Në këtë mësim, ne do të nxjerrim formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm aritmetik dhe do të zgjidhim disa probleme duke përdorur këtë formulë.
Tema: Përparimet
Mësimi: Formula për shumën e anëtarëve të një progresion të fundëm aritmetik
1. Hyrje
Shqyrtoni problemin: gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 në 100 përfshirëse.
Jepen: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.
Gjeni: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Zgjidhje: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.
Përgjigje: 5050.
Sekuenca e numrave natyrorë 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 është progresion aritmetik: a1=1, d=1.
Kemi gjetur shumën e njëqind numrave të parë natyrorë, pra shumën e n-së së parë anëtarët e një progresion aritmetik.
Zgjidhja e konsideruar u propozua nga matematikani i madh Carl Friedrich Gauss, i cili jetoi në shekullin e 19-të. Problemi u zgjidh nga ai në moshën 5 vjeçare.
Referenca e historisë: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - matematikan, mekanik, fizikan dhe astronom gjerman. Konsiderohet si një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve". Laureat i medaljes Copley (1838), anëtar i huaj i Akademive të Shkencave Suedeze (1821) dhe Ruse (1824), të Shoqërisë Mbretërore Angleze. Sipas legjendës, një mësues i matematikës në shkollë, për t'i mbajtur fëmijët të zënë për një kohë të gjatë, i sugjeroi që të llogarisnin shumën e numrave nga 1 në 100. Gausi i ri vuri re se shumat në çift nga të kundërtat në të kundërtat janë të njëjta: 1+100 =101, 2+99=101, etj. dhe menjëherë mori rezultatin: 101x50=5050.
2. Nxjerrja e formulës për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
Konsideroni një problem të ngjashëm për një progresion aritmetik arbitrar.
Gjeni: shumën e n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik.
Le të tregojmë se të gjitha shprehjet në kllapa janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, me shprehjen . Le të jetë d diferenca e një progresion aritmetik. Pastaj:
Dhe kështu me radhë. Prandaj, mund të shkruajmë:
Ku e marrim formulën për shumën e n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik:
.
3. Zgjidhja e problemave për zbatimin e formulës për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
1. Zgjidh problemin e shumës së numrave natyrorë nga 1 në 100 duke përdorur formulën për shumën e n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik:
Zgjidhje: a1=1, d=1, n=100.
Formula e përgjithshme:
.
Në rastin tonë: .
Përgjigje: 5050.
Formula e përgjithshme:
. Le të gjejmë me formulën e anëtarit të n-të të progresionit aritmetik: 
.
Në rastin tonë: .
Për të gjetur, së pari duhet të gjeni.
Kjo mund të bëhet duke përdorur formulën e përgjithshme .Së pari, aplikoni këtë formulë për të gjetur ndryshimin e një progresion aritmetik.
d.m.th. 
. Do të thotë .
Tani mund të gjejmë.
Përdorimi i formulës për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
, le të gjejmë.
4. Nxjerrja e formulës së dytë për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
Ne marrim formulën e dytë për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik, domethënë: vërtetojmë se 
.
Dëshmi:
Në formulën për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik le të zëvendësojmë shprehjen për , domethënë . Ne marrim: , d.m.th. . Q.E.D.
Le të analizojmë formulat e marra. Për llogaritjet me formulën e parë ju duhet të dini termin e parë, termin e fundit dhe n me formulën e dytë - duhet të dini termin e parë, ndryshimin dhe n.
Së fundi, vini re se në çdo rast Sn është një funksion kuadratik i n-së, sepse 
.
5. Zgjidhja e problemave për zbatimin e formulës së dytë për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
Formula e përgjithshme:
.
Në rastin tonë:.
Përgjigje: 403.
2. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që janë shumëfish të 4.
(12; 16; 20; ...; 96) - një grup numrash që plotësojnë kushtin e problemit.
Pra, kemi një progresion aritmetik.
n gjeni nga formula për:.
d.m.th. 
. Do të thotë .
Përdorimi i formulës së dytë për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik
, le të gjejmë.
Kërkohet të gjendet shuma e të gjithë termave nga 10 deri në 25 përfshirëse.
Një mënyrë për ta zgjidhur atë është si më poshtë:
Prandaj, .
6. Përmbledhje e mësimit
Pra, ne kemi nxjerrë formula për shumën e anëtarëve të një progresion të fundëm aritmetik. Këto formula janë përdorur për të zgjidhur disa probleme.
Në mësimin tjetër do të njihemi me vetinë karakteristike të një progresion aritmetik.
1. Makarychev Yu. N. et al. Algjebra klasa 9 (libër mësuesi për shkollën e mesme).-M.: Arsimi, 1992.
2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algjebra për klasën 9 me thellim. studim matematikë.-M.: Mnemozina, 2003.
3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Kapituj shtesë në tekstin shkollor të algjebrës klasën 9.-M .: Edukimi, 2002.
4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Mbledhja e problemeve në algjebër për klasat 8-9 (libër mësuesi për studentët e shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës). - M .: Edukimi, 1996.
5. Mordkovich A. G. Algjebra klasa 9, tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm. - M.: Mnemosyne, 2002.
6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algjebra klasa 9, libër me probleme për institucionet arsimore. - M.: Mnemosyne, 2002.
7. Glazer G. I. Historia e matematikës në shkollë. Klasat 7-8 (udhëzues për mësuesit).-M.: Iluminizmi, 1983.
1. Seksioni i Kolegjit. ru në matematikë.
2. Portali i Shkencave të Natyrës.
3. Eksponenciale. ru Sajti matematikor arsimor.
1. Nr. 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algjebra Klasa 9).
2. Nr. 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Mbledhja e problemave në algjebër për klasat 8-9).
Kur studioni algjebër në një shkollë të mesme (klasa 9), një nga temat e rëndësishme është studimi i sekuencave numerike, të cilat përfshijnë përparime - gjeometrike dhe aritmetike. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një progresion aritmetik dhe shembuj me zgjidhje.
Çfarë është një progresion aritmetik?
Për ta kuptuar këtë, është e nevojshme të jepet një përkufizim i progresionit në shqyrtim, si dhe të jepen formulat bazë që do të përdoren më tej në zgjidhjen e problemeve.
Një progresion aritmetik ose algjebrik është një grup i tillë numrash racionalë të renditur, secili anëtar i të cilit ndryshon nga ai i mëparshmi me një sasi konstante. Kjo vlerë quhet diferencë. Kjo do të thotë, duke ditur çdo anëtar të një serie numrash të renditur dhe ndryshimin, mund të rivendosni të gjithë progresionin aritmetik.
Le të marrim një shembull. Sekuenca tjetër e numrave do të jetë një progresion aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., pasi ndryshimi në këtë rast është 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Por grupi i numrave 3, 5, 8, 12, 17 nuk mund t'i atribuohet më llojit të progresionit në shqyrtim, pasi ndryshimi për të nuk është një vlerë konstante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formula të rëndësishme
Tani japim formulat bazë që do të nevojiten për të zgjidhur problemet duke përdorur një progresion aritmetik. Le të tregojmë një n anëtarin e n-të të sekuencës, ku n është një numër i plotë. Ndryshimi shënohet me shkronjën latine d. Atëherë shprehjet e mëposhtme janë të vërteta:
- Për të përcaktuar vlerën e termit të n-të, formula është e përshtatshme: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Për të përcaktuar shumën e n termave të parë: S n = (a n + a 1)*n/2.
Për të kuptuar çdo shembull të një progresion aritmetik me një zgjidhje në klasën 9, mjafton të mbani mend këto dy formula, pasi çdo problem i llojit në fjalë bazohet në përdorimin e tyre. Gjithashtu, mos harroni se ndryshimi i progresionit përcaktohet nga formula: d = a n - a n-1 .
Shembulli #1: Gjetja e një Anëtari të panjohur
Ne japim një shembull të thjeshtë të një progresion aritmetik dhe formulat që duhet të përdoren për të zgjidhur.
Le të jepet sekuenca 10, 8, 6, 4, ..., është e nevojshme të gjesh pesë terma në të.
Tashmë nga kushtet e problemit rezulton se dihen 4 termat e parë. E pesta mund të përkufizohet në dy mënyra:
- Le të llogarisim diferencën së pari. Kemi: d = 8 - 10 = -2. Në mënyrë të ngjashme, dikush mund të marrë çdo dy terma të tjerë që qëndrojnë pranë njëri-tjetrit. Për shembull, d = 4 - 6 = -2. Meqenëse dihet që d \u003d a n - a n-1, atëherë d \u003d a 5 - a 4, nga ku marrim: a 5 \u003d a 4 + d. Zëvendësojmë vlerat e njohura: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Metoda e dytë kërkon gjithashtu njohuri për ndryshimin e progresionit në fjalë, kështu që së pari duhet ta përcaktoni atë, siç tregohet më lart (d = -2). Duke ditur se termi i parë a 1 = 10, ne përdorim formulën për numrin n të sekuencës. Ne kemi: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Duke zëvendësuar n = 5 në shprehjen e fundit, marrim: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Siç mund ta shihni, të dyja zgjidhjet çojnë në të njëjtin rezultat. Vini re se në këtë shembull ndryshimi d i progresionit është negativ. Sekuenca të tilla quhen zvogëluese sepse çdo term i njëpasnjëshëm është më i vogël se ai i mëparshmi.
Shembulli #2: ndryshimi i progresionit
Tani le ta komplikojmë pak detyrën, të japim një shembull se si
Dihet se në disa termi i parë është i barabartë me 6, dhe termi i 7 është i barabartë me 18. Është e nevojshme të gjendet ndryshimi dhe të rivendoset kjo sekuencë në termin e 7-të.
Le të përdorim formulën për të përcaktuar termin e panjohur: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ne i zëvendësojmë të dhënat e njohura nga gjendja në të, domethënë numrat a 1 dhe a 7, kemi: 18 \u003d 6 + 6 * d. Nga kjo shprehje, ju mund të llogaritni lehtësisht diferencën: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kështu, pjesa e parë e problemit u përgjigj.
Për të rivendosur sekuencën në anëtarin e 7-të, duhet të përdorni përkufizimin e një progresion algjebrik, domethënë a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e kështu me radhë. Si rezultat, ne rivendosim të gjithë sekuencën: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dhe 7 = 18.
