Što je kucanje brojeva. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

S pojmovima najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) i najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) susreću se srednjoškolci u šestom razredu. Ovu temu je uvijek teško svladati. Djeca često brkaju ove pojmove, ne razumiju zašto ih treba proučavati. NA novije vrijeme a u znanstveno-popularnoj literaturi postoje zasebne tvrdnje da ovo gradivo treba isključiti iz školskog kurikuluma. Mislim da to nije sasvim točno i potrebno je to proučavati, ako ne u učionici, onda u izvannastavnom vremenu u učionici školske komponente, jer to doprinosi razvoju logičkog mišljenja učenika, povećavajući brzina računskih operacija, te sposobnost rješavanja problema lijepim metodama.

Prilikom proučavanja teme "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima"Djecu učimo pronaći zajednički nazivnik dvaju ili više brojeva. Na primjer, trebate zbrojiti razlomke 1/3 i 1/5. Učenici lako mogu pronaći broj koji je bez ostatka djeljiv s 3 i 5. Ovo broj je 15. Doista, ako su brojevi mali, onda je njihov zajednički nazivnik lako pronaći, dobro poznavajući tablicu množenja. Neki od dječaka primjećuju da je ovaj broj umnožak brojeva 3 i 5. Djeca imaju mišljenje da na ovaj način uvijek možete pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Na primjer, oduzimamo razlomke 7 / 18 i 5 / 24. Nađite umnožak brojeva 18 i 24. On je jednak 432. Već smo dobili veliki broj, a ako trebate napraviti neke izračune dalje (osobito za primjere za sve radnje), tada se povećava vjerojatnost pogreške. Ali pronađeni najmanji zajednički višekratnik brojeva (LCM), koji je u ovom slučaju ekvivalent najmanjem zajedničkom nazivniku (LCD) - broju 72 - uvelike će olakšati izračune i dovesti do bržeg rješenja primjera, a time i uštedjeti vrijeme dodijeljeno za ispunjavanje ovog zadatka, koji igra važnu ulogu u izvedbi završnog testa, kontrolni radovi osobito tijekom završne ocjene.

Prilikom proučavanja teme "Smanjenje razlomaka", možete se kretati sukcesivno dijeleći brojnik i nazivnik razlomka istim prirodnim brojem, koristeći znakove djeljivosti brojeva, na kraju dobivajući nesmanjivi razlomak. Na primjer, trebate smanjiti razlomak 128/344. Najprije brojnik i nazivnik razlomka podijelimo brojem 2, dobijemo razlomak 64/172. Još jednom, brojnik i nazivnik dobivenog razlomka podijelimo s 2, dobivamo razlomak 32/86. Podijelimo još jednom brojnik i nazivnik razlomka s 2, dobivamo nesmanjivi razlomak 16/43. Ali smanjenje razlomka može se učiniti mnogo lakše ako pronađemo najveći zajednički djelitelj brojeva 128 i 344. GCD (128, 344) = 8. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s tim brojem, odmah dobivamo nesvodljivi razlomak.

Moram pokazati djeci različiti putevi pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) i najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) brojeva. U jednostavnim slučajevima, prikladno je pronaći najveći zajednički djelitelj(gcd) i najmanji zajednički višekratnik (lcm) brojeva jednostavnim nabrajanjem. Kada brojevi postanu veći, možete koristiti razlaganje brojeva na primarni čimbenici. Udžbenik za šesti razred (autor N.Ya. Vilenkin) prikazuje sljedeću metodu za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojeva. Razložimo brojeve na proste faktore:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Zatim od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižimo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Umnožak preostalih čimbenika bit će najveći zajednički djelitelj ovih brojeva. U ovom slučaju, ovaj broj je 8. Iz vlastitog iskustva sam se uvjerio da je djeci razumljivije ako podcrtamo iste čimbenike u proširenjima brojeva, a onda u jednom od proširenja pronađemo umnožak podcrtanog čimbenici. Ovo je najveći zajednički djelitelj ovih brojeva. U šestom razredu djeca su aktivna i radoznala. Možete im postaviti sljedeći zadatak: pokušajte na opisani način pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 343 i 287. Nije odmah jasno kako ih razložiti u proste faktore. I ovdje im možete reći o prekrasnoj metodi koju su izumili stari Grci, a koja vam omogućuje traženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) bez razlaganja na osnovne faktore. Ova metoda pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja prvi put je opisana u Euklidovim elementima. Zove se Euklidov algoritam. Sastoji se u sljedećem: Najprije podijelite veći broj manjim. Ako postoji ostatak, onda podijelite manji broj s ostatkom. Ako se ostatak dobije ponovno, tada podijelite prvi ostatak s drugim. Dakle, nastavite dijeliti dok ostatak ne bude nula. Posljednji djelitelj je najveći zajednički djelitelj (GCD) ovih brojeva.

