Objav Leonarda Fibonacciho: číselný rad. Zlatý pomer a Fibonacciho čísla

MOU Talovskaya stredná škola

Vyplnili žiaci 9. ročníka

Vedúca Danková Valentina Anatolievna

2015

Fibonacciho postupnosť čísel

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

FIBONACCCI (Leonardo z Pisy)
Fibonacci (Leonardo z Pisy), c. 1175–1250

taliansky matematik. Narodil sa v Pise a stal sa prvým veľkým európskym matematikom neskorého stredoveku. Práve praktická potreba nadväzovania obchodných kontaktov ho priviedla k matematike. Publikoval svoje knihy o aritmetike, algebre a iných matematických disciplínach. Od moslimských matematikov sa dozvedel o systéme čísel vynájdenom v Indii a už prijatým v arabskom svete a bol presvedčený o jeho nadradenosti (tieto čísla boli predchodcami moderných arabských číslic).

Taliansky kupec Leonardo z Pisy (1180-1240), známejší ako Fibonacci, bol jednoznačne najvýznamnejším matematikom stredoveku. Úlohu jeho kníh pri rozvoji matematiky a šírení matematických poznatkov v Európe možno len ťažko preceňovať.

Vo veku Fibonacciho bola renesancia ešte ďaleko, ale história poskytla Taliansku krátky čas, ktorý by sa dal nazvať skúškou na blížiacu sa renesanciu. Túto skúšku viedol Fridrich II., cisár (od roku 1220) Svätej ríše rímskej. Fridrich II., vychovaný v tradíciách južného Talianska, bol vnútorne hlboko vzdialený od európskeho kresťanského rytierstva.

Fridrich II. neuznával rytierske turnaje, ktoré jeho starý otec tak miloval. Namiesto toho pestoval oveľa menej krvavé matematické súťaže, v ktorých si súperi nevymieňali údery, ale problémy.

Na takýchto turnajoch zažiaril talent Leonarda Fibonacciho. Toto bolo uľahčené dobré vzdelanie, ktorý svojmu synovi daroval obchodník Bonacci, ktorý ho vzal so sebou na Východ a pridelil mu arabských učiteľov.

Frederickova záštita podnietila vydanie Fibonacciho vedeckých pojednaní:

Kniha počítadla (Liber Abaci), napísaná v roku 1202, ale k nám sa dostala v druhej verzii, ktorá sa datuje do roku 1228.

Geometrické cvičenia“ (1220)

Kniha štvorcov (1225)

Podľa týchto kníh, ktoré svojou úrovňou prevyšujú arabské a stredoveké európske diela, sa matematika vyučovala takmer až do čias Descarta (XVII. storočie).

Podľa dokumentov z roku 1240 obdivujúci občania Pisy hovorili, že je to „rozumný a erudovaný muž“, a nie tak dávno Joseph Gies (Joseph Gies), Hlavný editor Encyclopædia Britannica uviedla, že budúci vedci všetkých čias „splatia svoj dlh Leonardovi z Pisy ako jednému z najväčších svetových intelektuálnych priekopníkov“. Jeho práca po rokov práve sa prekladá z latinčina do angličtiny. Pre tých, ktorí majú záujem, kniha Lenardo z Pisy a nová matematika stredoveku od Josepha a Frances Giesovcov je vynikajúcim pojednaním o Fibonacciho veku a jeho dielach.

Najviac nás zaujíma dielo „The Book of the Abacus“ („Liber Abaci“). Táto kniha je rozsiahlym dielom obsahujúcim takmer všetky aritmetické a algebraické informácie tej doby a zohrala významnú úlohu vo vývoji matematiky v r. západná Európa v priebehu niekoľkých nasledujúcich storočí. Najmä z tejto knihy sa Európania zoznámili s hinduistickými (arabskými) číslicami.

V "Liber Abaci" Fibonacci uvádza svoju postupnosť čísel ako riešenie matematický problém- Nájdenie chovnej receptúry pre králiky. Číselná postupnosť je nasledovná: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (potom ad infinitum).

Na stranách 123-124 tohto rukopisu Fibonacci umiestnil nasledujúci problém: „Niekto umiestnil párik králikov na určité miesto, oplotené zo všetkých strán múrom, aby zistil, koľko párov králikov sa počas roka narodí, ak je povaha králikov taká, že za mesiac páru králikov rodí ďalší pár a králiky rodia od druhého mesiaca po jeho narodení.

Na obrázku je segment AB rozdelený bodom C tak, že AC: AB = CB: AC.

čo je približne 1,618 ... Teda pomer väčšej časti segmentu k menšej a celej dĺžky segmentu k jej väčšej časti (Ф) je približne 1,618 ... Recipročná hodnota - pomer menšej časť segmentu k väčšiemu a väčšia časť k celému segmentu - je približne 0,618 ... Táto skutočnosť je zakotvená v rovnici pre číslo Ф (**).

Ak rozdelíme ľubovoľný segment na dve časti tak, že pomer väčšej časti segmentu k celku sa rovná pomeru menšej časti k väčšej, dostaneme časť, ktorá sa nazýva zlatá.

Jedným z najkrajších diel starogréckej architektúry je Parthenon (V. storočie pred Kristom). Obrázky zobrazujú množstvo vzorov spojených so zlatým rezom. Proporcie budovy môžu byť vyjadrené rôznymi stupňami čísla Ф = 0,618 ...

Na pôdoryse Parthenonu môžete vidieť aj „zlaté obdĺžniky“:

Zlatý rez môžeme vidieť na budove katedrály Notre Dame (Notre Dame de Paris)

Proporcie Cheopsovej pyramídy, chrámov, basreliéfov, domácich potrieb a dekorácií z hrobky Tutanchamona naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramzesa proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira zobrazený na reliéfe drevená doska z hrobu jeho mena, drží v rukách meracie nástroje, v ktorom sú pevne stanovené proporcie zlatej divízie.

Keď sa pozrieme na príklady „zlatého rezu“ v maľbe, nemožno zastaviť svoju pozornosť na diele Leonarda da Vinciho. Pozrime sa bližšie na obraz „La Gioconda“. Kompozícia portrétu je založená na "zlatých trojuholníkoch".

FIBONACCCI ČÍSLA - číselná postupnosť, kde každý nasledujúci člen

riadok sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch, to znamená: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711,

28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,..

422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Rôzni profesionálni vedci a amatéri matematiky študovali zložité a úžasné vlastnosti Fibonacciho čísel.

V roku 1997 výskumník opísal niekoľko zvláštnych čŕt série

Vladimír MICHAJLOV. [Počítačový bulletin RIA-Novosti "Terra-Incognita"]

32(209) zo dňa 8.8.1997]. Michajlov je presvedčený, že príroda (vrátane

Človek) sa vyvíja podľa zákonov, ktoré sú vložené do tohto čísla

sekvencie. AT borovicová šiška ak sa na to pozriete zboku

rukoväť, môžete nájsť dve špirály, jednu skrútenú proti druhej pozdĺž

hodinová ručička. Počet týchto špirál je 8 a 13.

V slnečniciach sú páry špirál: 13 a 21, 21 a 34, 34 a 55, 55 a 89. A od týchto párov nie sú žiadne odchýlky!..

Pozrime sa bližšie na výhonok čakanky. Jeho rastové impulzy postupne klesali úmerne zlatému rezu.

U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie, ktoré lahodia našim očiam - dĺžka chvosta sa vzťahuje na dĺžku zvyšku tela 62 až 38. Zlaté proporcie si môžete všimnúť, ak sa pozorne pozriete na vtáka. vajce.

U človeka je v súbore chromozómov somatickej bunky (je ich 23 párov) zdrojom dedičných chorôb 8, 13 a 21 párov chromozómov... Možno to všetko naznačuje, že rad Fibonacciho čísel je akýsi zašifrovaný zákon prírody.

Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm z 18. storočia pomocou tejto série našiel pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy.
Avšak jeden prípad, ktorý sa zdal byť v rozpore so zákonom: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Sústredené pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objavu pásu asteroidov. Stalo sa tak po smrti Titia v r začiatkom XIX v. Fibonacciho séria je široko používaná: s jej pomocou predstavuje architektúru živých bytostí a umelých štruktúr a štruktúru galaxií. Tieto skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselný rad na podmienkach jej prejavu, čo je jedným zo znakov jej univerzálnosti.

H upriamuje všetku svoju pozornosť na štúdium správania sa na akciovom trhu. Zaujíma a zaujíma mnohých. Skúmaním vlastností cenových vzorcov Po sérii úspešných predpovedí dospel k záveru, žeže „Akýkoľvek ľudská aktivita tri charakteristické rysy: forma, čas a vzťah, z ktorých všetky podliehajú celkovej Fibonacciho postupnosti."

Ralph Nelson Elliott

Výskum vlastností

MOU Talovskaya stredná škola

Abstrakt integrovanej lekcie

v informatike a matematike

Pripravil učiteľ

informatika a matematika

Danková Valentina Anatolievna

rok 2009

Počas tried:

1. Organizačný moment.

pozdravujem. Definícia neprítomnosti. Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Výsledky výskumnej práce

učiteľ: Napíšme si tému lekcie do zošita: "Postupnosť Fibonacciho čísel."

A kto bol tento muž? vedec? Spisovateľ? Matematik? Prečo postupnosť čísel nazývaná „Fibonacciho čísla“ stále prenasleduje vedcov, filozofov a dokonca aj vás a mňa?

Pri príprave na dnešnú hodinu ste okrem riešenia problémov strávili výskumná práca. A myslím, že nebude pre vás ťažké odpovedať na otázku: Čo je zvláštne na Fibonacciho číslach a prečo sa spájajú so zlatým rezom a čo majú tieto čísla spoločné s prírodou? Ako táto sekvencia súvisí s našou históriou?

Žiadam vás, aby ste uviedli podstatu svojho výskumu a stručne zapísali vlastnosti Fibonacciho čísel do svojho zošita. …

Zobrazí sa prezentácia, ktorá sprevádza príbeh študentov.

Odkaz na históriu Fibonacciho život.

Fibonacciho čísla v prírode

Fibonacciho čísla v maľbe, architektúre.

Matematické základy Fibonacciho čísel

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, odpovedzte, kde sa táto postupnosť prejavila?

Aké vedy sú s tým spojené?

V akých oblastiach ľudského poznania sa to prejavilo?

čo to naznačuje?

Uvedené skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselného radu od podmienok jeho prejavu, čo je jedným zo znakov jeho univerzálnosti.

Aké vlastnosti tejto sekvencie ste si všimli po preskúmaní tejto témy?

Sú všetky čísla na tabuli párne? kde sa nachádzajú?

Dá sa však tvrdiť, že aj 27. miesto bude párne a 28. nepárne?

Čo možno povedať o číslach 5 a 8, čo to je? A čo 13 a 21? A ak si zoberiete čísla stojace na 37. a 38. mieste?

Každé pätnáste číslo končí nulou

Takže dnes v lekcii musíme študovať niektoré vlastnosti čísel.

každé tretie Fibonacciho číslo dokonca,

končí každý pätnásty nula,

dve susediace Fibonacciho čísla nesúdeliteľné atď.

Len prvá a tretia vlastnosť pre prvých 12 Fibonacciho čísel sú nám zrejmé, druhú vlastnosť musíme zistiť experimentálne. Teraz si vo svojich notebookoch vytvoríte programy, ktoré tieto vlastnosti schvaľujú, alebo naopak popierajú. To znamená, že vykonáme štúdiu týchto vlastností Fibonacciho čísel pomocou programovacieho jazyka PASCAL. (Prvá skupina pracuje pri počítačoch, druhá skupina pracuje v notebookoch, jeden žiak pri počítači učiteľa píše tento program.). Na konci práce sa vykoná samokontrola.

Úloha pre prvú skupinu

№1 . Vyplňte pole A(N) prvkami Fibonacciho postupnosti. Skontrolujme paritu každého čísla stojaceho na miestach násobkov 3.

Úloha pre druhú skupinu

№1. Vyplňte pole A(N) prvkami Fibonacciho postupnosti. Skontrolujte, či susedné Fibonacciho čísla sú prvočísla

Domáca úloha

№1. Vyplňte pole A(N) prvkami Fibonacciho postupnosti. Skontrolujte, či každé pätnáste číslo zo sekvencie končí znakom nula,

Podľa výskumov historikov možno tvrdiť: chronológia a periodizácia, historický vývoj pomocou Fibonacciho série je rozdelená do 18 časových krokov, ktoré majú planetárny charakter. Udalosti, ktorých chronológia je mimo série, majú regionálny charakter, teda lokálne, pohyblivé hranice. Chronologické hranice archeologických epoch a období nájdené pomocou Fibonacciho série sú pevné. Nie je v nich zhoda: buď sú prijateľné, alebo nie. Takáto voľba je totiž založená na vedeckom svetonázore, ktorý je vždy striktne definovaný.

Ralph Helson Elliott je jednoduchý inžinier. Po ťažkej chorobe začiatkom 30. rokov 20. storočia. zaoberajúca sa analýzou cien akcií. H upriamuje všetku svoju pozornosť na štúdium správania sa na akciovom trhu. Zaujíma a zaujíma mnohých. Pri skúmaní charakteristík cenových vzorcov po sérii úspešných predpovedí dospel k záveru, že „akákoľvek ľudská činnosť má tri charakteristické črty: formu, čas a postoj a všetky sa riadia totálnou Fibonacciho postupnosťou.“

Analýza lekcie

Typ lekcie: integrované (matematika a informatika)

Typ lekcie: Výskum.

Ciele lekcie.

Vzdelávacie:

Vytvorte podmienky na pochopenie pojmu „Fibonacciho sekvencia“;

Podporovať používanie postupnosti týchto čísel pri riešení problémov vyplnenia a spracovania jednorozmerných polí;

Pomoc pri rozvíjaní existujúcich vedomostí o témach „Pole“, „Vypĺňanie prvkov poľa pomocou vzorcov“ a zručnosti pri práci v prostredí PASCAL;

Prispieť k implementácii medzipredmetových súvislostí na hodine informatiky.

Rozvíjať výskumnú prácu na hodine informatiky.

Vzdelávacie:

Podporovať rozvoj kognitívneho záujmu a tvorivej činnosti študentov;

Podporovať rozvoj logického myslenia a schopnosti modelovať problém.

Vzdelávacie:

Prispievať k formovaniu kognitívneho záujmu ako súčasti vzdelávacej motivácie;

Povzbuďte študentov, aby sa zaujímali historické udalosti spojené s číslami Fibonacciho sekvencie;

Prispieť k rozvoju zručností vedomých a racionálne využitie počítačov vo svojej vzdelávacej a následne odbornej činnosti.

Vyučovacie metódy a techniky: vysvetľujúce a názorné; čiastočné vyhľadávanie; verbálny (frontálny rozhovor); vizuálne (predvedenie počítačovej prezentácie); praktická, výskumná metóda.

Prostriedky vzdelávania: autorská multimediálna prezentácia integrovaná s programom PASCAL; technické (počítač, multimediálny projektor s plátnom), tabuľa, fix. Počítač softvér bezpečnosť: Programy PowerPoint a PASCAL.

1. Každý tretí párny

program n1;

var i,w,f,k: longint;

začať

a:=1; a:=1;

pre i:=3 až 40 do

a[i]:=a+a;

pre i:=1 až 40 do

napíš(a[i]," ");

pre i:=1 až 40 začnite

if (a[i] mod 2<>0)a (i mod 3=0) potom začnite w:=1; k:=i; koniec;

if (a[i] mod 2=0) a (i mod 3<>0) potom f:=1;

koniec; writeln;

ak w=0, potom writeln ("každý tretí párny"), inak writeln (k);

ak f=0, potom writeln ("ak index nie je násobkom 3, potom je číslo nepárne");

readln;

koniec.

2. Každý pätnásty končí nulou

program č.2;

var i,w,f,k: longint;

a:pole integer;

začať

a:=1; a:=1;

pre i:=3 až 40 do

a[i]:=a+a;

pre i:=1 až 40 do

napíš(a[i]," ");

pre i:=1 až 40 začnite

if (a[i] mod 10<>0)a (i mod 15=0) potom začnite w:=1; k:=i; koniec;

if (a[i] mod 10=0) a (i mod 15<>0) potom f:=1;

koniec; writeln;

ak w=0, potom writeln ("len pätnásty končí nulou") else writeln (k);

ak f=0 potom writeln ("každý pätnásty končí nulou");

readln;

koniec.

3. Susedné prvky sú coprime.

program n3;

var x,y,i,w,f,k: longint;

a:pole integer;

začať

a:=1; a:=1;

pre i:=3 až 40 do

a[i]:=a+a;

pre i:=1 až 40 do

napíš(a[i]," ");

pre i:=2 až 40 začnite

x:=a[i]; y:=a;

opakovať

ak x>y potom x:=x mod y else y:=y mod x;

kým (x=0) alebo (y=0);

ak x+y<>1 potom f:=1;

koniec; writeln;

ak f=0, potom writeln ("susedné prvky sú coprime");

readln;

koniec.

4. Zobrazte všetky Fibonacciho čísla nepresahujúce 50.

program n 4;

var i,w,f,k,l: longint;

a:array of longint;

začať

a:=1; a:=1; i:=3;

Zatiaľ čo [i]<50 do begin

a[i]:=a+a;

i:=i+1;

koniec;

1:= i-1;

pre i:=1 až l robiť

napíš(a[i]," ");

readln;

koniec.

Úlohy

Fibonacciho čísla... v prírode a živote

Leonardo Fibonacci je jedným z najväčších matematikov stredoveku. V jednom zo svojich diel, The Book of Calculations, Fibonacci opísal indoarabský kalkul a výhody jeho používania oproti rímskemu.

Definícia
Fibonacciho čísla alebo Fibonacciho postupnosť je číselná postupnosť, ktorá má množstvo vlastností. Napríklad súčet dvoch susedných čísel v postupnosti dáva hodnotu nasledujúceho čísla (napríklad 1+1=2; 2+3=5 atď.), čo potvrdzuje existenciu takzvaných Fibonacciho koeficientov. , t.j. konštantné pomery.

Fibonacciho sekvencia začína takto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Kompletná definícia Fibonacciho čísel

3.

Vlastnosti Fibonacciho sekvencie

1. Pomer každého čísla k ďalšiemu a ďalšiemu má tendenciu k 0,618, keď sa sériové číslo zvyšuje. Pomer každého čísla k predchádzajúcemu má tendenciu k 1,618 (obrátený k 0,618). Číslo 0,618 sa nazýva (FI).

2. Pri delení každého čísla ďalším číslom dostaneme číslo 0,382 cez jednotku; naopak - respektíve 2,618.

3. Výberom pomerov týmto spôsobom získame hlavnú množinu Fibonacciho koeficientov: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Vzťah medzi Fibonacciho sekvenciou a „zlatým rezom“

Fibonacciho sekvencia asymptoticky (približuje sa čoraz pomalšie) má tendenciu k určitému konštantnému pomeru. Tento pomer je však iracionálny, to znamená, že ide o číslo s nekonečnou, nepredvídateľnou postupnosťou desatinných číslic v zlomkovej časti. Nedá sa to presne vyjadriť.

Ak sa ktorýkoľvek člen Fibonacciho postupnosti vydelí tým, ktorý mu predchádza (napríklad 13:8), výsledkom bude hodnota, ktorá kolíše okolo iracionálnej hodnoty 1,61803398875 ... a po čase ju buď prekročí, alebo nedosiahne to. Ale aj keď sme na tom strávili Večnosť, nie je možné presne poznať pomer do posledného desatinného miesta. Kvôli stručnosti to uvedieme v tvare 1,618. Špeciálne názvy pre tento pomer sa začali dávať ešte predtým, ako ho Luca Pacioli (stredoveký matematik) nazval Božský podiel. Medzi jeho moderné názvy patria napríklad zlatý rez, zlatý priemer a pomer rotujúcich štvorcov. Kepler nazval tento vzťah jedným z „pokladov geometrie“. V algebre sa bežne označuje gréckym písmenom phi

Predstavme si zlatý rez na príklade segmentu.

Uvažujme segment s koncami A a B. Nech bod C rozdelí segment AB tak,

AC/CB = CB/AB príp

AB/CB = CB/AC.

Môžete si to predstaviť takto: A-–C--–B

Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom sa celý segment vzťahuje k väčšej časti tak, ako sa samotná väčšia časť vzťahuje k menšej; alebo inými slovami, menšia časť súvisí s väčšou, ako väčšia so všetkým.

Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené ako nekonečný iracionálny zlomok 0,618 ..., ak sa AB berie ako jedna, AC = 0,382 .. Ako už vieme, čísla 0,618 a 0,382 sú koeficienty Fibonacciho postupnosti.

Fibonacciho proporcie a zlatý rez v prírode a histórii

10.

Je dôležité poznamenať, že Fibonacci akoby ľudstvu pripomenul svoju sekvenciu. Poznali ju už starí Gréci a Egypťania. Odvtedy boli vzory opísané Fibonacciho koeficientmi nájdené v prírode, architektúre, výtvarnom umení, matematike, fyzike, astronómii, biológii a mnohých ďalších oblastiach. Je jednoducho úžasné, koľko konštánt možno vypočítať pomocou Fibonacciho postupnosti a ako sa jej členy objavujú v obrovskom množstve kombinácií. Bez preháňania však možno povedať, že nejde len o hru s číslami, ale o najdôležitejšie matematické vyjadrenie prírodných javov, aké kedy bolo objavené.

11.

