Vzorec na nájdenie prvých čísel geometrickej postupnosti. Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti

Pre pohodlie čitateľa sa táto časť riadi presne rovnakým plánom, ako sme postupovali v predchádzajúcej časti.

1. Základné pojmy.

Definícia.Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú odlišné od 0 a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom, sa nazýva geometrická postupnosť. V tomto prípade sa číslo 5 nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je teda číselná postupnosť (b n) daná rekurzívne vzťahmi

Je možné pri pohľade na číselnú postupnosť určiť, či ide o geometrickú postupnosť? Môcť. Ak ste presvedčení, že pomer ktoréhokoľvek člena postupnosti k predchádzajúcemu členu je konštantný, potom máte geometrickú progresiu.
Príklad 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

Príklad 2

Toto je geometrický postup
Príklad 3

Toto je geometrický postup
Príklad 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ide o geometrickú postupnosť, kde b 1 - 8, q = 1.

Upozorňujeme, že táto postupnosť je tiež aritmetickým postupom (pozri príklad 3 z § 15).

Príklad 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Je zrejmé, že geometrická postupnosť je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q > 1 (pozri príklad 1), a klesajúca postupnosť, ak b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Na označenie, že postupnosť (b n) je geometrická progresia, je niekedy vhodný nasledujúci zápis:

Ikona nahrádza frázu „geometrická progresia“.
Všimli sme si jednu zvláštnu a zároveň celkom zjavnú vlastnosť geometrickej postupnosti:
Ak postupnosť je geometrická postupnosť, potom postupnosť štvorcov, t.j. je geometrická progresia.
V druhej geometrickej postupnosti sa prvý člen rovná q 2.
Ak zahodíme všetky členy nasledujúce po b n exponenciálne, dostaneme konečnú geometrickú postupnosť
V nasledujúcich odsekoch tejto časti sa budeme zaoberať najdôležitejšími vlastnosťami geometrickej progresie.

2. Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti.

Zvážte geometrický postup menovateľ q. Máme:

Nie je ťažké uhádnuť, že pre akékoľvek číslo je n rovnosť

Toto je vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Komentujte.

Ak ste čítali dôležitá poznámka z predchádzajúceho odseku a porozumeli ste mu, potom skúste dokázať vzorec (1) matematickou indukciou, rovnako ako to bolo urobené pre vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Prepíšme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti

a zaveďte notáciu: Dostaneme y \u003d mq 2, alebo podrobnejšie,
Argument x je obsiahnutý v exponente, preto sa takáto funkcia nazýva exponenciálna funkcia. To znamená, že geometrickú postupnosť možno považovať za exponenciálnu funkciu danú na množine N prirodzených čísel. Na obr. 96a znázorňuje graf funkcie z obr. 966 - funkčný graf V oboch prípadoch máme izolované body (s x = 1, x = 2, x = 3 atď.) ležiace na nejakej krivke (oba obrázky znázorňujú rovnakú krivku, len inak umiestnenú a znázornenú v rôznych mierkach). Táto krivka sa nazýva exponent. Viac o exponenciálnej funkcii a jej grafe si povieme na kurze algebry pre 11. ročník.

Vráťme sa k príkladom 1-5 z predchádzajúceho odseku.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Urobme vzorec pre n-tý člen
2) Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej sformulujme n-tý člen

Toto je geometrický postup Zostavte vzorec pre n-tý člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Urobme vzorec pre n-tý člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1. Zostavte vzorec pre n-tý člen

Príklad 6

Vzhľadom na geometrický priebeh

Vo všetkých prípadoch je riešenie založené na vzorci n-tého člena geometrickej postupnosti

a) Ak do vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dosadíme n = 6, dostaneme

b) Máme

Od 512 \u003d 2 9 dostaneme n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Máme

Príklad 7

Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 48, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je tiež 48. Nájdite dvanásty člen tejto postupnosti.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.

Podmienky úlohy možno stručne napísať takto:

Pomocou vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dostaneme:
Potom druhú podmienku úlohy (b 7 - b 5 = 48) možno zapísať ako

Tretiu podmienku úlohy (b 5 +b 6 = 48) možno zapísať ako

Výsledkom je systém dvoch rovníc s dvoma premennými b 1 a q:

čo je v kombinácii s podmienkou 1) napísanou vyššie matematickým modelom problému.

Druhá fáza.

Práca so zostaveným modelom. Porovnaním ľavých častí oboch rovníc systému dostaneme:

(obe strany rovnice sme rozdelili na výraz b 1 q 4 , ktorý je odlišný od nuly).

Z rovnice q 2 - q - 2 = 0 zistíme q 1 = 2, q 2 = -1. Dosadením hodnoty q = 2 do druhej rovnice sústavy dostaneme
Dosadením hodnoty q = -1 do druhej rovnice sústavy dostaneme b 1 1 0 = 48; táto rovnica nemá riešenia.

Takže, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tento pár je riešením zostaveného systému rovníc.

Teraz môžeme zapísať predmetnú geometrickú postupnosť: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tretia etapa.

Odpoveď na problémovú otázku. Je potrebné vypočítať b 12 . Máme

Odpoveď: b 12 = 2048.

3. Vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.

Nech existuje konečná geometrická postupnosť

Označme S n súčet jeho členov, t.j.

Odvoďme vzorec na zistenie tohto súčtu.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď q = 1. Potom geometrická postupnosť b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn pozostáva z n čísel rovných b 1, t.j. progresia je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Súčet týchto čísel je nb 1 .

Nech teraz q = 1 Na nájdenie S n použijeme umelú metódu: vykonajte niekoľko transformácií výrazu S n q. Máme:

Pri vykonávaní transformácií sme najprv použili definíciu geometrickej progresie, podľa ktorej (pozri tretí spôsob uvažovania); po druhé, pridali a ubrali, prečo sa význam výrazu, samozrejme, nezmenil (pozri štvrtý riadok úvahy); po tretie, použili sme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti:

Zo vzorca (1) zistíme:

Toto je vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti (pre prípad, keď q = 1).

Príklad 8

Daná konečná geometrická progresia

a) súčet členov postupu; b) súčet druhých mocnín jeho členov.

b) Vyššie (pozri s. 132) sme si už všimli, že ak sú všetky členy geometrickej postupnosti odmocnené, získame geometrickú postupnosť s prvým členom b 2 a menovateľom q 2. Potom sa vypočíta súčet šiestich termínov nového postupu

Príklad 9

Nájdite 8. člen geometrickej postupnosti, pre ktorú

V skutočnosti sme dokázali nasledujúcu vetu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného, v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov. (charakteristická vlastnosť geometrickej progresie).

Geometrická postupnosť spolu s aritmetikou je dôležitá číselný rad, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa budeme zaoberať menovateľom geometrickej progresie a tým, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.

Definícia geometrickej progresie

Najprv si to definujme číselný rad. Geometrická postupnosť je séria racionálne čísla, ktorý vzniká postupným násobením jeho prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.

Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickou postupnosťou, pretože ak vynásobíme 3 (prvý prvok) 2, dostaneme 6. Ak 6 vynásobíme 2, dostaneme 12 a tak ďalej.

Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.

Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v jazyku matematiky takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii uvažovaného radu čísel. V podobných úvahách možno pokračovať veľké hodnoty n.

Menovateľ geometrickej progresie

Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:

b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba modulo, ale zníži sa s prihliadnutím na znamienko čísel.
b = 1. Často sa takýto prípad nenazýva progresia, keďže riadny rad rovnaké racionálne čísla. Napríklad -4, -4, -4.

Vzorec pre sumu

Predtým, ako pristúpime k úvahám o konkrétnych problémoch pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.

Nekonečne klesajúca sekvencia

Vyššie bolo vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1

Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.

Teraz zvážime niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétne čísla.

Úloha číslo 1. Výpočet neznámych prvkov postupu a súčtu

Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Aký bude jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?

Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet prvku s číslom n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Pre súčet použijeme známy vzorec a určíme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov série. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Úloha číslo 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov postupu

Nech -2 je menovateľ exponenciálneho postupu bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.

Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Môžete to vyriešiť pomocou 2 rôzne metódy. Pre úplnosť uvádzame oboje.

Metóda 1. Jej myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých členov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítajte menší súčet: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame veľkú sumu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v posledný výraz zrátané boli len 4 termíny, keďže 5. je už zahrnutý do súčtu, ktorý je potrebné vypočítať podľa stavu problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi členmi m a n príslušného radu. Postupujeme presne tak, ako pri metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením súčtu. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Úloha číslo 3. Aký je menovateľ?

Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.

Podľa stavu problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, za súčet nekonečne klesajúcej progresie. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získajte požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333(3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie modul b nesmie prekročiť hodnotu 1. Ako vidíte, |-1 / 3|

Úloha číslo 4. Obnovenie série čísel

Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné obnoviť celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy člen. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydelíme druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že odmocninu piateho stupňa z podielu členov známych z podmienky úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo sa dosadí do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Zistili sme teda, čo je menovateľom progresie bn a geometrickej postupnosti bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.

Kde sa používajú geometrické postupnosti?

Ak by neexistovala aplikácia tohto číselného radu v praxi, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale existuje taká aplikácia.

Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:

Zenónov paradox, v ktorom agilný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
Ak sú pšeničné zrná umiestnené na každej bunke šachovnice tak, že 1 zrnko je umiestnené na 1. bunke, 2 - na 2., 3 - na 3. atď., potom bude potrebných 18446744073709551615 zŕn na vyplnenie všetkých buniek doska!
V hre „Hanojská veža“ je na preskupenie diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne od počtu použitých diskov n.

Poučenie

10, 30, 90, 270...

Je potrebné nájsť menovateľa geometrickej progresie.
rozhodnutie:

1 možnosť. Zoberme si ľubovoľný člen postupu (napríklad 90) a vydeľme ho predchádzajúcim (30): 90/30=3.

Ak je známy súčet niekoľkých členov geometrickej postupnosti alebo súčet všetkých členov klesajúcej geometrickej postupnosti, potom na nájdenie menovateľa postupnosti použite príslušné vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je súčet prvých n členov geometrickej postupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti (súčet všetkých členov postupnosti s menovateľom menším ako jedna).
Príklad.

Prvý člen klesajúcej geometrickej postupnosti sa rovná jednej a súčet všetkých jej členov sa rovná dvom.

Je potrebné určiť menovateľa tejto progresie.
rozhodnutie:

Doplňte údaje z úlohy do vzorca. Získajte:
2=1/(1-q), odkiaľ – q=1/2.

Postupnosť je postupnosť čísel. V geometrickej postupnosti sa každý nasledujúci člen získa vynásobením predchádzajúceho určitým číslom q, ktoré sa nazýva menovateľ postupnosti.

Poučenie

Ak sú známe dva susedné členy geometrickej b(n+1) a b(n), na získanie menovateľa je potrebné vydeliť číslo s veľkým číslom číslom, ktoré mu predchádza: q=b(n +1)/b(n). Vyplýva to z definície progresie a jej menovateľa. Dôležitou podmienkou je, že prvý člen a menovateľ progresie sa nerovnajú nule, inak sa postup považuje za neurčitý.

Medzi členmi postupnosti sú teda vytvorené nasledujúce vzťahy: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Vzorcom b(n)=b1 q^(n-1) možno vypočítať ľubovoľný člen geometrickej postupnosti, v ktorej je známy menovateľ q a člen b1. Každý modul progresie sa tiež rovná priemeru jeho susedných členov: |b(n)|=√, takže progresia má svoje .

Najjednoduchší je analóg geometrického postupu exponenciálna funkcia y=a^x, kde x je v exponente, a je nejaké číslo. V tomto prípade je menovateľ progresie rovnaký ako prvý člen a sa rovná číslu a. Hodnotu funkcie y možno chápať ako n-tý termín progresie, ak sa argument x berie ako prirodzené číslo n (počítadlo).

Existuje pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Tento vzorec platí pre q≠1. Ak q=1, tak súčet prvých n členov sa vypočíta podľa vzorca S(n)=n b1. Mimochodom, progresia sa bude nazývať rastúca pre q väčšie ako jedna a kladné b1. Keď menovateľ progresie, modulo, nepresahuje jednu, progresia sa nazýva klesajúca.

špeciálny prípad geometrická progresia - nekonečne klesajúca geometrická progresia (b.u.g.p.). Faktom je, že členovia klesajúcej geometrickej progresie budú znova a znova klesať, ale nikdy nedosiahnu nulu. Napriek tomu je možné nájsť súčet všetkých termínov takejto progresie. Určuje sa podľa vzorca S=b1/(1-q). Celkový počet členov n je nekonečný.

Aby ste si predstavili, ako môžete pridať nekonečný počet čísel a nezískať nekonečno, upečte koláč. Polovicu z nej odrežte. Potom odrežte 1/2 polovice a tak ďalej. Kúsky, ktoré získate, nie sú ničím iným ako členmi nekonečne klesajúceho geometrického postupu s menovateľom 1/2. Ak dáte všetky tieto kúsky dokopy, získate originálnu tortu.

Problémy s geometriou sú špeciálna odroda cvičenia, ktoré si vyžadujú priestorové myslenie. Ak neviete vyriešiť geometrické úloha skúste dodržiavať nižšie uvedené pravidlá.

Poučenie

Veľmi pozorne si prečítajte stav problému, ak si niečo nepamätáte alebo nerozumiete, prečítajte si to znova.

Skúste určiť, o aké geometrické úlohy ide, napr.: výpočtové, keď potrebujete zistiť nejakú hodnotu, úlohy vyžadujúce logický reťazec uvažovania, úlohy na stavbu pomocou kružidla a pravítka. Viac zmiešaných problémov. Keď zistíte typ problému, skúste uvažovať logicky.

Použite potrebnú vetu pre tento problém, ak existujú pochybnosti alebo neexistujú žiadne možnosti, skúste si spomenúť na teóriu, ktorú ste študovali na príslušnú tému.

Urobte si aj návrh problému. Skúste podať žiadosť známymi spôsobmi kontrola správnosti vášho riešenia.

Dokončite riešenie problému úhľadne v notebooku, bez škvŕn a prečiarknutia, a čo je najdôležitejšie -. Možno to bude trvať čas a úsilie na vyriešenie prvých geometrických problémov. Keď sa však tomuto procesu osvojíte, začnete klikať na úlohy ako orechy a budete sa pri tom baviť!

Geometrická postupnosť je postupnosť čísel b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) taká, že b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Inými slovami, každý člen progresie sa získa z predchádzajúceho tak, že ho vynásobíme nejakým nenulovým menovateľom progresie q.

Poučenie

Problémy na progresii sa najčastejšie riešia zostavením a dodržaním systému vzhľadom na prvý člen progresie b1 a menovateľa progresie q. Na písanie rovníc je užitočné zapamätať si niektoré vzorce.

Ako vyjadriť n-tý člen postupnosti cez prvý člen postupnosti a menovateľ postupnosti: b(n)=b1*q^(n-1).

Zvážte samostatne prípad |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Uvažujme o sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. Takže táto séria je pokroková.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením určitým konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, keď sa v škole študuje geometrický postup, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete určiť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrickou postupnosťou, ktorá sa zvyšuje s každým ďalším prvkom. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

Ak |q| menej ako jedna, teda násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je progresia s podobnými podmienkami klesajúca geometrická progresia. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - ktorýkoľvek prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

Znamenková premenná. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom môže byť postupnosť napísaná takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Pre pohodlné používanie geometrických postupností existuje veľa vzorcov:

Vzorec z-tého člena. Umožňuje vypočítať prvok pod konkrétnym číslom bez výpočtu predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné vypočítať štvrtý prvok progresie.

rozhodnutie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Súčet prvých prvkov, ktorých číslo je z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, teda q sa nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola radom nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S 5 .

rozhodnutie:S 5 = 22 - výpočet podľa vzorca.

Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite množstvo.

rozhodnutie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

charakteristickú vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka vykonávané pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

Druhá mocnina ľubovoľného čísla geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín akýchkoľvek ďalších dvoch čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kdetje vzdialenosť medzi týmito číslami.

Prvkysa líšia v qraz.
Logaritmy prvkov progresie tiež tvoria progresiu, ale už aritmetiku, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešením pre 9. ročník.

Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť prostredníctvom iných pomocou menovateľa.

tedaa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S6.

rozhodnutie:Na to stačí nájsť q, prvý prvok a dosadiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , teda,q= 2

a 2 = q a 1,Preto a 1 = 3

S6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Príklad aplikácie:

Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, podľa ktorej každý rok klient pridá 6% z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. Takže rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

To znamená, že každý rok sa táto suma zvyšuje 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc, a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady úloh na výpočet súčtu:

V rôznych úlohách sa používa geometrická postupnosť. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

rozhodnutie:

Geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu musíte prvok poznaťa 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne musíme nájsťa 1 , vediaca 2 aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Prvá úroveň

Geometrická progresia. Komplexná príručka s príkladmi (2019)

Číselná postupnosť

Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Napríklad pre našu postupnosť:

Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.

Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom druhu - geometrická progresia.

Prečo potrebujeme geometrickú progresiu a jej históriu.

Už v staroveku sa taliansky matematik, mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci), zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na váženie tovaru? Fibonacci vo svojich spisoch dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte o nej aspoň všeobecnú predstavu. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?

V súčasnosti sa v životnej praxi pri investovaní prejavuje geometrická progresia Peniaze banke, keď je výška úroku účtovaná zo sumy naakumulovanej na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak o rok sa vklad zvýši o z pôvodnej sumy, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v problematike výpočtovej tzv zložené úročenie- percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.

Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa aplikuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil človeka, ten zase infikoval iného človeka, a teda druhá vlna nákazy - človeka, a ten zase nakazil ďalšieho...a tak ďalej.. .

Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podľa vlastností geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.

Geometrická progresia.

Povedzme, že máme číselnú postupnosť:

Hneď odpoviete, že je to jednoduché a názov takejto postupnosti je aritmetický postup s rozdielom jej členov. Čo tak niečo takéto:

Ak odčítate predchádzajúce číslo od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým, keď dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť - každé ďalšie číslo je krát väčšie ako predchádzajúce !

Tento typ sekvencie sa nazýva geometrická progresia a je označený.

Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, je rovný predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Povedzme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q je, hmm .. nech, potom sa ukáže:

Súhlaste, že to nie je progresia.

Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak je to akékoľvek číslo iné ako nula, ale. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné nuly.

Teraz si povedzme podrobnejšie o menovateli geometrickej progresie, teda o.

Zopakujme si: - toto je číslo, koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení geometrický postup.

Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).

Povedzme, že máme pozitívny. Nech v našom prípade a. Aký je druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:

V poriadku. Preto, ak, potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamenie - oni pozitívne.

Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Aký je druhý termín a?

Je to úplne iný príbeh

Skúste si spočítať obdobie tohto postupu. koľko si dostal? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi v jej členoch, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.

Teraz si poďme trochu precvičiť: skús určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickým postupom a ktoré aritmetickým:

Mám to? Porovnajte naše odpovede:

Geometrická postupnosť - 3, 6.
Aritmetický postup - 2, 4.
Nie je to ani aritmetika, ani geometrická postupnosť - 1, 5, 7.

Vráťme sa k nášmu poslednému postupu, ale skúsme nájsť jeho výraz rovnakým spôsobom ako v aritmetike. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.

Každý výraz postupne násobíme o.

Takže -tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.

Ako už tušíte, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej postupnosti. Alebo ste si to už vymysleli a popísali, ako postupne nájsť th člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.

Ilustrujme si to na príklade nájdenia -tého člena tejto postupnosti:

Inými slovami:

Zistite si hodnotu člena daného geometrického postupu.

Stalo? Porovnajte naše odpovede:

Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:

Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.

Počítal si? Porovnajme výsledky:

Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť člena progresie rovnakým spôsobom ako člena, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti, a, čo môže byť jednoduchšie, ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.

Nekonečne klesajúci geometrický postup.

Nedávno sme hovorili o tom, čo môže byť väčšie alebo menšie ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.

Prečo si myslíte, že má taký názov?
Na začiatok si napíšme nejakú geometrickú postupnosť pozostávajúcu z členov.
Povedzme teda:

Vidíme, že každý nasledujúci výraz je časovo menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete - "nie". Preto nekonečne klesajúce - klesá, klesá, ale nikdy sa nestane nulou.

Aby sme jasne pochopili, ako to vizuálne vyzerá, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:

Na grafoch sme zvyknutí budovať závislosť na:

Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty geometrického progresívneho člena od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu geometrického progresívneho člena pre a radové číslo bolo označené nie ako, ale ako. Zostáva už len nakresliť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som dostal:

Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:

Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel oproti predchádzajúcemu grafu?

Zvládli ste to? Tu je graf, ktorý som dostal:

Teraz, keď ste úplne porozumeli základom témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.

vlastnosť geometrickej progresie.

Pamätáte si na vlastnosť členov aritmetického postupu? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty členov tejto progresie. Pamätáte si? toto:

Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché, a ak zabudnete, môžete si to priniesť sami.

Zoberme si ďalší jednoduchý geometrický postup, v ktorom poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale ako je to tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí namaľovať každú hodnotu, ktorá nám bola poskytnutá, podľa vzorca.

Pýtate sa a čo s tým teraz urobíme? Áno, veľmi jednoduché. Na začiatok znázornime tieto vzorce na obrázku a pokúsme sa s nimi urobiť rôzne manipulácie, aby sme dosiahli hodnotu.

Abstrahujeme od čísel, ktoré sú nám dané, zameriame sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť hodnotu zvýraznenú oranžovou farbou a poznať výrazy, ktoré s ňou susedia. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.

Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:

Z tohto výrazu, ako vidíte, sa nebudeme môcť nijako vyjadrovať, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.

Odčítanie.

Ako vidíte, ani z toho sa nevieme vyjadriť, preto sa pokúsime tieto výrazy navzájom znásobiť.

Násobenie.

Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie, ktoré sme dostali, v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:

Hádajte, o čom hovorím? Aby sme to našli správne, musíme vynásobiť druhú odmocninu čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným číslom:

Dobre. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec vo všeobecnej forme. Stalo?

Kedy ste zabudli na stav? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami, pri. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:

Preto nezabudnite na toto obmedzenie.

Teraz spočítajme, čo je

Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na druhú možnú hodnotu, tak ste skvelý chlapík a môžete hneď pristúpiť k tréningu a ak ste zabudli, prečítajte si, čo je rozoberané nižšie a venujte pozornosť tomu, prečo musia byť v odpovedi napísané oba korene .

Nakreslime obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujme, či obe majú právo na existenciu:

Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická progresia existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či je rovnaká medzi všetkými jej danými členmi? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.

Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko požadovaného termínu závisí od toho, či je kladné alebo záporné! A keďže nevieme, čo to je, treba napísať obe odpovede s plusom a mínusom.

Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a

Porovnajte svoje odpovede so správnymi:

Čo si myslíte, čo keby sme nedostali hodnoty členov geometrickej progresie susediacich s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho pozostáva každá hodnota, ako ste to urobili pri prvotnom odvodzovaní vzorca.
Čo si dostal?

Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:

Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými členmi geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.

Náš pôvodný vzorec sa teda stáva:

To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz povieme, že sa to môže rovnať akémukoľvek prirodzenému číslu, ktoré je menšie. Hlavné je, aby boli obe dané čísla rovnaké.

Cvičte na konkrétnych príkladoch, len buďte maximálne opatrní!

, . Nájsť.
, . Nájsť.
, . Nájsť.

Rozhodol som sa? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.

Porovnávame výsledky.

V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:

V treťom prípade, po dôkladnom zvážení sériových čísel čísiel, ktoré nám boli pridelené, chápeme, že nie sú rovnako vzdialené od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale odstránené na pozícii, takže nie je možné použiť vzorec.

Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Poďme si s vami zapísať, z čoho sa skladá každé číslo, ktoré nám bolo pridelené, a želané číslo.

Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť. Navrhujem rozdeliť. Dostaneme:

Naše údaje dosadíme do vzorca:

Ďalší krok, ktorý môžeme nájsť - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.

Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme, ale musíme nájsť, a to sa zase rovná:

Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Nahraďte vo vzorci:

Naša odpoveď: .

Skúste sami vyriešiť ďalší rovnaký problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:

koľko si dostal? Mám - .

Ako vidíte, v skutočnosti potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- Všetko ostatné si môžete kedykoľvek sami bez problémov stiahnuť. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa podľa vyššie uvedeného vzorca rovná každé z jeho čísel.

Súčet členov geometrickej postupnosti.

Teraz zvážte vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:

Aby sme odvodili vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobíme všetky časti vyššie uvedenej rovnice. Dostaneme:

Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Je to tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. rovnicu od 2. rovnice. Čo si dostal?

Teraz vyjadrite pomocou vzorca člena geometrickej postupnosti a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:

Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:

Zostáva len vyjadriť:

Podľa toho v tomto prípade.

Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Správne rad rovnakých čísel, respektíve vzorec bude vyzerať takto:

Rovnako ako v prípade aritmetického a geometrického postupu existuje veľa legiend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvorcovi šachu.

Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď sa s ňou hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou pozícií, ktoré v nej boli možné. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal k sebe vynálezcu a prikázal, aby si od neho vypýtal čokoľvek, čo by chcel, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.

Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal o pšeničné zrno na prvé pole šachovnice, pšenicu na druhé, tretie, štvrté atď.

Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovskej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky bunky rady.

A teraz otázka znie: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?

Začnime diskutovať. Keďže podľa podmienky Seth požiadal o zrnko pšenice za prvú bunku šachovnice, za druhú, za tretiu, za štvrtú atď., vidíme, že problém je v geometrickom postupe. Čo sa rovná v tomto prípade?
správne.

Celkový počet buniek na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, ostáva už len dosadiť do vzorca a vypočítať.

Aby sme aspoň približne reprezentovali „stupnice“ daného čísla, transformujeme pomocou vlastností stupňa:

Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, k akému číslu sa dostanete, a ak nie, musíte mi dať za pravdu: konečná hodnota výrazu bude.
T.j.:

kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.

Fuh) Ak si chcete predstaviť obrovskú hodnotu tohto čísla, potom odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Pri výške stodoly m a šírke m by jej dĺžka musela siahať do km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.

Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol by ponúknuť vedcovi, aby spočítal zrnká, pretože na to, aby narátal milión zrniek, by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrnká by musel počítať celý život.

A teraz vyriešime jednoduchú úlohu na súčte členov geometrickej postupnosti.
Žiak 5. ročníka Vasya ochorel na chrípku, no naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. Len jeden človek v triede. Za koľko dní dostane chrípku celá trieda?

Takže prvým členom geometrickej progresie je Vasya, teda osoba. člen geometrickej progresie, to sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet členov postupu sa rovná počtu žiakov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:

Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:

Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste „infekciu“ žiakov vykresliť sami. Stalo? Pozrite sa, ako to u mňa vyzerá:

Spočítajte si sami, koľko dní by žiaci dostali chrípku, ak by každý nakazil človeka a v triede bol aj človek.

Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť po dni chorí.

Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomína pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak by teda osoba bola zapojená do finančnej pyramídy, v ktorej sa dávali peniaze, ak by ste priviedli dvoch ďalších účastníkov, potom by táto osoba (alebo vo všeobecnosti) nepriviedla nikoho, resp., stratila by všetko, čo investovala do tohto finančného podvodu. .

Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny druh - nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.

Pre začiatok sa teda pozrime znova na tento obrázok nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:

A teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo

O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. Teda kedy, to sa bude takmer rovnať, respektíve pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože sa bude rovnať.

- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.

Ak je uvedené konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.

A teraz poďme cvičiť.

Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti s a.
Nájdite súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s a.

Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajte naše odpovede:

Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšie exponenciálne problémy nájdené na skúške sú problémy so zloženým úrokom. Práve o nich sa budeme rozprávať.

Problémy s výpočtom zloženého úroku.

Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Chápeš, čo tým myslí? Ak nie, poďme na to, pretože po realizácii samotného procesu okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.

Všetci chodíme do banky a vieme, že existujú rôzne podmienky pre vklady: toto je termín, dodatočná údržba a úrok s dvoma rôznymi spôsobmi výpočtu - jednoduchý a zložitý.

S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa účtuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak hovoríme o znížení 100 rubľov ročne, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.

Zložené úročenie je možnosť, v ktorej úroková kapitalizácia, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z kumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou periodicitou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.

Povedzme, že vložíme všetky rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. čo získame?

Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to krok za krokom.

Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:

Súhlasím?

Môžeme to vytiahnuť zo zátvorky a potom dostaneme:

Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, ktorý sme napísali na začiatku. Zostáva riešiť percentá

V stave problému sa nám hovorí o ročnom. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné miesta, to znamená:

Správny? Teraz sa pýtate, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: stav problému hovorí o VÝROČNÝ naakumulovaný úrok MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:

Realizované? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Podarilo sa ti? Porovnajme výsledky:

Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte, koľko bude pripísané na náš účet za druhý mesiac, berúc do úvahy, že z nahromadenej sumy vkladu sa účtuje úrok.
Stalo sa mi toto:

Alebo inak povedané:

Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický postup. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo, inými slovami, koľko peňazí dostaneme na konci mesiaca.
Vyrobené? Kontrola!

Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchým úrokom, dostanete ruble, a ak ich vložíte so zloženou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:

Zvážte iný typ problémov so zloženým úrokom. Po tom, čo ste zistili, to bude pre vás elementárne. Takže úloha znie:

Zvezda začala investovať do odvetvia v roku 2000 s dolárovým kapitálom. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk dostane spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisk nebol stiahnutý z obehu?

Hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2003.

Alebo môžeme stručne napísať:

Pre náš prípad:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektíve:
rubľov
Všimnite si, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa, ani podľa, keďže percento sa udáva ROČNE a počíta sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému zloženého úroku venujte pozornosť tomu, aké percento je uvedené av akom období sa účtuje, a až potom pokračujte vo výpočtoch.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.

Posilovať.

Nájdite člen geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
Spoločnosť MDM Capital začala investovať do tohto odvetvia v roku 2003 s dolárovým kapitálom. Od roku 2004 dosahuje každoročne zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Spoločnosť „MSK Cash Flows“ začala investovať do odvetvia v roku 2005 vo výške 10 000 USD, pričom v roku 2006 začala dosahovať zisk vo výške . O koľko dolárov prevyšuje kapitál jednej spoločnosti kapitál inej spoločnosti na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?

odpovede:

Keďže podmienka problému nehovorí, že progresia je nekonečná a je potrebné nájsť súčet konkrétneho počtu jej členov, výpočet sa vykonáva podľa vzorca:
Spoločnosť "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Peňažné toky MSK:
2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda krát.
Respektíve:
rubľov
rubľov

Poďme si to zhrnúť.

1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.

2) Rovnica členov geometrickej postupnosti -.

3) môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.

ak, potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamenie - oni pozitívne;
ak, potom všetci ďalší členovia progresie alternatívne znaky;
keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.

4) , at - vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)

alebo
, v (ekvidistantné výrazy)

Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede..

Napríklad,

5) Súčet členov geometrickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca:
alebo

Ak progresia nekonečne klesá, potom:
alebo

DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme len vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že je potrebné nájsť súčet nekonečného počtu členov.

6) Úlohy na zložené úročenie sa počítajú aj podľa vzorca člena geometrickej progresie za predpokladu, že prostriedky neboli stiahnuté z obehu:

GEOMETRICKÁ PROGRESIA. STRUČNE O HLAVNOM

Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej progresie.

Menovateľ geometrickej postupnosti môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.