Vratimo se našem primjeru i, radi jasnoće, zapišimo rješenje u obliku tablice.

Dakle, gcd(344,287) = 7

I kako pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) istih brojeva? Postoji li neki način za to koji ne zahtijeva preliminarnu dekompoziciju ovih brojeva na proste faktore? Ispostavilo se da postoji, i to vrlo jednostavno. Ove brojeve trebamo pomnožiti i proizvod podijeliti najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) koji smo pronašli. NA ovaj primjer umnožak brojeva je 98441. Podijelite ga sa 7 i dobijete broj 14063. LCM(343,287) = 14063.

Jedna od teških tema u matematici je rješavanje riječnih zadataka. Učenicima trebamo pokazati kako koristiti koncepte "Najveći zajednički djelitelj (GCD)" i "Najmanji zajednički višestruki (LCM)" za rješavanje problema koje je ponekad teško riješiti na uobičajen način. Ovdje je primjereno s učenicima razmotriti, uz zadatke koje su predložili autori školskog udžbenika, stare i zabavnih zadataka, razvijanje radoznalosti djece i povećanje interesa za proučavanje ove teme. Vješto posjedovanje ovih pojmova omogućuje učenicima da vide lijepo rješenje nestandardnog problema. A ako se djetetovo raspoloženje popravi nakon rješavanja dobrog problema, to je znak uspješnog rada.

Dakle, proučavanje u školi pojmova kao što su "najveći zajednički djelitelj (GCD)" i "najmanji zajednički višestruki (LCD)" brojeva

Omogućuje vam uštedu vremena dodijeljenog za izvršenje posla, što dovodi do značajnog povećanja obujma dovršenih zadataka;

Povećava brzinu i točnost izvođenja aritmetičkih operacija, što dovodi do značajnog smanjenja broja dopuštenih računskih pogrešaka;

Omogućuje vam da pronađete lijepi načini rješavanje nestandardnih tekstualnih zadataka;

Razvija znatiželju učenika, širi njihove vidike;

Stvara preduvjete za obrazovanje svestrane kreativne osobnosti.

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teorem koji uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te navesti primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo uobičajeni višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore navedenoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Također će broj 12 biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 zajednički su višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istodobno, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 i broj bilo kojih drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva koji nisu nula.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotni brojevi, onda ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva na isti način kao i broj - k . To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može pronaći za bilo koje cijele brojeve.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k. Broj koji dobijemo tijekom množenja brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se sa svakim od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da je umnožak brojeva a 1, a 2, …, a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajednički višekratnici. Zapravo, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će umnožak brojeva k · z , gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z . S obzirom da je broj brojeva beskonačan, tada je broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višestruk (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanji broj iz zadanog skupa brojeva, koje smo razmatrali u odjeljku Usporedba cijelih brojeva. Imajući na umu ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveći praktični značaj među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Kratica NOK najčešće se koristi za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Skraćenica za najmanji zajednički višestruki broj za brojeve a 1, a 2, …, a k izgledat će kao LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. Oni. LCM (6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja - 2, 12, 15 i 3 bit će jednak 60. Skraćenica će biti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ne za sve grupe zadanih brojeva najmanji zajednički višekratnik je očit. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i NOD-a

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b , odnosno LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv s a , postoji i neki cijeli broj z , pod kojom je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljivo sa b, pa onda a k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novu oznaku za gcd (a, b) kao d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje će jednakosti biti međusobno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može zapisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno uvjetu a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu relativno prostih brojeva, ako a 1 i b 1- obostrano primarni brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, onda b 1 treba podijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u jednakost M = a k izraz oblika b: d t. To nam omogućuje da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. Na t=1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, pod uvjetom da su brojevi a i b pozitivan.

Dakle, dokazali smo da je LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva isti su kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Budući da su a i b međusobno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate uzastopno pronaći LCM dvaju brojeva.

Teorem 2

Pretvarajmo se to a 1, a 2, …, a k su neki cijeli brojevi pozitivni brojevi. Za izračunavanje LCM m k te brojeve moramo uzastopno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOO(m 2 , a 3) , … , m k = NOO(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prvi zaključak prvog teorema koji se razmatra u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo točnost drugog teorema. Rezoniranje se gradi prema sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 podudaraju s višekratnicima njihovog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2, …, a k podudaraju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, …, a k je m k.

Dakle, dokazali smo teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Zapisujemo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajemo im faktor 5 koji nedostaje iz proširenja drugog broja. Dobivamo: 2*2*3*5*5=300. Pronađen NOC, tj. ovaj zbroj = 300. Ne zaboravi dimenziju i napiši odgovor:
Odgovor: Mama daje po 300 rubalja.

Definicija GCD-a: Najveći zajednički djelitelj (GCD) prirodni brojevi a i u imenovati najveći prirodni broj c, na što i a, i b podijeljeno bez ostatka. Oni. c je najmanji prirodni broj za koji i a i b su višestruki.

