Ak každé prirodzené číslo n zodpovedať skutočnému číslu a n , potom hovoria, že daný číselná postupnosť :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Takže číselná postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu.

číslo a 1 volal prvý člen postupnosti , číslo a 2 — druhý člen postupnosti , číslo a 3 — tretí atď. číslo a n volal n-tý člen postupnosti a prirodzené číslo n — jeho číslo .

Od dvoch susedných členov a n a a n +1 členské sekvencie a n +1 volal následné (smerom k a n ), a a n — predchádzajúce (smerom k a n +1 ).

Ak chcete zadať sekvenciu, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena sekvencie s ľubovoľným číslom.

Často sa postupnosť uvádza s vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen sekvencie podľa jeho čísla.

Napríklad,

postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom

a n= 2n- 1,

a postupnosť striedania 1 a -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.

Napríklad,

ak a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti nastaví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvencie môžu byť konečné a nekonečné .

Sekvencia je tzv konečný ak má konečný počet členov. Sekvencia je tzv nekonečné ak má nekonečne veľa členov.

Napríklad,

postupnosť dvoch číslic prirodzené čísla:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konečné.

Poradie prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečné. ◄

Sekvencia je tzv zvyšujúci sa , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.

Sekvencia je tzv ubúdanie , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.

Napríklad,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je vzostupná sekvencia;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je zostupná postupnosť. ◄

Postupnosť, ktorej prvky s rastúcim počtom neklesajú, alebo naopak nepribúdajú, sa nazýva monotónna postupnosť .

Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.

Aritmetický postup

Aritmetický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

a n +1 = a n + d,

kde d - nejaké číslo.

Rozdiel medzi nasledujúcim a predchádzajúcim členom danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.

Na nastavenie aritmetického postupu stačí zadať jeho prvý člen a rozdiel.

Napríklad,

ak a 1 = 3, d = 4 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n

a n = 1 + (n- 1)d.

Napríklad,

nájsť tridsiaty člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potom samozrejme

a n=	a n-1 + a n+1
	2

každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

čísla a, b a c sú po sebe idúcimi členmi nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.

Napríklad,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

teda

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Poznač si to n -tý člen aritmetického postupu možno nájsť nielen cez a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k

a n = a k + (n- k)d.

Napríklad,

pre a 5 dá sa napísať

5 = 1 + 4d,

5 = a 2 + 3d,

5 = a 3 + 2d,

5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potom samozrejme

a n=	a n-k + a n+k
	2

ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná polovici súčtu členov tejto aritmetickej postupnosti v rovnakom odstupe od nej.

Okrem toho pre akúkoľvek aritmetickú progresiu platí rovnosť:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Napríklad,

v aritmetickej progresii

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ako

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprv n členov aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov počtom členov:

Z toho najmä vyplýva, že ak je potrebné sčítať termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:

Napríklad,

v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n aS n spojené dvoma vzorcami:

Preto ak tri z týchto veličín sú dané, potom sa zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín určia z týchto vzorcov skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Aritmetický postup je monotónna sekvencia. kde:

• ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
• ak d < 0 , potom sa znižuje;
• ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.

Geometrická progresia

geometrický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

b n +1 = b n · q,

kde q ≠ 0 - nejaké číslo.

Pomer ďalšieho člena tejto geometrickej progresie k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

číslo q volal menovateľ geometrickej postupnosti.

Na nastavenie geometrickej progresie stačí zadať jej prvý člen a menovateľa.

Napríklad,

ak b 1 = 1, q = -3 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a menovateľ q jej n -tý člen možno nájsť podľa vzorca:

b n = b 1 · q n -1 .

Napríklad,

nájdite siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potom samozrejme

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:

čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.

Napríklad,

dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

teda

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ktorý dokazuje požadované tvrdenie. ◄

Poznač si to n člen geometrickej progresie možno nájsť nielen cez b 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce obdobie b k , na čo stačí použiť vzorec

b n = b k · q n - k.

Napríklad,

pre b 5 dá sa napísať

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potom samozrejme

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu členov tejto postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú progresiu platí rovnosť:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Napríklad,

exponenciálne

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , ako

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprv n členy geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:

A kedy q = 1 - podľa vzorca

S n= n.b. 1

Všimnite si, že ak potrebujeme sčítať podmienky

b k, b k +1 , . . . , b n,

potom sa použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Napríklad,

exponenciálne 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ak je daná geometrická postupnosť, potom množstvá b 1 , b n, q, n a S n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sú určené z týchto vzorcov kombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :

• progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 a q> 1;

b 1 < 0 a 0 < q< 1;

• Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 a 0 < q< 1;

b 1 < 0 a q> 1.

Ak q< 0 , potom je geometrická postupnosť znamienkovo ​​striedavá: jej nepárne členy majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a párne členy majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.

Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať podľa vzorca:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Napríklad,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečne klesajúca geometrická progresia

Nekonečne klesajúca geometrická progresia sa nazýva nekonečná geometrická postupnosť, ktorej modul menovateľa je menší ako 1 , t.j

|q| < 1 .

Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Toto sa hodí na prípad

1 < q< 0 .

S takýmto menovateľom je postupnosť znamienkovo ​​striedavá. Napríklad,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému je súčet prvého n podmienky postupu s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a vyjadruje sa vzorcom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Napríklad,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami

Aritmetické a geometrické postupnosti spolu úzko súvisia. Uvažujme len o dvoch príkladoch.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , potom

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Napríklad,

1, 3, 5, . . . — aritmetický postup s rozdielom 2 a

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom q , potom

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetický postup s rozdielom log aq .

Napríklad,

2, 12, 72, . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 6 a

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetický postup s rozdielom lg 6 . ◄

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Číselná postupnosť

Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Číselná postupnosť
Napríklad pre našu postupnosť:

Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Takáto číselná postupnosť sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius už v 6. storočí a v širšom zmysle sa chápal ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorou sa zaoberali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu, pripočítaný rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajte naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého člena. Existovať dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

K predchádzajúcej hodnote čísla progresie môžeme pridávať, až kým nedosiahneme tý člen progresie. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Takže -tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám trvalo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nepomýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom k predchádzajúcej hodnote nemusíte pripočítať rozdiel aritmetickej progresie. Pozrite sa pozorne na nakreslený obrázok ... Určite ste si už všimli určitý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, čo tvorí hodnotu -tého člena tejto aritmetickej postupnosti:


Inými slovami:

Pokúste sa týmto spôsobom nezávisle nájsť hodnotu člena tejto aritmetickej progresie.

Vypočítané? Porovnajte svoje príspevky s odpoveďou:

Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pripočítali členy aritmetickej progresie.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa buď zvyšujú alebo znižujú.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Poďme si to overiť v praxi.
Dostali sme aritmetický postup pozostávajúci z nasledujúcich čísel:

Odvtedy:

Presvedčili sme sa teda, že vzorec funguje tak pri znižovaní, ako aj pri zvyšovaní aritmetickej progresie.
Skúste sami nájsť -tý a -tý člen tejto aritmetickej postupnosti.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Skomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Predpokladajme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Je to jednoduché, poviete si, a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Dovoľte, a, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť robiť chyby vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite, je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno a pokúsime sa to teraz priniesť.

Požadovaný člen aritmetickej progresie označujeme tak, že poznáme vzorec na jeho nájdenie – ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, potom:

• predchádzajúci člen postupu je:
• ďalší termín postupu je:

Zhrňme predchádzajúcich a nasledujúcich členov postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, na nájdenie hodnoty progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a následnými hodnotami je potrebné ich sčítať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progresie si vypočítajte sami, pretože to nie je vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss ...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou prác žiakov z iných tried, zadal na hodine túto úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od až do (podľa iných zdrojov až po) vrátane. " Aké bolo prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (bol to Karl Gauss) po minúte dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok ...

Mladý Carl Gauss si všimol vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť.
Povedzme, že máme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z členov -ti: Potrebujeme nájsť súčet daných členov aritmetickej postupnosti. Samozrejme, môžeme všetky hodnoty sčítať ručne, ale čo ak potrebujeme v úlohe nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Znázornime postup, ktorý nám bol daný. Pozorne si prezrite zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Vyskúšali? čo si si všimol? Správne! Ich sumy sú rovnaké

Teraz odpovedzte, koľko takýchto párov bude v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej postupnosti je rovnaký a podobných rovnakých párov, dostaneme, že celková suma rovná sa:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme progresívny rozdiel. Pokúste sa dosadiť do súčtového vzorca vzorec tého člena.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý dostal Carl Gauss: vypočítajte si sami, aký je súčet čísel začínajúcich od -tého a súčet čísel začínajúcich od -tého.

koľko si dostal?
Gauss ukázal, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Takto ste sa rozhodli?

V skutočnosti vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal staroveký grécky vedec Diophantus už v 3. storočí a počas tejto doby vtipní ľudia používali vlastnosti aritmetického postupu s mocou a hlavným.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčšie stavenisko tej doby - stavba pyramídy ... Na obrázku je znázornená jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríš? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Prečo nie aritmetický postup? Spočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené v základni. Dúfam, že nebudete počítať pohybom prsta po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

AT tento prípad postup vyzera takto:
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov počítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete počítať aj na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Súhlasilo to? Výborne, zvládli ste súčet členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si spočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Podarilo sa ti?
Správna odpoveď je bloky:

Posilovať

Úlohy:

1. Máša sa na leto dostáva do formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát bude Masha drepovať za týždne, ak urobila drepy na prvom tréningu.
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Drevorubci ich pri ukladaní guľatiny naskladajú tak, že každá vrchná vrstva obsahuje o jeden denník menej ako predchádzajúci. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny.

odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Za dva týždne by mala Masha raz denne drepovať.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel aritmetického postupu.
   Počet nepárnych čísel na polovicu si však overte pomocou vzorca na nájdenie -tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Dostupné údaje dosadíme do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v sa rovná.

3. Spomeňte si na problém o pyramídach. Pre náš prípad a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, existuje len veľa vrstiev, to jest.
   Nahraďte údaje vo vzorci:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Zhrnutie

1. - číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Zvyšuje sa a klesá.
2. Hľadanie vzorcačlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde - počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej postupnosti možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. STREDNÁ ÚROVEŇ

Číselná postupnosť

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy sa dá povedať, ktorý z nich je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to iba s jedným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi vhodné, ak -tý člen postupnosti môže byť daný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel). Alebo (, rozdiel).

vzorec n-tého členu

Rekurentný nazývame vzorec, v ktorom na zistenie -tého člena potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou takéhoto vzorca, musíme vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad nech. potom:

No, teraz je jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Prečo? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickom postupe nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

rozhodnutie:

Prvý termín je rovnaký. a aky je v tom rozdiel? A tu je čo:

(napokon sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec vypočítal túto sumu za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko je takýchto párov? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takze

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferné čísla, násobky.

rozhodnutie:

Prvé takéto číslo je toto. Každý ďalší sa získa pridaním čísla k predchádzajúcemu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetický postup s prvým členom a rozdielom.

Vzorec pre th term pre túto postupnosť je:

Koľko výrazov je v postupe, ak musia byť všetky dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň zabehne športovec o 1 m viac ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov zabehne za týždne, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista najazdí každý deň viac kilometrov ako ten predchádzajúci. Prvý deň precestoval km. Koľko dní musí jazdiť, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde v posledný deň cesty?
3. Cena chladničky v predajni sa každoročne znižuje o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble, o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Tu je dané:, treba nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň evidentne nesedí, takže odpoveď.
   Vypočítajme vzdialenosť prejdenú za posledný deň pomocou vzorca pre -tý člen:
   (km).
   odpoveď:

3. Vzhľadom na to: . Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nebude:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNOM

Toto je číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup sa zvyšuje () a klesá ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje ako vzorec, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Uľahčuje to nájsť člena progresie, ak sú známi jeho susední členovia - kde je počet čísel v progresii.

Súčet členov aritmetickej postupnosti

Súčet možno nájsť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.

Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Indexy písmen, n-tý člen progresie, rozdiel v progresii - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetickej progresie a všetko bude fungovať hneď.)

Pojem aritmetická progresia.

Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.

Napíšem nedokončenú sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.

Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Môžete zachytiť vzor, ​​predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?

Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili Kľúčové body aritmetická progresia, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.

Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)

Prvý kľúčový bod.

Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a tak ďalej ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...

Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)

Druhý kľúčový bod.

V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.

V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhom - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.

Tretí kľúčový bod.

Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každý postupové číslo stojí na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.

To je podstata.

Samozrejme, v Nová téma objavia sa nové výrazy a notácia. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:

Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.

Termíny a označenia.

Aritmetický postup je séria čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.

Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.

Rozdiel aritmetického postupu.

Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.

Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.

Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.

Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.

Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.

Napríklad:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.

Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.

Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.

Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva „rozdiel“.)

Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:

Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.

Môžete si len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)

Mimochodom, vedieť to d = 3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.

Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.

Iné termíny a označenia.

Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.

Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!

Ako zaznamenať progres v všeobecný pohľad? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).

Existujú progresie konečný a nekonečný.

Ultimate postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.

Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)

horieť konečný postup cez sériu sa vám môže páčiť toto, všetci členovia a bodka na konci:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Alebo takto, ak je veľa členov:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:

(a n), n = 20

Nekonečný postup je možné rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.

Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.

Príklady úloh na aritmetický postup.

Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:

1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.

Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = a 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všetko. Odpoveď na úlohu:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.

Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.

Pamätajte:

Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.

Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo tri hlavné parametre: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.

Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú spojené s postupnosťou. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.

Zvážte napríklad niektoré obľúbené úlohy na túto tému.

2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.

Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „konečná“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zostáva napísať odpoveď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ďalšia úloha:

3. Určite, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Ktovie? Ako niečo definovať?

Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6.5 a 7.7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.

odpoveď: nie.

A tu je problém založený na reálna verzia GIA:

4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; pätnásť; X; deväť; 6; ...

Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme objaviť z tohto riadku? Aké parametre majú tri hlavné?

Členské čísla? Nie je tu ani jedno číslo.

Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "po sebe" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, mám! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:

Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:

To je všetko. odpoveď: x=12

Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.

5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.

7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.

8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.

9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, pričom rýchlosť postupne zvyšoval o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.

10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a 6 = -5. Nájdite 1.

Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; deväť; 0,3; 4.

Všetko vyšlo? Úžasný! Môžete zvládnuť aritmetický postup na viac vysoký stupeň, v ďalších lekciách.

Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto problémy rozobrané na kúsky.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!

Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.

V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam, napíšte sériu, všetko sa rozhodne.

Riešenie „na prstoch“ funguje dobre pre veľmi krátke kusy série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú zložitejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)

A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:

Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?

Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Online kalkulačka.
Riešenie aritmetického postupu.
Dané: a n , d, n
Nájdite: a 1

Tento matematický program nájde \(a_1\) aritmetického postupu z čísel zadaných používateľom \(a_n, d \) a \(n \).
Čísla \(a_n\) a \(d \) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky. Okrem toho je možné zadať zlomkové číslo vo forme desatinného zlomku (\ (2,5 \)) a vo forme spoločný zlomok(\(-5\frac(2)(7) \)).

Program nielen dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces hľadania riešenia.

Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy v príprave na kontrolná práca a skúškach, pri preverovaní vedomostí pred skúškou, rodičia ovládať riešenie mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať hotové čo najskôr? domáca úloha matematika alebo algebra? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania čísel, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie čísel

Čísla \(a_n\) a \(d \) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky.
Číslo \(n\) môže byť iba kladné celé číslo.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta tak 2,5 alebo tak 2,5

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Keď vstúpite číselný zlomokČitateľ je oddelený od menovateľa deliacim znamienkom: /
Vstup:
Výsledok: \(-\frac(2)(3) \)

Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup:
Výsledok: \(-1\frac(2)(3) \)

Zadajte čísla a n , d, n

Nájdite 1

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Číselná postupnosť

V každodennej praxi sa číslovanie rôznych predmetov často používa na označenie poradia, v ktorom sa nachádzajú. Napríklad domy na každej ulici sú očíslované. V knižnici sú čitateľské predplatné očíslované a následne usporiadané v poradí podľa pridelených čísel v špeciálnych kartotékach.

V sporiteľni podľa čísla osobného účtu vkladateľa tento účet ľahko nájdete a zistíte, aký má vklad. Nech je záloha a1 rubľov na účet č. 1, záloha a2 rubľov na účet č. 2 atď. číselná postupnosť
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kde N je počet všetkých účtov. Tu je každému prirodzenému číslu n od 1 do N priradené číslo a n .

Matematika tiež študuje nekonečné číselné rady:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Volá sa číslo a 1 prvý člen postupnosti, číslo 2 - druhý člen postupnosti, číslo 3 - tretí člen postupnosti atď.
Volá sa číslo a n n-tý (n-tý) člen postupnosti, a prirodzené číslo n je jeho číslo.

Napríklad v postupnosti druhých mocnín prirodzených čísel 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2, ... a 1 = 1 je prvý člen postupnosti; a n = n2 je n-tý člen sekvencie; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-tý (en plus prvý) člen postupnosti. Postupnosť môže byť často špecifikovaná vzorcom jej n-tého člena. Napríklad vzorec \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) dáva postupnosť \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \bodky \)

Aritmetický postup

Dĺžka roka je približne 365 dní. Viac presná hodnota rovná sa \(365\frac(1)(4) \) dní, takže každé štyri roky sa nahromadí chyba jedného dňa.

Na započítanie tejto chyby sa ku každému štvrtému roku pridáva deň a predĺžený rok sa nazýva priestupný rok.

Napríklad v treťom tisícročí priestupné roky ide o roky 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

V tejto postupnosti sa každý člen, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, sčítanému s rovnakým číslom 4. Takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti.

Definícia.
Číselná postupnosť a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... sa nazýva aritmetická progresia, ak pre všetky prirodzené n rovnosť
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kde d je nejaké číslo.

Z tohto vzorca vyplýva, že a n+1 - a n = d. Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetická progresia.

Podľa definície aritmetickej progresie máme:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kde \(n>1 \)

Každý člen aritmetickej progresie, začínajúc od druhého, sa teda rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných členov. To vysvetľuje názov „aritmetická“ progresia.

Všimnite si, že ak sú uvedené a 1 a d, potom zostávajúce členy aritmetickej progresie možno vypočítať pomocou rekurzívneho vzorca a n+1 = a n + d. Týmto spôsobom nie je ťažké vypočítať niekoľko prvých členov progresie, ale napríklad pre 100 už bude potrebných veľa výpočtov. Zvyčajne sa na to používa vzorec n-tého členu. Podľa definície aritmetického postupu
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
atď.
vo všeobecnosti
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
keďže n-tý člen aritmetickej postupnosti sa získa od prvého člena pripočítaním (n-1) násobku čísla d.
Tento vzorec sa nazýva vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.
Túto sumu zapíšeme dvoma spôsobmi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridávame tieto rovnosti termín po termíne:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
V tejto sume je 100 výrazov.
Preto 2S = 101 * 100, odkiaľ S = 101 * 50 = 5050.

Zvážte teraz svojvoľný aritmetický postup
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Nech S n je súčet prvých n členov tejto postupnosti:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Potom súčet prvých n členov aritmetickej progresie je
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Keďže \(a_n=a_1+(n-1)d \), potom nahradením a n v tomto vzorci dostaneme ďalší vzorec na nájdenie súčty prvých n členov aritmetickej progresie:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Grafické znázornenie funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tomto postupe je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

Môže však byť aj \(d\). záporné číslo. napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov s aritmetickým postupom

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
rozhodnutie:

	Dostali sme prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
rozhodnutie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, rozdiel v postupe. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Daný aritmetický postup nasledujúcich podmienok: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám zadaných: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná suma bola nájdená.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
rozhodnutie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce aritmetického postupu

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné riešiť „na čelo“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotinu, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok nahradením \(n\) jedným.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) nahraďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
rozhodnutie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Ukončime tému úvahami o problémoch, v ktorých je potrebné nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike sa to môže hodiť ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-devätnásť\); \(-18,7\)…
rozhodnutie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by sme do vzorca pre súčet dosadili \(d\) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo sa \(n\) stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočtový...
\(n>65 333…\)		…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
rozhodnutie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. ako sa rozhodnúť? Jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-tej do \(42\)-tej a potom od nej odčítať súčet od prvý až \ (25 \) tý (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.