Progresia aritmu. Súčet aritmetického postupu

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Číselná postupnosť

Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Číselná postupnosť
Napríklad pre našu postupnosť:

Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Takáto číselná postupnosť sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius už v 6. storočí a v širšom zmysle sa chápal ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorou sa zaoberali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu, pripočítaný rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajte naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého člena. Existovať dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

K predchádzajúcej hodnote čísla progresie môžeme pridávať, až kým nedosiahneme tý člen progresie. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Takže -tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Spôsob

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám trvalo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nepomýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom k predchádzajúcej hodnote nemusíte pripočítať rozdiel aritmetickej progresie. Pozrite sa pozorne na nakreslený obrázok ... Určite ste si už všimli určitý vzor, a to:

Pozrime sa napríklad, čo tvorí hodnotu -tého člena tejto aritmetickej postupnosti:

Inými slovami:

Pokúste sa týmto spôsobom nezávisle nájsť hodnotu člena tejto aritmetickej progresie.

Vypočítané? Porovnajte svoje príspevky s odpoveďou:

Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pripočítali členy aritmetickej progresie.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - poďme ho vniesť do všeobecná forma a získaj:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa buď zvyšujú alebo znižujú.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Poďme si to overiť v praxi.
Je nám dané aritmetická progresia, pozostávajúce z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké -té číslo tejto aritmetickej postupnosti vyjde, ak pri jej výpočte použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Presvedčili sme sa teda, že vzorec funguje tak pri znižovaní, ako aj pri zvyšovaní aritmetickej progresie.
Skúste sami nájsť -tý a -tý člen tejto aritmetickej postupnosti.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Skomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Predpokladajme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Je to jednoduché, poviete si, a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Dovoľte, a, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť robiť chyby vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite, je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno a pokúsime sa to teraz priniesť.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože poznáme vzorec na jeho nájdenie - je to rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, potom:

predchádzajúci člen postupu je:
ďalší termín postupu je:

Zhrňme predchádzajúcich a nasledujúcich členov postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, na nájdenie hodnoty progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a následnými hodnotami je potrebné ich sčítať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progresie si vypočítajte sami, pretože to nie je vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss ...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce študentov v iných triedach, položil na hodine nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzené čísla od do (podľa iných zdrojov až do) vrátane. Aké bolo prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (bol to Karl Gauss) po minúte dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok ...

Mladý Carl Gauss si všimol vzor, ktorý si môžete ľahko všimnúť.
Povedzme, že máme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z členov -ti: Potrebujeme nájsť súčet daných členov aritmetickej postupnosti. Samozrejme, môžeme všetky hodnoty sčítať ručne, ale čo ak potrebujeme v úlohe nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Znázornime postup, ktorý nám bol daný. Pozorne si prezrite zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.

Vyskúšali? čo si si všimol? Správne! Ich sumy sú rovnaké

Teraz odpovedzte, koľko takýchto párov bude v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej postupnosti je rovnaký a podobných rovnakých párov, dostaneme, že celková suma rovná sa:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme progresívny rozdiel. Pokúste sa dosadiť do súčtového vzorca vzorec tého člena.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý dostal Carl Gauss: vypočítajte si sami, aký je súčet čísel začínajúcich od -tého a súčet čísel začínajúcich od -tého.

koľko si dostal?
Gauss ukázal, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Takto ste sa rozhodli?

V skutočnosti vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal staroveký grécky vedec Diophantus už v 3. storočí a počas tejto doby vtipní ľudia používali vlastnosti aritmetického postupu s mocou a hlavným.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčšie stavenisko tej doby – stavbu pyramídy... Na obrázku je znázornená jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríš? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.

Prečo nie aritmetický postup? Spočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené v základni. Dúfam, že nebudete počítať pohybom prsta po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

AT tento prípad postup vyzera takto:
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov počítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete počítať aj na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Súhlasilo to? Výborne, zvládli ste súčet členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si spočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Podarilo sa ti?
Správna odpoveď je bloky:

Posilovať

Úlohy:

Máša sa na leto dostáva do formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát bude Masha drepovať za týždne, ak urobila drepy na prvom tréningu.
Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
Drevorubci ich pri ukladaní guľatiny naskladajú tak, že každá vrchná vrstva obsahuje o jeden denník menej ako predchádzajúci. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny.

odpovede:

Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
(týždne = dni).
odpoveď: Za dva týždne by mala Masha raz denne drepovať.
Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet nepárnych čísel na polovicu si však overte pomocou vzorca na nájdenie -tého člena aritmetickej postupnosti:
Čísla obsahujú nepárne čísla.
Dostupné údaje dosadíme do vzorca:
odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v sa rovná.
Spomeňte si na problém o pyramídach. Pre náš prípad a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, existuje len veľa vrstiev, to jest.
Nahraďte údaje vo vzorci:
odpoveď: V murive sú guľatiny.

Zhrnutie

- číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Zvyšuje sa a klesá.
Hľadanie vzorcačlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde - počet čísel v postupnosti.
Súčet členov aritmetickej postupnosti možno nájsť dvoma spôsobmi:

, kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. STREDNÁ ÚROVEŇ

Číselná postupnosť

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy sa dá povedať, ktorý z nich je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to iba s jedným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi vhodné, ak -tý člen postupnosti môže byť daný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel). Alebo (, rozdiel).

vzorec n-tého členu

Rekurentný nazývame vzorec, v ktorom na zistenie -tého člena potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou takéhoto vzorca, musíme vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad nech. potom:

No, teraz je jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Prečo? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickom postupe nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

rozhodnutie:

Prvý člen je rovný. a aky je v tom rozdiel? A tu je čo:

(napokon sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec vypočítal túto sumu za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko je takýchto párov? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takze

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferné čísla, násobky.

rozhodnutie:

Prvé takéto číslo je toto. Každý ďalší sa získa pridaním čísla k predchádzajúcemu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetický postup s prvým členom a rozdielom.

Vzorec pre th term pre túto postupnosť je:

Koľko výrazov je v postupe, ak musia byť všetky dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

Každý deň zabehne športovec o 1 m viac ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov zabehne za týždne, ak prvý deň zabehol km m?
Cyklista najazdí každý deň viac kilometrov ako ten predchádzajúci. Prvý deň precestoval km. Koľko dní musí jazdiť, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde v posledný deň cesty?
Cena chladničky v predajni sa každoročne znižuje o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

odpovede:

Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
.
odpoveď:
Tu je dané:, treba nájsť.
Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
.
Nahraďte hodnoty:
Koreň evidentne nesedí, takže odpoveď.
Vypočítajme vzdialenosť prejdenú za posledný deň pomocou vzorca -tého člena:
(km).
odpoveď:
Vzhľadom na to: . Nájsť: .
Jednoduchšie to už nebude:
(drhnúť).
odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNOM

Toto je číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup sa zvyšuje () a klesá ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje ako vzorec, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Uľahčuje to nájsť člena progresie, ak sú známi jeho susední členovia - kde je počet čísel v progresii.

Súčet členov aritmetickej postupnosti

Súčet možno nájsť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Problémy s aritmetickým postupom existujú už od staroveku. Objavili sa a dožadovali sa riešenia, pretože mali praktickú potrebu.

Takže v jednom z papyrusov staroveký Egypt, ktorý má matematický obsah – Rhindov papyrus (19. storočie pred n. l.) – obsahuje nasledujúcu úlohu: rozdeliť desať mier chleba desiatim ľuďom za predpokladu, že rozdiel medzi každým z nich je jedna osmina miery.

A v matematických dielach starých Grékov existujú elegantné vety súvisiace s aritmetickým postupom. Hypsicles z Alexandrie (2. storočie, ktorý zostavil mnoho zaujímavých problémov a pridal štrnástu knihu k Euklidovým „Prvkom“, sformuloval myšlienku: „V aritmetickom postupe s párnym počtom členov, súčet členov 2. pol. je väčší ako súčet členov 1. o štvorec 1/2 členov.

Označuje sa postupnosť an. Čísla postupnosti sa nazývajú jej členovia a zvyčajne sa označujú písmenami s indexmi, ktoré označujú poradové číslo tohto člena (a1, a2, a3 ... znie: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd “ a tak ďalej).

Postupnosť môže byť nekonečná alebo konečná.

Čo je to aritmetická progresia? Rozumie sa ako získané pripočítaním predchádzajúceho člena (n) s rovnakým číslom d, čo je rozdiel progresie.

Ak d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potom sa takáto progresia považuje za rastúcu.

Aritmetická progresia sa považuje za konečnú, ak sa berie do úvahy len niekoľko jej prvých členov. Vo veľmi vo veľkom počtečlenov už je nekonečná progresia.

Akákoľvek aritmetická progresia je daná nasledujúcim vzorcom:

an =kn+b, pričom b a k sú nejaké čísla.