Podsjetnik: Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva

• brojevi koji se koriste u: nabrajanju (numeraciji) stavki (prvi, drugi, treći, ...); - u školama, obično.
• označavajući broj stavki (bez pokemona - nula, jedan pokemon, dva pokemona, ...).

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni. Neki autori uključuju nulu u skup prirodnih brojeva, drugi ne. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N

Podsjetnik: Djelitelj prirodnog broja a nazovi broj b, u kojoj a podijeljeno bez ostatka. Višestruki prirodni broj b naziva prirodnim brojem a, koji je podijeljen sa b bez traga. Ako broj b- djelitelj brojeva a, onda a višestruko od b. Primjer: 2 je djelitelj od 4, a 4 je višekratnik broja 2. 3 je djelitelj broja 12, a 12 je višekratnik broja 3.
Podsjetnik: Prirodni brojevi nazivaju se prosti ako su bez ostatka djeljivi samo sami sa sobom i s 1. Koprimi su brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj jednak 1.

Definicija kako pronaći GCD u općem slučaju: Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) Potrebno je nekoliko prirodnih brojeva:
1) Rastaviti ih na proste faktore. (Tabela osnovnih brojeva može biti od velike pomoći za to.)
2) Napišite čimbenike uključene u proširenje jednog od njih.
3) Izbrišite one koji nisu uključeni u proširenje preostalih brojeva.
4) Pomnožite faktore dobivene u stavku 3.).

Zadatak 2 na (NOK): Do nove godine Kolya Puzatov je u gradu kupio 48 hrčaka i 36 lonaca za kavu. Fekla Dormidontova, kao najpoštenija djevojka u razredu, dobila je zadatak da ovu imovinu podijeli na što veći broj poklon setovi za učitelje. Koliki je broj kompleta? Kakav je sastav kompleta?

Primjer 2.1. rješavanje problema nalaženja GCD. Pronalaženje GCD odabirom.
Odluka: Svaki od brojeva 48 i 36 mora biti djeljiv s brojem darova.
1) Napiši djelitelje 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Napiši djelitelje 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Odaberite najveći zajednički djelitelj. Op-la-la! Pronađeno, ovo je broj setova od 12 komada.
3) Podijelimo 48 sa 12, dobijemo 4, podijelimo 36 sa 12, dobijemo 3. Ne zaboravimo dimenziju i napišimo odgovor:
Odgovor: Dobit ćete 12 kompleta od 4 hrčka i 3 posude za kavu u svakom setu.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djelitelj od $a$, a broj $a$ naziva se višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, a za označavanje se koristi oznaka:

$gcd \ (a;b) \ ​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo:

Razložimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Dobiveni broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite gcd brojeva $48$ i $60$.

Odluka:

Pronađite skup djelitelja $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Sada pronađimo skup djelitelja $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Nađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodan broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Uobičajeni višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi izvornikom bez ostatka. Na primjer, za brojeve 25$ i 50$ zajednički će višekratnici biti brojevi 50,100,150,200$ itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat će se najmanjim zajedničkim višekratnikom i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore
2. Napišite čimbenike koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu na prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo

Rastaviti brojeve na proste faktore

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im čimbenike koji su dio drugog i ne idu u prvi

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često je vrlo dugotrajno. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vdots b$, tada je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako je $a\vdots b$, tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, tada je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako je $a\vdots c$ i $b\vdots c$, tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj $a$ i $b$ je djelitelj $D(a;b)$

Dolje predstavljeni materijal logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo govoriti o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Najprije pokažimo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u terminima GCD tih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika faktoringom brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a od tri i više brojeva, a također obratite pozornost na izračun LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na odnosu između LCM-a i GCD-a. Postojeći odnos između LCM-a i GCD-a omogućuje vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Odgovor:

LCM (126, 70) = 630 .

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Odluka.

Kao 68 je jednako djeljivo s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM (68, 34) = 68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Drugi način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na faktoriranju brojeva u proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih čimbenika ovih brojeva, nakon čega iz tog umnožaka izuzmemo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak umnošku svih prostih čimbenika koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve čimbenike koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih čimbenika koji sudjeluju u proširenjima ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog proizvoda sve čimbenike koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tako, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM (441, 700) = 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz razgradnje broja a dodamo čimbenike koji nedostaju iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobivamo razlaganje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM (84, 648) = 4 536 .

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo pronađemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . To jest, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 \u003d 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . To jest, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija zadanih brojeva. Pritom se treba pridržavati sljedeće pravilo. Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva jednak je umnošku koji se sastoji na sljedeći način: čimbenici koji nedostaju iz proširenja drugog broja zbrajaju se svim čimbenicima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobivenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore.

Primjer.

Nađi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo dobivamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (oni su 2, 2, 3 i 7) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Osim faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 11 i 13 iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .