Hansı ədədlərə rasional misallar deyilir. Rasional ədədlərin tərifi

) müsbət və ya mənfi işarəli (tam və kəsr) və sıfır olan ədədlərdir. Rasional ədədlərin daha dəqiq konsepsiyası belə səslənir:

rasional ədəd- sadə kəsrlə ifadə olunan ədəd m/n, sayının olduğu yer m tam ədədlər və məxrəcdir n- tam ədədlər, məsələn 2/3.

Sonsuz qeyri-dövri kəsrlər rasional ədədlər toplusuna daxil DEYİL.

a/b, harada a∈ Z (a tam ədədlərə aiddir) b∈ N (b natural ədədlərə aiddir).

Real həyatda rasional ədədlərdən istifadə.

AT həqiqi həyat rasional ədədlər dəsti bəzi tam bölünən obyektlərin hissələrini saymaq üçün istifadə olunur, Misal üçün, tortlar və ya istehlakdan əvvəl parçalara kəsilmiş digər qidalar və ya uzadılmış obyektlərin məkan əlaqələrinin təxmini qiymətləndirilməsi üçün.

Rasional ədədlərin xassələri.

Rasional ədədlərin əsas xassələri.

1. nizam-intizam a və b onların arasında 1-lakin və 3 münasibətdən yalnız birini unikal şəkildə müəyyən etməyə imkan verən bir qayda var: “<», «>" və ya "=". Bu qayda - sifariş qaydası və bunu belə tərtib edin:

2 müsbət rəqəm a=m a /n a və b=m b /n b 2 tam ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır m a⋅ nb və m b⋅ n a;
2 mənfi ədəd a və b 2 müsbət ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır |b| və |a|;
nə vaxt a müsbət və b- onda mənfi a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Əlavə əməliyyatı. Bütün rasional ədədlər üçün a və b var toplama qaydası, onları müəyyən bir rasional ədədlə yazışmalara qoyur c. Ancaq nömrənin özü c- Bu məbləğ nömrələri a və b və kimi istinad edilir (a+b) ümumiləşdirmə.

Toplama qaydası belə görünür:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. vurma əməliyyatı. Bütün rasional ədədlər üçün a və b var vurma qaydası, onları müəyyən rasional ədədlə əlaqələndirir c. c sayı deyilir iş nömrələri a və b və işarə edir (a⋅b), və bu nömrənin tapılması prosesi adlanır vurma.

vurma qaydası belə görünür: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sifariş əlaqəsinin keçidliliyi.İstənilən üç rasional ədəd üçün a, b və cəgər a daha kiçik b və b daha kiçik c, sonra a daha kiçik c, və əgər a bərabərdir b və b bərabərdir c, sonra a bərabərdir c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Əlavənin kommutativliyi. Rasional terminlərin yerlərinin dəyişməsindən cəmi dəyişmir.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Əlavənin assosiativliyi. 3 rasional ədədin toplanması qaydası nəticəyə təsir etmir.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfırın olması. 0 rasional ədədi var, əlavə edildikdə bütün digər rasional ədədləri saxlayır.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Qarşılıqlı ədədlərin olması. İstənilən rasional ədədin əks rasional ədədi var, onları bir araya toplamaq 0-ı verir.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Vurmanın kommutativliyi. Rasional amillərin yerlərini dəyişdirməklə məhsul dəyişmir.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Çoxalmanın assosiativliyi. 3 rasional ədədin vurulma qaydası nəticəyə təsir etmir.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Vahidin mövcudluğu. Rasional ədəd 1 var, vurma prosesində bütün digər rasional ədədləri saxlayır.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Mövcudluq qarşılıqlı nömrələr . Sıfırdan başqa hər hansı bir rasional ədədin tərs rasional ədədi var, onu çarparaq 1 alırıq. .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması. Vurma əməliyyatı paylama qanunundan istifadə edərək toplama ilə bağlıdır:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Sifariş əlaqəsinin əlavə əməliyyatı ilə əlaqəsi. Rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinə eyni rasional ədəd əlavə edilir.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Tərtib əlaqəsinin vurma əməliyyatı ilə əlaqəsi. Rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəfləri eyni qeyri-mənfi rasional ədədə vurula bilər.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arximed aksioması. Rasional rəqəm nə olursa olsun a, o qədər çox vahid götürmək asandır ki, onların cəmi daha böyük olacaqdır a.

Rasional ədədlər

dörddəbir

Səliqəlilik. a və b aralarında üç münasibətdən birini və yalnız birini unikal şəkildə müəyyən etməyə imkan verən bir qayda var: "< », « >' və ya ' = '. Bu qayda adlanır sifariş qaydası və aşağıdakı kimi tərtib edilir: iki qeyri-mənfi ədəd və iki tam ədəd ilə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; iki qeyri-müsbət ədəd a və b iki qeyri-mənfi ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; əgər birdən a mənfi olmayan və b- onda mənfi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
kəsrlərin cəmi
əlavə əməliyyat.İstənilən rasional ədədlər üçün a və b deyilən var toplama qaydası c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı məbləğ nömrələri a və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi deyilir ümumiləşdirmə. Toplama qaydası var növbəti görünüş: .
vurma əməliyyatı.İstənilən rasional ədədlər üçün a və b deyilən var vurma qaydası, bu da onları hansısa rasional nömrə ilə yazışmalara qoyur c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı iş nömrələri a və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi də adlanır vurma. Çoxalma qaydası belədir: .
Sifariş əlaqəsinin keçidliliyi. Rasional ədədlərin istənilən üçlüyü üçün a , b və cəgər a daha kiçik b və b daha kiçik c, sonra a daha kiçik c, və əgər a bərabərdir b və b bərabərdir c, sonra a bərabərdir c. 6435">Toplamanın kommutativliyi. Rasional terminlərin yerlərinin dəyişdirilməsindən cəmi dəyişmir.
Əlavənin assosiativliyi.Üç rasional ədədin əlavə olunma ardıcıllığı nəticəyə təsir etmir.
Sıfırın olması. Cəmləndikdə bütün digər rasional ədədləri saxlayan 0 rasional ədədi var.
Qarşılıqlı ədədlərin olması.İstənilən rasional ədədin əks rasional ədədi var, cəmləndikdə 0 verir.
Vurmanın kommutativliyi. Rasional amillərin yerlərini dəyişdirməklə məhsul dəyişmir.
Çoxalmanın assosiativliyi.Üç rasional ədədin vurulma ardıcıllığı nəticəyə təsir etmir.
Bir vahidin olması.Çoxaldıqda bütün digər rasional ədədləri saxlayan rasional 1 ədədi var.
Qarşılıqlılıqların olması.İstənilən rasional ədədin tərs rasional ədədi var, o, vurulduqda 1 verir.
Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması. Vurma əməliyyatı paylama qanunu vasitəsilə toplama əməliyyatına uyğundur:
Sifariş əlaqəsinin əlavə əməliyyatı ilə əlaqəsi. Eyni rasional ədədi rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinə əlavə etmək olar. /şəkillər/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arximed aksioması. Rasional rəqəm nə olursa olsun a, o qədər çox vahid götürə bilərsiniz ki, onların cəmi aşacaq a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Əlavə xüsusiyyətlər

Rasional ədədlərə xas olan bütün digər xassələr əsas xüsusiyyətlər kimi seçilmir, çünki ümumiyyətlə desək, onlar artıq birbaşa tam ədədlərin xassələrinə əsaslanmır, verilmiş əsas xassələr əsasında və ya bilavasitə tərifi ilə sübut edilə bilər. bəzi riyazi obyekt. Bu cür əlavə xüsusiyyətlərçoxlu. Burada onlardan yalnız bir neçəsini xatırlatmağın mənası var.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Hesablama qabiliyyətini təyin edin

Rasional ədədlərin nömrələnməsi

Rasional ədədlərin sayını təxmin etmək üçün onların dəstinin kardinallığını tapmaq lazımdır. Rasional ədədlər çoxluğunun hesablana bilən olduğunu sübut etmək asandır. Bunun üçün sadalayan bir alqoritm vermək kifayətdir rasional ədədlər, yəni rasional və natural ədədlər çoxluğu arasında bijection qurur.

Bu alqoritmlərdən ən sadəsi aşağıdakı kimidir. Hər biri üzərində adi kəsrlərin sonsuz cədvəli tərtib edilir i-hər birində ci sıra j sütunu kəsrdir. Dəqiqlik üçün bu cədvəlin sətir və sütunlarının birdən nömrələndiyi güman edilir. Cədvəl xanaları işarələnir , burada i- xananın yerləşdiyi cədvəlin sıra nömrəsi və j- sütun nömrəsi.

Alınan cədvəl aşağıdakı formal alqoritmə uyğun olaraq "ilan" tərəfindən idarə olunur.

Bu qaydalar yuxarıdan aşağıya doğru skan edilir və ilk uyğunluq əsasında növbəti mövqe seçilir.

Belə bir bypass prosesində hər yeni rasional nömrə növbəti birinə təyin olunur natural ədəd. Yəni 1/1 kəsrlərə 1 nömrə, 2/1 kəsrlərə - 2 rəqəmi və s. Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız reduksiya olunmayan kəsrlər nömrələnir. Kəsirin payı və məxrəcinin ən böyük ortaq bölənlərindən birinə bərabərlik azalmazlığın formal əlamətidir.

Bu alqoritmdən sonra bütün müsbət rasional ədədləri sadalamaq olar. Bu o deməkdir ki, müsbət rasional ədədlər çoxluğu hesablana bilər. Müsbət və mənfi rasional ədədlər dəstləri arasında bijection yaratmaq asandır, sadəcə olaraq hər rasional ədədə onun əksini təyin etməklə. Bu. mənfi rasional ədədlər çoxluğu da hesablana bilir. Onların birliyi də hesablana bilən çoxluqların xassəsinə görə hesablanır. Rasional ədədlər çoxluğu da hesablana bilən çoxluğun sonlu ilə birləşməsi kimi sayılır.

Rasional ədədlər çoxluğunun hesablanması ilə bağlı bəyanat bəzi çaşqınlıq yarada bilər, çünki ilk baxışda onun natural ədədlər çoxluğundan xeyli böyük olduğu təəssüratı yaranır. Əslində, belə deyil və bütün rasional olanları sadalamaq üçün kifayət qədər natural ədədlər var.

Rasional ədədlərin qeyri-kafiliyi

Belə üçbucağın hipotenuzası heç bir rasional ədədlə ifadə olunmur

1 / formasının rasional ədədləri n böyük nözbaşına kiçik miqdarlar ölçülə bilər. Bu fakt rasional ədədlərin ümumiyyətlə istənilən həndəsi məsafəni ölçə biləcəyi barədə yanlış təəssürat yaradır. Bunun doğru olmadığını göstərmək asandır.

Qeydlər

Ədəbiyyat

I. Kuşnir. Məktəblilər üçün riyaziyyat dərsliyi. - Kiyev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Aleksandrov. Çoxluqlar nəzəriyyəsi və ümumi topologiyaya giriş. - M.: baş. red. Fizika-Riyaziyyat. yandırıldı. red. "Elm", 1977
I. L. Xmelnitski. Cəbr sistemləri nəzəriyyəsinə giriş

Bağlantılar

Wikimedia Fondu. 2010.

Rasional ədədlər

dörddəbir

Səliqəlilik. a və b aralarında üç münasibətdən birini və yalnız birini unikal şəkildə müəyyən etməyə imkan verən bir qayda var: "< », « >' və ya ' = '. Bu qayda adlanır sifariş qaydası və aşağıdakı kimi tərtib edilir: iki qeyri-mənfi ədəd və iki tam ədəd ilə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; iki qeyri-müsbət ədəd a və b iki qeyri-mənfi ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; əgər birdən a mənfi olmayan və b- onda mənfi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
kəsrlərin cəmi
əlavə əməliyyat.İstənilən rasional ədədlər üçün a və b deyilən var toplama qaydası c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı məbləğ nömrələri a və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi deyilir ümumiləşdirmə. Toplama qaydası aşağıdakı formaya malikdir: .
vurma əməliyyatı.İstənilən rasional ədədlər üçün a və b deyilən var vurma qaydası, bu da onları hansısa rasional nömrə ilə yazışmalara qoyur c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı iş nömrələri a və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi də adlanır vurma. Çoxalma qaydası belədir: .
Sifariş əlaqəsinin keçidliliyi. Rasional ədədlərin istənilən üçlüyü üçün a , b və cəgər a daha kiçik b və b daha kiçik c, sonra a daha kiçik c, və əgər a bərabərdir b və b bərabərdir c, sonra a bərabərdir c. 6435">Toplamanın kommutativliyi. Rasional terminlərin yerlərinin dəyişdirilməsindən cəmi dəyişmir.
Əlavənin assosiativliyi.Üç rasional ədədin əlavə olunma ardıcıllığı nəticəyə təsir etmir.
Sıfırın olması. Cəmləndikdə bütün digər rasional ədədləri saxlayan 0 rasional ədədi var.
Qarşılıqlı ədədlərin olması.İstənilən rasional ədədin əks rasional ədədi var, cəmləndikdə 0 verir.
Vurmanın kommutativliyi. Rasional amillərin yerlərini dəyişdirməklə məhsul dəyişmir.
Çoxalmanın assosiativliyi.Üç rasional ədədin vurulma ardıcıllığı nəticəyə təsir etmir.
Bir vahidin olması.Çoxaldıqda bütün digər rasional ədədləri saxlayan rasional 1 ədədi var.
Qarşılıqlılıqların olması.İstənilən rasional ədədin tərs rasional ədədi var, o, vurulduqda 1 verir.
Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması. Vurma əməliyyatı paylama qanunu vasitəsilə toplama əməliyyatına uyğundur:
Sifariş əlaqəsinin əlavə əməliyyatı ilə əlaqəsi. Eyni rasional ədədi rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinə əlavə etmək olar. /şəkillər/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arximed aksioması. Rasional rəqəm nə olursa olsun a, o qədər çox vahid götürə bilərsiniz ki, onların cəmi aşacaq a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Əlavə xüsusiyyətlər

Rasional ədədlərə xas olan bütün digər xassələr əsas xüsusiyyətlər kimi seçilmir, çünki ümumiyyətlə desək, onlar artıq birbaşa tam ədədlərin xassələrinə əsaslanmır, verilmiş əsas xassələr əsasında və ya birbaşa təriflə sübut edilə bilər. bəzi riyazi obyekt. Belə əlavə xüsusiyyətlər çoxdur. Burada onlardan yalnız bir neçəsini xatırlatmağın mənası var.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Hesablama qabiliyyətini təyin edin

Rasional ədədlərin nömrələnməsi

Rasional ədədlərin sayını təxmin etmək üçün onların dəstinin kardinallığını tapmaq lazımdır. Rasional ədədlər çoxluğunun hesablana bilən olduğunu sübut etmək asandır. Bunun üçün rasional ədədləri sadalayan, yəni rasional və natural ədədlər çoxluğu arasında bijection quran bir alqoritm vermək kifayətdir.

Alınan cədvəl aşağıdakı formal alqoritmə uyğun olaraq "ilan" tərəfindən idarə olunur.

Bu qaydalar yuxarıdan aşağıya doğru skan edilir və ilk uyğunluq əsasında növbəti mövqe seçilir.

