Primer nivel

Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)

Secuencia numérica

Así que sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número, y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, ellos). Por muchos números que escribamos, siempre podemos decir cuál de ellos es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

Secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra sucesión:

El número asignado es específico de un solo número de secuencia. En otras palabras, no hay números de tres segundos en la secuencia. El segundo número (como el -ésimo número) es siempre el mismo.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Tal secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio ya en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica sin fin. El nombre "aritmética" se transfirió de la teoría de las proporciones continuas, en la que se involucraron los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior, sumado con el mismo número. Este número se llama la diferencia de una progresión aritmética y se denota.

Intenta determinar qué secuencias de números son una progresión aritmética y cuáles no:

un)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Compara nuestras respuestas:
es un progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su miembro. Existir dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar al valor anterior del número de progresión hasta llegar al enésimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir, solo tres valores:

Entonces, el -ésimo miembro de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Y si necesitáramos encontrar el valor del término th de la progresión? La sumatoria nos hubiera llevado más de una hora, y no es un hecho que no nos hubiésemos equivocado al sumar los números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Mire de cerca la imagen dibujada ... Seguramente ya ha notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos qué constituye el valor del -ésimo miembro de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar de forma independiente el valor de un miembro de esta progresión aritmética.

¿Calculado? Compare sus entradas con la respuesta:

Fíjate que obtuviste exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos sucesivamente los miembros de una progresión aritmética al valor anterior.
Tratemos de "despersonalizar" esta fórmula - pongámosla en forma general y obten:

Las progresiones aritméticas son crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto en términos crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Vamos a comprobarlo en la práctica.
Se nos da progresión aritmética, que consta de los siguientes números: Veamos cuál resultará el -ésimo número de esta progresión aritmética si usamos nuestra fórmula al calcularlo:

Desde entonces:

Por lo tanto, estábamos convencidos de que la fórmula funciona tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar los miembros -ésimo y -ésimo de esta progresión aritmética por tu cuenta.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos la tarea: derivamos la propiedad de una progresión aritmética.
Supongamos que se nos da la siguiente condición:
- Progresión aritmética, encontrar el valor.
Es fácil, dices, y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Sea, a, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo agregamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿y si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer errores en los cálculos.
Ahora piensa, ¿es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula? Por supuesto que sí, e intentaremos sacarlo ahora.

Denotamos el término deseado de la progresión aritmética porque conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, entonces:

• el miembro anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Vamos a sumar los miembros anteriores y siguientes de la progresión:

Resulta que la suma de los miembros anteriores y posteriores de la progresión es el doble del valor del miembro de la progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un miembro de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos.

Así es, tenemos el mismo número. Arreglemos el material. Calcule usted mismo el valor de la progresión, porque no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Queda por descubrir solo una fórmula que, según la leyenda, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el "rey de los matemáticos", Karl Gauss, dedujo fácilmente por sí mismo ...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, el maestro, ocupado revisando el trabajo de los estudiantes en otras clases, pidió la siguiente tarea en la lección: "Calcula la suma de todos números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive. Cuál fue la sorpresa del maestro cuando uno de sus alumnos (era Karl Gauss) después de un minuto dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros de clase del temerario después de largos cálculos recibieron un resultado erróneo...

El joven Carl Gauss notó un patrón que puedes notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de miembros -ti: Necesitamos encontrar la suma de los miembros dados de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si necesitamos encontrar la suma de sus términos en la tarea, como estaba buscando Gauss?

Vamos a representar la progresión que se nos ha dado. Mire de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Intentó? ¿Qué notaste? ¡Correctamente! sus sumas son iguales

Ahora responde, ¿cuántos pares de estos habrá en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, eso es.
Partiendo del hecho de que la suma de dos miembros de una progresión aritmética es igual, y pares iguales semejantes, obtenemos que cantidad total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas, no conocemos el término th, pero conocemos la diferencia de progresión. Trate de sustituir en la fórmula de la suma, la fórmula del miembro th.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que se le planteó a Carl Gauss: calcule usted mismo cuál es la suma de los números a partir del -ésimo y la suma de los números a partir del -ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss resultó que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Así lo decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, las personas ingeniosas utilizaron las propiedades de una progresión aritmética con poder y fuerza.
Por ejemplo, imagine el Antiguo Egipto y el sitio de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide ... La figura muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí que dices? Mire cuidadosamente y encuentre un patrón en el número de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Cuente cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes moviendo el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

EN este caso la progresión se ve así:
Diferencia de progresión aritmética.
El número de miembros de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (contamos el número de bloques de 2 maneras).

Método 1.

Método 2.

Y ahora también puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Estuvo de acuerdo? Bien hecho, has dominado la suma de los términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no puedes construir una pirámide con los bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir una pared con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Ejercicio

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces se pondrá en cuclillas Masha en semanas si hizo sentadillas en el primer entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares contenidos en
3. Al almacenar troncos, los leñadores los apilan de tal manera que cada uno capa superior contiene un registro menos que el anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Responder: En dos semanas, Masha debería ponerse en cuclillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares por la mitad, sin embargo, verifique este hecho usando la fórmula para encontrar el -ésimo miembro de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituimos los datos disponibles en la fórmula:

   Responder: La suma de todos los números impares contenidos en es igual a.

3. Recuerda el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, solo hay un montón de capas, es decir.
   Sustituye los datos en la fórmula:

   Responder: Hay troncos en la mampostería.

Resumiendo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Es creciente y decreciente.
2. Encontrar fórmula El miembro de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética- - donde - el número de números en la progresión.
4. La suma de los miembros de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde es el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL MEDIO

Secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre se puede saber cuál de ellos es el primero, cuál es el segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

Secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

En otras palabras, cada número puede estar asociado con un cierto número natural, y solo con uno. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente si el -ésimo miembro de la secuencia se puede dar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia). O (, diferencia).

fórmula del término n

Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para encontrar el -ésimo término, se necesita conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el enésimo término de la progresión usando tal fórmula, tenemos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, deja. Entonces:

Bueno, ahora está claro cuál es la fórmula.

En cada línea, sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Para qué? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más cómodo ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentre la fórmula para el término n y encuentre el término centésimo.

Decisión:

El primer miembro es igual. ¿Y cual es la diferencia? Y esto es lo que:

(después de todo, se llama la diferencia porque es igual a la diferencia de los miembros sucesivos de la progresión).

Así que la fórmula es:

Entonces el centésimo término es:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales de a?

Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, siendo un niño de 9 años, calculó esta cantidad en pocos minutos. Se dio cuenta de que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de estos hay? Así es, exactamente la mitad del número de todos los números, eso es. Asi que,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos números de dos dígitos, múltiplos.

Decisión:

El primero de esos números es este. Cada siguiente se obtiene sumando un número al anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

La fórmula para el enésimo término de esta progresión es:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos deben tener dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Responder: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el atleta corre 1m más que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros correrá en semanas si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre más kilómetros cada día que el anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días tiene que conducir para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá el último día del viaje?
3. El precio de un refrigerador en la tienda se reduce en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Necesitas determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Responder:
2. Aquí es dado:, es necesario encontrar.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, así que la respuesta.
   Calculemos la distancia recorrida durante el último día usando la fórmula del -ésimo término:
   (km).
   Responder:

3. Dado: . Encontrar: .
   No se vuelve más fácil:
   (frotar).
   Responder:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética es creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

La fórmula para encontrar el n-ésimo miembro de una progresión aritmética

se escribe como una fórmula, donde es el número de números en la progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética

Hace que sea fácil encontrar un miembro de la progresión si se conocen los miembros vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

La suma de los miembros de una progresión aritmética.

Hay dos formas de encontrar la suma:

Donde está el número de valores.

Donde está el número de valores.

Los problemas de progresión aritmética han existido desde la antigüedad. Aparecieron y exigieron una solución, porque tenían una necesidad práctica.

Entonces, en uno de los papiros antiguo Egipto, que tiene contenido matemático -el papiro Rhind (siglo XIX aC)- contiene la siguiente tarea: dividir diez medidas de pan en diez personas, siempre que la diferencia entre cada una de ellas sea un octavo de medida.

Y en las obras matemáticas de los antiguos griegos hay elegantes teoremas relacionados con la progresión aritmética. Así, Hipsicles de Alejandría (siglo II, que recopiló muchos problemas interesantes y agregó el libro decimocuarto a los "Elementos" de Euclides), formuló la idea: "En una progresión aritmética con un número par de miembros, la suma de los miembros de la 2ª mitad es mayor que la suma de los miembros de la 1a por el cuadrado de 1/2 miembros.

Se denota la secuencia an. Los números de la secuencia se denominan sus miembros y generalmente se denotan con letras con índices que indican el número de serie de este miembro (a1, a2, a3... se lee: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd ” y así sucesivamente).

La secuencia puede ser infinita o finita.

¿Qué es una progresión aritmética? Se entiende que se obtiene sumando el término anterior (n) con el mismo número d, que es la diferencia de la progresión.

si<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, entonces se considera que tal progresión es creciente.

Se dice que una progresión aritmética es finita si solo se tienen en cuenta algunos de sus primeros términos. muy en numeros grandes los miembros ya están progresión infinita.

Cualquier progresión aritmética viene dada por la siguiente fórmula:

an =kn+b, mientras que b y k son algunos números.

La afirmación, que es lo contrario, es absolutamente cierta: si la secuencia está dada por una fórmula similar, entonces esta es exactamente una progresión aritmética, que tiene las propiedades:

1. Cada miembro de la progresión es la media aritmética del miembro anterior y el siguiente.
2. Lo contrario: si a partir del 2º cada término es la media aritmética del término anterior y del siguiente, es decir si se cumple la condición, entonces la sucesión dada es una progresión aritmética. Esta igualdad es también un signo de progresión, por lo que suele llamarse una propiedad característica de la progresión.
   Del mismo modo, el teorema que refleja esta propiedad es cierto: una sucesión es una progresión aritmética sólo si esta igualdad es cierta para cualquiera de los miembros de la sucesión, a partir del 2º.

La propiedad característica de cuatro números cualesquiera de una progresión aritmética se puede expresar mediante la fórmula an + am = ak + al si n + m = k + l (m, n, k son los números de la progresión).

En una progresión aritmética, cualquier término necesario (Nth) se puede encontrar aplicando la siguiente fórmula:

Por ejemplo: el primer término (a1) en una progresión aritmética está dado y es igual a tres, y la diferencia (d) es igual a cuatro. Necesitas encontrar el cuadragésimo quinto término de esta progresión. a45 = 1+4(45-1)=177

La fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo miembro progresión aritmética a través de cualquiera de sus k-ésimo término, siempre que sea conocido.

La suma de los miembros de una progresión aritmética (asumiendo que los primeros n miembros progresión finita) se calcula de la siguiente manera:

Sn = (a1+an)n/2.

Si también se conoce el primer término, entonces es conveniente otra fórmula para el cálculo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La suma de una progresión aritmética que contiene n términos se calcula de la siguiente manera:

La elección de fórmulas para los cálculos depende de las condiciones de las tareas y los datos iniciales.

Serie natural de cualquier número como 1,2,3,...,n,...- el ejemplo mas simple progresión aritmética.

Además de la progresión aritmética, también existe la geométrica, que tiene sus propias propiedades y características.

Muchos han oído hablar de una progresión aritmética, pero no todo el mundo es muy consciente de lo que es. En este artículo, daremos la definición correspondiente y también consideraremos la cuestión de cómo encontrar la diferencia de una progresión aritmética y daremos una serie de ejemplos.

Definición matemática

Entonces, si estamos hablando de una progresión aritmética o algebraica (estos conceptos definen lo mismo), entonces esto significa que hay algo serie de números satisfactorio siguiente ley: cada dos números adyacentes en la serie difieren en la misma cantidad. Matemáticamente, esto se escribe así:

Aquí n significa el número del elemento a n en la secuencia, y el número d es la diferencia de la progresión (su nombre se deriva de la fórmula presentada).

¿Qué significa conocer la diferencia d? Acerca de qué tan separados están los números adyacentes. Sin embargo, el conocimiento de d es una condición necesaria pero no suficiente para determinar (restaurar) toda la progresión. Necesita saber un número más, que puede ser absolutamente cualquier elemento de la serie en consideración, por ejemplo, un 4, a10, pero, como regla, se usa el primer número, es decir, un 1.

Fórmulas para determinar los elementos de la progresión.

En general, la información anterior ya es suficiente para pasar a la solución de problemas específicos. Sin embargo, antes de dar una progresión aritmética, y será necesario encontrar su diferencia, presentamos un par de fórmulas útiles, que facilitarán el proceso posterior de resolución de problemas.

Es fácil mostrar que cualquier elemento de la secuencia con el número n se puede encontrar de la siguiente manera:

un norte \u003d un 1 + (n - 1) * re

De hecho, todos pueden verificar esta fórmula con una simple enumeración: si sustituyes n = 1, entonces obtienes el primer elemento, si sustituyes n = 2, entonces la expresión da la suma del primer número y la diferencia, y así sucesivamente. .

Las condiciones de muchos problemas se compilan de tal manera que para un par de números conocidos, cuyos números también se dan en la secuencia, es necesario restaurar la serie de números completa (encontrar la diferencia y el primer elemento). Ahora resolveremos este problema de forma general.

Entonces, digamos que nos dan dos elementos con los números n y m. Usando la fórmula obtenida arriba, podemos componer un sistema de dos ecuaciones:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un metro = un 1 + (m - 1) * re

Para encontrar cantidades desconocidas, usamos un método simple bien conocido para resolver un sistema de este tipo: restamos las partes izquierda y derecha en pares, mientras que la igualdad sigue siendo válida. Tenemos:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un norte - un metro = (n - 1) * re - (m - 1) * re = re * (n - metro)

Así, hemos eliminado una incógnita (un 1). Ahora podemos escribir la expresión final para determinar d:

d = (un n - un m) / (n - m), donde n > m

Hemos obtenido una fórmula muy simple: para calcular la diferencia d de acuerdo con las condiciones del problema, solo es necesario tomar la relación de las diferencias entre los elementos mismos y sus números de serie. debe centrarse en uno punto importante nota: las diferencias se toman entre los miembros "superiores" e "inferiores", es decir, n > m ("superior" significa estar más lejos del comienzo de la secuencia, su valor absoluto puede ser mayor o menor que el "menor" " elemento) .

La expresión de la diferencia d de la progresión debe sustituirse en cualquiera de las ecuaciones al inicio de la solución del problema para obtener el valor del primer término.

En nuestra era de desarrollo de la tecnología informática, muchos escolares intentan encontrar soluciones a sus tareas en Internet, por lo que a menudo surgen preguntas de este tipo: encontrar la diferencia de una progresión aritmética en línea. Ante tal solicitud, el motor de búsqueda mostrará una serie de páginas web, al ir a las cuales deberá ingresar los datos conocidos de la condición (pueden ser dos miembros de la progresión o la suma de algunos de ellos) y obtener una respuesta al instante. Sin embargo, tal enfoque para resolver el problema es improductivo en términos del desarrollo del estudiante y la comprensión de la esencia de la tarea que se le ha asignado.

Solución sin usar fórmulas

Resolvamos el primer problema, mientras que no usaremos ninguna de las fórmulas anteriores. Sean dados los elementos de la serie: a6 = 3, a9 = 18. Encuentra la diferencia de la progresión aritmética.

Los elementos conocidos están cerca uno del otro en una fila. ¿Cuántas veces se debe sumar la diferencia d al menor para obtener el mayor? Tres veces (la primera vez que agregamos d, obtenemos el séptimo elemento, la segunda vez, el octavo, finalmente, la tercera vez, el noveno). ¿Qué número hay que sumar tres veces tres para obtener 18? Este es el número cinco. En realidad:

Por lo tanto, la diferencia desconocida es d = 5.

Por supuesto, la solución podría hacerse usando la fórmula adecuada, pero esto no se hizo intencionalmente. Una explicación detallada de la solución del problema debe convertirse en un ejemplo claro y vívido de lo que es una progresión aritmética.

Una tarea similar a la anterior.

Ahora resolvamos un problema similar, pero cambiemos los datos de entrada. Entonces, debes encontrar si a3 = 2, a9 = 19.

Por supuesto, puede recurrir nuevamente al método de resolución "en la frente". Pero como se dan los elementos de la serie, que están relativamente separados, tal método no es muy conveniente. Pero usar la fórmula resultante nos llevará rápidamente a la respuesta:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

Aquí hemos redondeado el número final. La medida en que este redondeo condujo a un error se puede juzgar comprobando el resultado:

un 9 \u003d un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Este resultado difiere solo en un 0,1% del valor dado en la condición. Por lo tanto, el redondeo a las centésimas puede considerarse una buena opción.

Tareas para aplicar la fórmula para un miembro

Considerar ejemplo clásico tareas para determinar la incógnita d: encontrar la diferencia de la progresión aritmética si a1 = 12, a5 = 40.

Cuando se dan dos números de una secuencia algebraica desconocida, y uno de ellos es el elemento a 1 , entonces no necesita pensar mucho, pero debe aplicar inmediatamente la fórmula para el miembro a n. En este caso tenemos:

un 5 = un 1 + re * (5 - 1) => re = (un 5 - un 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Obtuvimos el número exacto al dividir, por lo que no tiene sentido verificar la precisión del resultado calculado, como se hizo en el párrafo anterior.

Resolvamos otro problema similar: debemos encontrar la diferencia de la progresión aritmética si a1 = 16, a8 = 37.

Usamos un enfoque similar al anterior y obtenemos:

un 8 = un 1 + re * (8 - 1) => re = (un 8 - un 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Qué más debes saber sobre la progresión aritmética

Además de las tareas de encontrar una diferencia desconocida o elementos individuales, a menudo es necesario resolver problemas de la suma de los primeros términos de una sucesión. La consideración de estos problemas está más allá del alcance del tema del artículo, sin embargo, para completar la información, presentamos una fórmula general para la suma de n números de la serie:

∑ norte yo = 1 (un yo) = norte * (un 1 + un norte) / 2

La suma de una progresión aritmética.

La suma de una progresión aritmética es una cosa simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. De elemental a bastante sólido.

Primero, tratemos el significado y la fórmula de la suma. Y luego decidiremos. Para su propio placer.) El significado de la suma es tan simple como mugir. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesita sumar cuidadosamente todos sus miembros. Si estos términos son pocos, puede agregarlos sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho... además es molesto.) En este caso, la fórmula guarda.

La fórmula de la suma es simple:

Averigüemos qué tipo de letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho.

S norte es la suma de una progresión aritmética. resultado de la suma todos miembros, con primero sobre ultimo. Es importante. suma exactamente todos miembros en fila, sin huecos ni saltos. Y, exactamente, a partir de primero. En problemas como encontrar la suma de los términos tercero y octavo, o la suma de los términos cinco al vigésimo, la aplicación directa de la fórmula será decepcionante).

un 1 - primero miembro de la progresión. Todo está claro aquí, es simple. primero numero de fila.

un- ultimo miembro de la progresión. El último número de la fila. No es un nombre muy familiar, pero, cuando se aplica a la cantidad, es muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.

norte es el número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de términos añadidos.

Definamos el concepto ultimo miembro un. Pregunta de relleno: ¿qué tipo de miembro ultimo, si se da interminable¿progresión aritmética?

Para una respuesta segura, debe comprender el significado elemental de una progresión aritmética y ... ¡lea la tarea con cuidado!)

En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debe ser limitado. De lo contrario, una cantidad finita y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa qué tipo de progresión se dé: finita o infinita. No importa cómo se dé: por una serie de números, o por la fórmula del n-ésimo miembro.

Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el término con el número norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula se ve así: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, i.e. norte, está determinada únicamente por la tarea. En la tarea todo esto Información valiosa a menudo encriptados, sí... Pero está bien, en los ejemplos a continuación revelaremos estos secretos).

Ejemplos de tareas para la suma de una progresión aritmética.

Ante todo, informacion util:

La principal dificultad en las tareas de suma de una progresión aritmética es la correcta determinación de los elementos de la fórmula.

Los autores de las asignaciones encriptan estos mismos elementos con una imaginación ilimitada). Lo principal aquí es no tener miedo. Al comprender la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Echemos un vistazo a algunos ejemplos en detalle. Comencemos con una tarea basada en un GIA real.

1. La progresión aritmética viene dada por la condición: a n = 2n-3.5. Encuentra la suma de los primeros 10 términos.

Buen trabajo. Fácil.) Para determinar la cantidad según la fórmula, ¿qué necesitamos saber? primer miembro un 1, ultimo plazo un, sí el número del último término norte.

Dónde obtener el último número de miembro norte? ¡Sí, en el mismo lugar, en las condiciones! dice hallar la suma primeros 10 miembros. Bueno, ¿qué número será? ultimo, décimo miembro?) No lo vas a creer, ¡su número es el décimo!) Por lo tanto, en lugar de un vamos a sustituir en la formula un 10, pero en vez norte- diez. Nuevamente, el número del último miembro es el mismo que el número de miembros.

Queda por determinar un 1 y un 10. Esto se calcula fácilmente mediante la fórmula del término n, que se da en el enunciado del problema. ¿No sabes cómo hacerlo? Visite la lección anterior, sin esto, nada.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S norte = S 10.

Descubrimos el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Queda por sustituirlos, y contar:

Eso es todo al respecto. Respuesta: 75.

Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:

2. Dada una progresión aritmética (a n), cuya diferencia es 3,7; un 1 \u003d 2.3. Encuentra la suma de los primeros 15 términos.

Inmediatamente escribimos la fórmula de la suma:

Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier miembro por su número. Estamos buscando una sustitución simple:

un 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Queda por sustituir todos los elementos de la fórmula por la suma de una progresión aritmética y calcular la respuesta:

Respuesta: 423.

Por cierto, si en la fórmula de la suma en lugar de un simplemente sustituimos la fórmula del enésimo término, obtenemos:

Damos similares, obtenemos una nueva fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética:

Como puede ver, el término n no es necesario aquí. un. En algunas tareas, esta fórmula ayuda mucho, sí ... Puedes recordar esta fórmula. Y simplemente puede retirarlo en el momento adecuado, como aquí. Después de todo, la fórmula para la suma y la fórmula para el término n deben recordarse en todos los sentidos).

Ahora la tarea en forma de un cifrado corto):

3. Encuentra la suma de todos los números positivos de dos dígitos que son múltiplos de tres.

¡Cómo! Sin primer miembro, sin último, sin progresión en absoluto... ¿¡Cómo vivir!?

Tendrás que pensar con la cabeza y sacar todos los elementos de la suma de una progresión aritmética de la condición. ¿Qué son los números de dos dígitos? Lo sabemos. Constan de dos números). ¿Qué número de dos dígitos primero? 10, presumiblemente). última cosa número de dos dígitos? 99, por supuesto! Los de tres dígitos le seguirán...

Múltiplos de tres... Hm... ¡Estos son números que son divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible... 12... ¡es divisible! Entonces, algo está surgiendo. Ya puedes escribir una serie según la condición del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Ciertamente! Cada término difiere del anterior estrictamente en tres. Si se suma 2 o 4 al término, por ejemplo, el resultado, es decir, un nuevo número ya no se dividirá por 3. Inmediatamente puede determinar la diferencia de la progresión aritmética al montón: re = 3.¡Útil!)

Entonces, podemos anotar con seguridad algunos parámetros de progresión:

cual sera el numero norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que 99 está fatalmente equivocado... Números: siempre van en fila, y nuestros miembros saltan sobre los tres primeros. No coinciden.

Hay dos soluciones aquí. Una forma es para los súper trabajadores. Puede pintar la progresión, toda la serie de números y contar la cantidad de miembros con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Necesitas recordar la fórmula para el término n. Si la fórmula se aplica a nuestro problema, obtenemos que 99 es el trigésimo miembro de la progresión. Aquellas. n = 30.

Nos fijamos en la fórmula para la suma de una progresión aritmética:

Miramos y nos regocijamos). Sacamos todo lo necesario para calcular la cantidad de la condición del problema:

un 1= 12.

un 30= 99.

S norte = S 30.

Lo que queda es aritmética elemental. Sustituye los números en la fórmula y calcula:

Respuesta: 1665

Otro tipo de rompecabezas populares:

4. Se da una progresión aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encuentra la suma de los términos del vigésimo al trigésimo cuarto.

Miramos la fórmula de la suma y ... estamos molestos). La fórmula, déjame recordarte, calcula la suma desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el veinte... La fórmula no funcionará.

Por supuesto, puede pintar toda la progresión en una fila y colocar los miembros del 20 al 34. Pero ... de alguna manera resulta estúpido y durante mucho tiempo, ¿verdad?)

Hay mas solución elegante. Vamos a dividir nuestra serie en dos partes. La primera parte será desde el primer trimestre hasta el decimonoveno. Segunda parte - veinte a treinta y cuatro. Es claro que si calculamos la suma de los términos de la primera parte T 1-19, vamos a sumarlo a la suma de los miembros de la segunda parte S 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer término hasta el trigésimo cuarto T 1-34. Me gusta esto:

T 1-19 + S 20-34 = T 1-34

Esto demuestra que para encontrar la suma S 20-34 se puede hacer por simple resta

S 20-34 = T 1-34 - T 1-19

Ambas sumas en el lado derecho se consideran desde el principio miembro, es decir aplicable a ellos fórmula estándar montos ¿Estamos empezando?

Extraemos los parámetros de progresión de la condición de la tarea:

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Para calcular las sumas de los primeros 19 y los primeros 34 términos, necesitaremos los términos 19 y 34. Los contamos según la fórmula del término n, como en el problema 2:

un 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

un 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

No queda nada. Resta la suma de 19 términos de la suma de 34 términos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Respuesta: 262.5

Uno nota IMPORTANTE! Hay una característica muy útil para resolver este problema. En lugar de cálculo directo lo que necesitas (E 20-34), contamos lo que, al parecer, no es necesario - S 1-19. Y luego determinaron S 20-34, descartando lo innecesario del resultado total. Tal "finta con las orejas" a menudo salva en acertijos malvados).

En esta lección, examinamos problemas para los cuales es suficiente comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas saber un par de fórmulas.)

Consejo practico:

Al resolver cualquier problema de la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente las dos fórmulas principales de este tema.

Fórmula del enésimo término:

Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar, en qué dirección pensar para resolver el problema. ayuda

Y ahora las tareas para la solución independiente.

5. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.

¿Genial?) La pista está oculta en la nota del problema 4. Bueno, el problema 3 ayudará.

6. La progresión aritmética viene dada por la condición: a 1 =-5,5; un n+1 = un n +0.5. Encuentra la suma de los primeros 24 términos.

¿Inusual?) Esta es una fórmula recurrente. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el enlace, tales acertijos se encuentran a menudo en el GIA.

7. Vasya ahorró dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a la persona más querida (yo mismo) unos días de felicidad). Vive bellamente sin negarte nada. ¡Gasta 500 rublos el primer día y gasta 50 rublos más cada día siguiente que el anterior! Hasta que se acaba el dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?

¿Es difícil?) Una fórmula adicional de la tarea 2 ayudará.

Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Alguien trata la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las secciones de matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del mostrador de taxis (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que "comprender la esencia") de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.

Secuencia numérica matemática

Se acostumbra llamar secuencia numérica a una serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

y 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo miembro de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el n-ésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de cifras y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del n-ésimo miembro está relacionado con su número ordinal mediante una dependencia que se puede formular matemáticamente con claridad. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es alguna función de n.

a - valor de un miembro de la secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el n-ésimo miembro de una sucesión aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - la fórmula del siguiente número;

d - diferencia (un cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie bajo consideración será mayor que el anterior, y tal progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

El valor del miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de algún término arbitrario de una progresión aritmética. Puedes hacerlo calculando sucesivamente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, esta forma no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cincomilésima u ochomillonésima. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica usando ciertas fórmulas. También hay una fórmula para el término n: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer miembro de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del miembro requerido, menos uno .

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer miembro de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: es necesario encontrar el valor de 214 términos

Solución: para determinar el valor de un miembro dado, usamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El miembro 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número dado de términos

Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Tampoco necesita calcular los valores de cada término y luego resumirlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma se debe encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los miembros de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma de los miembros primero y n, multiplicada por el miembro número n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del n-ésimo miembro por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la sucesión es cero;

La diferencia es 0,5.

En el problema se requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Decisión. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Obviamente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 a S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Entonces, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: un taxímetro (taxi taxímetro). Consideremos tal ejemplo.

Subirse a un taxi (que incluye 3 km) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de recorrido 30 km. Calcular el costo del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

El número de miembro es el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 p.

el número que nos interesa - el valor del (27 + 1) miembro de la progresión aritmética - la lectura del medidor al final del kilómetro 27 - 27.999 ... = 28 km.

un 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Los cálculos de datos de calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es la geométrica.

Una progresión geométrica se caracteriza por una gran tasa de cambio en comparación con una aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, muchas veces, para mostrar la alta velocidad de propagación de un determinado fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, se diga que el proceso se desarrolla exponencialmente.

El N-ésimo miembro de la serie de números geométricos difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer miembro es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;

b n+1 - la fórmula del siguiente miembro de la progresión geométrica;

q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica dibuja una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un miembro arbitrario. Cualquier n-ésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término y el denominador de la progresión a la potencia de n reducido por uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentre el quinto término de la progresión.

segundo 5 \u003d segundo 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

La suma de un número dado de miembros también se calcula usando una fórmula especial. La suma de los primeros n miembros de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del n-ésimo miembro de la progresión y su denominador y el primer miembro de la progresión, dividido por el denominador menos uno:

Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n miembros de la serie de números considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece igual a 3. Hallemos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280