Sčítaním dávame zlomky k všeobecnému. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov s rôznymi menovateľmi

Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete znížiť zlomok, ktorý ste dostali.

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi príklady:

,

,

Odčítanie správneho zlomku od jednotky.

Ak je potrebné od jednotky odčítať zlomok, ktorý je správny, jednotka sa prevedie do tvaru nesprávneho zlomku, jeho menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.

Príklad odčítania správneho zlomku od jednotky:

Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , teda jednotku znázorníme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.

Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):

• Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, preložíme na nevlastné. Dostávame normálne podmienky (nezáleží na tom, či sú rôznych menovateľov), ktoré posudzujeme podľa vyššie uvedených pravidiel;
• Ďalej vypočítame rozdiel zlomkov, ktoré sme dostali. Výsledkom je, že takmer nájdeme odpoveď;
• Vykonáme inverznú transformáciu, to znamená, že sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme celočíselnú časť v zlomku.

Odčítajme od celého čísla správny zlomok: uvádzame prirodzené číslo ako zmiešané číslo. Tie. vezmeme jednotku v prirodzenom čísle a preložíme ju do tvaru nevlastného zlomku, menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.

Príklad odčítania zlomkov:

V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme si zapísali zmiešané číslo a od zlomkovej časti odčítali zlomok.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Alebo, inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.

Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi (LCD) a až potom odčítať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.

Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi daných zlomkov.

Pozor! Ak v konečný zlomokČitateľ a menovateľ majú spoločné faktory, potom sa zlomok musí znížiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je nedokončené riešenie príkladu!

Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

• nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
• vložte ďalšie multiplikátory pre všetky zlomky;
• vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
• výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky dáme spoločného menovateľa;
• odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.

Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva za prítomnosti písmen v čitateli.

Odčítanie zlomkov, príklady:

Odčítanie zmiešaných zlomkov.

o odčítanie zmiešané frakcie(čísla) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.

Prvou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).

Napríklad:

Druhou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok zredukujeme zlomkové časti na spoločného menovateľa a potom odčítame celú časť od celého čísla a zlomok od zlomku.

Napríklad:

Treťou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.

Príklad:

Pretože zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako pri druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.

Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. Takže vezmeme jednotku z celočíselnej časti a privedieme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom = 18.

Do čitateľa z pravej strany napíšeme súčet čitateľov, potom otvoríme zátvorky v čitateli z pravej strany, čiže všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:

Ďalšou akciou, ktorú možno vykonať s obyčajnými zlomkami, je odčítanie. V rámci tohto materiálu zvážime, ako správne vypočítať rozdiel medzi zlomkami s rovnakými a rôznymi menovateľmi, ako odpočítať zlomok od prirodzeného čísla a naopak. Všetky príklady budú ilustrované úlohami. Vopred si ujasnime, že rozoberieme len prípady, keď rozdiel zlomkov vedie k kladnému číslu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakým menovateľom

Začnime hneď s dobrý príklad: povedzme, že máme jablko rozdelené na osem častí. Päť častí necháme na plechu a z toho si dve odoberieme. Táto akcia môže byť napísaná takto:

Nakoniec máme 3 osminy, pretože 5 − 2 = 3 . Ukazuje sa, že 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Na tomto jednoduchom príklade sme presne videli, ako funguje pravidlo odčítania pre zlomky s rovnakými menovateľmi. Poďme to sformulovať.

Definícia 1

Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa jedného od čitateľa druhého a ponechať menovateľa rovnakého. Toto pravidlo možno zapísať ako a b - c b = a - c b .

Tento vzorec budeme používať v nasledujúcom texte.

Uveďme si konkrétne príklady.

Príklad 1

Od zlomku 24 15 odčítajte bežný zlomok 17 15 .

rozhodnutie

Vidíme, že tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Takže všetko, čo musíme urobiť, je odpočítať 17 od 24. Dostaneme 7 a pridáme k nemu menovateľa, dostaneme 7 15 .

Naše výpočty môžu byť napísané takto: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

V prípade potreby môžete skrátiť zložená frakcia alebo vyberte celú časť z nesprávnej, aby bolo počítanie pohodlnejšie.

Príklad 2

Nájdite rozdiel 37 12 - 15 12 .

rozhodnutie

Použime vzorec opísaný vyššie a vypočítajme: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Je ľahké vidieť, že čitateľa a menovateľa možno deliť 2 (už sme o tom hovorili skôr, keď sme analyzovali znaky deliteľnosti). Znížením odpovede dostaneme 11 6 . Toto je nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť: 11 6 \u003d 1 5 6.

Ako nájsť rozdiel medzi zlomkami s rôznymi menovateľmi

Takáto matematická operácia sa dá zredukovať na to, čo sme už opísali vyššie. Ak to chcete urobiť, jednoducho priveďte požadované zlomky do rovnakého menovateľa. Sformulujme definíciu:

Definícia 2

Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov, musíte ich priviesť k rovnakému menovateľovi a nájsť rozdiel medzi čitateľmi.

Pozrime sa na príklad, ako sa to robí.

Príklad 3

Odčítajte 1 15 od 2 9 .

rozhodnutie

Menovatelia sú rôzni a musíte ich zmenšiť na najmenšie zdravý rozum. V tomto prípade je LCM 45. Pre prvú frakciu je potrebný ďalší faktor 5 a pre druhú - 3.

Vypočítajme: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Dostali sme dva zlomky s rovnakým menovateľom a teraz môžeme ľahko nájsť ich rozdiel pomocou algoritmu opísaného vyššie: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Stručný záznam riešenia vyzerá takto: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Nezanedbajte redukciu výsledku alebo výber celej časti z neho, ak je to potrebné. AT tento príklad nemusíme to robiť.

Príklad 4

Nájdite rozdiel 19 9 - 7 36 .

rozhodnutie

Zlomky uvedené v podmienke privedieme k najnižšiemu spoločnému menovateľovi 36 a získame 76 9 a 7 36.

Zvažujeme odpoveď: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Výsledok možno znížiť o 3 a získať tak 23 12 . Čitateľ je väčší ako menovateľ, čo znamená, že môžeme extrahovať celú časť. Konečná odpoveď je 1 11 12 .

Súhrn celého riešenia je 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Ako odčítať prirodzené číslo od bežného zlomku

Túto akciu možno tiež ľahko zredukovať na jednoduché odčítanie bežné zlomky. Dá sa to dosiahnuť reprezentáciou prirodzeného čísla ako zlomku. Ukážme si príklad.

Príklad 5

Nájdite rozdiel 83 21 – 3 .

rozhodnutie

3 je to isté ako 31. Potom môžete vypočítať takto: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Ak je v podmienke potrebné odčítať celé číslo od nesprávneho zlomku, je vhodnejšie z neho najprv celé číslo extrahovať a zapísať ho ako zmiešané číslo. Potom sa predchádzajúci príklad dá vyriešiť inak.

Zo zlomku 83 21, keď vyberiete celú časť, dostanete 83 21 \u003d 3 20 21.

Teraz od neho odčítajte 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Ako odčítať zlomok od prirodzeného čísla

Táto akcia sa robí podobne ako predchádzajúca: prirodzené číslo prepíšeme na zlomok, obe privedieme k spoločnému menovateľovi a nájdeme rozdiel. Ilustrujme si to na príklade.

Príklad 6

Nájdite rozdiel: 7 - 5 3 .

rozhodnutie

Urobme zo 7 zlomok 7 1 . Urobíme odčítanie a transformujeme konečný výsledok, pričom z neho vyberieme celú časť: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Existuje ďalší spôsob výpočtu. Má niektoré výhody, ktoré možno použiť v prípadoch, keď sú čitateľmi a menovateľmi zlomkov v úlohe veľké čísla.

Definícia 3

Ak je zlomok, ktorý sa má odčítať, správny, potom prirodzené číslo, od ktorého odpočítavame, musí byť vyjadrené ako súčet dvoch čísel, z ktorých jedno sa rovná 1. Potom musíte odpočítať požadovaný zlomok od jednoty a získať odpoveď.

Príklad 7

Vypočítajte rozdiel 1 065 - 13 62 .

rozhodnutie

Zlomok, ktorý sa má odpočítať, je správny, pretože jeho čitateľ je menší ako menovateľ. Preto musíme odpočítať jeden od 1065 a odpočítať od neho požadovaný zlomok: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Teraz musíme nájsť odpoveď. Pomocou vlastností odčítania možno výsledný výraz zapísať ako 1064 + 1 - 13 62 . Vypočítajme rozdiel v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, reprezentujeme jednotku ako zlomok 1 1 .

Ukazuje sa, že 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Teraz si spomeňme na 1064 a sformulujme odpoveď: 1064 49 62 .

Používame starý spôsob dokázať, že je to menej pohodlné. Tu sú výpočty, ktoré by sme dostali:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

Odpoveď je rovnaká, ale výpočty sú zjavne ťažkopádnejšie.

Zvažovali sme prípad, keď potrebujete odčítať správny zlomok. Ak je chybný, vymeníme ho. zmiešané číslo a vykonajte odčítanie podľa známych pravidiel.

Príklad 8

Vypočítajte rozdiel 644 - 73 5 .

rozhodnutie

Druhá frakcia je nesprávna a musí sa od nej oddeliť celá časť.

Teraz vypočítame podobne ako v predchádzajúcom príklade: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Vlastnosti odčítania pri práci so zlomkami

Vlastnosti, ktoré má odčítanie prirodzených čísel, platia aj pre prípady odčítania obyčajných zlomkov. Pozrime sa, ako ich použiť pri riešení príkladov.

Príklad 9

Nájdite rozdiel 24 4 - 3 2 - 5 6 .

rozhodnutie

Podobné príklady sme už riešili, keď sme analyzovali odčítanie súčtu od čísla, takže postupujeme podľa už známeho algoritmu. Najprv vypočítame rozdiel 25 4 - 3 2 a potom od neho odčítame posledný zlomok:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Transformujme odpoveď extrahovaním celej časti z nej. Výsledok je 3 11 12.

Stručné zhrnutie celého riešenia:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Ak výraz obsahuje zlomky aj prirodzené čísla, odporúča sa ich pri výpočte zoskupiť podľa typov.

Príklad 10

Nájdite rozdiel 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

rozhodnutie

Keď poznáme základné vlastnosti odčítania a sčítania, môžeme čísla zoskupiť takto: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dokončite výpočty: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie. algebraické zlomky s rôznymi menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Na to je potrebné zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jedným z najdôležitejších a ťažké témy v 8. ročníku. Okrem toho sa táto téma nachádza v mnohých témach kurzu algebry, ktoré budete študovať v budúcnosti. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi, ako aj analyzujeme množstvo typických príkladov.

Zvážte najjednoduchší príklad pre bežné zlomky.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Pamätajte na pravidlo sčítania zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.

Definícia

Najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslami aj .

Na nájdenie LCM je potrebné rozšíriť menovateľov do hlavné faktory a potom vyberte všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve 2 a dve 3: .

Po nájdení spoločného menovateľa je potrebné, aby každý zo zlomkov našiel ďalší faktor (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom príslušného zlomku).

Potom sa každý zlomok vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi, ktoré sme sa naučili sčítať a odčítať v predchádzajúcich lekciách.

Dostaneme: .

odpoveď:.

Zvážte teraz sčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv zvážte zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa pre tieto zlomky: a ďalšie faktory pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Poďme teda formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.

2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom tohto zlomku).

3. Vynásobte čitateľov príslušnými dodatočnými faktormi.

4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ má doslovné výrazy.

Príklad 3 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Keďže doslovné výrazy v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Takže riešenie tohto príkladu je:

odpoveď:.

Príklad 4 Odčítajte zlomky: .

rozhodnutie:

Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani použiť skrátené vzorce na násobenie), potom musíte za spoločného menovateľa brať súčin menovateľov oboch zlomkov.

odpoveď:.

Vo všeobecnosti pri rozhodovaní podobné príklady, najťažšou úlohou je nájsť spoločného menovateľa.

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozložiť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).

V tomto konkrétnom prípade:

Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: .

Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:

odpoveď:.

Teraz opravíme pravidlá sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad 6 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

odpoveď:.

Príklad 7 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

.

odpoveď:.

Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nepridávajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre viac zlomky zostávajú rovnaké).

Príklad 8 Zjednodušiť: .

prinieslo vaše dieťa domáca úloha zo školy a nevieš ako to vyriešiť? Potom je tento mini návod pre vás!

Ako pridať desatinné miesta

Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca. Ak chcete vykonať sčítanie desatinné zlomky musíte dodržiavať jednoduché pravidlo:

• Číslica musí byť pod číslicou, čiarka pod čiarkou.

Ako vidíte na príklade, celé jednotky sú pod sebou, desatiny a stotiny sú pod sebou. Teraz sčítame čísla, čiarku ignorujeme. Čo robiť s čiarkou? Čiarka sa prenesie na miesto, kde stála pri vybíjaní celých čísel.

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Ak chcete vykonať sčítanie so spoločným menovateľom, musíte ponechať menovateľa nezmenený, nájsť súčet čitateľov a získať zlomok, ktorý bude predstavovať celkovú sumu.

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi nájdením spoločného násobku

Prvá vec, ktorú treba venovať pozornosť, sú menovatelia. Menovatelia sú rôzni, nie sú navzájom deliteľní základné čísla. Najprv musíte priviesť k jednému spoločnému menovateľovi, existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, na vyriešenie tohto príkladu musíme nájsť najmenší spoločný násobok (LCM), ktorý bude deliteľný 2 menovateľmi. Na označenie najmenšieho násobku a a b - LCM (a; b). V tomto príklade LCM (3;4) = 12. Kontrola: 12:3=4; 12:4=3.
• Vynásobíme faktory a vykonáme sčítanie výsledných čísel, dostaneme 13/12 - nesprávny zlomok.

• Aby sme previedli nevlastný zlomok na vlastný, vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme celé číslo 1, zvyšok 1 je čitateľ a 12 je menovateľ.

Sčítanie zlomkov pomocou krížového násobenia

Na sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi existuje iný spôsob podľa vzorca „krížovo“. Toto je zaručený spôsob vyrovnania menovateľov, preto je potrebné vynásobiť čitateľov menovateľom jedného zlomku a naopak. Ak ste len na počiatočná fáza učenie zlomkov, potom je táto metóda najjednoduchšia a najpresnejšia, ako získať správny výsledok pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém ešte musíme preštudovať, premyslieť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie rôzne body priestor v jednom časovom bode, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene sú stále potrebné ďalšie údaje pre výpočty, pomôže vám trigonometria). Na čo sa chcem zamerať Osobitná pozornosť, je, že dva body v čase a dva body v priestore sú rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.

Streda 4. júla 2018

Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.

Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné nápady.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici schovávajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Použiteľné matematická teória sady pre samotných matematikov.

Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Celú sumu mu spočítame a rozložíme na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane, až keď preukáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Tu si matematik začne kŕčovito pripomínať fyziku: na rôznych minciach je iná sumašpina, kryštálová štruktúra a atómové usporiadanie každej mince je jedinečné...

A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipediu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to elementárne dokážu.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov pri výpočte bude súčet číslic toho istého čísla rôzny. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste pri určovaní plochy obdĺžnika v metroch a centimetroch dostali úplne iné výsledky.

Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú k rozdielne výsledky po ich porovnaní to potom s matematikou nemá nič spoločné.

Čo je skutočná matematika? Tu je výsledok matematická akcia nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.

Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aký iný záchod?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát denne,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím, aby som u kakajúceho človeka (jeden obrázok) videl mínus štyri stupne (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jedno a". Toto je "kakajúci muž" alebo číslo "dvadsaťšesť" v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.