Belə bir bypass prosesində hər yeni rasional ədəd növbəti natural ədədə təyin olunur. Yəni 1/1 kəsrlərə 1 nömrə, 2/1 kəsrlərə - 2 rəqəmi və s. Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız reduksiya olunmayan kəsrlər nömrələnir. Kəsirin payı və məxrəcinin ən böyük ortaq bölənlərindən birinə bərabərlik azalmazlığın formal əlamətidir.

Rasional ədədlərin qeyri-kafiliyi

Belə üçbucağın hipotenuzası heç bir rasional ədədlə ifadə olunmur

Qeydlər

Ədəbiyyat

I. Kuşnir. Məktəblilər üçün riyaziyyat dərsliyi. - Kiyev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Aleksandrov. Çoxluqlar nəzəriyyəsi və ümumi topologiyaya giriş. - M.: baş. red. Fizika-Riyaziyyat. yandırıldı. red. "Elm", 1977
I. L. Xmelnitski. Cəbr sistemləri nəzəriyyəsinə giriş

Bağlantılar

Wikimedia Fondu. 2010.

) müsbət və ya mənfi işarəli (tam və kəsr) və sıfır olan ədədlərdir. Rasional ədədlərin daha dəqiq konsepsiyası belə səslənir:

rasional ədəd- sadə kəsrlə ifadə olunan ədəd m/n, sayının olduğu yer m tam ədədlər və məxrəcdir n- tam ədədlər, məsələn 2/3.

Sonsuz qeyri-dövri kəsrlər rasional ədədlər toplusuna daxil DEYİL.

a/b, harada a∈ Z (a tam ədədlərə aiddir) b∈ N (b natural ədədlərə aiddir).

Real həyatda rasional ədədlərdən istifadə.

Real həyatda rasional ədədlər dəsti bəzi tam bölünə bilən obyektlərin hissələrini saymaq üçün istifadə olunur, Misal üçün, tortlar və ya istehlakdan əvvəl parçalara kəsilmiş digər qidalar və ya uzadılmış obyektlərin məkan əlaqələrinin təxmini qiymətləndirilməsi üçün.

Rasional ədədlərin xassələri.

Rasional ədədlərin əsas xassələri.

2 müsbət rəqəm a=m a /n a və b=m b /n b 2 tam ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır m a⋅ nb və m b⋅ n a;
2 mənfi ədəd a və b 2 müsbət ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır |b| və |a|;
nə vaxt a müsbət və b- onda mənfi a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

Toplama qaydası belə görünür:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

vurma qaydası belə görünür: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Əlavənin kommutativliyi. Rasional terminlərin yerlərinin dəyişməsindən cəmi dəyişmir.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Əlavənin assosiativliyi. 3 rasional ədədin toplanması qaydası nəticəyə təsir etmir.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfırın olması. 0 rasional ədədi var, əlavə edildikdə bütün digər rasional ədədləri saxlayır.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Qarşılıqlı ədədlərin olması. İstənilən rasional ədədin əks rasional ədədi var, onları bir araya toplamaq 0-ı verir.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Vurmanın kommutativliyi. Rasional amillərin yerlərini dəyişdirməklə məhsul dəyişmir.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Çoxalmanın assosiativliyi. 3 rasional ədədin vurulma qaydası nəticəyə təsir etmir.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Vahidin mövcudluğu. Rasional ədəd 1 var, vurma prosesində bütün digər rasional ədədləri saxlayır.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Qarşılıqlılıqların olması. Sıfırdan başqa hər hansı bir rasional ədədin tərs rasional ədədi var, onu çarparaq 1 alırıq. .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması. Vurma əməliyyatı paylama qanunundan istifadə edərək toplama ilə bağlıdır:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Sifariş əlaqəsinin əlavə əməliyyatı ilə əlaqəsi. Rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinə eyni rasional ədəd əlavə edilir.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Tərtib əlaqəsinin vurma əməliyyatı ilə əlaqəsi. Rasional bərabərsizliyin sol və sağ tərəfləri eyni qeyri-mənfi rasional ədədə vurula bilər.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arximed aksioması. Rasional rəqəm nə olursa olsun a, o qədər çox vahid götürmək asandır ki, onların cəmi daha böyük olacaqdır a.

Bu yarımbölmədə biz rasional ədədlərin bir neçə tərifini veririk. Sözlərdəki fərqlərə baxmayaraq, bütün bu təriflər eyni məna daşıyır: tam ədədlər natural ədədləri, onların əks ədədlərini və sıfır rəqəmini birləşdirdiyi kimi rasional ədədlər də tam və kəsr ədədləri birləşdirir. Başqa sözlə, rasional ədədlər tam və kəsr ədədləri ümumiləşdirir.

ilə başlayaq rasional ədədlərin tərifləriən təbii kimi qəbul edilir.

Tərif.

Rasional ədədlər müsbət kimi yazıla bilən ədədlərdir ümumi kəsr, mənfi ümumi kəsr və ya sıfır rəqəmi.

Səslənən tərifdən belə çıxır ki, rasional ədəd:

istənilən natural ədəd n. Həqiqətən, istənilən natural ədədi adi kəsr kimi göstərmək olar, məsələn, 3=3/1 .

· İstənilən tam ədəd, xüsusən də sıfır ədədi. Həqiqətən də, istənilən tam ədədi ya müsbət ümumi kəsr, həm mənfi ümumi kəsr, ya da sıfır kimi yazmaq olar. Misal üçün, 26=26/1 , .

İstənilən adi fraksiya (müsbət və ya mənfi). Bu, rasional ədədlərin verilmiş tərifi ilə birbaşa ifadə edilir.

Hər hansı qarışıq nömrə. Həqiqətən, qarışıq ədədi düzgün olmayan ümumi kəsr kimi göstərmək həmişə mümkündür. Məsələn, və.

· İstənilən sonlu onluq kəsr və ya sonsuz dövri kəsr. Bunun səbəbi, göstərilən onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsidir. Məsələn, a 0,(3)=1/3 .

Həm də aydındır ki, hər hansı sonsuz təkrar olunmayan onluq rasional ədəd DEYİL, çünki o, ümumi kəsr kimi göstərilə bilməz.

İndi rahatlıqla gətirə bilərik rasional ədədlərin nümunələri. Nömrələri 4 ,903 , 100 321 rasional ədədlərdir, çünki onlar natural ədədlərdir. Tam ədədlər 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 rasional ədədlərə də nümunələrdir. Ümumi fraksiyalar 4/9 , 99/3 , həm də rasional ədədlərə misaldır. Rasional ədədlər də ədədlərdir.

Yuxarıdakı misallardan görünür ki, həm müsbət, həm də mənfi rasional ədədlər var və sıfır rasional ədədi nə müsbət, nə də mənfidir.

Rasional ədədlərin yuxarıdakı tərifi daha qısa formada tərtib edilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər kəsr kimi yazıla bilən ədədi adlandırın z/n, harada z tam ədəddir və n- natural ədəd.

Rasional ədədlərin bu tərifinin əvvəlki tərifə ekvivalent olduğunu sübut edək. Bilirik ki, kəsrin zolağına bölmə əlaməti kimi baxa bilərik, onda tam ədədlərin bölünməsinin xassələrindən və tam ədədlərin bölünməsi qaydalarından aşağıdakı bərabərliklərin etibarlılığı gəlir və. Deməli, sübut budur.

Bu tərif əsasında rasional ədədlərə misallar veririk. Nömrələri −5 , 0 , 3 , və rasional ədədlərdir, çünki onlar müvafiq olaraq tam ədəd və formanın natural məxrəci ilə kəsr kimi yazıla bilər.

Rasional ədədlərin tərifi aşağıdakı formada da verilə bilər.

Tərif.

Rasional ədədlər sonlu və ya sonsuz dövri olaraq yazıla bilən ədədlərdir onluq kəsr.

Bu tərif həm də birinci tərifə bərabərdir, çünki hər hansı adi kəsr sonlu və ya dövri onluq kəsrə və əksinə uyğun gəlir və istənilən tam ədəd ondalık nöqtədən sonra sıfırlarla onluq kəsrlə əlaqələndirilə bilər.

Məsələn, rəqəmlər 5 , 0 , −13 , rasional ədədlərə misaldır, çünki onlar aşağıdakı onluq kəsrlər kimi yazıla bilər 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 və −7,(18) .

Bu bölmənin nəzəriyyəsini aşağıdakı ifadələrlə tamamlayırıq:

tam və kəsr ədədləri (müsbət və mənfi) rasional ədədlər çoxluğunu təşkil edir;

Hər bir rasional ədəd tam ədədi və natural məxrəci olan kəsr kimi təqdim oluna bilər və hər bir belə kəsr rasional ədəddir;

Hər bir rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər və hər belə kəsr hansısa rasional ədədi təmsil edir.

Səhifənin yuxarısı

Müsbət rasional ədədlərin toplanması kommutativ və assosiativdir,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Müsbət rasional ədədlərin vurulmasının tərifini tərtib etməzdən əvvəl aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin: məlumdur ki, X seqmentinin uzunluğu E vahid uzunluğunda kəsr kimi ifadə edilir və vahid seqmentin uzunluğu E 1 vahidi ilə ölçülür. və kəsr kimi ifadə edilir. E 1 uzunluq vahidindən istifadə edərək ölçsəniz, X seqmentinin uzunluğunu təmsil edəcək ədədi necə tapmaq olar?

X=E olduğundan, onda nX=mE və E =E 1 olmasından belə çıxır ki, qE=pE 1 . Alınan birinci bərabərliyi q, ikincini isə m-ə vururuq. Sonra (nq)X \u003d (mq)E və (mq)E \u003d (mp)E 1, buradan (nq)X \u003d (mp)E 1. Bu bərabərlik göstərir ki, x seqmentinin vahid uzunluğunda uzunluğu kəsr kimi ifadə edilir və deməli , =, yəni. fraksiyaların vurulması eyni seqmentin uzunluğunu ölçərkən bir uzunluq vahidindən digərinə keçidlə əlaqələndirilir.

Tərif.Əgər müsbət a ədədi kəsrlə, b müsbət rasional ədədi isə kəsrlə təmsil olunursa, onda onların hasilinə kəsrlə ifadə olunan a b ədədi deyilir.

Müsbət rasional ədədlərin vurulması toplama və çıxmaya görə kommutativ, assosiativ və paylayıcı. Bu xassələrin sübutu müsbət rasional ədədlərin vurulması və toplanmasının tərifinə, habelə natural ədədlərin toplanması və vurulmasının müvafiq xassələrinə əsaslanır.

