
İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edirik:
§ 88. Kəsrlərin çıxılması.
Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq, başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Ardıcıl olaraq üç halı nəzərdən keçirək:
1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.
Bir misala baxaq:
13 / 15 - 4 / 15
AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsini, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.
13/15-dən 4/15 kəsrini çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:
Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, lakin məxrəc eyni qalmışdır.
Buna görə də, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün minuendin payından çıxılanın payını çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
Misal. 3/4 - 5/8
Əvvəlcə bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə endirək:
Aralıq keçid 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin bundan sonra keçmək olar.
Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, sonra minuendin payını minuendin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə işarə etməlisiniz.
Bir misala baxaq:
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
Misal. 10 3/4 - 7 2/3.
Minuendin kəsr hissələrini azaldaq və ən aşağı ortaq məxrəcə çıxaraq:
Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, minuendin bütün hissəsindən bir vahid götürmək, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölmək və onu minuendin kəsr hissəsinə əlavə etmək lazımdır. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:
§ 89. Kəsrlərin vurulması.
Kəsrin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (amillə) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini yaratmaq deməkdir.
Bu o deməkdir ki, əgər 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bunu belə etmək olar:
Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,
Bu hərəkətin nəzərə alınması göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və bir kəsrin artırılması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün
yaxud onun məxrəcini azaltmaqla 
, onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bölmə mümkündürsə.
Buradan qaydanı alırıq:
Kəsri tam ədədə vurmaq üçün siz payı həmin tam ədədə vurub məxrəci eyni qoyursunuz və ya mümkünsə məxrəci həmin ədədə bölərək, payı dəyişməz qoyursunuz.
Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu problemlərin digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən bir kəsrlə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra isə onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.
Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?
Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər məsafə qət etməlidir. O, artıq bu məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Bu neçə kilometrdir?
Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4-ü kərpic, qalanı taxtadır. Ümumilikdə nə qədər kərpic evlər?
Bunlar verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün qarşılaşdığımız çoxsaylı problemlərdən bəziləridir. Onlar adətən verilmiş ədədin kəsrini tapmaq üçün problemlər adlanır.
Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Bu o deməkdir ki, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:
Problemin həlli 2. Problemin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, 300 km-in 2/3 hissəsini tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 300-ün 1/3 hissəsini hesablayaq; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:
300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).
300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün ortaya çıxan əmsalı ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:
100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-ə bərabərdir).
Problemin həlli 3. Burada 400-ün 3/4-ni təşkil edən kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,
400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).
400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:
100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).
Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:
Verilmiş ədəddən kəsrin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə yaranan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.
3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.
Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması dedikdə, eyni şərtlərin əlavə edilməsi başa düşülməlidir (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.
Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.
İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, çarpma ilə qarşılaşacağıq: 9 2 / 3. Aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.
Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.
Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çoxluğu) kəsrə (çoxluq) vurmaq vurmanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.
Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6 ilə yekunlaşacağıq.
Ancaq indi maraqlı və vacib sual yaranır: niyə belədir müxtəlif tədbirlər cəmini necə tapmaq olar bərabər ədədlər və ədədlərin kəsrlərinin tapılması arifmetikada eyni sözü “vurma” adlanır?
Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (şərtlərlə ədədi bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) eynicinsli suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya vəzifələrin eyni hərəkətlə həll edildiyi mülahizələrindən çıxış edirik.
Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?
Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.
Gəlin eyni problemi götürək, amma orada parça miqdarı fraksiya şəklində ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə parçanın 3/4 m-i neçəyə başa gələcək?”
Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.
Problemin mənasını dəyişdirmədən içindəki nömrələri bir neçə dəfə dəyişdirə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.
Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.
Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:
Tərifə görə 50-nin 3/4-ni tapmalıyıq.Əvvəlcə 50-nin 1/4, sonra isə 3/4-ü tapaq.
50-nin 1/4-ü 50/4-dür;
50 ədədinin 3/4 hissəsidir.
Beləliklə.
Başqa bir misala baxaq: 12 5/8 =?
12 rəqəminin 1/8 hissəsi 12/8-dir,
12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.
Beləliklə,
Buradan qaydanı alırıq:
Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.
Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazaq:
Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.
Yadda saxlamaq vacibdir ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. azalmalar, Məsələn:
4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni bir kəsi kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (çoxalma) amildəki kəsri tapmaq lazımdır.
Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Bir misal götürək: 3/4 5/7 ilə vurulur. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapaq
3/4 ədədinin 1/7 hissəsi aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:
5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:
Beləliklə,
Başqa bir misal: 5/8 4/9 ilə vurulur.
5/8-in 1/9-u ,
5/8 ədədinin 4/9 hissəsidir.
Beləliklə, 
Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:
Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini paya, ikinci hasilini isə hasilin məxrəcinə çevirmək lazımdır.
Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:
Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələrə baxaq:
5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil ifadə edildiyi hallarda qarışıq nömrələr, sonra onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çoxaldaq: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini çevirək düzgün fraksiya və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldacağıq:
Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrləri kəsrlərə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.
Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:
6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq nəzərə almaq lazımdır ki, bir çox miqdar onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölünməyə imkan verir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu "10 qəpik, ya on qəpiklik olacaq. Rublun dörddə biri, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) ala bilərsiniz. Amma onlar praktiki olaraq götürmürlər, məsələn , rublun 2/7 hissəsi, çünki rubl yeddiyə bölünmür.
Çəki vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, 1/10 kq və ya 100 q-a bölünməyə imkan verir və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/13 kimi fraksiyaları ümumi deyil.
Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzüncü” bölgüdür. İnsan praktikasının ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.
Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl idi. 1 rubl azaldı. 20 qəpik
2. Əmanət kassaları əmanətçilərə il ərzində əmanət üçün qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini ödəyir.
Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.
3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı ümumi şagirdlərin 5/100 hissəsini təşkil edirdi.
NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird var idi, onlardan 60-ı bitirdi.
Ədədin yüzüncü hissəsi faiz adlanır.
"Faiz" sözü ondan götürülmüşdür latın dili kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Belə bir ifadənin mənası əvvəlcə içərisində olmasından irəli gəlir qədim Roma faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyin).
Məsələn, son bir ayda zavodun istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-i qüsurludur demək əvəzinə, belə deyəcəyik: son bir ayda zavod bir faiz qüsur istehsal edib. Zavod müəyyən olunmuş plandan 4/100 çox məhsul istehsal edib, demək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirib.
Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.
2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğə görə ildə 2 faiz ödəyir.
3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı bütün məktəb şagirdlərinin 5 faizini təşkil edirdi.
Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % simvolunun yazılması adətdir.
Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, hesablamalarda % işarəsi adətən yazılmır, o, problem bəyanatında və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən bu işarə ilə tam ədədin yerinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.
Göstərilən işarə ilə tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:
Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən simvolu olan tam ədəd yazmağa alışmalısınız:
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq.
Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunu 30% təşkil edir. Nə qədər ağcaqayın odun var idi?
Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsini təşkil edirdi və bu hissə 30/100 fraksiyasında ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, bizim qarşımızda ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi var. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirinin tapılması məsələləri ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).
Bu o deməkdir ki, 200-ün 30%-i 60-a bərabərdir.
Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.
Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% təşkil edib. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?
Bu problemdə üç hesablama aparmalısınız, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmalısınız.
Bu o deməkdir ki, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazımdır. Gəlin bunu edək:
1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?
2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?
3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?
Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Onu da qeyd etmək lazımdır ki, problem bəyanatında verilən faizlərin cəmi 100-dür:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu onu deməyə əsas verir ümumi sayı düşərgədəki uşaqlar 100% olaraq qəbul edildi.
3 a d a h a 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzillərə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?
Bu məsələni həll etmək üçün 1200-ün 5 dəfə hissəsini tapmaq lazımdır.
1) Yemək üçün nə qədər pul xərcləndi? Problem deyir ki, bu xərc ümumi qazancın 65%-ni təşkil edir, yəni 1200 rəqəminin 65/100-üdür.
2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödəmisiniz? Əvvəlki ilə eyni şəkildə əsaslandıraraq, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:
3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?
4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?
5) İşçi nə qədər pul yığdı?
Yoxlamaq üçün bu 5 sualda tapılan rəqəmləri toplamaq faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faiz rəqəmlərini əlavə etməklə yoxlamaq asandır.
Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu problemlər müxtəlif məsələlərdən (məktəb üçün odun daşınması, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) məşğul olurdu. Bu ona görə baş verdi ki, bütün məsələlərdə verilmiş ədədlərin bir neçə faizini tapmaq lazım idi.
§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.
Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (bölmənin) hasilini (bölən) və bu amillərdən birinin (bölən) başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.
Biz tam ədədlər bölməsində tam ədədi tam ədədə bölməyə baxdıq. Orada iki bölmə halı ilə qarşılaşdıq: qalıqsız bölmə və ya “bütün” (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və 1 qalıq). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölənin tam ədədə hasili olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin istənilən halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).
Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-yə bərabər olacağı bir ədədin tapılması deməkdir. Belə bir ədəd 7/12 kəsridir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.
Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlərə, məxrəci isə bölənə bərabər olan kəsr yaratmaq lazımdır.
2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi.
6/7 kəsri 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; 3-ə vurulduqda verilmiş hasili 6/7 verəcək ikinci amili tapmaq tələb olunur. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 kəsri 3 dəfə azaltmaq idi.
Biz artıq bilirik ki, kəsri azaltmaq ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:
IN bu halda 6-nın payı 3-ə bölünür, ona görə də payı yarıya endirmək lazımdır.
Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:
Buna əsaslanaraq bir qayda tərtib edilə bilər: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
5-i 1/2-ə bölmək lazım olsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5-i verəcək bir ədəd tapın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir. , və ədədi vurarkən düzgün kəsrin hasili vurulan hasildən az olmalıdır. Bunu daha aydın etmək üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , bu x 1/2 = 5 deməkdir.
Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2-yə vurulsa, 5-i verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-i X 5-ə və tam ədədə bərabərdir X iki dəfə çox, yəni 5 2 = 10.
Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10
yoxlayaq: 
Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, siz 6-nı 2/3-ə bölmək istəyirsiniz. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).
Şəkil 19
6 vahidə bərabər AB seqmentini çəkək və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölək. Hər bir vahiddə bütün AB seqmentinin üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrdən istifadə edərək, nəticədə 2-nin 18 seqmentini birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr 6 vahiddə 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,
Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Gəlin belə əsaslandıraq: 6-nı 2/3-ə bölmək lazımdır, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab verməliyik. Əvvəlcə öyrənək: 6-da 1/3 neçə dəfədir? Tam vahiddə üçdə 3, 6 vahiddə isə 6 dəfə çox, yəni üçdə 18; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Bu o deməkdir ki, 1/3 b vahidində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidində 18 deyil, iki dəfə olur. daha az dəfə, yəni 18: 2 = 9. Buna görə də, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:
Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:
Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Nəzərə alın ki, eyni düstur orada da alınıb.
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
Tutaq ki, 3/4-ü 3/8-ə bölmək lazımdır. Bölmə nəticəsində yaranan rəqəm nə deməkdir? 3/8 kəsrinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün rəsm çəkək (şək. 20).
AB seqmentini götürək, onu bir kimi götürək, 4 bərabər hissəyə bölək və 3 belə hissəni qeyd edək. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd orijinal seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdirək, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər bir seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Bu o deməkdir ki, bölmənin nəticəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, 15/16-nı 3/32-yə bölmək lazımdır:
Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər məhsul verəcək bir ədəd tapmaq lazımdır. Hesablamaları belə yazaq:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 naməlum nömrə X 15/16-dır
Naməlum nömrənin 1/32-si X ,
32/32 nömrələr X makiyaj etmək.
