Niveli i parë

Progresioni aritmetik. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Sekuenca numerike

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca numerike
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj.
Një sekuencë e tillë numerike quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius qysh në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, në të cilën ishin angazhuar grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numerike, secili anëtar i së cilës është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet diferencë e një progresion aritmetik dhe shënohet.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
Eshte nje progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e anëtarit të tij. ekzistojnë dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund t'i shtojmë vlerës së mëparshme të numrit të progresionit derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, anëtari i -të i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Metoda

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na kishte marrë më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të kishim bërë gabime kur mblidhnim numrat.
Sigurisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk keni nevojë të shtoni ndryshimin e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni nga afër foton e vizatuar ... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se çfarë përbën vlerën e anëtarit -të të këtij progresioni aritmetik:


Me fjale te tjera:

Mundohuni të gjeni në mënyrë të pavarur në këtë mënyrë vlerën e një anëtari të këtij progresioni aritmetik.

E llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur i shtuam me radhë anëtarët e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta sjellim atë formë e përgjithshme dhe merrni:

Progresionet aritmetike janë ose në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë në praktikë.
Ne jemi të dhënë progresion aritmetik, i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili do të jetë numri i -të i këtij progresioni aritmetik nëse përdorim formulën tonë kur e llogarisim atë:

Që atëherë:

Kështu, ne ishim të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë anëtarët -të dhe -të të këtij progresioni aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë detyrën - nxjerrim vetinë e një progresion aritmetik.
Supozoni se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Është e lehtë, thoni ju, dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le të, a, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë gabime në llogaritjet.
Tani mendoni, a është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht, po, dhe ne do të përpiqemi ta nxjerrim atë tani.

Le të shënojmë termin e dëshiruar të progresionit aritmetik si, ne e dimë formulën për gjetjen e tij - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, pastaj:

• anëtari i mëparshëm i progresionit është:
• termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim anëtarët e mëparshëm dhe të ardhshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është dyfishi i vlerës së anëtarit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një anëtari progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, është e nevojshme t'i shtoni ato dhe të ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të rregullojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresionin, sepse nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, të cilën, sipas legjendës, një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - ​​Karl Gauss, e konkludoi lehtësisht për veten e tij ...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, mësuesi, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve në klasat e tjera, pyeti detyrën e mëposhtme në mësim: "Llogaritni shumën e të gjitha numrat natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse. Cila ishte surpriza e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ishte Karl Gauss) pas një minute i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit pas llogaritjeve të gjata morën rezultatin e gabuar ...

I riu Carl Gauss vuri re një model që mund ta vëreni lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga anëtarë -ti: Duhet të gjejmë shumën e anëtarëve të dhënë të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse na duhet të gjejmë shumën e termave të saj në detyrë, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni me vëmendje numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.


Provuar? Çfarë keni vënë re? Në mënyrë korrekte! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani përgjigjuni, sa çifte të tilla do të ketë në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy anëtarëve të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çifte të ngjashme të barabarta, marrim se shuma totaleështë e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme, ne nuk e dimë termin e th, por dimë ndryshimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni në formulën e shumës, formulën e anëtarit të th.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu dha Karl Gausit: llogarisni vetë sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta dhe sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta.

Sa keni marrë?
Gauss doli se shuma e termave është e barabartë, dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën vetitë e një progresion aritmetik me fuqi dhe kryesore.
Për shembull, imagjinoni Egjiptin e Lashtë dhe kantierin më të madh të ndërtimit të asaj kohe - ndërtimin e një piramide ... Figura tregon njërën anë të saj.

Ku është progresi këtu ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.


Pse jo një progresion aritmetik? Numëroni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni duke lëvizur gishtin nëpër monitor, a ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

AT këtë rast progresioni duket si ky:
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i anëtarëve të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (ne numërojmë numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni edhe në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. A ishte dakord? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të th të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Stërvitje

Detyrat:

1. Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të ulej Masha në javë nëse bën squats në stërvitjen e parë.
2. Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
3. Kur ruajnë trungje, druvarët i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secili shtresa e sipërme përmban një regjistër më pak se ai i mëparshmi. Sa trungje ka në një muraturë, nëse baza e muraturës është trungje.

Përgjigjet:

1. Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
   (javë = ditë).

   Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të ulet një herë në ditë.

2. Numri i parë tek, numri i fundit.
   Diferenca e progresionit aritmetik.
   Numri i numrave tek në gjysmë, megjithatë, kontrolloni këtë fakt duke përdorur formulën për gjetjen e anëtarit -të të një progresion aritmetik:

   Numrat përmbajnë numra tek.
   Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

   Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë me.

3. Kujtoni problemin rreth piramidave. Për rastin tonë, a, meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, ka vetëm një grup shtresash, domethënë.
   Zëvendësoni të dhënat në formulë:

   Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Duke përmbledhur

1. - një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Ajo është në rritje dhe në rënie.
2. Gjetja e formulës Anëtari i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
3. Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku - numri i numrave në progresion.
4. Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:
   
   , ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI I MESËM

Sekuenca numerike

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë sa të doni. Por ju gjithmonë mund të dalloni se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë, domethënë ne mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror, dhe vetëm një. Dhe ne nuk do t'ia caktojmë këtë numër asnjë numri tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Është shumë i përshtatshëm nëse anëtari --të i sekuencës mund të jepet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë dhe ndryshimi). Ose (, dallimi).

formula e termit të ntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur një formulë të tillë në të cilën, për të gjetur termin e th, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur një formulë të tillë, duhet të llogarisim nëntën e mëparshme. Për shembull, le. Pastaj:

Epo, tani është e qartë se cila është formula?

Në çdo rresht, ne i shtojmë, shumëzuar me një numër. Per cfare? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më komode tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Vendimi:

Anëtari i parë është i barabartë. Dhe cili është ndryshimi? Dhe ja çfarë:

(në fund të fundit, quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e anëtarëve të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra formula është:

Atëherë termi i njëqindtë është:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, duke qenë një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithave numra dyshifrorë, të shumëfishta.

Vendimi:

Numri i parë i tillë është ky. Secili tjetër fitohet duke i shtuar një numër atij të mëparshëm. Kështu, numrat me interes për ne formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula për termin e th për këtë progresion është:

Sa terma janë në progresion nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

1. Çdo ditë atleti vrapon 1 m më shumë se një ditë më parë. Sa kilometra do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
2. Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se ai i mëparshmi. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë duhet të kalojë me makinë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë në ditën e fundit të udhëtimit?
3. Çmimi i një frigoriferi në dyqan ulet me të njëjtën shumë çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigorifer çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

1. Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
   .
   Përgjigje:
2. Këtu është dhënë:, është e nevojshme për të gjetur.
   Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
   .
   Zëvendësoni vlerat:

   Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja.
   Le të llogarisim distancën e udhëtuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit -të:
   (km).
   Përgjigje:

3. Jepet: . Per te gjetur: .
   Nuk bëhet më e lehtë:
   (fshij).
   Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Kjo është një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik është në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e anëtarit n të një progresion aritmetik

shkruhet si formulë, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

E bën të lehtë gjetjen e një anëtari të progresionit nëse dihen anëtarët fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Ku është numri i vlerave.

Problemet e progresionit aritmetik kanë ekzistuar që nga kohërat e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje, sepse kishin nevojë praktike.

Pra, në një nga papiruset Egjipti i lashte, i cili ka përmbajtje matematikore - papirusi Rhind (shek. XIX p.e.s.) - përmban detyrën e mëposhtme: ndani dhjetë masa bukë në dhjetë veta, me kusht që ndryshimi midis secilit prej tyre të jetë një e teta e masës.

Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresionin aritmetik. Pra, Hipsikujt e Aleksandrisë (shek. II, i cili përpiloi shumë probleme interesante dhe shtoi librin e katërmbëdhjetë në "Elementet" e Euklidit, formuloi idenë: "Në një progresion aritmetik me një numër çift anëtarësh, shuma e anëtarëve të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e anëtarëve të 1-së me katrorin 1/2 anëtarë.

Sekuenca an është shënuar. Numrat e sekuencës quhen anëtarët e saj dhe zakonisht shënohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexon: "a 1", "a 2", "a 3 ” dhe kështu me radhë).

Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.

Çfarë është një progresion aritmetik? Kuptohet si fitohet duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është diferenca e progresionit.

Nëse d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atëherë një progresion i tillë konsiderohet të jetë në rritje.

Një progresion aritmetik quhet i fundëm nëse merren parasysh vetëm disa nga termat e parë të tij. Në shumë në numër të madh anëtarë është tashmë progresion i pafund.

Çdo progresion aritmetik jepet me formulën e mëposhtme:

an =kn+b, ndërsa b dhe k janë disa numra.

Deklarata, e cila është e kundërta, është absolutisht e vërtetë: nëse sekuenca jepet me një formulë të ngjashme, atëherë ky është pikërisht një progresion aritmetik, i cili ka vetitë:

1. Çdo anëtar i progresionit është mesatarja aritmetike e anëtarit të mëparshëm dhe atij të ardhshëm.
2. E kundërta: nëse, duke filluar nga i dyti, çdo term është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe tjetri, d.m.th. nëse kushti plotësohet, atëherë sekuenca e dhënë është një progresion aritmetik. Kjo barazi është gjithashtu një shenjë e progresionit, prandaj zakonisht quhet veti karakteristike e progresionit.
   Në të njëjtën mënyrë, teorema që pasqyron këtë veti është e vërtetë: një sekuencë është një progresion aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo nga anëtarët e sekuencës, duke filluar nga e dyta.

Vetia karakteristike për çdo katër numra të një progresioni aritmetik mund të shprehet me formulën an + am = ak + al nëse n + m = k + l (m, n, k janë numrat e progresionit).

Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-të) mund të gjendet duke zbatuar formulën e mëposhtme:

Për shembull: termi i parë (a1) në një progresion aritmetik është dhënë dhe është i barabartë me tre, dhe ndryshimi (d) është i barabartë me katër. Ju duhet të gjeni termin e dyzet e pestë të këtij progresi. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) na lejon të përcaktojmë anëtari i nëntë progresion aritmetik përmes ndonjë prej k-të termave të tij, me kusht që ai të jetë i njohur.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik (duke supozuar n anëtarët e parë progresion i kufizuar) llogaritet si më poshtë:

Sn = (a1+an) n/2.