Opačné tvrdenie je absolútne pravdivé: ak je postupnosť daná podobným vzorcom, potom ide presne o aritmetickú progresiu, ktorá má vlastnosti:

Každý člen postupu je aritmetickým priemerom predchádzajúceho člena a nasledujúceho člena.
Opak: ak od 2. je každý člen aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho, t.j. ak je podmienka splnená, potom je daná postupnosť aritmetickou progresiou. Táto rovnosť je zároveň znakom progresie, preto sa zvykne nazývať charakteristická vlastnosť progresie.
Rovnakým spôsobom je pravdivá veta, ktorá odráža túto vlastnosť: postupnosť je aritmetickou progresiou iba vtedy, ak táto rovnosť platí pre ktorýkoľvek z členov postupnosti, počnúc od 2.

Charakteristická vlastnosť pre ľubovoľné štyri čísla aritmetickej progresie môže byť vyjadrená vzorcom an + am = ak + al, ak n + m = k + l (m, n, k sú čísla progresie).

V aritmetickej postupnosti je možné nájsť akýkoľvek potrebný (N-tý) člen použitím nasledujúceho vzorca:

Napríklad: prvý člen (a1) v aritmetickej postupnosti je daný a rovná sa trom a rozdiel (d) sa rovná štyrom. Musíte nájsť štyridsiaty piaty termín tohto postupu. a45 = 1+4 (45-1) = 177

Vzorec an = ak + d(n - k) nám umožňuje určiť n-tý člen aritmetický postup cez ktorýkoľvek z jeho k-tých členov za predpokladu, že je známy.

Súčet členov aritmetickej postupnosti (za predpokladu 1. n členov konečná progresia) sa vypočíta takto:

Sn = (al+an) n/2.

Ak je známy aj prvý člen, na výpočet je vhodný iný vzorec:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Súčet aritmetickej progresie, ktorá obsahuje n členov, sa vypočíta takto:

Výber vzorcov pre výpočty závisí od podmienok úloh a počiatočných údajov.

Prirodzený rad ľubovoľných čísel ako 1,2,3,...,n,...- najjednoduchší príklad aritmetická progresia.

Okrem aritmetického postupu existuje aj geometrický postup, ktorý má svoje vlastné vlastnosti a charakteristiky.

Mnohí počuli o aritmetickej progresii, ale nie každý si dobre uvedomuje, čo to je. V tomto článku uvedieme vhodnú definíciu a tiež zvážime otázku, ako nájsť rozdiel v aritmetickej progresii, a uvedieme niekoľko príkladov.

Matematická definícia

Ak teda hovoríme o aritmetickej alebo algebraickej postupnosti (tieto pojmy definujú to isté), znamená to, že existuje číselný rad uspokojujúce ďalší zákon: každé dve susedné čísla v rade sa líšia o rovnakú hodnotu. Matematicky je to napísané takto:

Tu n znamená číslo prvku a n v postupnosti a číslo d je rozdiel postupnosti (jej názov vyplýva z uvedeného vzorca).

Čo znamená poznať rozdiel d? O tom, ako ďaleko sú od seba susedné čísla. Znalosť d je však nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou na určenie (obnovenie) celej progresie. Potrebujete vedieť ešte jedno číslo, ktorým môže byť absolútne akýkoľvek prvok zvažovanej série, napríklad 4, a10, ale spravidla sa používa prvé číslo, to znamená 1.

Vzorce na určenie prvkov progresie

Vo všeobecnosti už vyššie uvedené informácie postačujú na to, aby sme pristúpili k riešeniu konkrétnych problémov. Pred uvedením aritmetického postupu a bude potrebné nájsť jeho rozdiel, uvádzame niekoľko užitočných vzorcov, ktoré uľahčia následný proces riešenia problémov.

Je ľahké ukázať, že akýkoľvek prvok postupnosti s číslom n možno nájsť takto:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Skutočne, každý môže tento vzorec skontrolovať jednoduchým vymenovaním: ak dosadíte n = 1, dostanete prvý prvok, ak nahradíte n = 2, potom výraz udáva súčet prvého čísla a rozdielu atď. .

Podmienky mnohých úloh sú zostavené tak, že pre známu dvojicu čísel, ktorých čísla sú uvedené aj v postupnosti, je potrebné obnoviť celý číselný rad (nájsť rozdiel a prvý prvok). Teraz tento problém vyriešime všeobecným spôsobom.

Povedzme teda, že máme dva prvky s číslami n a m. Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžeme zostaviť systém dvoch rovníc:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Na nájdenie neznámych veličín použijeme na riešenie takejto sústavy známu jednoduchú metódu: odčítame ľavú a pravú časť v pároch, pričom rovnosť zostáva v platnosti. Máme:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tým sme vylúčili jednu neznámu (a 1). Teraz môžeme napísať konečný výraz na určenie d:

d = (a n - a m) / (n - m), kde n > m

Získali sme veľmi jednoduchý vzorec: na výpočet rozdielu d v súlade s podmienkami úlohy je potrebné vziať iba pomer rozdielov medzi samotnými prvkami a ich sériovými číslami. Treba sa zamerať na jednu dôležitý bod poznámka: rozdiely sa berú medzi „vyššími“ a „nižšími“ členmi, teda n > m („vyššie“ znamená stojace ďalej od začiatku sekvencie, jej absolútna hodnota môže byť väčšia alebo menšia ako „mladší“ "prvok).

Výraz pre rozdiel d postupu je potrebné dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc na začiatku riešenia úlohy, aby sme získali hodnotu prvého člena.

V našom veku rozvoja počítačových technológií sa veľa školákov snaží nájsť riešenia svojich úloh na internete, takže často vznikajú otázky tohto typu: nájdite rozdiel aritmetického postupu online. Na takúto požiadavku vyhľadávač zobrazí množstvo webových stránok, na ktoré je potrebné zadať údaje známe z podmienky (môže ísť o dva členy progresie alebo súčet niektorých z nich) a okamžite dostanete odpoveď. Napriek tomu je takýto prístup k riešeniu problému neproduktívny z hľadiska rozvoja žiaka a chápania podstaty zadanej úlohy.

Riešenie bez použitia vzorcov

Vyriešme prvý problém, pričom nepoužijeme žiadny z vyššie uvedených vzorcov. Nech sú dané prvky radu: a6 = 3, a9 = 18. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti.

Známe prvky sú blízko seba v rade. Koľkokrát treba pripočítať rozdiel d k najmenšiemu, aby sme dostali najväčší? Trikrát (prvýkrát pridaním d dostaneme 7. prvok, druhýkrát - ôsmy, nakoniec tretíkrát - deviaty). Aké číslo treba pridať k trom trikrát, aby ste dostali 18? Toto je číslo päť. naozaj:

Neznámy rozdiel je teda d = 5.

Samozrejme, riešenie by sa dalo urobiť pomocou vhodného vzorca, ale nebolo to urobené úmyselne. Podrobné vysvetlenie riešenia problému by sa malo stať jasným a názorným príkladom toho, čo je aritmetická progresia.

Úloha podobná predchádzajúcej

Teraz vyriešme podobný problém, ale zmeňme vstupné údaje. Mali by ste teda zistiť, či a3 = 2, a9 = 19.

Samozrejme, opäť sa môžete uchýliť k metóde riešenia „na čelo“. Ale keďže sú dané prvky série, ktoré sú od seba relatívne vzdialené, takáto metóda nie je príliš pohodlná. Ale použitie výsledného vzorca nás rýchlo privedie k odpovedi:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Tu sme zaokrúhlili konečné číslo. Do akej miery toto zaokrúhľovanie viedlo k chybe, sa dá posúdiť skontrolovaním výsledku:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Tento výsledok sa líši len o 0,1 % od hodnoty uvedenej v podmienke. Preto možno za dobrú voľbu považovať použité zaokrúhľovanie na stotiny.

Úlohy na použitie vzorca pre člena

Zvážte klasický príkladúlohy na určenie neznámej d: nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti, ak a1 = 12, a5 = 40.

Keď sú zadané dve čísla neznámej algebraickej postupnosti a jedno z nich je prvok a 1 , potom nemusíte dlho premýšľať, ale mali by ste okamžite použiť vzorec pre člen a n. V tomto prípade máme:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pri delení sme dostali presné číslo, takže nemá zmysel kontrolovať správnosť vypočítaného výsledku, ako to bolo urobené v predchádzajúcom odseku.

Vyriešme ďalší podobný problém: mali by sme nájsť rozdiel aritmetickej postupnosti, ak a1 = 16, a8 = 37.

Použijeme podobný prístup ako predchádzajúci a dostaneme:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Čo by ste ešte mali vedieť o aritmetickej progresii

Okrem úloh nájsť neznámy rozdiel resp jednotlivé prvky, je často potrebné riešiť úlohy súčtu prvých členov postupnosti. Zváženie týchto problémov presahuje rámec témy článku, pre úplnosť informácií však uvádzame všeobecný vzorec pre súčet n čísel radu:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom solídne.

Najprv sa pozrime na význam a vzorec súčtu. A potom sa rozhodneme. Pre vaše vlastné potešenie.) Význam sumy je taký jednoduchý ako zníženie. Ak chcete nájsť súčet aritmetického postupu, stačí opatrne pridať všetky jeho členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa ... sčítanie je otravné.) V tomto prípade vzorec šetrí.

Vzorec súčtu je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veľa vyjasní.