Shembulli #3: duke bërë një progresion
Le ta komplikojmë edhe më shumë gjendjen e problemit. Tani ju duhet t'i përgjigjeni pyetjes se si të gjeni një progresion aritmetik. Mund të jepet shembulli i mëposhtëm: jepen dy numra, për shembull, 4 dhe 5. Është e nevojshme të bëhet një progresion algjebrik në mënyrë që të vendosen tre terma të tjerë midis tyre.
Para se të filloni të zgjidhni këtë problem, është e nevojshme të kuptoni se çfarë vendi do të zënë numrat e dhënë në progresionin e ardhshëm. Meqenëse do të ketë tre terma të tjerë midis tyre, pastaj një 1 \u003d -4 dhe një 5 \u003d 5. Pasi e kemi vendosur këtë, ne vazhdojmë me një detyrë që është e ngjashme me atë të mëparshme. Përsëri, për termin e n-të, ne përdorim formulën, marrim: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nga: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Këtu ndryshimi nuk është një vlerë e plotë, por është një numër racional, kështu që formulat për progresionin algjebrik mbeten të njëjta.
Tani le të shtojmë ndryshimin e gjetur në një 1 dhe të rivendosim anëtarët që mungojnë të progresionit. Ne marrim: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u që përkonte me gjendjen e problemit.
Shembulli #4: Anëtari i parë i progresionit
Ne vazhdojmë të japim shembuj të një progresion aritmetik me një zgjidhje. Në të gjitha problemet e mëparshme, numri i parë i progresionit algjebrik ishte i njohur. Tani merrni parasysh një problem të një lloji tjetër: le të jepen dy numra, ku një 15 = 50 dhe një 43 = 37. Është e nevojshme të gjendet se nga cili numër fillon kjo sekuencë.
Formulat që janë përdorur deri tani supozojnë njohuri për një 1 dhe d. Nuk dihet asgjë për këto shifra në gjendjen e problemit. Sidoqoftë, le të shkruajmë shprehjet për secilin term për të cilin kemi informacion: a 15 = a 1 + 14 * d dhe a 43 = a 1 + 42 * d. Ne morëm dy ekuacione në të cilat ka 2 madhësi të panjohura (a 1 dhe d). Kjo do të thotë që problemi reduktohet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare.
Sistemi i specifikuar është më i lehtë për t'u zgjidhur nëse shprehni një 1 në çdo ekuacion dhe më pas krahasoni shprehjet që rezultojnë. Ekuacioni i parë: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ekuacioni i dytë: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Duke barazuar këto shprehje, marrim: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, nga ku diferenca d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (janë dhënë vetëm 3 shifra dhjetore).
Duke ditur d, ju mund të përdorni ndonjë nga 2 shprehjet e mësipërme për një 1. Për shembull, së pari: një 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Nëse ka dyshime për rezultatin, mund ta kontrolloni atë, për shembull, të përcaktoni anëtarin e 43-të të progresionit, i cili specifikohet në kusht. Ne marrim: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Një gabim i vogël është për faktin se në llogaritjet është përdorur rrumbullakimi në të mijëtat.
Shembulli #5: Shuma
Tani le të shohim disa shembuj me zgjidhje për shumën e një progresion aritmetik.
Le të jepet një progresion numerik i formës së mëposhtme: 1, 2, 3, 4, ...,. Si të llogaritet shuma e 100 prej këtyre numrave?
Falë zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, ky problem mund të zgjidhet, domethënë të mblidhen në mënyrë sekuenciale të gjithë numrat, gjë që kompjuteri do ta bëjë sapo një person të shtypë tastin Enter. Sidoqoftë, problemi mund të zgjidhet mendërisht nëse i kushtoni vëmendje se seria e paraqitur e numrave është një progresion algjebrik dhe ndryshimi i tij është 1. Duke zbatuar formulën për shumën, marrim: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Është kurioze të theksohet se ky problem quhet "Gaussian", pasi në fillim të shekullit të 18-të gjermani i famshëm, ende në moshën vetëm 10-vjeçare, mundi ta zgjidhte në mendjen e tij për pak sekonda. Djali nuk e dinte formulën për shumën e një progresion algjebrik, por vuri re se nëse shtoni çifte numrash të vendosur në skajet e sekuencës, gjithmonë merrni të njëjtin rezultat, domethënë 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dhe meqenëse këto shuma do të jenë saktësisht 50 (100 / 2), atëherë për të marrë përgjigjen e saktë, mjafton të shumëzoni 50 me 101.
Shembulli #6: shuma e termave nga n në m
Një shembull tjetër tipik i shumës së një progresion aritmetik është si vijon: duke pasur parasysh një seri numrash: 3, 7, 11, 15, ..., ju duhet të gjeni se sa do të jetë shuma e termave të tij nga 8 në 14.
Problemi zgjidhet në dy mënyra. E para prej tyre përfshin gjetjen e termave të panjohur nga 8 në 14, dhe më pas përmbledhjen e tyre në mënyrë sekuenciale. Meqenëse ka pak terma, kjo metodë nuk është mjaft e mundimshme. Sidoqoftë, propozohet të zgjidhet ky problem me metodën e dytë, e cila është më universale.
Ideja është të merret një formulë për shumën e një progresion algjebrik midis termave m dhe n, ku n > m janë numra të plotë. Për të dyja rastet, ne shkruajmë dy shprehje për shumën:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Meqenëse n > m, është e qartë se shuma 2 përfshin të parën. Konkluzioni i fundit do të thotë se nëse marrim ndryshimin midis këtyre shumave dhe i shtojmë termin a m (në rastin e marrjes së diferencës, ai zbritet nga shuma S n), atëherë marrim përgjigjen e nevojshme për problemin. Kemi: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Është e nevojshme të zëvendësohen formulat për një n dhe një m në këtë shprehje. Pastaj marrim: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula që rezulton është disi e rëndë, megjithatë, shuma S mn varet vetëm nga n, m, a 1 dhe d. Në rastin tonë, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Duke zëvendësuar këta numra, marrim: S mn = 301.
Siç shihet nga zgjidhjet e mësipërme, të gjitha problemat bazohen në njohjen e shprehjes për termin e n-të dhe në formulën për shumën e grupit të termave të parë. Para se të filloni të zgjidhni ndonjë nga këto probleme, rekomandohet që të lexoni me kujdes gjendjen, të kuptoni qartë se çfarë dëshironi të gjeni dhe vetëm atëherë të vazhdoni me zgjidhjen.
Një këshillë tjetër është të përpiqeni për thjeshtësi, domethënë nëse mund t'i përgjigjeni pyetjes pa përdorur llogaritjet komplekse matematikore, atëherë duhet të bëni pikërisht këtë, pasi në këtë rast probabiliteti për të bërë një gabim është më i vogël. Për shembull, në shembullin e një progresion aritmetik me zgjidhjen nr. 6, mund të ndalemi në formulën S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dhe ndani detyrën e përgjithshme në nëndetyra të veçanta (në këtë rast, së pari gjeni termat a n dhe a m).
Nëse ka dyshime për rezultatin e marrë, rekomandohet ta kontrolloni atë, siç është bërë në disa nga shembujt e dhënë. Si të gjeni një progresion aritmetik, u zbulua. Pasi ta kuptoni, nuk është aq e vështirë.
Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.
Objektivat e mësimit:
- zgjerimi dhe thellimi i ideve të nxënësve për detyrat e zgjidhura duke përdorur progresionin aritmetik; organizimi i veprimtarisë së kërkimit të nxënësve gjatë nxjerrjes së formulës për shumën e n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik;
- zhvillimi i aftësive për të përvetësuar në mënyrë të pavarur njohuri të reja, përdorimi i njohurive të fituara tashmë për të arritur detyrën;
- zhvillimi i dëshirës dhe nevojës për të përgjithësuar faktet e marra, zhvillimi i pavarësisë.
Detyrat:
- të përgjithësojë dhe të sistemojë njohuritë ekzistuese për temën “Progresioni aritmetik”;
- nxjerr formulat për llogaritjen e shumës së n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik;
- të mësojë se si të zbatohen formulat e marra në zgjidhjen e problemeve të ndryshme;
- tërheq vëmendjen e nxënësve për procedurën e gjetjes së vlerës së një shprehjeje numerike.
Pajisjet:
- karta me detyra për punë në grupe dhe dyshe;
- letër vlerësimi;
- prezantimi"Progresioni aritmetik".
I. Aktualizimi i njohurive bazë.
1. Punë e pavarur në dyshe.
Opsioni 1:
Përcaktoni një progresion aritmetik. Shkruani një formulë rekursive që përcakton një progresion aritmetik. Jepni një shembull të një progresion aritmetik dhe tregoni ndryshimin e tij.
Opsioni i 2-të:
Shkruani formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik. Gjeni termin e 100-të të një progresion aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Në këtë kohë, dy studentë në anën e pasme të tabelës po përgatisin përgjigje për të njëjtat pyetje.
Nxënësit vlerësojnë punën e partnerit duke e krahasuar me tabelën. (Dorëzohen fletëpalosje me përgjigje).
2. Momenti i lojës.
Ushtrimi 1.
Mësues. Kam konceptuar njëfarë progresion aritmetik. Më bëni vetëm dy pyetje në mënyrë që pas përgjigjeve të mund të emëroni shpejt anëtarin e 7-të të këtij progresi. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Pyetje nga studentët.
- Cili është termi i gjashtë i progresionit dhe cili është ndryshimi?
- Cili është termi i tetë i progresionit dhe cili është ndryshimi?
Nëse nuk ka më pyetje, atëherë mësuesi mund t'i stimulojë ato - një "ndalim" në d (ndryshim), domethënë, nuk lejohet të pyesni se cili është ndryshimi. Ju mund të bëni pyetje: cili është termi i 6-të i progresionit dhe cili është termi i 8-të i progresionit?
Detyra 2.
Janë 20 numra të shkruar në tabelë: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Mësuesi qëndron me shpinën në dërrasën e zezë. Nxënësit thonë numrin e numrit dhe mësuesi menjëherë telefonon vetë numrin. Shpjegoni si mund ta bëj?
Mësuesi/ja kujton formulën e semestrit të ntë a n \u003d 3n - 2 dhe, duke zëvendësuar vlerat e dhëna të n, gjen vlerat përkatëse a n .
II. Deklarata e detyrës edukative.
Unë propozoj të zgjidhet një problem i vjetër që daton në mijëvjeçarin e II para Krishtit, i gjetur në papiruset egjiptiane.
Detyra:“Le t’ju thuhet: ndani 10 masa elbi në 10 veta, dallimi mes secilit dhe fqinjit të tij është 1/8 e masës”.