Nižšie uvedené príklady ukazujú niektoré zaujímavé aplikácie tejto matematickej postupnosti.

12.

1. Škrupina je skrútená do špirály. Ak ho rozložíte, dostanete dĺžku o niečo nižšiu ako dĺžka hada. Malá desaťcentimetrová mušľa má špirálu dlhú 35 cm.Tvar špirálovito stočenej mušle zaujal Archimeda. Faktom je, že pomer meraní závitov škrupiny je konštantný a rovná sa 1,618. Archimedes študoval špirálu škrupín a odvodil rovnicu pre špirálu. Špirála nakreslená touto rovnicou sa nazýva jeho menom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je Archimedova špirála široko používaná v strojárstve.

2. Rastliny a živočíchy. Už Goethe zdôrazňoval tendenciu prírody k špirálovitosti. Špirálovité a špirálovité usporiadanie listov na vetvách stromov bolo zaznamenané už dávno. Špirála bola vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, v šiškách, ananásoch, kaktusoch atď. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že v usporiadaní listov na vetve slnečnicových semien, šišiek sa prejavuje Fibonacciho séria, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu. Pavúk točí svoju sieť v špirálovom vzore. Hurikán sa točí do špirály. Vystrašené stádo sobov sa rozpŕchlo v špirále. Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Medzi cestnými trávami rastie neprehliadnuteľná rastlina – čakanka. Poďme sa na to pozrieť bližšie. Z hlavnej stonky sa vytvorila vetva. Tu je prvý list. Proces vykoná silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, uvoľní list, ale je kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale menšej sily, uvoľní ešte menší list a opäť vymrští. Ak sa prvá odľahlá hodnota berie ako 100 jednotiek, potom sa druhá rovná 62 jednotkám, tretia je 38, štvrtá je 24 atď. Zlatému rezu podlieha aj dĺžka okvetných lístkov. V raste, dobývaní priestoru, si rastlina zachovala určité proporcie. Jeho rastové impulzy postupne klesali úmerne zlatému rezu.

Jašterica je živorodá. U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie, ktoré lahodia našim očiam - dĺžka chvosta sa vzťahuje k dĺžke zvyšku tela 62 až 38.

V rastlinnom aj živočíšnom svete vytrvalo preráža formotvorná tendencia prírody - symetria vzhľadom na smer rastu a pohybu. Tu sa zlatý rez objavuje v proporciách častí kolmých na smer rastu. Príroda vykonala rozdelenie na symetrické časti a zlaté proporcie. Po častiach sa prejavuje opakovanie štruktúry celku.

Pierre Curie na začiatku nášho storočia sformuloval množstvo hlbokých myšlienok symetrie. Tvrdil, že nemožno uvažovať o symetrii akéhokoľvek telesa bez toho, aby sme nezohľadnili symetriu prostredia. Vzory zlatej symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov. Tieto vzorce, ako je naznačené vyššie, sú v štruktúre jednotlivých orgánov človeka a tela ako celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a zrakového vnímania.

3. Priestor. Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm z 18. storočia, pomocou tohto radu (Fibonacci) našiel pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy.

Avšak jeden prípad, ktorý sa zdal byť v rozpore so zákonom: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Sústredené pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objavu pásu asteroidov. Stalo sa tak po smrti Titia na začiatku 19. storočia.

Fibonacciho séria je široko používaná: s jej pomocou predstavuje architektúru živých bytostí a umelých štruktúr a štruktúru galaxií. Uvedené skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselného radu od podmienok jeho prejavu, čo je jedným zo znakov jeho univerzálnosti.

4. Pyramídy. Mnohí sa pokúšali odhaliť tajomstvá pyramídy v Gíze. Na rozdiel od iných egyptských pyramíd nejde o hrobku, ale skôr o neriešiteľnú hádanku číselných kombinácií. Pozoruhodná vynaliezavosť, zručnosť, čas a práca architektov pyramídy, ktoré použili pri stavbe večného symbolu, naznačujú mimoriadnu dôležitosť posolstva, ktoré chceli odovzdať budúcim generáciám. Ich éra bola predgramotná, predhieroglyfická a symboly boli jediným prostriedkom na zaznamenávanie objavov. Kľúč ku geometricko-matematickému tajomstvu pyramídy v Gíze, ktorá bola pre ľudstvo tak dlho záhadou, v skutočnosti odovzdali Herodotovi chrámoví kňazi, ktorí ho informovali, že pyramída bola postavená tak, aby plocha každej jeho tvárí sa rovnalo štvorcu jeho výšky.

Oblasť trojuholníka

356 x 440 / 2 = 78 320

štvorcová plocha

280 x 280 = 78 400

Dĺžka okraja základne pyramídy v Gíze je 783,3 stôp (238,7 m), výška pyramídy je 484,4 stôp (147,6 m). Dĺžka hrany základne delená výškou vedie k pomeru Ф=1,618. Výška 484,4 stôp zodpovedá 5813 palcom (5-8-13) – to sú čísla z Fibonacciho postupnosti. Tieto zaujímavé pozorovania naznačujú, že konštrukcia pyramídy je založená na pomere Ф=1,618. Niektorí moderní učenci majú tendenciu interpretovať, že starí Egypťania ho postavili len za účelom odovzdania vedomostí, ktoré chceli zachovať pre budúce generácie. Intenzívne štúdie pyramídy v Gíze ukázali, aké rozsiahle boli v tom čase znalosti z matematiky a astrológie. Vo všetkých vnútorných a vonkajších proporciách pyramídy hrá ústrednú úlohu číslo 1,618.

Pyramídy v Mexiku. Nielen egyptské pyramídy boli postavené v súlade s dokonalými proporciami zlatého rezu, rovnaký jav sa našiel aj v mexických pyramídach. Vzniká myšlienka, že egyptské aj mexické pyramídy postavili približne v rovnakom čase ľudia spoločného pôvodu.

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

NAJVYŠŠÍM ÚČELOM MATEMATIKY JE NÁJSŤ SKRYTÝ PORIADOK V CHAOSE, KTORÝ NÁS OBKOLUJE.

Viner N.

Človek sa celý život snaží o poznanie, snaží sa študovať svet okolo seba. A v procese pozorovania má otázky, na ktoré je potrebné odpovedať. Odpovede sa nájdu, ale objavia sa nové otázky. V archeologických nálezoch, v stopách civilizácie, vzdialených od seba v čase a priestore, sa nachádza jeden a ten istý prvok - vzor v tvare špirály. Niektorí ho považujú za symbol slnka a spájajú ho s legendárnou Atlantídou, no jeho skutočný význam je neznámy. Čo majú spoločné tvary galaxie a atmosférického cyklónu, usporiadanie listov na stonke a semená v slnečnici? Tieto vzory sa spájajú s takzvanou „zlatou“ špirálou, úžasnou Fibonacciho postupnosťou, ktorú objavil veľký taliansky matematik 13. storočia.

História Fibonacciho čísel

Prvýkrát o tom, čo sú Fibonacciho čísla, som počul od učiteľa matematiky. Ale okrem toho, ako sa tvorí postupnosť týchto čísel, som nevedel. To je to, čím je táto sekvencia vlastne známa, ako na človeka pôsobí, a to vám chcem povedať. O Leonardovi Fibonaccim sa vie len málo. Neexistuje ani presný dátum jeho narodenia. Je známe, že sa narodil v roku 1170 v rodine obchodníka v meste Pisa v Taliansku. Fibonacciho otec bol často služobne v Alžíri a Leonardo tam študoval matematiku s arabskými učiteľmi. Následne napísal niekoľko matematických prác, z ktorých najznámejšia je „Kniha počítadla“, ktorá obsahuje takmer všetky aritmetické a algebraické informácie tej doby. 2

Fibonacciho čísla sú postupnosť čísel s množstvom vlastností. Fibonacci objavil túto číselnú postupnosť náhodou, keď sa v roku 1202 pokúsil vyriešiť praktický problém o králikoch. „Niekto umiestnil pár králikov na určité miesto, zo všetkých strán ohradený múrom, aby zistil, koľko párov králikov sa narodí počas roka, ak je povaha králikov taká, že za mesiac pár králikov rodí ďalší pár a králiky rodia od druhého mesiaca po jeho narodení. Pri riešení úlohy bral do úvahy, že každý pár králikov počas života porodí ďalšie dva páry a potom uhynie. Takto sa objavila postupnosť čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V tejto postupnosti sa každé ďalšie číslo rovná súčtu dvoch predchádzajúcich. Nazýva sa to Fibonacciho postupnosť. Matematické vlastnosti postupnosti

Chcel som preskúmať túto sekvenciu a identifikoval som niektoré jej vlastnosti. Toto pravidlo má veľký význam. Postupnosť sa pomaly blíži k určitému konštantnému pomeru približne 1,618 a pomer akéhokoľvek čísla k ďalšiemu je približne 0,618.

Možno si všimnúť množstvo zvláštnych vlastností Fibonacciho čísel: dve susedné čísla sú koprimé; každé tretie číslo je párne; každý pätnásty končí nulou; každý štvrtý je násobkom troch. Ak si vyberiete ľubovoľných 10 susedných čísel z Fibonacciho postupnosti a sčítate ich, vždy dostanete číslo, ktoré je násobkom 11. To však nie je všetko. Každý súčet sa rovná číslu 11 vynásobenému siedmym členom danej postupnosti. A tu je ďalšia zaujímavá funkcia. Pre ľubovoľné n bude súčet prvých n členov postupnosti vždy rovný rozdielu (n + 2) -tého a prvého člena postupnosti. Túto skutočnosť možno vyjadriť vzorcom: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Teraz máme nasledujúci trik: nájsť súčet všetkých členov

sekvencie medzi dvoma danými členmi, stačí nájsť rozdiel zodpovedajúcich (n+2)-x členov. Napríklad 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - a 27. Teraz hľadajme súvislosť medzi Fibonaccim, Pytagorasom a „zlatým rezom“. Najznámejším dôkazom matematického génia ľudstva je Pytagorova veta: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov jeho nôh: c 2 \u003d b 2 + a 2. Z geometrického hľadiska môžeme všetky strany pravouhlého trojuholníka považovať za strany troch na nich postavených štvorcov. Pytagorova veta hovorí, že celková plocha štvorcov postavených na nohách pravouhlého trojuholníka sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone. Ak sú dĺžky strán pravouhlého trojuholníka celé čísla, potom tvoria skupinu troch čísel nazývaných Pytagorove trojice. Pomocou Fibonacciho postupnosti môžete nájsť takéto trojice. Vezmite ľubovoľné štyri po sebe idúce čísla z postupnosti, napríklad 2, 3, 5 a 8, a zostrojte ďalšie tri čísla takto: 1) súčin dvoch extrémnych čísel: 2*8=16; 2) dvojitý súčin čísla dve čísla v strede: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) súčet druhých mocnín dvoch priemerných čísel: 3 2 +5 2 \u003d 34; 342 = 302 +162. Táto metóda funguje pre akékoľvek štyri po sebe idúce Fibonacciho čísla. Akékoľvek tri po sebe idúce čísla Fibonacciho série sa podľa očakávania správajú predvídateľným spôsobom. Ak vynásobíte ich dva extrémy a výsledok porovnáte s druhou mocninou priemerného čísla, potom sa výsledok bude vždy líšiť o jeden. Napríklad pre čísla 5, 8 a 13 dostaneme: 5*13=8 2 +1. Ak túto vlastnosť zvážime z hľadiska geometrie, môžeme si všimnúť niečo zvláštne. Rozdeľte štvorec

veľkosti 8x8 (spolu 64 malých štvorcov) na štyri časti, ktorých dĺžky strán sa rovnajú Fibonacciho číslam. Teraz z týchto častí postavíme obdĺžnik s rozmermi 5x13. Jeho rozloha je 65 malých štvorcov. Odkiaľ pochádza extra štvorec? Ide o to, že sa nevytvorí dokonalý obdĺžnik, ale ostanú malé medzery, ktoré celkovo dávajú túto dodatočnú jednotku plochy. Pascalov trojuholník má tiež spojitosť s Fibonacciho postupnosťou. Stačí napísať čiary Pascalovho trojuholníka jednu pod druhú a potom pridať prvky diagonálne. Získajte Fibonacciho sekvenciu.

Teraz zvážte „zlatý“ obdĺžnik, ktorého jedna strana je 1,618-krát dlhšia ako druhá. Na prvý pohľad sa nám môže zdať ako obyčajný obdĺžnik. Urobme si však jednoduchý experiment s dvoma obyčajnými bankovými kartami. Jednu z nich dáme vodorovne a druhú zvislo tak, aby ich spodné strany boli na jednej línii. Ak nakreslíme diagonálnu čiaru do vodorovnej mapy a predĺžime ju, uvidíme, že prejde presne cez pravý horný roh zvislej mapy - príjemné prekvapenie. Možno je to náhoda, alebo možno takéto obdĺžniky a iné geometrické tvary využívajúce „zlatý rez“ lahodia najmä oku. Myslel Leonardo da Vinci pri práci na svojom majstrovskom diele na zlatý rez? Zdá sa to nepravdepodobné. Dá sa však tvrdiť, že prepojeniu estetiky a matematiky prikladal veľký význam.

Fibonacciho čísla v prírode

Spojenie zlatého rezu s krásou nie je len vecou ľudského vnímania. Zdá sa, že samotná príroda pridelila špeciálnu úlohu F. Ak sa štvorce postupne zadávajú do „zlatého“ obdĺžnika, potom sa v každom štvorci nakreslí oblúk, potom sa získa elegantná krivka, ktorá sa nazýva logaritmická špirála. Vôbec nejde o matematickú kuriozitu. 5

Naopak, táto nádherná línia sa často nachádza vo fyzickom svete: od ulity nautila po ramená galaxií a v elegantnej špirále okvetných lístkov rozkvitnutej ruže. Súvislosti medzi zlatým rezom a Fibonacciho číslami sú početné a neočakávané. Zvážte kvetinu, ktorá vyzerá veľmi odlišne od ruže - slnečnice so semenami. Prvá vec, ktorú vidíme, je, že semená sú usporiadané do dvoch druhov špirál: v smere a proti smeru hodinových ručičiek. Ak spočítame pravotočivé špirály, dostaneme dve zdanlivo obyčajné čísla: 21 a 34. Toto nie je jediný príklad, kedy v štruktúre rastlín nájdete Fibonacciho čísla.

Príroda nám dáva množstvo príkladov usporiadania homogénnych objektov opísaných Fibonacciho číslami. V rôznych špirálovitých usporiadaniach malých častí rastlín možno zvyčajne vidieť dve rodiny špirál. V jednej z týchto rodín sa špirály krútia v smere hodinových ručičiek a v druhej - proti smeru hodinových ručičiek. Špirálové čísla jedného a druhého typu sa často ukážu ako susedné Fibonacciho čísla. Takže, keď vezmete mladú vetvičku borovice, je ľahké si všimnúť, že ihly tvoria dve špirály, ktoré idú zdola zľava doprava nahor. Na mnohých šiškách sú semená usporiadané v troch špirálach, ktoré sa jemne vinú okolo stonky šišky. Sú usporiadané v piatich špirálach, ktoré sa vinú strmo v opačnom smere. Vo veľkých kužeľoch je možné pozorovať 5 a 8 a dokonca aj 8 a 13 špirál. Na ananáse sú dobre viditeľné aj Fibonacciho špirály: zvyčajne ich je 8 a 13.

Výhonok čakanky urobí silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, vypustí list, ale už kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale menšej sily, vypustí ešte menší list a opäť vymrští. Jeho rastové impulzy postupne klesajú úmerne „zlatému“ úseku. Aby sme ocenili obrovskú úlohu Fibonacciho čísel, stačí sa pozrieť na krásu prírody okolo nás. Fibonacciho čísla možno nájsť v množstve

konáre na stonke každej rastúcej rastliny a v počte okvetných lístkov.

Spočítajme lupienky niektorých kvetov - kosatec s 3 lupeňmi, prvosienka s 5 lupeňmi, ambrózia s 13 lupeňmi, sedmokráska s 34 lupeňmi, astra s 55 lupeňmi atď. Je to náhoda, alebo je to zákon prírody? Pozrite sa na stonky a kvety rebríka. Celková Fibonacciho sekvencia teda môže ľahko interpretovať vzor prejavov „zlatých“ čísel nájdených v prírode. Tieto zákony fungujú bez ohľadu na naše vedomie a túžbu prijať ich alebo nie. Vzory „zlatej“ symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov, v stavbe jednotlivých ľudských orgánov a tela ako napr. celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a zrakového vnímania.

Fibonacciho čísla v architektúre

Zlatý rez sa prejavuje aj v mnohých pozoruhodných architektonických výtvoroch v celej histórii ľudstva. Ukazuje sa, že aj starogrécki a egyptskí matematici poznali tieto koeficienty dávno pred Fibonaccim a nazvali ich „zlatým rezom“. Princíp „zlatého rezu“ využili Gréci pri stavbe Parthenonu, Egypťania – Veľkej pyramídy v Gíze. Pokrok v stavebnej technológii a vývoj nových materiálov otvorili architektom 20. storočia nové možnosti. Američan Frank Lloyd Wright bol jedným z hlavných zástancov organickej architektúry. Krátko pred smrťou navrhol Múzeum Solomona Guggenheima v New Yorku, čo je obrátená špirála a interiér múzea pripomína mušľu nautila. Poľsko-izraelský architekt Zvi Hecker použil špirálové konštrukcie aj pri návrhu školy Heinza Galinského v Berlíne, dokončenej v roku 1995. Hecker začal s myšlienkou slnečnice s centrálnym kruhom, odkiaľ

všetky architektonické prvky sa rozchádzajú. Budova je kombinovaná

ortogonálne a koncentrické špirály, symbolizujúce interakciu obmedzeného ľudského poznania a riadeného chaosu prírody. Jeho architektúra napodobňuje rastlinu, ktorá sleduje pohyb slnka, takže triedy sú počas dňa osvetlené.

V parku Quincy, ktorý sa nachádza v Cambridge, Massachusetts (USA), často nájdete „zlatú“ špirálu. Park navrhol v roku 1997 umelec David Phillips a nachádza sa v blízkosti Clay Mathematical Institute. Táto inštitúcia je známym centrom matematického výskumu. V parku Quincy sa môžete prechádzať medzi „zlatými“ špirálami a kovovými krivkami, reliéfmi dvoch mušlí a skaly so symbolom druhej odmocniny. Na tanieri je napísaná informácia o „zlatom“ pomere. Dokonca aj parkovanie bicyklov používa symbol F.

Fibonacciho čísla v psychológii

V psychológii dochádza k zlomovým momentom, krízam, prevratom, ktoré znamenajú premenu štruktúry a funkcií duše na životnej ceste človeka. Ak človek úspešne prekonal tieto krízy, stáva sa schopným riešiť problémy novej triedy, o ktorých predtým ani neuvažoval.

Prítomnosť zásadných zmien dáva dôvod považovať čas života za rozhodujúci faktor rozvoja duchovných vlastností. Koniec koncov, príroda nám meria čas nie veľkoryso, „nezáleží na tom, koľko ho bude, toľko bude“, ale len toľko, aby sa proces vývoja zhmotnil:

v štruktúrach tela;

v citoch, myslení a psychomotorike – kým nezískajú harmónia potrebné pre vznik a spustenie mechanizmu

tvorivosť;

v štruktúre energetického potenciálu človeka.

Vývoj tela nemožno zastaviť: dieťa sa stáva dospelým. S mechanizmom kreativity nie je všetko také jednoduché. Jeho vývoj možno zastaviť a zmeniť jeho smerovanie.

Je šanca dobehnúť čas? Bezpochyby. Na to však musíte na sebe veľa pracovať. To, čo sa vyvíja slobodne, prirodzene, si nevyžaduje zvláštne úsilie: dieťa sa vyvíja slobodne a nevníma túto obrovskú prácu, pretože proces slobodného rozvoja sa vytvára bez násilia voči sebe samému.

Ako sa chápe zmysel životnej cesty v každodennom vedomí? Obyvateľ to vidí takto: na úpätí - narodenie, na vrchole - rozkvet života a potom - všetko ide dole vodou.

Múdry človek povie: všetko je oveľa komplikovanejšie. Výstup delí na etapy: detstvo, dospievanie, mladosť... Prečo je to tak? Len málo ľudí je schopných odpovedať, hoci každý si je istý, že ide o uzavreté, integrálne etapy života.

Aby zistil, ako sa vyvíja mechanizmus tvorivosti, V.V. Klimenko použil matematiku, konkrétne zákony Fibonacciho čísel a podiel „zlatého rezu“ – zákony prírody a ľudského života.

Fibonacciho čísla rozdeľujú náš život na etapy podľa počtu prežitých rokov: 0 - začiatok odpočítavania - dieťa sa narodilo. Stále mu chýba nielen psychomotorika, myslenie, cítenie, predstavivosť, ale aj prevádzkový energetický potenciál. On je začiatkom nového života, novej harmónie;

1 - dieťa si osvojilo chôdzu a ovláda najbližšie prostredie;

2 - rozumie reči a koná pomocou slovných pokynov;

3 - koná prostredníctvom slova, kladie otázky;

5 - "vek milosti" - harmónia psychomotoriky, pamäti, predstavivosti a pocitov, ktoré už dieťaťu umožňujú objať svet v celej jeho celistvosti;

8 - do popredia sa dostávajú pocity. Slúži im predstavivosť a myslenie silou svojej kritickosti je zamerané na podporu vnútornej a vonkajšej harmónie života;

13 - začína fungovať mechanizmus talentu zameraný na transformáciu materiálu získaného v procese dedenia, rozvoj vlastného talentu;

21 - mechanizmus tvorivosti sa priblížil k stavu harmónie a pokúšajú sa vykonávať talentovanú prácu;

34 - harmónia myslenia, cítenia, predstavivosti a psychomotoriky: rodí sa schopnosť brilantnej práce;

55 - v tomto veku je človek pri zachovanej harmónii duše a tela pripravený stať sa tvorcom. Atď…

Čo sú Fibonacciho pätky? Možno ich prirovnať k priehradám na ceste životom. Tieto priehrady čakajú na každého z nás. V prvom rade je potrebné prekonať každý z nich a potom trpezlivo zvyšovať úroveň svojho rozvoja, až kým sa jedného dňa nerozpadne a otvorí sa cesta k ďalšiemu voľnému toku.

Teraz, keď sme pochopili význam týchto uzlových bodov vývoja veku, skúsme rozlúštiť, ako sa to všetko deje.

V 1 roku dieťa sa učí chodiť. Predtým poznal svet prednou hlavou. Teraz poznáva svet svojimi rukami – výlučným privilégiom človeka. Zviera sa pohybuje v priestore a on, poznávajúc, ovláda priestor a ovláda územie, na ktorom žije.

2 roky rozumie slovu a koná v súlade s ním. Znamená to, že:

dieťa sa naučí minimálny počet slov - významy a vzorce konania;

napriek tomu sa neoddeľuje od prostredia a je zlúčený do celistvosti s prostredím,

Preto koná podľa pokynov niekoho iného. V tomto veku je pre rodičov najposlušnejší a najpríjemnejší. Zo zmyslového človeka sa dieťa mení na vedomého človeka.

3 roky- pôsobenie pomocou vlastného slova. Oddelenie tohto človeka od okolia už prebehlo – a učí sa byť samostatne konajúcou osobou. Preto on:

vedome sa stavia proti okoliu a rodičom, učiteľkám materských škôl a pod.;

uvedomuje si svoju suverenitu a bojuje za nezávislosť;

snaží sa podriadiť svojej vôli blízkych a známych ľudí.

Teraz je pre dieťa slovo čin. Tu začína konajúca osoba.

5 rokov- Vek milosti. Je zosobnením harmónie. Hry, tance, obratné pohyby - všetko je nasýtené harmóniou, ktorú sa človek snaží zvládnuť vlastnou silou. Harmonická psychomotorika prispieva k uvedeniu do nového stavu. Preto je dieťa nasmerované na psychomotorickú aktivitu a snaží sa o čo najaktívnejšie činy.

Materializácia produktov práce citlivosti sa uskutočňuje prostredníctvom:

schopnosť zobraziť prostredie a seba ako súčasť tohto sveta (počujeme, vidíme, dotýkame sa, čucháme atď. – pre tento proces pracujú všetky zmyslové orgány);

schopnosť navrhovať vonkajší svet vrátane seba

(tvorba druhej prirodzenosti, hypotézy – urobiť oboje zajtra, postaviť nový stroj, vyriešiť problém), silami kritického myslenia, citov a predstavivosti;

schopnosť vytvárať druhé, človekom vytvorené produkty činnosti (realizácia plánu, špecifické duševné alebo psychomotorické akcie s konkrétnymi objektmi a procesmi).

Po 5 rokoch prichádza mechanizmus predstavivosti a začína dominovať nad ostatnými. Dieťa robí obrovskú prácu, vytvára fantastické obrazy a žije vo svete rozprávok a mýtov. Hypertrofia detskej predstavivosti spôsobuje u dospelých prekvapenie, pretože predstavivosť nijako nezodpovedá realite.

8 rokov- pocity sa dostávajú do popredia a ich vlastné merania pocitov (kognitívne, morálne, estetické) vznikajú vtedy, keď dieťa neomylne:

hodnotí známe a neznáme;

rozlišuje mravné od nemorálneho, mravné od nemorálneho;

krása z toho, čo ohrozuje život, harmónia z chaosu.

13 ročný- začína fungovať mechanizmus tvorivosti. To však neznamená, že pracuje na plný výkon. Do popredia sa dostáva jeden z prvkov mechanizmu a všetky ostatné prispievajú k jeho práci. Ak sa aj v tomto vekovom období vývinu zachová harmónia, ktorá takmer stále prestavuje svoju štruktúru, potom sa dieťa bezbolestne dostane na ďalšiu hrádzu, nebadane ju prekoná a bude žiť vo veku revolucionára. Vo veku revolucionára musí mládež urobiť nový krok vpred: oddeliť sa od najbližšej spoločnosti a žiť v nej harmonický život a činnosť. Nie každý dokáže vyriešiť tento problém, ktorý sa vynára pred každým z nás.

21 rokov starý Ak revolucionár úspešne prekonal prvý harmonický vrchol života, potom jeho mechanizmus talentu je schopný naplniť talentovaného

práca. Pocity (kognitívne, morálne alebo estetické) niekedy zatieňujú myslenie, ale vo všeobecnosti všetky prvky fungujú v harmónii: pocity sú otvorené svetu a logické myslenie je schopné pomenovať a nájsť miery vecí z tohto vrcholu.

Mechanizmus tvorivosti, ktorý sa normálne rozvíja, dosahuje stav, ktorý mu umožňuje prijímať určité ovocie. Začína pracovať. V tomto veku nastupuje mechanizmus pocitov. Keď sa predstavivosť a jej produkty hodnotia citmi a myslením, vzniká medzi nimi antagonizmus. Pocity víťazia. Táto schopnosť postupne naberá na sile a chlapec ju začína využívať.

34 rokov- rovnováha a harmónia, produktívna efektivita talentu. Harmónia myslenia, cítenia a predstavivosti, psychomotorika, ktorá sa dopĺňa optimálnym energetickým potenciálom, a mechanizmus ako celok – rodí sa príležitosť na brilantnú prácu.

55 rokov- človek sa môže stať tvorcom. Tretí harmonický vrchol života: myslenie si podmaňuje silu citov.

Fibonacciho čísla pomenúvajú etapy ľudského vývoja. To, či človek prejde touto cestou bez zastavenia, závisí od rodičov a učiteľov, vzdelávacieho systému a potom od seba samého a od toho, ako sa človek naučí a prekoná sám seba.

Na ceste životom človek objaví 7 predmetov vzťahov:

Od narodenín do 2 rokov - objavovanie fyzického a objektívneho sveta bezprostredného prostredia.

Od 2 do 3 rokov - objavovanie seba samého: "Som sám sebou."

Od 3 do 5 rokov - reč, efektívny svet slov, harmónia a systém "ja - ty".

Od 5 do 8 rokov - objavovanie sveta myšlienok, pocitov a obrazov iných ľudí - systém "Ja - My".

Od 8 do 13 rokov - objavenie sveta úloh a problémov, ktoré riešia géniovia a talenty ľudstva - systém "Ja - spiritualita".

Od 13 do 21 rokov - objavenie schopnosti samostatne riešiť známe úlohy, keď myšlienky, pocity a predstavivosť začnú aktívne pracovať, vzniká systém "ja - noosféra".

Od 21 do 34 rokov - objav schopnosti vytvárať nový svet alebo jeho fragmenty - uvedomenie si sebapoňatia "Ja som Stvoriteľ".

Životná cesta má časopriestorovú štruktúru. Pozostáva z veku a jednotlivých fáz, determinovaných mnohými parametrami života. Človek do určitej miery ovláda okolnosti svojho života, stáva sa tvorcom svojich dejín a tvorcom dejín spoločnosti. Skutočne tvorivý postoj k životu sa však neprejaví hneď a dokonca ani u každého človeka. Medzi fázami životnej cesty existujú genetické väzby a to určuje jej prirodzený charakter. Z toho vyplýva, že v zásade je možné predpovedať budúci vývoj na základe poznania jeho raných fáz.

Fibonacciho čísla v astronómii

Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm z 18. storočia pomocou Fibonacciho série našiel pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy. Ale jeden prípad sa zdal byť v rozpore so zákonom: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Ale po smrti Titia na začiatku XIX storočia. sústredené pozorovanie tejto časti oblohy viedlo k objavu pásu asteroidov.

Záver

V procese výskumu som zistil, že Fibonacciho čísla sú široko používané v technickej analýze cien akcií. Jedným z najjednoduchších spôsobov využitia Fibonacciho čísel v praxi je určiť dobu, po ktorej dôjde k udalosti, napríklad k zmene ceny. Analytik spočíta určitý počet Fibonacciho dní alebo týždňov (13,21,34,55 atď.) od predchádzajúcej podobnej udalosti a urobí predpoveď. Ale toto je pre mňa príliš ťažké zistiť. Hoci bol Fibonacci najväčším matematikom stredoveku, jedinými pamiatkami na Fibonacciho sú socha pred šikmou vežou v Pise a dve ulice, ktoré nesú jeho meno, jedna v Pise a druhá vo Florencii. A predsa sa v súvislosti so všetkým, čo som videl a čítal, vynárajú celkom prirodzené otázky. Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho snažil urobiť dokonalým? čo bude ďalej? Keď nájdeš odpoveď na jednu otázku, dostaneš ďalšiu. Ak ho vyriešite, získate dva nové. Vysporiadajte sa s nimi, objavia sa ďalšie tri. Po ich vyriešení získate päť nevyriešených. Potom osem, trinásť a tak ďalej. Nezabudnite, že na dvoch rukách je päť prstov, z ktorých dva pozostávajú z dvoch falangov a osem z nich pozostáva z troch.

Literatúra:

Voloshinov A.V. "Matematika a umenie", M., Osvietenie, 1992

Vorobyov N.N. "Fibonacciho čísla", M., Nauka, 1984

Stakhov A.P. "Da Vinciho kód a Fibonacciho séria", Peter Format, 2006

F. Corvalan „Zlatý pomer. Matematický jazyk krásy“, M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. „Citlivé obdobia života a ich kódy“.

"Fibonacciho čísla". Wikipedia

Fibonacciho čísla... v prírode a živote

Fibonacciho sekvencia začína takto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Kompletná definícia Fibonacciho čísel

3.

Vlastnosti Fibonacciho sekvencie

2. Pri delení každého čísla ďalším číslom dostaneme číslo 0,382 cez jednotku; naopak - respektíve 2,618.

3. Výberom pomerov týmto spôsobom získame hlavnú množinu Fibonacciho koeficientov: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Vzťah medzi Fibonacciho sekvenciou a „zlatým rezom“

Predstavme si zlatý rez na príklade segmentu.

Uvažujme segment s koncami A a B. Nech bod C rozdelí segment AB tak,

AC/CB = CB/AB príp

AB/CB = CB/AC.

Môžete si to predstaviť takto: A-–C--–B

Fibonacciho proporcie a zlatý rez v prírode a histórii

11.

Nižšie uvedené príklady ukazujú niektoré zaujímavé aplikácie tejto matematickej postupnosti.

12.

Jašterica je živorodá. U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie, ktoré lahodia našim očiam - dĺžka chvosta sa vzťahuje k dĺžke zvyšku tela 62 až 38.

Oblasť trojuholníka

356 x 440 / 2 = 78 320

štvorcová plocha

280 x 280 = 78 400

Spomedzi mnohých vynálezov veľkých vedcov v minulých storočiach je najzaujímavejšie a najužitočnejšie objavovanie zákonitostí vývoja nášho vesmíru vo forme sústavy čísel. Túto skutočnosť vo svojej práci opísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Číselný rad je postupnosť číslic, v ktorej každá hodnota člena je súčtom dvoch predchádzajúcich. Tento systém vyjadruje informácie zakotvené v štruktúre všetkého živého v súlade s harmonickým vývojom.

Veľký vedec Fibonacci

Taliansky vedec žil a pracoval v XIII storočí v meste Pisa. Narodil sa v rodine obchodníka a najprv pracoval so svojím otcom v obchode. Leonardo Fibonacci prišiel k matematickým objavom, keď sa v tom čase pokúšal nadviazať kontakty s obchodnými partnermi.

Vedec urobil svoj objav pri výpočte plánovania potomstva králikov na žiadosť jedného zo svojich vzdialených príbuzných. Otvoril číselný rad, podľa ktorého sa bude vykonávať rozmnožovanie zvierat. Tento vzorec opísal vo svojej práci „The Book of Calculations“, kde uviedol aj informácie o desatinnej čiarke pre európske krajiny.

"Zlatý" objav

Číselný rad možno graficky vyjadriť ako rozširujúcu sa špirálu. Je možné poznamenať, že v prírode existuje veľa príkladov, ktoré sú založené na tomto obrázku, napríklad valiace sa vlny, štruktúra galaxií, mikrokapiláry v ľudskom tele a

Je zaujímavé, že čísla v tomto systéme (Fibonacciho koeficienty) sa považujú za „živé“ čísla, pretože všetky živé veci sa vyvíjajú podľa tohto postupu. Tento vzor bol známy aj ľuďom starovekých civilizácií. Existuje verzia, že už v tom čase bolo známe, ako skúmať konvergenciu číselného radu - najdôležitejší problém v postupnosti čísel.

Aplikácia Fibonacciho teórie

Po preskúmaní svojho číselného radu taliansky vedec zistil, že pomer číslic z danej postupnosti k ďalšiemu členovi je 0,618. Táto hodnota sa nazýva faktor proporcionality alebo „zlatý rez“. Je známe, že toto číslo používali Egypťania pri stavbe slávnej pyramídy, ako aj starí Gréci a ruskí architekti pri stavbe klasických stavieb – chrámov, kostolov atď.

Zaujímavým faktom však je, že Fibonacciho číselný rad sa používa aj pri odhadovaní pohybu cien pre Využitie tejto postupnosti v technickej analýze navrhol inžinier Ralph Elliot na začiatku minulého storočia. V 30-tych rokoch sa americký finančník zaoberal predpovedaním cien akcií, najmä štúdiom indexu Dow Jones, ktorý je jednou z hlavných zložiek akciového trhu. Po sérii úspešných predpovedí publikoval niekoľko svojich článkov, v ktorých opísal metódy využitia Fibonacciho série.

V súčasnosti takmer všetci obchodníci používajú Fibonacciho teóriu pri predpovedaní pohybu cien. Táto závislosť sa tiež používa v mnohých vedeckých štúdiách v rôznych oblastiach. Vďaka objavu veľkého vedca môže aj po mnohých storočiach vzniknúť množstvo užitočných vynálezov.