Bəzən həyatda çoxdan unudulmuş məktəb biliklərini axtarmaq üçün yaddaşınızı araşdırmalı olduğunuz vəziyyətlər olur. Məsələn, üçbucaqlı bir torpaq sahəsinin sahəsini və ya bir mənzildə və ya fərdi evdə növbəti təmir növbəsinin gəldiyini təyin etməlisiniz və bunun nə qədər material alacağını hesablamalısınız. üçbucaq formalı bir səth üçün. Belə bir problemi bir neçə dəqiqəyə həll edə bildiyiniz vaxt var idi və indi ümidsizcə üçbucağın sahəsini necə təyin edəcəyinizi xatırlamağa çalışırsınız?

Bu barədə narahat olmaq lazım deyil! Axı, insan beyni uzun müddət istifadə edilməmiş biliyi uzaq bir küncdə harasa köçürmək qərarına gəldikdə, bu olduqca normaldır, bəzən onu çıxarmaq o qədər də asan deyil. Belə bir problemi həll etmək üçün unudulmuş məktəb biliklərini axtarmaqdan əziyyət çəkməmək üçün bu məqalə var müxtəlif üsullar, bu üçbucağın istədiyiniz sahəsini tapmağı asanlaşdırır.

Məlumdur ki, üçbucaq minimumla məhdudlaşan çoxbucaqlı növüdür mümkün sayı tərəflər. Prinsipcə, hər hansı çoxbucaqlı təpələrini tərəfləri kəsişməyən seqmentlərlə birləşdirərək bir neçə üçbucağa bölünə bilər. Buna görə də, üçbucağı bilməklə, demək olar ki, hər hansı bir fiqurun sahəsini hesablaya bilərsiniz.

Həyatda baş verən bütün mümkün üçbucaqlar arasında aşağıdakı xüsusi növləri ayırd etmək olar: və düzbucaqlı.

Üçbucağın sahəsini hesablamağın ən asan yolu onun künclərindən biri düz olduqda, yəni düzbucaqlı üçbucaq vəziyyətindədir. Yarım düzbucaqlı olduğunu görmək asandır. Buna görə də, onun sahəsi aralarında düz bucaq meydana gətirən tərəflərin məhsulunun yarısına bərabərdir.

Təpələrindən birinə düşən üçbucağın hündürlüyünü bilsək qarşı tərəf, və əsas adlanan bu tərəfin uzunluğu, onda sahə hündürlüyün və əsasın məhsulunun yarısı kimi hesablanır. Bu aşağıdakı düsturla yazılır:

S = 1/2*b*h, burada

S üçbucağın istənilən sahəsidir;

b, h - müvafiq olaraq, üçbucağın hündürlüyü və əsası.

İkitərəfli üçbucağın sahəsini hesablamaq çox asandır, çünki hündürlük qarşı tərəfi ikiyə böləcək və onu asanlıqla ölçmək olar. Sahə müəyyən edilərsə, hündürlük kimi düzgün bucaq meydana gətirən tərəflərdən birinin uzunluğunu götürmək rahatdır.

Bütün bunlar, əlbəttə ki, yaxşıdır, amma üçbucağın künclərindən birinin düzgün olub olmadığını necə müəyyən etmək olar? Fiqurumuzun ölçüsü kiçikdirsə, o zaman bina bucağı, rəsm üçbucağı, kartpostal və ya başqa bir obyektdən istifadə edə bilərsiniz. düzbucaqlı forma.

Ancaq üçbucaqlı olsaq nə olar? torpaq sahəsi? Bu halda, aşağıdakı kimi davam edin: təklif olunanın yuxarısından sayın düz bucaq bir tərəfdə 3-ə (30 sm, 90 sm, 3 m), digər tərəfdə isə 4-ə (40 sm, 160 sm, 4 m) çox olan məsafə eyni nisbətdə ölçülür. İndi bu iki seqmentin son nöqtələri arasındakı məsafəni ölçməlisiniz. Əgər dəyər 5-in qatıdırsa (50 sm, 250 sm, 5 m), onda bucağın düzgün olduğunu iddia etmək olar.

Fiqurumuzun üç tərəfinin hər birinin uzunluğunun dəyəri məlumdursa, üçbucağın sahəsi Heron düsturundan istifadə edərək müəyyən edilə bilər. Onun daha sadə formada olması üçün yarım perimetr adlanan yeni dəyər istifadə olunur. Bu, üçbucağımızın yarıya bölünmüş bütün tərəflərinin cəmidir. Yarım perimetr hesablandıqdan sonra düsturdan istifadə edərək ərazini təyin etməyə başlaya bilərsiniz:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), burada

sqrt - kvadrat kök;

p yarım perimetrin qiymətidir (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - üçbucağın kənarları (yanları).

Bəs üçbucaq varsa düzensiz forma? Burada iki mümkün yol var. Bunlardan birincisi, belə bir rəqəmi iki düzbucaqlı üçbucağa bölməyə çalışmaqdır, bunun sahələrinin cəmi ayrıca hesablanır və sonra əlavə olunur. Və ya iki tərəf arasındakı bucaq və bu tərəflərin ölçüsü məlumdursa, düsturu tətbiq edin:

S = 0,5 * ab * sinC, burada

a,b - üçbucağın tərəfləri;

c bu tərəflər arasındakı bucaqdır.

Sonuncu hal praktikada nadirdir, lakin buna baxmayaraq, həyatda hər şey mümkündür, buna görə də yuxarıdakı düstur artıq olmaz. Hesablamalarınızda uğurlar!

Məktəbin həndəsə kurikulumundan xatırladığınız kimi, üçbucaq bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə birləşdirilmiş üç seqmentdən əmələ gələn fiqurdur. Üçbucaq üç bucaq əmələ gətirir, buna görə də fiqurun adı belədir. Tərif fərqli ola bilər. Üçbucağı üç künclü çoxbucaqlı da adlandırmaq olar, cavab da eynilə doğru olacaq. Üçbucaqlar bərabər tərəflərin sayına və rəqəmlərdəki bucaqların ölçüsünə görə bölünür. Beləliklə, üçbucaqları müvafiq olaraq bərabərbucaqlı, bərabərtərəfli və miqyaslı, eləcə də düzbucaqlı, kəskin bucaqlı və küt bucaqlı kimi ayırın.

Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün bir çox düstur var. Üçbucağın sahəsini necə tapacağınızı seçin, yəni. hansı düsturdan istifadə etməli, yalnız siz. Ancaq üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün bir çox düsturlarda istifadə olunan qeydlərdən yalnız bəzilərini qeyd etmək lazımdır. Beləliklə, unutmayın:

S üçbucağın sahəsidir,

a, b, c üçbucağın tərəfləridir,

h üçbucağın hündürlüyü,

R məhdud dairənin radiusudur,

p yarım perimetrdir.

Həndəsə kursunu tamamilə unutmusunuzsa, işinizə yaraya biləcək əsas qeydlər bunlardır. Aşağıda ən başa düşülən və olmayanlar var mürəkkəb variantlarüçbucağın naməlum və sirli sahəsinin hesablanması. Bu çətin deyil və həm ev ehtiyaclarınız üçün, həm də uşaqlarınıza kömək etmək üçün lazımlı olacaq. Üçbucağın sahəsini armud atmaq qədər asan hesablamağı xatırlayaq:

Bizim vəziyyətimizdə üçbucağın sahəsi: S = ½ * 2,2 sm.* 2,5 sm. = 2,75 kv.sm. Sahənin kvadrat santimetrlə (kvcm) ölçüldüyünü unutmayın.

Düzbucaqlı üçbucaq və onun sahəsi.

Düzgün üçbucaq bir bucağı 90 dərəcəyə bərabər olan üçbucaqdır (buna görə düzbucaqlı üçbucaq adlanır). Düz bucaq iki perpendikulyar xətt (üçbucaq vəziyyətində, iki perpendikulyar seqment) ilə əmələ gəlir. AT düz üçbucaq yalnız bir düz bucaq ola bilər, çünki hər hansı bir üçbucağın bütün bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir. Belə çıxır ki, digər 2 bucaq qalan 90 dərəcəni öz aralarında bölməlidir, məsələn, 70 və 20, 45 və 45 və s. Beləliklə, əsas şeyi xatırladın, düz üçbucağın sahəsini necə tapmağı öyrənmək qalır. Təsəvvür edin ki, qarşımızda belə bir düzbucaqlı üçbucaq var və biz onun S sahəsini tapmalıyıq.

1. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini təyin etməyin ən asan yolu aşağıdakı düsturla hesablanır:

Bizim vəziyyətimizdə düzbucaqlı üçbucağın sahəsi: S = 2,5 sm * 3 sm / 2 = 3,75 kv. sm.

Prinsipcə, bir üçbucağın sahəsini başqa yollarla yoxlamaq artıq lazım deyil, çünki gündəlik həyatda lazımlı olacaq və yalnız bu kömək edəcək. Ancaq iti bucaqlar vasitəsilə üçbucağın sahəsini ölçmək üçün seçimlər də var.

2. Digər hesablama üsulları üçün sizdə kosinuslar, sinuslar və tangenslər cədvəli olmalıdır. Özünüz mühakimə edin, düzbucaqlı üçbucağın sahələrini hesablamaq üçün hələ də istifadə edə biləcəyiniz bəzi variantlar var:

Birinci düsturdan və kiçik ləkələrlə istifadə etmək qərarına gəldik (bir notebookda çəkdik və köhnə hökmdar və iletki istifadə etdik), lakin düzgün hesablama əldə etdik:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). 3.6=3.7 belə nəticələr əldə etdik, lakin hüceyrənin yerdəyişməsini nəzərə alsaq, bu nüansı bağışlaya bilərik.

İkitərəfli üçbucaq və onun sahəsi.

Əgər ikitərəfli üçbucağın düsturunu hesablamaq tapşırığı ilə qarşılaşırsınızsa, onda ən asan yol əsas və üçbucağın sahəsi üçün klassik düstur hesab edildiyi kimi istifadə etməkdir.

Ancaq əvvəlcə ikitərəfli üçbucağın sahəsini tapmazdan əvvəl onun hansı fiqur olduğunu öyrənəcəyik. İki tərəfi eyni uzunluqda olan üçbucaq ikitərəfli üçbucaqdır. Bu iki tərəfə tərəflər, üçüncü tərəfə isə əsas deyilir. İkitərəfli üçbucağı bərabərtərəfli ilə qarışdırmayın, yəni. hər üç tərəfi bərabər olan bərabərtərəfli üçbucaq. Belə bir üçbucaqda bucaqlara, daha doğrusu onların ölçüsünə xüsusi meyllər yoxdur. Bununla belə, ikitərəfli üçbucağın təməlindəki bucaqlar bərabərdir, lakin aralarındakı bucaqdan fərqlidir bərabər tərəflər. Beləliklə, siz artıq birinci və əsas düsturu bilirsiniz, ikitərəfli üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün başqa hansı düsturların məlum olduğunu tapmaq qalır:

Üçbucaq ən çox yayılmışlardan biridir həndəsi fiqurlar, bizim tanış olduğumuz ibtidai məktəb. Üçbucağın sahəsini necə tapmaq sualı həndəsə dərslərində hər bir şagirdin qarşısında durur. Beləliklə, verilmiş bir fiqurun sahəsini tapmağın hansı xüsusiyyətlərini ayırd etmək olar? Bu yazıda belə bir tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazım olan əsas düsturları nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin üçbucaq növlərini təhlil edəcəyik.

Üçbucaq növləri

Üçbucağın sahəsini mütləq tapa bilərsiniz fərqli yollar, çünki həndəsədə üç bucaqdan ibarət birdən çox fiqur növü var. Bu növlərə aşağıdakılar daxildir:

• küt.
• Bərabərtərəfli (düzgün).
• Sağ üçbucaq.
• İkitərəfli.

Gəlin hər birinə daha yaxından nəzər salaq mövcud növlərüçbucaqlar.

Belə həndəsi fiqur həndəsi məsələlərin həllində ən çox yayılmış hesab olunur. İxtiyari bir üçbucaq çəkmək lazım olduqda, bu seçim köməyə gəlir.

Kəskin üçbucaqda, adından da göründüyü kimi, bütün bucaqlar kəskindir və 180 ° -ə qədər toplanır.

Belə bir üçbucaq da çox yayılmışdır, lakin kəskin bucaqlıdan bir qədər az rast gəlinir. Məsələn, üçbucaqları həll edərkən (yəni siz onun bir neçə tərəfini və bucağını bilirsiniz və qalan elementləri tapmaq lazımdır), bəzən bucağın küt olub olmadığını müəyyən etmək lazımdır. Kosinus mənfi ədəddir.

Bucaqlardan birinin dəyəri 90 ° -dən çoxdur, buna görə qalan iki bucaq kiçik dəyərlər qəbul edə bilər (məsələn, 15 ° və ya hətta 3 °).

