Poglavlje 6
Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Matematičko očekivanje i njegova svojstva
Za rješavanje mnogih praktičnih problema nije uvijek potrebno znati sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerojatnosti. Štoviše, ponekad je zakon distribucije slučajne varijable koja se proučava jednostavno nepoznat. Međutim, potrebno je istaknuti neke značajke ove slučajne varijable, drugim riječima, numeričke karakteristike.
Brojčane karakteristike- to su neki brojevi koji karakteriziraju određena svojstva, karakteristične značajke slučajne varijable.
Na primjer, prosječna vrijednost slučajne varijable, prosječno širenje svih vrijednosti slučajne varijable oko njenog prosjeka, itd. Osnovna svrha brojčanih karakteristika je da se u sažetom obliku izraze najvažnije značajke distribucije slučajne varijable koja se proučava. Numeričke karakteristike u teoriji vjerojatnosti igraju veliku ulogu. Oni pomažu riješiti, čak i bez poznavanja zakona o distribuciji, mnoge važne praktične probleme.
Među svim brojčanim karakteristikama, prije svega izdvajamo karakteristike položaja. To su karakteristike koje fiksiraju položaj slučajne varijable na brojevnoj osi, t.j. određenu prosječnu vrijednost, oko koje se grupiraju preostale vrijednosti slučajne varijable.
Od karakteristika pozicije, matematičko očekivanje igra najveću ulogu u teoriji vjerojatnosti.
Očekivana vrijednost ponekad se naziva jednostavno kao srednja vrijednost slučajne varijable. To je svojevrsni distribucijski centar.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Razmotrimo prvo koncept matematičkog očekivanja za diskretnu slučajnu varijablu.
Prije uvođenja formalne definicije rješavamo sljedeći jednostavan problem.
Primjer 6.1. Neka strijelac ispali 100 hitaca u metu. Kao rezultat, dobivena je sljedeća slika: 50 hitaca - pogađanje "osmice", 20 udaraca - pogađanje "devetke" i 30 - pogađanje "desetke". Koliki je prosječni rezultat po udarcu.
Odluka ovog problema je očit i svodi se na pronalaženje prosječne vrijednosti 100 brojeva, odnosno bodova.
Razlomak transformiramo dijeljenjem brojnika s nazivnikom član po član i predstavljamo prosječnu vrijednost u obliku sljedeće formule:
Pretpostavimo sada da je broj bodova u jednom kadru vrijednost neke diskretne slučajne varijable x. Iz stanja problema je jasno da x 1 =8; x 2 =9; x 3=10. Poznate su relativne frekvencije pojavljivanja ovih vrijednosti, koje su, kao što je poznato, približno jednake vjerojatnosti odgovarajućih vrijednosti za veliki broj testova, tj. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Dakle, . Vrijednost na desnoj strani je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable x je zbroj proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i vjerojatnosti tih vrijednosti.
Neka je diskretna slučajna varijabla x dano svojim distribucijskim nizom:
| x | x 1 | x 2 | … | x n |
| R | R 1 | R 2 | … | R n |
Zatim matematičko očekivanje M(x) diskretne slučajne varijable određuje se sljedećom formulom:
Ako diskretna slučajna varijabla poprimi beskonačan prebrojiv skup vrijednosti, tada se matematičko očekivanje izražava formulom:
,
štoviše, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.
Primjer 6.2 . Pronađite matematičko očekivanje pobjede x pod uvjetima primjera 5.1.
Odluka . Podsjetimo da je serija distribucije x ima sljedeći oblik:
| x | |||
| R | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Dobiti M(x)=0∙0.7+10∙0.2+50∙0.1=7. Očito, 7 rubalja je poštena cijena ulaznice u ovoj lutriji, bez raznih troškova, na primjer, povezanih s distribucijom ili proizvodnjom ulaznica. ■
Primjer 6.3 . Neka je slučajna varijabla x je broj pojavljivanja nekog događaja ALI u jednom testu. Vjerojatnost ovog događaja je R. Pronaći M(x).
Odluka. Očito, moguće vrijednosti slučajne varijable su: x 1 =0 - događaj ALI nije se pojavio i x 2 =1 – događaj ALI pojavio. Distribucijski niz ima oblik:
| x | ||
| R | 1−R | R |
Zatim M(x) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■
Dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom testu jednako je vjerojatnosti tog događaja.
Na početku odlomka dat je konkretan problem gdje je naznačen odnos između matematičkog očekivanja i prosječne vrijednosti slučajne varijable. Objasnimo ovo na opći način.
Neka se proizvede k testovi u kojima je slučajna varijabla x prihvaćeno k 1 vremenska vrijednost x 1 ; k 2 puta vrijednost x 2 itd. i konačno k n puta vrijednost x n . Očito je da k 1 +k 2 +…+k n = k. Nađimo aritmetičku sredinu svih ovih vrijednosti, koje imamo
Imajte na umu da je razlomak relativna učestalost pojavljivanja vrijednosti x i u k testovi. Kod velikog broja testova relativna frekvencija je približno jednaka vjerojatnosti, t.j. . Otuda slijedi da
.
Dakle, matematičko očekivanje približno je jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable, a što je točnije to je veći broj pokušaja - to je vjerojatnostno značenje matematičkog očekivanja.
Matematičko očekivanje se ponekad naziva centar distribucija slučajne varijable, budući da je očito da se moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze na numeričkoj osi lijevo i desno od njezina matematičkog očekivanja.
Okrenimo se sada konceptu matematičkog očekivanja za kontinuiranu slučajnu varijablu.
Svaka pojedinačna vrijednost u potpunosti je određena svojom funkcijom distribucije. Također, za rješavanje praktičnih problema dovoljno je poznavati nekoliko numeričkih karakteristika, zahvaljujući kojima postaje moguće predstaviti glavne značajke slučajne varijable u sažetom obliku.
Ove količine su prvenstveno očekivana vrijednost i disperzija .
Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Označeno kao .
Na najjednostavniji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w), nalaze se kao sastavniLebesgue s obzirom na mjeru vjerojatnosti R izvornik prostor vjerojatnosti
Također možete pronaći matematičko očekivanje vrijednosti kao Lebesgueov integral iz x raspodjelom vjerojatnosti R X količine x:
gdje je skup svih mogućih vrijednosti x.
Matematičko očekivanje funkcija od slučajne varijable x je kroz distribuciju R X. na primjer, ako x- slučajna varijabla s vrijednostima u i f(x)- nedvosmisleno Borelfunkcija x , zatim:
Ako je a F(x)- funkcija distribucije x, tada je matematičko očekivanje reprezentativno sastavniLebesgue - Stieltjes (ili Riemann - Stieltjes):
dok je integrabilnost x u kojem smislu ( * ) odgovara konačnosti integrala
U posebnim slučajevima, ako x ima diskretnu distribuciju s vjerojatnim vrijednostima x k, k=1, 2, . , i vjerojatnosti , onda
ako x ima apsolutno kontinuiranu distribuciju s gustoćom vjerojatnosti p(x), onda
u ovom slučaju, postojanje matematičkog očekivanja je ekvivalentno apsolutnoj konvergenciji odgovarajućeg niza ili integrala.
Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable.
- Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj vrijednosti:
C- konstantno;
- M=C.M[X]
- Matematičko očekivanje zbroja nasumično uzetih vrijednosti jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:
- Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli = proizvod njihovih matematičkih očekivanja:
M=M[X]+M[Y]
ako x i Y neovisna.
ako se niz konvergira:
Algoritam za izračun matematičkog očekivanja.
Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se prenumerirati prirodnim brojevima; izjednačiti svaku vrijednost s vjerojatnošću koja nije nula.
1. Pomnožite parove redom: x i na pi.
2. Dodajte proizvod svakog para x i p i.
Na primjer, za n = 4 :
Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable postupno, naglo raste u onim točkama čije vjerojatnosti imaju pozitivan predznak.
Primjer: Nađite matematičko očekivanje po formuli.
- broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Sasvim je jasno da se taj broj ne zna unaprijed, a u sljedećih deset rođene djece može biti:
Ili dečki - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo tjelesnog odgoja:
- daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)
Međutim, koje su vaše hipoteze?
2) Kontinuirana slučajna varijabla - uzima svi numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog raspona.
Bilješka : u obrazovnoj literaturi popularne su kratice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - stalan.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo sukladnosti između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerojatnosti. Najčešće je zakon napisan u tablici: 
Pojam je prilično uobičajen red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se zato pridržavati "zakona".
A sada vrlo važna točka: budući da je slučajna varijabla nužno prihvatit će jedna od vrijednosti, zatim se oblikuju odgovarajući događaji puna grupa a zbroj vjerojatnosti njihovog pojavljivanja jednak je jedan:
ili, ako je napisano presavijeno:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerojatnosti bodova na kocki ima sljedeći oblik: 
Bez komentara.
Možda ste pod dojmom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo "dobre" cjelobrojne vrijednosti. Razbijmo iluziju - oni mogu biti bilo što:
Primjer 1
Neke igre imaju sljedeći zakon o raspodjeli isplata: 
...vjerojatno već dugo sanjate o takvim zadacima :) Da vam otkrijem jednu tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka radova na teorija polja.
Odluka: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak jedan: 
Razotkrivamo "partizana": 
– dakle, vjerojatnost dobitka konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: što trebate biti sigurni.
Odgovor:
Nije rijetkost kada zakon o distribuciji treba samostalno sastaviti. Za ovu upotrebu klasična definicija vjerojatnosti, teoremi množenja / zbrajanja za vjerojatnosti događaja i drugi čips tervera:
Primjer 2
U kutiji se nalazi 50 srećki, od kojih je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Sastavite zakon raspodjele za slučajnu varijablu - iznos dobitka ako se jedan listić nasumično izvuče iz kutije.
Odluka: kao što ste primijetili, uobičajeno je postaviti vrijednosti slučajne varijable uzlaznim redoslijedom. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubalja.
Ukupno takvih ulaznica ima 50 - 12 = 38, a prema klasična definicija:
je vjerojatnost da slučajno izvučeni listić neće pobijediti.
Ostali slučajevi su jednostavni. Vjerojatnost dobitka rubalja je:
Provjera: - a ovo je posebno ugodan trenutak takvih zadataka!
Odgovor: zakon o potrebnoj raspodjeli isplata: 
Sljedeći zadatak za samostalnu odluku:
Primjer 3
Vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu je . Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
... znala sam da ti nedostaje :) Sjećamo se teoremi množenja i zbrajanja. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, no u praksi je korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje. numeričke karakteristike .
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo prosječna očekivana vrijednost s ponovljenim testiranjem. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti s vjerojatnostima 
odnosno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj radova sve njegove vrijednosti prema odgovarajućim vjerojatnostima:
ili u presavijenom obliku: 
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova ispuštenih na kocki:
Sada se prisjetimo naše hipotetske igre: 
Postavlja se pitanje: je li uopće isplativo igrati ovu igru? ... tko ima dojmove? Dakle, ne možete reći "na ruku"! Ali na ovo se pitanje lako može odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u biti - prosječne težine vjerojatnosti pobjede:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte dojmovima – vjerujte brojevima!
Da, ovdje možete pobijediti 10, pa čak i 20-30 puta zaredom, ali dugoročno ćemo neminovno biti upropašteni. I ne bih ti savjetovao da igraš takve igrice :) Pa, možda samo Za zabavu.
Iz svega navedenog proizlazi da matematičko očekivanje NIJE SLUČAJNA vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
Primjer 4
G. X igra europski rulet prema sljedećem sustavu: stalno kladi 100 rubalja na crveno. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable – njezinu isplatu. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na kopejke. Koliko prosjek gubi li igrač za svakih sto oklada?
Referenca : Europski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor ("nula"). U slučaju ispadanja "crvenog" igraču se plaća dvostruka oklada, inače ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sustavi ruleta za koje možete izraditi vlastite tablice vjerojatnosti. Ali to je slučaj kada nam ne trebaju nikakvi zakoni o raspodjeli i tablice, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Samo promjene od sustava do sustava
Matematičko očekivanje je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable
Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, selektivno, uvjetno očekivanje, izračun, svojstva, zadaci, procjena očekivanja, varijanca, funkcija distribucije, formule, primjeri izračuna
Proširite sadržaj
Sažmi sadržaj
Matematičko očekivanje je definicija
Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerojatnosti slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderirani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju brojevnih nizova, proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju pokazatelja cijena pri trgovanju na financijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teoriji kockanja.
Matematičko očekivanje je srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerojatnosti slučajne varijable razmatra se u teoriji vjerojatnosti.
Matematičko očekivanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).
Matematičko očekivanje je
Matematičko očekivanje je u teoriji vjerojatnosti, ponderirani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.
Matematičko očekivanje je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable s vjerojatnostima tih vrijednosti.
Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.
Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku okladu. U kockarskom jeziku, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "kućna ivica" (ako je negativna za igrača).
Matematičko očekivanje je Postotak dobiti po dobitku pomnožen prosječnim profitom minus vjerojatnost gubitka pomnožen prosječnim gubitkom.
Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematičkoj teoriji
Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je matematičko očekivanje. Uvedimo pojam sustava slučajnih varijabli. Razmotrimo skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sustava, tada događaj odgovara određenoj vjerojatnosti koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, zadan je vjerojatnostima.
Pojam "očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795.) i nastao je iz koncepta "očekivana vrijednost isplate", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascala i Christiana Huygensa. . No, prvo cjelovito teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredina 19. stoljeća).
Zakon distribucije slučajnih brojčanih varijabli (funkcija distribucije i distribucijski niz ili gustoća vjerojatnosti) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike ispitivane veličine (na primjer, njezinu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijanca, mod i medijan.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj proizvoda njezinih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderiranim prosjekom, budući da je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizlazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.
Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako je jedinična masa postavljena na ravnu liniju, stavljajući neku masu u neke točke (za diskretnu distribuciju) ili je "razmazujući" određenom gustoćom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će točka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "težište" ravna.
Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je, takoreći, njezin "predstavnik" i zamjenjuje ga u grubim približnim izračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada svjetiljke je 100 sati” ili “prosječna točka udara je pomaknuta u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njezinu mjesto na brojčanoj osi, tj. opis pozicije.
Od karakteristika pozicije u teoriji vjerojatnosti, najvažniju ulogu ima matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.
Razmotrimo slučajnu varijablu x, koji ima moguće vrijednosti x1, x2, …, xn s vjerojatnostima p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerojatnosti. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani "ponderirani prosjek" vrijednosti xi, a svaku vrijednost xi tijekom usrednjavanja treba uzeti u obzir s “težinom” proporcionalnom vjerojatnosti ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable x, što ćemo označiti M|X|:
Ovaj ponderirani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih pojmova teorije vjerojatnosti - pojam matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti.
x zbog neobične ovisnosti s aritmetičkom sredinom promatranih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata. Ova ovisnost je istog tipa kao i ovisnost između učestalosti i vjerojatnosti, naime: s velikim brojem eksperimenata, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable približava se (konvergira u vjerojatnosti) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisutnosti odnosa između učestalosti i vjerojatnosti, kao posljedicu može se zaključiti postojanje sličnog odnosa između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Doista, razmotrite slučajnu varijablu x, koju karakterizira niz distribucija:
Neka se proizvodi N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost x poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opće značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu promatranih vrijednosti X, što je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označit ćemo M*|X|:
S povećanjem broja eksperimenata N frekvencije pi približit će se (konvergirati u vjerojatnosti) odgovarajućim vjerojatnostima. Dakle, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable M|X| s povećanjem broja eksperimenata, približit će se (konvergirati u vjerojatnosti) svom matematičkom očekivanju. Veza između aritmetičke sredine i gore formuliranog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.
Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni tijekom velikog broja pokusa. Ovdje govorimo o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza promatranja iste vrijednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.
Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata lako je eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganjem bilo kojeg tijela u laboratoriju na točnoj vagi, kao rezultat vaganja svaki put dobivamo novu vrijednost; da bismo smanjili pogrešku opažanja, tijelo vagamo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je vidjeti da daljnjim povećanjem broja pokusa (vaganja) aritmetička sredina sve manje reagira na to povećanje, a s dovoljno velikim brojem pokusa praktički se prestaje mijenjati.
Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je napraviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, budući da se odgovarajući zbroj ili integral divergiraju. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od značajnog interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.
Osim najvažnije od karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja, u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebice mod i medijan slučajne varijable.
Način slučajne varijable je njezina najvjerojatnija vrijednost. Izraz "najvjerojatnije vrijednosti", strogo govoreći, odnosi se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustoća vjerojatnosti maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable.
Ako poligon distribucije (krivulja distribucije) ima više od jednog maksimuma, kaže se da je distribucija "polimodalna".
Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum. Takve se distribucije nazivaju "antimodalne".
U općem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable ne podudaraju se. U određenom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, tada se podudara s modom i središtem simetrije distribucije.
Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati i za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski gledano, medijan je apscisa točke u kojoj je područje ograničeno krivuljom distribucije prepolovljeno.
U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan se poklapa sa srednjom i modom.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable – numerička karakteristika distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. Na najopćenitiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) definira se kao Lebesgueov integral s obzirom na mjeru vjerojatnosti R u izvornom prostoru vjerojatnosti:
Matematičko očekivanje se također može izračunati kao Lebesgueov integral od x raspodjelom vjerojatnosti px količine x:
Na prirodan način, može se definirati pojam slučajne varijable s beskonačnim matematičkim očekivanjem. Tipičan primjer su vremena povratka u nekim slučajnim šetnjama.
Uz pomoć matematičkog očekivanja određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno varijansa , kovarijanca.
Matematičko očekivanje je karakteristika položaja vrijednosti slučajne varijable (prosječna vrijednost njezine distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki "tipični" parametar raspodjele i njegova je uloga slična ulozi statičkog momenta - koordinate težišta distribucije mase - u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije, uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremima teorije vjerojatnosti. . S najvećom cjelovitošću smisao matematičkog očekivanja otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko brojčanih vrijednosti (na primjer, broj bodova u bacanju kocke može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi za takvu vrijednost postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni povrat (ili gubitak) iz svake od rizičnih transakcija?
Recimo da postoji nekakva lutrija. Želimo razumjeti je li isplativo ili ne sudjelovati u tome (ili čak sudjelovati opetovano, redovito). Recimo da svaka četvrta karta pobijedi, nagrada će biti 300 rubalja, a cijena bilo koje karte 100 rubalja. Uz beskonačan broj sudjelovanja, to se događa. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštat će 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), to jest, za četiri sudjelovanja gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna stopa naše propasti bit će 25 rubalja po ulaznici.
Bacamo kocku. Ako nije varanje (bez pomicanja težišta itd.), koliko ćemo onda bodova u prosjeku imati odjednom? Budući da je svaka opcija jednako vjerojatna, uzimamo glupu aritmetičku sredinu i dobivamo 3,5. Budući da je ovo PROSJEČAN, ne treba se negodovati što niti jedno posebno bacanje neće dati 3,5 boda – pa ova kocka nema lice s takvim brojem!
Sada sumirajmo naše primjere:
Pogledajmo sliku iznad. S lijeve strane je tablica distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (danih u gornjem redu). Ne može biti drugih vrijednosti. Ispod svake moguće vrijednosti, njezina vjerojatnost je potpisana ispod. S desne strane je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem pokušaja (s velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti upravo ovom matematičkom očekivanju.
Vratimo se na istu igračku kocku. Matematičko očekivanje broja poena u bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili par puta. Ispalo je 4 i 6. U prosjeku je ispalo 5, odnosno daleko od 3,5. Opet su ga bacili, ispalo je 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment – okrenite kocku 1000 puta! A ako prosjek nije točno 3,5, onda će biti blizu tome.
Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Tablica će izgledati ovako:
Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo gore utvrdili:
Druga stvar je što je i to "na prstima", bez formule, teško bi bilo da ima više opcija. Pa, recimo da je bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% dobitnih listića.
Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.
Lako je to dokazati:
Konstantni množitelj se može izvaditi iz predznaka očekivanja, to jest:
Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.
Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:
odnosno matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.
Neka su X, Y neovisne slučajne varijable, zatim:
To je također lako dokazati) XY sama je slučajna varijabla, dok ako bi početne vrijednosti mogle poprimiti n i m vrijednosti, odnosno, tada XY može poprimiti nm vrijednosti. Vjerojatnost svake od vrijednosti izračunava se na temelju činjenice da se vjerojatnosti neovisnih događaja množe. Kao rezultat, dobivamo ovo:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Neprekidne slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustoća distribucije (gustoća vjerojatnosti). To, zapravo, karakterizira situaciju da slučajna varijabla češće uzima neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva, neke - rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:
Ovdje x- zapravo slučajna varijabla, f(x)- gustoća distribucije. Sudeći prema ovom grafikonu, tijekom eksperimenata, vrijednost xčesto će biti broj blizu nule. šanse premašiti 3 ili biti manje -3 nego čisto teorijski.
Neka, na primjer, postoji jednolična raspodjela:
Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo ako dobijemo puno slučajnih realnih brojeva s jednolikom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.
Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost i sl., primjenjiva za diskretne slučajne varijable, također su primjenjiva ovdje.
Odnos matematičkog očekivanja s drugim statističkim pokazateljima
U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sustav međuovisnih pokazatelja koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Često indikatori varijacije nemaju neovisno značenje i koriste se za daljnju analizu podataka. Iznimka je koeficijent varijacije, koji karakterizira homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.
Stupanj varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj znanosti može se mjeriti pomoću nekoliko pokazatelja.
Najvažniji pokazatelj koji karakterizira varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i izravno povezano s matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza itd.). Poput srednjeg linearnog odstupanja, varijanca također odražava stupanj do kojeg se podaci šire oko srednje vrijednosti.
Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je varijanca prosječni kvadrat odstupanja. Odnosno, najprije se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, zbraja i zatim dijeli s brojem vrijednosti u ovoj populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i srednje vrijednosti odražava mjeru odstupanja. On se kvadrira kako bi se osiguralo da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno poništavanje pozitivnih i negativnih odstupanja kada se zbroje. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek – kvadrat – odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i uzima se u obzir prosjek. Odgovor na čarobnu riječ "disperzija" su samo tri riječi.
Međutim, u svom čistom obliku, kao što je, na primjer, aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji pokazatelj koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Ona čak nema ni normalnu jedinicu mjere. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat izvorne jedinice podataka.
Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, deset puta mjerimo brzinu vjetra i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je srednja vrijednost povezana s funkcijom distribucije?
Ili ćemo kocku baciti veliki broj puta. Broj bodova koji će ispasti na kockicu tijekom svakog bacanja je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. N teži vrlo specifičnom broju – matematičkom očekivanju Mx. U ovom slučaju, Mx = 3,5.
Kako je nastala ova vrijednost? Pustiti unutra N suđenja n1 nakon što se ispusti 1 bod, n2 puta - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:
Slično i za ishode kada su ispala 2, 3, 4, 5 i 6 bodova.
Pretpostavimo sada da znamo zakon distribucije slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk s vjerojatnostima p1, p2, ... , pk.
Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x je:
Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, za procjenu prosječne plaće razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da je broj ljudi koji primaju manje od medijalne plaće i više, isti.
Vjerojatnost p1 da je slučajna varijabla x manja od x1/2 i vjerojatnost p2 da je slučajna varijabla x veća od x1/2 jednake su i jednake su 1/2. Medijan nije jednoznačno određen za sve distribucije.
Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stupanj odstupanja podataka ili skupova promatranja od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da su podaci grupirani oko srednje vrijednosti, a velika standardna devijacija ukazuje da su početni podaci daleko od nje. Standardna devijacija jednaka je kvadratnom korijenu veličine koja se naziva varijanca. To je prosjek zbroja kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od srednje vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijance:
Primjer. U ispitnim uvjetima kada pucate na metu, izračunajte varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable:
Varijacija- fluktuacija, varijabilnost vrijednosti atributa u jedinicama populacije. Odvojene numeričke vrijednosti značajke koje se javljaju u proučavanoj populaciji nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije čini nužnim dopuniti prosječne vrijednosti pokazateljima koji omogućuju procjenu tipičnosti ovih prosjeka mjerenjem fluktuacije (varijacije) osobine koja se proučava. Koeficijent varijacije izračunava se po formuli:
Varijacija raspona(R) je razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti osobine u ispitivanoj populaciji. Ovaj pokazatelj daje najopćenitiju ideju o fluktuaciji osobine koja se proučava, jer pokazuje razliku samo između ekstremnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima atributa daje rasponu varijacije nestabilan, slučajan karakter.
Prosječna linearna devijacija je aritmetička sredina apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:
Matematička očekivanja u teoriji kockanja
Matematičko očekivanje je prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na danoj okladi. Ovo je vrlo značajan koncept za igrača, jer je temeljan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje također je najbolji alat za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.
Recimo da igrate novčić s prijateljem i svaki put uložite jednaku okladu od 1 USD, bez obzira što se pojavi. Repovi - pobjeđujete, glave - gubite. Šanse da dođe do pada su jedan prema jedan i kladite se od 1 do 1 dolara. Dakle, vaše matematičko očekivanje je nula, jer matematički gledano, ne možeš znati hoćeš li voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.
Vaš dobitak po satu je nula. Isplata po satu je iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta u sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer vaši izgledi nisu ni pozitivni ni negativni. Ako pogledate, sa stajališta ozbiljnog igrača, takav sustav klađenja nije loš. Ali to je samo gubljenje vremena.
Ali pretpostavimo da netko želi kladiti $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake oklade. Zašto 50 centi? U prosjeku jednu okladu dobijete, a drugu izgubite. Kladite se na prvi dolar i izgubite 1 dolar, uložite drugi i osvojite 2 dolara. Okladili ste se dvaput na 1 dolar i ispred ste za 1 dolar. Dakle, svaka vaša oklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.
Ako novčić padne 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu bit će već 250 USD, jer. u prosjeku ste izgubili $1250 puta i osvojili $2250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupni dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, što je iznos koji u prosjeku dobijete na jednoj okladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi vaše oklade.
Matematička očekivanja nemaju nikakve veze s kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio kladiti 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti u prvih deset bacanja zaredom, ali vi, s prednošću klađenja 2-na-1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zarađujete 50 centi na svaku okladu od 1$ pod bilo kojim okolnosti. Nije bitno hoćete li dobiti ili izgubiti jednu okladu ili više oklada, ali samo pod uvjetom da imate dovoljno gotovine da lako nadoknadite troškove. Ako se nastavite kladiti na isti način, tada će tijekom dugog vremenskog razdoblja vaši dobici doći do zbroja očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.
Svaki put kada napravite najbolju okladu (okladu koja može biti isplativa na duge staze) kada su koeficijenti u vašu korist, dužni ste osvojiti nešto na tome, bilo da to izgubite ili ne u danoj ruci. Suprotno tome, ako ste napravili lošiju okladu (okladu koja je dugoročno neisplativa) kada izgledi nisu u vašu korist, gubite nešto, bilo da dobijete ili izgubite ruku.
Kladite se s najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su izgledi u vašu korist. Klađenjem s najgorim ishodom imate negativna očekivanja, što se događa kada su izgledi protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo s najboljim ishodom, s najgorim - odustaju. Što znače izgledi u tvoju korist? Možda ćete na kraju dobiti više nego što donose stvarni izgledi. Pravi izgledi za postizanje repova su 1 prema 1, ali dobivate 2 prema 1 zbog omjera klađenja. U ovom slučaju, izgledi su u vašu korist. Definitivno dobivate najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po okladi.
Ovdje je složeniji primjer matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se 5 dolara protiv vašeg 1 dolara da nećete odabrati broj. Pristajete li na takvu okladu? Što se ovdje očekuje?
U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na temelju toga, vjerojatnost da ćete pogoditi broj bit će 4 prema 1. Izgledi su da ćete izgubiti dolar u jednom pokušaju. Ipak, dobivate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4 prema 1. Dakle, koeficijent vam ide u prilog, možete uzeti okladu i nadati se najboljem ishodu. Ako uložite ovu okladu pet puta, u prosjeku ćete izgubiti četiri puta 1 dolar i jednom dobiti 5 dolara. Na temelju toga, za svih pet pokušaja zaradit ćete 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po okladi.
Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, hvata koeficijente. S druge strane, on uništava šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladionik može imati pozitivna ili negativna očekivanja ovisno o tome hvata li ili uništava koeficijente.
Ako se kladite na 50 dolara da osvojite 10 dolara s šansom za pobjedu 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od 2 dolara, jer u prosjeku ćete četiri puta osvojiti 10 USD i jednom izgubiti 50 USD, što pokazuje da će gubitak po okladi biti 10 USD. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, s istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer opet dobivate četiri puta po 10 dolara i gubite jednom 30 dolara, uz dobit od 10 dolara. Ovi primjeri pokazuju da je prva oklada loša, a druga dobra.
Matematičko očekivanje središte je svake situacije u igri. Kada kladionica potiče ljubitelje nogometa da se klade na 11 dolara za dobitak od 10 dolara, oni imaju pozitivno očekivanje od 50 centi za svakih 10 dolara. Ako kasino isplati čak i novac iz linije Craps pass, tada je pozitivna očekivanja kuće otprilike 1,40 USD za svakih 100 USD, budući da ova igra je strukturirana tako da svi koji se klade na ovu liniju u prosjeku gube 50,7% i dobiju 49,3% vremena. Nedvojbeno je da je to naizgled minimalno pozitivno očekivanje ono što vlasnicima kockarnica diljem svijeta donosi golem profit. Kao što je primijetio vlasnik kockarnice Vegas World Bob Stupak: “Negativna vjerojatnost od jedne tisućinke postotka na dovoljno dugoj udaljenosti dovest će do bankrota najbogatijeg čovjeka na svijetu.”
Matematička očekivanja pri igranju pokera
Poker je najilustrativniji i najilustrativniji primjer u smislu korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.
Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspješan poker znači uvijek prihvaćanje poteza s pozitivnim matematičkim očekivanjima.
Matematičko značenje matematičkog očekivanja pri igranju pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluke (ne znamo koje su karte u protivničkoj ruci, koje će karte doći u sljedećim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti s gledišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.
Među posebnim formulama za izračun matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:
Kada igrate poker, matematičko očekivanje može se izračunati i za oklade i za pozive. U prvom slučaju treba uzeti u obzir fold equity, u drugom, vlastite izglede pota. Prilikom procjene matematičkog očekivanja određenog poteza, treba imati na umu da fold uvijek ima nulto matematičko očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.
Očekivanje vam govori što možete očekivati (dobit ili gubitak) za svaki dolar koji riskirate. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara koje se u njima praktikuju ide u prilog kasinu. Uz dovoljno dugu seriju igara može se očekivati da će klijent izgubiti novac, budući da je “vjerojatnost” u korist kasina. Međutim, profesionalni igrači kasina ograničavaju svoje igre na kratka razdoblja, čime se povećavaju izgledi u svoju korist. Isto vrijedi i za ulaganje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovanja u kratkom vremenskom razdoblju. Očekivanje je vaš postotak dobiti po pobjedi pomnožen s vašim prosječnim profitom minus vašom vjerojatnošću gubitka pomnoženom s vašim prosječnim gubitkom.
Poker se također može razmotriti u smislu matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda i nije najbolji, jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru s pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da će on nazvati ako podignete prodajnu cijenu. Dakle, podizanje izgleda kao najbolja taktika. Ali ako povisite, preostala dva igrača će sigurno odustati. Ali ako platite okladu, bit ćete potpuno sigurni da će i druga dva igrača nakon vas učiniti isto. Kada podignete ulog, dobivate jednu jedinicu, a jednostavnim zovom dobivate dvije. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i najbolja je taktika.
Matematička očekivanja također mogu dati ideju o tome koje su poker taktike manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da je vaš prosječni gubitak 75 centi uključujući ante, tada biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante 1 $.
Drugi važan razlog za razumijevanje očekivane vrijednosti je taj što vam daje osjećaj mira bez obzira na to dobivate li okladu ili ne: ako ste dobro okladili ili odustali na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određeni iznos novac, koji slabiji igrač nije mogao uštedjeti. Mnogo je teže odustati ako ste frustrirani što vaš protivnik ima bolju ruku na izvlačenju. Uz to, novac koji uštedite neigranjem, umjesto klađenjem, dodaje se vašem noćnom ili mjesečnom dobitku.
Samo zapamtite da ako promijenite ruke, vaš protivnik će vas zvati, a kao što ćete vidjeti u članku Fundamental Theorem of Poker, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebali biste se radovati kada se to dogodi. Možete čak naučiti uživati u gubitku ruke, jer znate da bi drugi igrači u vašoj cipelama izgubili mnogo više.
Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, stopa povrata po satu povezana je s matematičkim očekivanjem, a ovaj koncept je posebno važan za profesionalne igrače. Kada idete igrati poker, morate mentalno procijeniti koliko možete osvojiti u sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete se poslužiti i nekim matematičkim izračunima. Na primjer, ako igrate draw lowball i vidite da tri igrača klade 10 dolara, a zatim izvlače dvije karte, što je vrlo loša taktika, sami možete izračunati da svaki put kada ulože 10 dolara gube oko 2 dolara. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube oko 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača, koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) morate podijeliti 48 dolara, a svaki će zarađivati 12 dolara po satu. Vaša satnica u ovom slučaju je jednostavno vaš udio u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača po satu.
Tijekom dugog vremenskog razdoblja, ukupni dobici igrača su zbroj njegovih matematičkih očekivanja u odvojenim distribucijama. Što više igrate s pozitivnim očekivanjima, više dobivate, i obrnuto, što više ruku igrate s negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste dati prednost igri koja može maksimizirati vaša pozitivna očekivanja ili negirati vaša negativna tako da možete maksimizirati svoj dobitak po satu.
Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igre
Ako znate brojati karte, možda ćete imati prednost u odnosu na kasino ako vas ne primjete i izbace. Kazina vole pijane kockare i ne podnose brojanje karata. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tijekom vremena. Dobro upravljanje novcem korištenjem izračuna očekivanja može vam pomoći da izvučete više iz svog ruba i smanjite gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na burzi prednost daje sustav igre koji stvara više dobiti od gubitaka, razlika u cijeni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem neće spasiti loš sustav igranja.
Pozitivno očekivanje definirano je vrijednošću većom od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je očekivanje rentabilno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja, razuman sustav igre. Igranje na intuiciji vodi u katastrofu.
Matematička očekivanja i trgovanje dionicama
Matematičko očekivanje prilično je tražen i popularan statistički pokazatelj u burzovnom trgovanju na financijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ta vrijednost veća, to je razlog više da se proučavana trgovina smatra uspješnom. Naravno, analiza rada trgovca ne može se provesti samo uz pomoć ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvalitete rada, može značajno povećati točnost analize.
Matematička očekivanja često se izračunavaju u uslugama praćenja računa trgovanja, što vam omogućuje brzu procjenu obavljenog posla na depozitu. Kao iznimke možemo navesti strategije koje koriste “prestajanje” gubitnih obrta. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga u njegovom radu možda uopće nema gubitaka. U tom slučaju neće se moći kretati samo očekivanjem, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.
U trgovanju na tržištu matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na temelju statistike njegovih prethodnih trgovina.
Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno razumjeti da pri poslovanju s negativnim očekivanjima ne postoji shema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visoku zaradu. Ako nastavite igrati razmjenu pod ovim uvjetima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubit ćete cijeli račun, bez obzira koliko je bio velik na početku.
Ovaj aksiom ne vrijedi samo za igre s negativnim očekivanjima ili trgovine, on vrijedi i za igre s parnim izgledima. Stoga je jedini slučaj u kojem imate priliku dugoročno profitirati kada sklapate poslove s pozitivnim matematičkim očekivanjima.
Razlika između negativnog očekivanja i pozitivnog očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; bitno je da li je pozitivan ili negativan. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, morate pronaći igru s pozitivnim očekivanjima.
Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti nikakvo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, onda je moguće, pravilnim upravljanjem novcem, pretvoriti ga u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su pozitivna očekivanja mala! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sustav trgovanja na temelju jednog ugovora. Ako imate sustav koji osvaja 10 USD po ugovoru u jednoj trgovini (nakon naknada i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem kako biste ga učinili profitabilnijim od sustava koji pokazuje prosječnu dobit od 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i proklizavanje).
Nije bitno koliko je sustav bio profitabilan, nego koliko se sigurno može reći da će sustav u budućnosti ostvarivati barem minimalnu dobit. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da sustav pokazuje pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.
Kako biste u budućnosti imali pozitivnu očekivanu vrijednost, vrlo je važno ne ograničavati stupnjeve slobode vašeg sustava. To se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimiziraju, već i smanjenjem što većeg broja pravila sustava. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sustavu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, želite izgraditi prilično primitivan i jednostavan sustav koji će stalno donositi mali profit na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sustav profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju bit će zarađen učinkovitim upravljanjem novcem.
Sustav trgovanja jednostavno je alat koji vam daje pozitivna matematička očekivanja tako da se može koristiti upravljanje novcem. Sustavi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, vrlo vjerojatno neće dugo raditi u stvarnom vremenu. Problem s većinom tehničkih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju različitih pravila i parametara trgovačkog sustava. To daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i vrijeme računala na povećanje profita trgovačkog sustava, svoju energiju usmjerite na povećanje razine pouzdanosti ostvarivanja minimalne dobiti.
Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logično opravdana, daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanja novcem, primijenjene na sve, čak i vrlo osrednje metode trgovanja, obavit će ostatak posla.
Svaki trgovac za uspjeh u svom poslu treba riješiti tri najvažnija zadatka: . Osigurati da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne pogreške i pogrešne proračune; Postavite svoj sustav trgovanja tako da vam je prilika za zaradu što češće; Ostvarite stabilan pozitivan rezultat svog poslovanja.
I ovdje, nama, trgovcima koji rade, matematičko očekivanje može biti dobra pomoć. Ovaj pojam u teoriji vjerojatnosti jedan je od ključnih. Pomoću njega možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable je poput centra gravitacije, ako zamislimo sve moguće vjerojatnosti kao točke s različitim masama.
U odnosu na strategiju trgovanja, za ocjenu njezine učinkovitosti najčešće se koristi matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka). Ovaj parametar definiran je kao zbroj proizvoda zadanih razina dobiti i gubitka i vjerojatnosti njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih operacija donijeti profit, a ostatak - 63% - biti neprofitabilan. Istodobno, prosječni prihod od uspješne transakcije bit će 7 dolara, a prosječni gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći sljedeći sustav:
Što znači ovaj broj? Kaže da ćemo, slijedeći pravila ovog sustava, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zatvorene transakcije. Budući da je rezultat učinkovitosti veći od nule, takav se sustav može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, to već ukazuje na prosječni gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.
Iznos dobiti po trgovini također se može izraziti kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:
– postotak prihoda po 1 transakciji - 5%;
– postotak uspješnog trgovanja - 62%;
– postotak gubitka po 1 trgovini - 3%;
- postotak neuspješnih transakcija - 38%;
Odnosno, prosječna transakcija će donijeti 1,96%.
Moguće je razviti sustav koji će, unatoč prevlasti gubitnih obrta, dati pozitivan rezultat, budući da je njegov MO>0.
Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi ako sustav daje vrlo malo trgovačkih signala. U tom će slučaju njegova profitabilnost biti usporediva s bankovnim kamatama. Pretpostavimo da svaka transakcija u prosjeku iznosi samo 0,5 dolara, ali što ako sustav pretpostavi 1000 transakcija godišnje? To će biti vrlo ozbiljan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično proizlazi da se još jednim obilježjem dobrog trgovačkog sustava može smatrati kratko razdoblje držanja.
Izvori i poveznice
dic.academic.ru - akademski online rječnik
mathematics.ru - obrazovna stranica o matematici
nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirskog državnog sveučilišta
webmath.ru je obrazovni portal za studente, kandidate i školarce.
exponenta.ru obrazovna matematička stranica
ru.tradimo.com - besplatna škola za online trgovanje
crypto.hut2.ru - multidisciplinarni informacijski resurs
poker-wiki.ru - besplatna enciklopedija pokera
sernam.ru - Znanstvena knjižnica odabranih prirodoslovnih publikacija
reshim.su - web stranica RJEŠAVANJE zadataka kontrola kolegija
unfx.ru – Forex na UNFX-u: obrazovanje, trgovački signali, upravljanje povjerenjem
slovopedia.com - Veliki enciklopedijski rječnik
pokermansion.3dn.ru - Vaš vodič u svijet pokera
statanaliz.info - informativni blog "Statistička analiza podataka"
forex-trader.rf - portal Forex-Trader
megafx.ru - ažurna Forex analitika
fx-by.com - sve za trgovca
2. Osnove teorije vjerojatnosti
Očekivana vrijednost
Razmotrimo slučajnu varijablu s brojčanim vrijednostima. Često je korisno povezati broj s ovom funkcijom - njegovom "srednjom vrijednošću" ili, kako kažu, "prosječnom vrijednošću", "pokazačem središnje tendencije". Iz brojnih razloga, od kojih će neki postati jasni u nastavku, uobičajeno je koristiti srednju vrijednost kao srednju vrijednost.
