3-dən müxtəlif dərəcələrə qədər. Məntiqsiz dərəcədə yüksəltmək. Maksimum imzalanmış nömrə

Bütün yeni video dərslərdən xəbərdar olmaq üçün saytımızın youtube kanalına.

Əvvəlcə dərəcələrin əsas düsturlarını və onların xassələrini xatırlayaq.

Nömrənin məhsulu aöz üzərinə n dəfə baş verir, bu ifadəni a … a=a n şəklində yaza bilərik

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Güc və ya eksponensial tənliklər- bunlar dəyişənlərin dərəcələrdə (yaxud eksponentlərdə) olduğu tənliklərdir, baza isə ədəddir.

Eksponensial tənliklərə nümunələr:

Bu misalda 6 rəqəmi əsasdır, həmişə altdadır və dəyişəndir x dərəcə və ya ölçü.

Eksponensial tənliklərə daha çox nümunə verək.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

İndi eksponensial tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq?

Sadə bir tənlik götürək:

2 x = 2 3

Belə bir nümunə hətta ağılda da həll edilə bilər. Görünür ki, x=3. Axı, sol və sağ tərəflərin bərabər olması üçün x əvəzinə 3 rəqəmini qoymaq lazımdır.
İndi gəlin bu qərarın necə verilməli olduğunu görək:

2 x = 2 3
x = 3

Bu tənliyi həll etmək üçün çıxardıq eyni əsaslar(yəni ikiliklər) və qalanları yazıblar, bunlar dərəcələrdir. Axtardığımız cavabı aldıq.

İndi həllimizi ümumiləşdirək.

Eksponensial tənliyin həlli alqoritmi:
1. Yoxlamaq lazımdır eyni tənliyin əsasları sağda və solda olsun. Əgər əsaslar eyni deyilsə, biz bu nümunəni həll etmək üçün variantlar axtarırıq.
2. Əsaslar eyni olduqdan sonra, bərabərləşdirmək dərəcə və nəticədə yeni tənliyi həll edin.

İndi bəzi nümunələri həll edək:

Sadə başlayaq.

Sol və sağ tərəflərdəki əsaslar 2 rəqəminə bərabərdir, yəni bazanı atıb onların dərəcələrini bərabərləşdirə bilərik.

x+2=4 Ən sadə tənlik çıxdı.
x=4 - 2
x=2
Cavab: x=2

Aşağıdakı nümunədə əsasların fərqli olduğunu görə bilərsiniz, bunlar 3 və 9-dur.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Başlamaq üçün doqquzu sağ tərəfə köçürürük, alırıq:

İndi eyni əsasları düzəltməlisiniz. Biz bilirik ki, 9=32 . Güc düsturundan istifadə edək (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 alırıq

3 3x \u003d 3 2x + 16 indi sol və sağ tərəflərdəki əsasların eyni və üçə bərabər olduğu aydındır, yəni onları atıb dərəcələri bərabərləşdirə bilərik.

3x=2x+16 ən sadə tənliyi əldə etdi
3x-2x=16
x=16
Cavab: x=16.

Aşağıdakı misala baxaq:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Əvvəla, biz əsaslara baxırıq, əsaslar iki və dörd fərqlidir. Və biz də eyni olmalıyıq. Dördlüyə (a n) m = a nm düsturuna uyğun olaraq çevrilirik.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Həm də bir a n a m = a n + m düsturundan istifadə edirik:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tənliyə əlavə edin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Amma digər 10 və 24 rəqəmləri bizə mane olur.Onlarla nə etmək lazımdır? Diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, sol tərəfdə 2 2x təkrar edirik, cavab budur - mötərizədə 2 2x qoya bilərik:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mötərizədə ifadəni hesablayaq:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Bütün tənliyi 6-ya bölürük:

Təsəvvür edin 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 əsas eynidir, onları atın və dərəcələri bərabərləşdirin.
2x \u003d 2 ən sadə tənlik oldu. Onu 2-yə bölürük, alırıq
x = 1
Cavab: x = 1.

tənliyi həll edək:

9 x - 12*3 x +27= 0

Gəlin çevirək:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tənliyi alırıq:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Əsaslar bizim üçün eynidir, üçə bərabərdir.Bu misalda birinci üçlüyün ikincidən (sadəcə x) iki dəfə (2x) dərəcəyə malik olduğunu görmək olar. Bu vəziyyətdə qərar verə bilərsiniz əvəzetmə üsulu. Ən kiçik dərəcəyə malik olan nömrə ilə əvəz olunur:

Sonra 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t ilə tənlikdə bütün dərəcələri x ilə əvəz edirik:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kvadrat tənlik alırıq. Diskriminant vasitəsilə həll edirik, əldə edirik:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Dəyişən səhifəsinə qayıt x.

t 1 alırıq:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Yəni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cavab: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Saytda siz maraqlandıran suallar vermək üçün QƏRAR VERMƏYƏ KÖMƏK EDİN bölməsində edə bilərsiniz, biz sizə mütləq cavab verəcəyik.

Qrupa qoşulun

əsas məqsəd

Şagirdləri təbii göstəricilərlə dərəcələrin xassələri ilə tanış etmək və dərəcələrlə hərəkətləri yerinə yetirməyi öyrətmək.

Mövzu “Dərs və onun xüsusiyyətləri”üç sual daxildir:

• Təbii göstərici ilə dərəcənin təyini.
• Səlahiyyətlərin çoxaldılması və bölünməsi.
• Məhsulun və dərəcənin eksponentasiyası.

test sualları

1. Təbii göstəricisi 1-dən böyük olan dərəcənin tərifini tərtib edin. Nümunə verin.
2. 1 göstəricisi ilə dərəcənin tərifini tərtib edin. Misal göstərin.
3. Tərkibində səlahiyyətlər olan ifadənin qiymətini qiymətləndirərkən əməliyyatların ardıcıllığı necədir?
4. Dərəcənin əsas xüsusiyyətini formalaşdırın. Bir misal göstərin.
5. Güclərin eyni əsasla vurulması qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin.
6. Eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin.
7. Məhsulun eksponentasiyası qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin. (ab) n = a n b n eyniliyini sübut edin.
8. Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək üçün bir qayda tərtib edin. Bir misal göstərin. (a m) n = a m n eyniliyini sübut edin.

Dərəcənin tərifi.

sayı dərəcəsi a təbii göstərici ilə n, 1-dən böyük, hər biri bərabər olan n amilin hasili adlanır a. sayı dərəcəsi a eksponent 1 ilə ədədin özü çağırılır a.

Baza ilə dərəcə a və göstərici n belə yazılır: a n. Oxuyur" a dərəcədə n”; “ ədədin n-ci gücü a ”.

Dərəcənin tərifinə görə:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Dərəcənin dəyərinin tapılması deyilir eksponentasiya .

1. Eksponentasiya nümunələri:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. İfadə qiymətlərini tapın:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Seçim 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Rəqəmlərin kvadratına salın:

3. Rəqəmləri kublara bölün:

4. İfadə qiymətlərini tapın:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Güclərin çoxaldılması.

İstənilən a ədədi və ixtiyari m və n ədədləri üçün aşağıdakı doğrudur:

a m a n = a m + n .

Sübut:

qayda : Gücləri eyni əsasla vurduqda, əsaslar eyni qalır və eksponentlər əlavə olunur.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Seçim 1

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldə dəyəri tapın:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Dərəcələrin bölünməsi.

İstənilən a0 ədədi və m>n olan ixtiyari natural m və n ədədləri üçün aşağıdakılar yerinə yetirilir:

a m: a n = a m - n

Sübut:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

özəl anlayışına görə:

a m: a n \u003d a m - n.

qayda: Eyni baza ilə səlahiyyətləri bölərkən əsas eyni qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

Tərif: Sıfır göstəricisi olan sıfırdan fərqli bir ədədin dərəcəsi birə bərabərdir:

çünki a n: a0 üçün a n = 1.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

in)

G)

e)

Seçim 1

1. Hissəni güc kimi ifadə edin:

2. İfadələrin qiymətlərini tapın:

Bir məhsulun gücünə yüksəltmək.

İstənilən a və b və ixtiyari natural n ədədi üçün:

(ab) n = a n b n

Sübut:

Dərəcənin tərifinə görə

(ab) n =

a və b faktorlarını ayrı-ayrılıqda qruplaşdırsaq, əldə edirik:

=

Məhsulun dərəcəsinin sübut edilmiş xüsusiyyəti üç və ya daha çox amilin məhsulunun dərəcəsinə qədər uzanır.

Misal üçün:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

qayda: Məhsulu bir gücə qaldırarkən, hər bir amil bu gücə qaldırılır və nəticə vurulur.

1. Gücü artırın:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. İfadənin qiymətini tapın:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Seçim 1

1. Gücü artırın:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. İfadənin qiymətini tapın:

b) (5 7 20) 2

Ekponentasiya.

İstənilən a ədədi və ixtiyari natural m və n ədədləri üçün:

(a m) n = a m n

Sübut:

Dərəcənin tərifinə görə

(a m) n =

Qayda: Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır və eksponentlər vurulur.

1. Gücü artırın:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. İfadələri sadələşdirin:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Seçim 1

1. Gücü artırın:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. İfadələri sadələşdirin:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. İfadələrin mənasını tapın:

Əlavə

Dərəcənin tərifi.

Seçim 2

1-ci Məhsulu dərəcə şəklində yazın:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (e.ə.) (e.ə.) (e.ə.)

2. Rəqəmlərin kvadratına salın:

3. Rəqəmləri kublara bölün:

4. İfadə qiymətlərini tapın:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Seçim 3

1. Məhsulu dərəcə kimi yazın:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Ədədin kvadratı şəklində təqdim olunur: 100; 0,49; .

3. Rəqəmləri kublara bölün:

4. İfadə qiymətlərini tapın:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Seçim 4

1. Məhsulu dərəcə kimi yazın:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (e.ə.) (e.ə.) (e.ə.) (e.ə.)

2. Rəqəmlərin kvadratına salın:

3. Rəqəmləri kublara bölün:

4. İfadə qiymətlərini tapın:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Güclərin çoxaldılması.

Seçim 2

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldə dəyəri tapın:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Seçim 3

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 q) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldə dəyəri tapın:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Seçim 4

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 q) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldə dəyəri tapın:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Dərəcələrin bölünməsi.

Seçim 2

1. Hissəni güc kimi ifadə edin:

2. İfadələrin mənasını tapın.

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən, məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s. toplaya bilərik.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında sizə məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman zaman şəxsi məlumatlarınızdan sizə vacib bildirişlər və mesajlar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisindəki ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Ümumilikdə ədədin dərəcəsinin nə olduğunu anladıq. İndi onu necə düzgün hesablayacağımızı başa düşməliyik, yəni. rəqəmləri güclərə qaldırın. Bu materialda tam, təbii, kəsr, rasional və irrasional eksponent halında dərəcənin hesablanması üçün əsas qaydaları təhlil edəcəyik. Bütün təriflər nümunələrlə təsvir olunacaq.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentasiya anlayışı

Əsas təriflərin formalaşdırılması ilə başlayaq.

Tərif 1

Eksponentasiya hansısa ədədin gücünün qiymətinin hesablanmasıdır.

Yəni “dərəcənin dəyərinin hesablanması” və “üstləşmə” sözləri eyni məna daşıyır. Beləliklə, tapşırıq "0 , 5 rəqəmini beşinci gücə qaldırın"dırsa, bu, "qüdrətin dəyərini hesablamaq (0 , 5) 5" kimi başa düşülməlidir.

İndi biz bu cür hesablamalarda riayət edilməli olan əsas qaydaları veririk.

Təbii göstəricisi olan ədədin gücünün nə olduğunu xatırlayın. Əsası a və eksponenti n olan qüvvə üçün bu, hər biri a-a bərabər olan n-ci amillərin məhsulu olacaqdır. Bunu belə yazmaq olar:

Dərəcənin dəyərini hesablamaq üçün vurma əməliyyatını yerinə yetirmək lazımdır, yəni dərəcənin əsaslarını göstərilən sayda dəfə çoxaltmaq lazımdır. Təbii göstərici ilə dərəcə anlayışının özü tez çoxalma qabiliyyətinə əsaslanır. Nümunələr verək.

Misal 1

Vəziyyət: 2-ni 4-ün gücünə qaldırın.

Qərar

Yuxarıdakı tərifdən istifadə edərək yazırıq: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Sonra, sadəcə bu addımları izləmək və 16 almaq lazımdır.

Daha mürəkkəb bir nümunə götürək.

Misal 2

3 2 7 2 dəyərini hesablayın

Qərar

Bu giriş 3 2 7 · 3 2 7 kimi yenidən yazıla bilər. Əvvəllər şərtdə qeyd olunan qarışıq ədədləri düzgün şəkildə necə çarpacağına baxdıq.

Bu addımları yerinə yetirin və cavabı alın: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Tapşırıq irrasional ədədləri təbii gücə çatdırmağın zəruriliyini göstərirsə, əvvəlcə onların əsaslarını istədiyiniz dəqiqliyin cavabını almağa imkan verəcək rəqəmə yuvarlaqlaşdırmalı olacağıq. Bir misal götürək.

Misal 3

π ədədinin kvadratlaşdırılmasını yerinə yetirin.

Qərar

Əvvəlcə onu yüzdə bir hissəyə yuvarlaqlaşdıraq. Onda π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Əgər π ≈ 3 olarsa. 14159, onda daha dəqiq nəticə əldə edəcəyik: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Nəzərə alın ki, praktikada irrasional ədədlərin səlahiyyətlərinin hesablanması zərurəti nisbətən nadir hallarda yaranır. Daha sonra cavabı gücün özü (ln 6) 3 kimi yaza bilərik və ya mümkünsə çevirə bilərik: 5 7 = 125 5 .

Ayrı-ayrılıqda ədədin birinci gücünün nə olduğu göstərilməlidir. Burada sadəcə xatırlaya bilərsiniz ki, birinci gücə yüksəldilmiş hər hansı bir rəqəm özü olaraq qalacaq:

Bu qeyddən aydın olur. .

Bu dərəcənin əsasından asılı deyil.

Misal 4

Beləliklə, (− 9) 1 = − 9 və birinci dərəcəyə qaldırılan 7 3 7 3-ə bərabər qalır.

Rahatlıq üçün biz üç halı ayrıca təhlil edəcəyik: əgər eksponent müsbət tam, sıfırdırsa və mənfi tam ədəddirsə.

Birinci halda, bu, təbii gücə yüksəltməklə eynidir: axırda müsbət tam ədədlər natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Bu cür dərəcələrlə necə işləməyi yuxarıda təsvir etdik.

İndi gəlin sıfır gücə necə düzgün yüksəldəcəyimizi görək. Sıfır olmayan bir baza ilə bu hesablama həmişə 1 çıxışını verir. Daha əvvəl izah etdik ki, a-nın 0-cı dərəcəsi 0-a bərabər olmayan istənilən həqiqi ədəd və 0 = 1 üçün təyin edilə bilər.

Misal 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - müəyyən edilməmişdir.

Bizə yalnız mənfi tam eksponentli dərəcə halı qalır. Biz artıq müzakirə etdik ki, belə dərəcələr 1 a z kəsr kimi yazıla bilər, burada a istənilən ədəddir, z isə mənfi tam ədəddir. Bu kəsrin məxrəcinin müsbət tam ədədli adi dərəcədən başqa bir şey olmadığını görürük və biz artıq onun hesablanmasını öyrənmişik. Tapşırıqlara nümunələr verək.

Misal 6

3-ü -2 gücünə qaldırın.

Qərar

Yuxarıdakı tərifdən istifadə edərək yazırıq: 2 - 3 = 1 2 3

Bu fraksiyanın məxrəcini hesablayırıq və 8 alırıq: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Onda cavab: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Misal 7

1, 43-ü -2 gücünə qaldırın.

Qərar

Yenidən tərtib edin: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Məxrəcdə kvadratı hesablayırıq: 1,43 1,43. Ondalıkları bu şəkildə çoxaltmaq olar:

Nəticədə (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 aldıq. Bu nəticəni adi bir kəsr şəklində yazmaq bizim üçün qalır, bunun üçün onu 10 minə vurmaq lazımdır (kəsrlərin çevrilməsi ilə bağlı materiala baxın).

Cavab: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ayrı bir hal, rəqəmi mənfi birinci gücə yüksəldir. Belə bir dərəcənin dəyəri bazanın orijinal dəyərinin əksinə olan rəqəmə bərabərdir: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Misal 8

Misal: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Bir ədədi kəsr gücünə necə qaldırmaq olar

Belə bir əməliyyatı yerinə yetirmək üçün kəsr eksponenti olan dərəcənin əsas tərifini xatırlatmalıyıq: hər hansı müsbət a, tam m və təbii n üçün a m n \u003d a m n.

Tərif 2

Beləliklə, kəsr dərəcəsinin hesablanması iki mərhələdə aparılmalıdır: tam ədədə yüksəltmək və n-ci dərəcənin kökünü tapmaq.

Bizdə a m n = a m n bərabərliyi var ki, köklərin xassələrini nəzərə alaraq adətən a m n = a n m şəklində məsələləri həll etmək üçün istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, a ədədini m/n kəsr gücünə qaldırsaq, əvvəlcə a-dan n-ci dərəcənin kökünü çıxarırıq, sonra nəticəni m tam eksponentli dərəcəyə qaldırırıq.

Nümunə ilə izah edək.

Misal 9

8 - 2 3 hesablayın.

Qərar

Metod 1. Əsas tərifə görə, bunu aşağıdakı kimi təqdim edə bilərik: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

İndi kökün altındakı dərəcəni hesablayaq və nəticədən üçüncü kökü çıxaraq: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metod 2. Əsas bərabərliyi çevirək: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Bundan sonra 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 kökünü çıxarırıq və nəticənin kvadratını alırıq: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Biz həll yollarının eyni olduğunu görürük. İstədiyiniz şəkildə istifadə edə bilərsiniz.

Dərəcənin qarışıq ədəd və ya onluq kəsr kimi ifadə olunan göstəricisi olduğu hallar var. Hesablamanın asanlığı üçün onu adi bir fraksiya ilə əvəz etmək və yuxarıda göstərildiyi kimi saymaq daha yaxşıdır.

Misal 10

44.89-u 2.5-in gücünə qaldırın.

Qərar

Göstəricinin qiymətini adi kəsrə çevirək - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

İndi yuxarıda göstərilən bütün hərəkətləri ardıcıllıqla yerinə yetiririk: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 10101 13 501, 25107

Cavab: 13501, 25107.

Əgər kəsr göstəricisinin pay və məxrəcində böyük ədədlər varsa, onda belə göstəriciləri rasional göstəricilərlə hesablamaq kifayət qədər çətin işdir. Bunun üçün adətən kompüter texnologiyası tələb olunur.

Ayrı-ayrılıqda sıfır baza və kəsr göstəricisi olan dərəcə üzərində dayanırıq. 0 m n formasının ifadəsinə aşağıdakı məna verilə bilər: əgər m n > 0 olarsa, onda 0 m n = 0 m n = 0 ; əgər m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Bir ədədi irrasional gücə necə qaldırmaq olar

Göstəricisində irrasional nömrə olan dərəcənin dəyərini hesablamaq ehtiyacı o qədər də tez-tez yaranmır. Praktikada tapşırıq adətən təxmini dəyərin hesablanması ilə məhdudlaşır (müəyyən sayda onluq yerlərə qədər). Bu, adətən, bu cür hesablamaların mürəkkəbliyinə görə kompüterdə hesablanır, ona görə də biz bu barədə ətraflı danışmayacağıq, yalnız əsas müddəaları göstərəcəyik.

Əgər a dərəcəsinin qiymətini a irrasional göstəricisi ilə hesablamaq lazımdırsa, onda eksponentin ondalıq yaxınlaşmasını götürüb ondan sayırıq. Nəticə təxmini cavab olacaq. Alınan onluq təxmini nə qədər dəqiq olsa, cavab bir o qədər dəqiq olar. Nümunə ilə göstərək:

Misal 11

21 , 174367 təxmini dəyəri hesablayın ....

Qərar

Biz özümüzü a n = 1, 17 onluq təxmini ilə məhdudlaşdırırıq. Gəlin bu rəqəmdən istifadə edərək hesablamalar aparaq: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Məsələn, a n = 1 , 1743 yaxınlaşmasını götürsək, onda cavab bir az daha dəqiq olacaq: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Nə vaxt sayı özünü çoxaldır özümə, işçağırdı dərəcə.

Beləliklə, 2.2 = 4, kvadrat və ya 2-nin ikinci dərəcəsi
2.2.2 = 8, kub və ya üçüncü güc.
2.2.2.2 = 16, dördüncü dərəcə.

Həmçinin, 10.10 = 100, ikinci güc 10-dur.
10.10.10 = 1000, üçüncü dərəcə.
10.10.10.10 = 10000 dördüncü dərəcə.

Və a.a = aa, a-nın ikinci qüvvəsi
a.a.a = aaa, a-nın üçüncü qüvvəsi
a.a.a.a = aaaa, a-nın dördüncü qüvvəsi

Orijinal nömrə çağırılır kök o rəqəmin dərəcələri, çünki dərəcələrin yaradıldığı nömrədir.

Lakin, xüsusən də yüksək səlahiyyətlər zamanı səlahiyyətləri təşkil edən bütün amilləri yazmaq çox da əlverişli deyil. Buna görə də qısaldılmış qeyd üsulundan istifadə olunur. Dərəcənin kökü yalnız bir dəfə, sağa və yanında bir az yuxarı yazılır, lakin bir az kiçik şriftlə neçə dəfə yazılır. kök faktor kimi çıxış edir. Bu nömrə və ya hərf çağırılır eksponent və ya dərəcə nömrələri. Deməli, 2 a.a və ya aa bərabərdir, çünki a-nın gücünü almaq üçün a-nın kökünü iki dəfə özünə vurmaq lazımdır. Həmçinin, 3 aaa deməkdir, yəni burada a təkrarlanır üç dəfəçarpan kimi.

Birinci gücün göstəricisi 1-dir, lakin adətən yazılmır. Beləliklə, 1 a kimi yazılır.

Dərəcələri ilə qarışdırmamalısınız əmsallar. Əmsal dəyərin nə qədər tez-tez alındığını göstərir hissəsi bütöv. Göstərici dəyərin nə qədər tez-tez alındığını göstərir amil işdə.
Beləliklə, 4a = a + a + a + a. Ancaq 4 = a.a.a.a

Eksponensial notasiya bizə ifadə etməyə imkan verən xüsusi üstünlüyə malikdir naməlum dərəcə. Bunun üçün ədəd əvəzinə göstərici yazılır məktub. Problemin həlli prosesində biz bildiyimiz kimi olan bir dəyər əldə edə bilərik bəziləri başqa böyüklük dərəcəsi. Ancaq indiyə qədər bunun kvadrat, kub və ya başqa, daha yüksək dərəcə olduğunu bilmirik. Deməli, a x ifadəsində göstərici bu ifadənin malik olduğunu bildirir bəziləri dərəcəsi müəyyən edilməsə də hansı dərəcə. Beləliklə, b m və d n m və n-in səlahiyyətlərinə qaldırılır. Göstərici tapıldıqda, nömrə məktubu ilə əvəz edilmişdir. Deməli, m=3 olarsa, b m = b 3; lakin m = 5 olarsa, b m = b 5 olar.

Dəyərlərin eksponentlərlə yazılması üsulu da istifadə edərkən böyük üstünlükdür ifadələri. Beləliklə, (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), yəni trinomialın (a + b + d) kubudur. . Amma bu ifadəni kubdan sonra yazsaq, belə görünəcək
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Göstəriciləri 1 artan və ya azalan bir sıra gücləri götürsək, hasilin artdığını görərik. ümumi faktor və ya azaldılır ortaq bölən, və bu amil və ya bölən bir gücə qaldırılan orijinal ədəddir.

Belə ki, aaaaa, aaaa, aaa, aa, a seriallarında;
və ya 5, 4, 3, 2, 1;
göstəricilər, sağdan sola hesablandıqda, 1, 2, 3, 4, 5; və onların dəyərləri arasındakı fərq 1-dir. Başlasaq sağda çoxalmaq a-da biz çoxlu qiymətləri uğurla əldə edəcəyik.

