Düzbucaqlı üçbucaq: sinus, kosinus, tangens, bucağın kotangensi. Sağ üçbucaq. Tam təsvirli bələdçi (2019)

Qarşı ayağın hipotenuzaya nisbəti deyilir sinus kəskin bucaq düz üçbucaq.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kosinusu

Ən yaxın ayağın hipotenuzaya nisbəti deyilir iti bucağın kosinusu düz üçbucaq.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının tangensi

Qarşı ayağın bitişik ayağına nisbəti deyilir iti bucaq tangensi düz üçbucaq.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kotangensi

Bitişik ayağın əks ayağına nisbəti deyilir iti bucağın kotangensi düz üçbucaq.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

İxtiyari bucağın sinusu

Vahid dairədə \alfa bucağının uyğun gəldiyi nöqtənin ordinatı deyilir ixtiyari bucağın sinüsü fırlanma \alfa .

\sin \alpha=y

İxtiyari bucağın kosinusu

Vahid çevrədə \alfa bucağının uyğun gəldiyi nöqtənin absisi deyilir ixtiyari bucağın kosinusu fırlanma \alfa .

\cos \alpha=x

İxtiyari bucağın tangensi

İxtiyari fırlanma bucağının \alfa sinusunun onun kosinusuna nisbəti deyilir ixtiyari bucağın tangensi fırlanma \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

İxtiyari bucağın kotangensi

İxtiyari fırlanma bucağının \alfa kosinusunun onun sinusuna nisbəti deyilir ixtiyari bucağın kotangensi fırlanma \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

İxtiyari bucağı tapmaq nümunəsi

Əgər \alpha hansısa AOM bucağıdırsa, burada M vahid dairənin nöqtəsidir, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Məsələn, əgər \bucaq AOM = -\frac(\pi)(4), onda: M nöqtəsinin ordinatı -\frac(\sqrt(2))(2), absisdir \frac(\sqrt(2))(2) və buna görə də

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \sağ)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \sağ)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \sol (-\frac(\pi)(4) \sağ)=-1.

Kotangentlərin tangenslərinin kosinuslarının sinuslarının qiymətləri cədvəli

Əsas tez-tez rast gəlinən bucaqların dəyərləri cədvəldə verilmişdir:

Triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə quran bərabərliklərdir ki, bu funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verir.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu eynilik deyir ki, bir bucağın sinusunun kvadratının və bir bucağın kosinusunun kvadratının cəmi birə bərabərdir ki, bu da praktikada bir bucağın sinusunu onun kosinusu məlum olduqda və əksinə hesablamağa imkan verir. .

Triqonometrik ifadələri çevirərkən bu eynilik çox tez-tez istifadə olunur ki, bu da bir bucağın kosinusu və sinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə və eyni zamanda dəyişdirmə əməliyyatını yerinə yetirməyə imkan verir. tərs sıra.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangensin tapılması

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu eyniliklər sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Axı, baxsanız, tərifə görə y-nin ordinatı sinus, x-in absisi isə kosinusdur. Onda tangens nisbətə bərabər olacaqdır \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), və nisbət \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent olacaq.

Əlavə edirik ki, yalnız onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi \alfa bucaqları üçün eyniliklər yer alacaq, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Misal üçün: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-dən fərqli olan \alfa bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z -dən başqa \alpha bucağı üçün z tam ədəddir.

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu eynilik yalnız fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2) z. Əks halda nə kotangens, nə də tangens təyin olunmayacaq.

Yuxarıdakı məqamlara əsaslanaraq, bunu əldə edirik tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Buna görə də belə çıxır tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Beləliklə, onların məna kəsb etdiyi bir bucağın tangensi və kotangensi qarşılıqlı əks ədədlərdir.

Tangens və kosinus, kotangens və sinus arasındakı əlaqələr

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- \alpha və 1 bucağının tangensinin kvadratının cəmi bu bucağın kosinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu identiklik bütün \alpha xaricində etibarlıdır \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1-in cəmi və \alpha bucağının kotangentinin kvadratı, verilmiş bucağın sinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu eynilik \pi z -dən başqa hər hansı \alfa üçün etibarlıdır.

Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr

Misal 1

\sin \alpha və tg \alpha if tapın \cos \alpha=-\frac12 və \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Həllini göstərin

Qərar

\sin \alpha və \cos \alpha funksiyaları düsturla əlaqələndirilir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu düsturla əvəz edilməsi \cos \alpha = -\frac12, alırıq:

\sin^(2)\alpha + \sol (-\frac12 \sağ)^2 = 1

Bu tənliyin 2 həlli var:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə sinus müsbətdir, yəni \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Misal 2

\cos \alpha və əgər və əgər ctg \alpha tapın \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Həllini göstərin

Qərar

Formulda əvəz edilməsi \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1şərti nömrə \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alırıq \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Bu tənliyin iki həlli var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə kosinus mənfi olur, belə ki \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Müvafiq dəyərləri bilirik.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə quran və məlum digəri vasitəsilə bu triqonometrik funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir.

Dərhal bu məqalədə təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri sadalayırıq. Biz onları cədvəl şəklində yazırıq və aşağıda bu düsturların törəmələrini veririk və lazımi izahatları veririk.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik mehriban . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bunu növbəti paraqraflarda daha ətraflı müzakirə edəcəyik.

Yəni, əsas triqonometrik eyniliyin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsas triqonometrik eyniliyi sübut etməzdən əvvəl onun formulunu veririk: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni olaraq birə bərabərdir. İndi gəlin sübut edək.

Əsas triqonometrik eynilik çox tez-tez istifadə olunur triqonometrik ifadələrin çevrilməsi. Bu, bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Daha az tez-tez əsas triqonometrik eynilik tərs qaydada istifadə olunur: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Formanın bir bucağının sinusu və kosinusu ilə tangensi və kotangensi birləşdirən eyniliklər və dərhal sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Həqiqətən də tərifinə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , kotangens isə absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Bu aşkarlıqdan ötəri şəxsiyyətlər və tez-tez tangens və kotangensin tərifləri absis və ordinatın nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə verilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu bölməni yekunlaşdırmaq üçün qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi bütün bucaqlar üçün saxlayın. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Əvvəlki ikisindən daha açıq triqonometrik eynilik formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir. . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün baş verir, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Düsturun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli şəkildə həyata keçirilə bilərdi. O vaxtdan və , sonra .

Deməli, mənalı olduqları bir bucağın tangensi və kotangensi belədir.

Məncə siz bundan daha çoxuna layiqsiniz. Budur triqonometriya açarım:

• Günbəzi, divarı və tavanı çəkin
• Triqonometrik funksiyalar bu üç formanın faizlərindən başqa bir şey deyil.

Sinus və kosinus üçün metafora: günbəz

Üçbucaqların özlərinə baxmaq əvəzinə, bəzilərini taparaq onları hərəkətdə təsəvvür edin xüsusi misal həyatdan.

Təsəvvür edin ki, günbəzin ortasındasınız və kino proyektorunun ekranını asmaq istəyirsiniz. Siz barmağınızı hansısa "x" bucağı ilə günbəzə işarə edirsiniz və o nöqtədən ekran asılmalıdır.

Göstərdiyiniz bucaq müəyyən edir:

• sinus(x) = sin(x) = ekran hündürlüyü (döşəmədən günbəzə montaj nöqtəsi)
• kosinus(x) = cos(x) = sizdən ekrana qədər olan məsafə (mərtəbə ilə)
• hipotenuz, sizdən ekranın yuxarı hissəsinə qədər olan məsafə, həmişə eyni, günbəzin radiusuna bərabərdir

Ekranın mümkün qədər böyük olmasını istəyirsiniz? Düz üstünüzdən asın.

Ekranın sizdən mümkün qədər uzağa asılmasını istəyirsiniz? Düz perpendikulyar asın. Bu mövqedə ekranın hündürlüyü sıfır olacaq və istədiyiniz qədər geriyə asılacaq.

Hündürlüyü və ekrandan olan məsafəsi tərs mütənasibdir: ekran nə qədər yaxın asılırsa, onun hündürlüyü bir o qədər yüksək olacaqdır.

Sinus və kosinus faizdir

Təəssüf ki, oxuduğum illərdə heç kim mənə izah etmədi ki, triqonometrik funksiyalar sinus və kosinus faizlərdən başqa bir şey deyil. Onların dəyərləri +100% -dən 0-dan -100% -ə qədər və ya müsbət maksimumdan sıfıra qədər mənfi maksimuma qədər dəyişir.

Tutaq ki, mən 14 rubl vergi ödəmişəm. Nə qədər olduğunu bilmirsən. Amma desəniz ki, 95% vergi ödəmişəm, başa düşəcəksiniz ki, mənim sadəcə olaraq dərimi yapışqan kimi soyublar.

Mütləq hündürlük heç nə demək deyil. Ancaq sinus dəyəri 0,95 olarsa, o zaman başa düşürəm ki, televizor demək olar ki, günbəzinizin üstündə asılır. Çox tezliklə günbəzin mərkəzində maksimum hündürlüyünə çatacaq və sonra yenidən azalmağa başlayacaq.

Bu faizi necə hesablaya bilərik? Çox sadədir: cari ekran hündürlüyünü mümkün olan maksimuma bölün (qübbənin radiusu, hipotenuza da deyilir).

Buna görə də Bizə deyilir ki, “kosinus = əks ayaq / hipotenuz”. Bütün bunlar faiz əldə etmək üçündür! Sinusu təyin etməyin ən yaxşı yolu "mümkün olan maksimumdan cari hündürlüyün faizi" dir. (Bucağınız "yeraltını" göstərirsə, sinüs mənfi olur. Əgər bucaq arxanızdakı günbəz nöqtəsinə işarə edirsə, kosinus mənfi olur.)

Vahid çevrənin mərkəzində olduğumuzu düşünərək hesablamaları sadələşdirək (radius = 1). Bölməni atlaya bilərik və yalnız hündürlüyə bərabər sinus götürə bilərik.

Hər bir dairə mahiyyətcə yuxarı və ya aşağı ölçülü tək bir dairədir düzgün ölçü. Beləliklə, vahid dairədəki əlaqələri müəyyənləşdirin və nəticələri xüsusi dairə ölçüsünə tətbiq edin.

Təcrübə edin: istənilən küncü götürün və hündürlüyün enə nisbətinin neçə faizini göstərdiyinə baxın:

Sinusun dəyərinin artım qrafiki sadəcə düz xətt deyil. İlk 45 dərəcə hündürlüyün 70%-ni, sonuncu 10 dərəcə (80°-dən 90°-ə qədər) isə yalnız 2%-ni əhatə edir.

Bu sizə bunu daha aydın edəcək: bir dairədə getsəniz, 0 °-də demək olar ki, şaquli olaraq yüksəlirsiniz, lakin günbəzin yuxarı hissəsinə yaxınlaşdıqca hündürlük getdikcə daha az dəyişir.

Tangens və sekant. Divar

Bir gün bir qonşu divar çəkdi sağ arxaya sənin günbəzinə. Pəncərədən sənin mənzərəni ağladım və yaxşı qiymət yenidən satış üçün!

Bəs bu vəziyyətdə hansısa yolla qalib gəlmək mümkündürmü?

Əlbəttə bəli. Qonşunun divarına kino ekranı assaq necə olar? Siz küncə (x) nişan alırsınız və əldə edirsiniz:

• tan(x) = tan(x) = divardakı ekran hündürlüyü
• sizdən divara qədər olan məsafə: 1 (bu günbəzinizin radiusudur, divar sizdən heç yerə köçmür, elə deyilmi?)
• sekant(x) = sec(x) = günbəzin mərkəzində dayandığınızdan asılmış ekranın yuxarısına qədər "nərdivan uzunluğu"

Tangens və ya ekran hündürlüyü ilə bağlı bir neçə şeyi aydınlaşdıraq.

• 0-dan başlayır və sonsuz yüksəkliyə qalxa bilər. Sevdiyiniz filmə baxmaq üçün sadəcə sonsuz bir kətan əldə etmək üçün ekranı divara və daha yüksəklərə uzada bilərsiniz! (Belə bir nəhəng üçün, əlbəttə ki, çox pul xərcləməli olacaqsınız).
• tangent sinusun sadəcə böyüdülmüş versiyasıdır! Və günbəzin zirvəsinə doğru hərəkət edərkən sinusun böyüməsi yavaşlasa da, tangens böyüməyə davam edir!

Sekansu da öyünməli bir şey var:

• sekant 1-dən başlayır (nərdivan yerdədir, sizdən divara doğru) və oradan yuxarı qalxmağa başlayır
• Sekant həmişə tangensdən uzun olur. Ekranınızı asdığınız maili nərdivan ekranın özündən uzun olmalıdır, elə deyilmi? (Qeyri-real ölçülər üçün, ekran çox uzun olduqda və nərdivanı demək olar ki, şaquli olaraq yerləşdirmək lazım olduqda, onların ölçüləri demək olar ki, eynidir. Amma belə olduqda belə sekant bir az daha uzun olacaq).

Dəyərlərin olduğunu unutmayın faiz. Ekranı 50 dərəcə bucaq altında asmaq qərarına gəlsəniz, tan(50)=1,19. Ekranınız divara olan məsafədən (qübbə radiusu) 19% böyükdür.

(x=0 daxil edin və intuisiyanızı yoxlayın - tan(0) = 0 və san(0) = 1.)

Kotangent və kosekant. Tavan

İnanılmazdır ki, qonşunuz indi günbəzinizin üstündə tavan tikmək qərarına gəlib. (Ona nə olub? O, yəqin ki, lüt halda həyətdə gəzərkən ona göz dikmənizi istəmir...)

Yaxşı, çatıya bir çıxış qurmaq və qonşu ilə danışmaq vaxtı gəldi. Siz meyl bucağını seçirsiniz və tikməyə başlayırsınız:

• damın çıxışı ilə döşəmə arasındakı şaquli məsafə həmişə 1-dir (qübbənin radiusu)
• kotangent(x) = çarpayı(x) = günbəzin üstü ilə çıxış nöqtəsi arasındakı məsafə
• cosekant(x) = csc(x) = damınıza gedən yolun uzunluğu

Tangens və sekant divarı, kotangens və kosekant isə döşəməni təsvir edir.

Bu dəfəki intuitiv nəticələrimiz əvvəlkilərə bənzəyir:

• Əgər 0° bucağı götürsəniz, tavana çıxışınız heç vaxt tavana çatmayacağından sonsuza qədər davam edəcək. Problem.
• Dama ən qısa "pilləkən" döşəməyə 90 dərəcə bir açı ilə qursanız, əldə ediləcəkdir. Kotangent 0-a bərabər olacaq (biz ümumiyyətlə dam boyunca hərəkət etmirik, ciddi şəkildə perpendikulyar çıxırıq) və kosekant 1-ə bərabər olacaq (nərdivan uzunluğu minimal olacaq).

Əlaqələri vizuallaşdırın

Hər üç hal günbəz-divar-döşəmə birləşməsində çəkilərsə, aşağıdakılar alınacaq:

Yaxşı, vay, hamısı eyni üçbucaqdır, divara və tavana çatmaq üçün ölçüləri böyüdülür. Şaquli tərəflərimiz (sinus, tangens), üfüqi tərəflərimiz (kosinus, kotangens) və “hipotenuslarımız” (sekant, kosekant) var. (Oxlardan hər bir elementin nə qədər uzağa çatdığını görə bilərsiniz. Kosekant sizdən dam örtüyünə qədər olan ümumi məsafədir).

Bir az sehrli. Bütün üçbucaqlar eyni bərabərliklərə malikdir:

Pifaqor teoremindən (a 2 + b 2 = c 2) hər üçbucağın tərəflərinin necə bağlandığını görürük. Bundan əlavə, hündürlük-enlik nisbətləri də bütün üçbucaqlar üçün eyni olmalıdır. (Sadəcə ən böyük üçbucaqdan daha kiçik olana geri çəkilin. Bəli, ölçü dəyişdi, lakin tərəflərin nisbətləri eyni qalacaq).

Hər üçbucağın hansı tərəfinin 1 (qübbənin radiusu) olduğunu bildiyimiz halda, “sin/cos = tan/1”i asanlıqla hesablaya bilərik.

Mən həmişə sadə vizuallaşdırma vasitəsilə bu faktları xatırlamağa çalışmışam. Şəkildə siz bu asılılıqları aydın görə bilərsiniz və onların haradan gəldiyini anlaya bilərsiniz. Bu texnika quru formulları yadda saxlamaqdan qat-qat yaxşıdır.

Digər Bucaqları Unutmayın

Şşş... Tangensin həmişə 1-dən az olduğunu düşünərək bir qrafikə bağlanmağa ehtiyac yoxdur. Bucağı artırsanız, divara çatmadan tavana çata bilərsiniz:

Pifaqor əlaqələri həmişə işləyir, lakin nisbi ölçülər fərqli ola bilər.

(Yəqin ki, sinus və kosinusun nisbətinin həmişə ən kiçik olduğunu fərq etmisiniz, çünki onlar bir günbəz içərisindədirlər.)

Xülasə etmək üçün: nəyi yadda saxlamalıyıq?

Çoxumuz üçün deyərdim ki, bu kifayət edəcək:

• triqonometriya dairələr və təkrarlanan intervallar kimi riyazi obyektlərin anatomiyasını izah edir
• günbəz/divar/dam analogiyası müxtəlif triqonometrik funksiyalar arasındakı əlaqəni göstərir
• triqonometrik funksiyaların nəticəsi ssenarimizə tətbiq etdiyimiz faizlərdir.

1 2 + çarpayı 2 = csc 2 kimi düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Onlar yalnız bir fakt haqqında biliklərin onu başa düşmək kimi təqdim edildiyi axmaq sınaqlar üçün uyğundur. Günbəz, divar və dam şəklində yarımdairə çəkmək üçün bir dəqiqə vaxt ayırın, elementləri imzalayın və bütün düsturlar sizin üçün kağız üzərində soruşulacaq.

Tətbiq: Tərs funksiyalar

İstənilən triqonometrik funksiya giriş kimi bucaq alır və nəticəni faizlə qaytarır. sin(30) = 0,5. Bu o deməkdir ki, 30 dərəcə bucaq maksimum hündürlüyün 50%-ni tutur.

Tərs triqonometrik funksiya sin -1 və ya arcsin (“arxine”) kimi yazılır. Həm də tez-tez müxtəlif proqramlaşdırma dillərində yazılır.

Əgər hündürlüyümüz günbəzin hündürlüyünün 25%-ni təşkil edirsə, bucağımız nə qədərdir?

Bizim nisbətlər cədvəlimizdə sekantın 1-ə bölündüyü nisbəti tapa bilərsiniz. Məsələn, sekant 1-ə (hipotenuzanın üfüqiyə) kosinusu ilə bölünməsi 1-ə bərabər olacaq:

Tutaq ki, sekantımız 3,5-dir, yəni. Vahid dairənin radiusunun 350%-i. Bu dəyər divara hansı meyl bucağına uyğundur?

Əlavə: Bəzi nümunələr

Darıxdırıcı tapşırıq. Gəlin banal "sinusu tapın" ı "Maksimumun (hipotenuza) faizi olaraq hündürlüyü nədir?" ilə çətinləşdirək.

Əvvəlcə üçbucağın fırlandığına diqqət yetirin. Bunda səhv bir şey yoxdur. Üçbucağın da hündürlüyü var, şəkildə yaşıl rənglə göstərilib.

Hipotenuz nəyə bərabərdir? Pifaqor teoremi ilə biz bilirik ki:

3 2 + 4 2 = hipotenuz 2 25 = hipotenuz 2 5 = hipotenuz

Yaxşı! Sinus üçbucağın ən uzun tərəfindən və ya hipotenuzanın hündürlüyünün faizidir. Bizim nümunəmizdə sinus 3/5 və ya 0,60-dır.

Təbii ki, biz bir neçə yolla gedə bilərik. İndi biz bilirik ki, sinus 0,60-dır və biz sadəcə olaraq arksini tapa bilərik:

Asin(0,6)=36,9

Və burada başqa bir yanaşma var. Qeyd edək ki, üçbucaq "divarla üz-üzədir", ona görə də sinus yerinə tangensdən istifadə edə bilərik. Hündürlük 3, divara olan məsafə 4-dür, ona görə də tangens ¾ və ya 75% -dir. Faizdən geri bucağa getmək üçün qövs tangensindən istifadə edə bilərik:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Misal: Siz sahilə üzəcəksiniz?

Siz bir qayıqdasınız və 2 km üzmək üçün kifayət qədər yanacağınız var. İndi sahildən 0,25 km uzaqdasınız. Sahilə maksimum hansı bucaq altında ona üzmək olar ki, kifayət qədər yanacaq əldə edə biləsiniz? Problemin şərtinə əlavə: bizdə ancaq qövs kosinusu qiymətlərinin cədvəli var.

Bizdə nə var? sahil xətti məşhur üçbucağımızda “divar” kimi təsəvvür etmək olar və divara bərkidilmiş “nərdivan uzunluğu” qayıqla sahilə qədər keçə biləcəyi maksimum məsafədir (2 km). Bir sekant ortaya çıxır.

Əvvəlcə faizlərə keçməlisiniz. Bizdə 2 / 0,25 = 8 var, yəni sahilə (və ya divara) düz məsafədən 8 dəfə üzə bilərik.

Sual yaranır: “8-ci sekant nədir?”. Ancaq biz buna cavab verə bilmərik, çünki bizdə yalnız qövs kosinusları var.

Sekantı kosinusla əlaqələndirmək üçün əvvəllər əldə edilmiş asılılıqlarımızdan istifadə edirik: “sec/1 = 1/cos”

8-in sekantı ⅛-in kosinusuna bərabərdir. Kosinusu ⅛ olan bucaq acos(1/8) = 82,8-dir. Və bu, müəyyən miqdarda yanacaq olan bir qayıqda ödəyə biləcəyimiz ən böyük bucaqdır.

Pis deyil, hə? Günbəz-divar-tavan bənzətməsi olmasaydı, mən bir dəstə düstur və hesablamada çaşqın olardım. Problemin vizuallaşdırılması həll yolunun axtarışını xeyli asanlaşdırır, bundan əlavə, nəticədə hansı triqonometrik funksiyanın kömək edəcəyini görmək maraqlıdır.

Hər tapşırıq üçün belə düşünün: məni günbəz (sin/cos), divar (tan/san) və ya tavan (beşik/csc) maraqlandırır?

Və triqonometriya daha xoş olacaq. Sizin üçün asan hesablamalar!

Sinus düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı α nisbətdir əks hipotenuzaya kateter.
Aşağıdakı kimi işarələnir: sin α.

Kosinus düzbucaqlı üçbucağın kəskin bucağı α bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.
Aşağıdakı kimi işarələnir: cos α.

Tangens kəskin bucaq α əks ayağın bitişik ayağa nisbətidir.
Aşağıdakı kimi işarələnir: tg α.

Kotangent kəskin bucaq α bitişik ayağın əks tərəfə nisbətidir.
O, aşağıdakı kimi təyin edilmişdir: ctg α.

Bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi yalnız bucağın böyüklüyündən asılıdır.

Qaydalar:

Düzbucaqlı üçbucaqda əsas triqonometrik eyniliklər:

(α - ayağın qarşısındakı kəskin bucaq b və ayağa bitişik a . Yan ilə - hipotenuz. β - ikinci kəskin bucaq).

Kəskin bucaq artdıqcasinα vətg α artımı, vəcos α azalır.

İstənilən iti bucaq α üçün:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

İzahlı nümunə:

ABC düzbucağında olsun
AB = 6,
BC = 3,
bucaq A = 30º.

A bucağının sinusunu və B bucağının kosinusunu tapın.

Qərar.

1) Əvvəlcə B bucağının qiymətini tapırıq. Burada hər şey sadədir: düz üçbucaqda iti bucaqların cəmi 90º olduğu üçün B bucağı \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Sin A hesablayın. Biz bilirik ki, sinus əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir. A bucağı üçün əks ayaq BC tərəfidir. Belə ki:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) İndi cos B hesablayırıq. Bilirik ki, kosinus qonşu ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir. B bucağı üçün bitişik ayaq eyni BC tərəfidir. Bu o deməkdir ki, biz yenidən BC-ni AB-yə bölmək lazımdır - yəni A bucağının sinusunu hesablayarkən eyni hərəkətləri yerinə yetirməliyik:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Nəticə belədir:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Buradan belə çıxır ki, düz üçbucaqda bir iti bucağın sinusu digər kəskin bucağın kosinusuna bərabərdir və əksinə. İki düsturumuzun mənası budur:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Yenidən yoxlayaq:

1) α = 60º olsun. α-nın dəyərini sinus düsturunda əvəz edərək, əldə edirik:
günah (90º - 60º) = cos 60º.
günah 30º = cos 60º.

2) α = 30º olsun. α-nın dəyərini kosinus düsturunda əvəz edərək, əldə edirik:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Triqonometriya haqqında daha çox məlumat üçün Cəbr bölməsinə baxın)