Köklərin xassələri, formulaları, sübutları, nümunələri. Kvadrat kök. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə Kvadrat kök, arifmetik kvadrat kök

\(\sqrt(a)=b\) əgər \(b^2=a\), burada \(a≥0,b≥0\)

Nümunələr:

\(\sqrt(49)=7\) çünki \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),çünki \(0.2^2=0.04\)

Ədədin kvadrat kökünü necə çıxarmaq olar?

Ədədin kvadrat kökünü çıxarmaq üçün özünüzə sual verməlisiniz: hansı ədədin kvadratı kök altında ifadə verəcək?

misal üçün. Kökü çıxarın: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Hansı ədədin kvadratı \(2500\) verəcək?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Hansı ədədin kvadratı \(\frac(4)(9)\) verəcək?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Hansı ədədin kvadratı \(0,0001\) verəcək?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) hansı kvadrat ədəd verəcək? Suala cavab vermək üçün səhv birinə tərcümə etməlisiniz.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Şərh: Baxmayaraq ki, \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) da verilmiş suallara cavab verir. , lakin onlar nəzərə alınmır, çünki kvadrat kök həmişə müsbətdir.

Kökün əsas xüsusiyyəti

Bildiyiniz kimi, riyaziyyatda hər hansı bir hərəkətin əksi var. Toplamanın çıxma, vurmada bölmə var. Kvadratlaşdırmanın əksi kvadrat kök almaqdır. Beləliklə, bu hərəkətlər bir-birini ləğv edir:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Bu, ən çox istifadə olunan kökün əsas xüsusiyyətidir (OGE də daxil olmaqla)

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) ifadəsinin qiymətini tapın

Qərar :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \((\sqrt(85)-1)^2\) ifadəsinin qiymətini tapın

Qərar:

Təbii ki, kvadrat köklə işləyərkən başqalarından istifadə etmək lazımdır.

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ifadəsinin qiymətini tapın.
Qərar:

Cavab: \(220\)

Həmişə unudulan 4 qayda

Kök həmişə çıxarılmır

Misal: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) və s. - ədəddən kök çıxarmaq həmişə mümkün olmur və bu normaldır!

Ədədin kökü, həm də ədəd

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) hər hansı xüsusi üsulla müalicə etməyə ehtiyac yoxdur. Bunlar ədədlərdir, amma tam ədədlər deyil, bəli, amma dünyamızda hər şey tam ədədlərlə ölçülmür.

Kök yalnız mənfi olmayan ədədlərdən götürülür

Buna görə də dərsliklərdə belə qeydləri görməyəcəksiniz \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) və s.

Yenə boşqaba baxdım... Və, gedək!

Sadə birindən başlayaq:

Bir dəqiqə gözlə. bu, onu belə yaza biləcəyimiz deməkdir:

Anladım? Budur sizin üçün növbəti:

Nəticədə ədədlərin kökləri dəqiq çıxarılmır? Narahat olmayın, burada bəzi nümunələr var:

Bəs iki çarpan deyil, daha çox olarsa? Eyni! Kök çarpma düsturu istənilən sayda amillərlə işləyir:

İndi tamamilə müstəqil:

Cavablar:Əla! Razılaşın, hər şey çox asandır, əsas odur ki, vurma cədvəlini bilməkdir!

Kök bölgüsü

Köklərin çoxalmasını anladıq, indi bölmə xüsusiyyətinə keçək.

Nəzərinizə çatdırım ki, düstur ümumiyyətlə belə görünür:

Və bu o deməkdir ki bölmənin kökü köklərin bölünməsinə bərabərdir.

Yaxşı, nümunələrə baxaq:

Bütün elm budur. Və burada bir nümunə var:

Hər şey birinci nümunədəki kimi hamar deyil, amma gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur.

İfadə belə görünsə nə olar:

Formulu tərsinə tətbiq etmək kifayətdir:

Və burada bir nümunə var:

Bu ifadəni də görə bilərsiniz:

Hər şey eynidir, yalnız burada fraksiyaları necə tərcümə edəcəyinizi xatırlamaq lazımdır (xatırlamırsınızsa, mövzuya baxın və qayıdın!). Yadda? İndi qərar veririk!

Əminəm ki, sən hər şeyin, hər şeyin öhdəsindən gəldin, indi bir dərəcədə kök salmağa çalışaq.

Eksponentasiya

Kvadrat kök kvadrat olarsa nə olar? Bu sadədir, nömrənin kvadrat kökünün mənasını xatırlayın - bu, kvadrat kökü bərabər olan bir ədəddir.

Beləliklə, kvadrat kökü bərabər olan ədədin kvadratını versək, onda nə əldə edirik?

Yaxşı, əlbəttə,!

Nümunələrə baxaq:

Hər şey sadədir, elə deyilmi? Və kök fərqli dərəcədədirsə? Hər şey qaydasındadır!

Eyni məntiqə sadiq qalın və dərəcələrlə xassələri və mümkün hərəkətləri xatırlayın.

"" Mövzusunda nəzəriyyəni oxuyun və hər şey sizə son dərəcə aydın olacaq.

Məsələn, burada bir ifadə var:

Bu misalda dərəcə cütdür, bəs təkdirsə? Yenə də güc xüsusiyyətlərini tətbiq edin və hər şeyi nəzərə alın:

Bununla hər şey aydın görünür, amma bir dərəcədən kökü necə çıxarmaq olar? Budur, məsələn, bu:

Olduqca sadə, elə deyilmi? Əgər dərəcə ikidən çox olarsa? Dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək eyni məntiqə əməl edirik:

Yaxşı, hər şey aydındır? Sonra öz nümunələrinizi həll edin:

Və burada cavablar:

Kök işarəsi altında giriş

Köklərlə nə etməyi öyrənməmişik! Yalnız kök işarəsi altındakı nömrəni daxil etməyi məşq etmək qalır!

Bu olduqca asandır!

Tutaq ki, bir nömrəmiz var

Bununla nə edə bilərik? Yaxşı, əlbəttə ki, üçlüyü kökün altında gizlədin, üçlüyün kvadrat kök olduğunu xatırlayın!

Niyə bizə lazımdır? Bəli, nümunələri həll edərkən imkanlarımızı genişləndirmək üçün:

Köklərin bu xüsusiyyətini necə bəyənirsiniz? Həyatı çox asanlaşdırır? Mənim üçün bu doğrudur! Yalnız yadda saxlamalıyıq ki, kvadrat kök işarəsi altında yalnız müsbət ədədlər daxil edə bilərik.

Bu nümunəni özünüz üçün sınayın:
idarə etdin? Gəlin görək nə əldə etməlisiniz:

Əla! Kök işarəsi altında nömrə daxil etməyi bacardınız! Gəlin eyni dərəcədə vacib bir şeyə keçək - kvadrat kök olan nömrələri necə müqayisə edəcəyinizi düşünün!

Kök müqayisəsi

Niyə biz kvadrat kökü olan ədədləri müqayisə etməyi öyrənməliyik?

Çox sadə. Çox vaxt imtahanda rast gəlinən iri və uzun ifadələrdə irrasional cavab alırıq (bu nə olduğunu xatırlayın? Bu gün artıq bu haqda danışmışdıq!)

Alınan cavabları koordinat xəttinə yerləşdirməliyik, məsələn, tənliyin həlli üçün hansı intervalın uyğun olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Və burada tıxac yaranır: imtahanda kalkulyator yoxdur və onsuz hansı rəqəmin daha böyük və hansının kiçik olduğunu necə təsəvvür etmək olar? Bu belədir!

Məsələn, hansının daha böyük olduğunu müəyyənləşdirin: və ya?

Dərhal deməyəcəksiniz. Yaxşı, kök işarəsi altında ədədin əlavə edilməsinin təhlil edilmiş xassəsindən istifadə edək?

Sonra irəli:

Aydındır ki, kökün işarəsi altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür!

Bunlar. deməkdirsə.

Buradan qəti nəticəyə gəlirik ki Və heç kim bizi başqa cür inandıra bilməz!

Çoxlu sayda köklərin çıxarılması

Ondan əvvəl kök işarəsi altında bir faktor təqdim etdik, bəs onu necə çıxarmaq olar? Siz sadəcə onu nəzərə almaq və çıxarılanları çıxarmaq lazımdır!

Başqa yolla getmək və başqa amillərə parçalamaq mümkün idi:

Pis deyil, hə? Bu yanaşmalardan hər hansı biri düzgündür, özünüzü necə rahat hiss etdiyinizə qərar verin.

Faktorinq bu kimi qeyri-standart vəzifələri həll edərkən çox faydalıdır:

Qorxmuruq, hərəkət edirik! Hər bir faktoru kökündə ayrı-ayrı amillərə ayırırıq:

İndi özünüz cəhd edin (kalkulyator olmadan! O, imtahanda olmayacaq):

Bu sondurmu? Biz yarı yolda dayanmırıq!

Hamısı budur, o qədər də qorxulu deyil, elə deyilmi?

baş verdi? Yaxşı, düz deyirsən!

İndi bu nümunəni sınayın:

Və misal çatmaq üçün çətin bir qozdur, ona görə də ona necə yaxınlaşacağınızı dərhal anlaya bilməzsiniz. Ancaq biz, əlbəttə ki, dişimizdədir.

Yaxşı, faktorinqə başlayaq, elə deyilmi? Dərhal qeyd edirik ki, bir ədədi aşağıdakılara bölmək olar (bölünmə əlamətlərini xatırlayın):

İndi özünüz cəhd edin (yenidən kalkulyator olmadan!):

Yaxşı, işlədi? Yaxşı, düz deyirsən!

Xülasə

1. Mənfi olmayan ədədin kvadrat kökü (arifmetik kvadrat kök) kvadratı bərabər olan qeyri-mənfi ədəddir.
   .
2. Bir şeyin kvadrat kökünü götürsək, həmişə bir qeyri-mənfi nəticə əldə edirik.
3. Arifmetik kök xüsusiyyətləri:
4. Kvadrat kökləri müqayisə edərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, kökün işarəsi altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür.

Kvadrat kökü necə bəyənirsiniz? Hər şey aydındır?

Kvadrat kök haqqında imtahanda bilməli olduğunuz hər şeyi sizə susuz izah etməyə çalışdıq.

növbənizdir. Bu mövzu sizin üçün çətin olub-olmadığını bizə yazın.

Yeni bir şey öyrəndiniz, yoxsa hər şey çox aydın idi.

Şərhlərdə yazın və imtahanlarda uğurlar!

Təbrik edirik: bu gün kökləri təhlil edəcəyik - 8-ci sinfin ən çox düşündürücü mövzularından biri. :)

Bir çox insanlar köklər haqqında çaşdırırlar, çünki onlar mürəkkəbdir (bu, mürəkkəbdir - bir neçə tərif və daha bir neçə xüsusiyyət), əksər məktəb dərsliklərində köklər elə vəhşiliklər vasitəsilə müəyyən edilir ki, yalnız dərsliklərin müəlliflərinin özləri bilər. bu yazılanları başa düş. Və hətta bundan sonra yalnız bir şüşə yaxşı viski ilə. :)

Buna görə də, indi kökün ən düzgün və ən səlahiyyətli tərifini verəcəyəm - həqiqətən xatırlamalı olduğunuz yeganə. Və yalnız bundan sonra izah edəcəyəm: bütün bunların nə üçün lazım olduğunu və praktikada necə tətbiq olunacağını.

Ancaq əvvəlcə bir çox dərslik tərtibatçılarının nədənsə "unutduğu" bir vacib məqamı xatırlayın:

Köklər cüt dərəcə ola bilər (sevdiyimiz $\sqrt(a)$, həmçinin hər hansı $\sqrt(a)$ və hətta $\sqrt(a)$) və tək dərəcə (hər hansı $\sqrt(a)$) , $\ sqrt(a)$ və s.). Və tək dərəcənin kökünün tərifi cütdən bir qədər fərqlidir.

Bu lanetdə "bir qədər fərqli" gizlənir, yəqin ki, köklərlə əlaqəli bütün səhvlərin və anlaşılmazlıqların 95% -i. Beləliklə, terminologiyanı birdəfəlik aydınlaşdıraq:

Tərif. Hətta kök n$a$ rəqəmindən istəniləndir mənfi olmayan$b$ rəqəmi elədir ki, $((b)^(n))=a$. Və eyni $a$ ədədindən olan tək dərəcənin kökü ümumiyyətlə eyni bərabərliyin mövcud olduğu istənilən $b$ ədədidir: $((b)^(n))=a$.

Hər halda, kök belə işarələnir:

\(a)\]

Belə qeydlərdəki $n$ ədədi kök göstəricisi, $a$ ədədi isə radikal ifadə adlanır. Xüsusilə, $n=2$ üçün “sevimli” kvadrat kökümüzü alırıq (yeri gəlmişkən, bu cüt dərəcənin köküdür), $n=3$ üçün isə kub kök (tək dərəcə) alırıq. məsələlərdə və tənliklərdə də tez-tez rast gəlinir.

Nümunələr. Kvadrat köklərin klassik nümunələri:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizalayın)\]

Yeri gəlmişkən, $\sqrt(0)=0$ və $\sqrt(1)=1$. Bu olduqca məntiqlidir, çünki $((0)^(2))=0$ və $((1)^(2))=1$.

Kub kökləri də yaygındır - onlardan qorxma:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bir neçə "ekzotik nümunə":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizalayın)\]

Cüt və tək dərəcə arasındakı fərqin nə olduğunu başa düşmürsənsə, tərifi yenidən oxuyun. Bu çox vacibdir!

Bu arada, köklərin bir xoşagəlməz xüsusiyyətini nəzərdən keçirəcəyik, buna görə də cüt və tək eksponentlər üçün ayrıca bir tərif təqdim etməmiz lazım idi.

Niyə ümumiyyətlə köklərə ehtiyacımız var?

Tərifi oxuduqdan sonra bir çox tələbə soruşacaq: "Riyaziyyatçılar bunu düşünəndə nə çəkdilər?" Və həqiqətən: niyə bütün bu köklərə ehtiyacımız var?

Bu suala cavab vermək üçün bir anlığa ibtidai məktəbə qayıdaq. Unutmayın: o uzaq vaxtlarda ağacların yaşıllaşdığı, köftələrin daha dadlı olduğu vaxtlarda bizim əsas qayğımız rəqəmləri düzgün çoxaltmaq idi. Yaxşı, "beş-beş - iyirmi beş" ruhunda bir şey, hamısı. Ancaq bütün bunlardan sonra, siz nömrələri cüt-cüt deyil, üçqat, dördlük və ümumiyyətlə tam dəstlərlə çoxalda bilərsiniz:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Bununla belə, məsələ bu deyil. Hiylə fərqlidir: riyaziyyatçılar tənbəl insanlardır, ona görə də on beşin vurmasını belə yazmalı oldular:

Beləliklə, dərəcə ilə gəldilər. Niyə amillərin sayını uzun sətir əvəzinə yuxarı işarə kimi yazmayaq? Bu kimi:

Çox rahatdır! Bütün hesablamalar bir neçə dəfə azaldılır və bəzi 5 183 yazmaq üçün dəftərlərin perqament vərəqlərindən bir dəstə sərf edə bilməzsiniz. Belə bir giriş bir nömrənin dərəcəsi adlanırdı, içərisində bir çox xüsusiyyət tapıldı, lakin xoşbəxtlik qısa ömürlü oldu.

Təxminən dərəcələrin “kəşf edilməsi” ərəfəsində təşkil edilən möhtəşəm içkidən sonra bəzi xüsusilə daşlaşmış riyaziyyatçı birdən soruşdu: “Əgər biz rəqəmin dərəcəsini biliriksə, amma rəqəmin özünü bilmiriksə?” Doğrudan da, məsələn, müəyyən $b$ ədədinin 5-ci dərəcəyə 243 verdiyini bilsək, o zaman $b$ ədədinin özünün nəyə bərabər olduğunu necə təxmin edə bilərik?

Bu problem ilk baxışda göründüyündən daha qlobal xarakter aldı. Çünki məlum oldu ki, “hazır” dərəcələrin əksəriyyəti üçün belə “ilkin” rəqəmlər yoxdur. Özünüz mühakimə edin:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Sağ ox b=4\cdot 4\cdot 4\Sağ ox b=4. \\ \end(hizalayın)\]

Bəs $((b)^(3))=50$ olarsa? Belə çıxır ki, müəyyən bir ədəd tapmaq lazımdır ki, bu ədəd özünə üç dəfə vurulduqda bizə 50 verəcək. Bəs bu rəqəm nədir? Aydındır ki, 3-dən böyükdür, çünki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yəni. bu rəqəm üç ilə dörd arasında bir yerdədir, lakin nəyə bərabərdir - FIG başa düşəcəksiniz.

Məhz buna görə riyaziyyatçılar $n$-th kökləri ilə çıxış etdilər. Buna görə də $\sqrt(*)$ radikal simvolu təqdim edildi. Müəyyən edilmiş gücə görə bizə əvvəllər məlum olan bir dəyər verəcək eyni $b $ rəqəmini işarələmək üçün

\[\sqrt[n](a)=b\Sağ ox ((b)^(n))=a\]

Mübahisə etmirəm: çox vaxt bu köklər asanlıqla nəzərdən keçirilir - yuxarıda bir neçə belə nümunə gördük. Ancaq yenə də, əksər hallarda, ixtiyari bir rəqəm düşünsəniz və ondan ixtiyari bir dərəcənin kökünü çıxarmağa çalışsanız, sizi qəddar bir təlatüm gözləyir.

Nə var! Hətta ən sadə və ən tanış olan $\sqrt(2)$ bizim adi formada - tam və ya kəsr kimi təqdim edilə bilməz. Bu nömrəni kalkulyatora daxil etsəniz, bunu görəcəksiniz:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Gördüyünüz kimi, onluq nöqtədən sonra heç bir məntiqə tabe olmayan sonsuz ədədlər ardıcıllığı var. Digər nömrələrlə tez müqayisə etmək üçün, əlbəttə ki, bu rəqəmi yuvarlaqlaşdıra bilərsiniz. Misal üçün:

\[\sqrt(2)=1,4142...\təqribən 1,4 \lt 1,5\]

Və ya başqa bir misal:

\[\sqrt(3)=1,73205...\təqribən 1,7 \gt 1,5\]

Lakin bütün bu yuvarlaqlaşdırmalar, birincisi, kifayət qədər kobuddur; ikincisi, siz həm də təxmini dəyərlərlə işləməyi bacarmalısınız, əks halda bir dəstə qeyri-aşkar səhvləri tuta bilərsiniz (yeri gəlmişkən, müqayisə və yuvarlaqlaşdırma bacarığı mütləq profil imtahanında yoxlanılır).

Buna görə də ciddi riyaziyyatda köklər olmadan etmək olmaz - onlar $\mathbb(R)$ bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun, eləcə də bizə çoxdan tanış olan kəsr və tam ədədlərin eyni bərabər nümayəndələridir.

Kökün $\frac(p)(q)$ formasının kəsr kimi təqdim edilməsinin qeyri-mümkünlüyü bu kökün rasional ədəd olmadığını bildirir. Bu cür ədədlər irrasional adlanır və bir radikal və ya bunun üçün xüsusi olaraq hazırlanmış digər konstruksiyaların (loqarifmlər, dərəcələr, hədlər və s.) köməyi olmadan dəqiq göstərilə bilməz. Ancaq bu barədə başqa vaxt.

Bütün hesablamalardan sonra irrasional ədədlərin hələ də cavabda qalacağı bir neçə nümunəyə nəzər salın.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\təxminən 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\təqribən -1,2599... \\ \end(align)\]

Təbii ki, kökün görünüşü ilə onluq nöqtədən sonra hansı rəqəmlərin gələcəyini təxmin etmək demək olar ki, mümkün deyil. Bununla belə, kalkulyatorda hesablamaq mümkündür, lakin hətta ən qabaqcıl tarix kalkulyatoru bizə irrasional ədədin yalnız ilk bir neçə rəqəmini verir. Ona görə də cavabları $\sqrt(5)$ və $\sqrt(-2)$ kimi yazmaq daha düzgündür.

Onlar bunun üçün icad edilmişdir. Cavabları yazmağı asanlaşdırmaq üçün.

Niyə iki tərifə ehtiyac var?

Diqqətli oxucu, yəqin ki, nümunələrdə verilən bütün kvadrat köklərin müsbət ədədlərdən götürüldüyünü artıq sezmişdir. Yaxşı, heç olmasa sıfırdan. Ancaq kub kökləri tamamilə hər hansı bir nömrədən sakitcə çıxarılır - hətta müsbət, hətta mənfi.

Bu niyə baş verir? $y=((x)^(2))$ funksiyasının qrafikinə nəzər salın:

Gəlin bu qrafikdən istifadə edərək $\sqrt(4)$ hesablamağa çalışaq. Bunun üçün qrafikdə parabola ilə iki nöqtədə kəsişən $y=4$ (qırmızı ilə işarələnmiş) üfüqi xətt çəkilir: $((x)_(1))=2$ və $((x) )_(2)) =-2$. Bu, olduqca məntiqlidir, çünki

Birinci nömrə ilə hər şey aydındır - müsbətdir, buna görə də kökdür:

Ancaq ikinci nöqtə ilə nə etmək lazımdır? 4-ün eyni anda iki kökü varmı? Axı −2 ədədinin kvadratını tutsaq, biz də 4-ü alarıq. O zaman niyə $\sqrt(4)=-2$ yazmayaq? Bəs müəllimlər niyə belə rekordlara səni yemək istəyirmiş kimi baxırlar? :)

Problem ondadır ki, heç bir əlavə şərt qoyulmasa, dördün iki kvadrat kökü olacaq - müsbət və mənfi. Və hər hansı müsbət ədəd də onlardan ikisi olacaq. Ancaq mənfi ədədlərin kökləri ümumiyyətlə olmayacaq - bunu eyni qrafikdən görmək olar, çünki parabola heç vaxt oxun altına düşmür. y, yəni. mənfi dəyərləri qəbul etmir.

Bənzər problem bütün eksponentli köklər üçün baş verir:

1. Düzünü desək, hər bir müsbət ədədin cüt göstəricisi olan iki kökü olacaq $n$;
2. Mənfi ədədlərdən hətta $n$ olan kök ümumiyyətlə çıxarılmır.

Buna görə də $n$ cüt kökünün tərifi cavabın mənfi olmayan bir ədəd olmasını xüsusi olaraq şərtləndirir. Biz qeyri-müəyyənlikdən belə xilas oluruq.

Ancaq tək $n$ üçün belə problem yoxdur. Bunu görmək üçün $y=((x)^(3))$ funksiyasının qrafikinə nəzər salaq:

Bu qrafikdən iki nəticə çıxarmaq olar:

1. Kub parabolanın budaqları, adi olandan fərqli olaraq, hər iki istiqamətdə - həm yuxarı, həm də aşağı sonsuzluğa gedir. Ona görə də hansı hündürlükdə üfüqi xətt çəksək, bu xətt mütləq qrafikimizlə kəsişir. Buna görə də, kub kökü həmişə, tamamilə hər hansı bir ədəddən götürülə bilər;
2. Bundan əlavə, belə bir kəsişmə həmişə unikal olacaq, buna görə də hansı nömrəni "düzgün" kök hesab edəcəyinizi və hansını vuracağınızı düşünməyə ehtiyac yoxdur. Buna görə də tək dərəcə üçün köklərin tərifi cütdən daha sadədir (mənfi olmama tələbi yoxdur).

Çox təəssüf ki, əksər dərsliklərdə bu sadə şeylər izah edilmir. Bunun əvəzinə beynimiz hər cür arifmetik köklər və onların xüsusiyyətləri ilə uçmağa başlayır.

Bəli, mübahisə etmirəm: arifmetik kök nədir - siz də bilmək lazımdır. Və bu barədə ayrı bir dərsdə ətraflı danışacağam. Bu gün biz də bu haqda danışacağıq, çünki onsuz $n$-ci çoxluğun kökləri haqqında bütün düşüncələr natamam olardı.

Ancaq əvvəlcə yuxarıda verdiyim tərifi aydın başa düşməlisiniz. Əks halda, terminlərin çoxluğuna görə başınızda elə bir qarışıqlıq başlayacaq ki, sonda heç nə başa düşməyəcəksiniz.

Və başa düşməli olduğunuz tək şey cüt və tək ədədlər arasındakı fərqdir. Buna görə də, köklər haqqında həqiqətən bilmək lazım olan hər şeyi bir daha toplayacağıq:

1. Cüt kök yalnız mənfi olmayan ədəddən mövcuddur və özü həmişə qeyri-mənfi ədəddir. Mənfi ədədlər üçün belə bir kök müəyyən edilməmişdir.
2. Ancaq tək dərəcənin kökü istənilən ədəddən mövcuddur və özü də istənilən ədəd ola bilər: müsbət ədədlər üçün müsbət, mənfi ədədlər üçün isə başlığın işarə etdiyi kimi mənfidir.

Çətindir? Xeyr, çətin deyil. Anlaşılır? Bəli, aydındır! Buna görə də, indi hesablamalarla bir az məşq edəcəyik.

Əsas xüsusiyyətlər və məhdudiyyətlər

Köklər çox qəribə xüsusiyyətlərə və məhdudiyyətlərə malikdir - bu ayrı bir dərs olacaq. Buna görə də, indi biz yalnız bərabər eksponentli köklərə aid olan ən vacib "çipi" nəzərdən keçirəcəyik. Bu xassəni düstur şəklində yazırıq:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sol| x\right|\]

Başqa sözlə desək, əgər bir ədədi cüt dərəcəyə qaldırıb, ondan eyni dərəcəli kök çıxarsaq, ilkin ədədi deyil, onun modulunu alacağıq. Bu, sübut etmək asan olan sadə bir teoremdir (mənfi olmayan $x$-ı ayrıca nəzərdən keçirmək, sonra isə mənfi olanları ayrıca nəzərdən keçirmək kifayətdir). Müəllimlər bu barədə daim danışırlar, hər bir məktəb dərsliyində verilir. Ancaq irrasional tənliklərin (yəni, radikalın işarəsini ehtiva edən tənliklərin) həllinə gələn kimi tələbələr bu düsturu birlikdə unudurlar.

Məsələni ətraflı başa düşmək üçün bir dəqiqəlik bütün düsturları unudaq və qarşıdakı iki rəqəmi saymağa çalışaq:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \sağ))^(4)))=?\]

Bunlar çox sadə nümunələrdir. Birinci nümunəni insanların çoxu həll edəcək, ikincisində isə çoxlu çubuqlar. Hər hansı bir problemi problemsiz həll etmək üçün həmişə proseduru nəzərdən keçirin:

1. Birincisi, rəqəm dördüncü gücə qaldırılır. Yaxşı, bu, bir qədər asandır. Yeni bir nömrə əldə ediləcək, hətta çarpma cədvəlində də tapıla bilər;
2. İndi isə bu yeni saydan dördüncü dərəcənin kökünü çıxarmaq lazımdır. Bunlar. köklərin və dərəcələrin "azalması" yoxdur - bunlar ardıcıl hərəkətlərdir.

Birinci ifadə ilə məşğul olaq: ​​$\sqrt(((3)^(4)))$. Aydındır ki, əvvəlcə kök altındakı ifadəni hesablamalısınız:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sonra 81 rəqəminin dördüncü kökünü çıxarırıq:

İndi ikinci ifadə ilə eyni şeyi edək. Əvvəlcə −3 sayını dördüncü dərəcəyə qaldırırıq, bunun üçün onu özünə 4 dəfə vurmalıyıq:

\[((\sol(-3 \sağ))^(4))=\left(-3 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \ sol(-3 \sağ)=81\]

Müsbət bir nömrə aldıq, çünki məhsuldakı mənfi cəhətlərin ümumi sayı 4 ədəddir və hamısı bir-birini ləğv edəcək (axı, mənfi bir mənfi bir artı verir). Sonra kökü yenidən çıxarın:

Prinsipcə, bu sətir yazıla bilməz, çünki cavabın eyni olacağı ağılsızlıqdır. Bunlar. eyni bərabər gücün bərabər kökü mənfi cəhətləri "yandırır" və bu mənada nəticə adi moduldan fərqlənmir:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=\sol| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizalayın)\]

Bu hesablamalar cüt dərəcənin kökünün tərifi ilə yaxşı uyğunlaşır: nəticə həmişə mənfi deyil, radikal işarə də həmişə qeyri-mənfi ədəddir. Əks halda, kök müəyyən edilmir.

Əməliyyatların ardıcıllığı haqqında qeyd

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ qeydi o deməkdir ki, biz əvvəlcə $a$ ədədinin kvadratını alırıq, sonra isə yaranan dəyərin kvadrat kökünü götürürük. Buna görə də əmin ola bilərik ki, mənfi olmayan ədəd həmişə kök işarəsi altında oturur, çünki hər halda $((a)^(2))\ge 0$;
2. Lakin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ qeydi əksinə o deməkdir ki, biz əvvəlcə müəyyən $a$ ədədindən kök çıxarırıq və yalnız bundan sonra nəticənin kvadratını alırıq. Buna görə də, $a$ sayı heç bir halda mənfi ola bilməz - bu tərifə daxil edilmiş məcburi tələbdir.

Beləliklə, heç bir halda kökləri və dərəcələri düşünmədən azaltmamalı və bununla da orijinal ifadəni "sadələşdirməyə" icazə verilməməlidir. Çünki kökün altında mənfi ədəd olarsa və onun göstəricisi cüt olarsa, çoxlu problemlər yaranar.

Ancaq bütün bu problemlər yalnız hətta göstəricilər üçün aktualdır.

Kök işarəsinin altından mənfi işarənin çıxarılması

Təbii ki, tək göstəriciləri olan köklərin də özünəməxsus xüsusiyyəti var ki, bu da, prinsipcə, cütlər üçün mövcud deyil. Məhz:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Bir sözlə, tək dərəcənin kökləri işarəsinin altından bir mənfi çıxara bilərsiniz. Bu, bütün mənfi cəhətləri "atmağa" imkan verən çox faydalı bir xüsusiyyətdir:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \sağ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Bu sadə xüsusiyyət bir çox hesablamaları çox asanlaşdırır. İndi narahat olmaq lazım deyil: mənfi bir ifadə kökün altına düşsə və kökdəki dərəcə bərabər olsa nə olar? Köklərdən kənarda olan bütün mənfi cəhətləri "atmaq" kifayətdir, bundan sonra onlar bir-biri ilə çoxalda, bölünə və ümumiyyətlə bir çox şübhəli şeylər edə bilər, bu da "klassik" köklər vəziyyətində bizi bir yola aparmağa zəmanət verir. səhv.

Və burada səhnəyə başqa bir tərif daxil olur - əksər məktəblər irrasional ifadələrin öyrənilməsinə başlayır. Və bunsuz mülahizələrimiz yarımçıq olardı. Tanış olun!

arifmetik kök

Bir anlıq fərz edək ki, kök işarəsi altında yalnız müsbət ədədlər və ya ekstremal hallarda sıfır ola bilər. Gəlin cüt/tək göstəricilər üzrə bal toplayaq, yuxarıda verilmiş bütün təriflər üzrə bal toplayaq - biz yalnız mənfi olmayan rəqəmlərlə işləyəcəyik. Bəs onda?

Və sonra arifmetik kök alırıq - o, bizim "standart" təriflərimizlə qismən kəsişir, lakin yenə də onlardan fərqlənir.

Tərif. Mənfi olmayan $a$ ədədinin $n$-ci dərəcəsinin arifmetik kökü mənfi olmayan $b$ ədədidir ki, $((b)^(n))=a$ olsun.

Gördüyünüz kimi, biz artıq paritetlə maraqlanmırıq. Bunun əvəzinə yeni bir məhdudiyyət meydana çıxdı: radikal ifadə indi həmişə mənfi deyil, kökün özü də mənfi deyil.

Arifmetik kökün adi kökdən necə fərqləndiyini daha yaxşı başa düşmək üçün bizə artıq tanış olan kvadrat və kub parabolanın qrafiklərinə nəzər salın:

Gördüyünüz kimi, bundan sonra bizi yalnız birinci koordinat rübündə yerləşən qrafik parçaları maraqlandırır - burada $x$ və $y$ koordinatları müsbətdir (və ya ən azı sıfır). Mənfi ədədi kökləmək hüququmuzun olub-olmadığını anlamaq üçün artıq göstəriciyə baxmaq lazım deyil. Çünki mənfi ədədlər artıq prinsipcə nəzərə alınmır.

Siz soruşa bilərsiniz: "Yaxşı, niyə belə kastrasiya edilmiş tərifə ehtiyacımız var?" Və ya: "Niyə yuxarıda verilmiş standart təriflə keçə bilmirik?"

Yaxşı, mən yalnız bir mülk verəcəyəm, ona görə yeni tərif uyğun olur. Məsələn, eksponentasiya qaydası:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Diqqət edin: radikal ifadəni istənilən gücə qaldıra bilərik və eyni zamanda kök eksponentini eyni gücə vura bilərik - və nəticə eyni sayda olacaq! Budur bəzi nümunələr:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Yaxşı, bunun nə günahı var? Niyə əvvəllər bunu edə bilmədik? Bunun səbəbi budur. Sadə bir ifadəyə nəzər salaq: $\sqrt(-2)$ bizim klassik mənada kifayət qədər normal olan, lakin hesab kökü baxımından qətiyyən qəbuledilməz olan ədəddir. Onu çevirməyə çalışaq:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \sağ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Gördüyünüz kimi, birinci halda, radikalın altından mənfi çıxardıq (göstərici təkdir, çünki bizim hər bir hüququmuz var), ikincidə isə yuxarıdakı düsturdan istifadə etdik. Bunlar. riyaziyyat baxımından hər şey qaydalara uyğun edilir.

WTF?! Eyni ədəd necə müsbət və mənfi ola bilər? Heç bir şəkildə. Sadəcə olaraq müsbət ədədlər və sıfırlar üçün əla işləyən eksponentasiya düsturu mənfi ədədlər vəziyyətində tam bidət verməyə başlayır.

Burada belə qeyri-müəyyənlikdən qurtulmaq üçün hesab kökləri ilə çıxış etdilər. Onlara ayrıca böyük bir dərs həsr olunub, burada onların bütün xüsusiyyətlərini ətraflı nəzərdən keçiririk. Beləliklə, indi onların üzərində dayanmayacağıq - hər halda dərs çox uzun oldu.

Cəbr kökü: daha çox bilmək istəyənlər üçün

Uzun müddət düşündüm: bu mövzunu ayrıca abzasda etmək, ya yox. Sonda buranı tərk etmək qərarına gəldim. Bu material kökləri daha yaxşı başa düşmək istəyənlər üçün nəzərdə tutulub - artıq orta "məktəb" səviyyəsində deyil, olimpiadaya yaxın səviyyədə.

Beləliklə: ədəddən $n$-ci dərəcənin kökünün "klassik" tərifi və bununla əlaqədar cüt və tək göstəricilərə bölünməsi ilə yanaşı, paritetdən asılı olmayan daha "yetkin" tərif var. ümumiyyətlə başqa incəliklər. Buna cəbr kökü deyilir.

Tərif. İstənilən $a$-ın $n$-ci cəbri kökü $((b)^(n))=a$ olan bütün $b$ ədədlərinin çoxluğudur. Bu cür köklər üçün yaxşı müəyyən edilmiş təyinat yoxdur, ona görə də üstünə tire qoyun:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \sağ. \sağ\) \]

Dərsin əvvəlində verilən standart tərifdən əsas fərq ondan ibarətdir ki, cəbri kök konkret ədəd deyil, çoxluqdur. Həqiqi ədədlərlə işlədiyimiz üçün bu dəst yalnız üç növdən ibarətdir:

1. Boş dəst. Mənfi ədəddən cüt dərəcəli cəbri kök tapmaq tələb olunduqda baş verir;
2. Tək elementdən ibarət çoxluq. Tək qüvvələrin bütün kökləri, eləcə də sıfırdan olan cüt güclərin kökləri bu kateqoriyaya aiddir;
3. Nəhayət, çoxluğa iki ədəd daxil ola bilər - eyni $((x)_(1))$ və $((x)_(2))=-((x)_(1))$-da gördüyümüz kvadratik funksiyanın qrafiki. Müvafiq olaraq, belə bir düzülmə yalnız müsbət ədəddən cüt dərəcənin kökünü çıxardıqda mümkündür.

Sonuncu hal daha ətraflı nəzərdən keçirilməyə layiqdir. Fərqi başa düşmək üçün bir neçə misal sayaq.

Misal. İfadələri hesablayın:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Qərar. Birinci ifadə sadədir:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \sağ\)\]

Bu çoxluğun bir hissəsi olan iki ədəddir. Çünki onların hər birinin kvadratı dörd verir.

\[\overline(\sqrt(-27))=\sol\( -3 \sağ\)\]

Burada yalnız bir ədəddən ibarət çoxluq görürük. Bu olduqca məntiqlidir, çünki kökün göstəricisi təkdir.

Nəhayət, son ifadə:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş dəstimiz var. Çünki dördüncü (yəni cüt!) Gücünə qaldırıldıqda bizə mənfi −16 ədədi verəcək bir real ədəd yoxdur.

Son qeyd. Diqqət yetirin: hər yerdə qeyd etməyim təsadüfi deyildi ki, biz real rəqəmlərlə işləyirik. Çünki mürəkkəb ədədlər də var - orada $\sqrt(-16)$ və bir çox başqa qəribə şeyləri hesablamaq olduqca mümkündür.

Ancaq müasir məktəb riyaziyyat kurikulumunda mürəkkəb ədədlərə demək olar ki, rast gəlinmir. Onlar əksər dərsliklərdən çıxarılıb, çünki bizim məmurlar mövzunu “başa düşmək çox çətin” hesab edirlər.

Hamısı budur. Növbəti dərsdə köklərin bütün əsas xüsusiyyətlərinə baxacağıq və nəhayət, irrasional ifadələri necə sadələşdirməyi öyrənəcəyik. :)

Kök düsturları. kvadrat köklərin xüsusiyyətləri.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Əvvəlki dərsdə kvadrat kökün nə olduğunu anladıq. Nə olduğunu anlamaq vaxtıdır köklər üçün düsturlar, nələrdir kök xüsusiyyətləri və bütün bunlarla bağlı nə etmək olar.

Kök Düsturları, Kök Xüsusiyyətləri və Köklərlə Fəaliyyət Qaydaları- mahiyyətcə eyni şeydir. Kvadrat köklər üçün təəccüblü dərəcədə az düstur var. Hansı, əlbəttə ki, sevindirir! Əksinə, hər cür düsturları yaza bilərsiniz, ancaq köklərlə praktik və inamlı iş üçün yalnız üçü kifayətdir. Qalan hər şey bu üçündən qaynaqlanır. Çoxları köklərin üç düsturunda azsa da, bəli ...

Ən sadəindən başlayaq. Budur o:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

ər. kök, boyun, kök · pozmaq. alçaldıcı rizom, böyüdücü rizom, hər bitkinin yeraltı hissəsi. Ağaclarda onurğa və yan köklər fərqlənir və onlarla birlikdə köklər və kiçik loblar var. nəm udmaq. Kök olur: soğanlı, ...... Dahlın izahlı lüğəti

KÖK, pH, pl. rni, rni, ər. 1. Bitkinin torpaqda möhkəmlənməsinə və ondan su və qida maddələrinin sorulmasına xidmət edən yeraltı hissəsi. Əsas, yanal, əlavə hava kökləri (lianalarda və yerdən yüksək olan bəzi digər bitkilərdə ... Ozhegovun izahlı lüğəti

- (radix), yarpaqlı bitkilərin əsas vegetativ orqanlarından biri, substrata yapışmaq, ondan suyu udmaq və qidalandırmaq üçün xidmət edir. maddələr. Filogenetik cəhətdən K. gövdədən gec yaranmış və çox güman ki, kökə bənzər ...... nəslindən olmuşdur. Bioloji ensiklopedik lüğət

Başlanğıc, səbəb, mənşəyə bax kökündən qopar, kök sal... Rus sinonimləri və mənaca oxşar ifadələr lüğəti. altında. red. N. Abramova, M .: Rus lüğətləri, 1999. kök, başlanğıc, səbəb, mənşə; radikal; onurğa, gövdə, ...... Sinonim lüğət

kök- KÖK, rnya, m 1. Dost, dost. 2. Kişi cinsi orqanı Balaca kişi kök kökə çevrilir Güclü kök köhnə, sadiq dostdur. 1. mümkün köməkçi ilə çirklənmə... Rus Arqo lüğəti

Riyaziyyatda ..1) a ədədindən n dərəcəsinin kökü istənilən x ədədidir (işarə edilir, a radikal ifadə adlanır), n-ci dərəcəsi a ()-ə bərabərdir. Kökün tapılması hərəkətinə kökün çıxarılması deyilir2)] Tənliyin kökü ... ...-dan sonra olan ədəddir.

İlkin kök bir çox iynəyarpaqlı ağaclarda ömür boyu qorunub saxlanılır və yan kökləri uzanan güclü kök kökü şəklində inkişaf edir. Daha az hallarda, bəzi şam ağaclarında olduğu kimi, əsas kök zəif inkişaf edir və yan köklərlə əvəz olunur. Uzun müddətdən başqa... Bioloji Ensiklopediya

- (riyazi), 1) a ədədinin n dərəcəsinin kökü n-ci dərəcəsi verilmiş a ədədinə bərabər olan ədəd (işaret edilir; a radikal ifadə adlanır). Kök tapmaq hərəkətinə kök çıxarmaq deyilir. 2) Tənliyin qiymətinin həlli ... ... Müasir ensiklopediya

Biologiyada bitkilərin torpaqda möhkəmlənməsinə, suyun, mineralların sorulmasına, üzvi birləşmələrin sintezinə, həmçinin bəzi metabolik məhsulların ayrılmasına xidmət edən əsas orqanlardan biridir. Kök ehtiyat üçün saxlama yeri ola bilər ...... Böyük ensiklopedik lüğət

Dilçilikdə heç bir affiks daxil olmayan törəmə (sadə) söz kökü. Kök sözün leksik nüvəsidir, yəni əsas real mənasını daşıyır ... Böyük ensiklopedik lüğət

Kitablar

• Bütün pisliklərin kökü, Williams R. Donald Bailey çətin bir yeniyetmə deyil, sadəcə olaraq bədbəxtdir. Düzəlməz bir hərəkət edərək dostlarının etibarını, ana sevgisini və öz rahatlığını itirdi. Ona nə qalıb? Qaçmaq...
• Problemin kökü, Henry R. Brandt. Bu kitabın müəllifi hər cür psixi pozğunluqlardan qurtulmanın çox sadə Bibliya həqiqətini təqdim edir: günahı bütün problemlərin kök səbəbi kimi dərk etmək və edilən günahlara görə tövbə etmək. AT…