) a nazivnik po nazivniku (dobijemo nazivnik proizvoda).
Formula za množenje razlomaka:
Na primjer:
Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Dijeljenje razlomaka koji uključuje prirodni broj.
Nije tako strašno kako se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
- pretvoriti miješane razlomke u neispravne;
- množi brojnike i nazivnike razlomaka;
- smanjujemo razlomak;
- ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilni razlomak u mješoviti.
Bilješka! Da se množi miješana frakcija na drugi mješoviti razlomak, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja običnih razlomaka.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.
Prikladnije je koristiti drugu metodu množenja obični razlomak na broj.
Bilješka! Pomnožiti razlomak sa prirodni broj potrebno je nazivnik razlomka podijeliti ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.
Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.
Razlomci na više razina.
U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:
Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 točke:
Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja. Obavite sve izračune pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u glavi.
2. U zadacima s različiti tipovi razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.
3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.
4. Donosimo frakcijske izraze na više razina u obične, koristeći dijeljenje na 2 točke.
5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.
§ 87. Zbrajanje razlomaka.
Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.
Razmotrit ćemo redom tri slučaja:
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer: 1 / 5 + 2 / 5 .
Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 odsječka AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.
Iz crteža se vidi da ako uzmemo odsječak AD, onda će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenata AC i CD. Dakle, možemo napisati:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uzimajući u obzir te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.
Odavde dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.
Razmotrimo primjer:
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:
Međuveza 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.
Dakle, da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na najmanji zajednički nazivnik, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.
Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprije dovedemo razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišemo:
Sada dodajte cijeli broj i razlomak u nizu:
§ 88. Oduzimanje razlomaka.
Oduzimanje razlomaka definira se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. To je radnja kojom se, s obzirom na zbroj dvaju i jednog od njih, pronalazi drugi pojam. Razmotrimo redom tri slučaja:
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer:
13 / 15 - 4 / 15
Uzmimo odsječak AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 od AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.
Od 13/15 trebamo oduzeti 4/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako možemo napisati:
Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.
Stoga, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik oduzetog od brojnika minusa i ostaviti isti nazivnik.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer. 3/4 - 5/8
Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
Međuveza 6 / 8 - 5 / 8 ovdje je napisana radi jasnoće, ali se može preskočiti u budućnosti.
Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik oduzetog i potpisati zajednički nazivnik pod njihovom razlikom.
Razmotrimo primjer:
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
Primjer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Dovedemo razlomke minuenda i oduzetog na najmanji zajednički nazivnik:
Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio subtrahenda veći od razlomka minuenda. U takvim slučajevima potrebno je uzeti jednu jedinicu iz cjelobrojnog dijela reduciranog, podijeliti je na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati razlomkom dijelu reduciranog. A onda će se oduzimanje izvesti na isti način kao u prethodnom primjeru:
§ 89. Množenje razlomaka.
Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka s razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam interesa.
7. Pronalaženje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih uzastopno.
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množitelja) cijelim brojem (množitelj) znači sastavljanje zbroja identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.
Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:
Lako smo dobili rezultat, budući da se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Stoga,
Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju tog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegova brojnika
ili smanjenjem njegovog nazivnika 
, tada brojnik možemo ili pomnožiti cijelim brojem, ili nazivnik podijeliti s njim, ako je takva podjela moguća.
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, trebate brojnik pomnožiti s ovim cijelim brojem i ostaviti isti nazivnik ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s ovim brojem, a brojnik ostane nepromijenjen.
Prilikom množenja moguće su kratice, na primjer:
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Mnogo je zadataka u kojima morate pronaći ili izračunati dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo navesti primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.
Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca potrošio sam na kupnju knjiga. Koliko su knjige koštale?
Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?
Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko kuće od cigle?
Ovdje su neki od mnogih problema s kojima se moramo nositi da bismo pronašli djelić zadanog broja. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje djelića zadanog broja.
Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:
Rješenje problema 2. Značenje problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunaj prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni količnik, odnosno pomnožiti s 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, kojih je 3/4 od 400. Najprije pronađimo 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Za izračunavanje tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent se mora utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:
Da biste pronašli vrijednost razlomka određenog broja, trebate ovaj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultirajući kvocijent s njegovim brojnikom.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
Ranije (§ 26) utvrđeno je da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). U ovom stavku (stav 1.) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji je jednak ovom razlomku.
U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbroja identičnih članova.
Sada prelazimo na množenje cijelog broja s razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.
Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti tu radnju.
Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.
Naime, množenje 9 s 2/3 znači pronaći 2/3 od devet jedinica. U prethodnom paragrafu takvi problemi su riješeni; pa je lako shvatiti da smo na kraju sa 6.
Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto baš na prvi pogled razne aktivnosti kako pronaći zbroj jednaki brojevi i pronalaženje razlomka broja, u aritmetici se nazivaju istom riječju "množenje"?
To se događa jer prethodna radnja (ponavljanje broja s pojmovima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.
Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?
Ovaj se problem rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalji).
Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?
Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).
Brojeve u njemu također možete mijenjati nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m itd.
Budući da ti zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju – množenje.
Kako se cijeli broj množi s razlomkom?
Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:
Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 od 50 je .
Stoga.
Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?
1/8 od 12 je 12/8,
5/8 broja 12 je .
Stoga,
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste cijeli broj pomnožili s razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Ovo pravilo pišemo slovima:
Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno usporediti pronađeno pravilo s pravilom množenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38.
Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, Na primjer:
4. Množenje razlomka s razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, trebate pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množitelja).
Naime, množenje 3/4 s 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.
Kako množite razlomak s razlomkom?
Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7
1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:
5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:
Tako,
Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.
1/9 od 5/8 je ,
4/9 brojevi 5/8 su .
Tako, 
Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi umnožak nazivnikom proizvoda.
Ovo je pravilo u opći pogled može se napisati ovako:
Prilikom množenja potrebno je napraviti (ako je moguće) redukcije. Razmotrimo primjere:
5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da u onim slučajevima kada su množitelj, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvaramo u nepravilan razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom:
Pravilo. Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom.
Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvesti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:
6. Pojam interesa. Pri rješavanju zadataka i pri izvođenju raznih praktičnih proračuna koristimo se sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne priznaju bilo kakve, već prirodne podrazdjele. Na primjer, možete uzeti stotu (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stotine su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički doniraju Nemojte uzeti, na primjer, 2/7 rubalja jer rublja nije podijeljena na sedmine.
Jedinica mjerenja težine, odnosno kilogram, dopušta, prije svega, decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve ulomke kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1 /13 su neuobičajeni.
Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalne podjele.
Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (jednoličnu) metodu podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je tako opravdana podjela podjela na "stotke". Razmotrimo nekoliko primjera vezanih uz najrazličitija područja ljudske prakse.
1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.
Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.
2. Štedionice tijekom godine isplaćuju štedišama 2/100 iznosa koji se stavlja na štednju.
Primjer. 500 rubalja stavlja se u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.
PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, od kojih je 60 završilo školu.
Stoti dio broja naziva se postotak..
Riječ "postotak" posuđena je iz latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači "za stotinu". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari Rim kamate je bio novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svakih sto". Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).
Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom proteklog mjeseca. Umjesto da kažemo: pogon je proizveo 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: pogon je premašio plan za 4 posto.
Gornji primjeri mogu se drugačije izraziti:
1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.
2. Štedionice plaćaju štedišama 2 posto godišnje od iznosa uloženog u štednju.
3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5 posto od broja svih učenika u školi.
Kako bismo skratili slovo, uobičajeno je umjesto riječi "postotak" pisati znak %.
Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.
Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:
Suprotno tome, trebate se naviknuti pisati cijeli broj s naznačenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:
7. Pronalaženje postotaka zadanog broja.
Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog drveta?
Smisao ovog problema je da je brezovo ogrjev samo dio ogrjevnog drva koje je dostavljeno školi, a taj dio se izražava kao razlomak 30/100. Dakle, pred nama je zadatak da pronađemo djelić broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti s 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja s razlomkom.).
Dakle, 30% od 200 jednako je 60.
Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom zadatku može se smanjiti za 10. Ovu redukciju bilo bi moguće izvesti od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.
Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djeca od 11 godina bila su 21%, djeca od 12 godina bila su 61% i konačno 13-godišnjaci bili su 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?
U ovom zadatku trebate izvesti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.
Dakle, ovdje će biti potrebno pronaći razlomak broja tri puta. Učinimo to:
1) Koliko je djece imalo 11 godina?
2) Koliko je djece imalo 12 godina?
3) Koliko je djece imalo 13 godina?
Nakon rješavanja zadatka, korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Također treba obratiti pažnju na činjenicu da je zbroj postotaka navedenih u stanju problema 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ovo sugerira da ukupni broj djeca koja su bila u kampu uzeta je kao 100%.
3 a da cha 3. Radnik je primao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u zadatku?
Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.
1) Koliko se novca troši na hranu? Zadatak kaže da je ovaj trošak 65% svih zarada, tj. 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:
2) Koliko je novca plaćeno za stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedeće računice:
3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?
4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?
5) Koliko je novca radnik uštedio?
Za provjeru je korisno dodati brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u opisu problema.
Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su se ti zadaci odnosili na različite stvari (dostava drva za ogrjev za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto zadanih brojeva.
§ 90. Dijeljenje razlomaka.
Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja po postotku.
Razmotrimo ih uzastopno.
1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u činjenici da se, s obzirom na umnožak dvaju čimbenika (dividenda) i jednog od tih čimbenika (djelitelj), pronađe drugi faktor.
Dijeljenje cijelog broja cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tamo smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka ili "u potpunosti" (150:10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100:9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva mogućim (isključuje se samo dijeljenje s nulom).
Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronaći broj čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.
Dakle, da biste cijeli broj podijelili cijelim brojem, trebate napraviti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik je djelitelj.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.
Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani proizvod 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio smanjiti razlomak 6/7 za 3 puta.
Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:
U ovom slučaju brojnik 6 je djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.
Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:
Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka s tim brojem, ostavljajući isti brojnik.
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 5 s 1 / 2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja s 1 / 2, dati umnožak 5. Očito, ovaj broj mora biti veći od 5, budući da je 1 / 2 pravi razlomak, a kod množenja broja s pravim razlomkom umnožak mora biti manji od množitelja. Da bi bilo jasnije, napišimo naše radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1 / 2 \u003d 5.
Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznati datum x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.
Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Provjerimo: 
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo najprije pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).
sl.19
Nacrtajte odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, i svaku jedinicu podijelite na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinicama 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Stoga,
Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo izračune? Argumentirati ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2 / 3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko puta je 2 / 3 sadržano u 6. Najprije otkrijmo: koliko je puta 1 / 3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo 6 pomnožiti s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9. Stoga, kada smo dijelili 6 sa 2/3 učinili smo sljedeće:
Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja s razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, trebate ovaj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom danog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.
Pravilo pišemo slovima:
Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.
Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 3/4 sa 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).
Uzmite segment AB, uzmite ga kao jedinicu, podijelite ga na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta s lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da je segment jednak 3/8 sadržan u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:
Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja s 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 nepoznati broj x čine 15/16
1/32 nepoznati broj x je ,
32 / 32 brojeva x šminka .
Stoga,
Dakle, da biste razlomak podijelili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti brojnikom drugog i prvi proizvod učiniti brojnikom i drugo nazivnik.
Napišimo pravilo pomoću slova:
Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, prvo ih je potrebno pretvoriti u nepravilni razlomci, zatim podijelite dobivene razlomke prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Razmotrimo primjer:
Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Sada podijelimo:
Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
Među razne zadatke na razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je zadan broj i trebalo je pronaći neki djelić tog broja, ovdje je zadan djelić broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.
Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?
Odluka. Problem kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, t.j.
Kuća je imala 150 prozora.