S n je súčet aritmetickej progresie. Výsledok sčítania všetkyčlenov, s najprv na posledný. To je dôležité. Zrátajte presne všetkyčlenov v rade, bez medzier a skokov. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov päť až dvadsiaty, bude priame použitie vzorca sklamaním.)

1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo riadku. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n je číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci je toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných členov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Doplňujúca otázka: aký člen bude posledný, ak je daný nekonečné aritmetický postup?

Pre spoľahlivú odpoveď musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a ... pozorne si prečítajte zadanie!)

Pri úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, aký druh progresie je daný: konečný alebo nekonečný. Nezáleží na tom, ako je to dané: radom čísel, alebo vzorcom n-tého člena.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti až po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe toto všetko cenné informáciečasto zašifrované, áno... Ale to je v poriadku, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh pre súčet aritmetického postupu.

v prvom rade užitočné informácie:

Hlavnou ťažkosťou úloh pre súčet aritmetickej progresie je správne určenie prvkov vzorca.

Autori zadaní zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou fantáziou.) Tu ide hlavne o to nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich len dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Na určenie množstva podľa vzorca, čo potrebujeme vedieť? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného termínu n.

Kde získať posledné členské číslo n? Áno, na tom istom mieste, v stave! Hovorí sa nájsť sumu prvých 10 členov. No aké to bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n dosadíme do vzorca 10, ale namiesto toho n- desať. Opäť platí, že číslo posledného člena je rovnaké ako počet členov.

Zostáva určiť 1 a 10. Toto sa ľahko vypočíta podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho - nič.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich nahradiť a počítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2.3. Nájdite súčet prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak v sumárnom vzorci namiesto a n stačí dosadiť vzorec n-tého člena, dostaneme:

Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej progresie:

Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje. a n. V niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete zapamätať. A môžete ho jednoducho stiahnuť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen si treba zapamätať v každom smere.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.

Ako! Žiadny prvý člen, žiadny posledný, vôbec žiadny postup... Ako žiť!?

Budete musieť myslieť hlavou a vytiahnuť z podmienky všetky prvky súčtu aritmetickej progresie. Čo sú to dvojciferné čísla - vieme. Skladajú sa z dvoch čísel.) Aké dvojciferné číslo bude najprv? 10, pravdepodobne.) posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú rovnomerne deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už môžete napísať sériu podľa stavu problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý výraz sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak sa k pojmu pridá 2, alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo sa už nebude deliť 3. Okamžite môžete určiť rozdiel aritmetického postupu na haldu: d = 3. Užitočné!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla - vždy idú za sebou a naši členovia preskakujú prvú trojku. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete namaľovať postupnosť, celý rad čísel a počet členov spočítať prstom.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak vzorec použijeme na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Vytiahli sme všetko potrebné na výpočet sumy zo stavu problému:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zostáva elementárna aritmetika. Dosaďte čísla vo vzorci a vypočítajte:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnych hádaniek:

4. Uvádza sa aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozrieme sa na súčtový vzorec a ... sme naštvaní.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, vypočíta súčet od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete samozrejme namaľovať celý postup v rade a dať členov od 20 do 34. Ale ... nejako hlúpo a na dlho, nie?)

Je ich viac elegantné riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - dvadsať až tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet podmienok prvej časti S 1-19, pripočítajme to k súčtu členov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To ukazuje, že nájsť súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. vzťahujúce sa na ne štandardný vzorec sumy. Začíname?

Extrahujeme parametre postupu z podmienky úlohy:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nezostalo nič. Odpočítajte súčet 19 termínov od súčtu 34 termínov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jeden dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočná funkcia. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z úplného výsledku. Takáto „finta s ušami“ často šetrí v zlých hádankách.)

V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

praktické rady:

Pri riešení akejkoľvek úlohy na súčet aritmetickej progresie odporúčam hneď vypísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec n-tého členu:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická progresia je daná podmienkou: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto hádanky sa často nachádzajú v GIA.

7. Vasya našetril peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa darovať najmilovanejšej osobe (sebe) pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Je to ťažké?) Pomôže vám dodatočný vzorec z úlohy 2.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca počítadla taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovanej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a - hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, v ktorej ordinál v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „narastajúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Hodnota zadaného člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ktoréhokoľvek člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupu, vynásobený číslom požadovaného člena mínus jeden .

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného člena

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen postupnosti je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V iných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvomi. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.

rozhodnutie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2 ∙0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu z 56. na 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxameter (taximeter). Zoberme si taký príklad.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vynechajme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 p.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.

Iný druh číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu: