Nájdite q v geometrickej nekonečnej postupnosti. Menovateľ geometrickej postupnosti: vzorce a vlastnosti

>>Matematika: Geometrická postupnosť

Pre pohodlie čitateľa sa táto časť riadi presne rovnakým plánom, ako sme postupovali v predchádzajúcej časti.

1. Základné pojmy.

Definícia.Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú odlišné od 0 a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom, sa nazýva geometrická postupnosť. V tomto prípade sa číslo 5 nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je teda číselná postupnosť (b n) daná rekurzívne vzťahmi

Je možné pri pohľade na číselnú postupnosť určiť, či ide o geometrickú postupnosť? Môcť. Ak ste presvedčení, že pomer ktoréhokoľvek člena postupnosti k predchádzajúcemu členu je konštantný, potom máte geometrickú progresiu.
Príklad 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

Príklad 2

Toto je geometrický postup
Príklad 3

Toto je geometrický postup
Príklad 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ide o geometrickú postupnosť, kde b 1 - 8, q = 1.

Upozorňujeme, že táto postupnosť je tiež aritmetickým postupom (pozri príklad 3 z § 15).

Príklad 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Je zrejmé, že geometrická postupnosť je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q > 1 (pozri príklad 1), a klesajúca postupnosť, ak b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Na označenie, že postupnosť (b n) je geometrická progresia, je niekedy vhodný nasledujúci zápis:

Ikona nahrádza frázu „geometrická progresia“.
Všimli sme si jednu zvláštnu a zároveň celkom zjavnú vlastnosť geometrickej postupnosti:
Ak postupnosť je geometrická postupnosť, potom postupnosť štvorcov, t.j. je geometrická progresia.
V druhej geometrickej postupnosti sa prvý člen rovná q 2.
Ak zahodíme všetky členy nasledujúce po b n exponenciálne, dostaneme konečnú geometrickú postupnosť
V nasledujúcich odsekoch tejto časti sa budeme zaoberať najdôležitejšími vlastnosťami geometrickej progresie.

2. Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti.

Zvážte geometrický postup menovateľ q. Máme:

Nie je ťažké uhádnuť, že pre akékoľvek číslo je n rovnosť

Toto je vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Komentujte.

Ak ste si prečítali dôležitú poznámku z predchádzajúceho odseku a pochopili ste ju, skúste dokázať vzorec (1) matematickou indukciou, rovnako ako to bolo urobené pre vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Prepíšme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti

a zaveďte notáciu: Dostaneme y \u003d mq 2, alebo podrobnejšie,
Argument x je obsiahnutý v exponente, preto sa takáto funkcia nazýva exponenciálna funkcia. To znamená, že geometrickú progresiu možno považovať za exponenciálnu funkciu danú na množine N prirodzených čísel. Na obr. 96a znázorňuje graf funkcie z obr. 966 - funkčný graf V oboch prípadoch máme izolované body (s x = 1, x = 2, x = 3 atď.) ležiace na nejakej krivke (oba obrázky znázorňujú rovnakú krivku, len inak umiestnenú a znázornenú v rôznych mierkach). Táto krivka sa nazýva exponent. Viac o exponenciálnej funkcii a jej grafe si povieme na kurze algebry pre 11. ročník.

Vráťme sa k príkladom 1-5 z predchádzajúceho odseku.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Urobme vzorec pre n-tý člen
2) Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej sformulujme n-tý člen

Toto je geometrický postup Zostavte vzorec pre n-tý člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Urobme vzorec pre n-tý člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1. Zostavte vzorec pre n-tý člen

Príklad 6

Vzhľadom na geometrický priebeh

Vo všetkých prípadoch je riešenie založené na vzorci n-tého člena geometrickej postupnosti

a) Ak do vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dosadíme n = 6, dostaneme

b) Máme

Od 512 \u003d 2 9 dostaneme n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Máme

Príklad 7

Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 48, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je tiež 48. Nájdite dvanásty člen tejto postupnosti.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.

Podmienky úlohy možno stručne napísať takto:

Pomocou vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dostaneme:
Potom druhú podmienku úlohy (b 7 - b 5 = 48) možno zapísať ako

Tretiu podmienku úlohy (b 5 +b 6 = 48) možno zapísať ako

Výsledkom je systém dvoch rovníc s dvoma premennými b 1 a q:

čo je v kombinácii s podmienkou 1) napísanou vyššie matematickým modelom problému.

Druhá fáza.

Práca so zostaveným modelom. Prirovnaním ľavých častí oboch rovníc systému dostaneme:

(obe strany rovnice sme rozdelili na výraz b 1 q 4 , ktorý je odlišný od nuly).

Z rovnice q 2 - q - 2 = 0 zistíme q 1 = 2, q 2 = -1. Dosadením hodnoty q = 2 do druhej rovnice sústavy dostaneme
Dosadením hodnoty q = -1 do druhej rovnice sústavy dostaneme b 1 1 0 = 48; táto rovnica nemá riešenia.

Takže, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tento pár je riešením zostaveného systému rovníc.

Teraz môžeme zapísať predmetnú geometrickú postupnosť: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tretia etapa.

Odpoveď na problémovú otázku. Je potrebné vypočítať b 12 . Máme

Odpoveď: b 12 = 2048.

3. Vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.

Nech existuje konečná geometrická postupnosť

Označme S n súčet jeho členov, t.j.

