Cómo multiplicar dos números mixtos. Elaboración de un sistema de ecuaciones.

En este artículo analizaremos multiplicacion de numeros mixtos. Primero, expresaremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación, hablaremos de la multiplicación de un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a multiplicar un número mixto y una fracción ordinaria.

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Multiplicación de números mixtos.

Multiplicación de números mixtos se puede reducir a la multiplicación fracciones ordinarias. Para hacer esto, basta con convertir números mixtos en fracciones impropias.

vamos a escribir regla de multiplicacion para numeros mixtos:

• Primero, los números mixtos a multiplicar deben ser reemplazados por fracciones impropias;
• En segundo lugar, debe usar la regla de multiplicar una fracción por una fracción.

Considere ejemplos de la aplicación de esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.

Realiza multiplicaciones de números mixtos y .

Primero, representamos los números mixtos multiplicados como fracciones impropias: y . Ahora podemos reemplazar la multiplicación de números mixtos con la multiplicación de fracciones ordinarias: . Aplicando la regla de la multiplicación de fracciones, obtenemos . La fracción resultante es irreducible (ver fracciones reducibles e irreducibles), pero es incorrecta (ver fracciones regulares e impropias), por lo tanto, para obtener la respuesta final, resta extraer la parte entera de la fracción impropia: .

Escribamos la solución completa en una línea: .

.

Para consolidar las habilidades de multiplicar números mixtos, considere la solución de otro ejemplo.

Haz la multiplicación.

Números divertidos y son iguales a las fracciones 13/5 y 10/9, respectivamente. Entonces . En esta etapa, es hora de recordar acerca de la reducción de fracciones: reemplacemos todos los números en la fracción con sus desarrollos en factores primos, y realizar la reducción de los mismos factores.

Multiplicación de un número mixto y un número natural

Después de reemplazar el número mixto, fracción propia, multiplicar un numero mixto y un numero natural se reduce a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.

Multiplica el número mixto y el número natural 45 .

Un número mixto es una fracción, entonces . Reemplacemos los números en la fracción resultante con sus desarrollos en factores primos, hagamos una reducción, después de lo cual seleccionamos la parte entera: .

.

La multiplicación de un número mixto y un número natural a veces se hace convenientemente usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, .

Calcular el producto.

Reemplazamos el número mixto con la suma de las partes entera y fraccionaria, después de lo cual aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación: .

Multiplicar un número mixto y una fracción común lo más conveniente es reducir a la multiplicación de fracciones ordinarias, representando el número mixto multiplicado como una fracción impropia.

Multiplica el número mixto por la fracción común 4/15.

Sustituyendo el número mixto por una fracción, obtenemos .

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Multiplicación de números fraccionarios

§ 140. Definiciones. 1) La multiplicación de un número fraccionario por un número entero se define de la misma manera que la multiplicación de números enteros, a saber: multiplicar un número (multiplicador) por un número entero (factor) significa hacer una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando, y el número de términos es igual al multiplicador.

Así que multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar algún número (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicando.

Así, al encontrar una fracción de un número dado, que consideramos antes, ahora llamaremos multiplicación por una fracción.

3) Multiplicar un número (multiplicador) por un número mixto (factor) significa multiplicar el multiplicador primero por el número entero del factor, luego por la fracción del factor, y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.

Por ejemplo:

El número obtenido después de la multiplicación se llama en todos estos casos trabaja, es decir, de la misma forma que cuando se multiplican números enteros.

De estas definiciones queda claro que la multiplicación de números fraccionarios es una acción que siempre es posible y siempre sin ambigüedades.

§ 141. Oportunidad de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en la aritmética, tomemos el siguiente problema:

Tarea. El tren, moviéndose uniformemente, viaja a 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?

Si nos hubiésemos quedado con aquella única definición de multiplicación, que se indica en la aritmética de los números enteros (suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:

Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema, se deben multiplicar 40 km por este número de horas.

Si un número dado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, horas), entonces tendrás que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.

Finalmente, si el número dado de horas es mixto (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por un número entero contenido en el número mixto, y agregar al resultado una fracción de 40 km como está en el numero mixto.

Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general a todos estos casos posibles:

Hay que multiplicar 40 km por el número de horas dado, cualquiera que sea.

Así, si la tarea se presenta en vista general Asi que:

Un tren que se mueve uniformemente recorre v km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en t horas?

entonces, cualesquiera que sean los números vyt, podemos expresar una respuesta: el número deseado se expresa mediante la fórmula v · t.

Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar el número dado por o por; encontrar el 125% de un número dado es lo mismo que multiplicar ese número por o por, etc.

§ 142. Una nota sobre cuándo un número aumenta y cuándo disminuye a partir de la multiplicación.

De la multiplicación por una fracción propia, el número decrece, y de la multiplicación por fracción impropia el número aumenta si esta fracción impropia es mayor que uno, y permanece invariable si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como enteros, el producto se toma igual a cero si alguno de los factores es igual a cero, entonces,.

§ 143. Derivación de reglas de multiplicación.

1) Multiplicar una fracción por un número entero. Que la fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentar por 5 veces. Para aumentar una fracción en 5, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador 5 veces (§ 127).

Asi que:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un entero, debes multiplicar el numerador por este entero, y dejar igual el denominador; en cambio, también puedes dividir el denominador de la fracción por el entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.

Comentario. El producto de una fracción y su denominador es igual a su numerador.

Asi que:
regla 2 Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.

Comentario. Esta regla también se puede aplicar a la multiplicación de una fracción por un entero y un entero por una fracción, si sólo consideramos el entero como una fracción con denominador uno. Asi que:

Por lo tanto, las tres reglas ahora enunciadas están contenidas en una, que puede expresarse en términos generales de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.

Regla 4. Para multiplicar números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción en la multiplicación. Al multiplicar fracciones, si es posible, se debe hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Tal reducción se puede hacer porque el valor de la fracción no cambiará si el numerador y el denominador se reducen en el mismo numero una vez.

§ 145. Cambio de producto con cambio de factores. Cuando los factores cambian, el producto de números fraccionarios cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), es decir: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad.

Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones es necesario multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.

Comentario. Esta regla también se puede aplicar a aquellos productos en los que algunos factores del número son enteros o mixtos, si consideramos el número entero como una fracción cuyo denominador es uno, y convertimos los números mixtos en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Aquellas propiedades de la multiplicación que hemos indicado para los números enteros (§ 56, 57, 59) también pertenecen a la multiplicación de números fraccionarios. Especifiquemos estas propiedades.

1) El producto no cambia al cambiar los lugares de los factores.

Por ejemplo:

En efecto, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a la fracción y el segundo es igual a la fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus términos difieren solo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando cambian los lugares de los factores.

2) El producto no cambiará si cualquier grupo de factores es reemplazado por su producto.

Por ejemplo:

Los resultados son los mismos.

De esta propiedad de la multiplicación, podemos deducir la siguiente conclusión:

para multiplicar un número por un producto, puedes multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, y así sucesivamente.

Por ejemplo:
3) La ley distributiva de la multiplicación (con respecto a la suma). Para multiplicar la suma por algún número, puedes multiplicar cada término por este número por separado y sumar los resultados.

Esta ley ha sido explicada por nosotros (§ 59) aplicada a números enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.

Demostremos, de hecho, que la igualdad

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma) sigue siendo verdadera incluso cuando las letras significan números fraccionarios. Consideremos tres casos.

1) Suponga primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c son números cualesquiera). De acuerdo con la definición de multiplicación por un número entero, uno puede escribir (limitado por simplicidad a tres términos):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Sobre la base de la ley asociativa de la suma, podemos omitir todos los corchetes del lado derecho; aplicando la ley conmutativa de la suma, y ​​luego nuevamente la combinacional, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Por tanto, se confirma la ley distributiva en este caso.

Multiplicación y división de fracciones

La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar fracciones a un denominador común.

Ahora es el momento de lidiar con la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera distinguida.

Para multiplicar dos fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.

Para dividir dos fracciones, necesitas multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".

De la definición se sigue que la división de fracciones se reduce a la multiplicación. Para voltear una fracción, simplemente intercambia el numerador y el denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.

Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción reducida (y a menudo surge), por supuesto, debe reducirse. Si, después de todas las reducciones, la fracción resultara incorrecta, deberá distinguirse en ella la parte entera. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores máximos y mínimos comunes múltiplos.