- Si lidhet ky problem me temën e progresionit aritmetik? (Çdo person tjetër merr 1/8 e masës më shumë, pra diferenca është d=1/8, 10 persona, pra n=10.)
- Çfarë mendoni se do të thotë numri 10? (Shuma e të gjithë anëtarëve të progresionit.)
- Çfarë tjetër duhet të dini për ta bërë të lehtë dhe të thjeshtë ndarjen e elbit sipas gjendjes së problemit? (Termi i parë i progresionit.)
Objektivi i mësimit- marrja e varësisë së shumës së termave të progresionit nga numri i tyre, termi i parë dhe ndryshimi dhe kontrollimi nëse problemi ishte zgjidhur saktë në kohët e lashta.
Para se të nxjerrim formulën, le të shohim se si egjiptianët e lashtë e zgjidhën problemin.
Dhe ata e zgjidhën kështu:
1) 10 masa: 10 = 1 masë - pjesa mesatare;
2) 1 masë ∙ = 2 masa - dyfishuar mesatare ndajnë.
dyfishuar mesatare pjesa është shuma e aksioneve të personit të 5-të dhe të 6-të.
3) 2 masa - 1/8 masë = 1 7/8 masa - dyfishi i pjesës së personit të pestë.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - pjesa e të pestës; dhe kështu me radhë, ju mund të gjeni pjesën e çdo personi të mëparshëm dhe të mëpasshëm.
Ne marrim sekuencën:
III. Zgjidhja e detyrës.
1. Punë në grupe
Grupi 1: Gjeni shumën e 20 numrave natyrorë të njëpasnjëshëm: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
Në përgjithësi 
Grupi II: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 deri në 100 (Legjenda e Gausit të Vogël).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
konkluzioni:
Grupi III: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 në 21.
Zgjidhja: 1+21=2+20=3+19=4+18…
konkluzioni:
Grupi IV: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 në 101.
konkluzioni:
Kjo metodë e zgjidhjes së problemeve të konsideruara quhet "metoda e Gausit".
2. Secili grup paraqet zgjidhjen e problemit në tabelë.
3. Përgjithësimi i zgjidhjeve të propozuara për një progresion aritmetik arbitrar:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Ne e gjejmë këtë shumë duke argumentuar në mënyrë të ngjashme:
4. A e kemi zgjidhur detyrën?(Po.)
IV. Kuptimi primar dhe zbatimi i formulave të fituara në zgjidhjen e problemave.
1. Kontrollimi i zgjidhjes së një problemi të vjetër me formulë.
2. Zbatimi i formulës në zgjidhjen e problemave të ndryshme.
3. Ushtrime për formimin e aftësisë për të zbatuar formulën në zgjidhjen e problemave.
A) Nr. 613
dhënë :( dhe n) - progresion aritmetik;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Per te gjetur: S 1500
Vendimi: , dhe 1 = 1, dhe 1500 = 1500,
B) Duke pasur parasysh: ( dhe n) - progresion aritmetik;
(dhe n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Per te gjetur: n
Vendimi:
V. Punë e pavarur me verifikim reciprok.
Denisi shkoi të punonte si korrier. Në muajin e parë, paga e tij ishte 200 rubla, në çdo muaj pasues u rrit me 30 rubla. Sa fitoi ai në një vit?
dhënë :( dhe n) - progresion aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Per te gjetur: S 12
Vendimi:
Përgjigje: Denisi mori 4380 rubla për vit.
VI. Udhëzim për detyra shtëpie.
- fq 4.3 - mësoni nxjerrjen e formulës.
- №№ 585, 623 .
- Hartoni një problem që do të zgjidhej duke përdorur formulën për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik.
VII. Duke përmbledhur mësimin.
1. Fletë pikësh
2. Vazhdo fjalitë
- Sot në klasë mësova...
- Formulat e mësuara...
- Unë mendoj se…
3. A mund të gjeni shumën e numrave nga 1 deri në 500? Çfarë metode do të përdorni për të zgjidhur këtë problem?
Bibliografi.
1. Algjebra, klasa e 9-të. Libër mësuesi për institucionet arsimore. Ed. G.V. Dorofeeva. Moska: Iluminizmi, 2009.
Shuma e një progresion aritmetik.
Shuma e një progresion aritmetik është një gjë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në formulë. Por ka të gjitha llojet e detyrave për këtë temë. Nga elementare në mjaft solide.
Së pari, le të merremi me kuptimin dhe formulën e shumës. Dhe pastaj do të vendosim. Për kënaqësinë tuaj.) Kuptimi i shumës është aq i thjeshtë sa ulja. Për të gjetur shumën e një progresion aritmetik, ju vetëm duhet të shtoni me kujdes të gjithë anëtarët e tij. Nëse këto terma janë të pakta, mund të shtoni pa formula. Por nëse ka shumë, ose shumë ... shtimi është i bezdisshëm.) Në këtë rast, formula kursen.
Formula e shumës është e thjeshtë:
Le të kuptojmë se çfarë lloj shkronjash përfshihen në formulë. Kjo do të sqarojë shumë.
S n është shuma e një progresion aritmetik. Rezultati i shtimit të gjitha anëtarë, me së pari në e fundit.Është e rëndësishme. Shtoni saktësisht të gjitha anëtarë me radhë, pa boshllëqe dhe kërcime. Dhe, pikërisht, duke filluar nga së pari. Në probleme si gjetja e shumës së termave të tretë dhe të tetë, ose shuma e termave pesë deri në të njëzetat, zbatimi i drejtpërdrejtë i formulës do të jetë zhgënjyes.)
a 1 - së pari anëtar i progresionit. Gjithçka është e qartë këtu, është e thjeshtë së pari numri i rreshtit.
a n- e fundit anëtar i progresionit. Numri i fundit i rreshtit. Një emër jo shumë i njohur, por, kur aplikohet për sasinë, është shumë i përshtatshëm. Atëherë do ta shihni vetë.
n është numri i anëtarit të fundit. Është e rëndësishme të kuptohet se në formulë ky numër përkon me numrin e anëtarëve të shtuar.
Le të përcaktojmë konceptin e fundit anëtar a n. Pyetja plotësuese: çfarë lloj anëtari do e fundit, nëse jepet pafund progresion aritmetik?
Për një përgjigje të sigurt, ju duhet të kuptoni kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe ... lexoni detyrën me kujdes!)
Në detyrën e gjetjes së shumës së një progresion aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmonë (drejtpërsëdrejti ose indirekt), e cila duhet të jetë e kufizuar. Përndryshe, një sasi e kufizuar, specifike thjesht nuk ekziston. Për zgjidhjen, nuk ka rëndësi se çfarë lloj përparimi është dhënë: i fundëm apo i pafund. Nuk ka rëndësi se si jepet: nga një seri numrash, apo nga formula e anëtarit të n-të.
Gjëja më e rëndësishme është të kuptojmë se formula funksionon nga termi i parë i progresionit në termin me numër n. Në fakt, emri i plotë i formulës duket kështu: shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik. Numri i këtyre anëtarëve të parë, d.m.th. n, përcaktohet vetëm nga detyra. Në detyrë, i gjithë ky informacion i vlefshëm shpesh është i koduar, po ... Por asgjë, në shembujt më poshtë do t'i zbulojmë këto sekrete.)
Shembuj detyrash për shumën e një progresion aritmetik.
Para së gjithash, informacione të dobishme:
Vështirësia kryesore në detyrat për shumën e një progresion aritmetik është përcaktimi i saktë i elementeve të formulës.
Autorët e detyrave i kodojnë pikërisht këta elementë me imagjinatë të pakufishme.) Gjëja kryesore këtu është të mos kesh frikë. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton vetëm t'i deshifroni ato. Le të hedhim një vështrim në disa shembuj në detaje. Le të fillojmë me një detyrë të bazuar në një GIA të vërtetë.
1. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a n = 2n-3.5. Gjeni shumën e 10 termave të parë.
Punë e mirë. Lehtë.) Për të përcaktuar sasinë sipas formulës, çfarë duhet të dimë? Anëtari i parë a 1, termi i fundit a n, po numri i mandatit të fundit n.
Ku mund të merrni numrin e fundit të anëtarit n? Po, në të njëjtin vend, në gjendje! Thotë gjeje shumën 10 anëtarët e parë. Epo, çfarë numri do të jetë e fundit, anëtari i dhjetë?) Nuk do ta besoni, numri i tij është i dhjeti!) Prandaj, në vend të a n ne do të zëvendësojmë në formulë një 10, por në vend të kësaj n- dhjetë. Përsëri, numri i anëtarit të fundit është i njëjtë me numrin e anëtarëve.
Mbetet për t'u përcaktuar a 1 dhe një 10. Kjo llogaritet lehtësisht nga formula e termit të n-të, e cila është dhënë në deklaratën e problemit. Nuk dini si ta bëni? Vizitoni mësimin e mëparshëm, pa këtë - asgjë.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
një 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S n = S 10.
Zbuluam kuptimin e të gjithë elementëve të formulës për shumën e një progresion aritmetik. Mbetet për t'i zëvendësuar ato dhe për të numëruar:
Kjo është gjithçka që ka për të. Përgjigje: 75.
Një detyrë tjetër e bazuar në GIA. Pak më e ndërlikuar:
2. Jepet një progresion aritmetik (a n), diferenca e të cilit është 3,7; a 1 \u003d 2.3. Gjeni shumën e 15 termave të parë.
Ne shkruajmë menjëherë formulën e shumës:
Kjo formulë na lejon të gjejmë vlerën e çdo anëtari me numrin e tij. Ne jemi duke kërkuar për një zëvendësim të thjeshtë:
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Mbetet të zëvendësojmë të gjithë elementët në formulën për shumën e një progresion aritmetik dhe të llogarisim përgjigjen:
Përgjigje: 423.
Nga rruga, nëse në formulën e shumës në vend të a n thjesht zëvendësojmë formulën e termit të n-të, marrim:
Ne japim të ngjashme, marrim një formulë të re për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik:
 |
Siç mund ta shihni, termi i n-të nuk kërkohet këtu. a n. Në disa detyra, kjo formulë ndihmon shumë, po... Ju mund ta mbani mend këtë formulë. Dhe thjesht mund ta tërhiqni në kohën e duhur, si këtu. Në fund të fundit, formula për shumën dhe formula për termin e n-të duhet të mbahet mend në çdo mënyrë.)
Tani detyra në formën e një kriptimi të shkurtër):
3. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë pozitivë që janë shumëfish të tre.
