Hər sadə kəsr rasional ədəddirmi? Rasional ədədlər nədir? Digərləri nədir

Bu yarımbölmədə biz rasional ədədlərin bir neçə tərifini veririk. Sözlərdəki fərqlərə baxmayaraq, bütün bu təriflər eyni məna daşıyır: tam ədədlər birləşdiyi kimi rasional ədədlər də tam və kəsr ədədləri birləşdirir. tam ədədlər, onların əks nömrələri və sıfır rəqəmi. Başqa sözlə, rasional ədədlər tam və kəsr ədədləri ümumiləşdirir.

ilə başlayaq rasional ədədlərin tərifləriən təbii kimi qəbul edilir.

Tərif.

Rasional ədədlər müsbət ümumi kəsr, mənfi ümumi kəsr və ya sıfır rəqəmi kimi yazıla bilən ədədlərdir.

Səslənən tərifdən belə çıxır ki, rasional ədəd:

istənilən natural ədəd n. Həqiqətən, istənilən natural ədədi adi kəsr kimi göstərmək olar, məsələn, 3=3/1 .

· İstənilən tam ədəd, xüsusən də sıfır ədədi. Həqiqətən də, istənilən tam ədədi ya müsbət ümumi kəsr, həm mənfi ümumi kəsr, ya da sıfır kimi yazmaq olar. Misal üçün, 26=26/1 , .

Hər hansı ümumi kəsr(müsbət və ya mənfi). Bu, rasional ədədlərin verilmiş tərifi ilə birbaşa ifadə edilir.

Hər hansı qarışıq nömrə. Həqiqətən, qarışıq ədədi düzgün olmayan ümumi kəsr kimi göstərmək həmişə mümkündür. Məsələn, və.

istənilən final onluq və ya sonsuz dövri kəsr. Bunun səbəbi, göstərilən onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsidir. Məsələn, a 0,(3)=1/3 .

Həm də aydındır ki, hər hansı sonsuz təkrarlanmayan onluq rasional ədəd DEYİL, çünki o, ümumi kəsr kimi göstərilə bilməz.

İndi rahatlıqla gətirə bilərik rasional ədədlərin nümunələri. Nömrələri 4 ,903 , 100 321 rasional ədədlərdir, çünki onlar natural ədədlərdir. Tam ədədlər 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 rasional ədədlərə də misaldır. Ümumi fraksiyalar 4/9 , 99/3 , həm də rasional ədədlərə misaldır. Rasional ədədlər də ədədlərdir.

Yuxarıdakı misallardan görünür ki, həm müsbət, həm də mənfi rasional ədədlər var və sıfır rasional ədədi nə müsbət, nə də mənfidir.

Rasional ədədlərin yuxarıdakı tərifi daha qısa formada tərtib edilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər kəsr kimi yazıla bilən ədədi adlandırın z/n, harada z tam ədəddir və n- natural ədəd.

Rasional ədədlərin bu tərifinin əvvəlki tərifə ekvivalent olduğunu sübut edək. Bilirik ki, kəsrin zolağına bölmə əlaməti kimi baxa bilərik, onda tam ədədlərin bölünməsinin xassələrindən və tam ədədlərin bölünməsi qaydalarından aşağıdakı bərabərliklərin etibarlılığı gəlir və. Deməli, sübut budur.

Bu tərif əsasında rasional ədədlərə misallar veririk. Nömrələri −5 , 0 , 3 , və rasional ədədlərdir, çünki onlar müvafiq olaraq tam ədəd və formanın natural məxrəci ilə kəsr kimi yazıla bilər.

Rasional ədədlərin tərifi aşağıdakı formada da verilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi yazıla bilən ədədlərdir.

Bu tərif həm də birinci tərifə bərabərdir, çünki hər hansı adi kəsr sonlu və ya dövri onluq kəsrə və əksinə uyğun gəlir və istənilən tam ədəd ondalık nöqtədən sonra sıfırlarla onluq kəsrlə əlaqələndirilə bilər.

Məsələn, rəqəmlər 5 , 0 , −13 , rasional ədədlərə misaldır, çünki onlar aşağıdakı onluq kəsrlər kimi yazıla bilər 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 və −7,(18) .

Bu bölmənin nəzəriyyəsini aşağıdakı ifadələrlə tamamlayırıq:

tam və kəsr ədədləri (müsbət və mənfi) rasional ədədlər çoxluğunu təşkil edir;

Hər bir rasional ədəd tam ədədi və natural məxrəci olan kəsr kimi təqdim oluna bilər və hər bir belə kəsr rasional ədəddir;

Hər bir rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər və hər belə kəsr hansısa rasional ədədi təmsil edir.

Səhifənin yuxarısı

Müsbət rasional ədədlərin toplanması kommutativ və assosiativdir,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Müsbət rasional ədədlərin vurulmasının tərifini tərtib etməzdən əvvəl aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin: məlumdur ki, X seqmentinin uzunluğu E vahid uzunluğunda kəsr kimi ifadə edilir və vahid seqmentin uzunluğu E 1 vahidi ilə ölçülür. və kəsr kimi ifadə edilir. E 1 uzunluq vahidindən istifadə edərək ölçsəniz, X seqmentinin uzunluğunu təmsil edəcək ədədi necə tapmaq olar?

X=E olduğundan, onda nX=mE və E =E 1 olmasından belə çıxır ki, qE=pE 1 . Alınan birinci bərabərliyi q, ikincini isə m-ə vururuq. Sonra (nq)X \u003d (mq)E və (mq)E \u003d (mp)E 1, buradan (nq)X \u003d (mp)E 1. Bu bərabərlik göstərir ki, x seqmentinin vahid uzunluğunda uzunluğu kəsr kimi ifadə edilir və deməli , =, yəni. fraksiyaların vurulması eyni seqmentin uzunluğunu ölçərkən bir uzunluq vahidindən digərinə keçidlə əlaqələndirilir.

Tərif.Əgər müsbət a ədədi kəsrlə, b müsbət rasional ədədi isə kəsrlə təmsil olunursa, onda onların hasilinə kəsrlə ifadə olunan a b ədədi deyilir.

Müsbət rasional ədədlərin vurulması toplama və çıxmaya görə kommutativ, assosiativ və paylayıcı. Bu xassələrin sübutu müsbət rasional ədədlərin vurulması və toplanmasının tərifinə, habelə natural ədədlərin toplanması və vurulmasının müvafiq xassələrinə əsaslanır.

46. Bildiyiniz kimi çıxmaəlavənin əksidir.

Əgər a a və b - müsbət ədədlər, onda a rəqəmindən b rəqəmini çıxmaq, b rəqəminə əlavə olunduqda a rəqəmini verən c ədədini tapmaq deməkdir.
a - b = c və ya c + b = a
Çıxarmanın tərifi bütün rasional ədədlər üçün doğrudur. Yəni müsbət və mənfi ədədlərin çıxılmasını toplama ilə əvəz etmək olar.
Bir ədəddən digərini çıxarmaq üçün əks nömrəni minuendinə əlavə etmək lazımdır.
Və ya başqa bir şəkildə deyə bilərik ki, b ədədinin çıxılması eyni toplamadır, lakin b rəqəminin əksi ilə.
a - b = a + (- b)
Misal.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Misal.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Aşağıdakı ifadələri xatırlamağa dəyər.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Mənfi ədədlərin çıxılması qaydaları
b ədədinin çıxılması b ədədinin əksinə olan ədədin toplanmasıdır.
Bu qayda nəinki daha kiçik rəqəmi daha böyük rəqəmdən çıxararkən qorunur, həm də daha kiçik rəqəmdən çıxmağa imkan verir. daha çox, yəni iki ədədin fərqini həmişə tapa bilərsiniz.
Fərq müsbət ədəd, mənfi ədəd və ya sıfır ola bilər.
Mənfi və müsbət ədədlərin çıxılmasına dair nümunələr.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Mötərizənin sayını azaltmağa imkan verən işarə qaydasını xatırlamaq rahatdır.
Artı işarəsi rəqəmin işarəsini dəyişmir, ona görə də mötərizənin qarşısında artı varsa, mötərizədəki işarə dəyişmir.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Mötərizənin qarşısındakı mənfi işarə mötərizədə olan rəqəmin işarəsini tərsinə çevirir.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Bərabərliklərdən görünür ki, mötərizədə əvvəl və mötərizədə eyni işarələr varsa, onda “+”, işarələr fərqlidirsə, “-” alırıq.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Mötərizədə bir ədəd deyil, ədədlərin cəbri cəmi olduqda işarələr qaydası da qorunur.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Nəzərə alın ki, mötərizədə bir neçə rəqəm varsa və mötərizənin qarşısında mənfi işarə varsa, bu mötərizədə bütün rəqəmlərin qarşısındakı işarələr dəyişməlidir.
İşarələr qaydasını xatırlamaq üçün bir nömrənin əlamətlərini təyin etmək üçün bir cədvəl hazırlaya bilərsiniz.
Rəqəmlər üçün işarə qaydası + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Və ya sadə bir qayda öyrənin.
İki mənfi bir təsdiq edir,
Artı dəfə mənfi bərabər mənfi.

Mənfi ədədlərin bölünməsi qaydaları.
Hissənin modulunu tapmaq üçün dividend modulunu bölənin moduluna bölmək lazımdır.
Beləliklə, eyni işarələri olan iki ədədi bölmək üçün sizə lazımdır:

Dividendin modulunu bölənin moduluna bölün;

Nəticənin qarşısında "+" işarəsi qoyun.

Ədədlərin bölünməsi nümunələri müxtəlif əlamətlər:

Bölmə işarəsini təyin etmək üçün aşağıdakı cədvəldən də istifadə edə bilərsiniz.
Bölmə zamanı işarələrin qaydası
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Yalnız vurma və bölmənin göründüyü "uzun" ifadələri hesablayarkən işarə qaydasından istifadə etmək çox rahatdır. Məsələn, kəsri hesablamaq üçün
Diqqət yetirə bilərsiniz ki, paylayıcıda 2 "mənfi" işarəsi var, onlar vurulduqda "artı" verəcəkdir. Məxrəcdə üç mənfi işarə də var, onlar vurulduqda mənfi olacaq. Buna görə də sonda nəticə mənfi işarə ilə olacaq.
Fraksiya azaldılması ( əlavə tədbirlərədəd modulları ilə) əvvəlki kimi yerinə yetirilir:
Sıfırı sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək nisbəti sıfırdır.
0: a = 0, a ≠ 0
Sıfıra Bölməyin!
Birə bölmək üçün əvvəllər məlum olan bütün qaydalar rasional ədədlər toplusuna da aiddir.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, burada a istənilən rasional ədəddir.
Müsbət ədədlərlə tanınan vurma və bölmənin nəticələri arasındakı asılılıqlar bütün rasional ədədlər üçün də qorunur (sıfır rəqəmi istisna olmaqla):
əgər a × b = c; a = c: b; b = c: a;
əgər a: b = c; a = c × b; b=a:c
Bu asılılıqlar tapmaq üçün istifadə olunur naməlum çarpan, dividend və bölən (tənlikləri həll edərkən), həmçinin vurma və bölmənin nəticələrini yoxlamaq üçün.
Naməlumun tapılması nümunəsi.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Oxşar məlumat.

Bu yazıda biz öyrənməyə başlayacağıq rasional ədədlər. Burada rasional ədədlərin tərifləri verilir, lazımi izahatlar verilir və rasional ədədlərə misallar verilir. Bundan sonra, verilmiş ədədin rasional olub olmadığını necə müəyyənləşdirəcəyimizə diqqət yetirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Rasional ədədlərin tərifi və nümunələri

Bu yarımbölmədə biz rasional ədədlərin bir neçə tərifini veririk. Sözlərdəki fərqlərə baxmayaraq, bütün bu təriflər eyni məna daşıyır: rasional ədədlər tam və kəsr ədədləri birləşdirir, necə ki tam ədədlər natural ədədləri, onların əks ədədlərini və sıfır rəqəmini birləşdirir. Başqa sözlə, rasional ədədlər tam və kəsr ədədləri ümumiləşdirir.

ilə başlayaq rasional ədədlərin tərifləriən təbii kimi qəbul edilir.

Səslənən tərifdən belə çıxır ki, rasional ədəd:

İstənilən natural ədəd n . Həqiqətən də istənilən natural ədədi adi kəsr kimi göstərmək olar, məsələn, 3=3/1.
İstənilən tam ədəd, xüsusən sıfır rəqəmi. Həqiqətən də, istənilən tam ədədi ya müsbət ümumi kəsr, ya da mənfi ümumi kəsr və ya sıfır kimi yazmaq olar. Məsələn, 26=26/1 , .
İstənilən adi fraksiya (müsbət və ya mənfi). Bu, rasional ədədlərin verilmiş tərifi ilə birbaşa ifadə edilir.
İstənilən qarışıq nömrə. Həqiqətən, qarışıq ədədi düzgün olmayan ümumi kəsr kimi göstərmək həmişə mümkündür. Məsələn, və .
İstənilən sonlu onluq və ya sonsuz dövri kəsr. Bunun səbəbi, göstərilən onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsidir. Məsələn, , və 0,(3)=1/3 .

Həm də aydındır ki, hər hansı sonsuz təkrarlanmayan onluq rasional ədəd DEYİL, çünki o, ümumi kəsr kimi göstərilə bilməz.

İndi rahatlıqla gətirə bilərik rasional ədədlərin nümunələri. 4, 903, 100,321 ədədləri natural ədədlər olduğundan rasional ədədlərdir. 58 , −72 , 0 , −833 333 333 tam ədədləri də rasional ədədlərə misaldır. 4/9, 99/3 adi kəsrləri də rasional ədədlərə misaldır. Rasional ədədlər də ədədlərdir.

Yuxarıdakı misallardan görünür ki, həm müsbət, həm də mənfi rasional ədədlər var və sıfır rasional ədədi nə müsbət, nə də mənfidir.

Rasional ədədlərin yuxarıdakı tərifi daha qısa formada tərtib edilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər z/n kəsr kimi yazıla bilən nömrələrə zəng edin, burada z tam, n isə natural ədəddir.

Bu tərif əsasında rasional ədədlərə misallar veririk. −5 , 0 , 3 və rəqəmləri rasional ədədlərdir, çünki onlar müvafiq olaraq tam say və formanın natural məxrəci ilə kəsr kimi yazıla bilər.

Rasional ədədlərin tərifi aşağıdakı formada da verilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi yazıla bilən ədədlərdir.

Məsələn, 5 , 0 , −13 ədədləri rasional ədədlərə misaldır, çünki onlar aşağıdakı 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 və −7,(18) onluqlar kimi yazıla bilər.

Bu bölmənin nəzəriyyəsini aşağıdakı ifadələrlə tamamlayırıq:

tam və kəsr ədədləri (müsbət və mənfi) rasional ədədlər çoxluğunu təşkil edir;
hər bir rasional ədəd tam ədədi və natural məxrəci olan kəsr kimi göstərilə bilər və hər bir belə kəsr hansısa rasional ədəddir;
hər bir rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər və hər belə kəsr hansısa rasional ədədi təmsil edir.

Bu rəqəm məntiqlidirmi?

Əvvəlki paraqrafda biz müəyyən etdik ki, istənilən natural ədəd, istənilən tam ədəd, adi kəsr, istənilən qarışıq ədəd, istənilən son onluq kəsr, həmçinin istənilən dövri onluq kəsr rasional ədəddir. Bu bilik bizə yazılı ədədlər toplusundan rasional ədədləri “tanımağa” imkan verir.

Bəs əgər ədəd bəzi və ya kimi verilirsə, suala necə cavab vermək olar, verilən ədəd rasionaldırmı? Bir çox hallarda buna cavab vermək çox çətindir. Düşüncə kursu üçün bəzi istiqamətləri qeyd edək.

Əgər ədəd yalnız rasional ədədlər və arifmetik işarələri (+, −, · və:) ehtiva edən ədədi ifadə kimi göstərilibsə, bu ifadənin qiyməti rasional ədəddir. Bu, rasional ədədlər üzərində əməliyyatların necə təyin olunduğundan irəli gəlir. Məsələn, ifadədəki bütün əməliyyatları yerinə yetirdikdən sonra 18 rasional ədədi alırıq.

Bəzən ifadələri sadələşdirdikdən sonra və s mürəkkəb tip, verilmiş ədədin rasional olub olmadığını müəyyən etmək mümkün olur.

Gəlin daha da irəli gedək. 2 rəqəmi rasional ədəddir, çünki istənilən natural ədəd rasionaldır. Bəs rəqəm? Rasionaldırmı? Belə çıxır ki, yox, rasional ədəd deyil, irrasional ədəddir (bu faktın ziddiyyətlə sübutu aşağıda istinadlar siyahısında qeyd olunan 8-ci sinif cəbr dərsliyində verilmişdir). Bu da sübut olunub Kvadrat kök natural ədəddən yalnız kökün hansısa natural ədədin mükəmməl kvadratı olan ədəd olduğu hallarda rasional ədəddir. Məsələn, və rasional ədədlərdir, çünki 81=9 2 və 1024=32 2 , və ədədləri rasional deyil, çünki 7 və 199 ədədləri natural ədədlərin mükəmməl kvadratları deyil.

Rəqəm rasionaldır, ya yox? Bu vəziyyətdə, bu rəqəmin rasional olduğunu görmək asandır. Rəqəm rasionaldırmı? Sübut edilmişdir ki, tam ədədin k-ci kökü yalnız o halda rasional ədəddir ki, kök işarəsi altında olan ədəd hansısa tam ədədin k-ci dərəcəsi olsun. Buna görə də, rasional ədəd deyil, çünki beşinci dərəcəsi 121 olan tam ədəd yoxdur.

Ziddiyyət üsulu bəzi ədədlərin loqarifmlərinin nədənsə rasional ədədlər olmadığını sübut etməyə imkan verir. Məsələn, sübut edək ki, - rasional ədəd deyil.

Bunun əksini fərz edək ki, bu, rasional ədəddir və m/n adi kəsir kimi yazıla bilər. Sonra və aşağıdakı bərabərlikləri verin: . Son bərabərlik mümkün deyil, çünki onun sol tərəfində var tək nömrə 5 n, sağ tərəfdə isə cüt ədəd 2 m var. Buna görə də fərziyyəmiz səhvdir, ona görə də rasional rəqəm deyil.

Sonda vurğulamaq yerinə düşər ki, rəqəmlərin rasionallığını və ya irrasionallığını aydınlaşdırarkən qəfil nəticələrdən çəkinmək lazımdır.

Məsələn, π və e irrasional ədədlərinin hasilinin irrasional ədəd olduğunu dərhal iddia etməmək lazımdır, bu “sanki aydındır”, lakin sübut olunmayıb. Bu, sual doğurur: “Niyə məhsul rasional ədəd olmalıdır”? Və niyə də olmasın, çünki məhsulu rasional ədəd verən irrasional ədədlərə misal verə bilərsiniz:.

Rəqəmlərin və bir çox başqa rəqəmlərin rasional olub-olmadığı da məlum deyil. Məsələn, irrasional ədədlər var, irrasional dərəcə bu rasional ədəddir. Nümunə etmək üçün formasının dərəcəsini verək, bu dərəcənin əsası və göstəricisi rasional ədədlər deyil, , 3 isə rasional ədəddir.

Biblioqrafiya.

Riyaziyyat. 6-cı sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar / [N. Ya.Vilenkin və başqaları]. - 22-ci nəşr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-00897-2.
cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

) müsbət və ya mənfi işarəli (tam və kəsr) və sıfır olan ədədlərdir. Rasional ədədlərin daha dəqiq konsepsiyası belə səslənir:

rasional ədəd- sadə kəsrlə ifadə olunan ədəd m/n, sayının olduğu yer m tam ədədlər və məxrəcdir n- tam ədədlər, məsələn 2/3.

Sonsuz qeyri-dövri kəsrlər rasional ədədlər toplusuna daxil DEYİL.

a/b, harada a∈ Z (a tam ədədlərə aiddir) b∈ N (b natural ədədlərə aiddir).

Real həyatda rasional ədədlərdən istifadə.

AT həqiqi həyat rasional ədədlər dəsti bəzi tam bölünən obyektlərin hissələrini saymaq üçün istifadə olunur, Misal üçün, tortlar və ya istehlakdan əvvəl parçalara kəsilmiş digər qidalar və ya uzadılmış obyektlərin məkan əlaqələrinin təxmini qiymətləndirilməsi üçün.

Rasional ədədlərin xassələri.

Rasional ədədlərin əsas xassələri.

1. nizam-intizam a və b onların arasında 1-lakin və 3 münasibətdən yalnız birini unikal şəkildə müəyyən etməyə imkan verən bir qayda var: “<», «>" və ya "=". Bu qayda - sifariş qaydası və bunu belə tərtib edin:

2 müsbət ədədlər a=m a /n a və b=m b /n b 2 tam ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır m a⋅ nb və m b⋅ n a;
2 mənfi ədədlər a və b 2 müsbət ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır |b| və |a|;
nə vaxt a müsbət və b- onda mənfi a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Əlavə əməliyyatı. Bütün rasional ədədlər üçün a və b var toplama qaydası, onları müəyyən bir rasional ədədlə yazışmalara qoyur c. Ancaq nömrənin özü c- Bu məbləğ nömrələri a və b və kimi istinad edilir (a+b) ümumiləşdirmə.

Toplama qaydası belə görünür:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. vurma əməliyyatı. Bütün rasional ədədlər üçün a və b var vurma qaydası, onları müəyyən rasional ədədlə əlaqələndirir c. c sayı deyilir iş nömrələri a və b və işarə edir (a⋅b), və bu nömrənin tapılması prosesi adlanır vurma.

vurma qaydası belə görünür: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sifariş əlaqəsinin keçidliliyi.İstənilən üç rasional ədəd üçün a, b və cəgər a daha kiçik b və b daha kiçik c, sonra a daha kiçik c, və əgər a bərabərdir b və b bərabərdir c, sonra a bərabərdir c.