Beləliklə,
Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmaq və birinci hasili pay etmək lazımdır, ikincisi isə məxrəcdir.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları çevirmək lazımdır düzgün olmayan fraksiyalar və sonra yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölünməsi qaydalarına uyğun olaraq bölün. Bir misala baxaq:
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:
İndi bölünək:
Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək bölmək lazımdır.
6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.
arasında müxtəlif vəzifələr kəsrlərdə, bəzən naməlum ədədin bəzi hissəsinin dəyərinin verildiyi və bu ədədi tapmaq lazım olanlar var. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinin tərsi olacaq; orada bir ədəd verilmişdir və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilmişdir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunurdu. Bu tip problemin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.
Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsidir. Bu evdə neçə pəncərə var?
Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə çox pəncərə var, yəni.
Evin 150 pəncərəsi var idi.
Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da mağazada olan ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?
Həll. Problemin şərtlərindən aydın olur ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:
1500: 3 = 500 (bu ehtiyatın 1/8 hissəsidir).
Aydındır ki, bütün tədarük 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,
500 8 = 4000 (kq).
Mağazada ilkin un ehtiyatı 4000 kq olub.
Bu problemi nəzərə alaraq aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.
Onun kəsirinin verilmiş qiymətindən ədəd tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.
Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür problemlər, xüsusilə sonuncudan aydın olduğu kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).
Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.
Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:
Gələcəkdə onun kəsrindən ədədin tapılması məsələlərini bir hərəkətlə - bölmə ilə həll edəcəyik.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Bu problemlərdə siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilən bir nömrə tapmalısınız.
Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət bankından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətlərə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşam? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)
Problemin mənası odur ki, mən müəyyən məbləğdə pulu əmanət kassasına qoydum və bir il orada qaldım. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. əmanət qoyduğum pulun 2/100 hissəsi olan gəlir. Mən nə qədər pul qoymuşdum?
Nəticə etibarilə, bu pulun iki şəkildə ifadə olunan bir hissəsini (rubl və fraksiya ilə) bilə-bilə, hələlik məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı problemlər həll olunur:
Bu o deməkdir ki, əmanət kassasına 3000 rubl qoyulub.
Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq yığaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?
Problemin şərtlərindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq hazırlamaq lazım olduğunu bilmirik. Bu nömrəni tapmaq problemin həlli olacaq.
Bu cür problemlər bölmə ilə həll olunur:
Bu o deməkdir ki, plana görə 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.
Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq yolun nə qədərini qət etdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?
Problemli şərtlərdən aydın olur ki, Riqadan Moskvaya marşrutun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:
§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.
2/3 kəsri götürək və məxrəc yerinə payı əvəz edək, 3/2 alırıq. Bu kəsrin tərsini aldıq.
Verilmiş kəsrin tərsi olan kəsri əldə etmək üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla istənilən kəsrin əksini əldə edə bilərik. Məsələn:
3/4, tərs 4/3; 5/6, tərs 6/5
Birincinin payının ikincinin məxrəci, birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.
İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Verilənin tərs hissəsini axtararaq tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:
1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5
Qarşılıqlı kəsrlərin tapılmasında tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün bundan sonra qarşılıqlı kəsrlər haqqında deyil, haqqında danışacağıq. qarşılıqlı nömrələr.
Tam ədədin tərsini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll edilə bilər: payın yerinə məxrəci qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədəd üçün tərs ədəd əldə edə bilərsiniz, çünki istənilən tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Bu o deməkdir ki, 7-nin tərs sayı 1/7 olacaq, çünki 7 = 7/1; 10 rəqəmi üçün tərs 1/10 olacaq, çünki 10 = 10/1
Bu fikri fərqli ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Əslində, bir nömrə yazmaq lazımdırsa, qarşılıqlı kəsr 5/9, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.
İndi bir şeyi qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir.Əslində:
Bu xassədən istifadə edərək qarşılıqlı ədədləri aşağıdakı şəkildə tapa bilərik. Tutaq ki, 8-in tərsini tapmalıyıq.
Onu hərflə qeyd edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. 7/12-nin tərsi olan başqa bir ədəd tapaq və onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1: 7/12 və ya X = 12 / 7 .
Bölmə kəsrləri haqqında məlumatı bir qədər əlavə etmək üçün burada qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.
6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:
Zəhmət olmasa ödəyin xüsusi diqqət ifadəsinə və verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .
Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda eyni şey olur. Ona görə də deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin tərsinə vurmaqla əvəz edilə bilər.
Aşağıda verdiyimiz nümunələr bu qənaəti tam təsdiq edir.
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılmasının öyrənilməsi məktəbdə səkkizinci sinifdə “Cəbr” fənnində tapılır və bu, bəzən uşaqların başa düşməsində çətinlik yaradır. Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:
Kəsrlərin çıxarılması proseduru əlavəyə bənzəyir, çünki o, iş prinsipini tamamilə kopyalayır.
Birincisi, ən çox hesablayırıq az sayda, bu həm bir, həm də digər məxrəcin çoxluğudur.
İkincisi, hər kəsrin payını və məxrəcini müəyyən bir ədədə vururuq ki, bu da məxrəci verilmiş minimum ortaq məxrəcə çatdırmağa imkan verəcəkdir.
Üçüncüsü, çıxma prosedurunun özü baş verir, nəticədə məxrəc təkrarlandıqda və ikinci fraksiyanın payı birincidən çıxarılır.
Misal: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 tam 1/6
Əvvəlcə onları eyni məxrəcə gətirməli və sonra çıxarmalısınız. Məsələn, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Və ya daha çətin, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Kəsrlərin ortaq məxrəcə necə endirilməsini izah etmək lazımdırmı?
Müxtəlif məxrəcli adi kəsrlərin toplanması və ya çıxılması kimi əməliyyatları yerinə yetirərkən sadə qayda tətbiq olunur - bu kəsrlərin məxrəcləri bir ədədə endirilir, əməliyyatın özü isə paylayıcıdakı ədədlərlə yerinə yetirilir. Yəni kəsrlər ortaq məxrəc alır və birləşmiş kimi görünür. İxtiyari kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaq adətən hər kəsi digər kəsrin məxrəcinə vurmaqla kifayətlənir. Ancaq daha sadə hallarda, fraksiyaların məxrəclərini eyni sayda gətirəcək faktorları dərhal tapa bilərsiniz.
Kəsrlərin çıxılmasına misal: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Bir çox böyüklər artıq unudublar müxtəlif məxrəcli kəsrləri necə çıxarmaq olar, lakin bu hərəkət elementar riyaziyyata aiddir.
Fərqli məxrəcli kəsrləri çıxarmaq, onları ortaq məxrəcə gətirməli, yəni məxrəclərin ən kiçik ortaq qatını tapmalı, sonra isə sayları ən kiçik ortaq çoxluğun və məxrəcin nisbətinə bərabər olan əlavə əmsallara vurmalısan.
Fraksiya əlamətləri qorunub saxlanılır. Kəsrlərin eyni məxrəcləri olduqdan sonra siz çıxa bilərsiniz, sonra isə mümkünsə kəsri azalda bilərsiniz.
Elena, məktəb riyaziyyat kursunu təkrarlamağa qərar verdin?)))
Fərqli məxrəcli kəsrləri çıxarmaq üçün əvvəlcə eyni məxrəcə endirilməli, sonra isə çıxılmalıdır. Ən sadə variant: Birinci kəsrin payını və məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə, ikinci kəsrin payını və məxrəcini isə birinci kəsrin məxrəcinə vur. Məxrəcləri eyni olan iki kəsr alırıq. İndi birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarırıq və onlar eyni məxrəcə malikdirlər.
Məsələn, beşdə üçü yeddidə ikini çıxarmaqla iyirmi bir otuz beşdə on otuz beşi çıxarmaqla bərabərdir və bu, on bir otuz beşə bərabərdir.
Məxrəclər böyük ədədlərdirsə, onda siz onların ən kiçik ümumi çoxluğunu tapa bilərsiniz, yəni. birinə və digər məxrəcə bölünəcək bir ədəd. Və hər iki fraksiyanı ortaq məxrəcə gətirin (ən az ümumi çoxluq)
Fərqli məxrəcli kəsrləri necə çıxarmaq çox sadə bir işdir - biz kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk və sonra çıxma əməliyyatını paylayıcıda edirik.
Bir çox insanlar bu fraksiyaların yanında tam ədədlər olduqda çətinliklə qarşılaşırlar, ona görə də aşağıdakı nümunə ilə bunu necə edəcəyimi göstərmək istədim:
tam hissələri və müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması
əvvəlcə bütün hissələri 8-5 = 3 çıxarırıq (üç birinci fraksiyanın yaxınlığında qalır);
kəsrləri ortaq məxrəcə 6 gətiririk (əgər birinci kəsrin payı ikincidən böyükdürsə, çıxma əməliyyatını edib bütün hissənin yanına yazırıq, bizim vəziyyətimizdə davam edirik);
biz bütün 3-cü hissəni 2 və 1-ə parçalayırıq;
1-i 6/6 kəsr kimi yazırıq;
6 ortaq məxrəcin altına 6/6+3/6-4/6 yazırıq və saydakı əməlləri edirik;
2 5/6 tapılan nəticəni yazın.
Yadda saxlamaq lazımdır ki, kəsrlər eyni məxrəcə malikdirlərsə, onlar çıxarılır. Biz fərq kəsr zaman niyə ki müxtəlif məxrəclər, onları sadəcə olaraq ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır, bunu etmək çətin deyil. Sadəcə olaraq, hər kəsrin payını faktorlara ayırmalı və sıfıra bərabər olmayan ən kiçik ümumi çoxluğu hesablamalıyıq. Nümunələri ortaya çıxan əlavə amillərlə çoxaltmağı da unutmayın, lakin rahatlıq üçün bir nümunə:
Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaq istəyirsinizsə, əvvəlcə iki fraksiya üçün ortaq məxrəci tapmalısınız. Və sonra birinci fraksiyanın payından ikincini çıxarın. Yeni bir məna ilə yeni bir kəsr əldə edilir.
3-cü sinif riyaziyyat kursundan xatırladığım qədəri müxtəlif məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün əvvəlcə ortaq məxrəci hesablayıb ona endirmək lazımdır, sonra isə sadəcə olaraq bir-birindən ayıranları çıxarmaq lazımdır və məxrəc eyni qalır.
Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün əvvəlcə həmin kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcini tapmalıyıq.
Bir misala baxaq:
bölürük daha böyük rəqəm 25 20-nin kiçikidir. Bölünmür. Bu o deməkdir ki, məxrəc 25-i belə bir rəqəmə vururuq, nəticədə alınan məbləği 20-yə bölmək olar. Bu ədəd 4 olacaq. 25x4=100. 100:20=5. Beləliklə, biz ən aşağı ortaq məxrəci tapdıq - 100.
İndi hər kəsr üçün əlavə əmsalı tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün yeni məxrəci köhnəyə bölün.
9-u 4-ə vurun = 36. 7-i 5-ə vurun = 35.
Ortaq məxrəcə malik olaraq, nümunədə göstərildiyi kimi çıxma əməliyyatını həyata keçiririk və nəticəni alırıq.
Kəsr ifadələri uşaq üçün anlamaq çətindir. İnsanların çoxu çətinlik çəkir. "Bütün ədədlərlə kəsrlərin əlavə edilməsi" mövzusunu öyrənərkən uşaq problemi həll etməkdə çətinlik çəkərək stupora düşür. Bir çox misalda hərəkəti yerinə yetirməzdən əvvəl bir sıra hesablamalar aparılmalıdır. Məsələn, kəsrləri çevirin və ya düzgün olmayan kəsi düzgün kəsrə çevirin.
Gəlin bunu uşağa aydın şəkildə izah edək. İkisi bütöv olacaq üç alma götürək, üçüncüsünü isə 4 hissəyə kəsək. Kəsilmiş almadan bir dilim ayırın və qalan üçünü iki tam meyvənin yanına qoyun. Bir tərəfdən ¼ alma, digər tərəfdən 2 ¾ alma alırıq. Onları birləşdirsək, üç alma alırıq. Gəlin 2 ¾ almanı ¼ azaltmağa çalışaq, yəni başqa bir dilimi çıxarın, 2 2/4 alma alırıq.
Tam ədədləri olan kəsrlərlə əməliyyatlara daha yaxından nəzər salaq:
Əvvəlcə ortaq məxrəcə malik kəsrli ifadələr üçün hesablama qaydasını xatırlayaq:
İlk baxışdan hər şey asan və sadədir. Lakin bu, yalnız çevrilmə tələb etməyən ifadələrə aiddir.
Məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin qiymətini necə tapmaq olar
Bəzi tapşırıqlarda məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin mənasını tapmaq lazımdır. Konkret bir işə baxaq:
3 2/7+6 1/3
İki kəsr üçün ortaq məxrəc tapmaqla bu ifadənin qiymətini tapaq.
7 və 3 rəqəmləri üçün bu 21-dir. Tam hissələri eyni qoyub kəsr hissələrini 21-ə çatdırırıq, bunun üçün birinci kəsri 3-ə, ikincini 7-yə vururuq, alırıq:
6/21+7/21, bütün hissələrin çevrilə bilməyəcəyini unutmayın. Nəticədə eyni məxrəcli iki kəsr alırıq və onların cəmini hesablayırıq:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Əgər əlavənin nəticəsi artıq tam hissəyə malik olan düzgün olmayan kəsrdirsə?
2 1/3+3 2/3
Bu halda, biz tam hissələri və kəsr hissələri toplayıb, əldə edirik:
5 3/3, bildiyiniz kimi, 3/3 birdir, yəni 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Cəmi tapmaq hər şey aydındır, gəlin çıxmaya baxaq:
Bütün deyilənlərdən qarışıq nömrələrlə əməliyyatlar üçün qayda belə səslənir:
- Əgər kəsr ifadəsindən tam ədədi çıxarmaq lazımdırsa, ikinci ədədi kəsr kimi göstərmək lazım deyil, əməliyyatı yalnız tam ədədlər üzərində yerinə yetirmək kifayətdir;
İfadələrin mənasını özümüz hesablamağa çalışaq:
Gəlin “m” hərfi altında olan nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:
4 5/11-2 8/11, birinci kəsrin payı ikincidən kiçikdir. Bunu etmək üçün birinci kəsirdən bir tam ədəd götürürük, alırıq,
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, birinci kəsirdən ikincini çıxarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11
- Tapşırığı yerinə yetirərkən diqqətli olun, bütün hissəni vurğulayaraq düzgün olmayan fraksiyaları qarışıq fraksiyalara çevirməyi unutmayın. Bunu etmək üçün, payın dəyərini məxrəcin dəyərinə bölmək lazımdır, əldə etdiyiniz şey bütün hissənin yerini tutur, qalan hissə pay olacaq, məsələn:
19/4=4 ¾, yoxlayaq: 4*4+3=19, məxrəc 4 dəyişməz qalır.
Ümumiləşdirək:
Kəsrlərlə bağlı tapşırığa başlamazdan əvvəl onun hansı ifadə olduğunu, həllin düzgün olması üçün kəsr üzərində hansı çevrilmələrin aparılmalı olduğunu təhlil etmək lazımdır. Daha çox axtarın rasional yol həllər. Çətin yola getməyin. Bütün hərəkətləri planlaşdırın, əvvəlcə qərar verin qaralama, sonra onu məktəb dəftərinizə köçürün.
Kəsr ifadələri həll edərkən çaşqınlığın qarşısını almaq üçün ardıcıllıq qaydasına əməl etməlisiniz. Hər şeyi diqqətlə, tələsmədən qərar verin.