46. Bildiyiniz kimi çıxmaəlavənin əksidir.

Əgər a a və b - müsbət ədədlər, onda a rəqəmindən b rəqəmini çıxmaq, b rəqəminə əlavə olunduqda a rəqəmini verən c ədədini tapmaq deməkdir.
a - b = c və ya c + b = a
Çıxarmanın tərifi bütün rasional ədədlər üçün doğrudur. Yəni müsbət və mənfi ədədlərin çıxılmasını toplama ilə əvəz etmək olar.
Bir ədəddən digərini çıxarmaq üçün əks nömrəni minuendinə əlavə etmək lazımdır.
Və ya başqa bir şəkildə deyə bilərik ki, b ədədinin çıxılması eyni toplamadır, lakin ədədlə əks nömrə b.
a - b = a + (- b)
Misal.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Misal.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Aşağıdakı ifadələri xatırlamağa dəyər.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Mənfi ədədlərin çıxılması qaydaları
b ədədinin çıxılması b ədədinin əksinə olan ədədin toplanmasıdır.
Bu qayda nəinki daha kiçik rəqəmi daha böyük rəqəmdən çıxararkən qorunur, həm də daha kiçik rəqəmdən çıxmağa imkan verir. daha çox, yəni iki ədədin fərqini həmişə tapa bilərsiniz.
Fərq müsbət rəqəm ola bilər, mənfi rəqəm və ya sıfır rəqəmi.
Mənfi çıxılma nümunələri və müsbət ədədlər.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Mötərizənin sayını azaltmağa imkan verən işarə qaydasını xatırlamaq rahatdır.
Artı işarəsi rəqəmin işarəsini dəyişmir, ona görə də mötərizənin qarşısında artı varsa, mötərizədəki işarə dəyişmir.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Mötərizənin qarşısındakı mənfi işarə mötərizədə olan rəqəmin işarəsini tərsinə çevirir.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Bərabərliklərdən görünür ki, mötərizədə əvvəl və mötərizədə eyni işarələr varsa, onda “+”, işarələr fərqlidirsə, “-” alırıq.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Mötərizədə bir ədəd deyil, ədədlərin cəbri cəmi olduqda işarələr qaydası da qorunur.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Nəzərə alın ki, mötərizədə bir neçə rəqəm varsa və mötərizənin qarşısında mənfi işarə varsa, bu mötərizədə bütün rəqəmlərin qarşısındakı işarələr dəyişməlidir.
İşarələr qaydasını xatırlamaq üçün bir nömrənin əlamətlərini təyin etmək üçün bir cədvəl hazırlaya bilərsiniz.
Rəqəmlər üçün işarə qaydası + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Və ya sadə bir qayda öyrənin.
İki mənfi bir təsdiq edir,
Artı dəfə mənfi bərabər mənfi.

Mənfi ədədlərin bölünməsi qaydaları.
Hissənin modulunu tapmaq üçün dividend modulunu bölənin moduluna bölmək lazımdır.
Beləliklə, eyni işarələri olan iki ədədi bölmək üçün sizə lazımdır:

Dividendin modulunu bölənin moduluna bölün;

Nəticənin qarşısında "+" işarəsi qoyun.

Ədədlərin bölünməsi nümunələri müxtəlif əlamətlər:

Bölmə işarəsini təyin etmək üçün aşağıdakı cədvəldən də istifadə edə bilərsiniz.
Bölmə zamanı işarələrin qaydası
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Yalnız vurma və bölmənin göründüyü "uzun" ifadələri hesablayarkən işarə qaydasından istifadə etmək çox rahatdır. Məsələn, kəsri hesablamaq üçün
Diqqət yetirə bilərsiniz ki, paylayıcıda 2 "mənfi" işarəsi var, onlar vurulduqda "artı" verəcəkdir. Məxrəcdə üç mənfi işarə də var, onlar vurulduqda mənfi olacaq. Buna görə də sonda nəticə mənfi işarə ilə olacaq.
Fraksiya azaldılması ( əlavə tədbirlərədəd modulları ilə) əvvəlki kimi yerinə yetirilir:
Sıfırı sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək nisbəti sıfırdır.
0: a = 0, a ≠ 0
Sıfıra Bölməyin!
Birə bölmək üçün əvvəllər məlum olan bütün qaydalar rasional ədədlər toplusuna da aiddir.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, burada a istənilən rasional ədəddir.
Müsbət ədədlərlə tanınan vurma və bölmənin nəticələri arasındakı asılılıqlar bütün rasional ədədlər üçün də qorunur (sıfır rəqəmi istisna olmaqla):
əgər a × b = c; a = c: b; b = c: a;
əgər a: b = c; a = c × b; b=a:c
Bu asılılıqlar tapmaq üçün istifadə olunur naməlum çarpan, dividend və bölən (tənlikləri həll edərkən), həmçinin vurma və bölmənin nəticələrini yoxlamaq üçün.
Naməlumun tapılması nümunəsi.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2