Dərəcə eksponensial. Eksponensial funksiya. Eksponensial funksiya nədir

Diqqətin konsentrasiyası:

Tərif. Funksiya növ adlanır eksponensial funksiya .

Şərh. Əsas istisna a rəqəmlər 0; 1 və mənfi dəyərlər a aşağıdakı hallarla izah olunur:

Analitik ifadənin özü a x bu hallarda öz mənasını saxlayır və problemlərin həllində rastlaşa bilir. Məsələn, ifadə üçün x y nöqtə x = 1; y = 1 məqbul dəyərlər diapazonuna daxil olur.

Funksiyaların qrafiklərini qurun: və .

Eksponensial funksiyanın qrafiki
y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1

Eksponensial funksiyanın xassələri

Eksponensial funksiyanın xassələri	y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1
Funksiya əhatə dairəsi
2. Funksiya qiymətlərinin diapazonu
3. Vahidlə müqayisə intervalları	saat x> 0, a x > 1	saat x > 0, 0< a x < 1
	saat x < 0, 0< a x < 1	saat x < 0, a x > 1
4. Cüt, tək.	Funksiya nə cüt, nə də tək deyil (ümumi funksiya).
5. Monotonluq.	ilə monoton şəkildə artır R	ilə monoton şəkildə azalır R
6. İfrat.	Eksponensial funksiyanın ekstremal nöqtəsi yoxdur.
7. Asimptot	Ox O xüfüqi asimptotdur.
8. İstənilən real dəyərlər üçün x və y;

Cədvəl doldurulduqda, doldurulma ilə paralel olaraq tapşırıqlar həll edilir.

Tapşırıq nömrəsi 1. (Funksiya sahəsini tapmaq üçün).

Hansı arqument dəyərləri funksiyalar üçün etibarlıdır:

Tapşırıq nömrəsi 2. (Funksiya diapazonunu tapmaq üçün).

Şəkil bir funksiyanın qrafikini göstərir. Funksiyanın əhatə dairəsini və əhatə dairəsini göstərin:

Tapşırıq nömrəsi 3. (Bölmə ilə müqayisə intervallarını göstərmək üçün).

Aşağıdakı səlahiyyətlərin hər birini biri ilə müqayisə edin:

Tapşırıq nömrəsi 4. (Funksiyanı monotonluq üçün öyrənmək).

Həqiqi ədədləri böyüklüyünə görə müqayisə edin m və nəgər:

Tapşırıq nömrəsi 5. (Funksiyanı monotonluq üçün öyrənmək).

Əsas haqqında nəticə çıxarın a, əgər:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

x > 0, x = 0, x üçün eksponensial funksiyaların qrafikləri bir-birinə nisbətən necədir?< 0?

Bir koordinat müstəvisində funksiyaların qrafikləri çəkilir:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x üçün eksponensial funksiyaların qrafikləri bir-birinə nisbətən necədir?< 0?

Nömrə riyaziyyatda ən mühüm sabitlərdən biridir. Tərifinə görə, o ardıcıllığın həddinə bərabərdir limitsiz ilə artan n . Təyinat e təqdim etdi Leonhard Euler 1736-cı ildə. O, bu ədədin ilk 23 rəqəmini ondalık sistemlə hesablamış və ədədin özü də Napierin şərəfinə “qeyri-müxtəlif nömrə” adlandırılmışdır. Nömrə e riyazi analizdə xüsusi rol oynayır. Eksponensial funksiya baza ilə e, eksponent adlanır və işarələnmişdir y = e x. İlk əlamətlər nömrələri e yadda saxlamaq asan: iki, vergül, yeddi, Lev Tolstoyun anadan olduğu il - iki dəfə, qırx beş, doxsan, qırx beş.

Ev tapşırığı:

Kolmoqorov səh 35; № 445-447; 451; 453.

Modul işarəsi altında dəyişəni olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması alqoritmini təkrarlayın.

Dərs #2

Mövzu: Eksponensial funksiya, onun xassələri və qrafiki.

Hədəf:“Göstərici funksiya” anlayışının mənimsənilməsinin keyfiyyətini yoxlamaq; eksponensial funksiyanın tanınması, onun xassələrindən və qrafiklərindən istifadə bacarıqlarını formalaşdırmaq, şagirdlərə eksponensial funksiyanın qeydinin analitik və qrafik formalarından istifadə etməyi öyrətmək; sinifdə iş mühiti təmin edin.

Avadanlıq: lövhə, plakatlar

Dərs forması: sinif otağı

Dərsin növü: praktik dərs

Dərs növü: bacarıq təlimi dərsi

Dərs planı

1. Təşkilati məqam

2. Müstəqil iş və ev tapşırıqlarının yoxlanılması

3. Problemin həlli

4. Xülasə

5. Ev tapşırığı

Dərslər zamanı.

1. Təşkilati məqam :

Salam. Dəftərləri açın, bu günün tarixini və "Göstərici funksiya" dərsinin mövzusunu yazın. Bu gün biz eksponensial funksiyanı, onun xassələrini və qrafikini öyrənməyə davam edəcəyik.

2. Müstəqil iş və ev tapşırıqlarının yoxlanılması .

Hədəf:"eksponensial funksiya" anlayışının mənimsənilməsinin keyfiyyətini yoxlamaq və ev tapşırığının nəzəri hissəsinin yerinə yetirilməsini yoxlamaq

Metod: test tapşırığı, frontal sorğu

Ev tapşırığı olaraq sizə problem kitabından nömrələr və dərslikdən bir abzas verilmişdir. İndi dərslikdən rəqəmlərin yerinə yetirilməsini yoxlamayacağıq, ancaq dərsin sonunda dəftərlərinizi təhvil verəcəksiniz. İndi nəzəriyyə kiçik test şəklində yoxlanılacaq. Tapşırıq hamı üçün eynidir: sizə funksiyaların siyahısı verilir, onlardan hansının göstərici olduğunu öyrənməlisiniz (onların altını çəkin). Və eksponensial funksiyanın yanında onun artdığını və ya azaldığını yazmalısınız.

İndi birlikdə xatırlayaq ki, hansı funksiya eksponensial adlanır?

, burada və , formasının funksiyasına eksponensial funksiya deyilir.

Bu funksiyanın əhatə dairəsi nədir?

Bütün real rəqəmlər.

Eksponensial funksiyanın diapazonu nədir?

Bütün müsbət real ədədlər.

Baza sıfırdan böyük, lakin birdən kiçik olduqda azalır.

Eksponensial funksiya öz sahəsində nə vaxt azalır?

Baza birdən çox olarsa, artır.

3. Problemin həlli

Hədəf: eksponensial funksiyanın tanınması, onun xassələrindən və qrafiklərindən istifadə bacarıqlarının formalaşdırılması, tələbələrə eksponensial funksiyanın qeydinin analitik və qrafik formalarından istifadə etməyi öyrətmək.

Metod: müəllim tərəfindən tipik məsələlərin həllinin nümayişi, şifahi iş, lövhədə işləmək, dəftərdə işləmək, müəllimin şagirdlərlə söhbəti.

Eksponensial funksiyanın xassələrindən 2 və ya daha çox ədədi müqayisə edərkən istifadə edilə bilər. Məsələn: № 000. Dəyərləri müqayisə edin və əgər a) ..gif" width="37" height="20 src=">, onda bu olduqca çətin işdir: biz 3 və 9-un kub kökünü götürməli və onları müqayisə etməli olardıq. Amma biz bilirik ki, artır, bu öz növbəsində o deməkdir ki, arqument artdıqda funksiyanın dəyəri artır, yəni arqumentin dəyərlərini bir-biri ilə müqayisə etmək kifayətdir və açıq-aydın (artan eksponensial funksiyası olan posterdə nümayiş etdirilə bilər). Həmişə belə nümunələri həll edərkən əvvəlcə eksponensial funksiyanın əsasını təyin edin, 1 ilə müqayisə edin, monotonluğu müəyyənləşdirin və arqumentləri müqayisə etməyə davam edin. Azalan funksiya halında: arqument artdıqca funksiyanın qiyməti azalır, buna görə də arqumentlərin bərabərsizliyindən funksiyaların bərabərsizliyinə keçərkən bərabərsizlik işarəsi dəyişir. Sonra şifahi həll edirik: b)

-

AT)

-

G)

-

- No 000. Rəqəmləri müqayisə edin: a) və

Beləliklə, funksiya artır

Niyə ?

Artan funksiya və

Beləliklə, funksiya azalır

Hər iki funksiya birdən böyük baza ilə eksponensial olduğu üçün bütün tərif sahəsi üzrə artır.

Bunun mənası nədir?

Diaqramlar qururuq:

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> cəhd edərkən hansı funksiya daha sürətli böyüyür.

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> cəhd edərkən hansı funksiya daha tez azalır

İntervalda, funksiyalardan hansının müəyyən bir nöqtədə ən böyük dəyəri var?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Əvvəlcə bu funksiyaların əhatə dairəsini öyrənək. Onlar üst-üstə düşür?

Bəli, bu funksiyaların sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir.

Bu funksiyaların hər birinin əhatə dairəsini adlandırın.

Bu funksiyaların diapazonları üst-üstə düşür: bütün müsbət real ədədlər.

Funksiyaların hər birinin monotonluq növünü müəyyənləşdirin.

Hər üç funksiya birdən kiçik və sıfırdan böyük baza ilə eksponensial olduğundan, bütün tərif sahəsi üzrə azalır.

Eksponensial funksiyanın qrafikinin tək nöqtəsi nədir?

Bunun mənası nədir?

Eksponensial funksiyanın dərəcəsinin bazası nə olursa olsun, göstərici 0-dırsa, bu funksiyanın qiyməti 1-dir.

Diaqramlar qururuq:

Qrafikləri təhlil edək. Funksiya qrafiklərinin neçə kəsişmə nöqtəsi var?

Çalışarkən hansı funksiya daha tez azalır? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Çalışarkən hansı funksiya daha sürətli böyüyür? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

İntervalda, funksiyalardan hansının müəyyən bir nöqtədə ən böyük dəyəri var?

İntervalda, funksiyalardan hansının müəyyən bir nöqtədə ən böyük dəyəri var?

Nə üçün müxtəlif əsaslı eksponensial funksiyaların yalnız bir kəsişmə nöqtəsi var?

Eksponensial funksiyalar bütün tərif sahəsi üzərində ciddi şəkildə monotondur, ona görə də onlar yalnız bir nöqtədə kəsişə bilər.

Növbəti vəzifə bu əmlakdan istifadəyə yönəldiləcək. № 000. Verilmiş intervalda verilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın a). Xatırladaq ki, ciddi monoton bir funksiya verilmiş intervalın sonunda minimum və maksimum dəyərlərini alır. Və əgər funksiya artırsa, onda onun ən böyük dəyəri seqmentin sağ ucunda, ən kiçiyi isə seqmentin sol ucunda olacaqdır (məsələn, eksponensial funksiyadan istifadə edərək posterdə nümayiş). Əgər funksiya azalırsa, onda onun ən böyük dəyəri seqmentin sol ucunda, ən kiçiyi isə seqmentin sağ ucunda olacaqdır (məsələn, eksponensial funksiyadan istifadə etməklə posterdə nümayiş). Funksiya artır, ona görə ki, funksiyanın ən kiçik dəyəri https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" nöqtəsində olacaq. >. Xallar b ) , içində) d) dəftərləri özünüz həll edin, şifahi yoxlayacağıq.

Şagirdlər problemi dəftərlərində həll edirlər

- № 000. Verilmiş intervalda verilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın a) . Bu vəzifə əvvəlki ilə demək olar ki, eynidir. Ancaq burada bir seqment deyil, bir şüa verilir. Biz bilirik ki, funksiya artmaqdadır və onun bütün say xəttində nə ən böyük, nə də ən kiçik dəyəri var https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> və -ə meyllidir, yəni şüada funksiya 0-a meyl edir, lakin ən kiçik dəyərinə malik deyil, lakin nöqtədə ən böyük qiymətə malikdir. . xal b) , içində) , G) Öz dəftərlərinizi həll edin, şifahi yoxlayaq.

Eksponensial funksiya a-a bərabər olan n ədədin hasilinin ümumiləşdirilməsidir:
y (n) = a n = a a a a,
x həqiqi ədədlər çoxluğuna:
y (x) = x.
Burada a sabit real ədəddir, ona deyilir eksponensial funksiyanın əsası.
Əsası a olan eksponensial funksiyaya da deyilir bazaya eksponensial a.

Ümumiləşdirmə aşağıdakı kimi aparılır.
Təbii x üçün = 1, 2, 3,... , eksponensial funksiya x amillərinin məhsuludur:
.
Üstəlik, ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gələn (1.5-8) () xüsusiyyətlərinə malikdir. Tam ədədlərin sıfır və mənfi dəyərlərində eksponensial funksiya düsturlarla müəyyən edilir (1.9-10). Rasional ədədlərin x = m/n kəsr qiymətləri üçün, (1.11) düsturu ilə müəyyən edilir. Real üçün eksponensial funksiya ardıcıllığın həddi kimi müəyyən edilir:
,
burada x-ə yaxınlaşan rasional ədədlərin ixtiyari ardıcıllığıdır: .
Bu təriflə eksponensial funksiya hamı üçün müəyyən edilir və xassələri (1.5-8), həmçinin natural x üçün də təmin edir.

Eksponensial funksiyanın tərifinin ciddi riyazi tərtibatı və onun xassələrinin sübutu "Göstərici funksiyanın xüsusiyyətlərinin tərifi və sübutu" səhifəsində verilmişdir.

Eksponensial funksiyanın xassələri

y = a x eksponensial funksiyası həqiqi ədədlər çoxluğunda () aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
(1.1) müəyyən və davamlıdır, üçün , hamı üçün ;
(1.2) a ≠ olduqda 1 çoxlu mənaları var;
(1.3) -da ciddi şəkildə artır, -də ciddi şəkildə azalır,
-də sabitdir;
(1.4) at ;
at ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Digər faydalı düsturlar
.
Fərqli güc bazası ilə eksponensial funksiyaya çevirmək üçün formula:

b = e üçün eksponensial funksiyanın eksponent baxımından ifadəsini alırıq:

Şəxsi dəyərlər

, , , , .

Şəkil eksponensial funksiyanın qrafiklərini göstərir
y (x) = x
dörd dəyər üçün dərəcə əsasları:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 və a = 1/8 . Görünür ki, bir > üçün 1 eksponensial funksiya monoton şəkildə artır. A dərəcəsinin bazası nə qədər böyükdürsə, böyümə də bir o qədər güclüdür. At 0 < a < 1 eksponensial funksiya monoton şəkildə azalır. a eksponenti nə qədər kiçik olsa, azalma bir o qədər güclü olar.

Artan, enən

at eksponensial funksiyası ciddi monotonik, ona görə də onun ekstremal yoxdur. Onun əsas xüsusiyyətləri cədvəldə təqdim olunur.

Tərs funksiya

Əsası a dərəcəsi olan eksponensial funksiyanın əksi a əsasının loqarifmidir.

Əgər, onda
.
Əgər, onda
.

Eksponensial funksiyanın diferensiallaşdırılması

Eksponensial funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün onun əsasını e ədədinə endirmək, törəmələr cədvəlini və mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq qaydasını tətbiq etmək lazımdır.

Bunun üçün loqarifmlərin xassəsindən istifadə etmək lazımdır
və törəmələr cədvəlindən düstur:
.

Eksponensial funksiya verilsin:
.
Biz onu e bazasına gətiririk:

Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik. Bunun üçün bir dəyişən təqdim edirik

Sonra

Törəmələr cədvəlindən əldə edirik (x dəyişənini z ilə əvəz edin):
.
Sabit olduğundan z-nin x-ə görə törəməsi belədir
.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə:
.

Eksponensial funksiyanın törəməsi

.
n-ci sıranın törəməsi:
.
Düsturların törəməsi > > >

Eksponensial funksiyanın diferensiallaşdırılmasına nümunə

Funksiyanın törəməsini tapın
y= 35 x

Qərar

Eksponensial funksiyanın əsasını e ədədi ilə ifadə edirik.
3 = e log 3
Sonra
.
Bir dəyişən təqdim edirik
.
Sonra

Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.
kimi 5ln 3 sabitdir, onda z-nin x-ə nisbətən törəməsi belədir:
.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsasən, bizdə:
.

Cavab verin

İnteqral

Kompleks ədədlərlə ifadələr

Kompleks ədəd funksiyasını nəzərdən keçirək z:
f (z) = az
burada z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Kompleks a sabitini r modulu və φ arqumenti ilə ifadə edirik:
a = r e i φ
Sonra


.
φ arqumenti unikal şəkildə müəyyən edilməyib. Ümumiyyətlə
φ = φ 0 + 2 pn,
burada n tam ədəddir. Beləliklə, f funksiyası (z) həm də qeyri-müəyyəndir. Çox vaxt onun əsas əhəmiyyəti hesab olunur
.

Serialda genişlənmə

.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və Ali Təhsil Müəssisələrinin Tələbələri üçün Riyaziyyat Kitabı, Lan, 2009.