Beləliklə, a.a = a 2, ikinci hədd. Və 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, üçüncü şərt. a 4 .a = a 5 .

başlasaq sol paylaşüzərində üstündə,
5:a = a 4 və 3:a = a 2 alırıq.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Amma belə bölgü prosesi daha da davam etdirilə bilər və biz yeni dəyərlər toplusunu əldə edirik.

Deməli, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Tam sıra belə olacaq: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Və ya 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Burada dəyərlər sağda vahidindəndir tərs birinin solunda olan dəyərlər. Buna görə də bu dərəcələri adlandırmaq olar tərs güclər a. Bir də deyə bilərik ki, soldakı güclər sağdakı güclərin tərsidir.

Beləliklə, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Və 1:(1/a 3) = a 3 .

Eyni qeyd planı tətbiq oluna bilər polinomlar. Beləliklə, a + b üçün bir dəst alırıq,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Rahatlıq üçün tərs güclərin yazılmasının başqa bir formasından istifadə olunur.

Bu formaya görə 1/a və ya 1/a 1 = a -1 . Və 1/aaa və ya 1/a 3 = a -3 .
1/aa və ya 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa və ya 1/a 4 = a -4 .

Və eksponentləri ümumi fərq kimi 1 olan tam sıra etmək üçün a/a və ya 1 dərəcəsi olmayan və 0 kimi yazılır.

Sonra birbaşa və tərs səlahiyyətləri nəzərə alaraq
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa əvəzinə
4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 yaza bilərsiniz.
Və ya +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Və yalnız ayrıca alınan dərəcələrin bir sıra forması olacaq:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Dərəcənin kökü birdən çox hərflə ifadə edilə bilər.

Beləliklə, aa.aa və ya (aa) 2 aa-nın ikinci dərəcəsidir.
Və aa.aa.aa və ya (aa) 3 aa-nın üçüncü qüvvəsidir.

1 rəqəminin bütün dərəcələri eynidir: 1.1 və ya 1.1.1. 1-ə bərabər olacaq.

Göstərici hər hansı bir ədədin dəyərini həmin ədədi özünə vurmaqla tapmaqdır. Göstərici qaydası:

Nömrənin gücündə göstərildiyi qədər dəyəri özü ilə çarpın.

Bu qayda eksponentasiya prosesində yarana biləcək bütün nümunələr üçün ümumidir. Ancaq bunun konkret hallara necə şamil edildiyini izah etmək düzgün olar.

Yalnız bir hədd gücə yüksəldilirsə, o zaman eksponentin göstərdiyi qədər özünə vurulur.

Dördüncü qüvvə a 4 və ya aaadır. (Maddə 195.)
y-nin altıncı qüvvəsi y 6 və ya yyyyyy-dır.
X-in n-ci qüvvəsi x n və ya xxx-dir..... n dəfə təkrarlanır.

Bir gücə bir neçə terminin ifadəsini qaldırmaq lazımdırsa, prinsip bir neçə amilin hasilinin dərəcəsi bir gücə yüksəldilmiş bu amillərin hasilinə bərabərdir.

Beləliklə (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Amma ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Beləliklə, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Buna görə də, bir məhsulun dərəcəsini taparkən, biz ya bütün məhsulu bir anda işləyə bilərik, ya da hər bir amil üzərində ayrıca işləyə bilərik və sonra onların dəyərlərini dərəcələrlə çoxalda bilərik.

Misal 1. Dhy-nin dördüncü dərəcəsi (dhy) 4 və ya d 4 h 4 y 4-dür.

Misal 2. 4b-nin üçüncü dərəcəsi (4b) 3 və ya 4 3 b 3 və ya 64b 3-dür.

Misal 3. 6ad-ın n-ci qüvvəsi (6ad) n və ya 6 n a n d n-dir.

Misal 4. 3m.2y-nin üçüncü gücü (3m.2y) 3 və ya 27m 3 .8y 3-dür.

+ və - ilə bağlanan həddlərdən ibarət binomun dərəcəsi onun hədlərini vurmaqla hesablanır. Bəli,

(a + b) 1 = a + b, birinci güc.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , ikinci güc (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, üçüncü dərəcə.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, dördüncü dərəcə.

a - b kvadratı, 2 - 2ab + b 2 var.