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün bu tipdən, bəzi nüansları bilməlisiniz, bu barədə sonra danışacağıq.

Düzgün və ikitərəfli üçbucaqlar

müntəzəm çoxbucaqlı Fiqur bütün tərəfləri və bucaqları bərabər olan n bucaqdan ibarət fiqur adlanır. Bu düzbucaqlı üçbucaqdır. Üçbucağın bütün bucaqlarının cəmi 180° olduğundan, üç bucağın hər biri 60°-dir.

Düzgün üçbucaq öz xassəsinə görə bərabərtərəfli fiqur da adlanır.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, müntəzəm üçbucaqda yalnız bir dairə yazıla bilər və onun ətrafında yalnız bir dairə çəkilə bilər və onların mərkəzləri bir nöqtədə yerləşir.

Bərabər tərəfli tipə əlavə olaraq, ondan bir qədər fərqlənən ikitərəfli üçbucağı da ayırd etmək olar. Belə bir üçbucaqda iki tərəf və iki bucaq bir-birinə bərabərdir və üçüncü tərəf (bərabər açıların bitişik olduğu) əsasdır.

Şəkildə D və F bucaqları bərabər olan və DF əsas olan DEF ikitərəfli üçbucağını göstərir.

Sağ üçbucaq

Düzbucaqlı üçbucaq belə adlandırılmışdır, çünki onun bucaqlarından biri düz bucaqdır, yəni 90°-yə bərabərdir. Digər iki bucaq 90°-ə qədər toplanır.

90 ° bucaq qarşısında uzanan belə bir üçbucağın ən böyük tərəfi hipotenuzdur, digər iki tərəfi isə ayaqlarıdır. Bu tip üçbucaqlar üçün Pifaqor teoremi tətbiq olunur:

Ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəmi hipotenuzanın uzunluğunun kvadratına bərabərdir.

Şəkildə AC hipotenuzası və ayaqları AB və BC olan BAC düzbucaqlı üçbucağı göstərilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapmaq üçün onun ayaqlarının ədədi dəyərlərini bilmək lazımdır.

Verilmiş fiqurun sahəsini tapmaq üçün düsturlara keçək.

Sahənin tapılması üçün əsas düsturlar

Həndəsədə ən çox üçbucaq növlərinin sahəsini tapmaq üçün uyğun olan iki düstur ayırd edilə bilər, yəni kəskin bucaqlı, geniş bucaqlı, müntəzəm və ikitərəfli üçbucaqlar. Gəlin onların hər birini təhlil edək.

Yan və hündürlükdə

Bu düstur nəzərdən keçirdiyimiz fiqurun sahəsini tapmaq üçün universaldır. Bunun üçün tərəfin uzunluğunu və ona çəkilmiş hündürlüyün uzunluğunu bilmək kifayətdir. Düsturun özü (əsas və hündürlüyün məhsulunun yarısı) aşağıdakı kimidir:

burada A verilmiş üçbucağın tərəfi və H üçbucağın hündürlüyüdür.

Məsələn, kəskin bucaqlı ACB üçbucağının sahəsini tapmaq üçün onun AB tərəfini CD hündürlüyünə vurmalı və alınan dəyəri ikiyə bölmək lazımdır.

Ancaq bu şəkildə üçbucağın sahəsini tapmaq həmişə asan olmur. Məsələn, bu düsturdan ensiz bucaqlı üçbucaq üçün istifadə etmək üçün onun tərəflərindən birini davam etdirmək və yalnız bundan sonra ona hündürlük çəkmək lazımdır.

Praktikada bu düstur digərlərindən daha çox istifadə olunur.

İki tərəf və bir künc

Bu düstur, əvvəlki kimi, əksər üçbucaqlar üçün uyğundur və mənasına görə, üçbucağın tərəfi və hündürlüyü ilə sahəni tapmaq üçün düsturun nəticəsidir. Yəni, nəzərdən keçirilən düstur əvvəlkindən asanlıqla çıxarıla bilər. Onun ifadəsi belə görünür:

S = ½*sinO*A*B,

burada A və B üçbucağın tərəfləri, O isə A və B tərəfləri arasındakı bucaqdır.

Xatırladaq ki, bucağın sinusuna görkəmli sovet riyaziyyatçısı V. M. Bradisin adını daşıyan xüsusi cədvəldə baxmaq olar.

İndi isə yalnız müstəsna üçbucaq növləri üçün uyğun olan digər düsturlara keçək.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Üçbucaqda hündürlüyü çəkmək ehtiyacını ehtiva edən universal düstura əlavə olaraq, düz bucaq olan üçbucağın sahəsi onun ayaqlarından tapıla bilər.

Beləliklə, düz bucağı olan üçbucağın sahəsi onun ayaqlarının məhsulunun yarısıdır və ya:

burada a və b düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarıdır.

düz üçbucaq

Bu tip həndəsi fiqurlar onunla fərqlənir ki, onun sahəsi yalnız tərəflərindən birinin göstərilən dəyəri ilə tapıla bilər (çünki müntəzəm üçbucağın bütün tərəfləri bərabərdir). Beləliklə, "tərəflər bərabər olduqda üçbucağın sahəsini tapmaq" tapşırığı ilə qarşılaşdıqdan sonra aşağıdakı düsturdan istifadə etməlisiniz:

S = A 2 *√3 / 4,

burada A bərabərtərəfli üçbucağın tərəfidir.

Heron düsturu

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün son variant Heron düsturudur. Onu istifadə etmək üçün fiqurun üç tərəfinin uzunluğunu bilmək lazımdır. Heronun düsturu belə görünür:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

burada a, b və c verilmiş üçbucağın tərəfləridir.

Bəzən tapşırıq verilir: "müntəzəm üçbucağın sahəsi onun tərəfinin uzunluğunu tapmaqdır." Bu halda, müntəzəm üçbucağın sahəsini tapmaq üçün artıq bizə məlum olan düsturdan istifadə etməli və ondan tərəfinin (və ya kvadratının) qiymətini çıxarmalısınız:

A 2 \u003d 4S / √3.

İmtahan problemləri

Riyaziyyatdan GİA-nın tapşırıqlarında çoxlu düsturlar var. Bundan əlavə, çox vaxt damalı kağızda üçbucağın sahəsini tapmaq lazımdır.

Bu vəziyyətdə, hündürlüyü rəqəmin tərəflərindən birinə çəkmək, uzunluğunu hüceyrələrlə müəyyən etmək və sahəni tapmaq üçün universal düsturdan istifadə etmək ən əlverişlidir:

Beləliklə, məqalədə təqdim olunan düsturları öyrəndikdən sonra hər hansı bir üçbucağın sahəsini tapmaqda problem olmayacaq.

Üçbucağın sahəsi - düsturlar və problemin həlli nümunələri

Aşağıda ixtiyari üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düsturlar xassələrindən, bucaqlarından və ölçülərindən asılı olmayaraq hər hansı üçbucağın sahəsini tapmaq üçün uyğundur. Düsturlar şəkil şəklində təqdim olunur, burada onların düzgünlüyünün tətbiqi və ya əsaslandırılması üçün izahatlar verilir. Yazışmalar da ayrıca şəkildədir məktublar düsturlarda və qrafik simvollar rəsm üzərində.

Qeyd . Üçbucağın xüsusi xassələri varsa (ikitərəfli, düzbucaqlı, bərabərtərəfli), siz aşağıdakı düsturlardan, həmçinin yalnız bu xüsusiyyətlərə malik üçbucaqlar üçün doğru olan xüsusi düsturlardan istifadə edə bilərsiniz:

• "Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düsturlar"

Üçbucaq sahəsi düsturları

Düsturlar üçün izahatlar:
a, b, c- sahəsini tapmaq istədiyimiz üçbucağın tərəflərinin uzunluqları
r- üçbucağa yazılmış dairənin radiusu
R- üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu
h- yan tərəfə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü
səh- üçbucağın yarımperimetri, tərəflərinin cəminin 1/2-si (perimetri)
α - üçbucağın a tərəfinə qarşı olan bucaq
β - üçbucağın b tərəfinə qarşı olan bucaq
γ - üçbucağın c tərəfinə qarşı olan bucaq
h a, h b , h c- a, b, c tərəfinə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü

Nəzərə alın ki, verilmiş qeyd yuxarıdakı rəqəmə uyğundur ki, həll edərkən real vəzifə həndəsədə, düsturda düzgün yerlərdə düzgün dəyərləri əvəz etmək vizual olaraq daha asan idi.

• Üçbucağın sahəsi üçbucağın hündürlüyünün hasilinin yarısı və bu hündürlüyün aşağı salındığı tərəfin uzunluğu(Formula 1). Bu formulun düzgünlüyünü məntiqlə başa düşmək olar. Baza endirilən hündürlük ixtiyari üçbucağı iki düzbucaqlıya böləcək. Əgər onların hər birini b və h ölçüləri olan düzbucaqlıya tamamlasaq, açıq-aydın bu üçbucaqların sahəsi düzbucaqlının sahəsinin tam yarısına bərabər olacaqdır (Spr = bh)
• Üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin yarısı və aralarındakı bucağın sinusunun hasilidir(Formula 2) (aşağıda bu düsturdan istifadə etməklə problemin həlli nümunəsinə baxın). Əvvəlkidən fərqli görünməsinə baxmayaraq, asanlıqla ona çevrilə bilər. Hündürlüyü B bucağından b tərəfinə endirsək, düzgün üçbucaqdakı sinusun xüsusiyyətlərinə görə a tərəfinin və γ bucağının sinusunun hasilinin çəkdiyi üçbucağın hündürlüyünə bərabər olduğu ortaya çıxır. bizə əvvəlki düsturu verəcəkdir
• İxtiyari üçbucağın sahəsi tapıla bilər vasitəsilə iş bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəmi ilə daxil edilmiş dairənin radiusunun yarısı(Formula 3), başqa sözlə, üçbucağın yarım perimetrini yazılmış dairənin radiusuna vurmaq lazımdır (bu şəkildə yadda saxlamaq daha asandır)
• İxtiyari üçbucağın sahəsini onun bütün tərəflərinin hasilini onun ətrafında çəkilmiş çevrənin 4 radiusuna bölmək yolu ilə tapmaq olar (Formula 4)
• Formula 5 üçbucağın sahəsini tərəflərinin uzunluqları və yarım perimetri (bütün tərəflərinin cəminin yarısı) baxımından tapmaqdır.
• Heron düsturu(6) eyni formulun yarımperimetr anlayışından istifadə etmədən, yalnız tərəflərin uzunluqları vasitəsilə təsviridir.
• İxtiyari üçbucağın sahəsi üçbucağın tərəfinin kvadratının və bu tərəfə bitişik bucaqların sinuslarının bu tərəfə qarşı olan bucağın ikiqat sinusuna bölünməsinə bərabərdir (Formula 7)
• İxtiyari üçbucağın sahəsi onun ətrafında dövrələnmiş dairənin iki kvadratının və onun hər bucağının sinuslarının məhsulu kimi tapıla bilər. (Formula 8)
• Bir tərəfin uzunluğu və ona bitişik iki bucağın böyüklüyü məlumdursa, üçbucağın sahəsi bu tərəfin kvadratı kimi tapıla bilər, bunların kotangentlərinin ikiqat cəminə bölünür. bucaqlar (Formula 9)
• Əgər üçbucağın hər hündürlüyünün uzunluğu məlumdursa (Formula 10), onda belə üçbucağın sahəsi Heron düsturu ilə olduğu kimi bu hündürlüklərin uzunluqlarına tərs mütənasibdir.
• Formula 11 hesablamağa imkan verir təpələrinin koordinatlarına görə üçbucağın sahəsi, təpələrin hər biri üçün (x;y) dəyərlər kimi verilir. Nəzərə alın ki, nəticədə alınan dəyər modul olaraq qəbul edilməlidir, çünki fərdi (və ya hətta bütün) təpələrin koordinatları mənfi dəyərlər sahəsində ola bilər.

Qeyd. Aşağıda üçbucağın sahəsini tapmaq üçün həndəsə problemlərinin həlli nümunələri verilmişdir. Əgər burada olmayan həndəsə problemini həll etmək lazımdırsa - forumda bu barədə yazın. Həlllərdə "kvadrat kök" simvolu əvəzinə, sqrt simvolu olan sqrt () funksiyasından istifadə edilə bilər. kvadrat kök, və mötərizədə kök ifadəsidir.Bəzən simvol sadə radikal ifadələr üçün istifadə edilə bilər √

Tapşırıq. Verilmiş iki tərəfin sahəsini və onların arasındakı bucağı tapın

Üçbucağın tərəfləri 5 və 6 sm, aralarındakı bucaq 60 dərəcədir. Üçbucağın sahəsini tapın.

Qərar.

Bu problemi həll etmək üçün dərsin nəzəri hissəsindən ikinci düsturdan istifadə edirik.
Üçbucağın sahəsi iki tərəfin uzunluqları və aralarındakı bucağın sinusu ilə tapıla bilər və ona bərabər olacaqdır.
S=1/2 ab sin γ

Həll üçün bütün lazımi məlumatlara malik olduğumuz üçün (düstura görə), biz yalnız problemin vəziyyətindən dəyərləri düstura əvəz edə bilərik:
S=1/2*5*6*sin60

Dəyərlər cədvəlində triqonometrik funksiyalar 60 dərəcə sinusun qiymətini tapıb ifadədə əvəz edin. Üçə ikinin kökünə bərabər olacaq.
S = 15 √3 / 2

Cavab verin: 7,5 √3 (müəllimin tələblərindən asılı olaraq, yəqin ki, 15 √3/2 buraxmaq olar)

Tapşırıq. Bərabər üçbucağın sahəsini tapın

Tərəfi 3 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapın.

Qərar.

Üçbucağın sahəsini Heron düsturu ilə tapmaq olar:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

A \u003d b \u003d c olduğundan, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düstur aşağıdakı formanı alacaq:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Cavab verin: 9 √3 / 4.

Tapşırıq. Tərəflərin uzunluğunu dəyişdirərkən sahəni dəyişdirin

Tərəfləri dörd dəfə artırsa, üçbucağın sahəsi neçə dəfə artar?

Qərar.

Üçbucağın tərəflərinin ölçülərini bilmədiyimiz üçün məsələni həll etmək üçün tərəflərin uzunluqlarının müvafiq olaraq a, b, c ixtiyari ədədlərinə bərabər olduğunu qəbul edəcəyik. Sonra məsələnin sualına cavab vermək üçün bu üçbucağın sahəsini tapırıq və sonra tərəfləri dörd dəfə böyük olan üçbucağın sahəsini tapırıq. Bu üçbucaqların sahələrinin nisbəti bizə məsələnin cavabını verəcəkdir.

Sonra, problemin həllinin addım-addım mətn izahını veririk. Bununla belə, ən sonunda eyni həll qavrayış üçün daha əlverişli olan qrafik formada təqdim olunur. İstəyənlər dərhal həllini yerə qoya bilərlər.

Həll etmək üçün Heron düsturundan istifadə edirik (yuxarıda dərsin nəzəri hissəsində baxın). Bu belə görünür:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin ilk sətirinə baxın)

İxtiyari üçbucağın tərəflərinin uzunluqları a, b, c dəyişənləri ilə verilir.
Tərəflər 4 dəfə artırılarsa, yeni c üçbucağının sahəsi olacaq:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdakı şəkildəki ikinci sətirə baxın)

Gördüyünüz kimi, 4 uyğun olaraq bütün dörd ifadədən mötərizədən çıxarıla bilən ümumi bir amildir ümumi qaydalar riyaziyyat.
Sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - şəklin üçüncü sətirində
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü xətt

256 rəqəmindən kvadrat kök mükəmməl şəkildə çıxarılır, buna görə də onu kökün altından çıxaracağıq
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin beşinci sətrinə baxın)

Problemdə verilən suala cavab vermək üçün ortaya çıxan üçbucağın sahəsini orijinalın sahəsinə bölmək kifayətdir.
İfadələri bir-birinə bölmək və yaranan kəsri azaltmaqla sahə nisbətlərini təyin edirik.

Həndəsədə, daha dəqiq desək, planimetriyada bəzi tapşırıqlar verilmiş fiqurun sahəsini tapmağı tələb edir. İstənilən rəqəmin sahəsi həm problemin son məqsədi, həm də daha mürəkkəb formulla əvəz etmək üçün lazım olan aralıq hesablama ola bilər. Çox vaxt belə məsələlərdə onlardan üçbucağın sahəsini tapmağı xahiş edirlər. İlkin məlumatlar fərqli ola bilər. Bəzi hallarda üçbucağın bəzi tərəfi və ona çəkilmiş hündürlüyün qiyməti məlumdur, digərlərində - üçbucağın perimetri və s.

Tutaq ki, üç tərəfi məlumdursa, sizdən üçbucağın sahəsini tapmağınız xahiş olunur. Belə bir üçbucağın sahəsini tapmaq üçün Heron düsturu istifadə olunur. Bu düsturdan istifadə edərək sahəni təyin etmək üçün əvvəlcə üçbucağın yarım perimetrini (n) hesablamalısınız. Hər üç tərəfin mənasını bilməklə, bunu etmək elementardır. Üçbucağın bütün tərəflərini yekunlaşdırmaq lazımdır - bu onun perimetri olacaq və sonra alınan dəyəri ikiyə bölün. Bundan sonra, növbə ilə yarımperimetrin dəyərindən üçbucağın verilmiş üç tərəfinin hər birinin uzunluğunun dəyərlərini çıxmaq lazımdır, yəni n-dən a-nı çıxarmaq, sonra n-dən b-ni çıxarmaq və, nəhayət, n-dən c-ni çıxarın.

Alınan üç fərq öz aralarında vurulmalı və bu məhsul yenidən yarım perimetrin dəyərinə vurulmalıdır. Yuxarıda göstərilən bütün hərəkətləri yerinə yetirdikdən və vurma nəticəsini aldıqdan sonra bu nəticədən kvadrat kök çıxarmaq lazımdır. Kvadrat kökü çıxardıqdan sonra əldə ediləcək rəqəm verilmiş üçbucağın sahəsi olacaqdır. Qısacası, üçbucağın sahəsi üçün düstur belə olacaq: sahə (S) \u003d kvadrat kök (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)) . Düsturdan da anlaşıldığı kimi, ilə üçbucağın tapılması məsələsi məlum dəyərlər tərəfləri çox asanlıqla.

Məsələn, 3 tərəfi məlumdursa, üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar: a tərəfi 3 santimetr, b tərəfi 4 santimetr və c tərəfi 2 santimetrdir. Bu üçbucağın perimetri a + b + c \u003d 3 santimetr + 4 santimetr + 2 santimetr \u003d 9 sm-ə bərabər olacaq.Beləliklə, yarım perimetr 9: 2 \u003d 4,5 santimetr Alırıq: S \u003d kvadrat kök (4,5 santimetr * (4,5 santimetr - 3 santimetr) * (4,5 santimetr - 4 santimetr) * (4,5 santimetr - 2 santimetr)) = 2,9 kvadrat santimetr

Bəs tərəflərin dəyərləri nəinki məlum olsa, həm də problemin vəziyyətinə görə bərabər olduqları göstərilsə nə etməli? Bu vəziyyətdə, bütün tərəflər məlumdursa və eyni zamanda bərabərdirsə, üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Siz, əlbəttə ki, yuxarıda müzakirə olunan Heron düsturundan istifadə edərək də hesablaya bilərsiniz, lakin belə bir üçbucaq üçün Heron düsturundan daha sadə olan başqa bir düstur alınırsa, niyə əlavə hesablamalar lazımdır. Bu düstura görə əvvəlcə 3 rəqəminin kvadrat kökünü hesablamalı, sonra üçbucağın tərəfinin uzunluğunun qiymətini ikinci dərəcəyə qaldırmalı, bu dəyəri 3 rəqəminin kökü ilə ikinci dərəcəyə vurmalı və vurma nəticəsində alınan məhsulu 4-ə bölün. Verilmiş üçbucağın sahəsini alacaqsınız. Yazılan zaman bu düstur belə görünür: S=(a^2*root(3)) /4

Eyni yan uzunluğu 3 santimetrə bərabər olan üçbucaq olsun. Bu düsturdan istifadə edərək, belə bir üçbucağın sahəsini əldə edə bilərsiniz: S \u003d (3 ^ 2 * kök (3)) / 4 \u003d 3,9 kvadrat santimetr. Müəyyən bir üçbucağın sahəsinin dəyərinin düzgün hesablanıb-hesablanmadığını yoxlamaq üçün Heron düsturundan istifadə edərək əlavə hesablamalar apara və nəticələri müqayisə edə bilərsiniz.

Yarım perimetr (p) \u003d (3 + 3 + 3) / 2 \u003d 4,5 santimetr. Heronun düsturuna görə: S \u003d kvadrat kök (4,5 santimetr * (4,5 santimetr - 3 santimetr) * (4,5 santimetr - 3 santimetr) * (4,5 santimetr - 3 santimetr)) \u003d kvadrat 3 ,9s. Hər iki sahə dəyərindən tapıldı müxtəlif formullar, uyğun gəlir. Beləliklə, üçbucağın sahəsi düzgündür. Hər hansı digər problemi həll edərkən, vəziyyətdəki məlumatları nəzərə almalı və bu məlumatlara uyğun düsturdan istifadə etməlisiniz.