Geometrická postupnosť spolu s aritmetikou je dôležitá číselný rad, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa budeme zaoberať menovateľom geometrickej progresie a tým, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.
Definícia geometrickej progresie
Najprv si to definujme číselný rad. Geometrická postupnosť je séria racionálne čísla, ktorý vzniká postupným násobením jeho prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.
Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickou postupnosťou, pretože ak vynásobíme 3 (prvý prvok) 2, dostaneme 6. Ak 6 vynásobíme 2, dostaneme 12 a tak ďalej.
Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.
Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v jazyku matematiky takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii uvažovaného radu čísel. V podobných úvahách možno pokračovať veľké hodnoty n.
Menovateľ geometrickej progresie
Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:
- b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba modulo, ale zníži sa s prihliadnutím na znamienko čísel.
- b = 1. Často sa takýto prípad nenazýva progresia, keďže riadny rad rovnaké racionálne čísla. Napríklad -4, -4, -4.
Vzorec pre sumu
Predtým, ako pristúpime k úvahám o konkrétnych problémoch pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.
Nekonečne klesajúca sekvencia
Vyššie bolo vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1
Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.
Teraz zvážime niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétne čísla.
Úloha číslo 1. Výpočet neznámych prvkov postupu a súčtu
Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Aký bude jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?
Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet prvku s číslom n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Pre súčet použijeme známy vzorec a určíme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov série. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Úloha číslo 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov postupu
Nech -2 je menovateľ exponenciálneho postupu bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.
Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Môžete to vyriešiť pomocou 2 rôzne metódy. Pre úplnosť uvádzame oboje.
Metóda 1. Jej myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých členov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítajte menší súčet: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame veľkú sumu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v posledný výraz zrátané boli len 4 termíny, keďže 5. je už zahrnutý do súčtu, ktorý je potrebné vypočítať podľa stavu problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi členmi m a n príslušného radu. Postupujeme presne tak, ako pri metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením súčtu. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Úloha číslo 3. Aký je menovateľ?
Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.
Podľa stavu problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, za súčet nekonečne klesajúcej progresie. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získajte požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333(3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie modul b nesmie prekročiť hodnotu 1. Ako vidíte, |-1 / 3|
Úloha číslo 4. Obnovenie série čísel
Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné obnoviť celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.
Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy člen. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydelíme druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že odmocninu piateho stupňa z podielu členov známych z podmienky úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo sa dosadí do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Zistili sme teda, čo je menovateľom progresie bn a geometrickej postupnosti bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.
Kde sa používajú geometrické postupnosti?
Ak by neexistovala aplikácia tohto číselného radu v praxi, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale existuje taká aplikácia.
Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:
- Zenónov paradox, v ktorom agilný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
- Ak sú pšeničné zrná umiestnené na každej bunke šachovnice tak, že 1 zrnko je umiestnené na 1. bunke, 2 - na 2., 3 - na 3. atď., potom bude potrebných 18446744073709551615 zŕn na vyplnenie všetkých buniek doska!
- V hre „Hanojská veža“ je na preskupenie diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne od počtu použitých diskov n.
Poučenie
10, 30, 90, 270...
Je potrebné nájsť menovateľa geometrickej progresie.
rozhodnutie:
1 možnosť. Zoberme si ľubovoľný člen postupu (napríklad 90) a vydeľme ho predchádzajúcim (30): 90/30=3.
Ak je známy súčet niekoľkých členov geometrickej postupnosti alebo súčet všetkých členov klesajúcej geometrickej postupnosti, potom na nájdenie menovateľa postupnosti použite príslušné vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je súčet prvých n členov geometrickej postupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti (súčet všetkých členov postupnosti s menovateľom menším ako jedna).
Príklad.
Prvý člen klesajúcej geometrickej postupnosti sa rovná jednej a súčet všetkých jej členov sa rovná dvom.
Je potrebné určiť menovateľa tejto progresie.
rozhodnutie:
Doplňte údaje z úlohy do vzorca. Získajte:
2=1/(1-q), odkiaľ – q=1/2.
Postupnosť je postupnosť čísel. V geometrickej postupnosti sa každý nasledujúci člen získa vynásobením predchádzajúceho nejakým číslom q, ktoré sa nazýva menovateľ postupnosti.
Poučenie
Ak sú známe dva susedné členy geometrickej b(n+1) a b(n), na získanie menovateľa je potrebné vydeliť číslo s veľkým číslom číslom, ktoré mu predchádza: q=b(n +1)/b(n). Vyplýva to z definície progresie a jej menovateľa. Dôležitou podmienkou je, že prvý člen a menovateľ progresie sa nerovnajú nule, inak sa postup považuje za neurčitý.
Medzi členmi postupnosti sú teda vytvorené nasledujúce vzťahy: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Vzorcom b(n)=b1 q^(n-1) možno vypočítať ľubovoľný člen geometrickej postupnosti, v ktorej je známy menovateľ q a člen b1. Každý modul progresie sa tiež rovná priemeru jeho susedných členov: |b(n)|=√, takže progresia má svoje .
Najjednoduchší je analóg geometrického postupu exponenciálna funkcia y=a^x, kde x je v exponente, a je nejaké číslo. V tomto prípade je menovateľ progresie rovnaký ako prvý člen a sa rovná číslu a. Hodnotu funkcie y možno chápať ako n-tý člen progresie, ak sa argument x berie ako prirodzené číslo n (počítadlo).
Uvažujme o sérii.
7 28 112 448 1792...
Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. Takže táto séria je pokroková.
Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel Hlavná prednosťčo je, že nasledujúce číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením nejakým konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.
a z +1 =a z q, kde z je číslo vybraného prvku.
