Kəskin bucağın kosinusu nədir. Sinus, kosinus, tangens və kotangens - OGE və İSTİFADƏ-də bilməli olduğunuz hər şey

Bir nöqtədə mərkəzləşdirilmişdir A.
α radyanla ifadə olunan bucaqdır.

Tərif
Sinus- Bu triqonometrik funksiya, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq, əks ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər |BC| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Kosinus (cos α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq, bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Qəbul edilmiş təyinatlar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiyasının qrafiki, y = sin x

Kosinus funksiyasının qrafiki, y = cos x

Sinus və kosinusun xassələri

Dövrilik

Funksiyalar y= günah x və y= cos x dövri olan dövri 2 pi.

Paritet

Sinus funksiyası qəribədir. Kosinus funksiyası cütdür.

Tərif və dəyərlər sahəsi, ekstremal, artım, azalma

Sinus və kosinus funksiyaları öz tərif sahəsində, yəni bütün x üçün davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Onların əsas xassələri cədvəldə verilmişdir (n - tam ədəd).

Əsas düsturlar

Kvadrat sinus və kosinusun cəmi

Cəm və fərq üçün sinus və kosinus düsturları

;
;

Sinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Cəm və fərq düsturları

Kosinus vasitəsilə sinusun ifadəsi

;
;
;
.

Kosinusun sinus vasitəsilə ifadəsi

;
;
;
.

Tangens baxımından ifadə

; .

Üçün, bizdə var:
; .

Burada:
; .

Sinuslar və kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəli

Bu cədvəl arqumentin bəzi dəyərləri üçün sinusların və kosinusların dəyərlərini göstərir.

Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr

;

Eyler düsturu

Hiperbolik funksiyalar baxımından ifadələr

;
;

Törəmələri

; . Düsturların törəməsi > > >

n-ci dərəcəli törəmələr:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Tərs funksiyalar

Sinus və kosinusun tərs funksiyaları müvafiq olaraq arksinüs və arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və Ali Təhsil Müəssisələrinin Tələbələri üçün Riyaziyyat Kitabı, Lan, 2009.

Müəllimlər hesab edirlər ki, hər bir şagird hesablama aparmağı bacarmalı, triqonometrik düsturları bilməlidir, lakin hər müəllim sinus və kosinusun nə olduğunu izah etmir. Onların mənası nədir, harada istifadə olunur? Niyə üçbucaqdan danışırıq, amma dərslikdə dairə çəkilib? Gəlin bütün faktları birləşdirməyə çalışaq.

Məktəb mövzusu

Triqonometriyanın öyrənilməsi adətən 7-8-ci siniflərdən başlayır Ali məktəb. Bu zaman şagirdlərə sinus və kosinusun nə olduğu izah edilir, onlara bu funksiyalardan istifadə etməklə həndəsi məsələləri həll etmək təklif olunur. Daha sonra görünür mürəkkəb düsturlar və cəbri üsulla çevrilməsi lazım olan ifadələr (iki və yarım bucaq düsturları, güc funksiyaları) triqonometrik çevrə ilə iş aparılır.

Bununla belə, müəllimlər heç də həmişə istifadə olunan anlayışların mənasını və düsturların tətbiqi imkanlarını aydın şəkildə izah edə bilmirlər. Ona görə də tələbə çox vaxt bu mövzuda mətləbi görmür, yadda qalan məlumatlar tez unudulur. Bununla belə, orta məktəb şagirdinə bir dəfə izah etməyə dəyər, məsələn, funksiya və salınım hərəkəti arasındakı əlaqə və məntiqi əlaqə uzun illər yadda qalacaq və mövzunun faydasızlığı ilə bağlı zarafatlar bir şeyə çevriləcəkdir. keçmiş.

İstifadəsi

Maraq üçün gəlin fizikanın müxtəlif sahələrinə nəzər salaq. Bir mərminin məsafəsini müəyyən etmək istəyirsiniz? Yoxsa cisimlə müəyyən bir səth arasındakı sürtünmə qüvvəsini hesablayırsan? Sarkaç yelləmək, şüşədən keçən şüaları seyr etmək, induksiyanı hesablamaq? Triqonometrik anlayışlar demək olar ki, hər hansı bir düsturda görünür. Beləliklə, sinus və kosinus nədir?

Təriflər

Bucağın sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir, kosinus qonşu ayağın eyni hipotenuza nisbətidir. Burada tamamilə mürəkkəb bir şey yoxdur. Bəlkə də tələbələr adətən triqonometrik cədvəldə gördükləri dəyərlərlə çaşqın olurlar, çünki kvadrat köklər orada görünür. Bəli, onlardan onluq kəsrlər almaq çox rahat deyil, amma kim dedi ki, riyaziyyatda bütün ədədlər cüt olmalıdır?

Əslində, triqonometriya problem kitablarında gülməli bir ipucu tapa bilərsiniz: buradakı cavabların əksəriyyəti cütdür və ən pis halda iki və ya üçün kökünü ehtiva edir. Nəticə sadədir: əgər cavabınızda "çox mərtəbəli" fraksiya varsa, hesablamalar və ya əsaslandırmalardakı səhvlərin həllini iki dəfə yoxlayın. Və çox güman ki, onları tapacaqsınız.

Nə xatırlamaq lazımdır

Hər bir elmdə olduğu kimi, triqonometriyada da öyrənilməli olan məlumatlar var.

Əvvəlcə düzgün üçbucağın 0 və 90 sinusları, kosinusları, həmçinin 30, 45 və 60 dərəcələri üçün ədədi dəyərləri xatırlamalısınız. Bu göstəricilərə on məktəb tapşırığından doqquzunda rast gəlinir. Dərslikdə bu dəyərlərə nəzər salmaqla çox vaxt itirəcəksiniz və nəzarət və imtahana baxmağa yer qalmayacaq.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər iki funksiyanın dəyəri birdən çox ola bilməz. Hesablamanın hər hansı bir yerində 0-1 diapazonundan kənar bir dəyər əldə etsəniz, dayandırın və problemi yenidən həll edin.

Sinus və kosinusun kvadratlarının cəmi birə bərabərdir. Əgər siz artıq dəyərlərdən birini tapmısınızsa, qalanını tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edin.

Teoremlər

Əsas triqonometriyada iki əsas teorem var: sinuslar və kosinuslar.

Birincisi deyir ki, üçbucağın hər tərəfinin əks bucağın sinusuna nisbəti eynidir. İkincisi, hər hansı bir tərəfin kvadratını qalan iki tərəfin kvadratlarını əlavə edərək və onların hasilini iki dəfə çıxarmaqla, aralarında yerləşən bucağın kosinusu ilə əldə etmək olar.

Beləliklə, 90 dərəcə bucaq qiymətini kosinus teoreminə əvəz etsək, ... Pifaqor teoremini alırıq. İndi, düz üçbucaq olmayan bir fiqurun sahəsini hesablamağınız lazımdırsa, artıq narahat olmaya bilərsiniz - nəzərdən keçirilən iki teorem problemin həllini xeyli asanlaşdıracaq.

Məqsədlər və məqsədlər

Bir sadə faktı dərk etdikdə triqonometriyanın öyrənilməsi xeyli asanlaşacaq: yerinə yetirdiyiniz bütün hərəkətlər bir məqsədə çatmağa yönəlib. Üçbucağın istənilən parametrlərini, onun haqqında ən az məlumatı bildiyiniz halda tapmaq olar - bu, bir bucağın qiyməti və iki tərəfin uzunluğu və ya məsələn, üç tərəf ola bilər.

İstənilən bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini təyin etmək üçün bu məlumatlar kifayətdir, onların köməyi ilə rəqəmin sahəsini asanlıqla hesablaya bilərsiniz. Demək olar ki, həmişə qeyd olunan dəyərlərdən biri cavab olaraq tələb olunur və siz onları eyni düsturlardan istifadə edərək tapa bilərsiniz.

Triqonometriyanın öyrənilməsində uyğunsuzluqlar

Tələbələrin qaçmağa üstünlük verdikləri qaranlıq suallardan biri də triqonometriyada müxtəlif anlayışlar arasında əlaqənin aşkarlanmasıdır. Görünür ki, üçbucaqlar bucaqların sinuslarını və kosinuslarını öyrənmək üçün istifadə olunur, lakin nədənsə simvollara tez-tez bir dairə ilə şəkildə rast gəlinir. Bundan əlavə, sinusoid adlanan, nə çevrəyə, nə də üçbucaqlara heç bir xarici oxşarlığı olmayan tamamilə anlaşılmaz dalğaya bənzər bir qrafik var.

Üstəlik, bucaqlar ya dərəcələrlə, ya da radyanlarla ölçülür və sadəcə olaraq 3.14 (vahidlər olmadan) yazılmış Pi sayı nədənsə 180 dərəcəyə uyğun gələn düsturlarda görünür. Hamısı necə bağlıdır?

Vahidlər

Niyə pi tam olaraq 3.14-dür? Bu dəyərin nə olduğunu xatırlayırsınız? Bu, dairənin yarısında qövsə uyğun gələn radiusların sayıdır. Dairənin diametri 2 santimetrdirsə, çevrə 3,14 * 2 və ya 6,28 olacaqdır.

İkinci məqam: "radian" və "radius" sözlərinin oxşarlığına diqqət yetirmisiniz. Fakt budur ki, bir radian, dairənin mərkəzindən uzunluğu bir radius olan bir qövsə çəkilmiş bucağın dəyərinə ədədi olaraq bərabərdir.

İndi biz əldə etdiyimiz bilikləri birləşdiririk və triqonometriyada koordinat oxunun yuxarısında niyə “Yarıda Pi”, solda isə “Pi” yazıldığını başa düşürük. Bu, radyanla ölçülən bucaq dəyəridir, çünki yarımdairə 180 dərəcə və ya 3,14 radyandır. Və dərəcələr olan yerdə sinuslar və kosinuslar var. Üçbucağı çəkmək asandır arzu olunan nöqtə, seqmentləri mərkəzə və koordinat oxuna təxirə salmaq.

Gələcəyə baxaq

Məktəbdə öyrənilən triqonometriya düzxətli koordinat sistemi ilə məşğul olur, burada nə qədər qəribə səslənsə də, bir xətt bir xəttdir.

Amma daha çox var çətin yollar boşluqla işləmək: buradakı üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədən çox olacaq və bizim fikrimizcə düz xətt həqiqi bir qövs kimi görünəcəkdir.

Gəlin sözdən əmələ keçək! Bir alma götürün. Bıçaqla üç kəsik edin ki, yuxarıdan baxanda üçbucaq alın. Yaranan alma parçasını çıxarın və qabığın bitdiyi "qabırğalara" baxın. Onlar heç də düz deyillər. Əlinizdə olan meyvələri şərti olaraq yuvarlaq adlandırmaq olar və indi düsturların nə qədər mürəkkəb olması lazım olduğunu təsəvvür edin, onun köməyi ilə kəsilmiş parçanın sahəsini tapa bilərsiniz. Ancaq bəzi ekspertlər bu cür problemləri gündəlik həll edirlər.

Real həyatda triqonometrik funksiyalar

Planetimizin səthindəki A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər bir təyyarə üçün ən qısa marşrutun açıq bir qövs formasına sahib olduğunu görmüsünüzmü? Səbəb sadədir: Yer kürə formasındadır, bu o deməkdir ki, üçbucaqlardan istifadə etməklə çox hesablamaq mümkün deyil - burada daha mürəkkəb düsturlardan istifadə etməlisiniz.

Kosmosla əlaqəli hər hansı bir məsələdə kəskin bir bucağın sinüsü / kosinusu olmadan edə bilməzsiniz. Maraqlıdır ki, burada bir sıra amillər birləşir: planetlərin dairələr, ellipslər və müxtəlif trayektoriyalar üzrə hərəkətini 1-dən çox müddətə hesablayarkən triqonometrik funksiyalar tələb olunur. mürəkkəb formalar; raketlərin, peyklərin, servislərin buraxılması, tədqiqat aparatlarının boşaldılması prosesi; uzaq ulduzları müşahidə etmək və insanların yaxın gələcəkdə çata bilməyəcəyi qalaktikaları öyrənmək.

Ümumiyyətlə, triqonometriyaya sahib olan bir insanın fəaliyyət sahəsi çox genişdir və görünür, yalnız zamanla genişlənəcəkdir.

Nəticə

Bu gün biz sinus və kosinusun nə olduğunu öyrəndik və ya hər halda təkrarladıq. Bunlar qorxmaq lazım olmayan anlayışlardır - sadəcə istəyərsiniz və onların mənasını başa düşəcəksiniz. Unutmayın ki, triqonometriya məqsəd deyil, yalnız real ehtiyacları ödəmək üçün istifadə edilə bilən bir vasitədir. insan ehtiyacları: evlər tikin, yol hərəkəti təhlükəsizliyini təmin edin, hətta kainatın genişliklərini araşdırın.

Həqiqətən də, elmin özü darıxdırıcı görünə bilər, lakin siz onda öz məqsədlərinizə çatmaq, özünü həyata keçirmək üçün bir yol tapan kimi, öyrənmə prosesi maraqlı olacaq və şəxsi motivasiyanız artacaq.

kimi ev tapşırığışəxsən sizin üçün maraqlı olan fəaliyyət sahəsində triqonometrik funksiyaları tətbiq etməyin yollarını tapmağa çalışın. Xəyal qurun, təxəyyülünüzü işə salın və o zaman şübhəsiz ki, yeni biliklər gələcəkdə sizin üçün faydalı olacaq. Bundan əlavə, riyaziyyat faydalıdır ümumi inkişaf düşüncə.

Triqonometriya bir elm olaraq Qədim Şərqdə yaranmışdır. İlk triqonometrik nisbətlər astronomlar tərəfindən dəqiq təqvim yaratmaq və ulduzlar tərəfindən istiqamətləndirmək üçün hazırlanmışdır. Bu hesablamalar sferik triqonometriya ilə əlaqədardır, məktəb kursunda isə düz üçbucağın tərəflərinin nisbətini və bucağını öyrənirlər.

Triqonometriya triqonometrik funksiyaların xassələri və üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqə ilə məşğul olan riyaziyyatın bir sahəsidir.

Eramızın 1-ci minilliyində mədəniyyət və elmin çiçəkləndiyi dövrdə bilik Qədim Şərqdən Yunanıstana yayıldı. Ancaq triqonometriyanın əsas kəşfləri ərlərin ləyaqətidir Ərəb xilafəti. Xüsusilə, türkmən alimi əl-Mərəzvi tangens və kotangens kimi funksiyaları təqdim etmiş, sinuslar, tangenslər və kotangenslər üçün ilk qiymət cədvəllərini tərtib etmişdir. Sinus və kosinus anlayışı hind alimləri tərəfindən təqdim edilmişdir. Evklid, Arximed və Eratosfen kimi antik dövrün böyük şəxsiyyətlərinin əsərlərində triqonometriyaya çox diqqət yetirilir.

Triqonometriyanın əsas kəmiyyətləri

Ədədi arqumentin əsas triqonometrik funksiyaları sinus, kosinus, tangens və kotangensdir. Onların hər birinin öz qrafiki var: sinus, kosinus, tangens və kotangens.

Bu kəmiyyətlərin dəyərlərini hesablamaq üçün düsturlar Pifaqor teoreminə əsaslanır. Məktəblilərə daha yaxşı məlumdur: “Bütün istiqamətlərdə bərabər Pifaqor şalvarları”, çünki sübut ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın timsalında verilir.

Sinus, kosinus və digər asılılıqlar istənilən düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları və tərəfləri arasında əlaqə yaradır. A bucağı üçün bu kəmiyyətləri hesablamaq üçün düsturlar veririk və triqonometrik funksiyaların əlaqəsini izləyirik:

Gördüyünüz kimi, tg və ctg var tərs funksiyalar. Əgər a ayağını sin A və hipotenuzanın c hasili, b ayağını isə cos A * c kimi təqdim etsək, onda tangens və kotangens üçün aşağıdakı düsturları alarıq:

triqonometrik dairə

Qrafik olaraq qeyd olunan kəmiyyətlərin nisbəti aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Bu vəziyyətdə dairə hər şeydir mümkün dəyərlər bucaq α — 0°-dən 360°-ə qədər. Şəkildən göründüyü kimi, hər bir funksiya mənfi və ya qəbul edir müsbət dəyər bucaqdan asılı olaraq. Məsələn, α dairənin I və II rüblərinə aiddirsə, yəni 0 ° ilə 180 ° arasındadırsa, sin α "+" işarəsi ilə olacaqdır. α ilə 180°-dən 360°-yə qədər (III və IV rüblər) sin α yalnız mənfi qiymət ola bilər.

Gəlin konkret bucaqlar üçün triqonometrik cədvəllər qurmağa və kəmiyyətlərin mənasını öyrənməyə çalışaq.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° və s.-ə bərabər olan α qiymətləri xüsusi hallar adlanır. Onlar üçün triqonometrik funksiyaların dəyərləri hesablanır və xüsusi cədvəllər şəklində təqdim olunur.

Bu açılar təsadüfən seçilməyib. Cədvəllərdə π təyinatı radyanlar üçündür. Rad dairəvi qövsün uzunluğunun onun radiusuna uyğun olduğu bucaqdır. Bu dəyər universal əlaqə yaratmaq üçün təqdim edilmişdir; radyanlarda hesablayarkən, radiusun sm-də həqiqi uzunluğunun əhəmiyyəti yoxdur.

Triqonometrik funksiyalar üçün cədvəllərdəki bucaqlar radian qiymətlərinə uyğundur:

Beləliklə, 2π-nin tam çevrə və ya 360° olduğunu təxmin etmək çətin deyil.

Triqonometrik funksiyaların xassələri: sinus və kosinus

Sinus və kosinusun, tangens və kotangensin əsas xassələrini nəzərdən keçirmək və müqayisə etmək üçün onların funksiyalarını çəkmək lazımdır. Bu, iki ölçülü koordinat sistemində yerləşən əyri şəklində edilə bilər.

Sinus dalğası və kosinus dalğası üçün xassələrin müqayisəli cədvəlini nəzərdən keçirin:

Bir funksiyanın cüt olub olmadığını müəyyən etmək çox sadədir. Triqonometrik kəmiyyətlərin əlamətləri olan bir triqonometrik dairəni təsəvvür etmək və OX oxuna nisbətən qrafiki zehni olaraq "qatlamaq" kifayətdir. İşarələr eynidirsə, funksiya cüt, əks halda isə təkdir.

Radianların tətbiqi və sinusoid və kosinus dalğasının əsas xüsusiyyətlərinin sadalanması bizə aşağıdakı nümunəni gətirməyə imkan verir:

Formulun düzgünlüyünü yoxlamaq çox asandır. Məsələn, x = π/2 üçün sinus, x = 0-ın kosinusu kimi 1-ə bərabərdir. Doğrulama cədvəllərə baxmaqla və ya verilmiş qiymətlər üçün funksiya əyrilərini izləməklə həyata keçirilə bilər.

Tangentoid və kotangentoidin xassələri

Tangens və kotangens funksiyalarının qrafikləri sinusoid və kosinus dalğasından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. tg və ctg dəyərləri bir-birinə tərsdir.

1. Y = tgx.
2. Tangens x = π/2 + πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
3. Ən azı müsbət dövr tangentoid π-ə bərabərdir.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, yəni funksiya təkdir.
5. Tg x = 0, x = πk üçün.
6. Funksiya artır.
7. Tg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ üçün (— π/2 + πk, πk).
9. Törəmə (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

düşünün qrafik şəkil aşağıda kotangentoidlər.

Kotangentoidin əsas xüsusiyyətləri:

1. Y = ctgx.
2. Sinus və kosinus funksiyalarından fərqli olaraq, tangentoiddə Y bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun dəyərlərini qəbul edə bilər.
3. Kotangentoid x = πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
4. Kotangentoidin ən kiçik müsbət dövrü π-dir.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, yəni funksiya təkdir.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk üçün.
7. Funksiya azalır.
8. Ctg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ üçün (π/2 + πk, πk).
10. Törəmə (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Düzəlt

Məktəblilərin öhdəsindən gəldiyi riyaziyyat bölmələrindən biri ən böyük çətinliklər, triqonometriyadır. Təəccüblü deyil: bu bilik sahəsini sərbəst mənimsəmək üçün sizə fəza təfəkkürü, düsturlardan istifadə edərək sinusları, kosinusları, tangensləri, kotangentləri tapmaq, ifadələri sadələşdirmək və hesablamalarda pi sayından istifadə etmək bacarığı lazımdır. Bundan əlavə, teoremləri sübut edərkən triqonometriyanı tətbiq etməyi bacarmalısınız və bunun üçün ya inkişaf etmiş riyazi yaddaş, ya da mürəkkəb məntiqi zəncirləri çıxarmaq bacarığı tələb olunur.

Triqonometriyanın mənşəyi

Bu elmlə tanışlıq bucağın sinusunun, kosinusunun və tangensinin tərifindən başlamalıdır, lakin əvvəlcə triqonometriyanın ümumiyyətlə nə etdiyini anlamaq lazımdır.

Tarixən düzbucaqlı üçbucaqlar riyaziyyat elminin bu bölməsində əsas tədqiqat obyekti olmuşdur. 90 dərəcə bir açının olması, iki tərəfdən və bir bucaqdan və ya iki bucaqdan və bir tərəfdən istifadə edərək, nəzərdən keçirilən fiqurun bütün parametrlərinin dəyərlərini təyin etməyə imkan verən müxtəlif əməliyyatları həyata keçirməyə imkan verir. Keçmişdə insanlar bu nümunəni gördülər və binaların tikintisində, naviqasiyada, astronomiyada və hətta sənətdə fəal şəkildə istifadə etməyə başladılar.

Birinci mərhələ

Əvvəlcə insanlar bucaqların və tərəflərin əlaqəsi haqqında yalnız düzbucaqlı üçbucaqlar timsalında danışırdılar. Sonra istifadə sərhədlərini genişləndirməyə imkan verən xüsusi düsturlar kəşf edildi Gündəlik həyat riyaziyyatın bu sahəsi.

Bu gün məktəbdə triqonometriyanın öyrənilməsi düzbucaqlı üçbucaqlardan başlayır, bundan sonra əldə edilmiş biliklər şagirdlər tərəfindən fizikada və mücərrəd triqonometrik tənliklərin həllində istifadə olunur, onlarla iş orta məktəbdə başlayır.

Sferik triqonometriya

Sonralar elm növbəti inkişaf səviyyəsinə çatdıqda, müxtəlif qaydaların tətbiq olunduğu sferik həndəsədə sinus, kosinus, tangens, kotangensi olan düsturlardan istifadə olunmağa başlandı və üçbucaqda bucaqların cəmi həmişə 180 dərəcədən çox olur. Bu bölmə məktəbdə öyrənilmir, lakin onun mövcudluğu haqqında bilmək lazımdır, ən azı ona görə yer səthi, və hər hansı digər planetin səthi qabarıqdır, yəni səthin hər hansı bir işarəsi olacaq üçölçülü məkan"tağlı".

Qlobusu götürün və iplə çəkin. İpi dünyanın istənilən iki nöqtəsinə bərkidin ki, dartılsın. Diqqət yetirin - qövs formasını alıb. Geodeziya, astronomiya və digər nəzəri və tətbiqi sahələrdə istifadə olunan sferik həndəsə məhz belə formalarla məşğul olur.

Sağ üçbucaq

Triqonometriyadan istifadə yollarını bir az öyrəndikdən sonra sinusun, kosinusun, tangensin nə olduğunu, onların köməyi ilə hansı hesablamaların aparıla biləcəyini və hansı düsturlardan istifadə olunacağını daha yaxşı başa düşmək üçün əsas triqonometriyaya qayıdaq.

İlk addım düzbucaqlı üçbucaqla bağlı anlayışları başa düşməkdir. Birincisi, hipotenuz 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfdir. O, ən uzundur. Xatırlayırıq ki, Pifaqor teoreminə görə onun ədədi qiyməti digər iki tərəfin kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir.

Məsələn, əgər iki tərəf müvafiq olaraq 3 və 4 santimetrdirsə, hipotenuzanın uzunluğu 5 santimetr olacaqdır. Yeri gəlmişkən, qədim misirlilər bu barədə təxminən dörd min yarım il əvvəl bilirdilər.

Düzgün bucaq meydana gətirən iki qalan tərəfə ayaqlar deyilir. Bundan əlavə, düzbucaqlı bir koordinat sistemində üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcə olduğunu xatırlamalıyıq.

Tərif

Nəhayət, həndəsi əsas haqqında möhkəm bir anlayışla bucağın sinusunun, kosinusunun və tangensinin tərifinə müraciət edə bilərik.

Bucağın sinusu əks ayağın nisbətidir (yəni, əks tərəf istədiyiniz bucaq) hipotenuzaya. Bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Unutmayın ki, nə sinus, nə də kosinus birdən böyük ola bilməz! Niyə? Çünki hipotenuz default olaraq ən uzundur.Ayaq nə qədər uzun olsa da, o hipotenuzdan qısa olacaq, yəni onların nisbəti həmişə belə olacaq. birdən azdır. Beləliklə, problemin cavabında 1-dən çox dəyəri olan bir sinus və ya kosinus əldə etsəniz, hesablamalarda və ya əsaslandırmada səhv axtarın. Bu cavab açıq şəkildə səhvdir.

Nəhayət, bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir. Eyni nəticə sinusun kosinusla bölünməsini verəcəkdir. Baxın: düstura uyğun olaraq tərəfin uzunluğunu hipotenuzaya bölürük, bundan sonra ikinci tərəfin uzunluğuna bölürük və hipotenuzaya vururuq. Beləliklə, tangensin tərifində olduğu kimi eyni nisbəti əldə edirik.

Kotangens, müvafiq olaraq, küncə bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir. Vahidi tangensə bölməklə eyni nəticəni alırıq.

Beləliklə, biz sinus, kosinus, tangens və kotangensin nə olduğunun təriflərini nəzərdən keçirdik və düsturlarla məşğul ola bilərik.

Ən sadə düsturlar

Triqonometriyada düsturlar olmadan etmək olmaz - onlarsız sinus, kosinus, tangens, kotangensi necə tapmaq olar? Problemləri həll edərkən məhz bu tələb olunur.

Triqonometriyanı öyrənməyə başlayarkən bilməli olduğunuz ilk düstur, bir bucağın sinüsünün və kosinusunun kvadratlarının cəminin birə bərabər olduğunu söyləyir. Bu düstur Pifaqor teoreminin birbaşa nəticəsidir, lakin tərəfi deyil, bucağın dəyərini bilmək istəyirsinizsə, vaxta qənaət edir.

Bir çox şagird məktəb problemlərini həll edərkən çox məşhur olan ikinci düsturu xatırlaya bilmir: birinin cəmi və bucağın tangensinin kvadratı bucağın kosinusunun kvadratına bölünən birinə bərabərdir. Daha yaxından baxın: axı bu, birinci düsturdakı kimi eyni ifadədir, eyniliyin yalnız hər iki tərəfi kosinusun kvadratına bölündü. Belə çıxır ki, sadə riyazi əməliyyat triqonometrik düsturu tamamilə tanınmaz hala gətirir. Unutmayın: sinusun, kosinusun, tangensin və kotangensin nə olduğunu, çevrilmə qaydalarını və bir neçə əsas düsturları bilməklə, istənilən vaxt müstəqil olaraq bir vərəqdə tələb olunan daha mürəkkəb düsturları əldə edə bilərsiniz.

İkiqat bucaq düsturları və arqumentlərin əlavə edilməsi

Öyrənməli olduğunuz daha iki düstur bucaqların cəmi və fərqi üçün sinus və kosinusun dəyərləri ilə bağlıdır. Onlar aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Nəzərə alın ki, birinci halda sinus və kosinus hər iki dəfə vurulur, ikincidə isə sinus və kosinusun qoşa hasili əlavə edilir.

Formada arqumentlərlə əlaqəli düsturlar da var ikiqat bucaq. Onlar tamamilə əvvəlkilərdən götürülüb - təcrübə olaraq, alfa bucağını beta bucağına bərabər götürərək, onları özünüz əldə etməyə çalışın.

Nəhayət, qeyd edək ki, ikiqat bucaq düsturları sinus, kosinus, tangens alfa dərəcəsini aşağı salmaq üçün çevrilə bilər.

Teoremlər

Əsas triqonometriyada iki əsas teorem sinus teoremi və kosinus teoremidir. Bu teoremlərin köməyi ilə sinus, kosinus və tangensi, buna görə də fiqurun sahəsini və hər tərəfin ölçüsünü və s.

Sinus teoremində deyilir ki, üçbucağın hər tərəfinin uzunluğunu əks bucağın qiymətinə bölmək nəticəsində eyni nömrə. Üstəlik, bu ədəd məhdud dairənin iki radiusuna, yəni verilmiş üçbucağın bütün nöqtələrini ehtiva edən dairəyə bərabər olacaqdır.

Kosinus teoremi Pifaqor teoremini ümumiləşdirir, onu istənilən üçbucaqlara proyeksiya edir. Belə çıxır ki, iki tərəfin kvadratlarının cəmindən onlara bitişik bucağın ikiqat kosinusu ilə vurulan məhsulu çıxarın - nəticədə alınan dəyər üçüncü tərəfin kvadratına bərabər olacaqdır. Beləliklə, Pifaqor teoremi kosinus teoreminin xüsusi halı olur.

Diqqətsizlik səbəbindən səhvlər

Sinus, kosinus və tangensin nə olduğunu bilə-bilə, təfəkkür və ya ən sadə hesablamalardakı səhv səbəbindən səhv etmək asandır. Bu cür səhvlərə yol verməmək üçün onların ən məşhurları ilə tanış olaq.

Birincisi, son nəticə əldə olunana qədər adi fraksiyaları ondalığa çevirməməlisiniz - cavabı formada tərk edə bilərsiniz. ümumi kəsrşərt başqa hal nəzərdə tutulmayıbsa. Belə bir çevrilmə səhv adlandırıla bilməz, lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, tapşırığın hər mərhələsində müəllifin fikrinə görə, azaldılmalı olan yeni köklər yarana bilər. Bu halda siz lazımsız riyazi əməliyyatlara vaxt itirəcəksiniz. Bu, xüsusilə üç və ya ikinin kökü kimi dəyərlər üçün doğrudur, çünki onlar hər addımda tapşırıqlarda olur. Eyni şey "çirkin" nömrələrin yuvarlaqlaşdırılmasına da aiddir.

Bundan əlavə, qeyd edin ki, kosinus teoremi istənilən üçbucağa aiddir, lakin Pifaqor teoreminə deyil! Əgər səhvən tərəflərin məhsulunu iki dəfə aralarındakı bucağın kosinusuna vurmağı unutsanız, nəinki tamamilə səhv nəticə əldə edəcəksiniz, həm də mövzunun tam anlaşılmadığını nümayiş etdirəcəksiniz. Bu, diqqətsiz bir səhvdən daha pisdir.

Üçüncüsü, sinuslar, kosinuslar, tangenslər, kotangentlər üçün 30 və 60 dərəcə bucaqlar üçün dəyərləri qarışdırmayın. Bu dəyərləri xatırlayın, çünki 30 dərəcə sinus 60 kosinusuna bərabərdir və əksinə. Onları qarışdırmaq asandır, bunun nəticəsində qaçılmaz olaraq səhv bir nəticə əldə edəcəksiniz.

Ərizə

Bir çox tələbə triqonometriyanı öyrənməyə tələsmir, çünki onun tətbiqi mənasını başa düşmürlər. Mühəndis və ya astronom üçün sinus, kosinus, tangens nədir? Bunlar uzaq ulduzlara olan məsafəni hesablaya biləcəyiniz, meteoritin düşməsini proqnozlaşdıra biləcəyiniz, başqa bir planetə tədqiqat zondu göndərə biləcəyiniz anlayışlardır. Onlarsız bina tikmək, avtomobili layihələndirmək, səthdəki yükü və ya obyektin trayektoriyasını hesablamaq mümkün deyil. Və bunlar ən bariz nümunələrdir! Axı triqonometriya bu və ya digər formada musiqidən tutmuş tibbə qədər hər yerdə istifadə olunur.

Nəhayət

Beləliklə, siz sinus, kosinus, tangenssiniz. Siz onlardan hesablamalarda istifadə edə və məktəb problemlərini uğurla həll edə bilərsiniz.

Triqonometriyanın bütün mahiyyəti ondan ibarətdir ki, naməlum parametrlər üçbucağın məlum parametrlərindən hesablanmalıdır. Ümumilikdə altı parametr var: uzunluqlar üç partiya və üç bucağın ölçüləri. Tapşırıqlardakı bütün fərq müxtəlif giriş məlumatlarının verilməsindədir.

Ayaqların və ya hipotenuzanın məlum uzunluqlarına əsaslanaraq sinus, kosinus, tangensi necə tapmaq olar, indi bilirsiniz. Bu terminlər nisbətdən başqa bir şey ifadə etmədiyindən və nisbət kəsr olduğundan, triqonometrik məsələnin əsas məqsədi adi tənliyin və ya tənliklər sisteminin köklərini tapmaqdır. Və burada sizə adi məktəb riyaziyyatı kömək edəcək.

Məncə siz bundan daha çoxuna layiqsiniz. Budur triqonometriya açarım:

• Günbəzi, divarı və tavanı çəkin
• Triqonometrik funksiyalar bu üç formanın faizlərindən başqa bir şey deyil.

Sinus və kosinus üçün metafora: günbəz

Üçbucaqların özlərinə baxmaq əvəzinə, bəzilərini taparaq onları hərəkətdə təsəvvür edin xüsusi misal həyatdan.

Təsəvvür edin ki, günbəzin ortasındasınız və kino proyektorunun ekranını asmaq istəyirsiniz. Siz barmağınızı hansısa "x" bucağı ilə günbəzə işarə edirsiniz və o nöqtədən ekran asılmalıdır.

Göstərdiyiniz bucaq müəyyən edir:

• sinus(x) = sin(x) = ekran hündürlüyü (döşəmədən günbəzə montaj nöqtəsi)
• kosinus(x) = cos(x) = sizdən ekrana qədər olan məsafə (mərtəbə ilə)
• hipotenuz, sizdən ekranın yuxarı hissəsinə qədər olan məsafə, həmişə eyni, günbəzin radiusuna bərabərdir

Ekranın mümkün qədər böyük olmasını istəyirsiniz? Düz üstünüzdən asın.

Ekranın sizdən mümkün qədər uzağa asılmasını istəyirsiniz? Düz perpendikulyar asın. Bu mövqedə ekranın hündürlüyü sıfır olacaq və istədiyiniz qədər geriyə asılacaq.

Hündürlüyü və ekrandan olan məsafəsi tərs mütənasibdir: ekran nə qədər yaxın asılırsa, onun hündürlüyü bir o qədər yüksək olacaqdır.

Sinus və kosinus faizdir

Təəssüf ki, oxuduğum illərdə heç kim mənə izah etmədi ki, triqonometrik funksiyalar sinus və kosinus faizlərdən başqa bir şey deyil. Onların dəyərləri +100% -dən 0-dan -100% -ə qədər və ya müsbət maksimumdan sıfıra qədər mənfi maksimuma qədər dəyişir.

Tutaq ki, mən 14 rubl vergi ödəmişəm. Nə qədər olduğunu bilmirsən. Amma desəniz ki, 95% vergi ödəmişəm, başa düşəcəksiniz ki, mənim sadəcə olaraq dərimi yapışqan kimi soyublar.

Mütləq hündürlük heç nə demək deyil. Ancaq sinus dəyəri 0,95 olarsa, o zaman başa düşürəm ki, televizor demək olar ki, günbəzinizin üstündə asılır. Çox tezliklə günbəzin mərkəzində maksimum hündürlüyünə çatacaq və sonra yenidən azalmağa başlayacaq.

Bu faizi necə hesablaya bilərik? Çox sadədir: cari ekran hündürlüyünü mümkün olan maksimuma bölün (qübbənin radiusu, hipotenuza da deyilir).

Buna görə də Bizə deyilir ki, “kosinus = əks ayaq / hipotenuz”. Bütün bunlar faiz əldə etmək üçündür! Sinusu təyin etməyin ən yaxşı yolu "mümkün olan maksimumdan cari hündürlüyün faizi" dir. (Bucağınız "yeraltını" göstərərsə, sinüs mənfi olur. Bucaq arxanızdakı günbəz nöqtəsinə işarə edərsə, kosinus mənfi olur.)

Vahid çevrənin mərkəzində olduğumuzu düşünərək hesablamaları sadələşdirək (radius = 1). Bölməni atlaya bilərik və yalnız hündürlüyə bərabər sinus götürə bilərik.

Hər bir dairə mahiyyətcə yuxarı və ya aşağı ölçülü tək bir dairədir düzgün ölçü. Beləliklə, vahid dairədəki əlaqələri müəyyənləşdirin və nəticələri xüsusi dairə ölçüsünə tətbiq edin.

Təcrübə edin: istənilən küncü götürün və hündürlüyün enə nisbətinin neçə faizini göstərdiyinə baxın:

Sinusun dəyərinin artım qrafiki sadəcə düz xətt deyil. İlk 45 dərəcə hündürlüyün 70%-ni, sonuncu 10 dərəcə (80°-dən 90°-ə qədər) isə yalnız 2%-ni əhatə edir.

Bu sizə aydın olacaq: bir dairədə getsəniz, 0 °-də demək olar ki, şaquli olaraq yüksəlirsiniz, lakin günbəzin yuxarı hissəsinə yaxınlaşdıqca hündürlük getdikcə daha az dəyişir.

Tangens və sekant. Divar

Bir gün bir qonşu divar çəkdi sağ arxaya sənin günbəzinə. Pəncərədən sənin mənzərəni ağladım və yaxşı qiymət yenidən satış üçün!

Bəs bu vəziyyətdə hansısa yolla qalib gəlmək mümkündürmü?

Əlbəttə bəli. Qonşunun divarına kino ekranı assaq necə olar? Siz küncə (x) nişan alırsınız və əldə edirsiniz:

• tan(x) = tan(x) = divardakı ekran hündürlüyü
• sizdən divara qədər olan məsafə: 1 (bu günbəzinizin radiusudur, divar sizdən heç yerə köçmür, elə deyilmi?)
• sekant(x) = sec(x) = günbəzin mərkəzində dayandığınızdan asılmış ekranın yuxarısına qədər "nərdivan uzunluğu"

Tangens və ya ekran hündürlüyü ilə bağlı bir neçə şeyi aydınlaşdıraq.

• 0-dan başlayır və sonsuz yüksəkliyə qalxa bilər. Sevdiyiniz filmə baxmaq üçün sadəcə sonsuz bir kətan əldə etmək üçün ekranı divara və daha yüksəklərə uzada bilərsiniz! (Belə bir nəhəng üçün, əlbəttə ki, çox pul xərcləməli olacaqsınız).
• tangent sinusun sadəcə böyüdülmüş versiyasıdır! Və günbəzin zirvəsinə doğru hərəkət edərkən sinusun böyüməsi yavaşlasa da, tangens böyüməyə davam edir!

Sekansu da öyünməli bir şey var:

• sekant 1-dən başlayır (nərdivan yerdədir, sizdən divara doğru) və oradan yuxarı qalxmağa başlayır
• Sekant həmişə tangensdən uzun olur. Ekranınızı asdığınız maili nərdivan ekranın özündən uzun olmalıdır, elə deyilmi? (Qeyri-real ölçülər üçün, ekran çox uzun olduqda və nərdivanı demək olar ki, şaquli olaraq yerləşdirmək lazım olduqda, onların ölçüləri demək olar ki, eynidir. Amma belə olduqda belə sekant bir az daha uzun olacaq).

Dəyərlərin olduğunu unutmayın faiz. Ekranı 50 dərəcə bucaq altında asmaq qərarına gəlsəniz, tan(50)=1,19. Ekranınız divara olan məsafədən (qübbə radiusu) 19% böyükdür.

(x=0 daxil edin və intuisiyanızı yoxlayın - tan(0) = 0 və san(0) = 1.)

Kotangent və kosekant. Tavan

İnanılmazdır ki, qonşunuz indi günbəzinizin üstündə tavan tikmək qərarına gəlib. (Ona nə olub? O, yəqin ki, lüt halda həyətdə gəzərkən ona göz dikmənizi istəmir...)

Yaxşı, çatıya bir çıxış qurmaq və qonşu ilə danışmaq vaxtı gəldi. Siz meyl bucağını seçirsiniz və tikməyə başlayırsınız:

• damın çıxışı ilə döşəmə arasındakı şaquli məsafə həmişə 1-dir (qübbənin radiusu)
• kotangent(x) = çarpayı(x) = günbəzin üstü ilə çıxış nöqtəsi arasındakı məsafə
• cosekant(x) = csc(x) = damınıza gedən yolun uzunluğu

Tangens və sekant divarı, kotangens və kosekant isə döşəməni təsvir edir.

Bu dəfəki intuitiv nəticələrimiz əvvəlkilərə bənzəyir:

• Əgər 0° bucağı götürsəniz, tavana çıxışınız heç vaxt tavana çatmayacağından sonsuza qədər davam edəcək. Problem.
• Dama ən qısa "pilləkən" döşəməyə 90 dərəcə bir açı ilə qursanız, əldə ediləcəkdir. Kotangent 0-a bərabər olacaq (biz ümumiyyətlə dam boyunca hərəkət etmirik, ciddi şəkildə perpendikulyar çıxırıq) və kosekant 1-ə bərabər olacaq (nərdivan uzunluğu minimal olacaq).

Əlaqələri vizuallaşdırın

Hər üç hal günbəz-divar-döşəmə birləşməsində çəkilərsə, aşağıdakılar alınacaq:

Yaxşı, vay, hamısı eyni üçbucaqdır, divara və tavana çatmaq üçün ölçüləri böyüdülür. Şaquli tərəflərimiz (sinus, tangens), üfüqi tərəflərimiz (kosinus, kotangens) və “hipotenuslarımız” (sekant, kosekant) var. (Oxlardan hər bir elementin nə qədər uzağa çatdığını görə bilərsiniz. Kosekant sizdən dam örtüyünə qədər olan ümumi məsafədir).

Bir az sehrli. Bütün üçbucaqlar eyni bərabərliklərə malikdir:

Pifaqor teoremindən (a 2 + b 2 = c 2) hər üçbucağın tərəflərinin necə bağlandığını görürük. Bundan əlavə, hündürlük-enlik nisbətləri də bütün üçbucaqlar üçün eyni olmalıdır. (Sadəcə ən böyük üçbucaqdan daha kiçik olana geri çəkilin. Bəli, ölçü dəyişdi, lakin tərəflərin nisbətləri eyni qalacaq).

Hər üçbucağın hansı tərəfinin 1 (qübbənin radiusu) olduğunu bildiyimiz halda, “sin/cos = tan/1”i asanlıqla hesablaya bilərik.

Mən həmişə sadə vizuallaşdırma vasitəsilə bu faktları xatırlamağa çalışmışam. Şəkildə siz bu asılılıqları aydın görə bilərsiniz və onların haradan gəldiyini anlaya bilərsiniz. Bu texnika quru formulları yadda saxlamaqdan qat-qat yaxşıdır.

Digər Bucaqları Unutmayın

Şşş... Tangensin həmişə 1-dən az olduğunu düşünərək bir qrafikə bağlanmağa ehtiyac yoxdur. Bucağı artırsanız, divara çatmadan tavana çata bilərsiniz:

Pifaqor əlaqələri həmişə işləyir, lakin nisbi ölçülər fərqli ola bilər.

(Yəqin ki, sinus və kosinusun nisbətinin həmişə ən kiçik olduğunu fərq etmisiniz, çünki onlar bir günbəz içərisindədirlər.)

Xülasə etmək üçün: nəyi yadda saxlamalıyıq?

Çoxumuz üçün deyərdim ki, bu kifayət edəcək:

• triqonometriya dairələr və təkrarlanan intervallar kimi riyazi obyektlərin anatomiyasını izah edir
• günbəz/divar/dam analogiyası müxtəlif triqonometrik funksiyalar arasındakı əlaqəni göstərir
• triqonometrik funksiyaların nəticəsi ssenarimizə tətbiq etdiyimiz faizlərdir.

1 2 + çarpayı 2 = csc 2 kimi düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Onlar yalnız bir fakt haqqında biliklərin onu başa düşmək kimi təqdim edildiyi axmaq sınaqlar üçün uyğundur. Günbəz, divar və dam şəklində yarımdairə çəkmək üçün bir dəqiqə vaxt ayırın, elementləri imzalayın və bütün düsturlar sizin üçün kağız üzərində soruşulacaq.

Tətbiq: Tərs funksiyalar

İstənilən triqonometrik funksiya giriş kimi bucaq alır və nəticəni faizlə qaytarır. sin(30) = 0,5. Bu o deməkdir ki, 30 dərəcə bucaq maksimum hündürlüyün 50%-ni tutur.

Tərs triqonometrik funksiya sin -1 və ya arcsin (“arxine”) kimi yazılır. Həm də tez-tez müxtəlif proqramlaşdırma dillərində yazılır.

Əgər hündürlüyümüz günbəzin hündürlüyünün 25%-ni təşkil edirsə, bucağımız nə qədərdir?

Bizim nisbətlər cədvəlimizdə sekantın 1-ə bölündüyü nisbəti tapa bilərsiniz. Məsələn, sekant 1-ə (hipotenuzanın üfüqiyə) kosinusu ilə bölünməsi 1-ə bərabər olacaq:

Tutaq ki, sekantımız 3,5-dir, yəni. Vahid dairənin radiusunun 350%-i. Bu dəyər divara hansı meyl bucağına uyğundur?

Əlavə: Bəzi nümunələr

Darıxdırıcı tapşırıq. Gəlin banal "sinusu tapın" ı "Maksimumun (hipotenuza) faizi olaraq hündürlüyü nədir?" ilə çətinləşdirək.

Əvvəlcə üçbucağın fırlandığına diqqət yetirin. Bunda səhv bir şey yoxdur. Üçbucağın da hündürlüyü var, şəkildə yaşıl rənglə göstərilib.

Hipotenuz nəyə bərabərdir? Pifaqor teoremi ilə biz bilirik ki:

3 2 + 4 2 = hipotenuz 2 25 = hipotenuz 2 5 = hipotenuz

Yaxşı! Sinus üçbucağın ən uzun tərəfindən və ya hipotenuzanın hündürlüyünün faizidir. Bizim nümunəmizdə sinus 3/5 və ya 0,60-dır.

Təbii ki, biz bir neçə yolla gedə bilərik. İndi biz bilirik ki, sinus 0,60-dır və biz sadəcə olaraq arksini tapa bilərik:

Asin(0,6)=36,9

Və burada başqa bir yanaşma var. Qeyd edək ki, üçbucaq "divarla üz-üzədir", ona görə də sinus yerinə tangensdən istifadə edə bilərik. Hündürlük 3, divara olan məsafə 4-dür, ona görə də tangens ¾ və ya 75% -dir. Faizdən geri bucağa getmək üçün qövs tangensindən istifadə edə bilərik:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Misal: Siz sahilə üzəcəksiniz?

Siz bir qayıqdasınız və 2 km üzmək üçün kifayət qədər yanacağınız var. İndi sahildən 0,25 km uzaqdasınız. Sahilə maksimum hansı bucaq altında ona üzmək olar ki, kifayət qədər yanacaq əldə edə biləsiniz? Problemin şərtinə əlavə: bizdə ancaq qövs kosinusu qiymətlərinin cədvəli var.

Bizdə nə var? sahil xətti məşhur üçbucağımızda “divar” kimi təsəvvür etmək olar və divara bərkidilmiş “nərdivan uzunluğu” qayıqla sahilə qədər keçə biləcəyi maksimum məsafədir (2 km). Bir sekant ortaya çıxır.

Əvvəlcə faizlərə keçməlisiniz. Bizdə 2 / 0,25 = 8 var, yəni sahilə (və ya divara) düz məsafədən 8 dəfə üzə bilərik.

Sual yaranır: “8-ci sekant nədir?”. Ancaq biz buna cavab verə bilmərik, çünki bizdə yalnız qövs kosinusları var.

Sekantı kosinusla əlaqələndirmək üçün əvvəllər əldə edilmiş asılılıqlarımızdan istifadə edirik: “sec/1 = 1/cos”

8-in sekantı ⅛-in kosinusuna bərabərdir. Kosinusu ⅛ olan bucaq acos(1/8) = 82,8-dir. Və bu, müəyyən miqdarda yanacaq olan bir qayıqda ödəyə biləcəyimiz ən böyük bucaqdır.

Pis deyil, hə? Günbəz-divar-tavan bənzətməsi olmasaydı, mən bir dəstə düstur və hesablamada çaşqın olardım. Problemin vizuallaşdırılması həll yolunun axtarışını xeyli asanlaşdırır, bundan əlavə, nəticədə hansı triqonometrik funksiyanın kömək edəcəyini görmək maraqlıdır.

Hər tapşırıq üçün belə düşünün: məni günbəz (sin/cos), divar (tan/san) və ya tavan (beşik/csc) maraqlandırır?

Və triqonometriya daha xoş olacaq. Sizin üçün asan hesablamalar!