Por definición tenemos:

Multiplicación de fracciones con parte entera y fracciones negativas

Si hay una parte entera en las fracciones, deben convertirse en impropias, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.

Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de los límites de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Más veces menos da menos;
2. Dos negativos hacen un afirmativo.

Hasta ahora, estas reglas solo se han encontrado al sumar y restar fracciones negativas, cuando se requería deshacerse de la parte entera. Para un producto, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:

1. Tachamos los menos en pares hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir: el que no encontró una coincidencia;
2. Si no quedan menos, la operación está completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró un par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Traducimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos fuera de los límites de la multiplicación. Lo que queda se multiplica según las reglas habituales. Obtenemos:

Permíteme recordarte una vez más que el signo menos que precede a una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción completa, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).

También presta atención a números negativos: Cuando se multiplican, se encierran entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.

Reducir fracciones sobre la marcha

La multiplicación es una operación muy laboriosa. Los números aquí son bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y los denominadores de las fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Por definición tenemos:

En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.

Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. Las unidades permanecieron en su lugar, lo que, en general, puede omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.

Sin embargo, ¡en ningún caso no utilice esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que solo quieres reducir. Aquí, mira:

¡No puedes hacer eso!

El error ocurre debido a que al sumar una fracción, en el numerador de una fracción aparece la suma, y ​​no el producto de números. Por lo tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de una fracción, ya que esta propiedad se ocupa específicamente de la multiplicación de números.

Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, así que solucion correcta la tarea anterior se ve así:

Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, tenga cuidado.

Multiplicación de fracciones.

Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.

Multiplicar una fracción por una fracción.

Para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.

Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

Multiplicar una fracción por un número.

Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac \) .

Usemos esta regla para la multiplicación.

La fracción impropia \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) se convirtió en una fracción mixta.

En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:

Multiplicación de fracciones mixtas.

Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.

Multiplicación de fracciones y números recíprocos.

Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.

¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si son iguales o diferentes denominadores para fracciones, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla de encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.

¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.

¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.

Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Ejemplo #2:
Calcular el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de la fracción \(\frac \)?
Respuesta: \(\frac = 3\)

Ejemplo #4:
Calcular el producto de dos recíprocos: a) \(\frac \times \frac \)

Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) al mismo tiempo números naturales?

Decisión:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac \) es correcta, su recíproco será igual a \(\frac \) - una fracción impropia. Respuesta: no.

b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac \) , su recíproco es \(\frac \). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.

c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac \), entonces su recíproco será \(\frac \). La fracción \(\frac \) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac = \frac = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.

Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Decisión:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Ejemplo #7:
¿Pueden dos mutuamente recíprocos ser simultáneamente números mixtos?

Veamos un ejemplo. Toma una fracción mixta \(1\frac \), encuéntrala recíproco, para ello lo traducimos a una fracción impropia \(1\frac = \frac \) . Su recíproco será igual a \(\frac \) . La fracción \(\frac \) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.

Multiplicar un decimal por un número natural

Presentación para la lección.

¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si estás interesado este trabajo por favor descargue la versión completa.

• De una manera divertida, presente a los estudiantes la regla de la multiplicación. fracción decimal a un número natural, a una unidad de bit y la regla para expresar una fracción decimal como un porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejemplos y problemas.
• desarrollar y activar pensamiento lógico estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su trabajo y el trabajo de los demás.
• Cultivar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad, la capacidad de comunicación.

Equipo: pizarra interactiva, un cartel con un cyphergram, carteles con declaraciones de matemáticos.

1. Organizando el tiempo.
2. El conteo oral es una generalización de material previamente estudiado, preparación para el estudio de material nuevo.
3. Explicación del nuevo material.
4. Asignación de tareas.
5. Educación física matemática.
6. Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos de forma lúdica con la ayuda de un ordenador.
7. calificación

2. Chicos, nuestra lección de hoy será algo inusual, porque no la pasaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, ahora lo verás. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y puede hablar. ¿Cuál es tu nombre, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Bueno, entonces, comencemos la lección.

Hoy recibí un cyphergram encriptado, muchachos, que debemos resolver y descifrar juntos. (Se coloca un cartel en la pizarra con conteo oral para la suma y resta de fracciones decimales, como resultado de lo cual los chicos obtienen el siguiente código 523914687. )

Komposha ayuda a descifrar el código recibido. Como resultado de la decodificación, se obtiene la palabra MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es la palabra clave del tema de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"

Chicos, sabemos cómo se realiza la multiplicación de números naturales. Hoy vamos a ver la multiplicación. numeros decimales a un número natural. La multiplicación de una fracción decimal por un número natural puede considerarse como la suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Entonces 5,21 3 = 15,63. Representando 5.21 como una fracción ordinaria de un número natural, obtenemos

Y en este caso, obtuvimos el mismo resultado de 15.63. Ahora, ignorando la coma, tomemos el número 521 en lugar del número 5.21 y multipliquemos por el número natural dado. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se mueve dos lugares a la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, moveremos la coma dos dígitos hacia la izquierda. Por lo tanto, por cuántas veces se incrementó uno de los factores, el producto se redujo tantas veces. Con base en los puntos similares de estos métodos, sacamos una conclusión.

Para multiplicar un decimal por un número natural, necesitas:
1) ignorando la coma, realiza la multiplicación de números naturales;
2) en el producto resultante, separar con una coma a la derecha tantos caracteres como hay en una fracción decimal.

En el monitor se muestran los siguientes ejemplos, que analizamos junto con Komposha y los chicos: 5,21 3 = 15,63 y 7,624 15 = 114,34. Después de mostrar la multiplicación por número redondeado 12,6 50 = 630. A continuación, paso a la multiplicación de una fracción decimal por una unidad de bit. Muestro los siguientes ejemplos: 7.423 100 \u003d 742.3 y 5.2 1000 \u003d 5200. Entonces, presento la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de bit:

Para multiplicar una fracción decimal por las unidades de bit 10, 100, 1000, etc., es necesario desplazar la coma hacia la derecha en esta fracción tantos dígitos como ceros haya en el registro de unidad de bit.

Termino la explicación con la expresión de una fracción decimal como porcentaje. Entro en la regla:

Para expresar un decimal como porcentaje, multiplícalo por 100 y agrega el signo %.

Doy un ejemplo en una computadora 0.5 100 = 50 o 0.5 = 50%.

4. Al final de la explicación, les doy a los chicos tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Para que los chicos descansen un poco, para consolidar el tema, hacemos una sesión de educación física matemática junto con Komposha. Todos se ponen de pie, muestran a la clase los ejemplos resueltos y deben responder si el ejemplo es correcto o incorrecto. Si el ejemplo se resuelve correctamente, levantan las manos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y amasan los dedos.

6. Y ahora que tienes un pequeño descanso, puedes resolver las tareas. Abre tu libro de texto en la página 205, № 1029. en esta tarea es necesario calcular el valor de las expresiones:

Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece un cuadro con la imagen de un barco que, cuando está completamente ensamblado, zarpa.

Resolviendo esta tarea en una computadora, el cohete se desarrolla gradualmente, resolviendo el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los estudiantes: naves espaciales. Cerca de Baikonur, Kazajstán está construyendo su propia nuevo puerto espacial Baiterek.

¿Qué distancia recorrerá un automóvil en 4 horas si la velocidad es coche de pasajeros 74,8 km/h.

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En el curso de secundaria y preparatoria, los estudiantes estudiaron el tema "Fracciones". Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que el dado en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia, y no todos pueden calcular cualquier expresión, por ejemplo, multiplicando fracciones.

¿Qué es una fracción?

Sucedió históricamente que los números fraccionarios aparecieron por la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos para determinar la longitud de un segmento, el volumen de un rectángulo rectangular.

Inicialmente, a los estudiantes se les presenta un concepto como una acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada una obtendrá una octava parte de una sandía. Esta parte de ocho se llama acción.

La parte igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Las entradas como 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones comunes. Una fracción ordinaria se divide en un numerador y un denominador. Entre ellos hay una línea fraccionaria, o línea fraccionaria. Una barra fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal o inclinada. En este caso, representa el signo de división.

El denominador representa en cuántas partes iguales se divide el valor del objeto; y el numerador es cuántas partes iguales se toman. El numerador se escribe encima de la barra fraccionaria, el denominador debajo.

Es más conveniente mostrar fracciones ordinarias en haz de coordenadas. Si divide un solo segmento en 4 partes iguales, designe cada parte con una letra latina y, como resultado, puede obtener una excelente ayuda visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de este segmento.

Variedades de fracciones.

Las fracciones son números comunes, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.

Una fracción propia es un número cuyo numerador es menor que el denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que el denominador. El segundo tipo generalmente se escribe como un número mixto. Tal expresión consta de una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 - parte entera, ½ - fraccionario. Sin embargo, si necesita realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte en una fracción impropia.

La expresión fraccionaria correcta es siempre menos que uno, e incorrecto - mayor o igual a 1.

En cuanto a esta expresión, entienden un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de la expresión fraccionaria puede expresarse mediante uno con varios ceros. Si la fracción es correcta, entonces la parte entera en la notación decimal será cero.

Para escribir un decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fraccionaria con una coma y luego escribir la expresión fraccionaria. Hay que recordar que después de la coma el numerador debe contener tantos caracteres numéricos como ceros haya en el denominador.

Ejemplo. Representa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.

Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa

Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta del problema, por lo que debe convertirse a un número mixto:

• dividir el numerador por el denominador existente;
• en ejemplo específico cociente incompleto - entero;
• y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.

Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47 / 5 .

Decisión. 47: 5. El cociente incompleto es 9, el resto = 2. Por lo tanto, 47/5 = 9 2/5.

A veces necesitas representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:

• la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
• el producto resultante se suma al numerador;
• el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.

Ejemplo. Expresar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10 .

Decisión. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.

Responder: 98 / 10.

Multiplicación de fracciones ordinarias

Puede realizar varias operaciones algebraicas en fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, necesitas multiplicar el numerador con el numerador y el denominador con el denominador. Además, la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores no difiere del producto de números fraccionarios con los mismos denominadores.

Sucede que después de encontrar el resultado, necesitas reducir la fracción. EN sin fallar la expresión resultante debe simplificarse tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en la respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla la respuesta correcta.

Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.

Como se puede ver en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtiene una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso son divisibles por 4, y el resultado es la respuesta 5/9.

Multiplicar fracciones decimales

El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, la multiplicación de fracciones es la siguiente:

• dos fracciones decimales deben escribirse una debajo de la otra para que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
• necesita multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
• cuente el número de dígitos después de la coma en cada uno de los números;
• en el resultado obtenido después de la multiplicación, debe contar tantos caracteres digitales a la derecha como están contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y poner un signo de separación;
• si hay menos dígitos en el producto, entonces se deben escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y asignar una parte entera igual a cero.

Ejemplo. Calcula el producto de dos decimales: 2,25 y 3,6.

Decisión.

Multiplicación de fracciones mixtas

Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debe usar la regla para multiplicar fracciones:

• convertir números mixtos a fracciones impropias;
• encontrar el producto de los numeradores;
• encontrar el producto de los denominadores;
• anote el resultado;
• Simplifique la expresión tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2 / 5.

Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)

Además de encontrar el producto de dos fracciones, números mixtos, hay tareas en las que necesitas multiplicar por una fracción.

Entonces, para encontrar el producto de una fracción decimal y un número natural, necesitas:

• escriba el número debajo de la fracción para que los dígitos más a la derecha estén uno encima del otro;
• encontrar el trabajo, a pesar de la coma;
• en el resultado obtenido, separe la parte entera de la parte fraccionaria mediante una coma, contando a la derecha el número de caracteres que hay después del punto decimal en la fracción.

Para multiplicar una fracción ordinaria por un número, debes encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta es una fracción reducible, debe convertirse.

Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.

Decisión. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Responder: 7 1 / 2.

Como puede ver en el ejemplo anterior, era necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.

Además, la multiplicación de fracciones también se aplica para encontrar el producto de un número en forma mixta y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar la parte entera del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, debe simplificar el resultado tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5 / 6 y 9.

Decisión. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Responder: 88 1 / 2.

Multiplicación por factores 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001

Se sigue del párrafo anterior siguiente regla. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debe mover la coma a la derecha tantos dígitos como ceros haya en el multiplicador después de uno.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 0.065 y 1000.

Decisión. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Responder: 65.

Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3.9 y 1000.

Decisión. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Responder: 3900.

Si necesitas multiplicar un número natural y 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, etc., debe mover la coma a la izquierda en el producto resultante tantos dígitos como ceros hay antes del uno. Si es necesario, se escribe un número suficiente de ceros delante de un número natural.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0.01.

Decisión. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Responder: 0,56.

Ejemplo 2. Encuentra el producto de 4 y 0.001.

Decisión. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Responder: 0,004.

Entonces, encontrar un producto varias fracciones no debe causar dificultades, excepto para el cálculo del resultado; En este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.

Multiplicación y división de fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Te recuerdo: para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Es decir:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple.. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...

Para dividir una fracción entre una fracción, debes voltear segundo(¡esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si se detecta la multiplicación o división con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción de un número entero con una unidad en el denominador, ¡y listo! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo llevar esta fracción a una forma decente? ¡Sí, muy fácil! Utilice la división a través de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto es muy importante aquí! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero en una fracción de tres pisos es fácil cometer un error. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En la segunda (expresión de la derecha):

¿Siente la diferencia? 4 y 1/9!

¿Cuál es el orden de división? O corchetes, o (como aquí) la longitud de los guiones horizontales. Desarrolla un ojo. Y si no hay corchetes o guiones, como:

luego divide-multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otro truco muy simple e importante. En acciones con grados, ¡te vendrá bien! Dividamos la unidad por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro ha dado la vuelta! Y siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, solo que invertida.

Esas son todas las acciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores más que suficientes. Nota Consejo practico, y ellos (errores) serán menos!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras comunes, no son buenos deseos! ¡Esta es una necesidad severa! Haz todos los cálculos del examen como una tarea completa, con concentración y claridad. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al calcular mentalmente.

2. En los ejemplos con diferentes tipos fracciones - ir a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones a la parada.

4. Reducimos las expresiones fraccionarias de varios niveles a las ordinarias usando la división a través de dos puntos (¡seguimos el orden de la división!).

5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que debe completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales de este tema y consejos prácticos. Estima cuántos ejemplos podrías resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerda la respuesta correcta obtenido de la segunda (especialmente la tercera) vez - ¡no cuenta! Así es la vida dura.

Asi que, resolver en modo examen ! Esto es preparación para el examen, por cierto. Resolvemos un ejemplo, comprobamos, resolvemos lo siguiente. Decidimos todo: revisamos nuevamente desde el primero hasta el último. Solamente después mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Buscando respuestas que coincidan con las tuyas. Las escribí deliberadamente en un lío, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Y ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡feliz por ti! Cálculos elementales con fracciones - ¡no es tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Que no...

Así que tienes uno de dos problemas. O ambos a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas conocer reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.

Multiplicar una fracción por una fracción.

Para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ por 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)

La fracción \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) se ha reducido en 3.

Multiplicar una fracción por un número.

Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Usemos esta regla para la multiplicación.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Fracción impropia \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertido a una fracción mixta.

En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Multiplicación de fracciones mixtas.

Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.

Ejemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Multiplicación de fracciones y números recíprocos.

La fracción \(\bf \frac(a)(b)\) es la inversa de la fracción \(\bf \frac(b)(a)\), siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones \(\bf \frac(a)(b)\) y \(\bf \frac(b)(a)\) se llaman recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Ejemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.

¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si los denominadores de las fracciones son iguales o diferentes, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla para encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.

¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.

¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.

Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Decisión:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Ejemplo #2:
Calcula el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Decisión:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de \(\frac(1)(3)\)?
Respuesta: \(\frac(3)(1) = 3\)

Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones recíprocas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Decisión:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) números naturales al mismo tiempo?

Decisión:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac(2)(3)\) es propia, su recíproco será igual a \(\frac(3)(2)\) - una fracción impropia. Respuesta: no.

b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac(3)(3)\) , su recíproco es \(\frac(3)(3)\). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.

c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac(3)(1)\), entonces su recíproco será \(\frac(1)(3)\). La fracción \(\frac(1)(3)\) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.

Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Decisión:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Ejemplo #7:
¿Pueden dos números recíprocos ser simultáneamente números mixtos?

Veamos un ejemplo. Tomemos una fracción mixta \(1\frac(1)(2)\), encuentre su recíproco, para esto la traducimos a una fracción impropia \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Su recíproco será igual a \(\frac(2)(3)\) . La fracción \(\frac(2)(3)\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.