Nëse dihet edhe termi i parë, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Shuma e një progresion aritmetik që përmban n terma llogaritet si më poshtë:

Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e detyrave dhe të dhënat fillestare.

Seritë natyrore të çdo numri si 1,2,3,...,n,...- shembulli më i thjeshtë progresion aritmetik.

Përveç progresionit aritmetik, ekziston edhe një gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.

Shumë kanë dëgjuar për një progresion aritmetik, por jo të gjithë e dinë mirë se çfarë është. Në këtë artikull, ne do të japim një përkufizim të duhur, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik dhe të japim një numër shembujsh.

Përkufizimi matematik

Pra, nëse po flasim për një progresion aritmetik ose algjebrik (këto koncepte përcaktojnë të njëjtën gjë), atëherë kjo do të thotë se ka disa seri numrash të kënaqshme ligji i ardhshëm: çdo dy numra ngjitur në seri ndryshojnë me të njëjtën sasi. Matematikisht, kjo është shkruar kështu:

Këtu n nënkupton numrin e elementit a n në sekuencë, dhe numri d është ndryshimi i progresionit (emri i tij rrjedh nga formula e paraqitur).

Çfarë do të thotë të njohësh ndryshimin d? Rreth asaj se sa larg janë numrat fqinjë. Megjithatë, njohja e d-së është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm për përcaktimin (rikthimin) e të gjithë progresionit. Ju duhet të dini një numër më shumë, i cili mund të jetë absolutisht çdo element i serisë në shqyrtim, për shembull, një 4, a10, por, si rregull, përdoret numri i parë, domethënë një 1.

Formulat për përcaktimin e elementeve të progresionit

Në përgjithësi, informacioni i mësipërm tashmë është i mjaftueshëm për të kaluar në zgjidhjen e problemeve specifike. Sidoqoftë, përpara se të jepet një progresion aritmetik dhe do të jetë e nevojshme të gjendet ndryshimi i tij, ne paraqesim disa formula të dobishme, duke lehtësuar kështu procesin e mëvonshëm të zgjidhjes së problemeve.

Është e lehtë të tregohet se çdo element i sekuencës me numër n mund të gjendet si më poshtë:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Në të vërtetë, të gjithë mund ta kontrollojnë këtë formulë me një numërim të thjeshtë: nëse zëvendësoni n = 1, atëherë merrni elementin e parë, nëse zëvendësoni n = 2, atëherë shprehja jep shumën e numrit të parë dhe diferencës, e kështu me radhë. .

Kushtet e shumë problemeve janë përpiluar në atë mënyrë që për një çift numrash të njohur, numrat e të cilëve janë dhënë gjithashtu në sekuencë, është e nevojshme të rivendoset e gjithë seria e numrave (gjeni ndryshimin dhe elementin e parë). Tani do ta zgjidhim këtë problem në një mënyrë të përgjithshme.

Pra, le të themi se na janë dhënë dy elementë me numrat n dhe m. Duke përdorur formulën e marrë më sipër, ne mund të përpilojmë një sistem prej dy ekuacionesh:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Për të gjetur sasi të panjohura, ne përdorim një metodë të njohur të thjeshtë për zgjidhjen e një sistemi të tillë: i zbresim pjesët e majta dhe të djathta në çifte, ndërsa barazia mbetet e vlefshme. Ne kemi:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Kështu, ne kemi eliminuar një të panjohur (a 1). Tani mund të shkruajmë shprehjen përfundimtare për përcaktimin e d:

d = (a n - a m) / (n - m), ku n > m

Ne kemi marrë një formulë shumë të thjeshtë: për të llogaritur diferencën d në përputhje me kushtet e problemit, është e nevojshme vetëm të merret raporti i dallimeve midis vetë elementëve dhe numrave të tyre serial. Duhet të fokusohet në një pikë e rëndësishme Shënim: dallimet merren midis anëtarëve "më të lartë" dhe "të ulët", domethënë n > m ("më i lartë" do të thotë të qëndrosh më larg nga fillimi i sekuencës, vlera e tij absolute mund të jetë ose më e madhe ose më e vogël se "më e re". "element).

Shprehja për diferencën d të progresionit duhet të zëvendësohet në cilindo nga ekuacionet në fillim të zgjidhjes së problemit në mënyrë që të merret vlera e termit të parë.

Në epokën tonë të zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, shumë nxënës përpiqen të gjejnë zgjidhje për detyrat e tyre në internet, kështu që shpesh lindin pyetje të këtij lloji: gjeni ndryshimin e një përparimi aritmetik në internet. Me një kërkesë të tillë, motori i kërkimit do të shfaqë një numër faqesh në internet, duke shkuar në të cilat do t'ju duhet të vendosni të dhënat e njohura nga gjendja (mund të jenë ose dy anëtarë të progresionit ose shuma e disa prej tyre) dhe merrni menjëherë një përgjigje. Sidoqoftë, një qasje e tillë për zgjidhjen e problemit është joproduktive për sa i përket zhvillimit të studentit dhe kuptimit të thelbit të detyrës që i është caktuar.

Zgjidhje pa përdorur formula

Le të zgjidhim problemin e parë, ndërkohë që nuk do të përdorim asnjë nga formulat e mësipërme. Le të jepen elementet e serisë: a6 = 3, a9 = 18. Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik.

Elementet e njohur janë afër njëri-tjetrit në një rresht. Sa herë duhet t'i shtohet diferenca d më të voglit për të marrë më të madhin? Tre herë (herën e parë duke shtuar d, marrim elementin e 7-të, herën e dytë - të tetën, më në fund, herën e tretë - të nëntën). Cilin numër duhet t'i shtohet tre tre herë për të marrë 18? Ky është numri pesë. Vërtet:

Kështu, ndryshimi i panjohur është d = 5.

Sigurisht, zgjidhja mund të bëhej duke përdorur formulën e duhur, por kjo nuk u bë me qëllim. Një shpjegim i hollësishëm i zgjidhjes së problemit duhet të bëhet një shembull i qartë dhe i gjallë i asaj që është një progresion aritmetik.

Një detyrë e ngjashme me atë të mëparshme

Tani le të zgjidhim një problem të ngjashëm, por ndryshojmë të dhënat hyrëse. Pra, duhet të gjeni nëse a3 = 2, a9 = 19.

Sigurisht, mund të drejtoheni përsëri në metodën e zgjidhjes "në ballë". Por duke qenë se janë dhënë elementët e serisë, të cilat janë relativisht larg njëra-tjetrës, një metodë e tillë bëhet jo shumë e përshtatshme. Por përdorimi i formulës që rezulton do të na çojë shpejt në përgjigjen:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Këtu kemi rrumbullakosur numrin përfundimtar. Sa çoi ky rrumbullakim në një gabim mund të gjykohet duke kontrolluar rezultatin:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ky rezultat ndryshon vetëm me 0,1% nga vlera e dhënë në kusht. Prandaj, rrumbullakimi në të qindtat e përdorura mund të konsiderohet një zgjedhje e mirë.

Detyrat për zbatimin e formulës për një anëtar

Merrni parasysh shembull klasik detyra për të përcaktuar të panjohurën d: gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik nëse a1 = 12, a5 = 40.

Kur jepen dy numra të një sekuence të panjohur algjebrike dhe njëri prej tyre është elementi a 1, atëherë nuk duhet të mendoni gjatë, por duhet të aplikoni menjëherë formulën për anëtarin a n. Në këtë rast kemi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Ne morëm numrin e saktë gjatë pjesëtimit, kështu që nuk ka kuptim të kontrollojmë saktësinë e rezultatit të llogaritur, siç u bë në paragrafin e mëparshëm.

Le të zgjidhim një problem tjetër të ngjashëm: duhet të gjejmë ndryshimin e progresionit aritmetik nëse a1 = 16, a8 = 37.

Ne përdorim një qasje të ngjashme me atë të mëparshme dhe marrim:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Çfarë tjetër duhet të dini për progresionin aritmetik

Përveç detyrave të gjetjes së një ndryshimi të panjohur ose elemente individuale, shpesh është e nevojshme të zgjidhen problema të shumës së termave të parë të një sekuence. Shqyrtimi i këtyre problemeve është përtej qëllimit të temës së artikullit, megjithatë, për plotësinë e informacionit, ne paraqesim një formulë të përgjithshme për shumën e n numrave të serisë:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Shuma e një progresion aritmetik.

Shuma e një progresion aritmetik është një gjë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në formulë. Por ka të gjitha llojet e detyrave për këtë temë. Nga elementare në mjaft solide.

Së pari, le të merremi me kuptimin dhe formulën e shumës. Dhe pastaj do të vendosim. Për kënaqësinë tuaj.) Kuptimi i shumës është aq i thjeshtë sa ulja. Për të gjetur shumën e një progresion aritmetik, ju vetëm duhet të shtoni me kujdes të gjithë anëtarët e tij. Nëse këto terma janë të pakta, mund të shtoni pa formula. Por nëse ka shumë, ose shumë ... shtimi është i bezdisshëm.) Në këtë rast, formula kursen.

Formula e shumës është e thjeshtë:

Le të kuptojmë se çfarë lloj shkronjash përfshihen në formulë. Kjo do të sqarojë shumë.

S n është shuma e një progresion aritmetik. Rezultati i shtimit të gjitha anëtarët, me së pari në e fundit.Është e rëndësishme. Shtoni saktësisht të gjitha anëtarë me radhë, pa boshllëqe dhe kërcime. Dhe, pikërisht, duke filluar nga së pari. Në probleme si gjetja e shumës së termave të tretë dhe të tetë, ose shuma e termave pesë deri në të njëzetat, zbatimi i drejtpërdrejtë i formulës do të jetë zhgënjyes.)

a 1 - së pari anëtar i progresionit. Gjithçka është e qartë këtu, është e thjeshtë së pari numri i rreshtit.

a n- e fundit anëtar i progresionit. Numri i fundit i rreshtit. Një emër jo shumë i njohur, por, kur aplikohet për sasinë, është shumë i përshtatshëm. Atëherë do ta shihni vetë.

n është numri i anëtarit të fundit. Është e rëndësishme të kuptohet se në formulë ky numër përkon me numrin e termave të shtuar.

Le të përcaktojmë konceptin e fundit anëtar a n. Pyetja plotësuese: çfarë lloj anëtari do e fundit, nëse jepet pafund progresion aritmetik?

Për një përgjigje të sigurt, ju duhet të kuptoni kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe ... lexoni detyrën me kujdes!)

Në detyrën e gjetjes së shumës së një progresion aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmonë (drejtpërsëdrejti ose indirekt), e cila duhet të jetë e kufizuar. Përndryshe, një sasi e kufizuar, specifike thjesht nuk ekziston. Për zgjidhjen, nuk ka rëndësi se çfarë lloj progresioni jepet: i fundëm apo i pafund. Nuk ka rëndësi se si jepet: nga një seri numrash, apo nga formula e anëtarit të n-të.

Gjëja më e rëndësishme është të kuptojmë se formula funksionon nga termi i parë i progresionit në termin me numër n. Në fakt, emri i plotë i formulës duket kështu: shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik. Numri i këtyre anëtarëve të parë, d.m.th. n, përcaktohet vetëm nga detyra. Në detyrë e gjithë kjo informacion të vlefshëm shpesh të koduara, po... Por është në rregull, në shembujt e mëposhtëm do t'i zbulojmë këto sekrete.)

Shembuj detyrash për shumën e një progresion aritmetik.

Kryesisht, informacion të dobishëm:

Vështirësia kryesore në detyrat për shumën e një progresion aritmetik është përcaktimi i saktë i elementeve të formulës.

Autorët e detyrave i kodojnë pikërisht këta elementë me imagjinatë të pakufishme.) Gjëja kryesore këtu është të mos kesh frikë. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton vetëm t'i deshifroni ato. Le të hedhim një vështrim në disa shembuj në detaje. Le të fillojmë me një detyrë të bazuar në një GIA të vërtetë.

1. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a n = 2n-3.5. Gjeni shumën e 10 termave të parë.

Punë e mirë. Lehtë.) Për të përcaktuar sasinë sipas formulës, çfarë duhet të dimë? Anëtari i Parë a 1, termi i fundit a n, po numri i mandatit të fundit n.

Ku mund të merrni numrin e fundit të anëtarit n? Po, në të njëjtin vend, në gjendje! Thotë gjeje shumën 10 anëtarët e parë. Epo, çfarë numri do të jetë e fundit, anëtari i dhjetë?) Nuk do ta besoni, numri i tij është i dhjeti!) Prandaj, në vend të a n ne do të zëvendësojmë në formulë një 10, por në vend të kësaj n- dhjetë. Përsëri, numri i anëtarit të fundit është i njëjtë me numrin e anëtarëve.

Mbetet për t'u përcaktuar a 1 dhe një 10. Kjo llogaritet lehtësisht nga formula e termit të n-të, e cila është dhënë në deklaratën e problemit. Nuk dini si ta bëni? Vizitoni mësimin e mëparshëm, pa këtë - asgjë.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

një 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Zbuluam kuptimin e të gjithë elementëve të formulës për shumën e një progresion aritmetik. Mbetet për t'i zëvendësuar ato dhe për të numëruar:

Kjo është gjithçka që ka për të. Përgjigje: 75.

Një detyrë tjetër e bazuar në GIA. Pak më e ndërlikuar:

2. Jepet një progresion aritmetik (a n), diferenca e të cilit është 3,7; a 1 \u003d 2.3. Gjeni shumën e 15 termave të parë.

Ne shkruajmë menjëherë formulën e shumës:

Kjo formulë na lejon të gjejmë vlerën e çdo anëtari me numrin e tij. Ne jemi duke kërkuar për një zëvendësim të thjeshtë:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Mbetet të zëvendësojmë të gjithë elementët në formulën për shumën e një progresion aritmetik dhe të llogarisim përgjigjen:

Përgjigje: 423.

Nga rruga, nëse në formulën e shumës në vend të a n thjesht zëvendësojmë formulën e termit të n-të, marrim:

Ne japim të ngjashme, marrim një formulë të re për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik:

Siç mund ta shihni, termi i n-të nuk kërkohet këtu. a n. Në disa detyra, kjo formulë ndihmon shumë, po... Ju mund ta mbani mend këtë formulë. Dhe thjesht mund ta tërhiqni në kohën e duhur, si këtu. Në fund të fundit, formula për shumën dhe formula për termin e n-të duhet të mbahet mend në çdo mënyrë.)

Tani detyra në formën e një kriptimi të shkurtër):

3. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë pozitivë që janë shumëfish të tre.

Si! Asnjë anëtar i parë, asnjë i fundit, pa progres fare... Si të jetosh!?

Ju do të duhet të mendoni me kokën tuaj dhe të nxirrni nga kushti të gjithë elementët e shumës së një progresion aritmetik. Cilat janë numrat dyshifrorë - ne e dimë. Ato përbëhen nga dy numra.) Cili numër dyshifror do së pari? 10, me sa duket.) gjëja e fundit numër dyshifror? 99, sigurisht! Treshifrorët do ta ndjekin...