Preto z ∈ N.
Obdobie, kedy sa na škole študuje geometrická progresia- 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:
Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.
Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.
Ak chcete určiť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.
Odrody
V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:
- Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrickou postupnosťou, ktorá sa zvyšuje s každým ďalším prvkom. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.
Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.
Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:
3 6 12 24 48 ...
- Ak |q| menej ako jeden, teda násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je postupnosť s podobnými podmienkami klesajúca geometrická postupnosť. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.
Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.
Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:
6 2 2/3 ... - ktorýkoľvek prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.
- Znamenková premenná. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Príklad: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.
Potom môže byť postupnosť napísaná takto:
3, 6, -12, 24,...
Vzorce
Pre pohodlné používanie geometrických postupností existuje veľa vzorcov:
- Vzorec z-tého člena. Umožňuje vypočítať prvok pod konkrétnym číslom bez výpočtu predchádzajúcich čísel.
Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné vypočítať štvrtý prvok progresie.
rozhodnutie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Súčet prvých prvkov, ktorých číslo je z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.
Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, teda q sa nerovná 1.
Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola radom nekonečne sa opakujúcich čísel.
Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S 5 .
rozhodnutie:S 5 = 22 - výpočet podľa vzorca.
- Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite množstvo.
rozhodnutie:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Niektoré vlastnosti:
- charakteristickú vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka vykonávané pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Druhá mocnina ľubovoľného čísla geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín akýchkoľvek ďalších dvoch čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kdetje vzdialenosť medzi týmito číslami.
- Prvkylíšia sa v qraz.
- Logaritmy prvkov postupu tiež tvoria postup, ale už aritmetický, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.
Príklady niektorých klasických problémov
Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešením pre 9. ročník.
- Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.
Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť prostredníctvom iných pomocou menovateľa.
tedaa 3 = q 2 · a 1
Pri striedaníq= 4
- Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S6.
rozhodnutie:Na to stačí nájsť q, prvý prvok a dosadiť ho do vzorca.
a 3 = q· a 2 , teda,q= 2
a 2 = q a 1,Preto a 1 = 3
S6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.
Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Príklad aplikácie:
- Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, za podmienok ktorej klient každý rok pridá 6% z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?
Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. Takže rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:
(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000
To znamená, že každý rok sa táto suma zvyšuje 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc, a menovateľom rovným 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625
Príklady úloh na výpočet súčtu:
V rôznych úlohách sa používa geometrická postupnosť. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:
a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS5.
Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.
rozhodnutie:
Geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu musíte prvok poznaťa 1 a menovateľq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Podobne musíme nájsťa 1 , vediaca 2 aq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti, t.j. každý člen sa od predchádzajúceho líši q-krát. (Budeme predpokladať, že q ≠ 1, inak je všetko príliš triviálne). Je ľahké vidieť, že všeobecný vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je b n = b 1 q n – 1 ; členy s číslami b n a b m sa líšia o q n – m krát.Už v starovekom Egypte poznali nielen aritmetický, ale aj geometrický postup. Tu je napríklad úloha z Rhindovho papyrusu: „Sedem tvárí má sedem mačiek; každá mačka zje sedem myší, každá myš zje sedem klasov kukurice, z každého klasu vyrastie sedem meríc jačmeňa. Aké veľké sú čísla v tomto rade a ich súčet?
 |
|
Ryža. 1. Problém geometrickej postupnosti starovekého Egypta |
Táto úloha sa opakovala mnohokrát s rôznymi obmenami medzi inými národmi inokedy. Napríklad v písomnej forme v XIII storočia. „Kniha počítadla“ od Leonarda z Pisy (Fibonacci) má problém, v ktorom sa na ceste do Ríma objavuje 7 starých žien (samozrejme pútnikov), z ktorých každá má 7 mulíc, z ktorých každá má 7 vriec, z ktorých každá obsahuje 7 chlebov, z ktorých každý má 7 nožov, z ktorých každý je v 7 pošvách. Problém sa pýta, koľko položiek je tam.
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Tento vzorec možno dokázať napríklad takto: Sn \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Pridajme číslo b 1 q n k S n a dostaneme:
|
Preto S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) a dostaneme potrebný vzorec.
Už na jednej z hlinených tabuliek starovekého Babylonu, ktoré sa datujú do VI. storočia. pred Kr obsahuje súčet 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Je pravda, že ako v mnohých iných prípadoch, nevieme, odkiaľ bola táto skutočnosť Babylončanom známa. .
Rýchly rast geometrickej progresie v mnohých kultúrach, najmä v Indii, sa opakovane používa ako vizuálny symbol nesmiernosti vesmíru. V známej legende o vzhľade šachu dáva vládca ich vynálezcovi možnosť, aby si sám vybral odmenu a žiadal taký počet pšeničných zŕn, aké sa získajú, ak sa jedno umiestni na prvé políčko šachovnice. , dva na druhom, štyri na treťom, osem na štvrtom atď., zakaždým, keď sa číslo zdvojnásobí. Vladyka si myslel, že je to nanajvýš pár vriec, ale prerátal sa. Je ľahké vidieť, že za všetkých 64 polí na šachovnici mal vynálezca dostať (2 64 - 1) zrno, ktoré je vyjadrené ako 20-miestne číslo; aj keby bol zasiaty celý povrch Zeme, nazbieranie potrebného množstva zŕn by trvalo minimálne 8 rokov. Táto legenda je niekedy interpretovaná ako odkaz na takmer neobmedzené možnosti skryté v šachovej hre.
Skutočnosť, že toto číslo je skutočne 20-miestne, je ľahko vidieť:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (presnejší výpočet dáva 1,84 10 19). Zaujímalo by ma však, či môžete zistiť, akou číslicou toto číslo končí?
Geometrická progresia je rastúca, ak je menovateľ väčší ako 1 v absolútnej hodnote, alebo klesajúca, ak je menšia ako jedna. V druhom prípade sa číslo q n môže stať ľubovoľne malým pre dostatočne veľké n. Zatiaľ čo rastúca exponenciála rastie nečakane rýchlo, klesajúca exponenciála klesá rovnako rýchlo.
Čím väčšie n, tým slabšie sa číslo q n líši od nuly a čím bližšie je súčet n členov geometrickej progresie S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) k číslu S \u003d b 1 / (1 - q). (Takto to zdôvodnil napríklad F. Viet). Číslo S sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti. Avšak po mnoho storočí otázka, aký je význam súčtu VŠETKÝCH geometrických postupov s nekonečným počtom pojmov, nebola matematikom dostatočne jasná.
Klesajúcu geometrickú progresiu možno vidieť napríklad v Zenónových apóriách „Hrýzanie“ a „Achilles a korytnačka“. V prvom prípade je jasne ukázané, že celá cesta (predpokladajme dĺžku 1) je súčtom nekonečného počtu segmentov 1/2, 1/4, 1/8 atď. Takto to, samozrejme, z pohľadu predstáv o konečnom súčte nekonečnej geometrickej postupnosti. A predsa - ako je to možné?
|
Ryža. 2. Progresia s faktorom 1/2 |
V apórii o Achillovi je situácia trochu komplikovanejšia, pretože tu sa menovateľ postupu nerovná 1/2, ale nejakému inému číslu. Nech napríklad Achilles beží rýchlosťou v, korytnačka sa pohybuje rýchlosťou u a počiatočná vzdialenosť medzi nimi je l. Achilles prebehne túto vzdialenosť za čas l/v, korytnačka sa za tento čas posunie o vzdialenosť lu/v. Keď Achilles prebehne týmto segmentom, vzdialenosť medzi ním a korytnačkou sa bude rovnať l (u / v) 2 atď. Ukazuje sa, že dobehnúť korytnačku znamená nájsť súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie s prvou výraz l a menovateľ u / v. Tento súčet - segment, ktorý Achilles nakoniec prebehne k bodu stretnutia s korytnačkou - sa rovná l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ale opäť, ako by sa mal tento výsledok interpretovať a prečo má vôbec zmysel, nebolo dlho jasné.
|
Ryža. 3. Geometrická progresia s koeficientom 2/3 |
Súčet geometrickej progresie použil Archimedes pri určovaní plochy segmentu paraboly. Nech je daný úsek paraboly ohraničený tetivou AB a dotyčnica v bode D paraboly nech je rovnobežná s AB . Nech C je stred AB , E stred AC , F stred CB . Nakreslite čiary rovnobežné s DC cez body A, E, F, B; nech je dotyčnica nakreslená v bode D , tieto čiary sa pretínajú v bodoch K , L , M , N . Nakreslíme aj segmenty AD a DB. Nech priamka EL pretína priamku AD v bode G a parabolu v bode H; priamka FM pretína priamku DB v bode Q a parabolu v bode R. Podľa všeobecnej teórie kužeľosečiek je DC priemer paraboly (to znamená úsečka rovnobežná s jej osou); ona a dotyčnica v bode D môžu slúžiť ako súradnicové osi x a y, v ktorých je rovnica paraboly zapísaná ako y 2 \u003d 2px (x je vzdialenosť od D k akémukoľvek bodu daného priemeru, y je dĺžka a segment rovnobežný s danou dotyčnicou z tohto bodu priemeru do nejakého bodu na samotnej parabole).
Na základe parabolickej rovnice je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a keďže DK = 2DL , potom KA = 4LH . Pretože KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly sa rovná ploche trojuholníka ΔADB a kombinovaným plochám segmentov AHD a DRB. Na druhej strane plocha segmentu AHD sa podobne rovná ploche trojuholníka AHD a zvyšným segmentom AH a HD, s každým z nich je možné vykonať rovnakú operáciu - rozdeliť na trojuholník (Δ) a dva zostávajúce segmenty () atď.:
Plocha trojuholníka ΔAHD sa rovná polovici plochy trojuholníka ΔALD (majú spoločnú základňu AD a výšky sa líšia 2-krát), čo sa zase rovná polovici plochy trojuholník ΔAKD, a teda polovicu plochy trojuholníka ΔACD. Plocha trojuholníka ΔAHD sa teda rovná štvrtine plochy trojuholníka ΔACD. Podobne plocha trojuholníka ΔDRB sa rovná štvrtine plochy trojuholníka ΔDFB. Plochy trojuholníkov ∆AHD a ∆DRB sa teda spolu rovnajú štvrtine plochy trojuholníka ∆ADB. Opakovaním tejto operácie aplikovanej na segmenty AH, HD, DR a RB sa z nich vyberú aj trojuholníky, ktorých plocha bude spolu 4-krát menšia ako plocha trojuholníkov ΔAHD a ΔDRB, spolu, a teda 16-krát menej, ako je plocha trojuholníka ΔADB . Atď:
Archimedes teda dokázal, že „každý segment uzavretý medzi priamkou a parabolou je štyrmi tretinami trojuholníka a má rovnakú základňu a rovnakú výšku“.
Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je veľmi jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo všeobecnosti. Ale pre vzorec n-tého člena sú najrôznejšie problémy – od veľmi primitívnych až po celkom vážne. A v procese nášho zoznámenia určite zvážime oboch. No, stretneme sa?)
Takže pre začiatok vlastne vzorecn
Tu je:
b n = b 1 · q n -1
Vzorec ako vzorec, nič nadprirodzené. Vyzerá ešte jednoduchšie a kompaktnejšie ako podobný vzorec pre . Význam vzorca je tiež jednoduchý, ako plstená čižma.
Tento vzorec vám umožňuje nájsť AKÝKOĽVEK člen geometrickej progresie PODĽA JEHO ČÍSLA “ n".
Ako vidíte, význam je úplná analógia s aritmetickým postupom. Poznáme číslo n – pod týmto číslom vieme vypočítať aj člen. Čo chceme. Nenásobenie sekvenčne "q" mnohokrát. To je celá pointa.)
Chápem, že na tejto úrovni práce s postupmi by vám už mali byť jasné všetky množstvá zahrnuté vo vzorci, ale považujem za svoju povinnosť každé rozlúštiť. Keby niečo.
Tak, poďme:
b 1 – najprvčlen geometrickej progresie;
q – ;
n– členské číslo;
b n – n-tý (nth)člen geometrickej postupnosti.
Tento vzorec spája štyri hlavné parametre akejkoľvek geometrickej progresie - bn, b 1 , q a n. A okolo týchto štyroch kľúčových postáv sa točia všetky úlohy.
"A ako sa zobrazuje?"- Počujem zvedavú otázku... Základná! Pozri!
Čo sa rovná druhý postupový člen? Žiaden problém! Píšeme priamo:
b 2 = b 1 q
A tretí člen? Tiež nie je problém! Vynásobíme druhý člen opäť zapnutéq.
Páči sa ti to:
B 3 \u003d b 2 q
Pripomeňme si teraz, že druhý člen sa rovná b 1 q a dosaďte tento výraz do našej rovnosti:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Dostaneme:
B 3 = b 1 q 2
Teraz si prečítajte náš záznam v ruštine: tretiačlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in druhý stupňa. Máš to? Ešte nie? Dobre, ešte jeden krok.
Aký je štvrtý termín? Všetky rovnaké! Vynásobte predchádzajúce(t. j. tretí termín) dňa q:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Celkom:
B 4 = b 1 q 3
A opäť prekladáme do ruštiny: štvrtýčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in tretí stupňa.
Atď. Tak ako? Zachytili ste vzor? Áno! Pre každý člen s ľubovoľným číslom bude počet rovnakých faktorov q (t. j. mocnina menovateľa) vždy o jeden menej ako je počet požadovaného členan.
Preto bude náš vzorec bez možností:
b n =b 1 · q n -1
To je všetko.)
No, poďme riešiť problémy, dobre?)
Riešenie úloh na vzorcinčlen geometrickej progresie.
Začnime ako obvykle priamou aplikáciou vzorca. Tu je typický problém:
Je známe exponenciálne, že b 1 = 512 a q = -1/2. Nájdite desiaty termín postupu.
Samozrejme, tento problém sa dá vyriešiť úplne bez vzorcov. Rovnako ako geometrický postup. Ale musíme sa zahriať vzorcom n-tého termínu, však? Tu sa rozchádzame.
Naše údaje na aplikáciu vzorca sú nasledovné.
Prvý termín je známy. Toto je 512.
b 1 = 512.
Známy je aj menovateľ progresie: q = -1/2.
Zostáva len zistiť, čomu sa rovná číslo člena n. Žiaden problém! Máme záujem o desiaty termín? Vo všeobecnom vzorci teda dosadíme desať namiesto n.
A starostlivo vypočítajte aritmetiku:
odpoveď: -1
Ako vidíte, desiaty termín postupu dopadol s mínusom. Nečudo: menovateľ progresie je -1/2, t.j. negatívnečíslo. A to nám hovorí, že znaky našej progresie sa striedajú, áno.)
Všetko je tu jednoduché. A tu je podobný problém, ale trochu komplikovanejší z hľadiska výpočtov.
Pri geometrickom postupe vieme, že:
b 1 = 3
Nájdite trinásty termín postupu.
Všetko je rovnaké, len tentoraz menovateľ postupu - iracionálny. Koreň dvoch. No nič veľké. Vzorec je univerzálna vec, poradí si s akýmikoľvek číslami.
Pracujeme priamo podľa vzorca:
Vzorec samozrejme fungoval tak, ako mal, ale ... tu budú niektoré visieť. Čo ďalej robiť s koreňom? Ako pozdvihnúť koreň do dvanástej moci?
Ako-ako ... Musíte pochopiť, že akýkoľvek vzorec je, samozrejme, dobrá vec, ale znalosti všetkej predchádzajúcej matematiky nie sú zrušené! Ako zvýšiť? Áno, pamätajte na vlastnosti stupňov! Zmeňme koreň na zlomkový stupeň a - pomocou vzorca pozdvihnutia moci na moc.
Páči sa ti to:
odpoveď: 192
A všetky veci.)
Aký je hlavný problém priameho použitia vzorca n-tého členu? Áno! Hlavnou ťažkosťou je pracujte s titulmi! A to umocňovanie záporných čísel, zlomkov, odmocniny a podobné konštrukcie. Takže tí, ktorí s tým majú problémy, naliehavá žiadosť o opakovanie stupňov a ich vlastností! Inak v tejto téme spomalíš, áno ...)
Teraz poďme vyriešiť typické problémy s vyhľadávaním jeden z prvkov vzorca ak sú dané všetky ostatné. Na úspešné riešenie takýchto problémov je recept jednoduchý a jednoduchý až hrôza - napíš vzorecnčlen vo všeobecnosti! Hneď v zošite vedľa stavu. A potom z podmienky prídeme na to, čo nám je dané a čo nestačí. A zo vzorca vyjadríme požadovanú hodnotu. Všetko!
Napríklad taký neškodný problém.
Piaty člen geometrickej postupnosti s menovateľom 3 je 567. Nájdite prvý člen tejto postupnosti.
Nič zložité. Pracujeme priamo podľa kúzla.
Napíšeme vzorec n-tého člena!
b n = b 1 · q n -1
Čo je nám dané? Najprv je daný menovateľ progresie: q = 3.
Navyše sme dané piate volebné obdobie: b 5 = 567 .
Všetko? nie! Je nám dané aj číslo n! Toto je päťka: n = 5.
Dúfam, že ste už pochopili, čo je v zázname b 5 = 567 dva parametre sú skryté naraz - toto je samotný piaty člen (567) a jeho číslo (5). V podobnej lekcii som o tom už hovoril, ale myslím, že nie je zbytočné to tu pripomínať.)
Teraz dosadíme naše údaje do vzorca:
567 = b 1 3 5-1
Zvažujeme aritmetiku, zjednodušíme a získame jednoduchú lineárnu rovnicu:
81 b 1 = 567
Riešime a dostaneme:
b 1 = 7
Ako vidíte, s nájdením prvého člena nie sú žiadne problémy. Ale pri hľadaní menovateľa q a čísla n môžu nastať prekvapenia. A tiež musíte byť na ne pripravení (prekvapenia), áno.)
Napríklad takýto problém:
Piaty člen geometrickej postupnosti s kladným menovateľom je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.
Tentoraz dostaneme prvého a piateho člena a požiadame, aby sme našli menovateľa postupu. Tu začíname.
Napíšeme vzorecnčlen!
b n = b 1 · q n -1
Naše počiatočné údaje budú nasledovné:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nedostatočná hodnota q. Žiaden problém! Poďme to teraz nájsť.) Do vzorca dosadíme všetko, čo vieme.
Dostaneme:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednoduchá rovnica štvrtého stupňa. Ale teraz - opatrne! V tejto fáze riešenia mnohí študenti okamžite s radosťou vytiahnu koreň (štvrtého stupňa) a dostanú odpoveď q=3 .
Páči sa ti to:
q4 = 81
q = 3
Ale vo všeobecnosti je to nedokončená odpoveď. Alebo skôr neúplné. prečo? Ide o to, že odpoveď q = -3 tiež sa hodí: (-3) 4 by bolo tiež 81!
Je to kvôli mocenskej rovnici x n = a vždy má dva protiľahlé korene pri dokoncan . Plus a mínus:
Obaja sa hodia.
Napríklad riešenie (t.j. druhý stupne)
x2 = 9
Z nejakého dôvodu nie ste prekvapení vzhľadom dva korene x=±3? Tu je to rovnaké. A s akoukoľvek inou dokonca stupňa (štvrtého, šiesteho, desiateho atď.) budú rovnaké. Podrobnosti - v téme o
Takže správne riešenie by bolo:
q 4 = 81
q= ±3
Dobre, znamenia sme zistili. Ktorá je správna - plus alebo mínus? Pri hľadaní sme si znova prečítali stav problému Ďalšie informácie. To, samozrejme, nemusí existovať, ale v tomto probléme takéto informácie k dispozícii. V našom stave je priamo uvedené, že progresia je daná s kladný menovateľ.
Takže odpoveď je jasná:
q = 3
Všetko je tu jednoduché. Čo si myslíte, že by sa stalo, keby problémové vyhlásenie bolo takéto:
Piaty člen geometrickej postupnosti je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.
Aký je rozdiel? Áno! V stave ničžiadna zmienka o menovateli. Ani priamo, ani nepriamo. A tu by už problém nastal dve riešenia!
q = 3 a q = -3
Áno áno! A s plusom a mínusom.) Matematicky by tento fakt znamenal, že existujú dve progresie ktoré zodpovedajú úlohe. A pre každého - jeho vlastný menovateľ. Pre zábavu si precvičte a zapíšte si prvých päť termínov každého z nich.)
Teraz si precvičme hľadanie čísla člena. Toto je najťažšie, áno. Ale aj kreatívnejší.
Vzhľadom na geometrický priebeh:
3; 6; 12; 24; …
Aké číslo je 768 v tomto postupe?
Prvý krok je rovnaký: napíš vzorecnčlen!
b n = b 1 · q n -1
A teraz, ako obvykle, do nej dosadíme nám známe údaje. Hm... to nesedí! Kde je prvý člen, kde je menovateľ, kde je všetko ostatné?!
Kde, kde... Prečo potrebujeme oči? Mihalnice? Tentoraz nám je postup daný priamo vo formulári sekvencie. Môžeme vidieť prvý termín? Vidíme! Toto je trojica (b 1 = 3). A čo menovateľ? Zatiaľ to nevidíme, ale dá sa to veľmi ľahko spočítať. Ak, samozrejme, rozumiete.
Tu uvažujeme. Priamo podľa významu geometrickej postupnosti: vezmeme ktorýkoľvek z jej členov (okrem prvého) a vydelíme predchádzajúcim.
Aspoň takto:
q = 24/12 = 2
Čo ešte vieme? Tiež poznáme nejaký člen tejto postupnosti, rovný 768. Pod nejakým číslom n:
b n = 768
Nepoznáme jeho číslo, ale našou úlohou je práve ho nájsť.) Takže hľadáme. Vo vzorci sme už stiahli všetky potrebné údaje na substitúciu. Nebadane.)
Tu nahrádzame:
768 = 3 2n -1
Urobíme elementárne - obe časti vydelíme tromi a rovnicu prepíšeme do zaužívaného tvaru: vľavo neznáma, vpravo známa.
Dostaneme:
2 n -1 = 256
Tu je zaujímavá rovnica. Musíme nájsť "n". čo je nezvyčajné? Áno, nehádam sa. V skutočnosti je to najjednoduchšie. Nazýva sa tak, pretože neznáma (v tomto prípade je to číslo n) zastáva indikátor stupňa.
V štádiu oboznamovania sa s geometrickým postupom (to je deviaty ročník) sa exponenciálne rovnice neučia riešiť, áno... Toto je téma pre strednú školu. Ale nie je nič strašné. Aj keď neviete, ako sa takéto rovnice riešia, skúsme nájsť naše n vedený jednoduchou logikou a zdravým rozumom.
Začíname diskutovať. Na ľavej strane máme dvojku do určitej miery. Zatiaľ nevieme, čo presne je tento stupeň, ale nie je to strašidelné. Ale na druhej strane pevne vieme, že tento stupeň sa rovná 256! Pamätáme si teda, do akej miery nám dvojka dáva 256. Pamätáte si? Áno! AT ôsmy stupňa!
256 = 2 8
Ak ste si nepamätali alebo s rozpoznaním stupňov problému, potom je to tiež v poriadku: jednoducho postupne zvyšujeme dvojku na štvorec, na kocku, na štvrtú mocninu, piatu atď. Výber je v skutočnosti, ale na tejto úrovni, celkom jazda.
Tak či onak dostaneme:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Takže 768 je deviatyčlenom našej progresie. To je všetko, problém vyriešený.)
odpoveď: 9
Čo? nuda? Ste unavení zo základnej? Súhlasím. Ja tiež. Poďme na ďalšiu úroveň.)
Zložitejšie úlohy.
A teraz riešime hádanky prudšie. Nie úplne super-cool, ale na ktorom musíte trochu popracovať, aby ste sa dostali k odpovedi.
Napríklad takto.
Nájdite druhý člen geometrickej postupnosti, ak jej štvrtý člen je -24 a siedmy člen je 192.
Toto je klasika žánru. Niektorí dvaja rôzni členovia progresie sú známi, ale musí sa nájsť ešte jeden člen. Navyše všetci členovia NIE SÚ susedia. Čo na prvý pohľad zmätie, áno...
Rovnako ako v , uvažujeme o dvoch spôsoboch riešenia takýchto problémov. Prvý spôsob je univerzálny. Algebraické. Funguje bezchybne s akýmikoľvek zdrojovými údajmi. Takže tam začneme.)
Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!
Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe. Iba tentoraz pracujeme ďalší všeobecný vzorec. To je všetko.) Ale podstata je rovnaká: berieme a v poradí dosadíme naše počiatočné údaje do vzorca n-tého člena. Pre každého člena - ich vlastné.
Pre štvrtý termín píšeme:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
existuje. Jedna rovnica je hotová.
Pre siedmy termín píšeme:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Celkovo boli získané dve rovnice pre rovnaký progres .
Z nich zostavíme systém:
Napriek svojmu impozantnému vzhľadu je systém pomerne jednoduchý. Najzrejmejším spôsobom riešenia je obvyklá substitúcia. Vyjadrujeme sa b 1 z hornej rovnice a dosaďte do spodnej rovnice:
Malé pohrávanie sa s nižšou rovnicou (zníženie exponentov a delenie číslom -24) vedie k:
q 3 = -8
Mimochodom, k rovnakej rovnici sa dá dospieť aj jednoduchším spôsobom! Čo? Teraz vám ukážem ďalší tajný, ale veľmi krásny, výkonný a užitočný spôsob riešenia takýchto systémov. Takéto sústavy, v rovniciach ktorých sedia iba funguje. Aspoň v jednom. volal metóda delenia termínov jedna rovnica k druhej.
Takže máme systém:
V oboch rovniciach vľavo - práca a na pravej strane je len číslo. Toto je veľmi dobré znamenie.) Zoberme a ... vydeľme, povedzme, spodnú rovnicu hornou! Čo znamená, rozdeliť jednu rovnicu druhou? Veľmi jednoduché. Berieme ľavá strana jedna rovnica (nižšia) a delíme sa ju na ľavá strana iná rovnica (horná). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnica delíme sa na pravá stranaďalší.
Celý proces rozdelenia vyzerá takto:
Teraz, znížením všetkého, čo je znížené, dostaneme:
q 3 = -8
Čo je na tejto metóde dobré? Áno, pretože v procese takéhoto delenia sa dá všetko zlé a nepohodlné bezpečne zredukovať a zostane úplne neškodná rovnica! Preto je také dôležité mať iba násobenia aspoň v jednej z rovníc systému. Neexistuje žiadne násobenie - nie je čo znižovať, áno ...
Vo všeobecnosti si táto metóda (ako mnohé iné netriviálne spôsoby riešenia systémov) dokonca zaslúži samostatnú lekciu. Určite sa na to pozriem bližšie. Raz…
Bez ohľadu na to, ako vyriešite systém, v každom prípade teraz musíme vyriešiť výslednú rovnicu:
q 3 = -8
Žiadny problém: vytiahneme koreň (kubický) a - hotovo!
Upozorňujeme, že pri extrakcii tu nie je potrebné zadávať plus/mínus. Máme nepárny (tretí) koreň. A odpoveď je rovnaká, áno.
Nájdeme teda menovateľa progresie. Mínus dva. Dobre! Proces prebieha.)
Pre prvý člen (povedzme z hornej rovnice) dostaneme:
Dobre! Poznáme prvý člen, poznáme menovateľa. A teraz máme možnosť nájsť ktoréhokoľvek člena progresie. Vrátane toho druhého.)
Pre druhého člena je všetko celkom jednoduché:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Odpoveď: -6
Takže sme vyriešili algebraický spôsob riešenia problému. Zložité? Nič moc, súhlasím. Dlhé a nudné? Áno, určite. Ale niekedy môžete výrazne znížiť množstvo práce. Pre toto existuje grafickým spôsobom. Staré dobré a známe od .)
Nakreslíme problém!
Áno! presne tak. Opäť znázorňujeme náš postup na číselnej osi. Nie nevyhnutne pravítkom, nie je potrebné udržiavať rovnaké intervaly medzi členmi (ktoré, mimochodom, nebudú rovnaké, pretože postup je geometrický!), Ale jednoducho schematicky nakreslite našu postupnosť.
Mám to takto:
Teraz sa pozrite na obrázok a premýšľajte. Koľko rovnakých faktorov zdieľa "q". štvrtý a siedmyčlenov? Správne, tri!
Preto máme plné právo napísať:
-24q 3 = 192
Odtiaľto je teraz ľahké nájsť q:
q 3 = -8
q = -2
To je skvelé, menovateľ už máme vo vrecku. A teraz sa znova pozrieme na obrázok: koľko takýchto menovateľov sedí medzi nimi druhý a štvrtýčlenov? Dva! Preto, aby sme zaznamenali vzťah medzi týmito členmi, zdvihneme menovateľa štvorec.
Tu píšeme:
b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2
Náš nájdený menovateľ dosadíme do výrazu pre b 2 , spočítame a dostaneme:
Odpoveď: -6
Ako vidíte, všetko je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako cez systém. Navyše, tu sme vôbec nemuseli počítať prvý termín! Vôbec.)
Tu je taký jednoduchý a vizuálny spôsob svetla. Má to však aj vážnu nevýhodu. Uhádli ste? Áno! Je to dobré len pre veľmi krátke úseky progresie. Tie, kde vzdialenosti medzi členmi, ktoré nás zaujímajú, nie sú príliš veľké. Ale vo všetkých ostatných prípadoch je už ťažké nakresliť obrázok, áno... Potom problém riešime analyticky, cez systém.) A systémy sú univerzálna vec. Vyrovnajte sa s ľubovoľným číslom.
Ďalší epický:
Druhý člen geometrickej postupnosti je o 10 viac ako prvý a tretí člen je o 30 viac ako druhý. Nájdite menovateľa postupu.
čo je super? Vôbec nie! Všetky rovnaké. Opäť preložíme podmienku problému do čistej algebry.
1) Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!
Druhý člen: b 2 = b 1 q
Tretí termín: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Vypíšeme vzťah medzi členmi z podmienky problému.
Čítanie stavu: "Druhý člen geometrickej progresie je o 10 viac ako prvý." Prestaňte, toto je cenné!
Takže píšeme:
b 2 = b 1 +10
A túto frázu preložíme do čistej matematiky:
b 3 = b 2 +30
Dostali sme dve rovnice. Spájame ich do systému:
Systém vyzerá jednoducho. Existuje však veľa rôznych indexov pre písmená. Dosadme namiesto druhého a tretieho člena ich vyjadrenie cez prvý člen a menovateľ! Darmo, alebo čo, namaľovali sme ich?
Dostaneme:
Ale taký systém už nie je dar, áno ... Ako to vyriešiť? Bohužiaľ, univerzálne tajné kúzlo na vyriešenie komplexu nelineárne V matematike systémy neexistujú a ani nemôžu byť. To je fantastické! Prvá vec, ktorá by vás však mala napadnúť pri pokuse o rozlúsknutie takéhoto tvrdého orieška, je prísť na to Nie je však jedna z rovníc systému zredukovaná do krásnej podoby, ktorá uľahčuje napríklad vyjadrenie jednej z premenných pomocou inej?
Poďme hádať. Prvá rovnica systému je jednoznačne jednoduchšia ako druhá. Budeme ho mučiť.) Prečo to neskúsiť z prvej rovnice niečo vyjadriť cez niečo? Keďže chceme nájsť menovateľa q, vtedy by bolo pre nás najvýhodnejšie vyjadriť b 1 cez q.
Skúsme teda urobiť tento postup s prvou rovnicou, pričom použijeme tie staré dobré:
b1q = b1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b1 (q-1) = 10
Všetko! Tu sme sa vyjadrili zbytočné nám premennú (b 1) cez nevyhnutné(q). Áno, nie práve najjednoduchší výraz. Nejaký zlomok... Ale náš systém má slušnú úroveň, áno.)
Typické. Čo robiť - vieme.
Píšeme ODZ (nevyhnutne!) :
q ≠ 1
Všetko vynásobíme menovateľom (q-1) a zredukujeme všetky zlomky:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Všetko rozdelíme desiatimi, otvoríme zátvorky, zhromaždíme všetko vľavo:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Vyriešime výsledok a získame dva korene:
q 1 = 1
q 2 = 3
Existuje len jedna konečná odpoveď: q = 3 .
odpoveď: 3
Ako vidíte, spôsob riešenia väčšiny problémov pre vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je vždy rovnaký: čítame pozorne stav problému a pomocou vzorca n-tého členu preložíme všetky užitočné informácie do čistej algebry.
menovite:
1) Každý člen uvedený v úlohe píšeme samostatne podľa vzorcančlen.
2) Z podmienky úlohy preložíme spojenie medzi členmi do matematického tvaru. Zostavíme rovnicu alebo sústavu rovníc.
3) Vyriešime výslednú rovnicu alebo sústavu rovníc, nájdeme neznáme parametre postupu.
4) V prípade nejednoznačnej odpovede si pozorne prečítame stav problému pri hľadaní dodatočných informácií (ak existujú). Prijatú odpoveď kontrolujeme aj s podmienkami ODZ (ak existujú).
A teraz uvádzame hlavné problémy, ktoré najčastejšie vedú k chybám v procese riešenia úloh geometrickej progresie.
1. Základná aritmetika. Operácie so zlomkami a zápornými číslami.
2. Ak je aspoň jeden z týchto troch bodov problém, potom sa v tejto téme nevyhnutne pomýlite. Bohužiaľ... Nebuďte preto leniví a zopakujte to, čo bolo spomenuté vyššie. A postupujte podľa odkazov - choďte. Niekedy to pomôže.)
Upravené a opakujúce sa vzorce.
A teraz sa pozrime na pár typických problémov pri skúške s menej známou prezentáciou stavu. Áno, áno, uhádli ste! Toto je upravené a opakujúci vzorce n-tého člena. S takýmito vzorcami sme sa už stretli a pracovali sme v aritmetickom postupe. Všetko je tu podobné. Podstata je rovnaká.
Napríklad taký problém od OGE:
Geometrická postupnosť je daná vzorcom b n = 32 n . Nájdite súčet prvého a štvrtého člena.
Tentoraz sa nám postup priznáva nie celkom ako obvykle. Nejaký druh vzorca. No a čo? Tento vzorec je aj vzorecnčlen! Všetci vieme, že vzorec n-tého členu môže byť napísaný vo všeobecnej forme, prostredníctvom písmen a pre špecifická progresia. S špecifické prvý termín a menovateľ.
V našom prípade sme v skutočnosti dostali všeobecný termínový vzorec pre geometrickú postupnosť s nasledujúcimi parametrami:
b 1 = 6
q = 2
Skontrolujeme?) Napíšeme vzorec n-tého člena vo všeobecnom tvare a dosadíme do neho b 1 a q. Dostaneme:
b n = b 1 · q n -1
b n= 62n -1
Zjednodušíme pomocou faktorizácie a mocninových vlastností a získame:
b n= 62n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n
Ako vidíte, všetko je fér. Ale naším cieľom s vami nie je demonštrovať odvodenie konkrétneho vzorca. Toto je taká lyrická odbočka. Čisto pre pochopenie.) Naším cieľom je vyriešiť problém podľa vzorca, ktorý nám je daný v podmienke. Chytáte to?) Takže pracujeme priamo s upraveným vzorcom.
Počítame prvý termín. Náhradník n=1 do všeobecného vzorca:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Páči sa ti to. Mimochodom, nie som lenivý a ešte raz vás upozorním na typický trapas s výpočtom prvého termínu. NEPOZERAJTE sa na vzorec b n= 32n, hneď sa ponáhľaj napísať, že prvým členom je trojka! Je to veľká chyba, áno...)
Pokračujeme ďalej. Náhradník n=4 a zvážte štvrtý výraz:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
A nakoniec vypočítame požadované množstvo:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
odpoveď: 54
Iný problém.
Geometrická postupnosť je daná podmienkami:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Nájdite štvrtý termín postupu.
Tu je progresia daná opakujúcim sa vzorcom. No dobre.) Ako pracovať s týmto vzorcom - tiež vieme.
Tu konáme. Krok za krokom.
1) počítanie dvoch postupnéčlen progresu.
Prvý termín je nám už daný. Mínus sedem. Ale ďalší, druhý člen, sa dá ľahko vypočítať pomocou rekurzívneho vzorca. Ak rozumiete, ako to funguje, samozrejme.)
Tu uvažujeme o druhom termíne podľa slávneho prvého:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Berieme do úvahy menovateľa progresie
Tiež žiadny problém. Priamo, zdieľaj druhýčurák na najprv.
Dostaneme:
q = -21/(-7) = 3
3) Napíšte vzorecnčlen v obvyklom tvare a zvážte požadovaný člen.
Takže poznáme prvý výraz, aj menovateľa. Tu píšeme:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -727 = -189
Odpoveď: -189
Ako vidíte, práca s takýmito vzorcami pre geometrickú progresiu sa v podstate nelíši od tej pre aritmetickú progresiu. Dôležité je len pochopiť všeobecnú podstatu a význam týchto vzorcov. Nuž, význam geometrickej postupnosti tiež treba pochopiť, áno.) A potom nebudú žiadne hlúpe chyby.
No, poďme sa rozhodnúť sami?)
Celkom základné úlohy na zahriatie:
1. Vzhľadom na geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 243 a q = -2/3. Nájdite šiesty termín postupu.
2. Spoločný člen geometrickej postupnosti je daný vzorcom b n = 5∙2 n +1 . Nájdite číslo posledného trojciferného člena tohto postupu.
3. Geometrická postupnosť je daná podmienkami:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Nájdite piaty termín postupu.
Trochu komplikovanejšie:
4. Daná geometrická postupnosť:
b 1 =2048; q =-0,5
Aký je jej šiesty negatívny výraz?
Čo sa zdá byť super ťažké? Vôbec nie. Logika a pochopenie významu geometrickej progresie ušetrí. No, vzorec n-tého členu, samozrejme.
5. Tretí člen geometrickej postupnosti je -14 a ôsmy člen je 112. Nájdite menovateľa postupnosti.
6. Súčet prvého a druhého člena geometrickej postupnosti je 75 a súčet druhého a tretieho člena geometrickej postupnosti je 150. Nájdite šiesty člen postupnosti.
Odpovede (v neporiadku): 6; -3888; - jeden; 800; -32; 448.
To je skoro všetko. Zostáva len naučiť sa počítať súčet prvých n členov geometrickej postupnostiáno objaviť nekonečne klesajúca geometrická progresia a jeho množstvo. Mimochodom, veľmi zaujímavá a nezvyčajná vec! Viac o tom v ďalších lekciách.)
