Düzgün çoxbucaqlını necə tapmaq olar. müntəzəm çoxbucaqlı

Teorem 1. Dairə istənilən müntəzəm çoxbucaqlının ətrafına çəkilə bilər.

ABCDEF (şəkil 419) düzgün çoxbucaqlı olsun; onun ətrafında çevrəni əhatə edə biləcəyini sübut etmək lazımdır.

Biz bilirik ki, eyni xəttdə olmayan üç nöqtədən dairə çəkmək həmişə mümkündür; deməli, düzgün çoxbucaqlının istənilən üç təpəsindən, məsələn, E, D və C təpələrindən keçəcək çevrə çəkmək həmişə mümkündür. O nöqtəsi bu çevrənin mərkəzi olsun.

Sübut edək ki, bu çevrə də çoxbucaqlının dördüncü təpəsindən, məsələn, B təpəsindən keçəcək.

OE, OD və OS seqmentləri bir-birinə bərabərdir və hər biri dairənin radiusuna bərabərdir. OB-nin başqa bir seqmentini çəkək; bu seqment haqqında onun da çevrənin radiusuna bərabər olduğunu dərhal söyləmək mümkün deyil, bunu sübut etmək lazımdır. OED və ODC üçbucaqlarını nəzərdən keçirək, onlar ikitərəfli və bərabərdir, buna görə də ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Verilmiş çoxbucaqlının daxili bucağı α olarsa, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; lakin ∠4= α / 2 olarsa, ∠5 = α / 2, yəni. ∠4 = ∠5.

Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, (Delta)OSD = (Delta)OSV və deməli, OB = OS, yəni OB seqmenti çəkilmiş dairənin radiusuna bərabərdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, çevrə də müntəzəm çoxbucaqlının B təpəsindən keçəcək.

Eyni şəkildə, qurulmuş dairənin çoxbucaqlının bütün digər təpələrindən keçəcəyini sübut edəcəyik. Bu o deməkdir ki, bu çevrə verilmiş müntəzəm çoxbucaqlı ətrafında əhatə olunacaq. Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 2. Dairə istənilən müntəzəm çoxbucaqlıya yazıla bilər.

ABCDEF düzgün çoxbucaqlı olsun (şəkil 420), ona çevrənin yazıla biləcəyini sübut etməliyik.

Əvvəlki teoremdən məlumdur ki, nizamlı çoxbucaqlının yanında çevrəni əhatə etmək olar. O nöqtəsi bu dairənin mərkəzi olsun.

O nöqtəsini çoxbucaqlının təpələrinə birləşdirin. Nəticədə OED, ODC və s. üçbucaqlar bir-birinə bərabərdir, bu o deməkdir ki, onların O nöqtəsindən çəkilmiş hündürlükləri də bərabərdir, yəni OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Buna görə də, O nöqtəsindən mərkəzdən radiusu OK seqmentinə bərabər olan çevrə K, L, M, N, P və Q nöqtələrindən keçəcək və üçbucaqların hündürlükləri radiusları olacaq. dairə. Çoxbucaqlının tərəfləri həmin nöqtələrdə radiuslara perpendikulyardır, ona görə də həmin çevrəyə tangensdir. Bu isə o deməkdir ki, qurulmuş çevrə verilmiş müntəzəm çoxbucaqlıya yazılmışdır.

Eyni tikinti istənilən müntəzəm çoxbucaqlı üçün yerinə yetirilə bilər, buna görə də hər hansı bir müntəzəm çoxbucaqlıya bir dairə yazıla bilər.

Nəticə. Düzgün çoxbucaqlı ətrafında çevrələnmiş və içinə yazılmış dairənin ümumi mərkəzi var.

Təriflər.

1. Müntəzəm çoxbucaqlının mərkəzi bu çoxbucaqlının ətrafında çəkilmiş və içinə yazılmış dairələrin ümumi mərkəzidir.

2. Düzgün çoxbucaqlının mərkəzindən onun tərəfinə endirilən perpendikulyar düzgün çoxbucaqlının apotemi adlanır.

Müntəzəm çoxbucaqlıların tərəflərinin dairəvi dairənin radiusu ilə ifadəsi

İstifadə etməklə triqonometrik funksiyalar hər hansı düzgün çoxbucaqlının tərəfini onun ətrafında çəkilmiş çevrənin radiusu ilə ifadə etmək olar.

AB düzgün tərəfi olsun n-qon OA = R radiuslu dairəyə yazılmışdır (şəkil).

Müntəzəm çoxbucaqlının atheme OD-sini çəkək və düz AOD üçbucağını nəzərdən keçirək. Bu üçbucaqda

∠AOD = 1/2 ∠AOB = 1/2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

lakin AB = 2AD və buna görə də AB = 2R sin 180° / n .

Düzgün yan uzunluğu n Dairəyə yazılmış -gon adətən işarələnir a n, buna görə də nəticə düsturunu aşağıdakı kimi yazmaq olar:

a n= 2R günah 180° / n .

Nəticələr:

1. Radius dairəsinə yazılmış müntəzəm altıbucağın yan uzunluğu R , düsturu ilə ifadə edilir a 6=R, çünki

a 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1/2 = R.

2. Radiuslu bir dairəyə yazılmış müntəzəm dördbucağın (kvadratın) yan uzunluğu R , düsturu ilə ifadə edilir a 4 = R√2 , çünki

a 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Radiuslu bir dairəyə yazılmış bərabərtərəfli üçbucağın yan uzunluğu R , düsturu ilə ifadə edilir a 3 = R√3 , çünki.

a 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Müntəzəm çoxbucaqlının sahəsi

Düzgün olanı verilsin n-qon (düyü). Onun sahəsini müəyyən etmək tələb olunur. Çoxbucaqlının tərəfini ilə işarələyin a və mərkəzi O vasitəsilə. Mərkəzin seqmentlərini çoxbucaqlının hər hansı tərəfinin ucları ilə birləşdirin, çoxbucaqlının apotemini çəkdiyimiz üçbucaq alırıq.

Bu üçbucağın sahəsi Ah / 2. Bütün çoxbucağın sahəsini müəyyən etmək üçün bir üçbucağın sahəsini üçbucaqların sayına vurmaq lazımdır, yəni. n. Alırıq: S = Ah / 2 n = ahn / 2 amma birçoxbucaqlının perimetrinə bərabərdir. Gəlin buna R deyək.

Nəhayət, əldə edirik: S = P h / 2. burada S müntəzəm çoxbucaqlının sahəsidir, P onun perimetridir, h- apotem.

Normal çoxbucaqlının sahəsi onun perimetri və apoteminin məhsulunun yarısına bərabərdir.

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz toplaya bilərik müxtəlif məlumatlar adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız daxil olmaqla E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman zaman şəxsi məlumatlarınızdan sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğu və ya müraciətlər əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Üçbucaq, kvadrat, altıbucaqlı - bu rəqəmlər demək olar ki, hər kəsə məlumdur. Ancaq hamı müntəzəm çoxbucaqlının nə olduğunu bilmir. Ancaq bunların hamısı eynidir Daimi çoxbucaqlılar bərabər bucaqları və tərəfləri olan çoxbucaqlı adlanır. Belə rəqəmlər çoxdur, lakin onların hamısı eyni xüsusiyyətlərə malikdir və eyni düsturlar onlara aiddir.

Normal çoxbucaqlıların xassələri

İstənilən müntəzəm çoxbucaqlı, istər kvadrat olsun, istərsə də səkkizbucaqlı olsun, dairəyə yazıla bilər. Bu əsas xüsusiyyət tez-tez bir fiqur qurarkən istifadə olunur. Bundan əlavə, çoxbucaqlıya bir dairə də daxil edilə bilər. Bu halda təmas nöqtələrinin sayı onun tərəflərinin sayına bərabər olacaqdır. Müntəzəm çoxbucaqlıya daxil edilmiş dairənin onunla ortaq bir mərkəzin olması vacibdir. Bunlar həndəsi fiqurlar eyni teoremlərə tabedir. Müntəzəm n-bucaqlının hər hansı tərəfi onun ətrafındakı məhdud dairənin R radiusu ilə əlaqələndirilir.Ona görə də onu aşağıdakı düsturla hesablamaq olar: a = 2R ∙ sin180°. Onun vasitəsilə çoxbucaqlının yalnız tərəflərini deyil, həm də perimetrini tapa bilərsiniz.

Düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını necə tapmaq olar

Hər hansı biri bir-birinə bərabər olan müəyyən sayda seqmentlərdən ibarətdir, bunlar birləşdirildikdə qapalı bir xətt təşkil edir. Bu vəziyyətdə, formalaşmış rəqəmin bütün küncləri var eyni dəyər. Çoxbucaqlılar sadə və mürəkkəb bölünür. Birinci qrupa üçbucaq və kvadrat daxildir. Mürəkkəb çoxbucaqlılar var daha çox tərəflər. Onlara ulduz formalı fiqurlar da daxildir. Mürəkkəb nizamlı çoxbucaqlılar üçün tərəflər onları dairəyə yazmaqla tapılır. Gəlin bir sübut verək. Tərəflərin ixtiyari sayda n olan düzgün çoxbucaqlı çəkin. Onun ətrafında bir dairəni təsvir edin. R radiusunu göstərin. İndi təsəvvür edin ki, bəzi n-qonşuları verilmişdir. Əgər onun bucaqlarının nöqtələri çevrə üzərində yerləşirsə və bir-birinə bərabərdirsə, onda tərəfləri aşağıdakı düsturla tapmaq olar: a = 2R ∙ sinα: 2.

Üzərinə daxil edilmiş düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin sayını tapmaq

Bərabərtərəfli üçbucaq düzgün çoxbucaqlıdır. Kvadrat və n-gon üçün eyni düsturlar ona da aiddir. Üçbucağın tərəfləri eyni uzunluqda olarsa düzgün hesab ediləcək. Bu vəziyyətdə bucaqlar 60⁰-dir. Verilmiş tərəf uzunluğu a olan üçbucaq qurun. Onun medianı və hündürlüyünü bilməklə onun tərəflərinin dəyərini tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün a \u003d x: cosα düsturu vasitəsilə tapmaq metodundan istifadə edəcəyik, burada x median və ya hündürlükdür. Üçbucağın bütün tərəfləri bərabər olduğundan a = b = c alırıq. Onda aşağıdakı müddəa doğrudur: a = b = c = x: cosα. Eynilə, siz ikitərəfli üçbucaqda tərəflərin qiymətini tapa bilərsiniz, lakin x verilmiş hündürlük olacaq. Eyni zamanda, rəqəmin əsasında ciddi şəkildə proqnozlaşdırılmalıdır. Beləliklə, x hündürlüyünü bilərək, a tərəfini tapırıq ikitərəfli üçbucaq a \u003d b \u003d x düsturuna görə: cosα. a-nın qiymətini tapdıqdan sonra c əsasının uzunluğunu hesablaya bilərsiniz. Pifaqor teoremini tətbiq edək. Biz c əsasının yarısının qiymətini axtaracağıq: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Onda c = 2xtanα. bunun kimi asan bir şəkildə hər hansı bir daxili çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın.

Dairəyə yazılmış kvadratın tərəflərinin hesablanması

Hər hansı digər düzbucaqlı çoxbucaqlı kimi, kvadratın tərəfləri və açıları bərabərdir. Üçbucaq üçün eyni düsturlar ona aiddir. Diaqonalın dəyərindən istifadə edərək kvadratın tərəflərini hesablaya bilərsiniz. Bu üsulu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Məlumdur ki, diaqonal bucağı ikiyə bölür. Əvvəlcə onun dəyəri 90 dərəcə idi. Beləliklə, bölündükdən sonra iki əmələ gəlir.Onların təməldəki bucaqları 45 dərəcəyə bərabər olacaq. Müvafiq olaraq, kvadratın hər tərəfi bərabər olacaqdır, yəni: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, burada e kvadratın diaqonalı və ya əsasıdır. bölündükdən sonra əmələ gələn sağ üçbucaq. Deyil yeganə yol kvadratın tərəflərinin tapılması. Gəlin bu rəqəmi dairəyə yazaq. Bu dairənin R radiusunu bildiyimiz üçün kvadratın tərəfini tapırıq. Bunu aşağıdakı kimi hesablayacağıq a4 = R√2. Müntəzəm çoxbucaqlıların radiusları R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) düsturu ilə hesablanır, burada a tərəfin uzunluğudur.

N-qonşunun perimetrini necə hesablamaq olar

N-qonşunun perimetri onun bütün tərəflərinin cəmidir. Onu hesablamaq asandır. Bunun üçün bütün tərəflərin dəyərlərini bilmək lazımdır. Bəzi çoxbucaqlı növləri üçün xüsusi düsturlar var. Onlar perimetri daha tez tapmağa imkan verir. Məlumdur ki, istənilən düzgün çoxbucaqlı bərabər tərəflərə malikdir. Buna görə də onun perimetrini hesablamaq üçün onlardan ən azı birini bilmək kifayətdir. Formula rəqəmin tərəflərinin sayından asılı olacaq. Ümumiyyətlə, belə görünür: P \u003d an, burada a tərəfin dəyəri, n isə bucaqların sayıdır. Məsələn, tərəfi 3 sm olan düzgün səkkizbucağın perimetrini tapmaq üçün onu 8-ə vurmaq lazımdır, yəni P = 3 ∙ 8 = 24 sm.Tərəfi 5 sm olan altıbucaqlı üçün hesablayırıq. aşağıdakı kimi: P = 5 ∙ 6 = 30 sm.Və hər bir çoxbucaqlı üçün.

Paraleloqramın, kvadratın və rombun perimetrinin tapılması

Düzgün çoxbucaqlının neçə tərəfi olduğuna görə onun perimetri hesablanır. Bu, işi xeyli asanlaşdırır. Həqiqətən də, digər rəqəmlərdən fərqli olaraq, bu halda onun bütün tərəflərini axtarmaq lazım deyil, sadəcə biri kifayətdir. Eyni prinsiplə dördbucaqlıların, yəni kvadratın və rombun perimetrini tapırıq. Baxmayaraq ki, bu müxtəlif rəqəmlər, onlar üçün düstur bir P \u003d 4a, burada a tərəfdir. Bir misal götürək. Rombun və ya kvadratın tərəfi 6 sm-dirsə, perimetri aşağıdakı kimi tapırıq: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 sm.Bir paraleloqram yalnız əks tərəflər. Buna görə də onun perimetri fərqli bir üsulla tapılır. Beləliklə, biz fiqurun a uzunluğunu və b enini bilməliyik. Sonra P \u003d (a + c) ∙ 2 düsturunu tətbiq edirik. Aralarında bütün tərəflərin və bucaqların bərabər olduğu paraleloqrama romb deyilir.

Bərabər və düzbucaqlı üçbucağın perimetrinin tapılması

Düzgün olanın perimetrini P \u003d 3a düsturu ilə tapmaq olar, burada a tərəfin uzunluğudur. Əgər məlum deyilsə, onu median vasitəsilə tapmaq olar. AT düz üçbucaq yalnız iki tərəf bərabərdir. Əsasını Pifaqor teoremi ilə tapmaq olar. Hər üç tərəfin dəyərləri məlum olduqdan sonra perimetri hesablayırıq. Bunu P \u003d a + b + c düsturunu tətbiq etməklə tapmaq olar, burada a və b bərabər tərəflər, c isə əsasdır. Xatırladaq ki, ikitərəfli üçbucaqda a \u003d b \u003d a, buna görə də a + b \u003d 2a, sonra P \u003d 2a + c. Məsələn, ikitərəfli üçbucağın tərəfi 4 sm-dir, onun əsasını və perimetrini tapın. Pifaqor teoreminə uyğun olaraq hipotenuzun dəyərini hesablayırıq c \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 sm İndi P \u003d 4 \∙5 perimetrini hesablayırıq. u003d 13,65 sm.

Düzgün çoxbucaqlının bucaqlarını necə tapmaq olar

müntəzəm çoxbucaqlı həyatımızda hər gün baş verir, məsələn, adi kvadrat, üçbucaq, səkkizbucaq. Görünür ki, bu rəqəmi özünüz qurmaqdan asan bir şey yoxdur. Ancaq bu, ilk baxışdan belədir. İstənilən n-qonşunu qurmaq üçün onun bucaqlarının qiymətini bilmək lazımdır. Bəs siz onları necə tapırsınız? Hətta antik dövrün alimləri müntəzəm çoxbucaqlılar qurmağa çalışırdılar. Onları dairələrə sığdırmağı təxmin etdilər. Və sonra düz xətlərlə birləşdirilən lazımi nöqtələr qeyd edildi. üçün sadə fiqurlar tikinti problemi həll olunub. Düsturlar və teoremlər əldə edilmişdir. Məsələn, Evklid özünün məşhur "Başlanğıc" əsərində 3, 4, 5, 6 və 15-qonlara aid məsələlərin həlli ilə məşğul olurdu. Onları qurmaq və bucaq tapmaq yollarını tapdı. 15 gon üçün bunu necə edəcəyimizi görək. Əvvəlcə məbləği hesablamalısınız daxili künclər. S = 180⁰(n-2) düsturundan istifadə etmək lazımdır. Beləliklə, bizə 15-bucaq verilir, bu o deməkdir ki, n ədədi 15-dir. Bildiyimiz məlumatları düsturda əvəz edirik və S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ alırıq. 15-bucaqlının bütün daxili bucaqlarının cəmini tapdıq. İndi onların hər birinin dəyərini almalıyıq. Cəmi 15 bucaq var.2340⁰ hesabını edirik: 15 = 156⁰. Bu o deməkdir ki, hər bir daxili bucaq 156⁰-dir, indi bir hökmdar və kompasdan istifadə edərək adi 15-bucaq qura bilərsiniz. Bəs daha mürəkkəb n-qonlar haqqında nə demək olar? Əsrlər boyu elm adamları bu problemi həll etmək üçün mübarizə aparırdılar. Yalnız 18-ci əsrdə Karl Fridrix Qauss tərəfindən tapılıb. O, 65537-gon qura bildi. O vaxtdan bəri problem rəsmi olaraq tamamilə həll edilmiş hesab olunur.

Radianlarda n-qonşuların bucaqlarının hesablanması

Təbii ki, çoxbucaqlıların künclərini tapmağın bir neçə yolu var. Çox vaxt onlar dərəcə ilə hesablanır. Lakin siz onları radyanla da ifadə edə bilərsiniz. Bunu necə etmək olar? Aşağıdakı kimi davam etmək lazımdır. Əvvəlcə müntəzəm çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapırıq, sonra ondan 2-ni çıxırıq.Beləliklə, dəyəri alırıq: n - 2. Tapılan fərqi n rəqəminə (“pi” \u003d 3.14) vurun. İndi yalnız yaranan məhsulu n-qonaqdakı bucaqların sayına bölmək qalır. Eyni on beş tərəfli nümunədən istifadə edərək bu hesablamaları nəzərdən keçirin. Deməli, n ədədi 15-dir. S = p(n - 2) düsturunu tətbiq edək : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Bu, əlbəttə ki, bucağı radyanla hesablamağın yeganə yolu deyil. Siz sadəcə olaraq bucağın ölçüsünü dərəcələrlə 57.3 rəqəminə bölmək olar. Axı, bu qədər dərəcə bir radana bərabərdir.

Bucaqların qiymətinin dərəcələrlə hesablanması

Dərəcələrə və radyanlara əlavə olaraq, müntəzəm çoxbucaqlının bucaqlarının qiymətini gradlarda tapmağa cəhd edə bilərsiniz. Bu, aşağıdakı şəkildə edilir. Bucaqların ümumi sayından 2 çıxın, yaranan fərqi müntəzəm çoxbucaqlının tərəflərinin sayına bölün. Tapılan nəticəni 200-ə vururuq. Yeri gəlmişkən, dərəcə kimi bucaqların ölçü vahidi praktiki olaraq istifadə edilmir.

n-bucaqlıların xarici künclərinin hesablanması

Hər hansı bir müntəzəm çoxbucaqlı üçün, daxili ilə yanaşı, xarici bucağı da hesablaya bilərsiniz. Onun dəyəri digər rəqəmlərlə eyni şəkildə tapılır. Beləliklə, müntəzəm çoxbucaqlının xarici küncünü tapmaq üçün daxili küncün dəyərini bilmək lazımdır. Bundan əlavə, bu iki bucağın cəminin həmişə 180 dərəcə olduğunu bilirik. Buna görə hesablamaları aşağıdakı kimi edirik: 180⁰ minus daxili bucağın dəyəri. Fərqi tapırıq. Ona bitişik bucağın dəyərinə bərabər olacaq. Məsələn, kvadratın daxili küncü 90 dərəcədir, buna görə də xarici bucaq 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ olacaqdır. Gördüyümüz kimi, onu tapmaq çətin deyil. Xarici bucaq müvafiq olaraq +180⁰ ilə -180⁰ arasında qiymət ala bilər.

Çoxbucaqlının bütün tərəfləri və bütün bucaqları bərabərdirsə, ona müntəzəm deyilir. Üçbucaqlar arasında bərabərtərəfli üçbucaq və yalnız o düzgün olacaq. Kvadrat (və yalnız bir kvadrat) müntəzəm dördbucaqlıdır. Göstərək ki, istənilən sayda tərəfi olan düzgün çoxbucaqlılar var, burada . Bunun üçün biz belə çoxbucaqlıların qurulması üçün iki üsul təqdim edirik.

Metod 1. İxtiyari bir dairə götürün və bərabər hissələrə bölün. Kompas və düzbucaqlı ilə belə bir tikinti heç bir şəkildə mümkün deyil, lakin biz burada belə bir tikinti aparıldığını fərz edəcəyik. Bölmə nöqtələrini dairənin üzərindəki ardıcıl mövqelərində bu çevrəyə yazılmış -qonun təpələri kimi qəbul edirik. Sübut edək ki, qurulmuş -gon nizamlıdır. Həqiqətən, çoxbucaqlımızın tərəfləri (şəkil 312) bərabər qövslərlə çıxarılan akkordlardır və buna görə də bir-birinə bərabərdirlər.

Bütün bucaqlar bərabər qövslərə əsaslanır və buna görə də bərabərdir. Beləliklə, çoxbucaqlı düzgündür.

Metod 2. Yenə dairəni bərabər hissələrə bölün və bölmə nöqtələrində çevrəyə toxunanlar çəkin; biz tangenslərin hər birini qonşu bölmə nöqtələrində çəkilmiş tangenslərlə kəsişmə nöqtələri ilə məhdudlaşdırırıq. Dairə ətrafında dövrələnmiş müntəzəm çoxbucaqlı alırıq (şək. 313). Əslində, onun bucaqları hamısı bərabərdir, çünki onların hər biri, tangenslər arasındakı bucaq kimi, kiçik olanı həmişə dairənin bir hissəsinə bərabər olan qövslərin yarı fərqi ilə ölçülür, böyük olan isə həmişə tam dairəyə minus hissəyə bərabərdir. Tərəflərin bərabərliyini ən azı yarım tangens və akkord cütlərinin (məsələn, üçbucaqlar və s.) əmələ gətirdiyi üçbucaqların bərabərliyindən görmək olar. Onların hamısı ikitərəflidir, təpələrdə bərabər bucaqlara və bərabər əsaslara malikdir.

İki müntəzəm -gons ilə eyni nömrə tərəfləri oxşardır.

Həqiqətən də, onların tərəfləri, şübhəsiz ki, hər hansı bir cüt tərəfin nisbətinə bərabər, daimi əlaqədədirlər. Bundan əlavə, -qonun bucaqlarının cəminə dair teoremlə hər düzgün -qonlu 1-ə bərabər eyni bucaqlara malikdir. 224-cü bənddəki kriteriyanın şərtləri yerinə yetirilir, -qonlar isə oxşardır.

Beləliklə, hər bir müntəzəm -gons oxşardır. Bundan dərhal bir sıra nəticələr əldə edirik:

1. İki müntəzəm -gons ilə bərabər tərəflər bərabərdirlər.

2. Dairə istənilən düzbucaqlının ətrafında çəkilə bilər.

Sübut. Birinci üsula uyğun olaraq qurulmuş, yəni bir dairəyə yazılmış, verilən ilə eyni sayda tərəfi olan istənilən müntəzəm çoxbucaqlı götürün. Gəlin onu eyni şəkildə çevirək ki, verilənə bərabər olsun. Sonra onun ətrafında çevrələnmiş dairə eyni şəkildə verilmiş çoxbucaqlının ətrafına çəkilmiş dairəyə çevrilir.

3. Dairə hər düzgün çoxbucaqlıya daxil edilə bilər.

Sübut oxşardır. Bununla belə, əsaslandırmanı bir qədər fərqli şəkildə həyata keçirmək faydalıdır. Biz artıq bilirik ki, verilmiş çoxbucaqlı ətrafında çevrə çəkilə bilər. Onun mərkəzini götürək. Çoxbucaqlının tərəfləri onun akkordları kimi xidmət edir; bir-birinə bərabər olduğundan, onlar mərkəzdən bərabər məsafədə olmalıdırlar. Beləliklə, mərkəzi və radiusu eyni olan bir dairə, məsafəyə bərabərdir mərkəzdən çoxbucaqlının tərəflərinə qədər, çoxbucaqlının bütün tərəflərinə toxunacaq, yəni o, yazılmış bir dairə olacaqdır.

Deməli, nizamlı çoxbucaqlının yazısı və sərhədi olan çevrələri ortaq mərkəzə malikdir. Verilmiş müntəzəm çoxbucaqlının mərkəzi adlanır. Daxil edilmiş çevrənin radiusu çoxbucaqlının radiusu, içərisinə daxil edilmiş dairənin radiusu isə onun apotemi adlanır. Aydındır ki, apotem həmişə radiusdan kiçikdir.

MATERİALI TƏKRAR EDİN

a səkkizbucağın tərəfidir,

R - məhdud dairənin radiusu,

r daxili dairənin radiusudur.

Düzgün n-bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi

180(n-2).

n-bucaqlının daxili bucağının dərəcə ölçüsü

180(n-2) : n.

Düzgün tərəf n

Düzgün çoxbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusu

Düzgün n sahəsi

ÇALIŞMALAR

1. a) Altıbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Səkkizbucağın daxili bucaqlarının cəmi:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Həll:
a) Düstura görə altıbucaqlının bucaqlarının cəmi: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Cavab: 720 ° .


2. a) Düzgün çoxbucaqlının tərəfi 5 sm, daxili bucağı 144-dür°
a) Düzgün çoxbucaqlının tərəfi 7 sm, daxili bucağı 150-dir° . Çoxbucaqlının perimetrini tapın.
Həll:
a) 1) Çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Onbucağın perimetrini tapın: P=5*10=50 sm.
Cavab: 50 sm.


3. a) Düzgün beşbucağın perimetri 30 sm-dir.Beşbucağın ətrafına çəkilmiş çevrənin diametrini tapın.
b) Dairənin diametri 10 sm-dir.Ora daxil edilmiş beşbucağın perimetrini tapın.
Həll:
a) 1) Beşbucağın tərəfini tapın: 30:5=6 sm.
2) Dairənin radiusunu tapın:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin(180 ° :5);
R=3:günah 36 ° \u003d 3: 0,588 \u003d 5,1 sm
Cavab: 5,1 sm.


4. a) Düzgün çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 2520-dir°
b) Düzgün çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 1800-dür° . Çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın.
Həll:
a) Çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Cavab: 16 tərəf.


5. a) Düzgün onbucaqlını əhatə edən dairənin radiusu 5 sm-dir.Çoxbucaqlının sahəsini tapın.
b) Düzgün səkkizbucağı əhatə edən dairənin radiusu 6 sm-dir.Çoxbucaqlının sahəsini tapın.
Həll:
a) on ikibucağın sahəsini tapın:
S=0,5* R 2 *n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° =75 sm 2 .
Cavab: 75 sm 2 .


6. Kölgəli hissənin sahəsi məlumdursa, altıbucaqlının sahəsini tapın:

ABC üçbucağının sahəsi 0,5*AB*BC*sin120-dir° və 48-ci şərtlə bərabərdir.

7. a) Təpənin xarici bucağı 18 olarsa düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın.° .
b) Düzgün çoxbucaqlının təpənin xarici bucağı 45 olarsa, onun tərəflərinin sayını tapın° .
Həll:
a) Məbləğ kənar künclər müntəzəm çoxbucaqlı 360-dır ° .
Tərəflərin sayını tapın: 360 ° :18 ° =20.
Cavab: 20 tərəf.


8. AB akkordu bərabər olarsa, halqanın sahəsini hesablayın:
a) 8 sm; b) 10 sm.

1) OB - xarici dairənin radiusu, OH - daxili dairənin radiusu. Üzük sahəsini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar: üzük S = xarici dairənin S - daxili dairənin S.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) ABO üçbucağını nəzərdən keçirin - isosceles (radius kimi OA \u003d OB). OH ABO üçbucağında hündürlük və mediandır, ona görə də AN=HB=8:2= 4 sm.

3) ONV üçbucağını nəzərdən keçirək - düzbucaqlı: HB 2 =OB 2 -O 2 , Nəticədə

OV 2 -O 2 =16.

4) Üzüyün sahəsini tapın:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π sm 2 .

Cavab:16 π sm 2 .

P=6*AB;

10. Normal səkkizbucaqda kölgəli hissənin sahəsinin bərabər olduğunu sübut edin:
a) səkkizbucağın sahəsinin dörddə biri; b) səkkizbucağın sahəsinin yarısı:

1) Səkkizbucağın bucaqlarının bisektorlarını çəkək, onlar O nöqtəsində kəsişirlər. Səkkizbucağın sahəsi yaranan səkkiz bərabər üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir, yəni. S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) ABEF dördbucaqlı paraleloqramdır (AB//EF və AB=EF). Paraleloqramın diaqonalları bərabərdir: AE=BF (səkkizbucaqla əhatə olunmuş dairənin diametrləri kimi), buna görə də ABEF düzbucaqlıdır. Düzbucaqlının diaqonalları onu bərabər sahəyə malik dörd üçbucağa bölür.

3) AFKM dördbucağının sahəsini tapın:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Səkkizbucağın sahəsinin kölgəli hissənin sahəsinə nisbətini tapın:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2*S(OEF))=4.

Q.E.D.

1) AB=AC=2R. BAC bucağı düzdür, çünki BAC sektorunun sahəsi dairənin sahəsinin dörddə birinə bərabərdir .

2) Dördbucaqlı AO-nu nəzərdən keçirək 2 MO 1 . O, rombdur, çünki bütün tərəflər radiusa bərabərdir və bəri Onların bucaqlarından biri 90°, sonra AO-dur 2 MO 1 - kvadrat.

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR

1. Beşbucaqlının xarici bucaqlarının cəmi neçəyə bərabərdir?

2. Kölgəli sahənin sahəsi 20 olarsa, səkkizbucağın sahəsi neçədir.