Svaka pojedinačna vrijednost u potpunosti je određena svojom funkcijom distribucije. Također, za rješavanje praktičnih problema dovoljno je poznavati nekoliko numeričkih karakteristika, zahvaljujući kojima je moguće predstaviti glavne značajke nasumična varijabla u kratkom obliku.
Ove količine su prvenstveno očekivana vrijednost i disperzija .
Očekivana vrijednost - prosječna vrijednost slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Označeno kao .
po najviše na jednostavan način matematičko očekivanje slučajne varijable X(w), nalaze se kao sastavniLebesgue s obzirom na mjeru vjerojatnosti R početni prostor vjerojatnosti
Također možete pronaći matematičko očekivanje vrijednosti kao Lebesgueov integral iz x raspodjelom vjerojatnosti R X količine x:
gdje je skup svih mogućih vrijednosti x.
Matematičko očekivanje funkcija od slučajne varijable x je kroz distribuciju R X. na primjer, ako x- slučajna varijabla s vrijednostima u i f(x)- nedvosmisleno Borelfunkcija x , zatim:
Ako je a F(x)- funkcija distribucije x, tada je matematičko očekivanje reprezentativno sastavniLebesgue - Stieltjes (ili Riemann - Stieltjes):
dok je integrabilnost x u kojem smislu ( * ) odgovara konačnosti integrala
U posebnim slučajevima, ako x ima diskretnu distribuciju s vjerojatnim vrijednostima x k, k=1, 2, . , i vjerojatnosti , onda
ako x ima apsolutno kontinuiranu distribuciju s gustoćom vjerojatnosti p(x), onda
u ovom slučaju, postojanje matematičkog očekivanja je ekvivalentno apsolutnoj konvergenciji odgovarajućeg niza ili integrala.
Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable.
- Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj vrijednosti:
C- konstantno;
- M=C.M[X]
- Matematičko očekivanje zbroja nasumično uzetih vrijednosti jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:
- Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli = proizvod njihovih matematičkih očekivanja:
M=M[X]+M[Y]
ako x i Y neovisna.
ako se niz konvergira:
Algoritam za izračun matematičkog očekivanja.
Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se prenumerirati prirodni brojevi; izjednačiti svaku vrijednost s vjerojatnošću koja nije nula.
1. Pomnožite parove redom: x i na pi.
2. Dodajte proizvod svakog para x i p i.
Na primjer, za n = 4 :
Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable postupno, naglo raste u onim točkama čije vjerojatnosti imaju pozitivan predznak.
Primjer: Nađite matematičko očekivanje po formuli.
Sljedeće najvažnije svojstvo slučajne varijable nakon matematičkog očekivanja je njena varijanca, definirana kao srednji kvadrat odstupanja od srednje vrijednosti:
Ako se do tada označi, varijanca VX bit će očekivana vrijednost. Ovo je karakteristika "raspršenosti" X distribucije.
Kao jednostavan primjer računajući varijansu, pretpostavimo da smo upravo dobili ponudu koju ne možemo odbiti: netko nam je dao dva certifikata za sudjelovanje u istoj lutriji. Organizatori lutrije prodaju 100 listića svaki tjedan, sudjelujući u zasebnom izvlačenju. Jedna od tih ulaznica odabire se u izvlačenju kroz jedinstveni slučajni postupak - svaka karta ima jednake šanse da bude odabrana - a vlasnik te sretne karte dobiva sto milijuna dolara. Preostalih 99 vlasnika srećki ne osvajaju ništa.
Poklon možemo iskoristiti na dva načina: ili kupiti dva listića u istoj lutriji, ili kupiti po jedan listić za sudjelovanje u dvije različite lutrije. Koja je najbolja strategija? Pokušajmo analizirati. Da bismo to učinili, označavamo slučajnim varijablama koje predstavljaju veličinu našeg dobitka na prvom i drugom listiću. Očekivana vrijednost u milijunima je
a isto vrijedi i za očekivane vrijednosti su aditivne, tako da će naša prosječna ukupna isplata biti
bez obzira na usvojenu strategiju.
Međutim, čini se da se te dvije strategije razlikuju. Idemo dalje od očekivanih vrijednosti i proučimo cjelokupnu distribuciju vjerojatnosti
Ako kupimo dva listića u istoj lutriji, imamo 98% šanse da ne dobijemo ništa i 2% šanse da dobijemo 100 milijuna. Ako kupimo ulaznice za različite izvlačenja, tada će brojke biti sljedeće: 98,01% - šansa da ništa ne osvojimo, što je nešto više nego prije; 0,01% - šansa za osvajanje 200 milijuna, također malo više nego što je bilo prije; a šansa za osvajanje 100 milijuna sada je 1,98%. Dakle, u drugom slučaju, raspodjela veličine je nešto više raspršena; prosjek, 100 milijuna dolara, nešto je manje vjerojatan, dok su ekstremi vjerojatniji.
Upravo je ovaj koncept raspršenosti slučajne varijable namijenjen da odražava varijancu. Širenje mjerimo kroz kvadrat odstupanja slučajne varijable od njezina matematičkog očekivanja. Dakle, u slučaju 1, varijanca će biti
u slučaju 2, varijanca je
Kao što smo očekivali, potonja vrijednost je nešto veća, budući da je distribucija u slučaju 2 nešto raspršenija.
Kada radimo s varijacijama, sve je na kvadrat, tako da rezultat mogu biti prilično veliki brojevi. (Množitelj je jedan bilijun, to bi trebalo biti impresivno
čak i igrači navikli na visoke uloge.) Korijen od disperzije. Rezultirajući broj naziva se standardna devijacija i obično se označava grčko pismo a:
Standardne devijacije za naše dvije strategije lutrije su . Na neki način, druga je opcija rizičnija oko 71.247 dolara.
Kako varijanca pomaže u odabiru strategije? Nije čisto. Strategija s većom varijansom je rizičnija; ali što je bolje za naš novčanik - rizik ili sigurna igra? Dajte nam priliku kupiti ne dvije karte, već svih sto. Tada bismo mogli jamčiti dobitak u jednoj lutriji (a varijanca bi bila nula); ili možete igrati u stotinu različitih izvlačenja, ne dobivajući ništa s vjerojatnošću, ali s šansom koja nije jednaka nuli da dobijete do dolara. Odabir jedne od ovih alternativa izvan je okvira ove knjige; sve što ovdje možemo učiniti je objasniti kako napraviti izračune.
Zapravo, postoji lakši način za izračunavanje varijance nego izravno korištenje definicije (8.13). (Postoje svi razlozi za sumnju u neku skrivenu matematiku; inače, zašto bi se varijansa u primjerima lutrije pokazala kao cjelobrojni višestruk.
jer je konstanta; stoga,
"Disperzija je srednja vrijednost kvadrata minus kvadrat srednje vrijednosti"
Na primjer, u zadatku lutrije prosjek je ili Oduzimanje (kvadrata prosjeka) daje rezultate koje smo već ranije dobili na teži način.
Postoji, međutim, još jednostavnija formula koja se primjenjuje kada izračunavamo za neovisne X i Y. Imamo
budući da, kao što znamo, za nezavisne slučajne varijable, dakle,
"Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijanci" Tako je, na primjer, varijanca iznosa koji se može dobiti na jednoj lutriji jednaka
Stoga će varijanca ukupnog dobitka za dvije srećke u dvije različite (nezavisne) lutrije biti
Varijanca zbroja bodova bačenih na dvije kocke može se dobiti pomoću iste formule, budući da postoji zbroj dviju neovisnih slučajnih varijable. Imamo
za ispravnu kocku; dakle, u slučaju pomaknutog centra mase
dakle, ako je središte mase obje kocke pomaknuto. Imajte na umu da je u potonjem slučaju varijanca veća, iako je potrebno u prosjeku 7 češće nego u slučaju običnih kockica. Ako nam je cilj baciti više sretnih sedmica, onda varijanca nije najbolji pokazatelj uspjeh.
