>>Riyaziyyat: Həndəsi irəliləmə

Oxucunun rahatlığı üçün bu bölmə əvvəlki bölmədə izlədiyimiz plana uyğun olaraq həyata keçirilir.

1. Əsas anlayışlar.

Tərif. Bütün üzvləri 0-dan fərqli olan və hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlki üzvdən onu eyni ədədə vurmaqla alınan ədədi ardıcıllığa həndəsi irəliləmə deyilir. Bu halda 5 rəqəmi həndəsi irəliləyişin məxrəci adlanır.

Beləliklə, həndəsi irəliləyiş münasibətləri ilə rekursiv verilən ədədi ardıcıllıqdır (b n)

Bir ədəd ardıcıllığına baxaraq onun həndəsi irəliləyiş olub-olmadığını müəyyən etmək mümkündürmü? Bacarmaq. Əgər ardıcıllığın hər hansı üzvünün əvvəlki üzvə nisbətinin sabit olduğuna əminsinizsə, onda həndəsi irəliləyişiniz var.
Misal 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Misal 2

Bu həndəsi irəliləyişdir
Misal 3

Bu həndəsi irəliləyişdir
Misal 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu, b 1 - 8, q = 1 olduğu həndəsi irəliləyişdir.

Nəzərə alın ki, bu ardıcıllıq həm də arifmetik irəliləyişdir (15-ci bənddən 3-cü nümunəyə baxın).

Misal 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu b 1 \u003d 2, q \u003d -1 olan həndəsi irəliləyişdir.

Aydındır ki, həndəsi irəliləyiş b 1 > 0, q > 1 olduqda artan ardıcıllıq və b 1 > 0, 0 olduqda azalan ardıcıllıqdır.< q < 1 (см. пример 2).

Ardıcıllığın (b n) həndəsi irəliləyiş olduğunu göstərmək üçün bəzən aşağıdakı qeyd əlverişlidir:

İşarə "həndəsi irəliləmə" ifadəsini əvəz edir.
Həndəsi irəliləyişin maraqlı və eyni zamanda olduqca açıq bir xüsusiyyətini qeyd edirik:
Əgər ardıcıllıq həndəsi irəliləyişdir, onda kvadratların ardıcıllığı, yəni. həndəsi irəliləyişdir.
İkinci həndəsi irəliləyişdə birinci hədd q 2-yə bərabərdir.
Əgər b n-dən sonrakı bütün şərtləri eksponensial olaraq atsaq, onda sonlu həndəsi irəliləyiş əldə edirik
Bu bölmənin sonrakı paraqraflarında biz həndəsi irəliləyişin ən mühüm xassələrini nəzərdən keçirəcəyik.

2. Həndəsi proqresiyanın n-ci həddinin düsturu.

Həndəsi irəliləməni nəzərdən keçirək məxrəc q. Bizdə:

Hər hansı bir ədəd üçün n bərabərliyini təxmin etmək çətin deyil

Bu həndəsi irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturdur.

Şərh.

Oxumusansa vacib qeydəvvəlki abzasdan və onu başa düşdükdən sonra (1) düsturunu arifmetik irəliləyişin n-ci həddinin düsturu üçün edildiyi kimi, riyazi induksiya ilə sübut etməyə çalışın.

Həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturunu yenidən yazaq

və qeydi təqdim edin: y \u003d mq 2 alırıq və ya daha ətraflı şəkildə,
X arqumenti eksponentdə yerləşir, ona görə də belə funksiya eksponensial funksiya adlanır. Bu o deməkdir ki, həndəsi irəliləyiş N natural ədədlər çoxluğunda verilmiş eksponensial funksiya kimi qəbul edilə bilər. Əncirdə. 96a Şəkil 1-in funksiyasının qrafikini göstərir. 966 - funksiya qrafiki Hər iki halda, bəzi əyri üzərində uzanan təcrid olunmuş nöqtələrimiz (x = 1, x = 2, x = 3 və s. absislərlə) var (hər iki rəqəm eyni əyrini göstərir, yalnız fərqli yerləşmiş və müxtəlif miqyaslarda təsvir edilmişdir). Bu əyri eksponent adlanır. Eksponensial funksiya və onun qrafiki haqqında daha çox 11-ci sinif cəbr kursunda danışılacaq.

Əvvəlki paraqrafdan 1-5-ci misallara qayıdaq.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu həndəsi irəliləyişdir, burada b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Gəlin n-ci hədd üçün düstur yaradaq.
2) Bu həndəsi irəliləyişdir, burada n-ci həddi tərtib edək

Bu həndəsi irəliləyişdir n-ci hədd üçün düstur qurun
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu həndəsi irəliləyişdir, burada b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Gəlin n-ci hədd üçün düstur yaradaq.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu həndəsi irəliləyişdir, b 1 = 2, q = -1. n-ci hədd üçün düstur qurun

Misal 6

Həndəsi irəliləyiş verilmişdir

Bütün hallarda həll həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturuna əsaslanır

a) Həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturuna n = 6 qoysaq, alarıq

b) bizdə

512 \u003d 2 9-dan bəri n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 alırıq.

d) bizdə var

Misal 7

Həndəsi proqresiyanın yeddinci və beşinci üzvlərinin fərqi 48-dir, irəliləyişin beşinci və altıncı üzvlərinin cəmi də 48-dir. Bu irəliləyişin on ikinci üzvünü tapın.

Birinci mərhələ. Riyazi modelin tərtib edilməsi.

Tapşırığın şərtlərini qısaca aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Həndəsi irəliləyişin n-ci üzvünün düsturundan istifadə edərək əldə edirik:
Onda məsələnin ikinci şərti (b 7 - b 5 = 48) kimi yazmaq olar

Məsələnin üçüncü şərti (b 5 +b 6 = 48) kimi yazmaq olar

Nəticədə, iki dəyişəni b 1 və q olan iki tənlik sistemi əldə edirik:

yuxarıda yazılmış şərt 1) ilə birlikdə məsələnin riyazi modelidir.

İkinci mərhələ.

Hazırlanmış modellə işləmək. Sistemin hər iki tənliyinin sol hissələrini bərabərləşdirərək alırıq:

(tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli b 1 q 4 ifadəsinə böldük).

q 2 - q - 2 = 0 tənliyindən q 1 = 2, q 2 = -1 tapırıq. Sistemin ikinci tənliyində q = 2 dəyərini əvəz edərək, əldə edirik
Sistemin ikinci tənliyində q = -1 qiymətini əvəz edərək, b 1 1 0 = 48 alırıq; bu tənliyin həlli yoxdur.

Beləliklə, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - bu cüt tərtib edilmiş tənliklər sisteminin həllidir.

İndi sözügedən həndəsi irəliləyişi yaza bilərik: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Üçüncü mərhələ.

Problemli sualın cavabı. b 12 hesablamaq tələb olunur. bizdə var

Cavab: b 12 = 2048.

3. Sonlu həndəsi proqresiyanın üzvlərinin cəminin düsturu.

Sonlu həndəsi irəliləyiş olsun

Onun şərtlərinin cəmini S ilə işarələyin, yəni.

Bu məbləği tapmaq üçün düstur çıxaraq.

Ən sadə haldan başlayaq, q = 1 olduqda. Onda b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn həndəsi irəliləməsi b 1 -ə bərabər olan n ədəddən ibarətdir, yəni. irəliləmə b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4-dür. Bu ədədlərin cəmi nb 1-dir.

İndi q = 1 S n tapmaq üçün süni üsuldan istifadə edirik: S n q ifadəsinin bəzi çevrilmələrini yerinə yetirək. Bizdə:

Dönüşümləri həyata keçirərkən, biz, ilk növbədə, həndəsi irəliləyişin tərifindən istifadə etdik, ona görə (üçüncü mülahizə xəttinə baxın); ikincisi, ifadənin mənasının, təbii ki, niyə dəyişmədiyini əlavə edib çıxardılar (dördüncü mülahizə xəttinə bax); üçüncüsü, həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturundan istifadə etdik:

Düsturdan (1) tapırıq:

Bu, həndəsi proqresiyanın n üzvünün cəminin düsturudur (q = 1 olduqda).

Misal 8

Sonlu həndəsi irəliləyiş verilmişdir

a) proqresiyanın üzvlərinin cəmi; b) üzvlərinin kvadratlarının cəmi.

b) Yuxarıda (bax. s. 132) biz artıq qeyd etdik ki, həndəsi proqresiyanın bütün üzvləri kvadratdırsa, onda birinci üzvü b 2 və məxrəci q 2 olan həndəsi irəliləyiş alınacaq. Sonra yeni irəliləyişin altı şərtinin cəmi ilə hesablanacaq

Misal 9

Hansı həndəsi irəliləyişin 8-ci həddi tapın

Əslində, biz aşağıdakı teoremi sübut etdik.

Rəqəmsal ardıcıllıq həndəsi irəliləyişdir, o zaman və yalnız birincisi (və sonlu ardıcıllıq halında sonuncu) istisna olmaqla, hər bir üzvünün kvadratı əvvəlki və sonrakı hədlərin hasilinə bərabər olarsa. (həndəsi irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti).

Arifmetika ilə yanaşı həndəsi irəliləmə də vacibdir ədədi sıra 9-cu sinifdə məktəb cəbri kursunda öyrənilən . Bu yazıda həndəsi irəliləyişin məxrəcini və onun dəyərinin xassələrinə necə təsir etdiyini nəzərdən keçirəcəyik.

Həndəsi irəliləmənin tərifi

Əvvəlcə bunu müəyyən edək nömrə seriyası. Həndəsi irəliləyiş bir sıradır rasional ədədlər, ilk elementinin məxrəc adlanan sabit ədədə ardıcıl çarpılması ilə əmələ gəlir.

Məsələn, 3, 6, 12, 24, ... seriyasındakı ədədlər həndəsi irəliləyişdir, çünki 3-ü (birinci elementi) 2-yə vursaq, 6-nı alırıq. 6-nı 2-yə vursaq, alırıq. 12 və s.

Baxılan ardıcıllığın üzvləri adətən ai simvolu ilə işarələnir, burada i seriyadakı elementin sayını göstərən tam ədəddir.

Proqresiyanın yuxarıdakı tərifini riyaziyyat dilində belə yazmaq olar: an = bn-1 * a1, burada b məxrəcdir. Bu düsturu yoxlamaq asandır: əgər n = 1, onda b1-1 = 1 və biz a1 = a1 alırıq. Əgər n = 2 olarsa, onda an = b * a1 və biz yenidən nəzərdən keçirilən ədədlər seriyasının tərifinə gəlirik. Oxşar mülahizələri davam etdirmək olar böyük dəyərlər n.

Həndəsi irəliləyişin məxrəci

B rəqəmi bütün nömrələr seriyasının hansı simvola sahib olacağını tamamilə müəyyənləşdirir. Məxrəc b müsbət, mənfi və ya birdən böyük və ya kiçik ola bilər. Yuxarıda göstərilən bütün seçimlər müxtəlif ardıcıllığa səbəb olur:

• b > 1. Rasional ədədlərin artan sırası var. Məsələn, 1, 2, 4, 8, ... a1 elementi mənfi olarsa, onda bütün ardıcıllıq yalnız modul olaraq artacaq, lakin rəqəmlərin işarəsini nəzərə alaraq azalacaq.
• b = 1. Çox vaxt belə bir hal irəliləmə adlandırılmır, çünki müntəzəm sıra eyni rasional ədədlər. Məsələn, -4, -4, -4.

Cəmi üçün düstur

Nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünün məxrəcindən istifadə edərək konkret problemlərin nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl onun ilk n elementinin cəmi üçün mühüm düstur verilməlidir. Düstur belədir: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Proqresiyanın üzvlərinin rekursiv ardıcıllığını nəzərə alsanız, bu ifadəni özünüz əldə edə bilərsiniz. Onu da qeyd edək ki, yuxarıdakı düsturda ixtiyari sayda şərtlərin cəmini tapmaq üçün yalnız birinci elementi və məxrəci bilmək kifayətdir.

Sonsuz azalan ardıcıllıq

Yuxarıda bunun nə olduğu izah edildi. İndi Sn-in düsturunu bilərək, onu bu ədədlər seriyasına tətbiq edək. Modulu 1-dən çox olmayan hər hansı bir ədəd böyük dərəcələrə qaldırıldıqda sıfıra meylli olduğundan, yəni -1 olarsa b∞ => 0 olar.

Fərq (1 - b) məxrəcin qiymətindən asılı olmayaraq həmişə müsbət olacağından, sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəminin işarəsi S∞ onun birinci elementinin işarəsi ilə unikal şəkildə təyin olunur a1.

İndi biz bir neçə problemi nəzərdən keçirəcəyik, burada əldə edilmiş bilikləri konkret ədədlərə necə tətbiq edəcəyimizi göstərəcəyik.

Tapşırıq nömrəsi 1. Proqresiyanın naməlum elementlərinin və cəminin hesablanması

Həndəsi proqressiyanın məxrəci 2, birinci elementi isə 3-dür. Onun 7-ci və 10-cu hədləri nə qədər olacaq və onun yeddi başlanğıc elementinin cəmi neçəyə bərabərdir?

Problemin şərti olduqca sadədir və yuxarıda göstərilən düsturların birbaşa istifadəsini nəzərdə tutur. Beləliklə, n rəqəmi olan elementi hesablamaq üçün an = bn-1 * a1 ifadəsindən istifadə edirik. 7-ci element üçün əlimizdədir: a7 = b6 * a1, məlum məlumatları əvəz edərək, alırıq: a7 = 26 * 3 = 192. 10-cu üzv üçün də eyni şeyi edirik: a10 = 29 * 3 = 1536.

Biz cəmi üçün məlum düsturdan istifadə edirik və seriyanın ilk 7 elementi üçün bu dəyəri təyin edirik. Bizdə var: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tapşırıq nömrəsi 2. Proqresiyanın ixtiyari elementlərinin cəminin müəyyən edilməsi

Bn-1 * 4 eksponensial irəliləməsinin məxrəci -2 olsun, burada n tam ədəddir. Bu seriyanın 5-ci elementindən 10-cu elementinə qədər olan cəmini müəyyən etmək lazımdır.

Qarşıya qoyulan problemi bilavasitə məlum düsturlardan istifadə etməklə həll etmək mümkün deyil. 2 ilə həll edə bilərsiniz müxtəlif üsullar. Tamlıq naminə hər ikisini təqdim edirik.

Metod 1. Onun ideyası sadədir: birinci şərtlərin iki müvafiq cəmini hesablamaq, sonra isə birindən digərini çıxarmaq lazımdır. Daha kiçik məbləği hesablayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. İndi böyük məbləği hesablayırıq: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Qeyd edək ki, in son ifadə cəmi 4 şərt yekunlaşdırılıb, çünki 5-cisi artıq problemin şərtinə uyğun olaraq hesablanması lazım olan məbləğə daxildir. Nəhayət, fərqi götürürük: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metod 2. Ədədləri əvəz etmədən və saymadan əvvəl sözügedən silsilənin m və n şərtləri arasındakı cəmi üçün düstur ala bilərsiniz. Biz 1-ci üsulla eyni şəkildə hərəkət edirik, yalnız biz əvvəlcə cəmin simvolik təsviri ilə işləyirik. Bizdə: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Siz çıxan ifadədə məlum ədədləri əvəz edə və yekun nəticəni hesablaya bilərsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tapşırıq nömrəsi 3. Məxrəc nədir?

a1 = 2 olsun, həndəsi proqresiyanın məxrəcini tapın, bu şərtlə ki, onun sonsuz cəmi 3 olsun və bu, azalan ədədlər silsiləsi olduğu məlum olsun.

Problemin şərtinə görə, onu həll etmək üçün hansı düsturdan istifadə edilməli olduğunu təxmin etmək çətin deyil. Təbii ki, sonsuz azalan irəliləyişin cəmi üçün. Bizdə var: S∞ = a1 / (1 - b). Məxrəci ifadə etdiyimiz yerdən: b = 1 - a1 / S∞. Əvəz etmək qalır məlum dəyərlər və tələb olunan rəqəmi əldə edin: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 və ya -0,333 (3). Bu növ ardıcıllıq üçün modulun b 1-dən kənara çıxmamalı olduğunu xatırlasaq, bu nəticəni keyfiyyətcə yoxlaya bilərik. Gördüyünüz kimi, |-1 / 3|

Tapşırıq nömrəsi 4. Bir sıra nömrələrin bərpası

Ədəd sırasının 2 elementi verilsin, məsələn, 5-cisi 30-a, 10-cusu isə 60-a bərabər olsun, həndəsi irəliləyişin xassələrini təmin etdiyini bilə-bilə bu verilənlərdən bütün seriyanı bərpa etmək lazımdır.

Problemi həll etmək üçün əvvəlcə hər bir məlum üzv üçün uyğun ifadəni yazmalısınız. Bizdə var: a5 = b4 * a1 və a10 = b9 * a1. İndi ikinci ifadəni birinciyə bölürük, alırıq: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan məsələnin şərtindən məlum olan üzvlərin nisbətinin beşinci dərəcəli kökünü götürərək məxrəci təyin edirik, b = 1,148698. Alınan ədəd ifadələrdən birinə əvəz edilir məlum element, alırıq: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Beləliklə, bn irəliləyişinin məxrəcinin nə olduğunu və həndəsi irəliləmənin bn-1 * 17,2304966 = an olduğunu, burada b = 1,148698 olduğunu tapdıq.

Həndəsi irəliləyişlər harada istifadə olunur?

Əgər bu ədədi silsilənin praktikada tətbiqi olmasaydı, onun öyrənilməsi sırf nəzəri marağa çevrilərdi. Ancaq belə bir tətbiq var.

Ən məşhur 3 nümunə aşağıda verilmişdir:

• Çevik Axillesin yavaş tısbağaya çata bilmədiyi Zenon paradoksu, sonsuz azalan ədədlər ardıcıllığı anlayışından istifadə etməklə həll edilir.
• Əgər şahmat taxtasının hər hücrəsinə buğda dənələri qoyulsa ki, 1-ci xanada 1, 2-də 2, 3-də və s. yerləşsin, onda bütün xanaları doldurmaq üçün 18446744073709551615 dənə lazım olacaq. lövhə!
• "Hanoy qalası" oyununda diskləri bir çubuqdan digərinə dəyişdirmək üçün 2n - 1 əməliyyat yerinə yetirmək lazımdır, yəni onların sayı istifadə olunan disklərin sayından eksponent olaraq artır.

Təlimat

10, 30, 90, 270...

Həndəsi irəliləyişin məxrəcini tapmaq tələb olunur.
Qərar:

1 seçim. Proqresiyanın ixtiyari üzvünü götürək (məsələn, 90) və onu əvvəlkiyə (30) bölək: 90/30=3.

Əgər həndəsi irəliləyişin bir neçə üzvünün cəmi və ya azalan həndəsi irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi məlumdursa, irəliləmənin məxrəcini tapmaq üçün müvafiq düsturlardan istifadə edin:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəmidir və
S = b1/(1-q), burada S sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir (məxrəci birdən kiçik olan irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi).
Misal.

Azalan həndəsi proqresiyanın birinci həddi birə, bütün üzvlərinin cəmi ikiyə bərabərdir.

Bu irəliləyişin məxrəcini müəyyən etmək tələb olunur.
Qərar:

Tapşırıqdakı məlumatları düsturla əvəz edin. Alın:
2=1/(1-q), buradan – q=1/2.

Proqressiya ədədlər ardıcıllığıdır. Həndəsi irəliləyişdə hər bir sonrakı hədd əvvəlkini irəliləyişin məxrəci adlanan müəyyən q ədədinə vurmaqla əldə edilir.

Təlimat

Həndəsi b(n+1) və b(n) iki qonşu üzvü məlumdursa, məxrəci almaq üçün böyük ədədi özündən əvvəlkinə bölmək lazımdır: q=b(n). +1)/b(n). Bu, irəliləyişin və onun məxrəcinin tərifindən irəli gəlir. Vacib şərt odur ki, irəliləyişin birinci həddi və məxrəci sıfıra bərabər olmasın, əks halda qeyri-müəyyən sayılır.

Beləliklə, proqressiyanın üzvləri arasında aşağıdakı əlaqələr qurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) düsturu ilə məxrəci q və b1 üzvü məlum olan həndəsi proqresiyanın istənilən üzvü hesablana bilər. Həmçinin, irəliləyiş modulunun hər biri qonşu üzvlərinin orta qiymətinə bərabərdir: |b(n)|=√, buna görə də irəliləyiş özünün .

Həndəsi irəliləyişin analoqu ən sadədir eksponensial funksiya y=a^x, burada x eksponentdədir, a bəzi ədəddir. Bu halda irəliləyişin məxrəci birinci həddlə eynidir və ədədinə bərabərdir a. y funksiyasının qiyməti kimi başa düşülə bilər n-ci üzv arqument x kimi qəbul edilərsə, irəliləyişlər natural ədəd n (sayğac).

Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi üçün mövcuddur: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu düstur q≠1 üçün etibarlıdır. Əgər q=1 olarsa, onda ilk n üzvün cəmi S(n)=n b1 düsturu ilə hesablanır. Yeri gəlmişkən, q birdən böyük və müsbət b1 üçün irəliləyiş artan adlanacaq. Proqresiyanın məxrəci modulu birdən çox olmadıqda, irəliləyiş azalan adlanacaqdır.

xüsusi hal həndəsi irəliləyiş - sonsuz azalan həndəsi irəliləmə (b.u.g.p.). Fakt budur ki, azalan həndəsi proqresiyanın üzvləri dəfələrlə azalacaq, lakin heç vaxt sıfıra çatmayacaq. Buna baxmayaraq, belə bir irəliləyişin bütün şərtlərinin cəmini tapmaq mümkündür. S=b1/(1-q) düsturu ilə təyin edilir. Üzvlərin ümumi sayı n sonsuzdur.

Necə sonsuz sayda ədəd əlavə edə biləcəyinizi və sonsuzluğu əldə edə bilməyəcəyinizi təsəvvür etmək üçün tort bişirin. Yarısını kəsin. Sonra yarısının 1/2 hissəsini kəsin və s. Əldə edəcəyiniz parçalar məxrəci 1/2 olan sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin üzvlərindən başqa bir şey deyil. Bütün bu parçaları birləşdirsəniz, orijinal tortu alırsınız.

Həndəsə problemləri var xüsusi çeşid məkan düşüncəsi tələb edən məşqlər. Həndəsi həll edə bilmirsinizsə tapşırıq aşağıdakı qaydalara əməl etməyə çalışın.

Təlimat

Problemin vəziyyətini çox diqqətlə oxuyun, nəyisə xatırlamırsınızsa və ya başa düşmürsinizsə, yenidən oxuyun.

Bunun hansı həndəsi problemlər olduğunu müəyyən etməyə çalışın, məsələn: hesablama, bəzi dəyər tapmaq lazım olduqda, məntiqi mülahizə zəncirini tələb etmək üçün tapşırıqlar, kompas və hökmdardan istifadə edərək qurmaq üçün tapşırıqlar. Daha çox qarışıq problemlər. Problemin növünü anladıqdan sonra məntiqi düşünməyə çalışın.

Bu problem üçün lazımi teoremi tətbiq edin, şübhələr varsa və ya heç bir seçim yoxdursa, müvafiq mövzuda öyrəndiyiniz nəzəriyyəni xatırlamağa çalışın.

Problemin layihəsini də hazırlayın. Müraciət etməyə çalışın məlum yollar həllinizin düzgünlüyünü yoxlamaq.

Məsələnin həllini dəftərdə səliqəli şəkildə, ləkəsiz və cızıqsız tamamlayın və ən əsası -.Ola bilsin ki, ilk həndəsi məsələləri həll etmək üçün vaxt və səy lazım olacaq. Ancaq bu prosesi mənimsədikdən sonra qoz-fındıq kimi tapşırıqları tıklamağa və bunu etməklə əylənməyə başlayacaqsınız!

Həndəsi irəliləyiş b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) ədədlərinin elə ardıcıllığıdır ki, b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Başqa sözlə desək, irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlkindən onu q irəliləyişinin sıfırdan fərqli hansısa məxrəcinə vurmaqla alınır.

Təlimat

Proqressiya üzrə problemlər ən çox b1 irəliləyişinin birinci həddi və q irəliləyişinin məxrəci ilə bağlı sistem tərtib etmək və izləməklə həll olunur. Tənlikləri yazmaq üçün bəzi düsturları yadda saxlamaq faydalıdır.

Proqresiyanın n-ci üzvünü irəliləyişin birinci üzvü və məxrəc vasitəsilə necə ifadə etmək olar: b(n)=b1*q^(n-1).

|q| məsələsini ayrıca nəzərdən keçirin<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Bir sıra nəzərdən keçirək.

7 28 112 448 1792...

Tamamilə aydındır ki, onun hər hansı elementinin dəyəri əvvəlkindən düz dörd dəfə böyükdür. Beləliklə, bu seriya bir irəliləyişdir.

Həndəsi irəliləyiş sonsuz ədədlər ardıcıllığıdır, onun əsas xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, növbəti ədəd əvvəlkindən hansısa xüsusi ədədə vurulmaqla alınır. Bu, aşağıdakı düsturla ifadə edilir.

a z +1 =a z q, burada z seçilmiş elementin nömrəsidir.

Müvafiq olaraq, z ∈ N.

Məktəbdə həndəsi proqresiyanın öyrənildiyi dövr 9-cu sinifdir. Nümunələr konsepsiyanı başa düşməyə kömək edəcək:

0.25 0.125 0.0625...

Bu düstura əsasən, irəliləyişin məxrəcini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

Nə q, nə də b z sıfır ola bilməz. Həmçinin, irəliləyişin elementlərinin hər biri sıfıra bərabər olmamalıdır.

Müvafiq olaraq, seriyadakı növbəti ədədi tapmaq üçün sonuncunu q-a vurmaq lazımdır.

Bu irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci elementini və məxrəcini göstərməlisiniz. Bundan sonra sonrakı şərtlərdən hər hansı birini və onların cəmini tapmaq mümkündür.

Çeşidlər

q və a 1-dən asılı olaraq bu irəliləyiş bir neçə növə bölünür:

• Əgər həm 1, həm də q birdən böyükdürsə, onda belə ardıcıllıq hər növbəti elementlə artan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.

Misal: a 1 =3, q=2 - hər iki parametr birdən böyükdür.

Onda ədədi ardıcıllığı belə yazmaq olar:

3 6 12 24 48 ...

• Əgər |q| birdən azdır, yəni ona vurmaq bölməyə bərabərdir, onda oxşar şərtlərə malik irəliləyiş azalan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.

Misal: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdən böyükdür, q kiçikdir.

Onda ədədi ardıcıllıq aşağıdakı kimi yazıla bilər:

6 2 2/3 ... - hər hansı element ondan sonrakı elementdən 3 dəfə böyükdür.

• İşarə dəyişən. Əgər q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Misal: a 1 = -3 , q = -2 - hər iki parametr sıfırdan kiçikdir.

Sonra ardıcıllığı belə yazmaq olar:

3, 6, -12, 24,...

Formulalar

Həndəsi irəliləyişlərin rahat istifadəsi üçün bir çox düstur var:

• z-ci üzvün düsturu. Əvvəlki nömrələri hesablamadan müəyyən bir nömrə altında elementi hesablamağa imkan verir.

Misal:q = 3, a 1 = 4. Proqresiyanın dördüncü elementini hesablamaq tələb olunur.

Qərar:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Sayı olan ilk elementlərin cəmi z. -ə qədər ardıcıllığın bütün elementlərinin cəmini hesablamağa imkan verira zdaxil olmaqla.

ildən (1-q) məxrəcdədir, onda (1 - q)≠ 0, deməli, q 1-ə bərabər deyil.

Qeyd: əgər q=1 olarsa, onda irəliləyiş sonsuz təkrarlanan ədəd silsiləsi olacaqdır.

Həndəsi irəliləyişin cəmi, nümunələr:a 1 = 2, q= -2. S 5 hesablayın.

Qərar:S 5 = 22 - düsturla hesablama.

• Məbləğ əgər |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Misal:a 1 = 2 , q= 0,5. Məbləği tapın.

Qərar:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bəzi xüsusiyyətlər:

• xarakterik xüsusiyyət. Aşağıdakı şərt olarsa hər hansı üçün həyata keçirilirz, onda verilmiş ədəd silsiləsi həndəsi irəliləyişdir:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Həmçinin, həndəsi irəliləyişin istənilən ədədinin kvadratı, bu elementdən bərabər məsafədə yerləşirsə, verilmiş sıradakı hər hansı digər iki ədədin kvadratlarını toplamaqla tapılır.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , haradatbu ədədlər arasındakı məsafədir.

• Elementlərq ilə fərqlənirbir dəfə.
• Proqressiya elementlərinin loqarifmləri də bir irəliləyiş təşkil edir, lakin artıq arifmetikdir, yəni onların hər biri əvvəlkindən müəyyən sayda böyükdür.

Bəzi klassik problemlərin nümunələri

Həndəsi irəliləyişin nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün 9-cu sinif üçün həlli olan nümunələr kömək edə bilər.

• Şərtlər:a 1 = 3, a 3 = 48. Tapınq.

Həll yolu: hər bir sonrakı element əvvəlkindən böyükdürq bir dəfə.Məxrəcdən istifadə edərək bəzi elementləri digərləri vasitəsilə ifadə etmək lazımdır.

Beləliklə,a 3 = q 2 · a 1

Əvəz edərkənq= 4

• Şərtlər:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6-nı hesablayın.

Qərar:Bunun üçün birinci element olan q-ı tapmaq və onu düsturda əvəz etmək kifayətdir.

a 3 = q· a 2 , deməli,q= 2

a 2 = q a 1,Buna görə də a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Proqresiyanın dördüncü elementini tapın.

Həlli: bunun üçün dördüncü elementi birinci və məxrəc vasitəsilə ifadə etmək kifayətdir.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Tətbiq nümunəsi:

• Bankın müştərisi 10.000 rubl məbləğində əmanət qoydu, onun şərtlərinə görə, müştəri hər il onun 6% -ni əsas məbləğə əlavə edəcəkdir. 4 ildən sonra hesabda nə qədər pul olacaq?

Həll yolu: İlkin məbləğ 10 min rubl təşkil edir. Beləliklə, investisiyadan bir il sonra hesabda 10.000 + 10.000-a bərabər bir məbləğ olacaq · 0,06 = 10000 1,06

Müvafiq olaraq, bir ildən sonra hesabdakı məbləğ aşağıdakı kimi ifadə ediləcək:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Yəni, hər il bu məbləğ 1,06 dəfə artır. Bu o deməkdir ki, 4 ildən sonra hesabda olan vəsaitin məbləğini tapmaq üçün birinci elementin 10 minə bərabər verdiyi irəliləyişin dördüncü elementini, 1,06-ya bərabər məxrəci tapmaq kifayətdir.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Məbləğin hesablanması üçün tapşırıqların nümunələri:

Müxtəlif məsələlərdə həndəsi irəliləyişdən istifadə olunur. Cəmi tapmaq üçün bir nümunə aşağıdakı kimi verilə bilər:

a 1 = 4, q= 2, hesablayınS5.

Həll yolu: hesablama üçün lazım olan bütün məlumatlar məlumdur, sadəcə onları formulda əvəz etmək lazımdır.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. İlk altı elementin cəmini hesablayın.

Qərar:

Geom. irəliləyiş, hər növbəti element əvvəlkindən q dəfə böyükdür, yəni cəmi hesablamaq üçün elementi bilmək lazımdır.a 1 və məxrəcq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Eynilə, biz də tapmalıyıqa 1 , bilməka 2 vəq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Birinci səviyyə

Həndəsi irəliləmə. Nümunələr ilə hərtərəfli bələdçi (2019)

Rəqəmsal ardıcıllıq

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Misal üçün:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman onlardan hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:

Rəqəmsal ardıcıllıq hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə yalnız bir sıra nömrəsinə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyə rəqəmi yoxdur. İkinci nömrə (-ci nömrə kimi) həmişə eynidir.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın -ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərf adlandırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü - bu üzvün sayına bərabər indeksi olan eyni hərf: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Proqresiyanın ən çox yayılmış növləri arifmetik və həndəsidir. Bu mövzuda ikinci növ haqqında danışacağıq - həndəsi irəliləyiş.

Nə üçün bizə həndəsi irəliləyiş və onun tarixi lazımdır.

Hələ qədim zamanlarda italyan riyaziyyatçısı, Pizalı rahib Leonardo (daha çox Fibonaççi kimi tanınır) ticarətin praktiki ehtiyacları ilə məşğul olurdu. Rahib, malları çəkmək üçün istifadə edilə bilən ən kiçik sayda çəkinin neçə olduğunu müəyyən etmək vəzifəsi ilə üzləşdi? Fibonaççi öz yazılarında belə çəkilər sisteminin optimal olduğunu sübut edir: Bu, insanların həndəsi irəliləyişlə qarşılaşmalı olduğu ilk hallardan biridir, yəqin ki, bu haqda eşitmisiniz və ən azı ümumi təsəvvürünüz var. Mövzunu tam başa düşdükdən sonra belə bir sistemin nə üçün optimal olduğunu düşünün?

Hazırda həyat praktikasında sərmayə qoyarkən həndəsi irəliləyiş özünü göstərir Pul banka, əvvəlki dövr üçün hesabda yığılmış məbləğə faiz məbləği tutulduqda. Başqa sözlə, əmanət bankında müddətli əmanətə pul qoyursanız, bir ildən sonra əmanət ilkin məbləğdən artacaq, yəni. yeni məbləğ qatqı ilə vurulan məbləğə bərabər olacaq. Başqa bir ildə bu məbləğ artacaq, yəni. həmin vaxt alınan məbləğ yenidən vurulur və s. Bənzər bir vəziyyət sözdə hesablama problemlərində təsvir edilmişdir mürəkkəb maraq- faiz hər dəfə hesabda olan məbləğdən əvvəlki faizlər nəzərə alınmaqla götürülür. Bu vəzifələr haqqında bir az sonra danışacağıq.

Həndəsi irəliləyişin tətbiq olunduğu daha çox sadə hallar var. Məsələn, qripin yayılması: bir şəxs bir insana yoluxdu, onlar da öz növbəsində başqa bir insana yoluxdular və beləliklə, ikinci infeksiya dalğası - bir insan, onlar da öz növbəsində başqa birinə yoluxdular ... və s. .

Yeri gəlmişkən, maliyyə piramidası, eyni MMM, həndəsi irəliləyişin xüsusiyyətlərinə görə sadə və quru bir hesablamadır. Maraqlıdır? Gəlin bunu anlayaq.

Həndəsi irəliləmə.

Tutaq ki, bir sıra ardıcıllığımız var:

Dərhal cavab verəcəksiniz ki, bu asandır və belə bir ardıcıllığın adı üzvlərinin fərqi ilə arifmetik irəliləyişdir. Belə bir şey haqqında necə:

Əvvəlki nömrəni növbəti nömrədən çıxarsanız, onda görəcəksiniz ki, hər dəfə yeni bir fərq əldə etdikdə (və s.), lakin ardıcıllıq mütləq mövcuddur və onu görmək asandır - hər növbəti nömrə əvvəlkindən dəfələrlə böyükdür. !

Bu növ ardıcıllıq adlanır həndəsi irəliləyiş və qeyd olunur.

Həndəsi irəliləyiş ( ) ədədi ardıcıllıqdır, birinci həddi sıfırdan fərqlidir və ikincidən başlayaraq hər bir hədd əvvəlkinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu ədəd həndəsi irəliləyişin məxrəci adlanır.

Birinci terminin ( ) bərabər olmadığı və təsadüfi olmadığı məhdudiyyətləri. Tutaq ki, heç biri yoxdur və birinci hədd hələ bərabərdir və q, hmm .. qoy, onda belə çıxır:

Razılaşın ki, bu heç bir irəliləyiş deyil.

Anladığınız kimi, sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəm olarsa, eyni nəticələr əldə edəcəyik, lakin. Bu hallarda, sadəcə olaraq heç bir irəliləyiş olmayacaq, çünki bütün nömrələr seriyası ya bütün sıfırlar, ya da bir ədəd, qalanları isə sıfır olacaqdır.

İndi həndəsi irəliləyişin məxrəcindən, yəni haqqında daha ətraflı danışaq.

Təkrarlayaq: - bu rəqəmdir, hər sonrakı termin neçə dəfə dəyişir həndəsi irəliləyiş.

Sizcə bu nə ola bilər? Düzdür, müsbət və mənfi, lakin sıfır deyil (bu barədə bir az yuxarı danışdıq).

Deyək ki, müsbət tərəfimiz var. Qoy bizim vəziyyətimizdə a. İkinci termin nədir və? Buna asanlıqla cavab verə bilərsiniz:

Yaxşı. Müvafiq olaraq, əgər, onda irəliləyişin bütün sonrakı üzvləri eyni işarəyə malikdirlər - onlar müsbət.

Bəs mənfi olarsa? Məsələn, a. İkinci termin nədir və?

Tamamilə fərqli hekayədir

Bu irəliləyişin müddətini saymağa çalışın. Nə qədər aldınız? Mənim varımdır. Beləliklə, əgər, onda həndəsi irəliləmənin şərtlərinin işarələri bir-birini əvəz edir. Yəni üzvlərində işarələri dəyişən irəliləyiş görürsənsə, onun məxrəci mənfi olur. Bu bilik bu mövzuda problemləri həll edərkən özünüzü sınamağa kömək edə bilər.

İndi bir az məşq edək: hansı ədədi ardıcıllığın həndəsi, hansının arifmetik olduğunu müəyyən etməyə çalışaq:

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edin:

• Həndəsi irəliləmə - 3, 6.
• Arifmetik irəliləyiş - 2, 4.
• O, nə arifmetik, nə də həndəsi irəliləyiş deyil - 1, 5, 7.

Gəlin son irəliləyişimizə qayıdaq və onun terminini hesabda olduğu kimi tapmağa çalışaq. Təxmin etdiyiniz kimi, onu tapmağın iki yolu var.

Hər bir termini ardıcıl olaraq vururuq.

Deməli, təsvir olunan həndəsi proqresiyanın --ci üzvü bərabərdir.

Artıq təxmin etdiyiniz kimi, indi özünüz həndəsi irəliləyişin hər hansı üzvünü tapmağa kömək edəcək bir düstur əldə edəcəksiniz. Yoxsa ci üzvü mərhələlərlə necə tapacağınızı təsvir edərək özünüz üçün çıxarmısınız? Əgər belədirsə, o zaman əsaslandırmanızın düzgünlüyünü yoxlayın.

Bunu bu irəliləyişin -ci üzvü tapmaq nümunəsi ilə izah edək:

Başqa sözlə:

Verilmiş həndəsi irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapın.

baş verdi? Cavablarımızı müqayisə edin:

Diqqət yetirin ki, ardıcıl olaraq həndəsi irəliləyişin hər bir əvvəlki üzvünə vurulduqda əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni ədədi aldınız.
Gəlin bu düsturu “şəxsiləşdirməyə” çalışaq – onu ümumi formada gətiririk və əldə edirik:

Alınan düstur bütün dəyərlər üçün doğrudur - həm müsbət, həm də mənfi. Aşağıdakı şərtlərlə həndəsi irəliləyişin şərtlərini hesablayaraq bunu özünüz yoxlayın: , a.

saydın? Nəticələri müqayisə edək:

Razılaşın ki, irəliləyişin üzvünü bir üzv kimi tapmaq mümkün olacaq, lakin səhv hesablama ehtimalı var. Əgər biz artıq həndəsi irəliləyişin ci həddi tapmışıqsa, onda düsturun “kəsilmiş” hissəsindən istifadə etməkdən daha asan nə ola bilər.

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş.

Bu yaxınlarda biz nəyin sıfırdan böyük və ya kiçik ola biləcəyi haqqında danışdıq, lakin həndəsi irəliləyişin adlandığı xüsusi dəyərlər var. sonsuz azalır.

Sizcə niyə belə bir ad var?
Başlamaq üçün üzvlərdən ibarət bəzi həndəsi irəliləyişləri yazaq.
O zaman deyək:

Görürük ki, hər bir sonrakı termin dəfələrlə əvvəlkindən azdır, amma hər hansı bir rəqəm olacaqmı? Dərhal cavab verirsən - "yox". Ona görə də sonsuz azalan - azalır, azalır, lakin heç vaxt sıfıra çevrilmir.

Bunun vizual olaraq nəyə bənzədiyini aydın başa düşmək üçün irəliləyişimizin qrafikini çəkməyə çalışaq. Beləliklə, bizim vəziyyətimiz üçün düstur aşağıdakı formanı alır:

Diaqramlarda biz asılılıq yaratmağa adət etmişik, buna görə də:

İfadənin mahiyyəti dəyişməyib: birinci girişdə həndəsi irəliləyiş üzvünün qiymətinin onun sıra nömrəsindən asılılığını göstərdik, ikinci yazıda isə sadəcə olaraq həndəsi irəliləyiş üzvünün qiymətini və üçün götürdük. sıra nömrəsi kimi deyil, kimi təyin olunurdu. Qrafiki tərtib etmək qalır.
Gəlin görək nə əldə edirsiniz. Əldə etdiyim qrafik budur:

Görmək? Funksiya azalır, sıfıra meyl edir, lakin heç vaxt onu keçmir, ona görə də sonsuz dərəcədə azalır. Qrafikdə nöqtələrimizi qeyd edək və eyni zamanda koordinat və nə deməkdir:

Birinci həddi də bərabər olarsa, həndəsi irəliləyişin qrafikini sxematik şəkildə təsvir etməyə çalışın. Təhlil edin, əvvəlki qrafikimizdən nə fərqi var?

idarə etdin? Əldə etdiyim qrafik budur:

İndi həndəsi irəliləyiş mövzusunun əsaslarını tam başa düşdüyünüz üçün: onun nə olduğunu bilirsiniz, onun müddətini necə tapacağınızı bilirsiniz, həmçinin sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın nə olduğunu bilirsiniz, keçək onun əsas xassəsinə.

həndəsi proqresiyanın xassəsidir.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassələrini xatırlayırsınızmı? Bəli, bəli, bu irəliləyişin üzvlərinin əvvəlki və sonrakı dəyərləri olduqda, müəyyən sayda irəliləyişin dəyərini necə tapmaq olar. Yadda? Bu:

İndi biz həndəsi irəliləyişin şərtləri üçün eyni sualla qarşılaşırıq. Belə bir düstur əldə etmək üçün rəsm çəkməyə və düşünməyə başlayaq. Görəcəksən, çox asandır, unutsan, özün də çıxara bilərsən.

Bildiyimiz və bildiyimiz başqa bir sadə həndəsi irəliləyiş götürək. Necə tapmaq olar? Arifmetik irəliləyişlə bu asan və sadədir, amma burada necədir? Əslində, həndəsədə də mürəkkəb bir şey yoxdur - sadəcə bizə verilən hər bir dəyəri düstura görə rəngləmək lazımdır.

Soruşursunuz, indi bununla nə edək? Bəli, çox sadə. Başlamaq üçün, bu düsturları şəkildə təsvir edək və bir dəyərə gəlmək üçün onlarla müxtəlif manipulyasiyalar etməyə çalışaq.

Bizə verilən rəqəmlərdən mücərrəd çıxarırıq, yalnız onların düstur vasitəsilə ifadəsinə diqqət yetirəcəyik. Narıncı ilə vurğulanan dəyəri ona bitişik şərtləri bilməklə tapmalıyıq. Gəlin onlarla müxtəlif hərəkətlər etməyə çalışaq, nəticədə əldə edə bilərik.

Əlavə.
Gəlin iki ifadə əlavə etməyə çalışaq və əldə edirik:

Bu ifadədən, gördüyünüz kimi, heç bir şəkildə ifadə edə bilməyəcəyik, buna görə də başqa bir variantı - çıxma əməliyyatını sınayacağıq.

Çıxarma.

Gördüyünüz kimi, biz bundan da ifadə edə bilmərik, ona görə də bu ifadələri bir-birinə çoxaltmağa çalışacağıq.

Vurma.

İndi tapılmalı olanlarla müqayisədə bizə verilən həndəsi irəliləyişin şərtlərini çarparaq əlimizdə olanlara diqqətlə baxın:

Təxmin et, mən nə danışıram? Düzgün olaraq, onu tapmaq üçün istənilən ədədə bitişik olan həndəsi irəliləyiş ədədlərinin kvadrat kökünü bir-birinə vurmalıyıq:

Yaxşı. Siz özünüz həndəsi irəliləyişin xassəsini çıxardınız. Bu düsturu ümumi formada yazmağa çalışın. baş verdi?

Vəziyyəti nə vaxt unutmusan? Bunun niyə vacib olduğunu düşünün, məsələn, özünüz hesablamağa çalışın. Bu halda nə baş verir? Düzdür, tam cəfəngiyatdır, çünki formula belə görünür:

Buna görə də bu məhdudiyyəti unutma.

İndi nə olduğunu hesablayaq

Düzgün cavab - ! Əgər hesablayarkən ikinci mümkün dəyəri unutmamısınızsa, deməli siz əla yoldaşsınız və dərhal məşqə davam edə bilərsiniz, əgər unutmusunuzsa, aşağıda təhlil olunanları oxuyun və cavabda niyə hər iki kökün yazılmalı olduğuna diqqət yetirin. .

Gəlin hər iki həndəsi irəliləyişimizi - biri dəyərli, digəri isə dəyərlə çəkək və onların hər ikisinin mövcud olmaq hüququnun olub olmadığını yoxlayaq:

Belə bir həndəsi proqresiyanın olub-olmadığını yoxlamaq üçün onun bütün verilmiş üzvləri arasında eyni olub olmadığını görmək lazımdır? Birinci və ikinci hallar üçün q hesablayın.

Görün niyə iki cavab yazmalıyıq? Çünki tələb olunan terminin işarəsi onun müsbət və ya mənfi olmasından asılıdır! Və bunun nə olduğunu bilmədiyimiz üçün hər iki cavabı müsbət və mənfi ilə yazmalıyıq.

İndi siz əsas məqamları mənimsədiyinizə və həndəsi irəliləyişin xassəsinin düsturunu çıxardığınıza görə tapın, bilib və

Cavablarınızı düzgün olanlarla müqayisə edin:

Sizcə, bizə həndəsi irəliləyişin istənilən ədədə bitişik olan üzvlərinin qiymətləri deyil, ondan bərabər məsafədə verilsəydi, nə olardı? Məsələn, tapmaq lazımdır, və verilmiş və. Bu vəziyyətdə əldə etdiyimiz düsturdan istifadə edə bilərikmi? Formulu əvvəldən əldə edərkən etdiyiniz kimi, hər bir dəyərin nədən ibarət olduğunu təsvir edərək, bu ehtimalı eyni şəkildə təsdiqləməyə və ya təkzib etməyə çalışın.
Nə aldınız?

İndi yenidən diqqətlə baxın.
və müvafiq olaraq:

Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, formula işləyir təkcə qonşu ilə deyil həndəsi irəliləyişin istənilən şərtləri ilə, həm də ilə bərabər məsafədəüzvlərin axtardıqlarından.

Beləliklə, orijinal düsturumuz olur:

Yəni birinci halda bunu dediksə, indi deyirik ki, o, hər hansı bir az olan natural ədədə bərabər ola bilər. Əsas odur ki, verilən hər iki rəqəm üçün eyni olsun.

Xüsusi nümunələr üzərində məşq edin, sadəcə olaraq son dərəcə diqqətli olun!

1. , . Tapmaq.
2. , . Tapmaq.
3. , . Tapmaq.

Qərar verdim? Ümid edirəm ki, siz son dərəcə diqqətli oldunuz və kiçik bir tutma gördünüz.

Nəticələri müqayisə edirik.

İlk iki halda yuxarıdakı düsturu sakitcə tətbiq edirik və aşağıdakı dəyərləri əldə edirik:

Üçüncü halda, bizə verilən nömrələrin seriya nömrələrini diqqətlə nəzərdən keçirdikdə, onların axtardığımız nömrədən bərabər məsafədə olmadığını başa düşürük: bu, əvvəlki nömrədir, lakin yerində çıxarılıb, ona görə də mümkün deyil. formulunu tətbiq etmək.

Bunu necə həll etmək olar? Əslində göründüyü qədər çətin deyil! Bizə verilən hər nömrənin və istədiyiniz nömrənin nədən ibarət olduğunu sizinlə birlikdə yazaq.

Beləliklə, bizdə və. Onlarla nə edə biləcəyimizi görək. bölünməyi təklif edirəm. Biz əldə edirik:

Məlumatlarımızı düsturla əvəz edirik:

Biz tapa biləcəyimiz növbəti addım - bunun üçün nəticədə çıxan ədədin kub kökünü götürməliyik.

İndi əlimizdə olanlara bir daha baxaq. Bizdə var, amma tapmaq lazımdır və bu da öz növbəsində bərabərdir:

Hesablama üçün bütün lazımi məlumatları tapdıq. Düsturda əvəz edin:

Cavabımız: .

Başqa eyni problemi özünüz həll etməyə çalışın:
Verilmiş: ,
Tapmaq:

Nə qədər aldınız? Mənim varımdır - .

Gördüyünüz kimi, əslində ehtiyacınız var yalnız bir düsturu xatırlayın- . Qalan hər şeyi istənilən vaxt heç bir çətinlik çəkmədən özünüz geri ala bilərsiniz. Bunu etmək üçün bir kağız parçasına ən sadə həndəsi irəliləyiş yazmaq və yuxarıdakı düstura görə onun hər bir ədədinin nəyə bərabər olduğunu yazmaq kifayətdir.

Həndəsi proqresiyanın şərtlərinin cəmi.

İndi verilmiş intervalda həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəmini tez hesablamağa imkan verən düsturları nəzərdən keçirək:

Sonlu həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəminin düsturunu əldə etmək üçün yuxarıdakı tənliyin bütün hissələrini vururuq. Biz əldə edirik:

Diqqətlə baxın: son iki formulun ortaq cəhəti nədir? Düzdü, birinci və sonuncu üzvdən başqa ümumi üzvlər, məsələn və s. 2-ci tənlikdən 1-ci tənliyi çıxmağa çalışaq. Nə aldınız?

İndi həndəsi irəliləyişin üzvünün düsturu ilə ifadə edin və nəticədə alınan ifadəni sonuncu düsturumuzla əvəz edin:

İfadəni qruplaşdırın. Siz almalısınız:

Ediləcək tək şey ifadə etməkdir:

Müvafiq olaraq, bu vəziyyətdə.

Birdən? O zaman hansı formula işləyir? -də həndəsi irəliləyiş təsəvvür edin. O necədir? Düzgün bir sıra eyni nömrələr, müvafiq olaraq, düstur belə görünəcəkdir:

Arifmetik və həndəsi irəliləyişdə olduğu kimi, çoxlu əfsanələr var. Onlardan biri də şahmatın yaradıcısı Setin əfsanəsidir.

Çoxları bilir ki, şahmat oyunu Hindistanda icad edilib. Hindu padşahı onunla görüşəndə ​​onun zəkasından və ondakı mümkün mövqelərin müxtəlifliyindən məmnun idi. Onun təbəələrindən biri tərəfindən icad edildiyini öyrənən kral onu şəxsən mükafatlandırmaq qərarına gəldi. İxtiraçını yanına çağırdı və ən məharətli arzusunu belə yerinə yetirəcəyini vəd edərək ondan istədiyi hər şeyi istəməyi əmr etdi.

Seta düşünmək üçün vaxt istədi və ertəsi gün Seta padşahın qarşısına çıxanda onun xahişinin misilsiz təvazökarlığı ilə padşahı təəccübləndirdi. Şahmat taxtasının birinci kvadratı üçün buğda dənəsi, ikinci üçün buğda, üçüncü üçün, dördüncü üçün və s.

Padşah qəzəbləndi və nökərin xahişinin kral səxavətinə layiq olmadığını deyərək Seti qovdu, lakin söz verdi ki, qulluqçu onun taxılını taxtanın bütün hücrələri üçün alacaq.

İndi sual budur: həndəsi irəliləyişin üzvlərinin cəmi üçün düsturdan istifadə edərək, Setin neçə taxıl alacağını hesablayın?

Gəlin müzakirəyə başlayaq. Şərtə uyğun olaraq, Set şahmat taxtasının birinci xanası üçün ikinci, üçüncü, dördüncü və s. üçün bir buğda dənəsi istədi, problemin həndəsi irəliləyişlə bağlı olduğunu görürük. Bu vəziyyətdə nə bərabərdir?
Düzgün.

Şahmat taxtasının ümumi xanaları. Müvafiq olaraq, . Bizdə bütün məlumatlar var, yalnız düsturla əvəz etmək və hesablamaq qalır.

Verilmiş bir ədədin ən azı təxminən "miqyasını" təmsil etmək üçün dərəcənin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək transformasiya edirik:

Əlbəttə ki, istəsəniz, bir kalkulyator götürə və hansı rəqəmlə başa çatacağınızı hesablaya bilərsiniz, əgər yoxsa, bunun üçün mənim sözümü qəbul etməli olacaqsınız: ifadənin son qiyməti olacaq.
yəni:

kvintilyon katrilyon trilyon milyard milyon min.

Fuh) Əgər bu rəqəmin nəhəngliyini təsəvvür etmək istəyirsinizsə, onda bütün taxıl miqdarını yerləşdirmək üçün hansı ölçüdə anbar tələb olunacağını təxmin edin.
Anbarın hündürlüyü m və eni m ilə uzunluğu km-ə qədər uzanmalı idi, yəni. Yerdən Günəşə qədər iki dəfə uzaqdır.

Əgər padşah riyaziyyatda güclü olsaydı, alimə taxılları saymağı özünə təklif edə bilərdi, çünki bir milyon taxıl saymaq üçün ona ən azı bir gün yorulmadan saymaq lazım olacaq və kvintilyonları saymağın zəruri olduğunu nəzərə alsaq, taxıllar bütün həyatı boyu sayılmalı olacaqdı.

İndi isə həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəminə dair sadə məsələni həll edəcəyik.
5-ci sinif şagirdi Vasya qripdən xəstələnsə də, məktəbə getməyə davam edir. Vasya hər gün iki nəfəri yoluxdurur, o da öz növbəsində daha iki nəfərə yoluxur və s. Sinifdə sadəcə bir nəfər. Neçə gündən sonra bütün sinif qripə yoluxacaq?

Deməli, həndəsi proqresiyanın ilk üzvü Vasya, yəni insandır. həndəsi irəliləyişin ci üzvü, bunlar onun gəlişinin ilk günündə yoluxdurduğu iki adamdır. Proqresiyanın üzvlərinin ümumi cəmi 5A tələbələrin sayına bərabərdir. Müvafiq olaraq, bir irəliləyişdən danışırıq:

Məlumatlarımızı həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün düsturla əvəz edək:

Günlər ərzində bütün sinif xəstələnəcək. Düsturlara və rəqəmlərə inanmırsınız? Tələbələrin “infeksiyasını” özünüz təsvir etməyə çalışın. baş verdi? Görün mənim üçün necə görünür:

Özünüz hesablayın, əgər hamı bir adama yoluxsa, sinifdə bir nəfər də olsa, tələbələr neçə gün qripə yoluxacaqlar.

Hansı dəyəri aldınız? Məlum oldu ki, hər kəs bir gündən sonra xəstələnməyə başlayıb.

Gördüyünüz kimi, belə bir tapşırıq və onun üçün rəsm, hər bir sonrakı yeni insanları "gətirdiyi" bir piramidaya bənzəyir. Ancaq gec-tez elə bir an gəlir ki, sonuncu heç kimi cəlb edə bilmir. Bizim vəziyyətimizdə, sinfin təcrid olunduğunu təsəvvür etsək, zənciri bağlayır (). Beləliklə, əgər bir şəxs digər iki iştirakçını gətirsəniz, pulun verildiyi bir maliyyə piramidasında iştirak etsəydi, o zaman şəxs (və ya ümumi vəziyyətdə) heç kimi gətirməzdi, müvafiq olaraq, bu maliyyə fırıldaqçılığına qoyduğu hər şeyi itirər. .

Yuxarıda deyilənlərin hamısı azalan və ya artan həndəsi proqressiyaya aiddir, lakin xatırladığınız kimi, bizdə xüsusi bir növ var - sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş. Üzvlərinin cəmini necə hesablamaq olar? Və niyə bu tip irəliləyiş müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir? Gəlin bunu birlikdə anlayaq.

Beləliklə, yeni başlayanlar üçün nümunəmizdən sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin bu şəklinə yenidən baxaq:

İndi isə bir az əvvəl alınan həndəsi irəliləyişin cəminin düsturuna baxaq:
və ya

Biz nəyə çalışırıq? Düzdür, qrafik sıfıra meyl etdiyini göstərir. Yəni, nə vaxt, demək olar ki, bərabər olacaq, müvafiq olaraq, ifadəni hesablayarkən, demək olar ki, alacağıq. Bu baxımdan hesab edirik ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmini hesablayarkən bu mötərizə bərabər olacağı üçün diqqətdən kənarda qala bilər.

- düstur sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın şərtlərinin cəmidir.

ƏHƏMİYYƏTLİ! Sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün düsturdan yalnız o halda istifadə edirik ki, şərt cəmini tapmaq lazım olduğunu açıq şəkildə ifadə edir. sonsuzüzvlərin sayı.

Müəyyən bir n ədədi göstərilibsə, o zaman və ya olsa belə, n şərtlərin cəmi üçün düsturdan istifadə edirik.

İndi məşq edək.

1. və ilə olan həndəsi proqresiyanın ilk üzvlərinin cəmini tapın.
2. Sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın hədlərinin cəmini və ilə tapın.

Ümid edirəm çox diqqətli oldunuz. Cavablarımızı müqayisə edin:

İndi siz həndəsi irəliləyiş haqqında hər şeyi bilirsiniz və nəzəriyyədən praktikaya keçməyin vaxtıdır. İmtahanda ən çox rast gəlinən eksponensial problemlər mürəkkəb faiz problemləridir. Onlar haqqında danışacağıq.

Mürəkkəb faizlərin hesablanması üçün problemlər.

Siz sözdə mürəkkəb faiz düsturu haqqında eşitmisiniz. Onun nə demək istədiyini başa düşürsən? Yoxdursa, gəlin bunu anlayaq, çünki prosesin özünü dərk edərək, həndəsi irəliləyişin bununla nə əlaqəsi olduğunu dərhal başa düşəcəksiniz.

Hamımız banka gedirik və bilirik ki, əmanətlərin qoyulması üçün müxtəlif şərtlər var: bu müddətdir, əlavə xidmət və onun hesablanmasının iki müxtəlif üsulu ilə faizdir - sadə və mürəkkəb.

ilə sadə maraq hər şey az-çox aydındır: faiz əmanət müddətinin sonunda bir dəfə hesablanır. Yəni, əgər biz ildə 100 rubl qoymaqdan danışırıqsa, onda onlar yalnız ilin sonunda kreditə veriləcəkdir. Müvafiq olaraq, əmanətin sonuna qədər biz rubl alacağıq.

Mürəkkəb maraq olan bir variantdır faiz kapitallaşması, yəni. onların əmanətin məbləğinə əlavə edilməsi və əmanətin ilkin deyil, yığılmış məbləğindən gəlirin sonrakı hesablanması. Kapitallaşma daimi deyil, müəyyən dövriliklə baş verir. Bir qayda olaraq, bu cür dövrlər bərabərdir və ən çox banklar bir ay, bir rüb və ya bir ildən istifadə edirlər.

Deyək ki, biz hər il eyni rubl qoyuruq, lakin əmanətin aylıq kapitallaşması ilə. Nə əldə edirik?

Burada hər şeyi başa düşürsən? Yoxdursa, addım-addım gedək.

Banka rubl gətirdik. Ayın sonuna qədər hesabımızda rublumuz və onlara olan faizlərdən ibarət məbləğ olmalıdır, yəni:

Razıyam?

Onu mötərizədən çıxara bilərik və sonra əldə edirik:

Razılaşın, bu düstur əvvəldə yazdığımıza daha çox bənzəyir. Faizlərlə məşğul olmaq qalır

Problemin vəziyyətində bizə illik məlumat verilir. Bildiyiniz kimi, biz çoxalmırıq - faizləri ondalığa çeviririk, yəni:

Düzdür? İndi soruşursan ki, nömrə haradan gəlib? Çox sadə!
Təkrar edirəm: problemin vəziyyəti haqqında deyir İLLİK faiz hesablanmışdır AYLIK. Bildiyiniz kimi, bir ildən sonra, müvafiq olaraq, bank bizdən ayda illik faizlərin bir hissəsini tutacaq:

həyata keçirilir? İndi yazmağa çalışın ki, faiz gündəlik hesablanır desəm, formulun bu hissəsinin necə görünəcəyini.
idarə etdin? Nəticələri müqayisə edək:

Əla! Gəlin tapşırığımıza qayıdaq: yığılan əmanət məbləğinə faiz hesablandığını nəzərə alaraq ikinci ay üçün hesabımıza nə qədər vəsait daxil olacağını yazın.
Mənə nə oldu:

Və ya başqa sözlə:

Düşünürəm ki, siz artıq bir naxış görmüsünüz və bütün bunlarda həndəsi irəliləyiş görmüsünüz. Onun üzvünün nəyə bərabər olacağını və ya başqa sözlə, ayın sonunda nə qədər pul alacağımızı yazın.
edildi? Yoxlama!

Gördüyünüz kimi, sadə faizlə bir il ərzində banka pul qoysanız, o zaman rubl, mürəkkəb məzənnə ilə qoysanız, rubl alacaqsınız. Fayda azdır, lakin bu, yalnız il ərzində baş verir, lakin daha uzun müddət üçün kapitallaşma daha sərfəlidir:

Mürəkkəb faiz problemlərinin başqa bir növünə nəzər salın. Anladığınızdan sonra bu sizin üçün elementar olacaq. Beləliklə, vəzifə:

Zvezda 2000-ci ildə dollar kapitalı ilə sənayeyə investisiya qoymağa başlayıb. 2001-ci ildən bəri hər il əvvəlki ilin kapitalına bərabər mənfəət əldə edir. Mənfəət dövriyyədən çıxarılmasa, 2003-cü ilin sonunda Zvezda şirkəti nə qədər mənfəət əldə edəcək?

2000-ci ildə Zvezda şirkətinin kapitalı.
- 2001-ci ildə Zvezda şirkətinin kapitalı.
- 2002-ci ildə Zvezda şirkətinin kapitalı.
- 2003-cü ildə Zvezda şirkətinin kapitalı.

Və ya qısaca yaza bilərik:

Bizim vəziyyətimiz üçün:

2000, 2001, 2002 və 2003.

Müvafiq olaraq:
rubl
Nəzərə alın ki, bu məsələdə bizdə nə ilə, nə də bölgü yoxdur, çünki faiz İLLİK verilir və İLLİK hesablanır. Yəni mürəkkəb faiz məsələsini oxuyarkən onun neçə faiz verildiyinə, hansı dövrdə tutulduğuna diqqət yetirin və yalnız bundan sonra hesablamalara keçin.
İndi həndəsi irəliləyiş haqqında hər şeyi bilirsiniz.

Çalışmaq.

1. Əgər məlumdursa, həndəsi irəliləyişin həddi tapın və
2. Həndəsi proqresiyanın ilk hədlərinin cəmini tapın, əgər məlumdursa, və
3. MDM Capital 2003-cü ildə dollar kapitalı ilə sənayeyə investisiya qoymağa başladı. 2004-cü ildən bəri hər il o, əvvəlki ilin kapitalına bərabər mənfəət əldə edir. "MSK Cash Flows" şirkəti 2005-ci ildə sənayeyə 10.000 ABŞ dolları məbləğində sərmayə qoymağa başladı, 2006-cı ildə mənfəət əldə etməyə başladı. Əgər mənfəət dövriyyədən çıxarılmasa, 2007-ci ilin sonunda bir şirkətin kapitalı digərinin kapitalını neçə dollar üstələyir?

Cavablar:

1. Məsələnin şərti irəliləyişin sonsuz olduğunu söyləmədiyindən və onun müəyyən sayda üzvlərinin cəmini tapmaq tələb olunduğundan hesablama aşağıdakı düsturla aparılır:
2. 
   "MDM Capital" şirkəti:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%, yəni 2 dəfə artır.
   Müvafiq olaraq:
   rubl
   MSK pul vəsaitlərinin hərəkəti:

   2005, 2006, 2007.
   - dəfələrlə, yəni dəfələrlə artır.
   Müvafiq olaraq:
   rubl
   rubl

Gəlin ümumiləşdirək.

1) Həndəsi irəliləyiş ( ) ədədi ardıcıllıqdır, birinci üzvü sıfırdan fərqlidir və ikincidən başlayaraq hər bir hədd əvvəlkinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu ədəd həndəsi irəliləyişin məxrəci adlanır.

2) Həndəsi proqresiyanın üzvlərinin tənliyi -.

3) və istisna olmaqla istənilən qiymət ala bilər.

• əgər, onda irəliləyişin bütün sonrakı üzvləri eyni işarəyə malikdirlər - onlar müsbət;
• əgər, onda irəliləyişin bütün sonrakı üzvləri alternativ əlamətlər;
• zaman - irəliləyiş sonsuz azalan adlanır.

4) , at - həndəsi proqresiyanın xassəsi (qonşu şərtlər)

və ya
, (bərabər məsafədə)

Tapdığınız zaman bunu unutmayın iki cavab olmalıdır..

Misal üçün,

5) Həndəsi proqresiyanın üzvlərinin cəmi düsturla hesablanır:
və ya

Əgər irəliləyiş sonsuz dərəcədə azalırsa, onda:
və ya

ƏHƏMİYYƏTLİ! Sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın üzvlərinin cəmi üçün düsturdan yalnız o şərtlə istifadə edirik ki, şərt sonsuz sayda hədlərin cəmini tapmaq lazım olduğunu açıq şəkildə ifadə etsin.

6) Mürəkkəb faizlər üzrə tapşırıqlar da həndəsi proqresiyanın üçüncü üzvünün düsturu ilə hesablanır, bu şərtlə ki, vəsait dövriyyədən çıxarılsın:

HƏNDƏSİ TƏRQİQƏ. ƏSAS HAQQINDA QISA

Həndəsi irəliləmə( ) ədədi ardıcıllıqdır, birinci həddi sıfırdan fərqlidir və ikincidən başlayaraq hər bir hədd əvvəlkinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu nömrə deyilir həndəsi irəliləyişin məxrəci.

Həndəsi irəliləyişin məxrəci və istisna olmaqla istənilən qiymət ala bilər.

• Əgər, onda irəliləyişin bütün sonrakı üzvləri eyni əlamətə malikdirlər - onlar müsbətdir;
• əgər, onda irəliləyişin bütün sonrakı üzvləri alternativ əlamətlər;
• zaman - irəliləyiş sonsuz azalan adlanır.

Həndəsi proqresiyanın üzvlərinin tənliyi - .

Həndəsi proqresiyanın şərtlərinin cəmi düsturla hesablanır:
və ya