Definicija 3. Matematičko očekivanje slučajne varijable x nazvao broj
oni. matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderirani zbroj vrijednosti slučajne varijable s težinama jednakim vjerojatnosti odgovarajućih elementarnih događaja.
Primjer 6 Izračunajmo matematičko očekivanje broja koji je pao na gornju stranu kocke. Iz definicije 3 izravno slijedi da
Izjava 2. Neka je slučajna varijabla x poprima vrijednosti x 1, x 2, ..., xm. Zatim jednakost
(5)
oni. Matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderirani zbroj vrijednosti slučajne varijable s ponderima jednakim vjerojatnosti da slučajna varijabla zauzme određene vrijednosti.
Za razliku od (4), gdje se zbrajanje provodi izravno nad elementarnim događajima, slučajni događaj se može sastojati od nekoliko elementarnih događaja.
Ponekad se relacija (5) uzima kao definicija matematičkog očekivanja. Međutim, korištenjem definicije 3, kao što je prikazano u nastavku, lakše je utvrditi svojstva matematičkog očekivanja potrebna za izgradnju vjerojatnosnih modela stvarnih pojava nego korištenjem relacije (5).
Da bismo dokazali relaciju (5), grupiramo u (4) pojmove s istim vrijednostima slučajne varijable:
Budući da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbroja, onda
Po definiciji vjerojatnosti događaja
Uz pomoć zadnje dvije relacije dobivamo željeno:
Koncept matematičkog očekivanja u vjerojatnosno-statističkoj teoriji odgovara konceptu težišta u mehanici. Stavimo to u točke x 1, x 2, ..., xm na brojevnoj osi mase P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) odnosno. Tada jednakost (5) pokazuje da se težište ovog sustava materijalnih točaka podudara s matematičkim očekivanjem, što pokazuje prirodnost definicije 3.
Izjava 3. Neka bude x- slučajna vrijednost, M(X) je njegovo matematičko očekivanje, a- neki broj. Zatim
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 milijuna [(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 .
Da bismo to dokazali, prvo razmatramo slučajnu varijablu koja je konstantna, t.j. funkcija preslikava prostor elementarnih događaja u jednu točku a. Budući da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbroja, onda
Ako se svaki član zbroja podijeli na dva člana, onda se i cijeli zbroj podijeli na dva zbroja, od kojih prvi čine prvi članovi, a drugi drugi. Stoga je matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli X+Y, definiran na istom prostoru elementarnih događaja, jednak je zbroju matematičkih očekivanja M(X) i M(U) ove slučajne varijable:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
I stoga M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kao što je gore prikazano, M(M(X)) = M(X). Stoga, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Ukoliko (X - a) 2 = ((x – M(x)) + (M(x) - a)} 2 = (x - M(x)) 2 + 2(x - M(x))(M(x) - a) + (M(x) – a) 2 , onda M[(X - a) 2] =M(x - M(x)) 2 + M{2(x - M(x))(M(x) - a)} + M[(M(x) – a) 2 ]. Pojednostavimo posljednju jednakost. Kao što je pokazano na početku dokaza Propozicije 3, očekivanje konstante je sama konstanta, te stoga M[(M(x) – a) 2 ] = (M(x) – a) 2 . Budući da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbroja, onda M{2(x - M(x))(M(x) - a)} = 2(M(x) - a)M(x - M(x)). Desna strana posljednje jednakosti je 0 jer, kao što je gore prikazano, M(X-M(X))=0. Stoga, M[(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 , što je trebalo dokazati.
Iz rečenog proizlazi da M[(x- a) 2 ] dosegne minimum a jednak M[(x- M(x)) 2 ], na a = M(X), budući da je drugi član u jednakosti 3) uvijek nenegativan i jednak je 0 samo za navedenu vrijednost a.
Izjava 4. Neka je slučajna varijabla x poprima vrijednosti x 1, x 2, ..., xm, a f je neka funkcija brojčanog argumenta. Zatim
Da bismo to dokazali, grupirajmo na desnoj strani jednakosti (4), koja određuje matematičko očekivanje, članove s istim vrijednostima:
Koristeći činjenicu da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbroja, i određivanjem vjerojatnosti slučajnog događaja (2), dobivamo
Q.E.D.
Izjava 5. Neka bude x i Na su slučajne varijable definirane na istom prostoru elementarnih događaja, a i b- neki brojevi. Zatim M(sjekira+ po)= prijepodne(x)+ bM(Y).
Koristeći definiciju matematičkog očekivanja i svojstva simbola zbrajanja, dobivamo lanac jednakosti:
Traženo je dokazano.
Gore navedeno pokazuje kako matematičko očekivanje ovisi o prijelazu na drugo ishodište i na drugu mjernu jedinicu (prijelaz Y=sjekira+b), kao i na funkcije slučajnih varijabli. Dobiveni rezultati stalno se koriste u tehničko-ekonomskoj analizi, u ocjeni financijskih i gospodarskih aktivnosti poduzeća, pri prijelazu s jedne valute na drugu u inozemnim gospodarskim nagodbama, u regulatornoj i tehničkoj dokumentaciji itd. Razmatrani rezultati čine ga moguće je primijeniti iste proračunske formule za različite skale i pomake parametara.
| Prethodni |
