Encuentra q en una progresión geométrica infinita. Denominador de una progresión geométrica: fórmulas y propiedades

>>Matemáticas: progresión geométrica

Para comodidad del lector, esta sección sigue exactamente el mismo plan que seguimos en la sección anterior.

1. Conceptos básicos.

Definición. Una sucesión numérica, cuyos miembros son todos distintos de 0 y cada miembro, a partir del segundo, se obtiene del miembro anterior multiplicándolo por el mismo número, se denomina progresión geométrica. En este caso, el número 5 se llama denominador de una progresión geométrica.

Así, una progresión geométrica es una sucesión numérica (b n) dada recursivamente por las relaciones

¿Es posible, observando una secuencia de números, determinar si se trata de una progresión geométrica? Pueden. Si está convencido de que la razón de cualquier miembro de la secuencia al miembro anterior es constante, entonces tiene una progresión geométrica.
Ejemplo 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Ejemplo 2

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 3

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Esta es una progresión geométrica donde b 1 - 8, q = 1.

Tenga en cuenta que esta secuencia también es una progresión aritmética (consulte el Ejemplo 3 del § 15).

Ejemplo 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Obviamente, una progresión geométrica es una secuencia creciente si b 1 > 0, q > 1 (ver Ejemplo 1), y una secuencia decreciente si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Para indicar que la secuencia (b n) es una progresión geométrica, a veces es conveniente la siguiente notación:

El icono reemplaza la frase "progresión geométrica".
Notamos una propiedad curiosa y al mismo tiempo bastante obvia de una progresión geométrica:
Si la secuencia es una progresión geométrica, entonces la secuencia de cuadrados, es decir es una progresión geométrica.
En la segunda progresión geométrica, el primer término es igual a igual a q 2.
Si descartamos todos los términos que siguen a b n exponencialmente, entonces obtenemos una progresión geométrica finita
En los siguientes párrafos de esta sección, consideraremos las propiedades más importantes de una progresión geométrica.

2. Fórmula del término n-ésimo de una progresión geométrica.

Considere una progresión geométrica denominador q. Tenemos:

No es difícil adivinar que para cualquier número n la igualdad

Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.

Comentario.

Si ha leído la observación importante del párrafo anterior y la ha entendido, intente probar la fórmula (1) por inducción matemática, tal como se hizo con la fórmula del término n de una progresión aritmética.

Reescribamos la fórmula del enésimo término de la progresión geométrica

e introduzca la notación: Obtenemos y \u003d mq 2, o, con más detalle,
El argumento x está contenido en el exponente, por lo que dicha función se llama función exponencial. Esto significa que una progresión geométrica puede considerarse como una función exponencial dada sobre el conjunto N de números naturales. En la fig. 96a muestra un gráfico de la función de la Fig. 966 - gráfico de función En ambos casos, tenemos puntos aislados (con abscisas x = 1, x = 2, x = 3, etc.) que se encuentran en alguna curva (ambas figuras muestran la misma curva, solo que ubicadas de manera diferente y representadas en escalas diferentes). Esta curva se llama exponente. Se discutirá más sobre la función exponencial y su gráfico en el curso de álgebra de grado 11.

Volvamos a los ejemplos 1-5 del párrafo anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Hagamos una fórmula para el enésimo término
2) Esta es una progresión geométrica, en la que vamos a formular el n-ésimo término

Esta es una progresión geométrica que Componer la fórmula para el n-ésimo término
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Hagamos una fórmula para el enésimo término
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 = 2, q = -1. Componer la fórmula para el n-ésimo término

Ejemplo 6

Dada una progresión geométrica

En todos los casos, la solución se basa en la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica

a) Poniendo n = 6 en la fórmula del n-ésimo término de la progresión geométrica, obtenemos

b) tenemos

Como 512 \u003d 2 9, obtenemos n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Tenemos

Ejemplo 7

La diferencia entre los miembros séptimo y quinto de la progresión geométrica es 48, la suma de los miembros quinto y sexto de la progresión también es 48. Encuentra el duodécimo miembro de esta progresión.

Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático.

Las condiciones de la tarea se pueden escribir brevemente de la siguiente manera:

Usando la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica, obtenemos:
Entonces la segunda condición del problema (b 7 - b 5 = 48) se puede escribir como

La tercera condición del problema (b 5 +b 6 = 48) se puede escribir como

Como resultado, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos variables b 1 y q:

que, en combinación con la condición 1) escrita anteriormente, es el modelo matemático del problema.

Segunda fase.

Trabajando con el modelo compilado. Igualando las partes izquierdas de ambas ecuaciones del sistema, obtenemos:

(Hemos dividido ambos lados de la ecuación en la expresión b 1 q 4 , que es diferente de cero).

De la ecuación q 2 - q - 2 = 0 encontramos q 1 = 2, q 2 = -1. Sustituyendo el valor q = 2 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos
Sustituyendo el valor q = -1 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos b 1 1 0 = 48; esta ecuación no tiene soluciones.

Entonces, b 1 \u003d 1, q \u003d 2: este par es la solución al sistema de ecuaciones compilado.

Ahora podemos escribir la progresión geométrica en cuestión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tercera etapa.

La respuesta a la pregunta del problema. Se requiere calcular b 12 . Tenemos

Respuesta: b 12 = 2048.

3. La fórmula de la suma de los miembros de una progresión geométrica finita.

Sea una progresión geométrica finita

Denotar por S n la suma de sus términos, i.e.

Vamos a derivar una fórmula para encontrar esta suma.

Comencemos con el caso más simple, cuando q = 1. Entonces la progresión geométrica b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn consta de n números iguales a b 1 , es decir la progresión es b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . La suma de estos números es nb 1 .

Sea ahora q = 1 Para encontrar S n usamos un método artificial: realicemos algunas transformaciones de la expresión S n q. Tenemos:

Realizando transformaciones, en primer lugar, utilizamos la definición de una progresión geométrica, según la cual (ver la tercera línea de razonamiento); en segundo lugar, sumaron y restaron por qué el significado de la expresión, por supuesto, no cambió (ver la cuarta línea de razonamiento); en tercer lugar, usamos la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica:

De la fórmula (1) encontramos:

Esta es la fórmula para la suma de n miembros de una progresión geométrica (para el caso cuando q = 1).

Ejemplo 8

Dada una progresión geométrica finita

a) la suma de los miembros de la progresión; b) la suma de los cuadrados de sus términos.

b) Arriba (ver p. 132) ya hemos señalado que si todos los miembros de una progresión geométrica se elevan al cuadrado, entonces se obtendrá una progresión geométrica con el primer miembro b 2 y el denominador q 2. Entonces la suma de los seis términos de la nueva progresión será calculada por

Ejemplo 9

Encuentre el octavo término de una progresión geométrica para la cual

De hecho, hemos probado el siguiente teorema.

Una sucesión numérica es una progresión geométrica si y solo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último, en el caso de una sucesión finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior (una propiedad característica de una progresión geométrica).

Lección y presentación sobre el tema: "Secuencias numéricas. Progresión geométrica".

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Chicos, hoy nos familiarizaremos con otro tipo de progresión.
El tema de la lección de hoy es la progresión geométrica.

Progresión geométrica

Definición. Una sucesión numérica en la que cada término, a partir del segundo, es igual al producto del anterior y algún número fijo, se denomina progresión geométrica.
Definamos nuestra secuencia recursivamente: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
donde b y q son ciertos números dados. El número q se llama denominador de la progresión.

Ejemplo. 1,2,4,8,16… Progresión geométrica, en la que el primer miembro es igual a uno, y $q=2$.

Ejemplo. 8,8,8,8… Una progresión geométrica cuyo primer término es ocho,
y $q=1$.

Ejemplo. 3,-3,3,-3,3... Una progresión geométrica cuyo primer término es tres,
y $q=-1$.

La progresión geométrica tiene las propiedades de la monotonicidad.
Si $b_(1)>0$, $q>1$,
entonces la sucesión es creciente.
Si $b_(1)>0$, $0 La secuencia generalmente se denota como: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Al igual que en una progresión aritmética, si el número de elementos en una progresión geométrica es finito, entonces la progresión se llama progresión geométrica finita.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Tenga en cuenta que si la sucesión es una progresión geométrica, entonces la sucesión de términos al cuadrado también es una progresión geométrica. La segunda secuencia tiene el primer término $b_(1)^2$ y el denominador $q^2$.

Fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica

La progresión geométrica también se puede especificar en forma analítica. Veamos cómo hacerlo:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Podemos ver fácilmente el patrón: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Nuestra fórmula se llama "fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica".

Volvamos a nuestros ejemplos.

Ejemplo. 1,2,4,8,16… Una progresión geométrica cuyo primer término es igual a uno,
y $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Ejemplo. 16,8,4,2,1,1/2… Una progresión geométrica cuyo primer término es dieciséis y $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Ejemplo. 8,8,8,8… Una progresión geométrica donde el primer término es ocho y $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Ejemplo. 3,-3,3,-3,3… Progresión geométrica, en la que el primer término es igual a tres, y $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Ejemplo. Dada una progresión geométrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se sabe que $b_(1)=6, q=3$. Encuentra $b_(5)$.
b) Se sabe que $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Encuentra n.
c) Se sabe que $q=-2, b_(6)=96$. Encuentra $b_(1)$.
d) Se sabe que $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. encuentra q.

Decisión.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ ya que $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Ejemplo. La diferencia entre el séptimo y el quinto miembro de la progresión geométrica es 192, la suma del quinto y sexto miembro de la progresión es 192. Encuentra el décimo miembro de esta progresión.

Decisión.
Sabemos que: $b_(7)-b_(5)=192$ y $b_(5)+b_(6)=192$.
También sabemos: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Entonces:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Tenemos un sistema de ecuaciones:
$\begin(casos)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(casos)$.
Igualando, nuestras ecuaciones obtienen:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Tenemos dos soluciones q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Sustituyendo sucesivamente en la segunda ecuación:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sin soluciones.
Obtuvimos eso: $b_(1)=4, q=2$.
Busquemos el décimo término: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

La suma de una progresión geométrica finita

Supongamos que tenemos una progresión geométrica finita. Calculemos, al igual que para una progresión aritmética, la suma de sus miembros.

Sea una progresión geométrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduzcamos la notación para la suma de sus miembros: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
En el caso de que $q=1$. Todos los miembros de la progresión geométrica son iguales al primer miembro, entonces es obvio que $S_(n)=n*b_(1)$.
Consideremos ahora el caso $q≠1$.
Multiplique la cantidad anterior por q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Hemos obtenido la fórmula para la suma de una progresión geométrica finita.

Ejemplo.
Encuentra la suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 4 y el denominador es 3.

Decisión.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Ejemplo.
Encuentre el quinto miembro de la progresión geométrica, que se conoce: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Decisión.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Propiedad característica de una progresión geométrica.

Chicos, dada una progresión geométrica. Consideremos sus tres miembros consecutivos: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Lo sabemos:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Entonces:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Si la progresión es finita, entonces esta igualdad es válida para todos los términos excepto el primero y el último.
Si no se sabe de antemano qué tipo de secuencia tiene la secuencia, pero se sabe que: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Entonces podemos decir con seguridad que se trata de una progresión geométrica.

Una secuencia numérica es una progresión geométrica solo cuando el cuadrado de cada uno de sus términos es igual al producto de sus dos términos vecinos de la progresión. No olvides que para una progresión finita esta condición no se cumple ni para el primer ni para el último término.

Veamos esta identidad: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se llama la media geométrica de a y b.

El módulo de cualquier miembro de una progresión geométrica es igual a la media geométrica de los dos miembros adyacentes.

Ejemplo.
Encuentre x tal que $x+2; 2x+2; 3x+3$ eran tres miembros consecutivos de una progresión geométrica.

Decisión.
Usemos la propiedad característica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ y $x_(2)=-1$.
Sustituyendo secuencialmente en la expresión original, nuestras soluciones:
Con $x=2$, obtuvimos la secuencia: 4;6;9 es una progresión geométrica con $q=1.5$.
Con $x=-1$, obtuvimos la secuencia: 1;0;0.
Respuesta: $x=2.$

Tareas para solución independiente

1. Halla el octavo primer miembro de la progresión geométrica 16;-8;4;-2....
2. Encuentra el décimo miembro de la progresión geométrica 11,22,44….
3. Se sabe que $b_(1)=5, q=3$. Encuentra $b_(7)$.
4. Se sabe que $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Encuentra n.
5. Encuentra la suma de los primeros 11 miembros de la progresión geométrica 3;12;48….
6. Encuentra x tal que $3x+4; 2x+4; x+5$ son tres miembros consecutivos de una progresión geométrica.

La fórmula para el n-ésimo miembro de una progresión geométrica es algo muy simple. Tanto en significado como en general. Pero hay todo tipo de problemas para la fórmula del n-ésimo miembro, desde muy primitivos hasta bastante serios. Y en el proceso de nuestro conocimiento, definitivamente los consideraremos a ambos. Bueno, ¿nos vemos?)

Entonces, para empezar, en realidad fórmulanorte

Aqui esta ella:

segundo norte = b 1 · q norte -1

Fórmula como fórmula, nada sobrenatural. Parece aún más simple y compacto que la fórmula similar para . El significado de la fórmula también es simple, como una bota de fieltro.

Esta fórmula le permite encontrar CUALQUIER miembro de una progresión geométrica POR SU NÚMERO " norte".

Como puedes ver, el significado es una completa analogía con una progresión aritmética. Conocemos el número n; también podemos calcular el término bajo este número. Lo que nosotros queremos. No multiplicando secuencialmente por "q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)

Entiendo que a este nivel de trabajo con progresiones, todas las cantidades incluidas en la fórmula ya te deben quedar claras, pero considero mi deber descifrar cada una. Por si acaso.

Entonces vamos:

b 1 – primero miembro de una progresión geométrica;

q – ;

norte- número de miembro;

segundo norte – enésimo (norteth) miembro de una progresión geométrica.

Esta fórmula vincula los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica: bnorte, b 1 , q y norte. Y alrededor de estas cuatro figuras clave, giran todas las tareas en progresión.

"¿Y cómo se muestra?"- Escucho una pregunta curiosa... ¡Elemental! ¡Mirar!

que es igual a segundo miembro de progresión? ¡No hay problema! Escribimos directamente:

segundo 2 = segundo 1 q

¿Y el tercer miembro? ¡Tampoco hay problema! Multiplicamos el segundo término de nuevo enq.

Me gusta esto:

segundo 3 \u003d segundo 2 q

Recuerda ahora que el segundo término, a su vez, es igual a b 1 q y sustituye esta expresión en nuestra igualdad:

segundo 3 = segundo 2 q = (segundo 1 q) q = segundo 1 q q = segundo 1 q 2

Obtenemos:

B 3 = segundo 1 q 2

Ahora leamos nuestra entrada en ruso: El tercero término es igual al primer término multiplicado por q en segundo grado. ¿Lo entiendes? ¿Todavía no? Bien, un paso más.

¿Cuál es el cuarto término? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior(es decir, el tercer término) en q:

segundo 4 \u003d segundo 3 q \u003d (segundo 1 q 2) q \u003d segundo 1 q 2 q \u003d segundo 1 q 3

Total:

B 4 = segundo 1 q 3

Y nuevamente traducimos al ruso: cuatro término es igual al primer término multiplicado por q en tercera grado.

Etc. ¿Así que cómo? ¿Captaste el patrón? ¡Sí! Para cualquier término con cualquier número, el número de factores iguales q (es decir, la potencia del denominador) siempre será uno menos que el número del miembro deseadonorte.

Por tanto, nuestra fórmula será, sin opciones:

segundo norte =b 1 · q norte -1

Eso es todo.)

Bueno, resolvamos los problemas, ¿de acuerdo?)

Resolver problemas en una fórmulanorteth término de una progresión geométrica.

Comencemos, como de costumbre, con una aplicación directa de la fórmula. Aquí hay un problema típico:

Se sabe exponencialmente que b 1 = 512 y q = -1/2. Encuentre el décimo término de la progresión.

Por supuesto, este problema se puede resolver sin ninguna fórmula. Como una progresión geométrica. Pero necesitamos entrar en calor con la fórmula del término n, ¿no? Aquí estamos rompiendo.

Nuestros datos para aplicar la fórmula son los siguientes.

El primer término es conocido. Este es el 512.

b 1 = 512.

También se conoce el denominador de la progresión: q = -1/2.

Solo queda averiguar a qué es igual el número del término n. ¡No hay problema! ¿Nos interesa el décimo término? Así que sustituimos diez en lugar de n en la fórmula general.

Y calcula cuidadosamente la aritmética:

Respuesta 1

Como puedes ver, el décimo término de la progresión resultó ser con menos. No es de extrañar: el denominador de la progresión es -1/2, es decir, negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión se alternan, sí.)

Todo es simple aquí. Y aquí hay un problema similar, pero un poco más complicado en términos de cálculos.

En progresión geométrica, sabemos que:

b 1 = 3

Encuentre el decimotercer término de la progresión.

Todo es igual, solo que esta vez el denominador de la progresión - irracional. Raíz de dos. Bueno, no es gran cosa. La fórmula es algo universal, se adapta a cualquier número.

Trabajamos directamente según la fórmula:

La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero... aquí es donde algunos colgarán. ¿Qué hacer a continuación con la raíz? ¿Cómo elevar una raíz a la duodécima potencia?

Cómo, cómo ... Debe comprender que cualquier fórmula, por supuesto, es algo bueno, ¡pero el conocimiento de todas las matemáticas anteriores no se cancela! ¿Cómo criar? ¡Sí, recuerda las propiedades de los grados! Cambiemos la raíz a grado fraccionario y - por la fórmula de elevar una potencia a una potencia.

Me gusta esto:

Respuesta: 192

y todas las cosas).

¿Cuál es la principal dificultad en la aplicación directa de la fórmula del n-ésimo término? ¡Sí! La principal dificultad es trabajar con grados! A saber, la exponenciación de números negativos, fracciones, raíces y construcciones similares. Entonces, aquellos que tengan problemas con esto, ¡una solicitud urgente para repetir los grados y sus propiedades! De lo contrario, disminuirá la velocidad en este tema, sí ...)

Ahora resolvamos problemas típicos de búsqueda uno de los elementos de la formula si todos los demás están dados. Para la solución exitosa de tales problemas, la receta es única y simple para el horror: escribir la fórmulanorteth miembro en general! Justo en el cuaderno junto a la condición. Y luego, a partir de la condición, averiguamos qué se nos da y qué no es suficiente. Y expresamos el valor deseado de la fórmula. ¡Todo!

Por ejemplo, un problema tan inofensivo.

El quinto término de una progresión geométrica con denominador 3 es 567. Encuentra el primer término de esta progresión.

Nada complicado. Trabajamos directamente según el hechizo.

¡Escribimos la fórmula del término n!

segundo norte = b 1 · q norte -1

¿Qué se nos da? Primero, se da el denominador de la progresión: q = 3.

Además, se nos da quinto miembro: b 5 = 567 .

¿Todo? ¡No! ¡También nos dan el número n! Este es un cinco: n = 5.

Espero que ya entiendas lo que hay en el registro. b 5 = 567 dos parámetros están ocultos a la vez: este es el quinto miembro (567) y su número (5). En una lección similar ya hablé sobre esto, pero creo que no está de más recordarlo aquí).

Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:

567 = b 1 3 5-1

Consideramos aritmética, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:

81 b 1 = 567

Resolvemos y obtenemos:

b 1 = 7

Como puede ver, no hay problemas para encontrar el primer miembro. Pero al buscar el denominador q y numeros norte puede haber sorpresas. Y también debes estar preparado para ellos (sorpresas), sí).

Por ejemplo, tal problema:

El quinto término de una progresión geométrica con denominador positivo es 162, y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

Esta vez se nos dan los miembros primero y quinto, y se nos pide encontrar el denominador de la progresión. Aquí empezamos.

Escribimos la fórmulanortemiembro!

segundo norte = b 1 · q norte -1

Nuestros datos iniciales serán los siguientes:

b 5 = 162

b 1 = 2

norte = 5

No hay suficiente valor q. ¡No hay problema! Encontrémoslo ahora.) Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula.

Obtenemos:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Una ecuación simple de cuarto grado. Pero ahora - ¡cuidadosamente! En esta etapa de la solución, muchos estudiantes inmediatamente extraen con alegría la raíz (de cuarto grado) y obtienen la respuesta q=3 .

Me gusta esto:

q4 = 81

q = 3

Pero en general, esta es una respuesta inconclusa. O mejor dicho, incompleto. ¿Por qué? El punto es que la respuesta q = -3 también cabe: (-3) 4 también sería 81!

Esto se debe a que la ecuación de potencia x norte = un siempre ha dos raíces opuestas en inclusonorte . Más y menos:

Ambos encajan.

Por ejemplo, resolver (es decir, segundo grados)

x2 = 9

Por alguna razón no te sorprende la apariencia. dos raíces x=±3? Es lo mismo aqui. y con cualquier otro incluso grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) será el mismo. Detalles - en el tema sobre

Entonces la solución correcta sería:

q 4 = 81

q= ±3

Bien, tenemos las señales resueltas. ¿Cuál es la correcta, más o menos? Bueno, volvemos a leer la condición del problema en busca de información adicional. Por supuesto, puede que no exista, pero en este problema tal información disponible. En nuestra condición, se afirma directamente que se da una progresión con denominador positivo.

Así que la respuesta es obvia:

q = 3

Todo es simple aquí. ¿Qué crees que pasaría si el enunciado del problema fuera así?

El quinto término de una progresión geométrica es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

¿Cual es la diferencia? ¡Sí! en la condición ninguna cosa sin mención del denominador. Ni directa ni indirectamente. Y aquí el problema ya tendría dos soluciones!

q = 3 y q = -3

¡Sí Sí! Y con más y menos.) Matemáticamente, este hecho significaría que hay dos progresiones que se ajusten a la tarea. Y para cada uno, su propio denominador. Para divertirse, practique y escriba los primeros cinco términos de cada uno).

Ahora vamos a practicar para encontrar el número de miembro. Este es el más difícil, sí. Pero también más creativo.

Dada una progresión geométrica:

3; 6; 12; 24; …

¿Qué número es 768 en esta progresión?

El primer paso es el mismo: escribir la fórmulanortemiembro!

segundo norte = b 1 · q norte -1

Y ahora, como de costumbre, reemplazamos los datos que conocemos. Hm... ¡no encaja! ¿Dónde está el primer miembro, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?