Shumëfisha të treshit... Hm... Këta janë numra që pjesëtohen në mënyrë të barabartë me tre, këtu! Dhjetë nuk pjesëtohet me tre, 11 nuk pjesëtohet... 12... pjesëtohet! Pra, diçka po shfaqet. Ju tashmë mund të shkruani një seri sipas gjendjes së problemit:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

A do të jetë kjo seri një progresion aritmetik? Sigurisht! Çdo term ndryshon nga ai i mëparshmi rreptësisht nga tre. Nëse termit i shtohet 2, ose 4, le të themi, rezultati, d.m.th. një numër i ri nuk do të ndahet më me 3. Ju mund të përcaktoni menjëherë ndryshimin e progresionit aritmetik në grumbull: d = 3. E dobishme!)

Pra, ne mund të shkruajmë me siguri disa parametra të progresionit:

Cili do të jetë numri n anëtari i fundit? Kushdo që mendon se 99 gabohet fatalisht ... Numrat - ata shkojnë gjithmonë në një rresht, dhe anëtarët tanë kërcejnë mbi tre të parët. Nuk përputhen.

Këtu ka dy zgjidhje. Një mënyrë është për super punëtorët. Mund të pikturosh progresionin, të gjithë serinë e numrave dhe të numërosh numrin e termave me gisht.) Mënyra e dytë është për ata që mendojnë. Ju duhet të mbani mend formulën për termin e n-të. Nëse formula zbatohet për problemin tonë, marrim se 99 është anëtari i tridhjetë i progresionit. ato. n = 30.

Ne shikojmë formulën për shumën e një progresion aritmetik:

Ne shikojmë dhe gëzohemi.) Ne nxorëm gjithçka që ishte e nevojshme për llogaritjen e shumës nga gjendja e problemit:

a 1= 12.

një 30= 99.

S n = S 30.

Ajo që mbetet është aritmetika elementare. Zëvendësoni numrat në formulë dhe llogarisni:

Përgjigje: 1665

Një lloj tjetër enigmash të njohura:

4. Është dhënë një progresion aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Gjeni shumën e termave nga e njëzeta në të tridhjetë e katërt.

Ne shikojmë formulën e shumës dhe ... jemi të mërzitur.) Formula, më lejoni t'ju kujtoj, llogarit shumën nga e para anëtar. Dhe në problem ju duhet të llogaritni shumën që nga viti i njëzetë... Formula nuk do të funksionojë.

Ju, sigurisht, mund të pikturoni të gjithë përparimin me radhë dhe t'i vendosni anëtarët nga 20 në 34. Por ... disi rezulton marrëzi dhe për një kohë të gjatë, apo jo?)

Ka më shumë zgjidhje elegante. Le ta ndajmë serinë tonë në dy pjesë. Pjesa e parë do nga mandati i parë deri në të nëntëmbëdhjetë. Pjesa e dyte - njëzet deri në tridhjetë e katër.Është e qartë se nëse llogarisim shumën e termave të pjesës së parë S 1-19, ta shtojmë në shumën e anëtarëve të pjesës së dytë S 20-34, marrim shumën e progresionit nga termi i parë në të tridhjetë e katërt S 1-34. Si kjo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Kjo tregon se për të gjetur shumën S 20-34 mund të bëhet me zbritje të thjeshtë

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Të dyja shumat në anën e djathtë merren parasysh nga e para anëtar, d.m.th. të zbatueshme për to formula standarde shumat. A po fillojmë?

Ne nxjerrim parametrat e progresionit nga kushti i detyrës:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Për të llogaritur shumat e 19 termave të parë dhe 34 termave të parë, do të na duhen termat e 19-të dhe të 34-të. Ne i numërojmë ato sipas formulës së anëtarit të n-të, si në problemin 2:

një 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

një 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nuk ka mbetur asgjë. Zbrisni shumën e 19 termave nga shuma e 34 termave:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Përgjigje: 262.5

Një shënim i rëndësishëm! Ekziston një veçori shumë e dobishme në zgjidhjen e këtij problemi. Në vend të llogaritjes së drejtpërdrejtë çfarë ju nevojitet (S 20-34), kemi numëruar ajo që, siç duket, nuk është e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendosën S 20-34, duke hedhur poshtë të panevojshmen nga rezultati i plotë. Një "mashtrim me veshë" të tillë shpesh kursen në enigmat e liga.)

Në këtë mësim, ne shqyrtuam probleme për të cilat mjafton të kuptojmë kuptimin e shumës së një progresion aritmetik. Epo, ju duhet të dini disa formula.)

këshilla praktike:

Kur zgjidhni ndonjë problem për shumën e një progresion aritmetik, unë rekomandoj të shkruani menjëherë dy formulat kryesore nga kjo temë.

Formula e anëtarit të nëntë:

Këto formula do t'ju tregojnë menjëherë se çfarë të kërkoni, në cilin drejtim të mendoni për të zgjidhur problemin. Ndihmon.

Dhe tani detyrat për zgjidhje të pavarur.

5. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që nuk pjesëtohen me tre.

E bukur?) Këshilla është e fshehur në shënimin e problemit 4. Epo, problemi 3 do të ndihmojë.

6. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni shumën e 24 termave të parë.

E pazakontë?) Kjo është një formulë e përsëritur. Ju mund të lexoni për të në mësimin e mëparshëm. Mos e injoroni lidhjen, enigma të tilla shpesh gjenden në GIA.

7. Vasya kurseu para për festën. Deri në 4550 rubla! Dhe vendosa t'i dhuroj personit më të dashur (vetes) disa ditë lumturie). Jetoni bukur pa i mohuar asgjë vetes. Shpenzoni 500 rubla në ditën e parë dhe shpenzoni 50 rubla më shumë në çdo ditë pasuese sesa në atë të mëparshme! Derisa të mbarojnë paratë. Sa ditë lumturie kishte Vasya?

A është e vështirë?) Një formulë shtesë nga detyra 2 do të ndihmojë.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7, 3240, 6.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Dikush e trajton fjalën "përparim" me kujdes, si një term shumë kompleks nga seksionet e matematikës së lartë. Ndërkaq, progresioni më i thjeshtë aritmetik është puna e sportelit të taksive (ku mbeten ende). Dhe për të kuptuar thelbin (dhe në matematikë nuk ka asgjë më të rëndësishme se "të kuptosh thelbin") e një sekuence aritmetike nuk është aq e vështirë, pasi të kemi analizuar disa koncepte elementare.

Sekuenca matematikore e numrave

Është e zakonshme të quash një sekuencë numerike një seri numrash, secila prej të cilëve ka numrin e vet.

dhe 1 është anëtari i parë i sekuencës;

dhe 2 është anëtari i dytë i sekuencës;

dhe 7 është anëtari i shtatë i sekuencës;

dhe n është anëtari i n-të i sekuencës;

Megjithatë, asnjë grup arbitrar shifrash dhe numrash nuk na intereson. Ne do të përqendrojmë vëmendjen tonë në një sekuencë numerike në të cilën vlera e anëtarit të n-të lidhet me numrin e tij rendor nga një varësi që mund të formulohet qartë në mënyrë matematikore. Me fjalë të tjera: vlera numerike e numrit të n-të është një funksion i n-së.

a - vlera e një anëtari të sekuencës numerike;

n është numri i tij serial;

f(n) është një funksion ku rendorja në sekuencën numerike n është argumenti.

Përkufizimi

Një progresion aritmetik zakonisht quhet një sekuencë numerike në të cilën çdo term pasues është më i madh (më i vogël) se ai i mëparshmi me të njëjtin numër. Formula për anëtarin e n-të të një sekuence aritmetike është si më poshtë:

a n - vlera e anëtarit aktual të progresionit aritmetik;

a n+1 - formula e numrit të ardhshëm;

d - ndryshim (një numër i caktuar).

Është e lehtë të përcaktohet se nëse diferenca është pozitive (d>0), atëherë çdo anëtar i mëpasshëm i serisë në shqyrtim do të jetë më i madh se ai i mëparshmi dhe një progresion i tillë aritmetik do të rritet.

Në grafikun e mëposhtëm, është e lehtë të shihet pse sekuenca e numrave quhet "rritje".

Në rastet kur diferenca është negative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vlera e anëtarit të specifikuar

Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohet vlera e ndonjë termi arbitrar a n të një progresion aritmetik. Ju mund ta bëni këtë duke llogaritur në mënyrë të njëpasnjëshme vlerat e të gjithë anëtarëve të progresionit aritmetik, nga i pari në atë të dëshiruar. Megjithatë, kjo mënyrë nuk është gjithmonë e pranueshme nëse, për shembull, është e nevojshme të gjendet vlera e termit pesëmijë ose tetëmilionësh. Llogaritja tradicionale do të marrë shumë kohë. Megjithatë, një progresion specifik aritmetik mund të hetohet duke përdorur formula të caktuara. Ekziston gjithashtu një formulë për termin e n-të: vlera e çdo anëtari të një progresioni aritmetik mund të përcaktohet si shuma e anëtarit të parë të progresionit me diferencën e progresionit, shumëzuar me numrin e anëtarit të dëshiruar, minus një. .

Formula është universale për rritjen dhe uljen e progresionit.

Një shembull i llogaritjes së vlerës së një anëtari të caktuar

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm të gjetjes së vlerës së anëtarit n të një progresion aritmetik.

Kushti: ekziston një progresion aritmetik me parametra:

Anëtari i parë i sekuencës është 3;

Diferenca në serinë e numrave është 1.2.

Detyrë: është e nevojshme të gjendet vlera e 214 termave

Zgjidhja: për të përcaktuar vlerën e një anëtari të caktuar, ne përdorim formulën:

a(n) = a1 + d(n-1)

Duke zëvendësuar të dhënat nga deklarata e problemit në shprehje, kemi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Përgjigje: Anëtari i 214-të i sekuencës është i barabartë me 258.6.

Përparësitë e kësaj metode llogaritëse janë të dukshme - e gjithë zgjidhja merr jo më shumë se 2 rreshta.