Zadatak 2. U trgovini je prodano 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna u trgovini. Koja je bila početna zaliha brašna u trgovini?
Odluka. Iz stanja zadatka se vidi da prodanih 1500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste ga izračunali, trebate smanjiti 1500 za 3 puta:
1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionice).
Očito će cijela zaliha biti 8 puta veća. Stoga,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Početna zaliha brašna u trgovini iznosila je 4.000 kg.
Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.
Da biste pronašli broj po zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti nazivnikom razlomka.
Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja s obzirom na njegov razlomak. Takvi se problemi, kao što se posebno dobro vidi iz zadnjeg, rješavaju s dvije radnje: dijeljenjem (kada se pronađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).
Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, navedeni problemi se mogu riješiti jednom radnjom, a to je: dijeljenje razlomkom.
Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti u jednoj radnji ovako:
U budućnosti ćemo rješavati problem pronalaženja broja po razlomku u jednoj radnji – dijeljenju.
7. Pronalaženje broja po postotku.
U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, poznavajući nekoliko posto tog broja.
Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio u štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)
Smisao problema je u tome što sam određenu svotu novca stavio u štedionicu i tamo je ležao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?
Stoga, poznavajući dio tog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći zadaci:
Dakle, 3000 rubalja uloženo je u štedionicu.
Zadatak 2. Ribari su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64%, pripremivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?
Iz stanja problema doznaje se da su ribari odradili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje zadatka sastojat će se u pronalaženju ovog broja.
Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:
Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.
Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika upitao je konduktera u prolazu koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Koja je udaljenost od Rige do Moskve?
Iz stanja zadatka se vidi da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Trebamo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:
§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.
Uzmimo razlomak 2/3 i presložimo brojnik na mjesto nazivnika, dobivamo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovog.
Da biste dobili razlomak recipročan zadanom, trebate staviti njegov brojnik na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:
3/4, obrnuto 4/3; 5/6, obrnuto 6/5
Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvog nazivnik drugog, a nazivnik prvog brojnik drugog naziva se međusobno inverzne.
Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izoliran; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:
1 / 3, inverzno 3; 1/5, obrnuto 5
Budući da smo se pri traženju recipročnih vrijednosti susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim vrijednostima, već o recipročnim vrijednostima.
Hajde da shvatimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke to se rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik od 1. Dakle, recipročna vrijednost od 7 će biti 1 / 7, jer je 7 \u003d 7 / 1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1
Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan s zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj, inverzni razlomak 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, t.j.
Istaknimo sada jednu imovine međusobno recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:
Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći recipročne vrijednosti na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost 8.
Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1 / 8 . Nađimo drugi broj, obrnut od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .
Ovdje smo uveli pojam recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o podjeli razlomaka.
Kada broj 6 podijelimo s 3/5, radimo sljedeće:
Platiti Posebna pažnja na izraz i usporedi ga sa zadanim: .
Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako da možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende s recipročnom vrijednosti djelitelja.
Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.
U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.
Što je razlomak?
Povijesno se dogodilo da su se razlomci pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.
U početku se studenti upoznaju s takvim konceptom kao udio. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.
Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovicom; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se običnim razlomcima. Obični razlomak dijeli se na brojnik i nazivnik. Između njih je frakcijska crta, ili frakcijska crta. Frakcijska traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovom slučaju, to je znak podjele.
Nazivnik predstavlja na koliko jednakih udjela je podijeljena vrijednost; a brojnik je koliko je uzeto jednakih udjela. Brojnik je napisan iznad razlomka, nazivnik ispod njega.
Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatni snop. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki je dio označen latiničnim slovom, tada možete dobiti izvrsnu vizualnu pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.
Sorte frakcija
Razlomci su uobičajeni, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova je klasifikacija prikladnija za obične frakcije.
Pravi razlomak je broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cjelobrojnog dijela i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj pretvoren u nepravilan razlomak.
Točan frakcijski izraz je uvijek manje od jedan, a netočno - veće ili jednako 1.
Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.
Da biste napisali decimalni dio, prvo morate napisati cijeli broj, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati razlomak. Treba imati na umu da brojnik nakon zareza mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.
Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.
Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto
Netočno je zapisivati nepravilan razlomak u odgovoru zadatka, pa ga se mora pretvoriti u mješoviti broj:
- podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
- u konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
- a ostatak je brojnik razlomka, pri čemu nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Pretvori nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5 .
Odluka. 47: 5. Nepotpuni kvocijent je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:
- cijeli se dio množi nazivnikom razlomka;
- rezultirajući proizvod se dodaje brojniku;
- rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Izrazite broj u mješovitom obliku kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10 .
Odluka. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.
Odgovor: 98 / 10.
Množenje običnih razlomaka
Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od umnožaka razlomaka s istim nazivnicima.
Događa se da nakon pronalaska rezultata trebate smanjiti razlomak. NA bez greške rezultirajući izraz treba pojednostaviti što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.
Primjer. Pronađite umnožak dvaju običnih razlomaka: ½ i 20/18.
Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaska proizvoda dobiva se reducibilni razlomak. I brojnik i nazivnik u ovom slučaju su djeljivi sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.
Množenje decimalnih razlomaka
Umnožak decimalnih razlomaka po svom se principu prilično razlikuje od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:
- dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
- trebate množiti napisane brojeve, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
- broji broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
- u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s desne strane koliko ih sadrži zbroj oba faktora nakon decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
- ako je u umnošku manje znamenki, onda se ispred njih mora napisati toliko nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodijeliti cijeli broj jednak nuli.
Primjer. Izračunaj umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.
Odluka.
Množenje mješovitih razlomaka
Da biste izračunali umnožak dvaju mješovitih razlomaka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:
- pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
- pronaći umnožak brojnika;
- pronaći umnožak nazivnika;
- zapišite rezultat;
- pojednostaviti izraz što je više moguće.
Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2 / 5.
Množenje broja s razlomkom (razlomci s brojem)
Osim pronalaženja umnoška dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima trebate množiti razlomkom.
Dakle, pronaći posao decimalni razlomak i prirodni broj, trebate:
- upiši broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
- pronaći posao, unatoč zarezu;
- u dobivenom rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desne strane broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.
Da biste obični razlomak pomnožili brojem, trebali biste pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor reducibilni razlomak, treba ga pretvoriti.
Primjer. Izračunaj umnožak 5/8 i 12.
Odluka. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odgovor: 7 1 / 2.
Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultirajući rezultat i pretvoriti netočan razlomak u mješoviti broj.
Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.
Primjer. Pronađite umnožak 9 5 / 6 i 9.
Odluka. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odgovor: 88 1 / 2.
Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001
Sljedeće pravilo proizlazi iz prethodnog stavka. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju nakon jedan.
Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.
Odluka. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odgovor: 65.
Primjer 2. Pronađite umnožak 3,9 i 1000.
Odluka. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Odgovor: 3900.
Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, ispred prirodnog broja upisuje se dovoljan broj nula.
Primjer 1. Pronađite umnožak 56 i 0,01.
Odluka. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odgovor: 0,56.
Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.
Odluka. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odgovor: 0,004.
Dakle, pronalaženje proizvoda razne frakcije ne bi trebao uzrokovati poteškoće, osim za izračun rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.
Sadržaj lekcijeZbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje razlomaka je dvije vrste:
- Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
- Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima
Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjen:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:
Primjer 2 Dodajte razlomke i .
Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena s dva jednako je jedan:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:
Primjer 3. Dodajte razlomke i .
Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobit ćete pizze:
Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Moraju se dodati brojnici, a nazivnik ostati nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.
Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.
Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.
Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različitim nazivnicima. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina za smanjenje razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.
Bit ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - NOC se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.
Primjer 1. Dodajte razlomke i
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i iznad nje zapišemo pronađeni dodatni faktor:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:
Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima:
Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:
Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestinu pizze:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika bit će što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).
Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).
Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljan. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i nazivnici. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama studija matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
- Nađi LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
- Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
- Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
- Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo se gornjim uputama.
Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka
Nađi LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4
Korak 2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak
LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada LCM dijelimo nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima
Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Zbrojiti:
Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.
Korak 5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu
Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:
Dobio odgovor
Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
- Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
- Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.
Ponovno oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen:
Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:
Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
- Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.
Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.
Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobijemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:
Dobio odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze.
Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ti će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):
Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.
Nađite LCM nazivnika tih razlomaka.
Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik tih brojeva je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 s 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:
Odgovor se pokazao točnim razlomkom, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali bismo to olakšati. Što može biti učinjeno? Ovu frakciju možete smanjiti.
Da biste smanjili razlomak, trebate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s (gcd) brojevima 20 i 30.
Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD, odnosno s 10
Dobio odgovor
Množenje razlomka brojem
Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.
Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.
Pomnožite brojnik razlomka brojem 1
Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu
Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj izmijene, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet, funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojnik razlomka sa 4
Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.
A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.
Dobio odgovor. Poželjno je smanjiti zadani razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:
Kako uzeti dvije trećine od ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Dobit ćemo pizzu. Zapamtite kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:
Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:
Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza
Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:
Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti najvećim zajednički djelitelj(gcd) brojevi 105 i 450.
Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:
Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, sa 15
Predstavljanje cijelog broja kao razlomka
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:
Obrnuti brojevi
Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".
Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.
Je li moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:
Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:
To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.
Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.
Dijeljenje razlomka brojem
Recimo da imamo pola pizze:
Podijelimo ga na dva jednaka mjesta. Koliko će pizza dobiti svaki?
Vidi se da su nakon cijepanja polovice pizze dobivena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako svi dobivaju pizzu.
Podjela razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Obrnuti brojevi omogućuju zamjenu dijeljenja množenjem.
Da biste razlomak podijelili brojem, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnim djeliteljem.
Koristeći ovo pravilo, zapisati ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.
Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je 2.
Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, trebate pomnožiti s
ZABOJITE VEĆ OVE GRABULJE! 🙂
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jaki "ne baš. »
A za one koji „vrlo ujednačeni. "")
Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). tj.:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:
U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz s desne strane):
Osjeti razliku? 4 i 1/9!
Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:
zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!
I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:
Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.
To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Imajte na umu praktične savjete, i bit će ih manje (greške)!
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! To nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.
2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka – prijeđite na obične razlomke.
3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.
4. Razlomačke izraze na više razina svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).
Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke.
Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.
Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Samo nakon pogledaj odgovore.
Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem. Evo ih, odgovora, odvojenih točkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni proračuni razlomci nisu tvoj problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne.
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali. Ovo je rješiv Problemi.
U Posebnom odjeljku 555 "Razlomci" analizirani su svi ovi (i ne samo!) primjeri. S detaljnim objašnjenjima što, zašto i kako. Takva analiza puno pomaže u nedostatku znanja i vještina!
Da, i na drugom problemu postoji nešto.) Sasvim praktični savjeti, kako postati pažljiviji. Da da! Savjeti koji se mogu primijeniti svatko.
Osim znanja i pažnje, za uspjeh je potreban i određeni automatizam. Gdje ga nabaviti? Čujem težak uzdah... Da, samo u praksi, nigdje drugdje.
Za obuku možete otići na stranicu 321start.ru. Tamo, u opciji "Probaj", nalazi se 10 primjera koje svi mogu koristiti. Uz trenutnu provjeru. Za registrirane korisnike - 34 primjera od jednostavnih do ozbiljnih. To je samo za razlomke.
Ako vam se sviđa ova stranica.
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Ovdje možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učite sa zanimanjem!
I ovdje se možete upoznati s funkcijama i izvedenicama.
Pravilo 1
Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, trebate njegov brojnik pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.
Pravilo 2
Da pomnožite razlomak s razlomkom:
1. naći umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka
2. Prvi umnožak napiši kao brojnik, a drugi kao nazivnik.
Pravilo 3
Za množenje mješovitih brojeva potrebno ih je napisati kao nepravilne razlomke, a zatim koristiti pravilo za množenje razlomaka.
Pravilo 4
Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja.
Primjer 1
Izračunati
Primjer 2
Izračunati
Primjer 3
Izračunati
Primjer 4
Izračunati
Matematika. Ostali materijali
Povećanje broja na racionalni stepen. (
Podizanje broja na prirodni stepen. (
Generalizirana intervalna metoda za rješavanje algebarskih nejednakosti (Autor Kolchanov A.V.)
Metoda zamjene faktora u rješavanju algebarskih nejednakosti (Autor Kolchanov A.V.)
Znakovi djeljivosti (Lungu Alena)
Testirajte se na temu 'Množenje i dijeljenje običnih razlomaka'
Množenje razlomaka
Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka na nekoliko mogućih načina.
Množenje razlomka s razlomkom
Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.
Do pomnožiti razlomak s razlomkom, potrebno:
Prije množenja brojnika i nazivnika provjerite mogu li se razlomci smanjiti. Smanjenje razlomaka u izračunima uvelike će olakšati vaše izračune.
Množenje razlomka prirodnim brojem
Na razlomke pomnožiti prirodnim brojem trebate pomnožiti brojnik razlomka s ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.
Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.
Množenje mješovitih brojeva
Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem
Ponekad je u izračunima prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, nazivnik razlomka trebate podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti istim.
Kao što se može vidjeti iz primjera, prikladnije je koristiti ovu verziju pravila ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.
Dijeljenje razlomka brojem
Koji je najbrži način da se razlomak podijeli brojem? Analizirajmo teoriju, izvedimo zaključak i na primjerima vidimo kako se dijeljenje razlomka brojem može izvesti prema novom kratkom pravilu.
Obično se dijeljenje razlomka brojem izvodi po pravilu dijeljenja razlomaka. Prvi broj (razlomak) množi se recipročnim brojem drugog. Budući da je drugi broj cijeli broj, njegova recipročna vrijednost je razlomak, čiji je brojnik jednak jedan, a nazivnik je zadani broj. Šematski, dijeljenje razlomka prirodnim brojem izgleda ovako:
Iz ovoga zaključujemo:
Da biste razlomak podijelili brojem, pomnožite nazivnik s tim brojem, a brojnik ostavite istim. Pravilo se može formulirati još kraće:
Kada razlomak podijelite brojem, broj ide u nazivnik.
Podijelite razlomak brojem:
Da bismo razlomak podijelili brojem, brojnik prepisujemo nepromijenjen, a nazivnik pomnožimo s tim brojem. Smanjujemo 6 i 3 za 3.
Kad razlomak dijelimo brojem, prepisujemo brojnik i nazivnik množimo tim brojem. Smanjujemo 16 i 24 za 8.
Prilikom dijeljenja razlomka brojem, broj ide u nazivnik, pa brojnik ostavljamo istim, a nazivnik množimo djeliteljem. Smanjujemo 21 i 35 za 7.
Množenje i dijeljenje razlomaka
Zadnji put smo naučili kako zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.
Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.
Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.
Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.
Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Po definiciji imamo:
Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka
Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.
Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:
- Plus puta minus daje minus;
- Dva negativa čine potvrdno.
- Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
- Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.
Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:
Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:
Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).
Također obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.
Smanjenje frakcija u hodu
Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:
U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.
Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.
Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:
Ne možete to učiniti!
Pogreška nastaje zbog činjenice da se pri zbrajanju brojnika razlomka u brojniku pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.
Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:
Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.
Podjela razlomaka.
Dijeljenje razlomka prirodnim brojem.
Primjeri dijeljenja razlomka prirodnim brojem
Dijeljenje prirodnog broja razlomkom.
Primjeri dijeljenja prirodnog broja razlomkom
Podjela običnih razlomaka.
Primjeri dijeljenja običnih razlomaka
Dijeljenje mješovitih brojeva.
- Da biste jedan mješoviti broj podijelili drugim, trebate:
- pretvoriti miješane razlomke u neispravne;
- pomnožiti prvi razlomak s recipročnom vrijednosti drugog;
- smanjiti rezultirajuću frakciju;
- Ako dobijete nepravilan razlomak, pretvorite nepravilni razlomak u mješoviti.
- pretvoriti miješane razlomke u neispravne;
- množi brojnike i nazivnike razlomaka;
- smanjujemo razlomak;
- ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilni razlomak u mješoviti.
- Pod-a ne do- Prerađena pjesma "Proljetni tango" (Dolazi vrijeme - stižu ptice s juga) - glazba. Valerij Milyaev Nisam čuo, nisam razumio, nisam shvatio, u smislu da nisam pogodio, napisao sam sve glagole sa not odvojeno, nisam znao za prefiks nedo- . Događa se, […]
- Stranica nije pronađena U trećem završnom čitanju usvojen je paket Vladinih dokumenata koji predviđaju stvaranje posebnih upravnih regija (SAR). Zbog izlaska iz Europske unije, UK neće biti uključena u europski PDV prostor i […]
- Kombinirano istražni odbor pojavit će se na jesen Zajednički istražni odbor pojavit će se na jesen Istraga svih strukture moći bit će sastavljen pod jednim krovom u četvrtom pokušaju Već u jesen 2014., prema Izvestijama, predsjednik Vladimir Putin […]
- Patent algoritma Kako izgleda patent algoritma Kako se priprema patent algoritma tehnički opisi načini pohrane, obrade i prijenosa signala i/ili podataka posebno za potrebe patentiranja obično nisu posebno teški, a […]
- ŠTO JE VAŽNO ZNATI O NOVOM NACRTU O MIROVINIMA 12. prosinca 1993. USTAV RUSKOG FEDERACIJE (podložno amandmanima zakona Ruske Federacije o izmjenama i dopunama Ustava Ruske Federacije od 30. prosinca 2008. N FKZ, od 30. prosinca 2008. N 7-FKZ, […]
- Dijete o mirovini za ženu su cool za muškog heroja dana za muškarca heroja dana - u refrenu za ženskog heroja dana - posveta umirovljenicama je komična Natječaji za umirovljenike bit će zanimljivi Dragi prijatelji! Trenutak pažnje! Osjećaj! Samo […]
Primjeri dijeljenja mješovitih brojeva
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Svi opsceni komentari bit će uklonjeni, a njihovi autori stavljeni na crnu listu!
Dobrodošli u OnlineMSchool.
Moje ime je Dovžik Mihail Viktorovič. Vlasnik sam i autor ove stranice, napisao sam sav teoretski materijal, a također i razvio online vježbe i kalkulatore koje možete koristiti za učenje matematike.
Razlomci. Množenje i dijeljenje razlomaka.
Množenje razlomka s razlomkom.
Za množenje običnih razlomaka potrebno je brojnik pomnožiti brojnikom (dobijemo brojnik umnoška), a nazivnik nazivnikom (dobijemo nazivnik umnoška).
Formula za množenje razlomaka:
Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.
Bilješka! Ne treba tražiti zajednički nazivnik!!
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Podjela običnog razlomka razlomkom je sljedeća: okrenite drugi razlomak (tj. promijenite brojnik i nazivnik na mjestima) i nakon toga se razlomci množe.
Formula za dijeljenje običnih razlomaka:
Množenje razlomka prirodnim brojem.
Bilješka! Prilikom množenja razlomka prirodnim brojem, brojnik razlomka se množi našim prirodnim brojem, a nazivnik razlomka ostaje isti. Ako je rezultat proizvoda nepravilan razlomak, onda svakako odaberite cijeli dio pretvarajući nepravilan razlomak u mješoviti.
Dijeljenje razlomaka koji uključuje prirodni broj.
Nije tako strašno kako se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.
Prikladnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.
Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.
Razlomci na više razina.
U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:
Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 točke:
Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja. Obavite sve izračune pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u glavi.
2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka prijeđite na vrstu običnih razlomaka.
3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.
4. Donosimo frakcijske izraze na više razina u obične, koristeći dijeljenje na 2 točke.