Dónde, dónde... ¿Por qué necesitamos ojos? ¿Pestañas aleteando? Esta vez la progresión se nos da directamente en la forma secuencias.¿Podemos ver el primer término? ¡Vemos! Este es un triple (b 1 = 3). ¿Qué pasa con el denominador? Todavía no lo vemos, pero es muy fácil de contar. Si, por supuesto, usted entiende.

Aquí consideramos. Directamente según el significado de una progresión geométrica: tomamos cualquiera de sus miembros (excepto el primero) y lo dividimos por el anterior.

Al menos así:

q = 24/12 = 2

¿Qué más sabemos? También conocemos algún miembro de esta progresión, igual a 768. Bajo algún número n:

segundo norte = 768

No sabemos su número, pero nuestra tarea es precisamente encontrarlo). Así que estamos buscando. Ya hemos descargado todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula. imperceptiblemente.)

Aquí sustituimos:

768 = 3 2norte -1

Hacemos elementales: dividimos ambas partes por tres y reescribimos la ecuación en la forma habitual: lo desconocido a la izquierda, lo conocido a la derecha.

Obtenemos:

2 norte -1 = 256

Aquí hay una ecuación interesante. Necesitamos encontrar "n". ¿Qué es inusual? Sí, no discuto. En realidad, es el más simple. Se llama así porque la incógnita (en este caso, es el número norte) se encuentra en indicador grado.

En la etapa de familiarización con una progresión geométrica (este es el noveno grado), no se enseña a resolver ecuaciones exponenciales, sí ... Este es un tema para la escuela secundaria. Pero no hay nada terrible. Incluso si no sabe cómo se resuelven tales ecuaciones, tratemos de encontrar nuestro norte guiada por la lógica simple y el sentido común.

Empezamos a discutir. A la izquierda tenemos un deuce hasta cierto punto. Todavía no sabemos qué es exactamente este grado, pero esto no da miedo. ¡Pero por otro lado, sabemos firmemente que este grado es igual a 256! Entonces recordemos hasta qué punto el dos nos da 256. ¿Recuerdas? ¡Sí! EN octavo grados!

256 = 2 8

Si no recordaste o con el reconocimiento de los grados del problema, entonces también está bien: elevamos sucesivamente los dos al cuadrado, al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta, y así sucesivamente. La selección, de hecho, pero a este nivel, es todo un paseo.

De una forma u otra, obtendremos:

2 norte -1 = 2 8

norte-1 = 8

norte = 9

Entonces 768 es noveno miembro de nuestra progresión. Eso es todo, problema resuelto.)

Respuesta: 9

¿Qué? ¿Aburrido? ¿Cansado de la primaria? Estoy de acuerdo. Yo también. Pasemos al siguiente nivel.)

Tareas más complejas.

Y ahora resolvemos los acertijos más abruptamente. No es exactamente genial, pero en el que tienes que trabajar un poco para llegar a la respuesta.

Por ejemplo, así.

Encuentra el segundo término de una progresión geométrica si su cuarto término es -24 y el séptimo término es 192.

Este es un clásico del género. Se conocen dos miembros diferentes de la progresión, pero se debe encontrar un miembro más. Además, todos los miembros NO son vecinos. Lo que confunde al principio, sí...

Como en , consideramos dos métodos para resolver tales problemas. La primera forma es universal. Algebraico. Funciona perfectamente con cualquier fuente de datos. Así que ahí es donde vamos a empezar.)

Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!

Todo es exactamente igual que con una progresión aritmética. Solo que esta vez estamos trabajando con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomamos y Sucesivamente sustituimos nuestros datos iniciales en la fórmula del n-ésimo término. Para cada miembro - el suyo propio.

Para el cuarto término escribimos:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Hay. Una ecuación está completa.

Para el séptimo término escribimos:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

En total, se obtuvieron dos ecuaciones para la misma progresión .

Montamos un sistema a partir de ellos:

A pesar de su formidable apariencia, el sistema es bastante simple. La forma más obvia de resolver es la sustitución habitual. expresamos b 1 de la ecuación superior y sustituir en la inferior:

Jugando un poco con la ecuación inferior (reduciendo los exponentes y dividiendo por -24) se obtiene:

q 3 = -8

Por cierto, ¡se puede llegar a la misma ecuación de una manera más simple! ¿Qué? Ahora les mostraré otra forma secreta, pero muy hermosa, poderosa y útil de resolver tales sistemas. Tales sistemas, en cuyas ecuaciones se asientan solo funciona Al menos en uno. llamado método de división de términos una ecuación a otra.

Entonces tenemos un sistema:

En ambas ecuaciones de la izquierda - trabaja, y a la derecha hay solo un número. Esta es una muy buena señal.) ¡Tomemos y ... dividamos, digamos, la ecuación inferior por la superior! Que significa, dividir una ecuacion por otra? Muy simple. Nosotros tomamos lado izquierdo una ecuación (inferior) y dividimos ella en lado izquierdo otra ecuación (superior). El lado derecho es similar: lado derecho una ecuacion dividimos sobre el lado derecho otro.

Todo el proceso de división se ve así:

Ahora, reduciendo todo lo que se reduce, obtenemos:

q 3 = -8

¿Qué tiene de bueno este método? ¡Sí, porque en el proceso de tal división, todo lo malo e inconveniente se puede reducir de manera segura y queda una ecuación completamente inofensiva! Por eso es tan importante tener solo multiplicaciones en al menos una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación, no hay nada que reducir, sí...

En general, este método (como muchas otras formas no triviales de resolver sistemas) incluso merece una lección aparte. Definitivamente lo miraré más de cerca. Algún día…

Sin embargo, no importa cómo resuelva el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:

q 3 = -8

No hay problema: extraemos la raíz (cúbica) y ¡listo!

Tenga en cuenta que no es necesario poner más / menos aquí al extraer. Tenemos una raíz de tercer grado impar. Y la respuesta es la misma, sí.

Entonces, se encuentra el denominador de la progresión. menos dos ¡Bien! El proceso está en marcha.)

Para el primer término (digamos de la ecuación superior) obtenemos:

¡Bien! Conocemos el primer término, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluido el segundo).

Para el segundo miembro, todo es bastante simple:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Respuesta: -6

Entonces, hemos resuelto la forma algebraica de resolver el problema. ¿Complicado? No mucho, estoy de acuerdo. ¿Largo y aburrido? Sí definitivamente. Pero a veces puede reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto hay manera gráfica. Bueno viejo y familiar para nosotros por .)

¡Dibujemos el problema!

¡Sí! Exactamente. Una vez más representamos nuestra progresión en el eje numérico. No necesariamente por una regla, no es necesario mantener intervalos iguales entre miembros (que, por cierto, ¡no serán iguales, porque la progresión es geométrica!), sino simplemente esquemáticamente dibujar nuestra secuencia.

Lo tengo así:

Ahora mira la imagen y piensa. ¿Cuántos factores iguales "q" comparten cuatro y séptimo miembros? ¡Así es, tres!

Por lo tanto, tenemos todo el derecho de escribir:

-24q 3 = 192

Desde aquí ahora es fácil encontrar q:

q 3 = -8

q = -2

Eso es genial, el denominador ya está en nuestro bolsillo. Y ahora volvemos a mirar la imagen: ¿cuántos denominadores de este tipo se encuentran entre segundo y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la relación entre estos miembros, elevaremos el denominador al cuadrado.

Aquí escribimos:

b 2 · q 2 = -24 , donde b 2 = -24/ q 2

Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión para b 2 , contamos y obtenemos:

Respuesta: -6

Como puede ver, todo es mucho más simple y rápido que a través del sistema. ¡Además, aquí ni siquiera necesitábamos contar el primer término! En absoluto.)

Aquí hay una luz de camino tan simple y visual. Pero también tiene un serio inconveniente. ¿Adivinado? ¡Sí! Solo es bueno para piezas muy cortas de progresión. Aquellos donde las distancias entre los miembros que nos interesan no son muy grandes. Pero en todos los demás casos ya es difícil dibujar una imagen, sí ... Entonces resolvemos el problema analíticamente, a través de un sistema). Y los sistemas son algo universal. Trato con cualquier número.

Otra épica:

El segundo término de la progresión geométrica es 10 más que el primero, y el tercer término es 30 más que el segundo. Encuentre el denominador de la progresión.

¿Qué es genial? ¡De nada! Todos iguales. Volvemos a traducir la condición del problema a álgebra pura.

1) Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!

Segundo término: b 2 = b 1 q

Tercer término: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Anotamos la relación entre los miembros a partir de la condición del problema.

Leyendo la condición: "El segundo término de una progresión geométrica es 10 más que el primero".¡Detente, esto es valioso!

Entonces escribimos:

b 2 = b 1 +10

Y traducimos esta frase a pura matemática:

b 3 = b 2 +30

Tenemos dos ecuaciones. Los combinamos en un sistema:

El sistema parece simple. Pero hay muchos índices diferentes para las letras. ¡Sustituyamos en lugar del segundo y tercer miembro de su expresión por el primer miembro y denominador! ¿En vano, o qué, los pintamos?

Obtenemos:

Pero tal sistema ya no es un regalo, sí... ¿Cómo solucionar esto? Desafortunadamente, el hechizo secreto universal para resolver complejos no lineal No hay sistemas en matemáticas y no puede haberlos. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debe venir a su mente al tratar de romper una nuez tan dura es averiguar Pero, ¿no se reduce una de las ecuaciones del sistema a una forma hermosa, que facilita, por ejemplo, expresar una de las variables en términos de otra?

Adivinemos. La primera ecuación del sistema es claramente más simple que la segunda. Lo torturaremos.) ¿Por qué no intentar desde la primera ecuación? algo expresar a través ¿algo? Como queremos encontrar el denominador q, entonces sería más ventajoso para nosotros expresar b 1 a través de q.

Así que intentemos hacer este procedimiento con la primera ecuación, usando las buenas y antiguas:

segundo 1 q = segundo 1 +10

segundo 1 q - segundo 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

¡Todo! Aquí hemos expresado innecesario nosotros la variable (b 1) a través de necesario(q). Sí, no es la expresión más simple recibida. Algún tipo de fracción ... Pero nuestro sistema es de un nivel decente, sí).

Típico. Qué hacer, lo sabemos.

Escribimos ODZ (¡necesariamente!) :

q ≠ 1

Multiplicamos todo por el denominador (q-1) y reducimos todas las fracciones:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Dividimos todo por diez, abrimos los corchetes, recogemos todo a la izquierda:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Resolvemos la resultante y obtenemos dos raíces:

q 1 = 1

q 2 = 3

Solo hay una respuesta final: q = 3 .

Respuesta: 3

Como puedes ver, la forma de resolver la mayoría de los problemas para la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica es siempre la misma: leemos atentamente condición del problema y, usando la fórmula del término n, traducimos toda la información útil en álgebra pura.

A saber:

1) Escribimos por separado cada miembro dado en el problema según la fórmulanortemiembro.

2) A partir de la condición del problema, traducimos la conexión entre los miembros a una forma matemática. Componemos una ecuación o un sistema de ecuaciones.

3) Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones resultante, encontramos los parámetros desconocidos de la progresión.

4) En caso de una respuesta ambigua, leemos cuidadosamente la condición del problema en busca de información adicional (si la hay). También verificamos la respuesta recibida con las condiciones de la ODZ (si corresponde).

Y ahora enumeramos los principales problemas que con mayor frecuencia conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.

1. Aritmética elemental. Operaciones con fracciones y números negativos.

2. Si al menos uno de estos tres puntos es un problema, inevitablemente se equivocará en este tema. Desafortunadamente... Así que no seas perezoso y repite lo que se mencionó anteriormente. Y siga los enlaces - vaya. A veces ayuda.)

Fórmulas modificadas y recurrentes.

Y ahora veamos un par de problemas de examen típicos con una presentación menos familiar de la condición. ¡Sí, sí, lo has adivinado! Este es modificado y recurrente fórmulas del n-ésimo miembro. Ya hemos encontrado tales fórmulas y trabajado en progresión aritmética. Aquí todo es parecido. La esencia es la misma.

Por ejemplo, tal problema de la OGE:

La progresión geométrica viene dada por la fórmula segundo norte = 3 2 norte . Encuentre la suma del primer y cuarto término.

Esta vez la progresión se nos da no del todo como de costumbre. Una especie de fórmula. ¿Así que lo que? Esta fórmula es también una fórmulanortemiembro! Todos sabemos que la fórmula del término n se puede escribir tanto en forma general, mediante letras, como para progresión específica. Con específico primer término y denominador.

En nuestro caso, de hecho, se nos da una fórmula de término general para una progresión geométrica con los siguientes parámetros:

b 1 = 6

q = 2

¿Vamos a comprobar?) Escribamos la fórmula del n-ésimo término en forma general y sustituyamos en ella b 1 y q. Obtenemos:

segundo norte = b 1 · q norte -1

segundo norte= 6 2norte -1

Simplificamos, usando factorización y propiedades de potencia, y obtenemos:

segundo norte= 6 2norte -1 = 3 2 2norte -1 = 3 2norte -1+1 = 3 2norte

Como puedes ver, todo es justo. Pero nuestro objetivo contigo no es demostrar la derivación de una fórmula específica. Esto es así, una digresión lírica. Puramente para entender.) Nuestro objetivo es resolver el problema de acuerdo con la fórmula que se nos da en la condición. ¿Lo captas?) Así que estamos trabajando con la fórmula modificada directamente.

Contamos el primer término. Sustituto norte=1 en la fórmula general:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Me gusta esto. Por cierto, no soy demasiado perezoso y una vez más llamaré su atención sobre un error típico con el cálculo del primer término. NO mires la fórmula segundo norte= 3 2norte, ¡apresúrate inmediatamente a escribir que el primer miembro es una troika! Es un gran error, sí...)

Continuamos. Sustituto norte=4 y considere el cuarto término:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Y finalmente, calculamos la cantidad requerida:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Respuesta: 54

Otro problema.

La progresión geométrica viene dada por las condiciones:

b 1 = -7;

segundo norte +1 = 3 segundo norte

Encuentre el cuarto término de la progresión.

Aquí la progresión viene dada por la fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con esta fórmula - También lo sabemos.

Aquí estamos actuando. Paso a paso.

1) contando dos sucesivo miembro de la progresión.

El primer término ya se nos da. menos siete. Pero el segundo término siguiente se puede calcular fácilmente usando la fórmula recursiva. Si entiendes cómo funciona, por supuesto.)

Aquí consideramos el segundo término según el famoso primero:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Consideramos el denominador de la progresión

También no hay problema. Directo, comparte segundo polla en primero.

Obtenemos:

q = -21/(-7) = 3

3) Escribe la fórmulanorteth miembro en la forma habitual y considere el miembro deseado.

Entonces, conocemos el primer término, el denominador también. Aquí escribimos:

segundo norte= -7 3norte -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Respuesta: -189

Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para una progresión geométrica no es esencialmente diferente de trabajar con una progresión aritmética. Solo es importante comprender la esencia general y el significado de estas fórmulas. Bueno, el significado de la progresión geométrica también debe entenderse, sí). Y entonces no habrá errores estúpidos.

Bueno, ¿vamos a decidir por nuestra cuenta?)

Tareas bastante elementales, para el calentamiento:

1. Dada una progresión geométrica en la que b 1 = 243, y q = -2/3. Encuentre el sexto término de la progresión.

2. El término común de una progresión geométrica viene dado por la fórmula segundo norte = 5∙2 norte +1 . Encuentra el número del último miembro de tres dígitos de esta progresión.

3. La progresión geométrica viene dada por las condiciones:

b 1 = -3;

segundo norte +1 = 6 segundo norte

Encuentre el quinto término de la progresión.

Un poco más complicado:

4. Dada una progresión geométrica:

b 1 =2048; q =-0,5

¿Cuál es el sexto término negativo de la misma?

¿Qué parece súper difícil? De nada. La lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica salvarán. Bueno, la fórmula del enésimo término, por supuesto.

5. El tercer término de la progresión geométrica es -14 y el octavo término es 112. Encuentra el denominador de la progresión.

6. La suma del primer y segundo término de una progresión geométrica es 75, y la suma del segundo y tercer término es 150. Encuentra el sexto término de la progresión.

Respuestas (en desorden): 6; -3888; -uno; 800; -32; 448.

Eso es casi todo. Solo queda aprender a contar. la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su cantidad. ¡Algo muy interesante e inusual, por cierto! Más sobre eso en lecciones posteriores.)

Consideremos una serie.

7 28 112 448 1792...

Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Así que esta serie es una progresión.

Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números, cuya característica principal es que el siguiente número se obtiene del anterior multiplicando por algún número específico. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.

a z +1 =a z q, donde z es el número del elemento seleccionado.

En consecuencia, z ∈ N.

El período en el que se estudia una progresión geométrica en la escuela es el grado 9. Los ejemplos le ayudarán a entender el concepto:

0.25 0.125 0.0625...

Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:

Ni q ni b z pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.

En consecuencia, para encontrar el siguiente número de la serie, debe multiplicar el último por q.

Para especificar esta progresión, debe especificar su primer elemento y denominador. Después de eso, es posible encontrar cualquiera de los términos subsiguientes y su suma.

Variedades

Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:

Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.

Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3 6 12 24 48 ...

Si |q| menos que uno, es decir, la multiplicación por él es equivalente a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.

Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:

6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces mayor que el siguiente.

Signo-variable. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Ejemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.

Entonces la sucesión se puede escribir así:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para un uso conveniente de las progresiones geométricas, existen muchas fórmulas:

Fórmula del z-ésimo miembro. Le permite calcular el elemento bajo un número específico sin calcular los números anteriores.

Ejemplo:q = 3, un 1 = 4. Se requiere calcular el cuarto elemento de la progresión.

Decisión:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

La suma de los primeros elementos cuyo número es z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.

Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo que q no es igual a 1.

Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de un número que se repite infinitamente.

La suma de una progresión geométrica, ejemplos:un 1 = 2, q= -2. Calcular S 5 .

Decisión:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Ejemplo:un 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.

Decisión:Talla = 2 · = 4

Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algunas propiedades:

propiedad característica. Si la siguiente condición realizado para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:

una z 2 = una z -1 · unz+1

Además, el cuadrado de cualquier número de una progresión geométrica se obtiene sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera de una serie dada, si son equidistantes de este elemento.

una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , dondetes la distancia entre estos números.

Elementosdifieren en quna vez.
Los logaritmos de los elementos de progresión también forman una progresión, pero ya aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.

Ejemplos de algunos problemas clásicos

Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, los ejemplos con una solución para el grado 9 pueden ayudar.

Condiciones:un 1 = 3, un 3 = 48. Encuentraq.

Solución: cada elemento subsiguiente es mayor que el anterior enq una vez.Es necesario expresar unos elementos a través de otros utilizando un denominador.

Por lo tanto,un 3 = q 2 · un 1

Al sustituirq= 4

Condiciones:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcula S 6 .

Decisión:Para ello, basta con encontrar q, el primer elemento, y sustituirlo en la fórmula.

un 3 = q· un 2 , por lo tanto,q= 2

un 2 = q un 1,Es por eso un 1 = 3

S 6 = 189

· un 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.

Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.

un 4 = q 3· un 1 = -80

Ejemplo de aplicación:

El cliente del banco hizo un depósito por un monto de 10,000 rublos, según los términos de los cuales cada año el cliente agregará el 6% del monto principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?

Solución: La cantidad inicial es de 10 mil rublos. Entonces, un año después de la inversión, la cuenta tendrá una cantidad igual a 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06

En consecuencia, la cantidad en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Es decir, cada año la cantidad aumenta en 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Ejemplos de tareas para calcular la suma:

En varios problemas, se utiliza una progresión geométrica. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:

un 1 = 4, q= 2, calcularS5.

Solución: todos los datos necesarios para el cálculo son conocidos, solo necesita sustituirlos en la fórmula.

S 5 = 124

un 2 = 6, un 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.

Decisión:

Geom. progresión, cada siguiente elemento es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma, necesitas saber el elementoun 1 y denominadorq.

un 2 · q = un 3

q = 3

Del mismo modo, tenemos que encontrarun 1 , sabiendoun 2 yq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

Progresión geométrica no menos importante en matemáticas que en aritmética. Una progresión geométrica es una secuencia de números b1, b2,..., b[n] cada uno de los siguientes miembros se obtiene multiplicando el anterior por un número constante. Este número, que también caracteriza la tasa de crecimiento o disminución de la progresión, se llama denominador de una progresión geométrica y denota

Para una asignación completa de una progresión geométrica, además del denominador, es necesario conocer o determinar su primer término. Para un valor positivo del denominador, la progresión es una secuencia monótona, y si esta secuencia de números es monótonamente decreciente y monótonamente creciente cuando. El caso en que el denominador es igual a uno no se considera en la práctica, ya que tenemos una secuencia de números idénticos y su suma no tiene interés práctico.

Término general de una progresión geométrica calculado según la fórmula

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica determinado por la fórmula

Consideremos soluciones de problemas clásicos de progresión geométrica. Comencemos con el más simple de entender.

Ejemplo 1. El primer término de una progresión geométrica es 27 y su denominador es 1/3. Encuentra los primeros seis términos de una progresión geométrica.

Solución: Escribimos la condición del problema en la forma

Para los cálculos, usamos la fórmula para el n-ésimo miembro de una progresión geométrica

Basado en esto, encontramos miembros desconocidos de la progresión.

Como puedes ver, calcular los términos de una progresión geométrica no es difícil. La progresión en sí se verá así

Ejemplo 2. Se dan los tres primeros miembros de una progresión geométrica: 6; -12; 24. Encuentra el denominador y el séptimo término.

Solución: Calculamos el denominador de la progresión geométrica en base a su definición

Obtuvimos una progresión geométrica alterna cuyo denominador es -2. El séptimo término se calcula mediante la fórmula

En esta tarea se resuelve.

Ejemplo 3. Una progresión geométrica viene dada por dos de sus miembros . Encuentre el décimo término de la progresión.

Decisión:

Escribamos los valores dados a través de las fórmulas

De acuerdo con las reglas, sería necesario encontrar el denominador y luego buscar el valor deseado, pero para el décimo término tenemos

La misma fórmula se puede obtener sobre la base de manipulaciones simples con los datos de entrada. Dividimos el sexto término de la serie por otro, como resultado obtenemos