Odvoďme vzorec na zistenie tohto súčtu.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď q = 1. Potom geometrická postupnosť b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn pozostáva z n čísel rovných b 1, t.j. progresia je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Súčet týchto čísel je nb 1 .

Nech teraz q = 1 Na nájdenie S n použijeme umelú metódu: vykonajte niekoľko transformácií výrazu S n q. Máme:

Pri transformáciách sme najprv použili definíciu geometrickej progresie, podľa ktorej (pozri tretí riadok uvažovania); po druhé, pridali a odčítali, prečo sa význam výrazu, samozrejme, nezmenil (pozri štvrtý riadok úvahy); po tretie, použili sme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti:

Zo vzorca (1) zistíme:

Toto je vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti (pre prípad, keď q = 1).

Príklad 8

Daná konečná geometrická progresia

a) súčet členov postupu; b) súčet druhých mocnín jeho členov.

b) Vyššie (pozri s. 132) sme si už všimli, že ak sú všetky členy geometrickej postupnosti odmocnené, získame geometrickú postupnosť s prvým členom b 2 a menovateľom q 2. Potom sa vypočíta súčet šiestich termínov nového postupu

Príklad 9

Nájdite 8. člen geometrickej postupnosti, pre ktorú

V skutočnosti sme dokázali nasledujúcu vetu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného, v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov. (charakteristická vlastnosť geometrickej progresie).

Lekcia a prezentácia na tému: "Číselné postupnosti. Geometrická postupnosť"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Funkcie a grafy mocnin a koreňov

Chlapci, dnes sa zoznámime s iným typom progresie.
Témou dnešnej hodiny je geometrická postupnosť.

Geometrická progresia

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná súčinu predchádzajúceho a nejakého pevného čísla, sa nazýva geometrická postupnosť.
Definujme našu postupnosť rekurzívne: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kde b a q sú určité dané čísla. Číslo q sa nazýva menovateľ progresie.

Príklad. 1,2,4,8,16… Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná jednej a $q=2$.

Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je osem,
a $q=1$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri,
a $q=-1$.

Geometrický postup má vlastnosti monotónnosti.
Ak $b_(1)>0$, $q>1$,
potom sa postupnosť zvyšuje.
Ak $b_(1)>0$, $0 Postupnosť sa zvyčajne označuje ako: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Rovnako ako v aritmetickej postupnosti, ak je počet prvkov v geometrickej postupnosti konečný, potom sa postupnosť nazýva konečná geometrická postupnosť.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimnite si, že ak je postupnosť geometrickou progresiou, potom postupnosť umocnených členov je tiež geometrická postupnosť. Druhá postupnosť má prvý člen $b_(1)^2$ a menovateľ $q^2$.

Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti

Geometrická postupnosť môže byť špecifikovaná aj v analytickej forme. Pozrime sa, ako na to:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Môžeme ľahko vidieť vzor: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Náš vzorec sa nazýva "vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti".

Vráťme sa k našim príkladom.

Príklad. 1,2,4,8,16… geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná jednej,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Príklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je šestnásť a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, kde prvý člen je osem a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Príklad. Daná geometrická postupnosť $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známe, že $b_(1)=6, q=3$. Nájdite $b_(5)$.
b) Je známe, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Nájsť n.
c) Je známe, že $q=-2, b_(6)=96$. Nájdite $b_(1)$.
d) Je známe, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nájdite q.

Riešenie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ keďže $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Príklad. Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 192, súčet piateho a šiesteho člena geometrickej postupnosti je 192. Nájdite desiaty člen tejto postupnosti.

Riešenie.
Vieme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiež vieme: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
potom:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali sme systém rovníc:
$\začiatok(prípady)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\koniec (prípady)$.
Ak dávame rovnítko, naše rovnice dostanú:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Máme dve riešenia q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žiadne riešenia.
Dostali sme, že: $b_(1)=4, q=2$.
Poďme nájsť desiaty člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Súčet konečnej geometrickej progresie

Predpokladajme, že máme konečnú geometrickú postupnosť. Vypočítajme, rovnako ako pre aritmetickú postupnosť, súčet jej členov.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uveďme si zápis súčtu jeho členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V prípade, keď $q=1$. Všetky členy geometrickej postupnosti sa rovnajú prvému členu, potom je zrejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Zvážte teraz prípad $q≠1$.
Vynásobte vyššie uvedené množstvo q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Získali sme vzorec pre súčet konečnej geometrickej postupnosti.

Príklad.
Nájdite súčet prvých siedmich členov geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 4 a menovateľ je 3.

Riešenie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Príklad.
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti, ktorý je známy: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095 $.

Riešenie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 $ q=1 364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti

Chlapci, vzhľadom na geometrický postup. Zoberme si jeho tri po sebe idúce členy: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
My to vieme:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
potom:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ak je postupnosť konečná, potom táto rovnosť platí pre všetky členy okrem prvého a posledného.
Ak nie je vopred známe, aký druh postupnosti sekvencia má, ale je známe, že: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Potom môžeme s istotou povedať, že ide o geometrickú progresiu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť iba vtedy, ak sa druhá mocnina každého z jej členov rovná súčinu dvoch susedných členov postupnosti. Nezabudnite, že pre konečný postup nie je táto podmienka splnená pre prvý a posledný termín.

Pozrime sa na túto identitu: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ sa nazýva geometrický priemer a a b.

Modul ktoréhokoľvek člena geometrickej progresie sa rovná geometrickému priemeru dvoch susedných členov.

Príklad.
Nájdite x také, že $x+2; 2x+2; 3x+3$ boli tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.

Riešenie.
Využime charakteristickú vlastnosť:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupne nahraďte v pôvodnom výraze naše riešenia:
S $x=2$ sme dostali postupnosť: 4;6;9 je geometrická progresia s $q=1,5$.
S $x=-1$ sme dostali postupnosť: 1;0;0.
Odpoveď: $x=2.$

Úlohy na samostatné riešenie

1. Nájdite ôsmy prvý člen geometrickej postupnosti 16; -8; 4; -2 ....
2. Nájdite desiaty člen geometrickej postupnosti 11,22,44….
3. Je známe, že $b_(1)=5, q=3$. Nájdite $b_(7)$.
4. Je známe, že $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Nájsť n.
5. Nájdite súčet prvých 11 členov geometrickej postupnosti 3;12;48….
6. Nájdite x také, že $3x+4; 2x+4; x+5$ sú tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je veľmi jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo všeobecnosti. Ale pre vzorec n-tého člena sú najrôznejšie problémy – od veľmi primitívnych až po celkom vážne. A v procese nášho zoznámenia určite zvážime oboch. No, stretneme sa?)

Takže pre začiatok vlastne vzorecn

Tu je:

b n = b 1 · q n -1

Vzorec ako vzorec, nič nadprirodzené. Vyzerá ešte jednoduchšie a kompaktnejšie ako podobný vzorec pre . Význam vzorca je tiež jednoduchý, ako plstená čižma.

Tento vzorec vám umožňuje nájsť AKÝKOĽVEK člen geometrickej progresie PODĽA JEHO ČÍSLA “ n".

Ako vidíte, význam je úplná analógia s aritmetickým postupom. Poznáme číslo n – pod týmto číslom vieme vypočítať aj člen. Čo chceme. Nenásobenie sekvenčne "q" mnohokrát. To je celá pointa.)

Chápem, že na tejto úrovni práce s postupmi by vám už mali byť jasné všetky množstvá zahrnuté vo vzorci, ale považujem za svoju povinnosť každé rozlúštiť. Keby niečo.

Tak, poďme:

b 1 – prvýčlen geometrickej progresie;

q – ;

n– členské číslo;

b n – n-tý (nth)člen geometrickej postupnosti.

Tento vzorec spája štyri hlavné parametre akejkoľvek geometrickej progresie - bn, b 1 , q a n. A okolo týchto štyroch kľúčových postáv sa točia všetky úlohy.

"A ako sa zobrazuje?"- Počujem zvedavú otázku... Základná! Pozri!

Čo sa rovná druhý postupový člen? Žiaden problém! Píšeme priamo:

b 2 = b 1 q

A tretí člen? Tiež nie je problém! Vynásobíme druhý člen opäť zapnutéq.

Páči sa ti to:

B 3 \u003d b 2 q

Pripomeňme si teraz, že druhý člen sa rovná b 1 q a dosaďte tento výraz do našej rovnosti:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dostaneme:

B 3 = b 1 q 2

Teraz si prečítajte náš záznam v ruštine: tretíčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in druhý stupňa. Máš to? Ešte nie? Dobre, ešte jeden krok.

Aký je štvrtý termín? Všetky rovnaké! Vynásobte predchádzajúce(t. j. tretí termín) dňa q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Celkom:

B 4 = b 1 q 3

A opäť prekladáme do ruštiny: štvrtýčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in tretí stupňa.

A tak ďalej. Ako to teda je? Zachytili ste vzor? Áno! Pre každý člen s ľubovoľným číslom bude počet rovnakých faktorov q (t. j. mocnina menovateľa) vždy o jeden menej ako je počet požadovaného členan.

Preto bude náš vzorec bez možností:

b n =b 1 · q n -1

To je všetko.)

No, poďme riešiť problémy, dobre?)

Riešenie úloh na vzorcinčlen geometrickej progresie.

Začnime ako obvykle priamou aplikáciou vzorca. Tu je typický problém:

Je známe exponenciálne, že b 1 = 512 a q = -1/2. Nájdite desiaty termín postupu.

Samozrejme, tento problém sa dá vyriešiť úplne bez vzorcov. Rovnako ako geometrický postup. Ale musíme sa zahriať vzorcom n-tého termínu, však? Tu sa rozchádzame.

Naše údaje na aplikáciu vzorca sú nasledovné.

Prvý termín je známy. Toto je 512.

b 1 = 512.

Známy je aj menovateľ progresie: q = -1/2.

Zostáva len zistiť, čomu sa rovná číslo člena n. Žiaden problém! Máme záujem o desiaty termín? Vo všeobecnom vzorci teda dosadíme desať namiesto n.

A starostlivo vypočítajte aritmetiku:

odpoveď: -1

Ako vidíte, desiaty termín postupu dopadol s mínusom. Nečudo: menovateľ progresie je -1/2, t.j. negatívnečíslo. A to nám hovorí, že znaky našej progresie sa striedajú, áno.)

Všetko je tu jednoduché. A tu je podobný problém, ale trochu komplikovanejší z hľadiska výpočtov.

Pri geometrickom postupe vieme, že:

b 1 = 3

Nájdite trinásty termín postupu.

Všetko je rovnaké, len tentoraz menovateľ postupu - iracionálny. Koreň dvoch. No nič veľké. Vzorec je univerzálna vec, poradí si s akýmikoľvek číslami.

Pracujeme priamo podľa vzorca:

Vzorec samozrejme fungoval tak, ako mal, ale ... tu budú niektoré visieť. Čo ďalej robiť s koreňom? Ako pozdvihnúť koreň do dvanástej moci?

Ako-ako ... Musíte pochopiť, že akýkoľvek vzorec je, samozrejme, dobrá vec, ale znalosti všetkej predchádzajúcej matematiky nie sú zrušené! Ako zvýšiť? Áno, pamätajte na vlastnosti stupňov! Zmeňme koreň na zlomkový stupeň a - pomocou vzorca pozdvihnutia moci na moc.

Páči sa ti to:

odpoveď: 192

A všetky veci.)

Aký je hlavný problém priameho použitia vzorca n-tého členu? Áno! Hlavnou ťažkosťou je pracujte s titulmi! A to umocňovanie záporných čísel, zlomkov, odmocniny a podobné konštrukcie. Takže tí, ktorí s tým majú problémy, naliehavá žiadosť o opakovanie stupňov a ich vlastností! Inak v tejto téme spomalíš, áno ...)

Teraz poďme vyriešiť typické problémy s vyhľadávaním jeden z prvkov vzorca ak sú dané všetky ostatné. Na úspešné riešenie takýchto problémov je recept jednoduchý a jednoduchý až hrôza - napíš vzorecnčlen vo všeobecnosti! Hneď v zošite vedľa stavu. A potom z podmienky prídeme na to, čo nám je dané a čo nestačí. A zo vzorca vyjadríme požadovanú hodnotu. Všetko!

Napríklad taký neškodný problém.

Piaty člen geometrickej postupnosti s menovateľom 3 je 567. Nájdite prvý člen tejto postupnosti.

Nič zložité. Pracujeme priamo podľa kúzla.

Napíšeme vzorec n-tého člena!

b n = b 1 · q n -1

Čo je nám dané? Najprv je daný menovateľ progresie: q = 3.

Navyše sme dané piate volebné obdobie: b 5 = 567 .

Všetko? nie! Je nám dané aj číslo n! Toto je päťka: n = 5.

Dúfam, že ste už pochopili, čo je v zázname b 5 = 567 dva parametre sú skryté naraz - toto je samotný piaty člen (567) a jeho číslo (5). V podobnej lekcii som o tom už hovoril, ale myslím, že nie je zbytočné to tu pripomínať.)

Teraz dosadíme naše údaje do vzorca:

567 = b 1 3 5-1

Zvažujeme aritmetiku, zjednodušíme a získame jednoduchú lineárnu rovnicu:

81 b 1 = 567

Riešime a dostaneme:

b 1 = 7

Ako vidíte, s nájdením prvého člena nie sú žiadne problémy. Ale pri hľadaní menovateľa q a čísla n môžu nastať prekvapenia. A tiež musíte byť na ne pripravení (prekvapenia), áno.)

Napríklad takýto problém:

Piaty člen geometrickej postupnosti s kladným menovateľom je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

Tentoraz dostaneme prvého a piateho člena a požiadame, aby sme našli menovateľa postupu. Tu začíname.

Napíšeme vzorecnčlen!

b n = b 1 · q n -1

Naše počiatočné údaje budú nasledovné:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nedostatočná hodnota q. Žiaden problém! Poďme to teraz nájsť.) Do vzorca dosadíme všetko, čo vieme.

Dostaneme:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednoduchá rovnica štvrtého stupňa. Ale teraz - opatrne! V tejto fáze riešenia mnohí študenti okamžite s radosťou vytiahnu koreň (štvrtého stupňa) a dostanú odpoveď q=3 .

Páči sa ti to:

q4 = 81

q = 3

Ale vo všeobecnosti je to nedokončená odpoveď. Alebo skôr neúplné. prečo? Ide o to, že odpoveď q = -3 tiež sa hodí: (-3) 4 by bolo tiež 81!

Je to kvôli mocenskej rovnici x n = a vždy má dva protiľahlé korene pri dokoncan . Plus a mínus:

Obaja sa hodia.

Napríklad riešenie (t.j. druhý stupne)

x2 = 9

Z nejakého dôvodu nie ste prekvapení, keď to vidíte dva korene x=±3? Tu je to rovnaké. A s akoukoľvek inou dokonca stupňa (štvrtého, šiesteho, desiateho atď.) budú rovnaké. Podrobnosti - v téme o

Takže správne riešenie by bolo:

q 4 = 81

q= ±3

Dobre, znamenia sme zistili. Ktorá je správna - plus alebo mínus? Pri hľadaní sme si znova prečítali stav problému Ďalšie informácie. To, samozrejme, nemusí existovať, ale v tomto probléme takéto informácie k dispozícii. V našom stave je priamo uvedené, že progresia je daná s kladný menovateľ.

Takže odpoveď je jasná:

q = 3

Všetko je tu jednoduché. Čo si myslíte, že by sa stalo, keby problémové vyhlásenie bolo takéto:

Piaty člen geometrickej postupnosti je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

Aký je rozdiel? Áno! V stave ničžiadna zmienka o menovateli. Ani priamo, ani nepriamo. A tu by už problém nastal dve riešenia!

q = 3 a q = -3

Áno áno! A s plusom a mínusom.) Matematicky by tento fakt znamenal, že existujú dve progresie ktoré zodpovedajú úlohe. A pre každého - jeho vlastný menovateľ. Pre zábavu si precvičte a zapíšte si prvých päť termínov každého z nich.)

Teraz si precvičme hľadanie čísla člena. Toto je najťažšie, áno. Ale aj kreatívnejší.

Vzhľadom na geometrický priebeh:

3; 6; 12; 24; …

Aké číslo je 768 v tomto postupe?

Prvý krok je rovnaký: napíš vzorecnčlen!

b n = b 1 · q n -1

A teraz, ako obvykle, do nej dosadíme nám známe údaje. Hm... to nesedí! Kde je prvý člen, kde je menovateľ, kde je všetko ostatné?!

Kde, kde... Prečo potrebujeme oči? Mihalnice? Tentoraz nám je postup daný priamo vo formulári sekvencie. Môžeme vidieť prvý termín? Vidíme! Toto je trojica (b 1 = 3). A čo menovateľ? Zatiaľ to nevidíme, ale dá sa to veľmi ľahko spočítať. Ak, samozrejme, rozumiete.

Tu uvažujeme. Priamo podľa významu geometrickej postupnosti: vezmeme ktorýkoľvek z jej členov (okrem prvého) a vydelíme predchádzajúcim.

Aspoň takto:

q = 24/12 = 2

Čo ešte vieme? Tiež poznáme nejaký člen tejto postupnosti, rovný 768. Pod nejakým číslom n:

b n = 768

Nepoznáme jeho číslo, ale našou úlohou je práve ho nájsť.) Takže hľadáme. Vo vzorci sme už stiahli všetky potrebné údaje na substitúciu. Nebadane.)

Tu nahrádzame:

768 = 3 2n -1

Urobíme elementárne - obe časti vydelíme tromi a rovnicu prepíšeme do zaužívaného tvaru: vľavo neznáma, vpravo známa.

Dostaneme:

2 n -1 = 256

Tu je zaujímavá rovnica. Musíme nájsť "n". čo je nezvyčajné? Áno, nehádam sa. V skutočnosti je to najjednoduchšie. Nazýva sa tak, pretože neznáma (v tomto prípade je to číslo n) zastáva indikátor stupňa.

V štádiu oboznamovania sa s geometrickým postupom (to je deviaty ročník) sa exponenciálne rovnice neučia riešiť, áno... Toto je téma pre strednú školu. Ale nie je nič strašné. Aj keď neviete, ako sa takéto rovnice riešia, skúsme nájsť naše n vedený jednoduchou logikou a zdravým rozumom.

Začíname diskutovať. Na ľavej strane máme dvojku do istej miery. Zatiaľ nevieme, čo presne je tento stupeň, ale nie je to strašidelné. Ale na druhej strane pevne vieme, že tento stupeň sa rovná 256! Pamätáme si teda, do akej miery nám dvojka dáva 256. Pamätáte si? Áno! AT ôsmy stupňa!

256 = 2 8

Ak ste si nepamätali alebo s rozpoznaním stupňov problému, potom je to tiež v poriadku: jednoducho postupne zvyšujeme dvojku na štvorec, na kocku, na štvrtú mocninu, piatu atď. Výber je v skutočnosti, ale na tejto úrovni, celkom jazda.

Tak či onak dostaneme:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Takže 768 je deviatyčlenom našej progresie. To je všetko, problém vyriešený.)

odpoveď: 9

Čo? nuda? Ste unavení zo základnej? Súhlasím. A ja tiež. Poďme na ďalšiu úroveň.)

Zložitejšie úlohy.

A teraz riešime hádanky prudšie. Nie úplne super-cool, ale na ktorom musíte trochu popracovať, aby ste sa dostali k odpovedi.

Napríklad takto.

Nájdite druhý člen geometrickej postupnosti, ak jej štvrtý člen je -24 a siedmy člen je 192.

Toto je klasika žánru. Niektorí dvaja rôzni členovia progresie sú známi, ale musí sa nájsť ešte jeden člen. Navyše všetci členovia NIE SÚ susedia. Čo na prvý pohľad zmätie, áno...

Rovnako ako v , uvažujeme o dvoch spôsoboch riešenia takýchto problémov. Prvý spôsob je univerzálny. Algebraické. Funguje bezchybne s akýmikoľvek zdrojovými údajmi. Takže tam začneme.)

Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!

Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe. Iba tentoraz pracujeme ďalší všeobecný vzorec. To je všetko.) Ale podstata je rovnaká: berieme a v poradí dosadíme naše počiatočné údaje do vzorca n-tého člena. Pre každého člena - ich vlastné.

Pre štvrtý termín píšeme:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

existuje. Jedna rovnica je hotová.

Pre siedmy termín píšeme:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Celkovo boli získané dve rovnice pre rovnaký progres .

Z nich zostavíme systém:

Napriek svojmu impozantnému vzhľadu je systém pomerne jednoduchý. Najzrejmejším spôsobom riešenia je obvyklá substitúcia. Vyjadrujeme sa b 1 z hornej rovnice a dosaďte do spodnej rovnice:

Malé pohrávanie sa s nižšou rovnicou (zníženie exponentov a delenie číslom -24) vedie k:

q 3 = -8

Mimochodom, k rovnakej rovnici sa dá dospieť aj jednoduchším spôsobom! Čo? Teraz vám ukážem ďalší tajný, ale veľmi krásny, výkonný a užitočný spôsob riešenia takýchto systémov. Takéto sústavy, v rovniciach ktorých sedia iba funguje. Aspoň v jednom. volal metóda delenia termínov jedna rovnica k druhej.

Takže máme systém:

V oboch rovniciach vľavo - práca a na pravej strane je len číslo. Toto je veľmi dobré znamenie.) Zoberme a ... vydeľme, povedzme, spodnú rovnicu hornou! Čo znamená, rozdeliť jednu rovnicu druhou? Veľmi jednoduché. Berieme ľavá strana jedna rovnica (nižšia) a delíme sa ju na ľavá strana iná rovnica (horná). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnica delíme sa na pravá stranaďalší.

Celý proces rozdelenia vyzerá takto:

Teraz, znížením všetkého, čo je znížené, dostaneme:

q 3 = -8

Čo je na tejto metóde dobré? Áno, pretože v procese takéhoto delenia sa dá všetko zlé a nepohodlné bezpečne zredukovať a zostane úplne neškodná rovnica! Preto je také dôležité mať iba násobenia aspoň v jednej z rovníc systému. Neexistuje žiadne násobenie - nie je čo znižovať, áno ...

Vo všeobecnosti si táto metóda (ako mnohé iné netriviálne spôsoby riešenia systémov) dokonca zaslúži samostatnú lekciu. Určite sa na to pozriem bližšie. Raz…

Bez ohľadu na to, ako vyriešite systém, v každom prípade teraz musíme vyriešiť výslednú rovnicu:

q 3 = -8

Žiadny problém: vytiahneme koreň (kubický) a - hotovo!

Upozorňujeme, že pri extrakcii tu nie je potrebné zadávať plus/mínus. Máme nepárny (tretí) koreň. A odpoveď je rovnaká, áno.

Nájdeme teda menovateľa progresie. Mínus dva. Výborne! Proces prebieha.)

Pre prvý člen (povedzme z hornej rovnice) dostaneme:

Výborne! Poznáme prvý člen, poznáme menovateľa. A teraz máme možnosť nájsť ktoréhokoľvek člena progresie. Vrátane toho druhého.)

Pre druhého člena je všetko celkom jednoduché:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odpoveď: -6

Takže sme vyriešili algebraický spôsob riešenia problému. ťažké? Nič moc, súhlasím. Dlhé a nudné? Rozhodne áno. Ale niekedy môžete výrazne znížiť množstvo práce. Pre toto existuje grafickým spôsobom. Staré dobré a známe od .)

Nakreslíme problém!

Áno! presne tak. Opäť znázorňujeme náš postup na číselnej osi. Nie nevyhnutne pravítkom, nie je potrebné udržiavať rovnaké intervaly medzi členmi (ktoré, mimochodom, nebudú rovnaké, pretože postup je geometrický!), Ale jednoducho schematicky nakreslite našu postupnosť.

Mám to takto:

Teraz sa pozrite na obrázok a premýšľajte. Koľko rovnakých faktorov zdieľa "q". štvrtý a siedmyčlenov? Správne, tri!

Preto máme plné právo napísať:

-24q 3 = 192

Odtiaľto je teraz ľahké nájsť q:

q 3 = -8

q = -2

To je skvelé, menovateľ už máme vo vrecku. A teraz sa znova pozrieme na obrázok: koľko takýchto menovateľov sedí medzi nimi druhý a štvrtýčlenov? Dva! Preto, aby sme zaznamenali vzťah medzi týmito členmi, zdvihneme menovateľa štvorec.

Tu píšeme:

b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2

Náš nájdený menovateľ dosadíme do výrazu pre b 2 , spočítame a dostaneme:

Odpoveď: -6

Ako vidíte, všetko je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako cez systém. Navyše, tu sme vôbec nemuseli počítať prvý termín! Vôbec.)

Tu je taký jednoduchý a vizuálny spôsob svetla. Má to však aj vážnu nevýhodu. Uhádli ste? Áno! Je to dobré len pre veľmi krátke úseky progresie. Tie, kde vzdialenosti medzi členmi, ktoré nás zaujímajú, nie sú príliš veľké. Ale vo všetkých ostatných prípadoch je už ťažké nakresliť obrázok, áno... Potom problém riešime analyticky, cez systém.) A systémy sú univerzálna vec. Vyrovnajte sa s ľubovoľným číslom.

Ďalší epický:

Druhý člen geometrickej postupnosti je o 10 viac ako prvý a tretí člen je o 30 viac ako druhý. Nájdite menovateľa postupu.

čo je super? Vôbec nie! Všetky rovnaké. Opäť preložíme podmienku problému do čistej algebry.

1) Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!

Druhý člen: b 2 = b 1 q

Tretí termín: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Vypíšeme vzťah medzi členmi z podmienky problému.

Čítanie stavu: "Druhý člen geometrickej progresie je o 10 viac ako prvý." Prestaňte, toto je cenné!

Takže píšeme:

b 2 = b 1 +10

A túto frázu preložíme do čistej matematiky:

b 3 = b 2 +30

Dostali sme dve rovnice. Spájame ich do systému:

Systém vyzerá jednoducho. Existuje však veľa rôznych indexov pre písmená. Dosadme namiesto druhého a tretieho člena ich vyjadrenie cez prvý člen a menovateľ! Darmo, alebo čo, maľovali sme ich?

Dostaneme:

Ale taký systém už nie je dar, áno ... Ako to vyriešiť? Bohužiaľ, univerzálne tajné kúzlo na vyriešenie komplexu nelineárne V matematike systémy neexistujú a ani nemôžu byť. To je fantastické! Prvá vec, ktorá by vás však mala napadnúť pri pokuse o rozlúsknutie takéhoto tvrdého orieška, je prísť na to Nie je však jedna z rovníc systému zredukovaná do krásnej podoby, ktorá uľahčuje napríklad vyjadrenie jednej z premenných pomocou inej?

Poďme hádať. Prvá rovnica systému je jednoznačne jednoduchšia ako druhá. Budeme ho mučiť.) Prečo to neskúsiť z prvej rovnice niečo vyjadriť cez niečo? Keďže chceme nájsť menovateľa q, vtedy by bolo pre nás najvýhodnejšie vyjadriť b 1 cez q.

Skúsme teda urobiť tento postup s prvou rovnicou, pričom použijeme tie staré dobré:

b1q = b1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b1 (q-1) = 10

Všetko! Tu sme sa vyjadrili zbytočné nám premennú (b 1) cez nevyhnutné(q). Áno, nie práve najjednoduchší výraz. Nejaký zlomok... Ale náš systém má slušnú úroveň, áno.)

Typické. Čo robiť - vieme.

Píšeme ODZ (nevyhnutne!) :

q ≠ 1

Všetko vynásobíme menovateľom (q-1) a zredukujeme všetky zlomky:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Všetko rozdelíme desiatimi, otvoríme zátvorky, zhromaždíme všetko vľavo:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Vyriešime výsledok a získame dva korene:

q 1 = 1

q 2 = 3

Existuje len jedna konečná odpoveď: q = 3 .

odpoveď: 3

Ako vidíte, spôsob riešenia väčšiny problémov pre vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je vždy rovnaký: čítame opatrne stav problému a pomocou vzorca n-tého členu preložíme všetky užitočné informácie do čistej algebry.

menovite:

1) Každý člen uvedený v úlohe píšeme samostatne podľa vzorcančlen.

2) Z podmienky úlohy preložíme spojenie medzi členmi do matematického tvaru. Zostavíme rovnicu alebo sústavu rovníc.

3) Vyriešime výslednú rovnicu alebo sústavu rovníc, nájdeme neznáme parametre postupu.

4) V prípade nejednoznačnej odpovede si pozorne prečítame stav problému pri hľadaní dodatočných informácií (ak existujú). Prijatú odpoveď kontrolujeme aj s podmienkami ODZ (ak existujú).

A teraz uvádzame hlavné problémy, ktoré najčastejšie vedú k chybám v procese riešenia úloh geometrickej progresie.

1. Základná aritmetika. Operácie so zlomkami a zápornými číslami.

2. Ak je aspoň jeden z týchto troch bodov problém, potom sa v tejto téme nevyhnutne pomýlite. Bohužiaľ... Nebuďte preto leniví a zopakujte to, čo bolo spomenuté vyššie. A postupujte podľa odkazov - choďte. Niekedy to pomôže.)

Upravené a opakujúce sa vzorce.

A teraz sa pozrime na pár typických problémov pri skúške s menej známou prezentáciou stavu. Áno, áno, uhádli ste! to upravené a opakujúci vzorce n-tého člena. S takýmito vzorcami sme sa už stretli a pracovali sme v aritmetickom postupe. Všetko je tu podobné. Podstata je rovnaká.

Napríklad taký problém od OGE:

Geometrická postupnosť je daná vzorcom b n = 32 n . Nájdite súčet prvého a štvrtého člena.

Tentoraz sa nám postup priznáva nie celkom ako obvykle. Nejaký druh vzorca. No a čo? Tento vzorec je aj vzorecnčlen! Všetci vieme, že vzorec n-tého členu môže byť napísaný vo všeobecnej forme, prostredníctvom písmen a pre špecifická progresia. OD špecifické prvý termín a menovateľ.

V našom prípade sme v skutočnosti dostali všeobecný termínový vzorec pre geometrickú postupnosť s nasledujúcimi parametrami:

b 1 = 6

q = 2

Skontrolujeme?) Napíšeme vzorec n-tého člena vo všeobecnom tvare a dosadíme do neho b 1 a q. Dostaneme:

b n = b 1 · q n -1

b n= 62n -1

Zjednodušíme pomocou faktorizácie a mocninových vlastností a získame:

b n= 62n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Ako vidíte, všetko je fér. Ale naším cieľom s vami nie je demonštrovať odvodenie konkrétneho vzorca. Toto je taká lyrická odbočka. Čisto pre pochopenie.) Naším cieľom je vyriešiť problém podľa vzorca, ktorý nám je daný v podmienke. Chytáte to?) Takže pracujeme priamo s upraveným vzorcom.

Počítame prvý termín. Náhradník n=1 do všeobecného vzorca:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Páči sa ti to. Mimochodom, nie som lenivý a ešte raz vás upozorním na typický trapas s výpočtom prvého termínu. NEPOZERAJTE sa na vzorec b n= 32n, hneď sa ponáhľaj napísať, že prvým členom je trojka! Je to veľká chyba, áno...)

Pokračujeme ďalej. Náhradník n=4 a zvážte štvrtý výraz:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

A nakoniec vypočítame požadované množstvo:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

odpoveď: 54

Iný problém.

Geometrická postupnosť je daná podmienkami:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Nájdite štvrtý termín postupu.

Tu je progresia daná opakujúcim sa vzorcom. No dobre.) Ako pracovať s týmto vzorcom - tiež vieme.

Tu konáme. Krok za krokom.

1) počítanie dvoch postupnéčlen progresu.

Prvý termín je nám už daný. Mínus sedem. Ale ďalší, druhý člen, sa dá ľahko vypočítať pomocou rekurzívneho vzorca. Ak rozumiete, ako to funguje, samozrejme.)

Tu uvažujeme o druhom termíne podľa slávneho prvého:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Berieme do úvahy menovateľa progresie

Tiež žiadny problém. Priamo, zdieľaj druhýčurák na prvý.

Dostaneme:

q = -21/(-7) = 3

3) Napíšte vzorecnčlen v obvyklom tvare a zvážte požadovaný člen.

Takže poznáme prvý výraz, aj menovateľa. Tu píšeme:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -727 = -189

Odpoveď: -189

Ako vidíte, práca s takýmito vzorcami pre geometrickú progresiu sa v podstate nelíši od tej pre aritmetickú progresiu. Dôležité je len pochopiť všeobecnú podstatu a význam týchto vzorcov. Nuž, význam geometrickej postupnosti tiež treba pochopiť, áno.) A potom nebudú žiadne hlúpe chyby.

No, poďme sa rozhodnúť sami?)

Celkom základné úlohy na zahriatie:

1. Vzhľadom na geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 243 a q = -2/3. Nájdite šiesty termín postupu.

2. Spoločný člen geometrickej postupnosti je daný vzorcom b n = 5∙2 n +1 . Nájdite číslo posledného trojciferného člena tohto postupu.

3. Geometrická postupnosť je daná podmienkami:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Nájdite piaty termín postupu.

Trochu komplikovanejšie:

4. Daná geometrická postupnosť:

b 1 =2048; q =-0,5

Aký je jej šiesty negatívny výraz?

Čo sa zdá byť super ťažké? Vôbec nie. Logika a pochopenie významu geometrickej progresie ušetrí. No, vzorec n-tého členu, samozrejme.

5. Tretí člen geometrickej postupnosti je -14 a ôsmy člen je 112. Nájdite menovateľa postupnosti.

6. Súčet prvého a druhého člena geometrickej postupnosti je 75 a súčet druhého a tretieho člena geometrickej postupnosti je 150. Nájdite šiesty člen postupnosti.

Odpovede (v neporiadku): 6; -3888; - jeden; 800; -32; 448.

To je skoro všetko. Zostáva len naučiť sa počítať súčet prvých n členov geometrickej postupnostiáno objaviť nekonečne klesajúca geometrická progresia a jeho množstvo. Mimochodom, veľmi zaujímavá a nezvyčajná vec! Viac o tom v ďalších lekciách.)

Uvažujme o sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. Takže táto séria je pokroková.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením určitým konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, keď sa v škole študuje geometrický postup, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete určiť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrickou postupnosťou, ktorá sa zvyšuje s každým ďalším prvkom. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

Ak |q| menej ako jedna, teda násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je progresia s podobnými podmienkami klesajúca geometrická progresia. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - ktorýkoľvek prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

Znamenková premenná. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom môže byť postupnosť napísaná takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Pre pohodlné používanie geometrických postupností existuje veľa vzorcov:

Vzorec z-tého člena. Umožňuje vypočítať prvok pod konkrétnym číslom bez výpočtu predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné vypočítať štvrtý prvok progresie.

Riešenie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Súčet prvých prvkov, ktorých číslo je z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, teda q sa nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola radom nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S 5 .

Riešenie:S 5 = 22 - výpočet podľa vzorca.

Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite množstvo.

Riešenie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

charakteristickú vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka vykonávané pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

Druhá mocnina ľubovoľného čísla geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín akýchkoľvek ďalších dvoch čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kdetje vzdialenosť medzi týmito číslami.

Prvkysa líšia v qraz.
Logaritmy prvkov postupu tiež tvoria postupnosť, ale už aritmetiku, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešením pre 9. ročník.

Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť prostredníctvom iných pomocou menovateľa.

v dôsledku tohoa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S6.

Riešenie:Na to stačí nájsť q, prvý prvok a dosadiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , V dôsledku toho,q= 2

a 2 = q a 1,preto a 1 = 3

S6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Príklad aplikácie:

Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, podľa ktorej každý rok klient pridá 6% z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. Takže rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

To znamená, že každý rok sa táto suma zvyšuje 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady úloh na výpočet súčtu:

V rôznych úlohách sa používa geometrická postupnosť. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

Riešenie:

Geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu musíte prvok poznaťa 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne musíme nájsťa 1 , vediaca 2 aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrická progresia nemenej dôležité v matematike ako v aritmetike. Geometrická postupnosť je taká postupnosť čísel b1, b2,..., b[n], ktorej každý ďalší člen sa získa vynásobením predchádzajúceho konštantným číslom. Toto číslo, ktoré tiež charakterizuje rýchlosť rastu alebo poklesu progresie, sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti a označujú

Pre úplné priradenie geometrickej postupnosti je okrem menovateľa potrebné poznať alebo určiť jej prvý člen. Pre kladnú hodnotu menovateľa je postupnosť monotónna postupnosť, a ak táto postupnosť čísel monotónne klesá a kedy monotónne rastie. Prípad, keď sa menovateľ rovná jednej, sa v praxi neuvažuje, pretože máme postupnosť rovnakých čísel a ich súčet nie je praktický.

Všeobecný pojem geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti určený vzorcom