U redu, ustanovili smo kako izračunati varijancu. Ali još nismo dali odgovor na pitanje zašto je potrebno izračunati varijancu. Svi to rade, ali zašto? Glavni razlog je Čebiševljeva nejednakost koja uspostavlja važno svojstvo varijance:
(Ova se nejednakost razlikuje od Čebiševljevih nejednakosti za zbrojeve, s kojima smo se susreli u poglavlju 2.) Kvalitativno, (8.17) kaže da slučajna varijabla X rijetko uzima vrijednosti daleko od svoje srednje vrijednosti ako je njena varijanca VX mala. Dokaz
radnja je izuzetno jednostavna. Stvarno,
dijeljenje po dovršava dokaz.
Ako matematičko očekivanje označimo kroz a i standardnu devijaciju - kroz a i zamijenimo u (8.17) s onda se uvjet pretvara u dakle, dobivamo iz (8.17)
Dakle, X će ležati unutar - puta standardne devijacije svoje srednje vrijednosti, osim u slučajevima gdje vjerojatnost ne prelazi Slučajna vrijednost će ležati unutar 2a od najmanje 75% pokušaja; u rasponu od do - najmanje za 99%. To su slučajevi Čebiševljeve nejednakosti.
Ako bacite par kockica, onda ukupan iznos bodova u svim bacanjima gotovo uvijek, za velika bit će blizu Razlog tome je sljedeći: varijanca neovisnih bacanja bit će Disperzija u znači standardna devijacija svih
Stoga, iz Čebiševe nejednakosti dobivamo da će zbroj točaka ležati između
za najmanje 99% svih bacanja ispravnih kockica. Na primjer, ukupno milijun bacanja s vjerojatnošću većom od 99% bit će između 6,976 milijuna i 7,024 milijuna.
U općem slučaju, neka je X bilo koja slučajna varijabla na prostoru vjerojatnosti P koja ima konačno matematičko očekivanje i konačnu standardnu devijaciju a. Tada možemo uvesti u razmatranje prostor vjerojatnosti Pp, čiji su elementarni događaji -sekvencije gdje je svaki , a vjerojatnost je definirana kao
Ako sada definiramo slučajne varijable formulom
zatim vrijednost
bit će zbroj neovisnih slučajnih varijabli, što odgovara procesu zbrajanja neovisnih realizacija veličine X na P. Matematičko očekivanje će biti jednako i standardna devijacija - ; dakle, srednja vrijednost realizacije,
nalazit će se u rasponu od do najmanje 99% vremenskog razdoblja. Drugim riječima, ako se odabere dovoljno velika vrijednost, tada će aritmetička sredina neovisnih ispitivanja gotovo uvijek biti vrlo blizu očekivanoj vrijednosti. velike brojke; ali nam je dovoljna jednostavna posljedica Čebiševljeve nejednakosti, koju smo upravo izveli.)
Ponekad ne poznajemo karakteristike prostora vjerojatnosti, ali moramo procijeniti matematičko očekivanje slučajne varijable X ponovnim promatranjem njezine vrijednosti. (Na primjer, mogli bismo htjeti srednju siječanjsku podnevnu temperaturu u San Franciscu; ili bismo mogli znati očekivani životni vijek na kojem ćemo temeljiti naše izračune. agenti osiguranja.) Ako imamo na raspolaganju neovisna empirijska opažanja, onda možemo pretpostaviti da je pravo matematičko očekivanje približno jednako
Također možete procijeniti odstupanje pomoću formule
Gledajući ovu formulu, moglo bi se pomisliti da u njoj postoji tipografska pogreška; čini se da bi trebalo biti kao u (8.19), budući da je prava vrijednost varijance određena u (8.15) kroz očekivane vrijednosti. Međutim, zamjena za ovdje omogućuje nam da dobijemo najbolja procjena, budući da definicija (8.20) to implicira
Evo dokaza:
(U ovom izračunu oslanjamo se na neovisnost opažanja kada zamijenimo s )
U praksi, za procjenu rezultata eksperimenta sa slučajnom varijablom X, obično se izračuna empirijska srednja vrijednost i empirijska standardna devijacija, a zatim se zapiše odgovor u obliku Evo, na primjer, rezultati bacanja kockice, navodno ispravno.
Slučajne varijable, osim zakona distribucije, također se mogu opisati numeričke karakteristike .
matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njezina prosječna vrijednost.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable izračunava se po formuli
gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerojatnosti.
Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem
M (kx) = kM (x)
3. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Za neovisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n matematičko očekivanje proizvoda jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.
M(x) == 
.
Primjer 12. Neka su slučajne varijable x 1 , x 2 zadane zakonima distribucije, redom:
x 1 Tablica 2
x 2 Tablica 3
Izračunaj M (x 1) i M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, njihova je distribucija drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, tada se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerojatnosti takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti kakva se odstupanja od nje dešavaju i gore i dolje. Dakle s istim prosjek Godišnje oborine na dva lokaliteta ne mogu se reći da su podjednako povoljne za poljoprivredne radove. Slično, u smislu prosjeka plaće nije moguće suditi specifična gravitacija visoko i slabo plaćeni radnici. Stoga se uvodi numerička karakteristika - disperzija D(x) , koji karakterizira stupanj odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Disperzija je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijanca se izračunava po formuli:
D(x)= 
= 
(3)
Iz definicije varijance proizlazi da je D (x) 0.
Svojstva disperzije:
1. Disperzija konstante je nula
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s nekim brojem k, tada se varijanca množi s kvadratom tog broja
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Za slučajne varijable neovisne u paru x 1 , x 2 , … x n varijanca zbroja jednaka je zbroju varijanci.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Izračunajmo varijancu za slučajnu varijablu iz primjera 11.
Matematičko očekivanje M (x) = 1. Dakle, prema formuli (3) imamo:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Imajte na umu da je lakše izračunati varijancu ako koristimo svojstvo 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Izračunajmo varijance za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable jednaka su nuli.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 0,002 \u000
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 \u003d 260
Što je vrijednost disperzije bliža nuli, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.
Vrijednost se zove standardna devijacija. Slučajna moda x diskretni tip Md je vrijednost slučajne varijable, koja odgovara najvećoj vjerojatnosti.
Slučajna moda x kontinuirani tip Md, je realan broj definiran kao maksimalna točka gustoće distribucije vjerojatnosti f(x).
Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednadžbu
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable.Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti:
Primjer.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Rješenje: Matematičko očekivanje jednako je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti X i njihovih vjerojatnosti:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Za izračunavanje matematičkog očekivanja prikladno je izvršiti izračune u Excelu (osobito kada ima puno podataka), predlažemo korištenje gotov predložak ().
Primjer za neovisno rješenje (možete koristiti kalkulator).
Nađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X dano zakonom distribucije:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva.
Svojstvo 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti: M(S)=S.
Svojstvo 2. Iz predznaka očekivanja može se izvaditi konstantni faktor: M(SH)=SM(H).
Svojstvo 3. Matematičko očekivanje umnoška međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku matematičkih očekivanja čimbenika: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Svojstvo 4. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja pojmova: M(Hg + H2+...+Hn) = M(Hg)+M(H2)+…+M (Hn).
Zadatak 189. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja X i Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Rješenje: Koristeći svojstva matematičkog očekivanja (matematičko očekivanje zbroja jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova; konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja), dobivamo M(Z)= M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Koristeći svojstva matematičkog očekivanja dokazati da je: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) matematičko očekivanje devijacije X-M(X) je nula.
191. Diskretna slučajna varijabla X uzima tri moguće vrijednosti: x1= 4 S vjerojatnošću p1 = 0,5; x3 = 6 s vjerojatnošću P2 = 0,3 i x3 s vjerojatnošću p3. Pronađite: x3 i p3, znajući da je M(X)=8.
192. Dat je popis mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, poznata su i matematička očekivanja ove količine i njezin kvadrat: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 , devet. Pronađite odgovarajuće vjerojatnosti p1, p2, p3 moguće vrijednosti xi
194. Serija od 10 dijelova sadrži tri nestandardna dijela. Dvije stavke su odabrane nasumično. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X - broj nestandardnih dijelova između dva odabrana.
196. Nađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X-broj takvih bacanja od pet kocke, u svakoj od kojih će se jedna točka pojaviti na dvije kosti, ako ukupni broj baca jednako dvadeset.
Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti da se događaj dogodi u jednom pokusu:
Koncept matematičkog očekivanja može se razmotriti na primjeru bacanja kocke. Svakim bacanjem bilježe se izbačeni bodovi. Za njihovo izražavanje koriste se prirodne vrijednosti u rasponu od 1 do 6.
Nakon određenog broja bacanja, uz pomoć jednostavnih izračuna, možete pronaći prosjek aritmetička vrijednost ispali bodovi.
Uz ispuštanje bilo koje vrijednosti raspona, ova će vrijednost biti nasumična.
A ako povećate broj bacanja nekoliko puta? Na velike količine bacanja, aritmetička srednja vrijednost bodova približit će se određenom broju, koji se u teoriji vjerojatnosti naziva matematičko očekivanje.
Dakle, matematičko očekivanje se shvaća kao prosječna vrijednost slučajne varijable. Ovaj se pokazatelj također može predstaviti kao ponderirani zbroj vjerojatnih vrijednosti.
Ovaj koncept ima nekoliko sinonima:
- znači;
- Prosječna vrijednost;
- središnji indikator trenda;
- prvi trenutak.
Drugim riječima, to nije ništa više od broja oko kojeg su raspoređene vrijednosti slučajne varijable.
Na raznim poljima ljudska aktivnost pristupi razumijevanju matematičkog očekivanja bit će nešto drugačiji.
Može se promatrati kao:
- prosječnu korist ostvarenu donošenjem odluke, u slučaju kada se takva odluka razmatra sa stajališta teorije velikih brojeva;
- mogući iznos dobitka ili gubitka (teorija kockanja), izračunat u prosjeku za svaku od oklada. U slengu zvuče kao "prednost igrača" (pozitivno za igrača) ili "prednost u kasinu" (negativno za igrača);
- postotak dobiti dobivene od dobitaka.
Matematičko očekivanje nije obvezno za apsolutno sve slučajne varijable. Nedostaje za one koji imaju odstupanje u odgovarajućem zbroju ili integralu.
Svojstva očekivanja
Kao i svaki statistički parametar, matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva:
Osnovne formule za matematičko očekivanje
Izračun matematičkog očekivanja može se izvesti i za slučajne varijable koje karakterizira i kontinuitet (formula A) i diskretnost (formula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdje su xi vrijednosti slučajne varijable, pi su vjerojatnosti:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdje je f(x) zadana gustoća vjerojatnosti.
Primjeri izračunavanja matematičkog očekivanja
Primjer A.
Je li moguće znati Prosječna visina patuljci u priči o Snjeguljici. Poznato je da je svaki od 7 patulja imao određenu visinu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.
Algoritam izračuna je prilično jednostavan:
- pronađite zbroj svih vrijednosti pokazatelja rasta (slučajna varijabla):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Dobiveni iznos podijeljen je s brojem patuljaka:
6,31:7=0,90.
Dakle, prosječna visina patulja u bajci iznosi 90 cm. Drugim riječima, ovo je matematičko očekivanje rasta patulja.
Radna formula - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Praktična implementacija matematičkog očekivanja
Izračun statističkog pokazatelja matematičkog očekivanja pribjegava se u raznim područjima praktične djelatnosti. Prije svega, govorimo o komercijalnoj sferi. Uostalom, uvođenje ovog pokazatelja od strane Huygensa povezano je s određivanjem šansi koje mogu biti povoljne, ili, naprotiv, nepovoljne za neki događaj.
Ovaj parametar se naširoko koristi za procjenu rizika, posebno kada su u pitanju financijska ulaganja.
Dakle, u poslovanju izračun matematičkih očekivanja djeluje kao metoda za procjenu rizika pri izračunu cijena.
Također, ovaj se pokazatelj može koristiti pri izračunu učinkovitosti određenih mjera, na primjer, o zaštiti rada. Zahvaljujući njemu možete izračunati vjerojatnost da će se događaj dogoditi.
Drugo područje primjene ovog parametra je upravljanje. Također se može izračunati tijekom kontrole kvalitete proizvoda. Na primjer, pomoću mat. očekivanja se mogu izračunati mogući broj proizvodnja neispravnih dijelova.
Matematičko očekivanje također se pokazuje nezamjenjivim tijekom statističke obrade podataka dobivenih tijekom znanstveno istraživanje rezultate. Također vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti željenog ili nepoželjnog ishoda eksperimenta ili studije, ovisno o razini postizanja cilja. Uostalom, njegovo postizanje može se povezati s dobitkom i dobiti, a njegovo nepostizanje - kao gubitak ili gubitak.
Korištenje matematičkog očekivanja na Forexu
Praktična primjena ovog statističkog parametra moguća je pri obavljanju transakcija na deviznom tržištu. Može se koristiti za analizu uspješnosti trgovinskih transakcija. Štoviše, povećanje vrijednosti očekivanja ukazuje na povećanje njihovog uspjeha.
Također je važno zapamtiti da se matematičko očekivanje ne smije smatrati jedinim statističkim parametrom koji se koristi za analizu uspješnosti trgovca. Korištenje nekoliko statističkih parametara zajedno s prosječnom vrijednošću ponekad povećava točnost analize.
Ovaj se parametar dobro pokazao u praćenju promatranja trgovačkih računa. Zahvaljujući njemu, vrši se brza procjena obavljenog posla na depozitnom računu. U slučajevima kada je aktivnost trgovca uspješna i izbjegava gubitke, ne preporuča se koristiti samo izračun matematičkog očekivanja. U tim slučajevima rizici se ne uzimaju u obzir, što smanjuje učinkovitost analize.
Provedene studije taktike trgovaca pokazuju da:
- najučinkovitije su taktike temeljene na slučajnom unosu;
- najmanje učinkovite su taktike temeljene na strukturiranim ulazima.
U dosezanju pozitivni rezultati ne manje važno:
- taktike upravljanja novcem;
- izlazne strategije.
Koristeći takav pokazatelj kao što je matematičko očekivanje, možemo pretpostaviti kolika će biti dobit ili gubitak pri ulaganju 1 dolara. Poznato je da ovaj pokazatelj, izračunat za sve igre koje se prakticiraju u kockarnici, ide u prilog instituciji. To je ono što vam omogućuje da zaradite novac. U slučaju dugog niza igara, vjerojatnost gubitka novca od strane klijenta značajno se povećava.
Igre profesionalnih igrača ograničene su na mala vremenska razdoblja, što povećava šanse za pobjedu i smanjuje rizik od gubitka. Isti obrazac se uočava i u obavljanju investicijskih operacija.
Investitor može zaraditi značajan iznos pozitivno očekivanje i počiniti veliki broj transakcije u kratkom vremenskom razdoblju.
Očekivanje se može zamisliti kao razlika između postotka dobiti (PW) puta prosječne dobiti (AW) i vjerojatnosti gubitka (PL) puta prosječnog gubitka (AL).
Kao primjer, razmotrite sljedeće: pozicija - 12,5 tisuća dolara, portfelj - 100 tisuća dolara, rizik po depozitu - 1%. Profitabilnost transakcija je 40% slučajeva uz prosječnu dobit od 20%. U slučaju gubitka prosječni gubitak je 5%. Izračunavanje matematičkog očekivanja za trgovinu daje vrijednost od 625 USD.
