En esta lección, derivaremos la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética finita y resolveremos algunos problemas usando esta fórmula.
Tema: Progresiones
Lección: La fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética finita
1. Introducción
Considere el problema: encuentre la suma de los números naturales del 1 al 100 inclusive.
Dado: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.
Encuentre: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Solución: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.
Respuesta: 5050.
La secuencia de números naturales 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 es progresión aritmética: a1=1, d=1.
Hemos encontrado la suma de los primeros cien números naturales, es decir, la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética.
La solución considerada fue propuesta por el gran matemático Carl Friedrich Gauss, que vivió en el siglo XIX. El problema fue resuelto por él a la edad de 5 años.
Referencia histórica: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matemático, mecánico, físico y astrónomo alemán. Considerado uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, "el rey de los matemáticos". Laureado con la medalla Copley (1838), miembro extranjero de las Academias de Ciencias Sueca (1821) y Rusa (1824), de la Royal Society Inglesa. Según la leyenda, un maestro de matemáticas de la escuela, para mantener a los niños ocupados durante mucho tiempo, sugirió que calcularan la suma de los números del 1 al 100. El joven Gauss notó que las sumas por pares de opuesto a opuesto son iguales: 1+100 =101, 2+99=101, etc. e instantáneamente obtuve el resultado: 101x50=5050.
2. Derivación de la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
Considere un problema similar para una progresión aritmética arbitraria.
Hallar: la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética.
Demostremos que todas las expresiones entre paréntesis son iguales entre sí, es decir, a la expresión . Sea d la diferencia de una progresión aritmética. Entonces:
Y así sucesivamente Por lo tanto, podemos escribir:
¿De dónde sacamos la fórmula para la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética?
.
3. Resolución de problemas sobre la aplicación de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
1. Resolver el problema de la suma de los números naturales del 1 al 100 utilizando la fórmula de la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética:
Solución: a1=1, d=1, n=100.
Formula general:
.
En nuestro caso: .
Respuesta: 5050.
Formula general:
. Encontremos por la fórmula del n-ésimo miembro de la progresión aritmética: 
.
En nuestro caso: .
Para encontrar, primero necesitas encontrar.
Esto se puede hacer usando la fórmula general .Primero, aplica esta fórmula para encontrar la diferencia de una progresión aritmética.
es decir. 
. Significa .
Ahora podemos encontrar.
Usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
, encontremos .
4. Derivación de la segunda fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
Obtenemos la segunda fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética, a saber: demostramos que 
.
Prueba:
En la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética sustituyamos la expresión por , a saber . Obtenemos: , es decir . QED
Analicemos las fórmulas obtenidas. Para cálculos con la primera fórmula necesitas saber el primer término, el último término y n por la segunda fórmula - necesitas saber el primer término, la diferencia y n.
Finalmente, nótese que en cualquier caso Sn es una función cuadrática de n, porque 
.
5. Resolución de problemas sobre la aplicación de la segunda fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
Formula general:
.
En nuestro caso:.
Respuesta: 403.
2. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que son múltiplos de 4.
(12; 16; 20; ...; 96) - un conjunto de números que satisfacen la condición del problema.
Así que tenemos una progresión aritmética.
n encontrar a partir de la fórmula para:.
es decir. 
. Significa .
Usando la segunda fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
, encontremos .
Se requiere encontrar la suma de todos los términos del 10 al 25 inclusive.
Una forma de solucionarlo es la siguiente:
Por lo tanto, .
6. Resumen de la lección
Entonces, hemos derivado fórmulas para la suma de los miembros de una progresión aritmética finita. Estas fórmulas se han utilizado para resolver algunos problemas.
En la próxima lección, nos familiarizaremos con la propiedad característica de una progresión aritmética.
1. Makarychev Yu. N. et al. Álgebra grado 9 (libro de texto para la escuela secundaria).-M.: Educación, 1992.
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2. No. 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Colección de problemas de álgebra para los grados 8-9).
Al estudiar álgebra en una escuela secundaria (grado 9), uno de los temas importantes es el estudio de secuencias numéricas, que incluyen progresiones: geométricas y aritméticas. En este artículo, consideraremos una progresión aritmética y ejemplos con soluciones.
¿Qué es una progresión aritmética?
Para entender esto, es necesario dar una definición de la progresión bajo consideración, así como dar las fórmulas básicas que se usarán más adelante para resolver problemas.
Una progresión aritmética o algebraica es un conjunto de números racionales ordenados, cada uno de los cuales difiere del anterior en algún valor constante. Este valor se llama la diferencia. Es decir, conociendo cualquier miembro de una serie ordenada de números y la diferencia, se puede restaurar toda la progresión aritmética.
Tomemos un ejemplo. La siguiente secuencia de números será una progresión aritmética: 4, 8, 12, 16,..., ya que la diferencia en este caso es 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Pero el conjunto de números 3, 5, 8, 12, 17 ya no puede atribuirse al tipo de progresión considerado, ya que la diferencia para él no es un valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Fórmulas importantes
Ahora damos las fórmulas básicas que se necesitarán para resolver problemas usando una progresión aritmética. Sea n el miembro n de la sucesión, donde n es un número entero. La diferencia se denota con la letra latina d. Entonces las siguientes expresiones son verdaderas:
- Para determinar el valor del enésimo término, la fórmula es adecuada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Para determinar la suma de los n primeros términos: S n = (a n + a 1)*n/2.
Para entender cualquier ejemplo de progresión aritmética con solución en grado 9, basta recordar estas dos fórmulas, ya que cualquier problema del tipo en cuestión se construye sobre su uso. Además, no olvide que la diferencia de progresión está determinada por la fórmula: d = a n - a n-1 .
Ejemplo #1: Encontrar un miembro desconocido
Damos un ejemplo sencillo de una progresión aritmética y las fórmulas que se deben utilizar para resolver.
Deje que se dé la secuencia 10, 8, 6, 4, ..., es necesario encontrar cinco términos en ella.
Ya se deduce de las condiciones del problema que se conocen los primeros 4 términos. El quinto se puede definir de dos maneras:
- Primero calculemos la diferencia. Tenemos: d = 8 - 10 = -2. De manera similar, uno podría tomar otros dos términos cualquiera que estén uno al lado del otro. Por ejemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, entonces d \u003d a 5 - a 4, de donde obtenemos: a 5 \u003d a 4 + d. Sustituimos los valores conocidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- El segundo método también requiere el conocimiento de la diferencia de la progresión en cuestión, por lo que primero debe determinarla, como se muestra arriba (d = -2). Sabiendo que el primer término a 1 = 10, usamos la fórmula para el número n de la secuencia. Tenemos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Sustituyendo n = 5 en la última expresión, obtenemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Como puede ver, ambas soluciones conducen al mismo resultado. Tenga en cuenta que en este ejemplo la diferencia d de la progresión es negativa. Tales sucesiones se llaman decrecientes porque cada término sucesivo es menor que el anterior.
Ejemplo #2: diferencia de progresión
Ahora vamos a complicar un poco la tarea, dar un ejemplo de cómo
Se sabe que en algunos el primer término es igual a 6 y el séptimo término es igual a 18. Es necesario encontrar la diferencia y restaurar esta secuencia al séptimo término.
Usemos la fórmula para determinar el término desconocido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sustituimos los datos conocidos de la condición, es decir, los números a 1 y a 7, tenemos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de esta expresión, puedes calcular fácilmente la diferencia: d = (18 - 6) / 6 = 2. Así, se respondió la primera parte del problema.
Para restaurar la secuencia al 7mo miembro, debes usar la definición de una progresión algebraica, es decir, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, y así sucesivamente. Como resultado, restauramos la secuencia completa: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16 y 7 = 18.
Ejemplo #3: hacer una progresión
Compliquemos aún más la condición del problema. Ahora debe responder la pregunta de cómo encontrar una progresión aritmética. Podemos dar el siguiente ejemplo: se dan dos números, por ejemplo, el 4 y el 5. Es necesario hacer una progresión algebraica para que quepan tres términos más entre estos.
Antes de comenzar a resolver este problema, es necesario comprender qué lugar ocuparán los números dados en la progresión futura. Como habrá tres términos más entre ellos, entonces 1 \u003d -4 y 5 \u003d 5. Habiendo establecido esto, procedemos a una tarea similar a la anterior. Nuevamente, para el enésimo término, usamos la fórmula, obtenemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Aquí, la diferencia no es un valor entero, sino un número racional, por lo que las fórmulas para la progresión algebraica siguen siendo las mismas.
Ahora agreguemos la diferencia encontrada a 1 y restablezcamos los miembros faltantes de la progresión. Obtenemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, que coincidió con la condición del problema.
Ejemplo #4: El primer miembro de la progresión
Seguimos dando ejemplos de progresión aritmética con solución. En todos los problemas anteriores se conocía el primer número de la progresión algebraica. Ahora considere un problema de un tipo diferente: sean dos números dados, donde 15 = 50 y 43 = 37. Es necesario encontrar a partir de qué número comienza esta secuencia.
Las fórmulas que se han utilizado hasta ahora asumen el conocimiento de a 1 y d. No se sabe nada acerca de estos números en la condición del problema. Sin embargo, escribamos las expresiones para cada término sobre el que tenemos información: a 15 = a 1 + 14 * d y a 43 = a 1 + 42 * d. Tenemos dos ecuaciones en las que hay 2 cantidades desconocidas (a 1 y d). Esto significa que el problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales.
El sistema especificado es más fácil de resolver si expresa un 1 en cada ecuación y luego compara las expresiones resultantes. Primera ecuación: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda ecuación: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando estas expresiones, obtenemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de donde la diferencia d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (solo se dan 3 decimales).
Conociendo d, puedes usar cualquiera de las 2 expresiones anteriores para 1 . Por ejemplo, primero: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Si hay dudas sobre el resultado, puede verificarlo, por ejemplo, determinar el miembro 43 de la progresión, que se especifica en la condición. Obtenemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Un pequeño error se debe al hecho de que se utilizó el redondeo a las milésimas en los cálculos.
Ejemplo #5: Suma
Ahora veamos algunos ejemplos con soluciones para la suma de una progresión aritmética.
Sea dada una progresión numérica de la siguiente forma: 1, 2, 3, 4, ...,. ¿Cómo calcular la suma de 100 de estos números?
Gracias al desarrollo de la tecnología informática, este problema se puede resolver, es decir, sumar secuencialmente todos los números, lo que hará la computadora tan pronto como una persona presione la tecla Intro. Sin embargo, el problema se puede resolver mentalmente si presta atención a que la serie de números presentada es una progresión algebraica y su diferencia es 1. Aplicando la fórmula para la suma, obtenemos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Es curioso notar que a este problema se le llama “Gaussiano”, ya que a principios del siglo XVIII el célebre alemán, aún con tan solo 10 años, fue capaz de resolverlo en su mente en pocos segundos. El niño no conocía la fórmula de la suma de una progresión algebraica, pero notó que si sumas pares de números ubicados en los bordes de la secuencia, siempre obtienes el mismo resultado, es decir, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., y dado que estas sumas serán exactamente 50 (100 / 2), entonces para obtener la respuesta correcta, basta con multiplicar 50 por 101.
Ejemplo #6: suma de términos de n a m
Otro ejemplo típico de la suma de una progresión aritmética es el siguiente: dada una serie de números: 3, 7, 11, 15, ..., necesitas encontrar cuál será la suma de sus términos del 8 al 14.
El problema se resuelve de dos maneras. El primero de ellos consiste en encontrar términos desconocidos del 8 al 14, y luego resumirlos secuencialmente. Dado que hay pocos términos, este método no es lo suficientemente laborioso. Sin embargo, se propone resolver este problema por el segundo método, que es más universal.
La idea es obtener una fórmula para la suma de una progresión algebraica entre los términos m y n, donde n > m son números enteros. Para ambos casos, escribimos dos expresiones para la suma:
- S m \u003d m * (un m + un 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Como n > m, es obvio que la suma de 2 incluye a la primera. La última conclusión significa que si tomamos la diferencia entre estas sumas y le agregamos el término a m (en el caso de tomar la diferencia, se resta de la suma S n), entonces obtenemos la respuesta necesaria al problema. Tenemos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + un n * n / 2 + un m * (1- m / 2). Es necesario sustituir fórmulas para a n y a m en esta expresión. Entonces obtenemos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = un 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re * (3 * metro - metro 2 - 2) / 2.
La fórmula resultante es algo engorrosa, sin embargo, la suma S mn depende solo de n, m, a 1 y d. En nuestro caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sustituyendo estos números, obtenemos: S mn = 301.
Como puede verse en las soluciones anteriores, todos los problemas se basan en el conocimiento de la expresión del término n y la fórmula de la suma del conjunto de los primeros términos. Antes de comenzar a resolver cualquiera de estos problemas, se recomienda que lea atentamente la condición, comprenda claramente lo que desea encontrar y solo luego continúe con la solución.
Otro consejo es buscar la simplicidad, es decir, si puede responder la pregunta sin usar cálculos matemáticos complejos, entonces debe hacer precisamente eso, ya que en este caso la probabilidad de cometer un error es menor. Por ejemplo, en el ejemplo de una progresión aritmética con la solución No. 6, uno podría detenerse en la fórmula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, y divida la tarea general en subtareas separadas (en este caso, primero busque los términos a n y a m).
Si hay dudas sobre el resultado obtenido, se recomienda comprobarlo, como se ha hecho en algunos de los ejemplos dados. Cómo encontrar una progresión aritmética, descubierto. Una vez que lo descubres, no es tan difícil.
Tipo de lección: aprendiendo material nuevo.
Objetivos de la lección:
- expansión y profundización de las ideas de los estudiantes sobre tareas resueltas usando progresión aritmética; organización de la actividad de búsqueda de los estudiantes al derivar la fórmula para la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
- desarrollo de habilidades para adquirir nuevos conocimientos de forma independiente, utilizar los conocimientos ya adquiridos para lograr la tarea;
- desarrollo del deseo y necesidad de generalizar los hechos obtenidos, desarrollo de la independencia.
Tareas:
- generalizar y sistematizar los conocimientos existentes sobre el tema “Progresión aritmética”;
- derivar fórmulas para calcular la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
- enseñar cómo aplicar las fórmulas obtenidas para resolver varios problemas;
- llamar la atención de los estudiantes sobre el procedimiento para encontrar el valor de una expresión numérica.
Equipo:
- tarjetas con tareas para trabajar en grupos y parejas;
- papel de evaluación;
- presentación"Progresión aritmética".
I. Actualización de conocimientos básicos.
1. Trabajo independiente en parejas.
1ra opción:
Defina una progresión aritmética. Escriba una fórmula recursiva que defina una progresión aritmética. Da un ejemplo de una progresión aritmética e indica su diferencia.
2da opción:
Escribe la fórmula del término n de una progresión aritmética. Encuentre el término 100 de una progresión aritmética ( un}: 2, 5, 8 …
En este momento, dos estudiantes en la parte posterior de la pizarra están preparando respuestas para las mismas preguntas.
Los estudiantes evalúan el trabajo del compañero comparándolo con la pizarra. (Se entregan folletos con las respuestas).
2. Momento del juego.
Ejercicio 1.
Maestro. Concebí una progresión aritmética. Hazme solo dos preguntas para que después de las respuestas puedas nombrar rápidamente al 7º miembro de esta progresión. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Preguntas de los estudiantes.
- ¿Cuál es el sexto término de la progresión y cuál es la diferencia?
- ¿Cuál es el octavo término de la progresión y cuál es la diferencia?
Si no hay más preguntas, entonces el maestro puede estimularlas: una "prohibición" de d (diferencia), es decir, no está permitido preguntar cuál es la diferencia. Puede hacer preguntas: ¿cuál es el sexto término de la progresión y cuál es el octavo término de la progresión?
Tarea 2.
Hay 20 números escritos en la pizarra: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
El profesor está de espaldas a la pizarra. Los estudiantes dicen el número del número y el maestro llama inmediatamente al número. Explique como puedo hacerlo?
El profesor recuerda la fórmula del término n un n \u003d 3n - 2 y, sustituyendo los valores dados de n, encuentra los valores correspondientes un .
II. Enunciado de la tarea educativa.
Propongo resolver un viejo problema que data del segundo milenio antes de Cristo, encontrado en papiros egipcios.
Tarea:“Que os sea dicho: repartid 10 medidas de cebada entre 10 personas, la diferencia entre cada persona y su vecino es 1/8 de la medida”.
- ¿Cómo se relaciona este problema con el tema de la progresión aritmética? (Cada siguiente persona obtiene 1/8 de la medida más, por lo que la diferencia es d=1/8, 10 personas, por lo que n=10).
- ¿Qué crees que significa el número 10? (La suma de todos los miembros de la progresión.)
- ¿Qué más necesita saber para que sea fácil y simple dividir la cebada según la condición del problema? (El primer término de la progresión.)
Objetivo de la lección- obtener la dependencia de la suma de los términos de la progresión con su número, el primer término y la diferencia, y comprobar si el problema se resolvía correctamente en la antigüedad.
Antes de derivar la fórmula, veamos cómo los antiguos egipcios resolvieron el problema.
Y lo resolvieron así:
1) 10 medidas: 10 = 1 medida - cuota media;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - doblado promedio Cuota.
duplicado promedio la cuota es la suma de las cuotas de la 5ª y 6ª persona.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - el doble de la parte de la quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la parte del quinto; y así sucesivamente, puede encontrar la participación de cada persona anterior y posterior.
Obtenemos la secuencia:
tercero La solución de la tarea.
1. Trabajar en grupo
1er grupo: Encuentra la suma de 20 números naturales consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
En general 
II grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 100 (La leyenda de Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Conclusión:
III grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 21.
Solución: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Conclusión:
IV grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 101.
Conclusión:
Este método para resolver los problemas considerados se denomina "método de Gauss".
2. Cada grupo presenta la solución al problema en la pizarra.
3. Generalización de las soluciones propuestas para una progresión aritmética arbitraria:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Encontramos esta suma argumentando de manera similar:
4. ¿Hemos resuelto la tarea?(Sí.)
IV. Comprensión primaria y aplicación de las fórmulas obtenidas en la resolución de problemas.
1. Comprobación de la solución de un viejo problema por la fórmula.
2. Aplicación de la fórmula en la resolución de diversos problemas.
3. Ejercicios para la formación de la capacidad de aplicar la fórmula en la resolución de problemas.
A) Nº 613
Dado :( y N) - progresión aritmética;
(una n): 1, 2, 3, ..., 1500
Encontrar: $ 1500
Decisión: , y 1 = 1, y 1500 = 1500,
B) Dado: ( y N) - progresión aritmética;
(y n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Encontrar: norte
Decisión:
V. Trabajo independiente con verificación mutua.
Denis se puso a trabajar como mensajero. En el primer mes, su salario fue de 200 rublos, en cada mes subsiguiente aumentó en 30 rublos. ¿Cuánto ganó en un año?
Dado :( y N) - progresión aritmética;
1 = 200, d=30, n=12
Encontrar: S 12
Decisión:
Respuesta: Denis recibió 4380 rublos por año.
VI. Instrucción de tarea.
- Pág. 4.3 - aprender la derivación de la fórmula.
- №№ 585, 623 .
- Componga un problema que se resolvería usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
VIII. Resumiendo la lección.
1. Hoja de puntuación
2. Continuar las oraciones
- Hoy en clase aprendí...
- Fórmulas aprendidas...
- Pienso que …
3. ¿Puedes encontrar la suma de los números del 1 al 500? ¿Qué método usarás para resolver este problema?
Bibliografía.
1. Álgebra, 9º grado. Libro de texto para instituciones educativas. ed. GV Dorofeeva. Moscú: Ilustración, 2009.
La suma de una progresión aritmética.
La suma de una progresión aritmética es una cosa simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. De elemental a bastante sólido.
Primero, tratemos el significado y la fórmula de la suma. Y luego decidiremos. Para su propio placer.) El significado de la suma es tan simple como mugir. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesita sumar cuidadosamente todos sus miembros. Si estos términos son pocos, puede agregarlos sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho... además es molesto.) En este caso, la fórmula guarda.
La fórmula de la suma es simple:
Averigüemos qué tipo de letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho.
S norte es la suma de una progresión aritmética. resultado de la suma todos miembros, con primero sobre ultimo. Es importante. suma exactamente todos miembros en fila, sin huecos ni saltos. Y, exactamente, a partir de primero. En problemas como encontrar la suma de los términos tercero y octavo, o la suma de los términos cinco al vigésimo, la aplicación directa de la fórmula será decepcionante).
un 1 - primero miembro de la progresión. Todo está claro aquí, es simple. primero numero de fila.
un- ultimo miembro de la progresión. El último número de la fila. No es un nombre muy familiar, pero, cuando se aplica a la cantidad, es muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.
norte es el número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de términos añadidos.
Definamos el concepto ultimo miembro un. Pregunta de relleno: ¿qué tipo de miembro ultimo, si se da interminable¿progresión aritmética?
Para una respuesta segura, debe comprender el significado elemental de una progresión aritmética y ... ¡lea la tarea con cuidado!)
En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debe ser limitado. De lo contrario, una cantidad finita y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa qué tipo de progresión se dé: finita o infinita. No importa cómo se dé: por una serie de números, o por la fórmula del n-ésimo miembro.
Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el término con el número norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula se ve así: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, i.e. norte, está determinada únicamente por la tarea. En la tarea, toda esta valiosa información suele estar encriptada, sí... Pero nada, en los ejemplos a continuación revelaremos estos secretos.)
Ejemplos de tareas para la suma de una progresión aritmética.
En primer lugar, información útil:
La principal dificultad en las tareas de suma de una progresión aritmética es la correcta determinación de los elementos de la fórmula.
Los autores de las asignaciones encriptan estos mismos elementos con una imaginación ilimitada). Lo principal aquí es no tener miedo. Al comprender la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Echemos un vistazo a algunos ejemplos en detalle. Comencemos con una tarea basada en un GIA real.
1. La progresión aritmética viene dada por la condición: a n = 2n-3.5. Encuentra la suma de los primeros 10 términos.
Buen trabajo. Fácil.) Para determinar la cantidad según la fórmula, ¿qué necesitamos saber? primer miembro un 1, ultimo plazo un, sí el número del último término norte.
Dónde obtener el último número de miembro norte? ¡Sí, en el mismo lugar, en las condiciones! dice hallar la suma primeros 10 miembros. Bueno, ¿qué número será? ultimo, décimo miembro?) No lo vas a creer, ¡su número es el décimo!) Por lo tanto, en lugar de un vamos a sustituir en la formula un 10, pero en vez norte- diez. Nuevamente, el número del último miembro es el mismo que el número de miembros.
Queda por determinar un 1 y un 10. Esto se calcula fácilmente mediante la fórmula del término n, que se da en el enunciado del problema. ¿No sabes cómo hacerlo? Visite la lección anterior, sin esto, nada.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S norte = S 10.
Descubrimos el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Queda por sustituirlos, y contar:
Eso es todo al respecto. Respuesta: 75.
Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:
2. Dada una progresión aritmética (a n), cuya diferencia es 3,7; un 1 \u003d 2.3. Encuentra la suma de los primeros 15 términos.
Inmediatamente escribimos la fórmula de la suma:
Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier miembro por su número. Estamos buscando una sustitución simple:
un 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Queda por sustituir todos los elementos de la fórmula por la suma de una progresión aritmética y calcular la respuesta:
Respuesta: 423.
Por cierto, si en la fórmula de la suma en lugar de un simplemente sustituimos la fórmula del enésimo término, obtenemos:
Damos similares, obtenemos una nueva fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética:
 |
Como puede ver, el término n no es necesario aquí. un. En algunas tareas, esta fórmula ayuda mucho, sí ... Puedes recordar esta fórmula. Y simplemente puede retirarlo en el momento adecuado, como aquí. Después de todo, la fórmula para la suma y la fórmula para el término n deben recordarse en todos los sentidos).
Ahora la tarea en forma de un cifrado corto):
3. Encuentra la suma de todos los números positivos de dos dígitos que son múltiplos de tres.
¡Cómo! Sin primer miembro, sin último, sin progresión en absoluto... ¿¡Cómo vivir!?
Tendrás que pensar con la cabeza y sacar de la condición todos los elementos de la suma de una progresión aritmética. ¿Qué son los números de dos dígitos? Lo sabemos. Constan de dos números). ¿Qué número de dos dígitos primero? 10, presumiblemente). última cosa número de dos dígitos? 99, por supuesto! Los de tres dígitos le seguirán...
Múltiplos de tres... Hm... ¡Estos son números que son divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible... 12... ¡es divisible! Entonces, algo está surgiendo. Ya puedes escribir una serie según la condición del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Ciertamente! Cada término difiere del anterior estrictamente en tres. Si se suma 2 o 4 al término, por ejemplo, el resultado, es decir, un nuevo número ya no se dividirá por 3. Inmediatamente puede determinar la diferencia de la progresión aritmética al montón: re = 3.¡Útil!)
Entonces, podemos anotar con seguridad algunos parámetros de progresión:
cual sera el numero norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que 99 está fatalmente equivocado... Números: siempre van en fila, y nuestros miembros saltan sobre los tres primeros. No coinciden.
Hay dos soluciones aquí. Una forma es para los súper trabajadores. Puedes pintar la progresión, toda la serie de números y contar la cantidad de términos con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Necesitas recordar la fórmula para el término n. Si la fórmula se aplica a nuestro problema, obtenemos que 99 es el trigésimo miembro de la progresión. Aquellas. n = 30.
Nos fijamos en la fórmula para la suma de una progresión aritmética:
Miramos y nos regocijamos.) Sacamos todo lo necesario para calcular la cantidad de la condición del problema:
un 1= 12.
un 30= 99.
S norte = S 30.
Lo que queda es aritmética elemental. Sustituye los números en la fórmula y calcula:
Respuesta: 1665
Otro tipo de rompecabezas populares:
4. Se da una progresión aritmética:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Encuentra la suma de los términos del vigésimo al trigésimo cuarto.
Miramos la fórmula de la suma y ... estamos molestos). La fórmula, déjame recordarte, calcula la suma desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el veinte... La fórmula no funcionará.
Por supuesto, puede pintar toda la progresión en una fila y colocar los miembros del 20 al 34. Pero ... de alguna manera resulta estúpido y durante mucho tiempo, ¿verdad?)
Hay una solución más elegante. Vamos a dividir nuestra serie en dos partes. La primera parte será desde el primer trimestre hasta el decimonoveno. Segunda parte - veinte a treinta y cuatro. Es claro que si calculamos la suma de los términos de la primera parte T 1-19, vamos a sumarlo a la suma de los miembros de la segunda parte S 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer término hasta el trigésimo cuarto T 1-34. Me gusta esto:
T 1-19 + S 20-34 = T 1-34
Esto demuestra que para encontrar la suma S 20-34 se puede hacer por simple resta
S 20-34 = T 1-34 - T 1-19
Ambas sumas en el lado derecho se consideran desde el principio miembro, es decir la fórmula de suma estándar es bastante aplicable a ellos. ¿Estamos empezando?
Extraemos los parámetros de progresión de la condición de la tarea:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Para calcular las sumas de los primeros 19 y los primeros 34 términos, necesitaremos los términos 19 y 34. Los contamos según la fórmula del término n, como en el problema 2:
un 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
un 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
No queda nada. Resta la suma de 19 términos de la suma de 34 términos:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Respuesta: 262.5
¡Una nota importante! Hay una característica muy útil para resolver este problema. En lugar de cálculo directo lo que necesitas (E 20-34), contamos lo que, al parecer, no es necesario - S 1-19. Y luego determinaron S 20-34, descartando lo innecesario del resultado total. Tal "finta con las orejas" a menudo salva en acertijos malvados).
En esta lección, examinamos problemas para los cuales es suficiente comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas saber un par de fórmulas.)
Consejo practico:
Al resolver cualquier problema de la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente las dos fórmulas principales de este tema.
Fórmula del enésimo término:
Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar, en qué dirección pensar para resolver el problema. ayuda
Y ahora las tareas para la solución independiente.
5. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.
¿Genial?) La pista está oculta en la nota del problema 4. Bueno, el problema 3 ayudará.
6. La progresión aritmética viene dada por la condición: a 1 =-5,5; un n+1 = un n +0.5. Encuentra la suma de los primeros 24 términos.
¿Inusual?) Esta es una fórmula recurrente. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el enlace, tales acertijos se encuentran a menudo en el GIA.
7. Vasya ahorró dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a la persona más querida (yo mismo) unos días de felicidad). Vive bellamente sin negarte nada. ¡Gasta 500 rublos el primer día y gasta 50 rublos más cada día siguiente que el anterior! Hasta que se acaba el dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?
¿Es difícil?) Una fórmula adicional de la tarea 2 ayudará.
Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
SECUENCIAS NUMÉRICAS VI
§ 144. La suma de los miembros de una progresión aritmética
Dicen que una vez, un maestro de escuela primaria, que quería ocupar la clase durante mucho tiempo con trabajo independiente, les dio a los niños una tarea "difícil": calcular la suma de todos los números naturales del 1 al 100:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.
Uno de los estudiantes inmediatamente sugirió una solución. Aquí está.:
1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101
= 101 50 = 5050.
50 veces
Fue Carl Gauss, quien más tarde se convirtió en uno de los matemáticos más famosos del mundo*.
*En realidad ocurrió un caso similar con Gauss. Sin embargo, aquí está muy simplificado. Los números sugeridos por el profesor eran de cinco dígitos y componían una progresión aritmética con una diferencia de tres dígitos.
La idea de tal solución se puede utilizar para encontrar la suma de los términos de cualquier progresión aritmética.
Lema. La suma de dos términos de una progresión aritmética finita, equidistantes de los extremos, es igual a la suma de los términos extremos.
Por ejemplo, en una progresión aritmética finita
1, 2, 3.....98, 99, 100
los términos 2 y 99, 3 y 98, 4 y 97, etc. son equidistantes de los extremos de esta progresión. Por lo tanto, sus sumas 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 son iguales a la suma de los términos extremos 1 + 100.
Prueba del lema. Sea una progresión aritmética finita
un 1 , un 2 , ..., un norte - 1 , un norte
dos miembros cualesquiera están equidistantes de los extremos. Supongamos que uno de ellos es k -ésimo término de la izquierda, es decir un k , y el otro - k th término de la derecha, i.e. un norte -k+ uno . Entonces
un k + un norte -k+ 1 =[un 1 + (k - 1)d ] + [un 1 + (n - k )d ] = 2un 1 + (norte - 1)d .
La suma de los términos extremos de esta progresión es igual a
un 1 + un norte = un 1 + [un 1 + (norte - 1)d ] = 2un 1 + (norte - 1)d .
Por lo tanto,
un k + un norte -k+ 1 = un 1 + un norte
QED
Usando el lema que acabamos de demostrar, es fácil obtener una fórmula general para la suma PAG miembros de cualquier progresión aritmética.
S norte = un 1 +un 2 + ...+ un norte - 1 + un norte
S norte = un norte + un norte - 1 + ... + un 2 + un 1 .
Sumando estas dos igualdades término por término, obtenemos:
2S norte = (un 1 +un norte ) + (un 2 +un norte - 1)+...+(un norte - 1 +un 2) + (un norte +un 1)
un 1 +un norte = un 2 +un norte - 1 = un 3 +un norte - 2 =... .
2S norte = norte (un 1 +un norte ),
La suma de los miembros de una progresión aritmética finita es igual al producto de la mitad de la suma de los miembros extremos y el número de todos los miembros.
En particular,
Ejercicios
971. Encuentra la suma de todos los números impares de tres dígitos.
972. ¿Cuántas campanadas dará un reloj en un día si solo da las horas enteras?
973. ¿Cuál es la suma de los primeros PAG ¿números naturales?
974. Deduzca la fórmula para la longitud de la trayectoria recorrida por el cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado:
donde v 0 - velocidad inicial en m/s , un - aceleración en m/s 2 , t - tiempo de viaje segundo.
975. Encuentra la suma de todas las fracciones irreducibles con denominador 3 entre enteros positivos t y PAG (t< п ).
976. Un trabajador mantiene 16 telares que funcionan automáticamente. Rendimiento por máquina un m/h. El trabajador encendió la primera máquina a las 7 h, y cada uno siguiente por 5 min más tarde que la anterior. Averigüe la salida en metros para los primeros 2 h trabaja.
977. Resuelve ecuaciones:
a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;
b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155
978. Del 1 al 12 de julio inclusive, la temperatura del aire aumentó diariamente en un promedio de 1/2 grado. Si se sabe que la temperatura promedio durante este tiempo resultó ser de 18 3/4 grados, determine cuál era la temperatura del aire el 1 de julio.
979. Halla una progresión aritmética cuya media aritmética PAG los primeros términos para cualquier PAG igual a su número.
980. Calcular la suma de los primeros veinte términos de una progresión aritmética en la que
un 6 + un 9 + un 12 + un 15 = 20.