Shuma e një numri të caktuar termash

Shumë shpesh, në një seri të caktuar aritmetike, kërkohet të përcaktohet shuma e vlerave të disa segmenteve të saj. Gjithashtu nuk ka nevojë të llogarisë vlerat e secilit term dhe më pas t'i përmbledhë ato. Kjo metodë është e zbatueshme nëse numri i termave shuma e të cilëve duhet gjetur është i vogël. Në raste të tjera, është më i përshtatshëm të përdorni formulën e mëposhtme.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik nga 1 në n është e barabartë me shumën e anëtarëve të parë dhe të n-të, shumëzuar me numrin e anëtarit n dhe pjesëtuar me dy. Nëse në formulë vlera e anëtarit të n-të zëvendësohet me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm i artikullit, marrim:

Shembull i llogaritjes

Për shembull, le të zgjidhim një problem me kushtet e mëposhtme:

Termi i parë i sekuencës është zero;

Diferenca është 0.5.

Në problem, kërkohet të përcaktohet shuma e termave të serisë nga 56 në 101.

Vendimi. Le të përdorim formulën për përcaktimin e shumës së progresionit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Së pari, ne përcaktojmë shumën e vlerave të 101 anëtarëve të progresionit duke zëvendësuar kushtet e dhëna të problemit tonë në formulën:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Natyrisht, për të gjetur shumën e kushteve të progresionit nga 56-ta në 101, është e nevojshme të zbritet S 55 nga S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Pra, shuma e progresionit aritmetik për këtë shembull është:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Shembull i zbatimit praktik të progresionit aritmetik

Në fund të artikullit, le të kthehemi te shembulli i sekuencës aritmetike të dhënë në paragrafin e parë - një taksimetër (matësi i makinës së taksive). Le të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Hyrja në një taksi (e cila përfshin 3 km) kushton 50 rubla. Çdo kilometër pasues paguhet në masën 22 rubla / km. Distanca e udhëtimit 30 km. Llogaritni koston e udhëtimit.

1. Të hedhim 3 km të para, çmimi i të cilave është përfshirë në koston e uljes.

30 - 3 = 27 km.

2. Llogaritja e mëtejshme nuk është gjë tjetër veçse analizimi i një serie numrash aritmetike.

Numri i anëtarëve është numri i kilometrave të përshkuar (minus tre të parat).

Vlera e anëtarit është shuma.

Termi i parë në këtë problem do të jetë i barabartë me 1 = 50 rubla.

Diferenca e progresionit d = 22 p.

numri i interesit për ne - vlera e anëtarit (27 + 1) të progresionit aritmetik - leximi i njehsorit në fund të kilometrit të 27-të - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Llogaritjet e të dhënave kalendarike për një periudhë arbitrare të gjatë bazohen në formula që përshkruajnë sekuenca të caktuara numerike. Në astronomi, gjatësia e orbitës varet gjeometrikisht nga distanca e trupit qiellor nga dritarja. Përveç kësaj, seri të ndryshme numerike përdoren me sukses në statistika dhe degë të tjera të aplikuara të matematikës.

Një lloj tjetër i sekuencës së numrave është gjeometrik

Një progresion gjeometrik karakterizohet nga një shkallë e madhe ndryshimi, krahasuar me një aritmetike. Nuk është rastësi që në politikë, sociologji, mjekësi, shpesh, për të treguar shpejtësinë e madhe të përhapjes së një dukurie të caktuar, për shembull, një sëmundje gjatë një epidemie, thonë se procesi zhvillohet në mënyrë eksponenciale.

Anëtari N-të i serisë së numrave gjeometrikë ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që shumëzohet me një numër konstant - emëruesi, për shembull, anëtari i parë është 1, emëruesi është 2, përkatësisht, pastaj:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vlera e anëtarit aktual të progresionit gjeometrik;

b n+1 - formula e anëtarit të ardhshëm të progresionit gjeometrik;

q është emëruesi i një progresion gjeometrik (numër konstant).

Nëse grafiku i një progresion aritmetik është një vijë e drejtë, atëherë ai gjeometrik vizaton një pamje paksa të ndryshme:

Ashtu si në rastin e aritmetikës, një progresion gjeometrik ka një formulë për vlerën e një anëtari arbitrar. Çdo term i n-të i një progresioni gjeometrik është i barabartë me produktin e anëtarit të parë dhe emëruesin e progresionit në fuqinë e n reduktuar me një:

Shembull. Kemi një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 3 dhe emëruesin e progresionit të barabartë me 1,5. Gjeni termin e 5-të të progresionit

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Shuma e një numri të caktuar anëtarësh llogaritet gjithashtu duke përdorur një formulë të veçantë. Shuma e n anëtarëve të parë të një progresioni gjeometrik është e barabartë me diferencën midis prodhimit të anëtarit të n-të të progresionit dhe emëruesit të tij dhe anëtarit të parë të progresionit, pjesëtuar me emëruesin e reduktuar me një:

Nëse b n zëvendësohet duke përdorur formulën e diskutuar më sipër, vlera e shumës së n anëtarëve të parë të serisë së numrave të konsideruar do të marrë formën:

Shembull. Progresioni gjeometrik fillon me termin e parë të barabartë me 1. Emëruesi vendoset i barabartë me 3. Le të gjejmë shumën e tetë anëtarëve të parë.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280