Si! Asnjë anëtar i parë, asnjë i fundit, pa progres fare... Si të jetosh!?
Ju do të duhet të mendoni me kokën tuaj dhe të nxirrni nga kushti të gjithë elementët e shumës së një progresion aritmetik. Cilat janë numrat dyshifrorë - ne e dimë. Ato përbëhen nga dy numra.) Cili numër dyshifror do së pari? 10, me sa duket.) gjëja e fundit numër dyshifror? 99, sigurisht! Treshifrorët do ta ndjekin...
Shumëfisha të treshit... Hm... Këta janë numra që pjesëtohen në mënyrë të barabartë me tre, këtu! Dhjetë nuk pjesëtohet me tre, 11 nuk pjesëtohet... 12... pjesëtohet! Pra, diçka po shfaqet. Ju tashmë mund të shkruani një seri sipas gjendjes së problemit:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
A do të jetë kjo seri një progresion aritmetik? Sigurisht! Çdo term ndryshon nga ai i mëparshmi rreptësisht nga tre. Nëse termit i shtohet 2, ose 4, le të themi, rezultati, d.m.th. një numër i ri nuk do të ndahet më me 3. Ju mund të përcaktoni menjëherë ndryshimin e progresionit aritmetik në grumbull: d = 3. E dobishme!)
Pra, ne mund të shkruajmë me siguri disa parametra të progresionit:
Cili do të jetë numri n anëtari i fundit? Kushdo që mendon se 99 gabohet fatalisht ... Numrat - ata shkojnë gjithmonë në një rresht, dhe anëtarët tanë kërcejnë mbi tre të parët. Nuk përputhen.
Këtu ka dy zgjidhje. Një mënyrë është për super punëtorët. Mund të pikturosh progresionin, të gjithë serinë e numrave dhe të numërosh numrin e termave me gisht.) Mënyra e dytë është për ata që mendojnë. Ju duhet të mbani mend formulën për termin e n-të. Nëse formula zbatohet për problemin tonë, marrim se 99 është anëtari i tridhjetë i progresionit. ato. n = 30.
Ne shikojmë formulën për shumën e një progresion aritmetik:
Ne shikojmë dhe gëzohemi.) Ne nxorëm gjithçka që ishte e nevojshme për llogaritjen e shumës nga gjendja e problemit:
a 1= 12.
një 30= 99.
S n = S 30.
Ajo që mbetet është aritmetika elementare. Zëvendësoni numrat në formulë dhe llogarisni:
Përgjigje: 1665
Një lloj tjetër enigmash të njohura:
4. Është dhënë një progresion aritmetik:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Gjeni shumën e termave nga e njëzeta në të tridhjetë e katërt.
Ne shikojmë formulën e shumës dhe ... jemi të mërzitur.) Formula, më lejoni t'ju kujtoj, llogarit shumën nga e para anëtar. Dhe në problem ju duhet të llogaritni shumën që nga viti i njëzetë... Formula nuk do të funksionojë.
Ju, natyrisht, mund të pikturoni të gjithë përparimin me radhë dhe t'i vendosni anëtarët nga 20 në 34. Por ... disi rezulton marrëzi dhe për një kohë të gjatë, apo jo?)
Ekziston një zgjidhje më elegante. Le ta ndajmë serinë tonë në dy pjesë. Pjesa e parë do nga mandati i parë deri në të nëntëmbëdhjetë. Pjesa e dyte - njëzet deri në tridhjetë e katër.Është e qartë se nëse llogarisim shumën e termave të pjesës së parë S 1-19, ta shtojmë në shumën e anëtarëve të pjesës së dytë S 20-34, marrim shumën e progresionit nga termi i parë në të tridhjetë e katërt S 1-34. Si kjo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Kjo tregon se për të gjetur shumën S 20-34 mund të bëhet me zbritje të thjeshtë
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Të dyja shumat në anën e djathtë merren parasysh nga e para anëtar, d.m.th. formula standarde e shumës është mjaft e zbatueshme për ta. A po fillojmë?
Ne nxjerrim parametrat e progresionit nga kushti i detyrës:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Për të llogaritur shumat e 19 termave të parë dhe 34 termave të parë, do të na duhen termat e 19-të dhe të 34-të. Ne i numërojmë ato sipas formulës së anëtarit të n-të, si në problemin 2:
një 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
një 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nuk ka mbetur asgjë. Zbrisni shumën e 19 termave nga shuma e 34 termave:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Përgjigje: 262.5
Një shënim i rëndësishëm! Ekziston një veçori shumë e dobishme në zgjidhjen e këtij problemi. Në vend të llogaritjes së drejtpërdrejtë çfarë ju nevojitet (S 20-34), kemi numëruar ajo që, siç duket, nuk është e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendosën S 20-34, duke hedhur poshtë të panevojshmen nga rezultati i plotë. Një "mashtrim me veshë" të tillë shpesh kursen në enigmat e liga.)
Në këtë mësim, ne shqyrtuam probleme për të cilat mjafton të kuptojmë kuptimin e shumës së një progresion aritmetik. Epo, ju duhet të dini disa formula.)
Këshilla praktike:
Kur zgjidhni ndonjë problem për shumën e një progresion aritmetik, unë rekomandoj të shkruani menjëherë dy formulat kryesore nga kjo temë.
Formula e mandatit të nëntë:
Këto formula do t'ju tregojnë menjëherë se çfarë të kërkoni, në cilin drejtim të mendoni për të zgjidhur problemin. Ndihmon.
Dhe tani detyrat për zgjidhje të pavarur.
5. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që nuk pjesëtohen me tre.
E bukur?) Këshilla është e fshehur në shënimin e problemit 4. Epo, problemi 3 do të ndihmojë.
6. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni shumën e 24 termave të parë.
E pazakontë?) Kjo është një formulë e përsëritur. Ju mund të lexoni për të në mësimin e mëparshëm. Mos e injoroni lidhjen, enigma të tilla shpesh gjenden në GIA.
7. Vasya kurseu para për festën. Deri në 4550 rubla! Dhe vendosa t'i dhuroj personit më të dashur (vetes) disa ditë lumturie). Jetoni bukur pa i mohuar asgjë vetes. Shpenzoni 500 rubla në ditën e parë dhe shpenzoni 50 rubla më shumë në çdo ditë pasuese sesa në atë të mëparshme! Derisa të mbarojnë paratë. Sa ditë lumturie kishte Vasya?
A është e vështirë?) Një formulë shtesë nga detyra 2 do të ndihmojë.
Përgjigjet (në rrëmujë): 7, 3240, 6.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)
mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
SEKUENCA NUMERIKE VI
§ 144. Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik
Ata thonë se dikur një mësues i shkollës fillore, duke dashur të pushtojë klasën për një kohë të gjatë me punë të pavarur, u dha fëmijëve një detyrë "të vështirë" - të llogarisin shumën e të gjithë numrave natyrorë nga 1 në 100:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.
Njëri nga studentët sugjeroi menjëherë një zgjidhje. Ja ku eshte.:
1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101
= 101 50 = 5050.
50 herë
Ishte Carl Gauss, i cili më vonë u bë një nga matematikanët më të famshëm në botë*.
*Një rast i ngjashëm me Gausin ka ndodhur në të vërtetë. Sidoqoftë, këtu është thjeshtuar shumë. Numrat e sugjeruar nga mësuesi ishin pesëshifrorë dhe përbënin një progresion aritmetik me një ndryshim treshifror.
Ideja e një zgjidhjeje të tillë mund të përdoret për të gjetur shumën e termave të çdo progresioni aritmetik.
Lemë. Shuma e dy anëtarëve të një progresioni të fundëm aritmetik, në distancë të barabartë nga skajet, është e barabartë me shumën e termave ekstremë.
Për shembull, në një progresion të fundëm aritmetik
1, 2, 3.....98, 99, 100
termat 2 dhe 99, 3 dhe 98, 4 dhe 97, etj. janë të barabarta nga skajet e këtij progresioni. Prandaj, shumat e tyre 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 janë të barabarta me shumën e termave ekstremë 1 + 100.
Vërtetimi i lemës. Lëreni një progresion të fundëm aritmetik
a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n
çdo dy anëtarë janë po aq të largët nga skajet. Le të supozojmë se një prej tyre është k -termi nga e majta, pra a k , dhe tjetra - k termi nga e djathta, d.m.th. a n -k+ një. Pastaj
a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (n - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .
Shuma e termave ekstreme të këtij progresioni është e barabartë me
a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .
Kështu,
a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n
Q.E.D.
Duke përdorur lemën e sapo provuar, është e lehtë të merret një formulë e përgjithshme për shumën P anëtarët e çdo progresioni aritmetik.
S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n
S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .
Duke shtuar këto dy barazia term pas termi, marrim:
2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)
a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .
2S n = n (a 1 +a n ),
Shuma e anëtarëve të një progresion të fundëm aritmetik është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së anëtarëve ekstremë dhe numrit të të gjithë anëtarëve.
Veçanërisht,
Ushtrime
971. Gjeni shumën e të gjithë numrave treshifrorë tek.
972. Sa goditje do të bëjë një orë në ditë nëse godet vetëm numrin e orëve të plota?
973. Sa është shuma e të parës P numra natyrorë?
974. Nxirrni formulën për gjatësinë e shtegut të përshkuar nga trupi gjatë lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme:
ku v 0 - shpejtësia fillestare në m/sek , a - nxitimi në m/sek 2 , t - Koha e udhetimit sek.
975. Gjeni shumën e të gjitha thyesave të pakalueshme me emërues 3 midis numrave të plotë pozitivë t dhe P (t< п ).
976. Një punëtor mban 16 tezgjah që funksionojnë automatikisht. Performanca për makinë a m/h. Punëtori ndezi makinën e parë në orën 7 h, dhe secili pas nga 5 min më vonë se ai i mëparshmi. Gjeni daljen në metra për 2 të parat h puna.
977. Zgjidh ekuacionet:
a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;
b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155
978. Nga data 1 korrik deri më 12 korrik, përfshirë, temperatura e ajrit u rrit çdo ditë mesatarisht 1/2 gradë. Duke ditur se temperatura mesatare gjatë kësaj kohe doli të ishte 18 3/4 gradë, përcaktoni se sa ishte temperatura e ajrit më 1 korrik.
979. Gjeni një progresion aritmetik mesatarja aritmetike e të cilit P kushtet e para për çdo P e barabartë me numrin e tyre.
980. Gjeni shumën e njëzet anëtarëve të parë të një progresion aritmetik në të cilin
a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.
